Chapter 2

સાચો જવાબ:

કોઈપણ બહુપદીના સમીકરણમાં શૂન્યની કુલ સંખ્યા = વક્ર x-અક્ષને છેદે તેની કુલ સંખ્યા.



(i) આપેલ આલેખમાં, p(x) ના શૂન્યની સંખ્યા 0 છે કારણ કે આલેખ x-અક્ષની સમાંતર છે તેને કોઈપણ બિંદુએ કાપતો નથી.



(ii) આપેલ આલેખમાં, p(x) ના શૂન્યની સંખ્યા 1 છે કારણ કે આલેખ માત્ર એક બિંદુ પર x-અક્ષને છેદે છે.



(iii) આપેલ આલેખમાં, p(x) ના શૂન્યની સંખ્યા 3 છે કારણ કે આલેખ x-અક્ષને કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ પર છેદે છે.



(iv) આપેલ આલેખમાં, p(x) ના શૂન્યની સંખ્યા 2 છે કારણ કે આલેખ x-અક્ષને બે બિંદુઓ પર છેદે છે.



(v) આપેલ આલેખમાં, p(x) ના શૂન્યની સંખ્યા 4 છે કારણ કે આલેખ x-અક્ષને ચાર બિંદુઓ પર છેદે છે.



(vi) આપેલ આલેખમાં, p(x) ના શૂન્યની સંખ્યા 3 છે કારણ કે આલેખ x-અક્ષને ત્રણ બિંદુઓ પર છેદે છે.

સાચો જવાબ: A. (i) $$x^2 - 2x -8$$



અહી, $$x^2 – 4x + 2x – 8 $$



$$= x(x–4) + 2(x–4) $$



$$= (x-4)(x + 2)$$



તેથી, આપેલ બહુપદી $$x^2 - 2x -8$$ ના શૂન્યો (4, -2) છે.



શૂન્યનો સરવાળો $$= 4+(–2) = 2 = -\frac{-2}{1} =$$ -(x નો સહગુણક)/($$x^2$$ નો સહગુણક)



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= 4\times (-2) = -8 =-\frac{8}{1} =$$ (અચળ પદ)/($$x^2$$ નો સહગુણક)



---



(ii) $$4s^2 - 4s + 1$$



અહી, $$4s^2 - 2s - 2s + 1$$



$$=2s(2s–1)–1(2s-1)$$



$$= (2s–1)(2s–1)$$



તેથી, આપેલ બહુપદી $$4s^2 - 4s + 1$$ ના શૂન્યો $$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$ છે.



શૂન્યનો સરવાળો $$= \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = 1 = -\frac{-4}{4} =$$ -(s નો સહગુણક)/($$s^2$$ નો સહગુણક)



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} =$$ (અચળ પદ)/($$s^2$$ નો સહગુણક)



---



(iii) $$6x^2 - 3 - 7x$$



અહી, $$6x^2 – 9x + 2x – 3 $$



$$= 3x(2x – 3) +1(2x – 3)$$



$$= (3x+1)(2x-3)$$



તેથી, આપેલ બહુપદી $$6x^2 - 3 - 7x$$ ના શૂન્યો $$\left(-\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$$ છે.



શૂન્યનો સરવાળો $$= -\frac{1}{3}+ \frac{3}{2} = \frac{7}{6} =$$ -(x નો સહગુણક)/($$x^2$$ નો સહગુણક)



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= -\frac{1}{3}\times \frac{3}{2} = -\frac{3}{6} =$$ (અચળ પદ)/($$x^2$$ નો સહગુણક)



---



(iv) $$4u^2 + 8u$$



અહી, $$4u^2 + 8u$$



$$= 4u(u+2) $$



તેથી, આપેલ બહુપદી $$x^2 - 2x -8$$ ના શૂન્યો (0, -2) છે.



શૂન્યનો સરવાળો $$= 0+(–2) = -2 = -\frac{-8}{4} =$$ -(u નો સહગુણક)/($$u^2$$ નો સહગુણક)



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= 0\times(-2) = 0 = \frac{0}{4} =$$ (અચળ પદ)/($$u^2$$ નો સહગુણક)



---



(v) $$t^2 - 15$$



અહી, $$t^2 - 15$$



$$= (t - \sqrt{15})(t + \sqrt{15})$$



તેથી, આપેલ બહુપદી $$t^2 - 15$$ ના શૂન્યો $$(\sqrt{15}, -\sqrt{15})$$ છે.



શૂન્યનો સરવાળો $$= \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0 = -\frac{0}{1} =$$ -(x નો સહગુણક)/($$x^2$$ નો સહગુણક)



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= \sqrt{15}\times (-\sqrt{15}) = -15 =-\frac{15}{1} =$$ (અચળ પદ)/($$x^2$$ નો સહગુણક)



---



(vi) $$3x^2 -x-4$$



અહી, $$3x^2–4x+3x–4$$



$$= x(3x-4)+1(3x-4) $$



$$= (3x – 4)(x + 1)$$



તેથી, આપેલ બહુપદી $$3x^2 -x-4$$ ના શૂન્યો $$\left(\frac{4}{3}, -1\right)$$ છે.



શૂન્યનો સરવાળો $$= \frac{4}{3}+ (-1) = \frac{1}{3} = -\frac{-1}{3} =$$ -(x નો સહગુણક)/($$x^2$$ નો સહગુણક)



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= \frac{4}{3}\times (-1) = -\frac{4}{3} =$$ (અચળ પદ)/($$x^2$$ નો સહગુણક)

 

સાચો જવાબ: A. (i)$$\frac{1}{4}, -1$$



શૂન્યના સરવાળા અને ગુણાકારના સૂત્ર પરથી,



શૂન્યનો સરવાળો $$= \alpha  + \beta = \frac{1}{4}$$ 



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= \alpha  \times \beta = -1$$ 



આમ, જો  અને  એ કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્ય હોય, તો દ્વિઘાત બહુપદનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:



$$x^2–(\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$$



$$x^2–\left(\frac{1}{4}\right)x + (-1) = 0$$



$$4x^2–x-4 = 0$$



આમ, $$4x^2–x–4$$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.



---



(ii) $$\sqrt{2}, \frac{1}{3}$$



શૂન્યના સરવાળા અને ગુણાકારના સૂત્ર પરથી,



શૂન્યનો સરવાળો $$= \alpha  + \beta = \sqrt{2}$$ 



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= \alpha  \times \beta = \frac{1}{3}$$ 



આમ, જો  અને  એ કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્ય હોય, તો દ્વિઘાત બહુપદનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:



$$x^2–(\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$$



$$x^2–\left(\sqrt{2}\right)x + \frac{1}{3} = 0$$



$$3x^2–3\sqrt{2}x+1 = 0$$



આમ, $$3x^2–3\sqrt{2}x+1$$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.



---



(iii) $$0, \sqrt{5}$$



શૂન્યના સરવાળા અને ગુણાકારના સૂત્ર પરથી,



શૂન્યનો સરવાળો $$= \alpha  + \beta = 0$$ 



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= \alpha  \times \beta = \sqrt{5}$$ 



આમ, જો  અને  એ કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્ય હોય, તો દ્વિઘાત બહુપદનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:



$$x^2–(\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$$



$$x^2–\left(0\right)x + \sqrt{5} = 0$$



આમ, $$x^2+ \sqrt{5}$$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.



---



(iv) $$1, 1$$



શૂન્યના સરવાળા અને ગુણાકારના સૂત્ર પરથી,



શૂન્યનો સરવાળો $$= \alpha  + \beta = 1$$ 



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= \alpha  \times \beta = 1$$ 



આમ, જો  અને  એ કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્ય હોય, તો દ્વિઘાત બહુપદનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:



$$x^2–(\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$$



$$x^2–\left(1\right)x + 1 = 0$$



$$x^2–x+1 = 0$$



આમ, $$x^2–x+1$$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.



---



(v) $$-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$$







શૂન્યના સરવાળા અને ગુણાકારના સૂત્ર પરથી,



શૂન્યનો સરવાળો $$= \alpha  + \beta = -\frac{1}{4}$$ 



શૂન્યનો ગુણાકાર $$= \alpha  \times \beta = \frac{1}{4}$$ 



આમ, જો  અને  એ કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્ય હોય, તો દ્વિઘાત બહુપદનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:



$$x^2–(\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$$



$$x^2–\left(-\frac{1}{4}\right)x + \frac{1}{4} = 0$$



$$4x^2+x+1 = 0$$



આમ, $$4x^2+x+1$$ એ દ્વિઘાત બહુપ�