Chapter 1

સાચો જવાબ:

(i) 140

140 = 2 × 70

= 2 × 2 × 35

= 2 × 2 × 5 × 7

= 2² × 5 × 7

(ii) 156

156 = 2 × 78

= 2 × 2 × 39

= 2 × 2 × 3 × 13

= 2² × 3 × 13

(iii) 3825

3825 = 5 × 765

= 5 × 5 × 153

= 5 × 5 × 3 × 51

= 5 × 5 × 3 × 3 × 17

= 3² × 5² × 17

(iv) 5005

5005 = 5 × 1001

= 5 × 7 × 143

= 5 × 7 × 11 × 13

= 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429

7429 = 17 × 437

= 17 × 19 × 23

= 17 × 19 × 23

અંતિમ જવાબ:

1. 140 = 2² × 5 × 7


2. 156 = 2² × 3 × 13


3. 3825 = 3² × 5² × 17


4. 5005 = 5 × 7 × 11 × 13


5. 7429 = 17 × 19 × 23

સાચો જવાબ:

(i) 26 અને 91

• 26 = 2 × 13


• 91 = 7 × 13

ગુ.સા.અ. = 13

લ.સા.અ. = 2 × 7 × 13 = 182

ચકાસણી:

• 13 × 182 = 2366


• 26 × 91 = 2366

∴ ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર.

---

(ii) 510 અને 92

• 510 = 2 × 3 × 5 × 17


• 92 = 2² × 23

ગુ.સા.અ. = 2

લ.સા.અ. = 2² × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460

ચકાસણી:

• 2 × 23460 = 46920


• 510 × 92 = 46920

∴ ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર.

---

(iii) 336 અને 54

• 336 = 2⁴ × 3 × 7


• 54 = 2 × 3³

ગુ.સા.અ. = 2 × 3 = 6

લ.સા.અ. = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024

નોંધ: લ.સા.અ. કાઢતી વખતે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મોટી ઘાત (highest power) લેવામાં આવે છે. તેથી 3 માટે 3³ લેવાશે, માત્ર 3 નહીં.

ચકાસણી:

• 6 × 3024 = 18144


• 336 × 54 = 18144

∴ ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = બંને પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર.

અંતિમ જવાબ

જોડી	ગુ.સા.અ.	લ.સા.અ.
26, 91	13	182
510, 92	2	23460
336, 54	6	3024

સાચો જવાબ:

(i) 12, 15 અને 21

અવિભાજ્ય અવયવો:

• 12 = 2² × 3


• 15 = 3 × 5


• 21 = 3 × 7

ગુ.સા.અ. (12, 15, 21) = 3 (સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ)

લ.સા.અ. (12, 15, 21) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420

જવાબ:

• ગુ.સા.અ. = 3


• લ.સા.અ. = 420

---

(ii) 17, 23 અને 29

ત્રણે સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય (Prime) છે.

• 17 = 17


• 23 = 23


• 29 = 29

ગુ.સા.અ. (17, 23, 29) = 1

લ.સા.અ. (17, 23, 29) = 17 × 23 × 29 = 11339

જવાબ:

• ગુ.સા.અ. = 1


• લ.સા.અ. = 11339

---

(iii) 8, 9 અને 25

અવિભાજ્ય અવયવો:

• 8 = 2³


• 9 = 3²


• 25 = 5²

ગુ.સા.અ. (8, 9, 25) = 1 (કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી.)

લ.સા.અ. (8, 9, 25) = 2³ × 3² × 5² = 1800

જવાબ:

• ગુ.સા.અ. = 1


• લ.સા.અ. = 1800

સાચો જવાબ:  A. જેમ,



$$

La. Sa. A. (a, b) = \frac{a \times b}{ Gu. Sa. A. (a, b)}

$$



તે પરથી, 



a = 306 અને b = 657 લેતા, 



$$$

\begin{align}

La. Sa. A. (306, 657) &= \frac{306 \times 657}{ Gu. Sa. A. (306, 657)}\\



&= \frac{306 \times 657}{9}\\



&= 34 \times 657\\



&=22,338

\end{align}

$$$



તેથી, લ.સા.અ. (306, 657) = 22,338

સાચો જવાબ: A. જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક 0 હોય ત્યારે તે સંખ્યા 2 અને 5 બંને વડે વિભાજ્ય હોય, એટલે કે અંતિમ અંક 0 હોય તેવી સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 2 અને 5 બંનેનો સમાવેશ થાય છે.



અહી, 



$$$

\begin{align}

6^n &= (3 \times 2)^n \\

&=  ૩^n \times 2^n \\

\end{align}

$$$



જ્યાં, n કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. 



આથી, 6ⁿથી 2 અને 3 એમ ફક્ત બે જ અવિભાજ્ય અવયવો છે. 



આમ, 6ⁿ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં 5 નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી કોઈ પણ સંજોગોમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 6ⁿ નો અંતિમ અંક 0 થાય નહી.

સાચો જવાબ: A. 7 × 11 × 13 + 13 = 13(7 × 11 + 1)



= 13 (77 + 1)



= 13 (78)



= 13 × 2 × 3 × 13 (∵ 78 = 2 × 3 × 13)



= 2 × 3 × 169



તેથી, 7 × 11 × 13 + 13 ને ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય. 



આથી 7 × 11 × 13 + 13 એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે.



---



7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 x 1 + 5



= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)



= 5 (1008 + 1)



= 5 × 1009



આમ, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5ને ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય. 



તેથી 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

સાચો જવાબ: અહીં, સોનિયાને અને રવિને એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતાં લાગતા સમય જે મિનિટમાં છે તેનો લ.સા.અ. કાઢતા પ્રશ્નનો જવાબ મળે.



હવે, 12 = 2 × 2 × 3 અને



18 = 2 × 3 × 3 



તેથી, લ.સા.અ. (12, 18) = 36



આથી જો સોનિયા અને રવિ એક જ સમયે, એક જ બિંદુએથી, એક જ દિશામાં પરિભ્રમણ કરવાનું પ્રારંભ કરે, તો બરાબર 36 મિનિટ બાદ બંને ફરી પ્રારંભબિંદુ પર ભેગા થાય.

સાચો જવાબ: A. ધારો કે, $$\sqrt{5}$$ સંમેય સંખ્યા છે.



આથી કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા $$a$$ અને $$b$$ માટે



$$

\sqrt{5}=\frac{a}{b}

$$



શક્ય છે.



હવે તેનો વર્ગ લેતા,



$$

\begin{aligned}

(\sqrt{5})^2 &= \left(\frac{a}{b}\right)^2 \\

\therefore\; 5 &= \frac{a^2}{b^2} \\

\therefore\; a^2 &= 5b^2

\end{aligned}

$$



આમ, $$5$$ એ $$a^2$$ નો અવયવ છે.



પ્રમેય 1.3 મુજબ $$5$$ એ $$a^2$$ નો અવયવ છે, માટે $$5$$ એ $$a$$ નો પણ અવયવ કહેવાય.



તેથી,



$$

a = 5c

$$



અહીં $$c$$ પૂર્ણાંક છે.



હવે,



$$

\begin{aligned}

a^2 &= (5c)^2 \\

5b^2 &= 25c^2 \\

b^2 &= 5c^2

\end{aligned}

$$



આથી $$5$$ એ $$b^2$$ નો પણ અવયવ છે.



પ્રમેય 1.3 અનુસાર $$5$$ એ $$b^2$$ નો અવયવ હોય તો $$5$$ એ $$b$$ નો પણ અવયવ કહેવાય.



તેથી $$5$$ એ $$a$$ અને $$b$$ બંનેનો અવયવ છે.



આપણે શરૂઆતમાં માન્યું હતું કે $$a$$ અને $$b$$ અવિભાજ્ય (co-prime) છે. પરંતુ હવે બંને $$5$$ વડે વિભાજ્ય છે, જે વિરોધાભાસ (Contradiction) છે.



આથી આપણી ધારણા કે $$\sqrt{5}$$ સંમેય સંખ્યા છે, તે ખોટી પડે છે.



અતઃ



$$

\boxed{\sqrt{5}\text{ એ અસંમેય સંખ્યા છે.}}

$$

સાચો જવાબ: A. ધારો કે, $$3 + 2\sqrt{5}$$ સંમેય છે.



$$\therefore 3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$$ જ્યાં, a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો છે.



હવે, $$3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b} – 3$$



$$\therefore 2\sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$$



$$\therefore \sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$$



a અને b પૂર્ણાક હોવાથી $$\frac{a-3b}{2b}$$ એ સંમેય સંખ્યા છે અને



તેથી $$\sqrt{5}$$ પણ સંમેય સંખ્યા થાય.



પરંતુ $$\sqrt{5}$$ અસંમેય છે. આમ, વિરોધાભાસ ઊભો થાય છે. 



માટે આપણી ધારણા ખોટી છે.



તેથી, સાબિત થાય છે કે $$3 + 2\sqrt{5}$$ અસંમેય છે.

સાચો જવાબ: (i) 1/√2 (ii) 7 √5 (iii) 6 + √2*

A. ### (i) $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$



ધારો કે, $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ એ સંમેય સંખ્યા છે.



કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા a અને b માટે,



$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b}$$



$$\frac{1}{2} = \frac{a^2}{b^2}$$



$$b^2 = 2a^2$$



2 એ $$b^2$$ નો અવયવ છે. 



જેથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ 2 એ b નો પણ અવયવ કહેવાય. 



જેથી,



$$b = 2c$$



વર્ગ લેતા,



$$b^2 = 4c^2$$



$$2a^2 = 4c^2$$



$$a^2 = 2c^2$$



$$\therefore 2$$ એ $$a^2$$ નો અવયવ છે. 



પ્રમેય 1.3 મુજબ 2 એ a નો પણ અવયવ થાય. 



2 એ a અને b બન્નોનો અવયવ થાય છે માટે a અને b એ અવિભાજ્ય નથી અને આપણી ધારણા ખોટી પડી.



જેથી, $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ એ અસંમેય બને છે.



---



### (ii) $$7 \sqrt{5}$$



ધારો કે, $$7 \sqrt{5}$$ એ સંમેય સંખ્યા છે.



કોઈક અવિભાજ્ય સંખ્યા a અને b પર 



$$\frac{a}{b} = 7 \sqrt{5}$$



$$\therefore \frac{a}{7b} = \sqrt{5}$$



પરંતુ $$\sqrt{5}$$ એ અસંમેય સંખ્યા છે તેથી, $$