chapter 13

ધોરણ 10 | విષય: Maths

સ્વાધ્યાય 13.1

સાચો જવાબ:


  • પ્રત્યક્ષ રીત (Direct Method):


    $$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$


  • ધારી લીધેલ મધ્યકની રીત (Assumed Mean Method):


    $$\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} \quad (જ્યાં \ d_i = x_i - a)$$


  • પદ-વિચલનની રીત (Step-Deviation Method):


    $$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h \quad \left(જ્યાં \ u_i = \frac{x_i - a}{h}\right)$$



2. દાખલો ગણવાની સામાન્ય રીત (પગલાં)





  1. મધ્યકિંમત ($x_i$) શોધો:


    $$x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઊર્ધ્વસીમા}}{2}$$


  2. ધારેલો મધ્યક ($a$) પસંદ કરો:



    મધ્યકિંમત ($x_i$) ની વચ્ચે આવતી કોઈ એક કિંમતને $a$ ધારી લો.




  3. કોષ્ટક બનાવો:



    $x_i$, $d_i$ (અથવા $u_i$) અને $f_i d_i$ (અથવા $f_i u_i$) ના ખાના બનાવી સરવાળો કરો.




  4. સૂત્રમાં કિંમત મૂકી મધ્યક શોધો.




સાચો જવાબ:

અહીં કિંમતો નાની હોવાથી પ્રત્યક્ષ રીત (Direct Method) નો ઉપયોગ કરીશું.


મધ્યકિંમત (xi​)=2અધઃસીમા+ઊર્ધ્વસીમા​




























































છોડની સંખ્યા (વર્ગ) ઘરોની સંખ્યા (fi​) મધ્યકિંમત (xi​) fi​xi​
0 - 2 1 1 1
2 - 4 2 3 6
4 - 6 1 5 5
6 - 8 5 7 35
8 - 10 6 9 54
10 - 12 2 11 22
12 - 14 3 13 39
કુલ ∑fi​=20   ∑fi​xi​=162

 

ગણતરી:


xˉ=∑fi​∑fi​xi​​=20162​=8.1

જવાબ: ઘરદીઠ છોડની સંખ્યાનો મધ્યક 8.1 છે.


સાચો જવાબ:

પ્રશ્ન 2



એક કારખાનામાં 50 કારીગરોના દૈનિક વેતનના નીચે આપેલા વિતરણનો વિચાર કરો. યોગ્ય રીતનો ઉપયોગ કરીને કારખાનાના કારીગરોના દૈનિક વેતનનો મધ્યક શોધો:






















દૈનિક વેતન (₹ માં) 500-520 520-540 540-560 560-580 580-600
કારીગરોની સંખ્યા 12 14 8

સાચો જવાબ:

પ્રશ્ન 3 (ખૂટતી આવૃત્તિ $f$ નો દાખલો)



નીચેનું આવૃત્તિ વિતરણ વસ્તીના બાળકોનું દૈનિક ખિસ્સાભથ્થું દર્શાવે છે. ખિસ્સાભથ્થાનો મધ્યક ₹ 18 છે. ખૂટતી આવૃત્તિ $f$ શોધો:




























દૈનિક ખિસ્સાભથ્થું (₹ માં) 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21 21-23 23-25
બાળકોની સંખ્યા 7 6 9 13 $f$ 5 4

સાચો જવાબ:

ઉકેલ (પદ-વિચલનની રીત)





  • અહીં વર્ગલંબાઈ $h = 3$ છે.




  • ધારેલો મધ્યક $a = 75.5$ લઈએ.




  • $u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 75.5}{3}$









































































વર્ગ મહિલાઓની સંખ્યા (fi​) મધ્યકિંમત (xi​) ui​ fi​ui​
65 - 68 2 66.5 -3 -6
68 - 71 4 69.5 -2 -8
71 - 74 3 72.5 -1 -3
74 - 77 8 75.5 ($a$) 0 0
77 - 80 7 78.5 1 7
80 - 83 4 81.5 2 8
83 - 86 2 84.5 3 6
કુલ $\sum f_i = 30$     $\sum f_i u_i = 4$


ગણતરી:


$$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$$

$$\bar{x} = 75.5 + \left( \frac{4}{30} \right) \times 3$$

$$\bar{x} = 75.5 + \frac{4}{10} = 75.5 + 0.4 = 75.9$$

જવાબ: મહિલાઓના પ્રતિ મિનિટ હૃદયના ધબકારાનો મધ્યક 75.9 છે.


સાચો જવાબ:

ઉકેલ (પદ-વિચલનની રીત)





  • અહીં આપેલા વર્ગ અસતત (Anisocontinuous) છે, પરંતુ વર્ગમધ્યકિંમત ($x_i$) ગણવા માટે તેની મધ્યકિંમતો સરખી જ રહે છે:





    • $x_i = \frac{50 + 52}{2} = 51$




    • વર્ગલંબાઈ $h = 3$ છે.






  • ધારેલો મધ્યક $a = 57$ લઈએ.



























































વર્ગ બોક્સની સંખ્યા (fi​) મધ્યકિંમત (xi​) ui​=3xi​−57​ fi​ui​
50 - 52 15 51 -2 -30
53 - 55 110 54 -1 -110
56 - 58 135 57 ($a$) 0 0
59 - 61 115 60 1 115
62 - 64 25 63 2 50
કુલ $\sum f_i = 400$     $\sum f_i u_i = 25$


ગણતરી:


$$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$$

$$\bar{x} = 57 + \left( \frac{25}{400} \right) \times 3$$

$$\bar{x} = 57 + \frac{75}{400} = 57 + 0.1875 \approx 57.19$$

જવાબ: એક બોક્સમાં મૂકેલ કેરીઓની સંખ્યાનો મધ્યક 57.19 છે.


સાચો જવાબ:  ઉકેલ (પદ-વિચલનની રીત)વર્ગલંબાઈ $h = 50$ છે.ધારેલો મધ્યક $a = 225$ લઈએ.દૈનિક ખર્ચ (₹)પરિવારોની સંખ્યા (fi​)મધ્યકિંમત (xi​)ui​=50xi​−225​fi​ui​100 - 1504125-2-8150 - 2005175-1-5200 - 25012225 ($a$)00250 - 300227512300 - 350232524કુલ$\sum f_i = 25$$\sum f_i u_i = -7$ગણતરી:$$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$$$$\bar{x} = 225 + \left( \frac{-7}{25} \right) \times 50$$$$\bar{x} = 225 + (-7 \times 2) = 225 - 14 = 211$$જવાબ: એક પરિવારના દૈનિક ભોજન ખર્ચનો મધ્યક ₹ 211 છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ (પદ-વિચલનની રીત)





  • વર્ગલંબાઈ h=0.04 છે.




  • ધારેલો મધ્યક a=0.14 લઈએ.


































































સાંદ્રતા (વર્ગ) આવૃત્તિ (fi​) મધ્યકિંમત (xi​) ui​=0.04xi​−0.14​ fi​ui​
0.00 - 0.04 4 0.02 -3 -12
0.04 - 0.08 9 0.06 -2 -18
0.08 - 0.12 9 0.10 -1 -9
0.12 - 0.16 2 0.14 (a) 0 0
0.16 - 0.20 4 0.18 1 4
0.20 - 0.24 2 0.22 2 4
કુલ ∑fi​=30     ∑fi​ui​=−31

 

ગણતરી:


xˉ=a+(∑fi​∑fi​ui​​)×h

xˉ=0.14+(30−31​)×0.04

xˉ=0.14−301.24​=0.14−0.0413=0.0987≈0.099

જવાબ: હવામાં SO2​ ની સાંદ્રતાનો મધ્યક 0.099 ppm છે.


સાચો જવાબ:

ઉકેલ (પ્રત્યક્ષ રીત)



(નોંધ: અહીં વર્ગલંબાઈ h સમાન નથી, તેથી પ્રત્યક્ષ રીત સૌથી અનુકૂળ રહેશે.)






























































દિવસોની સંખ્યા (વર્ગ) વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (fi​) મધ્યકિંમત (xi​) fi​xi​
0 - 6 11 3 33
6 - 10 10 8 80
10 - 14 7 12 84
14 - 20 4 17 68
20 - 28 4 24 96
28 - 38 3 33 99
38 - 40 1 39 39
કુલ ∑fi​=40   ∑fi​xi​=499

 

ગણતરી:


xˉ=∑fi​∑fi​xi​​=40499​=12.475≈12.48

જવાબ: વિદ્યાર્થીઓની ગેરહાજર દિવસોની સંખ્યાનો મધ્યક 12.48 દિવસ છે.


સાચો જવાબ:  ઉકેલ (પદ-વિચલનની રીત)વર્ગલંબાઈ $h = 10$ છે.ધારેલો મધ્યક $a = 70$ લઈએ.સાક્ષરતા દર (%)શહેરોની સંખ્યા (fi​)મધ્યકિંમત (xi​)ui​=10xi​−70​fi​ui​45 - 55355-2-655 - 651065-1-1065 - 751170 ($a$)0075 - 858801885 - 9539026કુલ$\sum f_i = 35$$\sum f_i u_i = -2$ગણતરી:$$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$$$$\bar{x} = 70 + \left( \frac{-2}{35} \right) \times 10$$$$\bar{x} = 70 - \frac{20}{35} = 70 - \frac{4}{7} = 70 - 0.57 = 69.43$$જવાબ: શહેરોનો સરેરાશ સાક્ષરતા દર 69.43% છે.
સ્વાધ્યાય 13.2

સાચો જવાબ: $$Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$$


  • $l$ = બહુલક વર્ગની અધઃસીમા (સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા વર્ગની અધઃસીમા)




  • $f_1$ = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ




  • $f_0$ = બહુલક વર્ગના આગળના વર્ગની આવૃત્તિ




  • $f_2$ = બહુલક વર્ગના પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ




  • $h$ = વર્ગલંબાઈ




સાચો જવાબ:

(A) બહુલકની ગણતરી:





  • મહત્તમ આવૃત્તિ 23 છે, જે વર્ગ 35-45 માં છે.




  • તેથી, બહુલક વર્ગ = 35-45




  • l=35, f1​=23, f0​=21, f2​=14, h=10




Z=l+(2f1​−f0​−f2​f1​−f0​​)×h

Z=35+(2(23)−21−1423−21​)×10

Z=35+(46−352​)×10=35+1120​=35+1.818≈36.82 વર્ષ

💡 (B) મધ્યકની ગણતરી (પદ-વિચલનની રીત):





  • ધારેલો મધ્યક a=35, h=10


































































વર્ગ દર્દીઓ (fi​) મધ્યકિંમત (xi​) ui​=10xi​−35​ fi​ui​
5 - 15 6 10 -2 -12
15 - 25 11 20 -1 -11
25 - 35 21 30 0 0
35 - 45 23 35 (a) 1 23
45 - 55 14 50 2 28
55 - 65 5 60 3 15
કુલ ∑fi​=80     ∑fi​ui​=43





xˉ=a+(∑fi​∑fi​ui​​)×h=35+(8043​)×10=35+5.375=35.38 વર્ષ

જવાબ: બહુલક 36.82 વર્ષ અને મધ્યક 35.38 વર્ષ છે.


સાચો જવાબ:

ઉકેલ:





  • મહત્તમ આવૃત્તિ 61 છે.




  • તેથી, બહુલક વર્ગ = 60-80




  • l=60, f1​=61, f0​=52, f2​=38, h=20




Z=l+(2f1​−f0​−f2​f1​−f0​​)×h

Z=60+(2(61)−52−3861−52​)×20

Z=60+(122−909​)×20

Z=60+329×20​=60+32180​=60+5.625=65.625 કલાક

જવાબ: વીજ ઉપકરણોના આયુષ્યનો બહુલક 65.625 કલાક છે.


સાચો જવાબ:

(A) બહુલકની ગણતરી:





  • મહત્તમ આવૃત્તિ 40 છે.




  • બહુલક વર્ગ = 1500-2000




  • l=1500, f1​=40, f0​=24, f2​=33, h=500




Z=1500+(2(40)−24−3340−24​)×500

Z=1500+(80−5716​)×500=1500+238000​=1500+347.83=₹1847.83

💡 (B) મધ્યકની ગણતરી (પદ-વિચલનની રીત):





  • a=2750, h=500, ∑fi​=200, ∑fi​ui​=−35




xˉ=a+(∑fi​∑fi​ui​​)×h=2750+(200−35​)×500=2750−87.5=₹2662.50

જવાબ: ખર્ચનો બહુલક ₹ 1847.83 અને મધ્યક ₹ 2662.50 છે.


સાચો જવાબ:

(A) બહુલકની ગણતરી:





  • મહત્તમ આવૃત્તિ 10 છે.




  • બહુલક વર્ગ = 30-35




  • l=30, f1​=10, f0​=9, f2​=3, h=5




Z=30+(2(10)−9−310−9​)×5

Z=30+(20−121​)×5=30+85​=30+0.625=30.63

💡 (B) મધ્યકની ગણતરી:





  • a=32.5, h=5, ∑fi​=35, ∑fi​ui​=−23




xˉ=32.5+(35−23​)×5=32.5−723​=32.5−3.28=29.22

જવાબ: બહુલક 30.63 અને મધ્યક 29.22 છે.


સાચો જવાબ:

ઉકેલ:





  • મહત્તમ આવૃત્તિ 18 છે.




  • બહુલક વર્ગ = 4000-5000




  • l=4000, f1​=18, f0​=4, f2​=9, h=1000




Z=4000+(2(18)−4−918−4​)×1000

Z=4000+(36−1314​)×1000

Z=4000+2314000​=4000+608.695=4608.7 રન

જવાબ: નોંધાવેલ રનનો બહુલક 4608.7 રન છે.


સાચો જવાબ:

ઉકેલ:





  • મહત્તમ આવૃત્તિ 20 છે.




  • બહુલક વર્ગ = 40-50




  • l=40, f1​=20, f0​=12, f2​=11, h=10




Z=40+(2(20)−12−1120−12​)×10

Z=40+(40−238​)×10

Z=40+1780​=40+4.705=44.7 ગાડીઓ

જવાબ: ગાડીઓની સંખ્યાનો બહુલક 44.7 ગાડીઓ છે.


સ્વાધ્યાય 13.3

સાચો જવાબ: M=l+(f2n​−cf​)×h


  • l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા




  • n = કુલ આવૃત્તિ (∑fi​)




  • cf = મધ્યસ્થ વર્ગના આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ




  • f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ




  • h = વર્ગલંબાઈ




સાચો જવાબ:

(A) મધ્યસ્થની ગણતરી:





















































માસિક વપરાશ ગ્રાહકોની સંખ્યા (fi​) સંચયી આવૃત્તિ (cf)
65 - 85 4 4
85 - 105 5 9
105 - 125 13 22
125 - 145 20 42
145 - 165 14 56
165 - 185 8 64
185 - 205 4 68
કુલ n=68  

 



  • અહીં n=68⟹2n​=268​=34




  • 34 થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ 42 છે, જે વર્ગ 125-145 માં આવે છે.




  • મધ્યસ્થ વર્ગ = 125-145




  • l=125, cf=22, f=20, h=20




M=125+(2034−22​)×20=125+12=137 એકમ

💡 (B) મધ્યકની ગણતરી:





  • a=135, h=20, ∑fi​ui​=7, n=68


    xˉ=135+(687​)×20=135+2.06=137.06 એકમ



💡 (C) બહુલકની ગણતરી:





  • મહત્તમ આવૃત્તિ 20 છે ⟹ બહુલક વર્ગ 125-145




  • l=125,f1​=20,f0​=13,f2​=14,h=20


    Z=125+(2(20)−13−1420−13​)×20=125+13140​=125+10.77=135.77 એકમ



જવાબ: મધ્યસ્થ = 137 એકમ, મધ્યક = 137.06 એકમ, બહુલક = 135.77 એકમ


સાચો જવાબ:

ઉકેલ:
















































વર્ગ અંતરાલ આવૃત્તિ (fi​) સંચયી આવૃત્તિ (cf)
0 - 10 5 5
10 - 20 x 5+x
20 - 30 20 25+x
30 - 40 15 40+x
40 - 50 y 40+x+y
50 - 60 5 45+x+y
કુલ n=60  

 



  1. સમીકરણ 1:


    45+x+y=60⟹x+y=15— (1)


  2. મધ્યસ્થ વર્ગ નક્કી કરવો: આપણને મધ્યસ્થ M=28.5 આપેલ છે, જે વર્ગ 20-30 માં સમાવિષ્ટ છે.





    • l=20, f=20, cf=5+x, h=10, 2n​=30






  3. સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:


    M=l+(f2n​−cf​)×h

    28.5=20+(2030−(5+x)​)×10

    28.5−20=225−x​

    8.5×2=25−x

    17=25−x⟹x=8


  4. x ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતા:


    8+y=15⟹y=7



જવાબ: x=8 અને y=7


સાચો જવાબ:

ઉકેલ:



આપેલ કોષ્ટક "થી ઓછી" પ્રકારનું હોવાથી, આપણે તેને સામાન્ય વર્ગ અંતરાલમાં ફેરવીશું:


























































ઉંમર (વર્ષ) સંચયી આવૃત્તિ (cf) આવૃત્તિ (fi​)
15 - 20 2 2
20 - 25 6 6−2=4
25 - 30 24 24−6=18
30 - 35 45 45−24=21
35 - 40 78 78−45=33
40 - 45 89 89−78=11
45 - 50 92 92−89=3
50 - 55 98 98−92=6
55 - 60 100 100−98=2

 



  • n=100⟹2n​=50




  • 50 થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ 78 છે, જે વર્ગ 35-40 માં આવે છે.




  • મધ્યસ્થ વર્ગ = 35-40




  • l=35, cf=45, f=33, h=5




M=35+(3350−45​)×5=35+3325​=35+0.76=35.76 વર્ષ

જવાબ: પોલિસીધારકોની ઉંમરનો મધ્યસ્થ 35.76 વર્ષ છે.


સાચો જવાબ:

ઉકેલ:



આપેલા વર્ગ અસતત છે, તેથી તેમને સતત વર્ગમાં ફેરવતા (અધઃસીમામાંથી 0.5 બાદ કરી અને ઊર્ધ્વસીમામાં 0.5 ઉમેરી):





















































સતત વર્ગ પાંદડાઓની સંખ્યા (fi​) સંચયી આવૃત્તિ (cf)
117.5 - 126.5 3 3
126.5 - 135.5 5 8
135.5 - 144.5 9 17
144.5 - 153.5 12 29
153.5 - 162.5 5 34
162.5 - 171.5 4 38
171.5 - 180.5 2 40
કુલ n=40  

 



  • n=40⟹2n​=20




  • 20 થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ 29 છે.




  • મધ્યસ્થ વર્ગ = 144.5-153.5




  • l=144.5, cf=17, f=12, h=9




M=144.5+(1220−17​)×9=144.5+(123​)×9=144.5+2.25=146.75 મીમી

જવાબ: પાંદડાઓની લંબાઈનો મધ્યસ્થ 146.75 મીમી છે.


સાચો જવાબ:

ઉકેલ:





















































આયુષ્ય (કલાક) ગોળાની સંખ્યા (fi​) સંચયી આવૃત્તિ (cf)
1500 - 2000 14 14
2000 - 2500 56 70
2500 - 3000 60 130
3000 - 3500 86 216
3500 - 4000 74 290
4000 - 4500 62 352
4500 - 5000 48 400
કુલ n=400  

 



  • n=400⟹2n​=200




  • 200 થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ 216 છે.




  • મધ્યસ્થ વર્ગ = 3000-3500




  • l=3000, cf=130, f=86, h=500




M=3000+(86200−130​)×500=3000+8635000​=3000+406.98=3406.98 કલાક

જવાબ: નિયોન ગોળાના આયુષ્યનો મધ્યસ્થ 3406.98 કલાક છે.


સાચો જવાબ:

(A) મધ્યસ્થની ગણતરી:
















































મૂળાક્ષરોની સંખ્યા અટકોની સંખ્યા (fi​) સંચયી આવૃત્તિ (cf)
1 - 4 6 6
4 - 7 30 36
7 - 10 40 76
10 - 13 16 92
13 - 16 4 96
16 - 19 4 100
કુલ n=100  

 



  • n=100⟹2n​=50⟹ મધ્યસ્થ વર્ગ = 7-10




  • l=7, cf=36, f=40, h=3




M=7+(4050−36​)×3=7+(4014​)×3=7+1.05=8.05

💡 (B) મધ્યકની ગણતરી:





  • a=8.5, h=3, ∑fi​ui​=−6, n=100


    xˉ=8.5+(100−6​)×3=8.5−0.18=8.32



💡 (C) બહુલકની ગણતરી:





  • મહત્તમ આવૃત્તિ 40 છે ⟹ બહુલક વર્ગ 7-10




  • l=7,f1​=40,f0​=30,f2​=16,h=3


    Z=7+(2(40)−30−1640−30​)×3=7+3430​=7+0.88=7.88



જવાબ: મધ્યસ્થ = 8.05, મધ્યક = 8.32, બહુલક = 7.88


સાચો જવાબ:

ઉકેલ:





















































વજન (કિગ્રા) વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (fi​) સંચયી આવૃત્તિ (cf)
40 - 45 2 2
45 - 50 3 5
50 - 55 8 13
55 - 60 6 19
60 - 65 6 25
65 - 70 3 28
70 - 75 2 30
કુલ n=30  

 



  • n=30⟹2n​=15




  • 15 થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ 19 છે.




  • મધ્યસ્થ વર્ગ = 55-60




  • l=55, cf=13, f=6, h=5




M=55+(615−13​)×5=55+(62​)×5=55+35​=55+1.67=56.67 કિગ્રા

જવાબ: વિદ્યાર્થીઓના વજનનો મધ્યસ્થ 56.67 કિગ્રા છે.


```php
Warning: session_start(): Session cannot be started after headers have already been sent in /home/u367000040/domains/gyanistudent.in/public_html/footer.php on line 8
```