chapter 14

સાચો જવાબ:

• 
  

  ઘટના E ની સંભાવના + ઘટના ‘E નહિ’ ની સંભાવના = 1

  
  


• 
  

  ઉદ્ભવી ન શકે તેવી ઘટનાની સંભાવના 0 છે. આવી ઘટનાને અશક્ય ઘટના કહે છે.

  
  


• 
  

  ચોક્કસપણે ઉદ્ભવતી ઘટનાની સંભાવના 1 છે. આવી ઘટનાને ચોક્કસ (કે નિશ્ચિત) ઘટના કહે છે.

  
  


• 
  

  પ્રયોગની તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 છે.

  
  


• 
  

  ઘટનાની સંભાવના 0 થી મોટી અથવા તેના જેટલી અને 1 થી નાની અથવા તેના જેટલી હોય છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  પ્રયોગ: ડ્રાઇવર કાર ચાલુ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. પરિણામ: કાર ચાલુ થાય છે અથવા ચાલુ થતી નથી.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉત્તર: સમસંભાવી નથી.

    
    
  
  
  • 
    

    કારણ: કારની સ્થિતિ (જેમ કે એન્જિન સારું છે કે ખરાબ) પર આધાર રાખે છે. કાર સામાન્ય રીતે ચાલુ જ થઈ જાય છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  પ્રયોગ: ખેલાડી બાસ્કેટબોલને તાકીને મારવાનો પ્રયત્ન કરે છે. પરિણામ: તે બાસ્કેટમાં તાકીને મારે છે અથવા ચૂકી જાય છે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉત્તર: સમસંભાવી નથી.

    
    
  
  
  • 
    

    કારણ: આ ખેલાડીની હોશિયારી અને કૌશલ્ય પર આધાર રાખે છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  પ્રયોગ: સત્ય-અસત્ય પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની કસોટી આપવામાં આવી છે. પરિણામ: જવાબ સત્ય છે કે અસત્ય.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉત્તર: સમસંભાવી છે.

    
    
  
  
  • 
    

    કારણ: બે જ શક્યતાઓ છે (સત્ય અથવા અસત્ય) અને બંનેની સંભાવના સરખી ($\frac{1}{2}$) છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  પ્રયોગ: બાળક જન્મ્યું છે. પરિણામ: તે બાબો છે કે બેબી.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉત્તર: સમસંભાવી છે.

    
    
  
  
  • 
    

    કારણ: નવજાત શિશુ બાબો હોય કે બેબી, બંનેની કુદરતી સંભાવના સરખી ($\frac{1}{2}$) જ હોય છે.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ: ઉત્તર: જ્યારે સિક્કાને ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે માત્ર બે જ શક્ય પરિણામો મળે છે: છાપ (H) અથવા કાંટો (T). આ બંને પરિણામો સમસંભાવી છે (એટલે કે બંનેની સંભાવના 21​ છે). પરિણામ અગાઉથી અંદાજી શકાતું નથી, તેથી સિક્કો ઉછાળવો એ સંપૂર્ણ નિષ્પક્ષ માર્ગ છે.

સાચો જવાબ:

(A) 32​ (B) −1.5 (C) 15% (D) 0.7

• 
  

  ઉત્તર: (B) −1.5

  
  


• 
  

  કારણ: કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના ક્યારેય ઋણ (Negative) હોઈ શકે નહીં (0≤P(E)≤1).

  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

P(E)+P(Eˉ)=1

P(Eˉ)=1−P(E)

P(Eˉ)=1−0.05=0.95

સાચો જવાબ:

• 
  

  નરંગીના સ્વાદની મીઠાઈ હોય તેની સંભાવના કેટલી?

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉત્તર: 0 (કારણ કે થેલામાં નારંગીની મીઠાઈ છે જ નહીં, આ અશક્ય ઘટના છે).

    
    
  
  
  
  


• 
  

  લીંબુના સ્વાદની મીઠાઈ હોય તેની સંભાવના કેટલી?

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉત્તર: 1 (કારણ કે થેલામાં બધી જ મીઠાઈઓ લીંબુના સ્વાદની છે, આ ચોક્કસ ઘટના છે).

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  ધારો કે E= બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિન સમાન હોય.

  
  


• 
  

  Eˉ= બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિન સમાન ન હોય (P(Eˉ)=0.992).

  
  P(E)=1−P(Eˉ)
  
  P(E)=1−0.992=0.008

સાચો જવાબ:

• 
  

  કુલ પરિણામોની સંખ્યા =3+5=8

  
  

1. 
   

   લાલ હોય તેની સંભાવના:

   
   P(લાલ)=83​


2. 
   

   લાલ ન હોય તેની સંભાવના:

   
   P(લાલ ન હોય)=1−83​=85​

સાચો જવાબ:

• 
  

  કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$

  
  

1. 
   

   લાલ હોય:

   
   $$P(\text{લાલ}) = \mathbf{\frac{5}{17}}$$


2. 
   

   સફેદ હોય:

   
   $$P(\text{સફેદ}) = \mathbf{\frac{8}{17}}$$


3. 
   

   લીલી ન હોય:

   
   
   
   
   
   • 
     

     લીલી સિવાયની (લાલ + સફેદ) લખોટીઓ $= 5 + 8 = 13$

     
     $$P(\text{લીલી ન હોય}) = \mathbf{\frac{13}{17}}$$
   
   
   
   

સાચો જવાબ: કુલ સિક્કાની સંખ્યા $= 100 + 50 + 20 + 10 = 180$50 પૈસાનો સિક્કો હશે તેની સંભાવના:$$P(\text{50 પૈસા}) = \frac{100}{180} = \mathbf{\frac{5}{9}}$$₹ 5 નો સિક્કો નહીં હોય તેની સંભાવના:₹ 5 સિવાયના સિક્કા $= 180 - 10 = 170$$$P(\text{₹ 5 નો ન હોય}) = \frac{170}{180} = \mathbf{\frac{17}{18}}$$આગળના પ્રશ્નો (પ્રશ્ન 11 થી 25) નો ઉકેલ જોઈએ છે?

સાચો જવાબ:

• 
  

  સમજૂતી:

  
  
  
  
  
  • 
    

    નર માછલીની સંખ્યા = $5$

    
    
  
  
  • 
    

    માદા માછલીની સંખ્યા = $8$

    
    
  
  
  • 
    

    ટાંકીમાંની કુલ માછલીઓની સંખ્યા = $5 + 8 = 13$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  સંભાવના:

  
  $$\text{P(નર માછલી)} = \frac{\text{નર માછલીની સંખ્યા}}{\text{કુલ માછલીની સંખ્યા}} = \mathbf{\frac{5}{13}}$$

સાચો જવાબ:

• 
  

  કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા =8 (પરિણામો: {1,2,3,4,5,6,7,8})

  
  

1. 
   

   તે 8 તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     8 હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામ = 1

     
     P(8 તરફ નિર્દેશ કરે)=81​
   
   
   
   


2. 
   

   અયુગ્મ (એકી) સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     અયુગ્મ સંખ્યાઓ ={1,3,5,7} (કુલ 4)

     
     P(અયુગ્મ સંખ્યા)=84​=21​
   
   
   
   


3. 
   

   2 કરતાં મોટી સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     2 કરતાં મોટી સંખ્યાઓ ={3,4,5,6,7,8} (કુલ 6)

     
     P(2 કરતાં મોટી)=86​=43​
   
   
   
   


4. 
   

   9 કરતાં નાની સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     9 કરતાં નાની સંખ્યાઓ ={1,2,3,4,5,6,7,8} (કુલ 8)

     
     P(9 કરતાં નાની)=88​=1
     
     

     (ચોક્કસ ઘટના)

     
     
   
   
   
   

સાચો જવાબ: કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 6$ (પરિણામો: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$)અવિભાજ્ય સંખ્યા:અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $= \{2, 3, 5\}$ (કુલ $3$)$$\text{P(અવિભાજ્ય)} = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યા:2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યાઓ $= \{3, 4, 5\}$ (કુલ $3$)$$\text{P(2 અને 6 વચ્ચેની)} = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$અયુગ્મ (એકી) સંખ્યા:અયુગ્મ સંખ્યાઓ $= \{1, 3, 5\}$ (કુલ $3$)$$\text{P(અયુગ્મ)} = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$

સાચો જવાબ:

• 
  

  કુલ પત્તાની સંખ્યા =52

  
  

1. 
   

   લાલ રંગનો રાજા:

   
   
   
   
   
   • 
     

     લાલ રંગના રાજા = 2 (ચોક્કટનો રાજા અને લાલનો રાજા)

     
     P=522​=261​
   
   
   
   


2. 
   

   મુખમુદ્રાવાળું (ચહેરાવાળું) પત્તું:

   
   
   
   
   
   • 
     

     મુખમુદ્રાવાળા પત્તા = 12 (ગુલામ, રાણી, રાજા દરેક રંગના 4-4)

     
     P=5212​=133​
   
   
   
   


3. 
   

   લાલ રંગનું મુખમુદ્રાવાળું પત્તું:

   
   
   
   
   
   • 
     

     લાલ રંગના મુખમુદ્રાવાળા પત્તા = 6 (લાલ અને ચોક્કટના ગુલામ, રાણી, રાજા)

     
     P=526​=263​
   
   
   
   


4. 
   

   લાલનો ગુલામ:

   
   
   
   
   
   • 
     

     લાલનો ગુલામ = 1

     
     P=521​
   
   
   
   


5. 
   

   કાળીનું પત્તું:

   
   
   
   
   
   • 
     

     કાળીના પત્તા = 13

     
     P=5213​=41​
   
   
   
   


6. 
   

   ચોક્કટની રાણી:

   
   
   
   
   
   • 
     

     ચોક્કટની રાણી = 1

     
     P=521​
   
   
   
   

સાચો જવાબ:

• 
  

  કુલ પત્તાની સંખ્યા =5

  
  

1. 
   

   પત્તું રાણીનું હશે તેની સંભાવના કેટલી?

   
   
   
   
   
   • 
     

     રાણીના પત્તાની સંખ્યા =1

     
     P(રાણી)=51​
   
   
   
   


2. 
   

   જો રાણીને કાઢીને એક બાજુ મૂકવામાં આવે અને બીજું પત્તું ખેંચવામાં આવે, તો:

   
   
   
   
   
   • 
     

     હવે બાકી રહેલા કુલ પત્તા =4 (દસ્સો, ગુલામ, રાજા, એક્કો)

     
     
   
   
   
   
   

   (a) એક્કો હોય તેની સંભાવના:

   
   P(એક્કો)=41​
   
   

   (b) રાણી હોય તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     રાણી તો પહેલેથી જ બહાર કાઢી લીધી છે, તેથી રાણીની સંખ્યા =0

     
     P(રાણી)=40​=0
   
   
   
   

સાચો જવાબ: પ્રશ્ન 16: ખામીવાળી 12 પેન આકસ્મિક રીતે 132 સારી પેન સાથે ભળી ગઈ છે. એવું શક્ય નથી કે કેવળ પેનને જોઈને જ કહી શકાય કે પેન ખામીયુક્ત છે કે નહિ. આ જથ્થામાંથી એક પેન યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. કાઢવામાં આવેલી પેન સારી છે તેની સંભાવના શોધો.

સાચો જવાબ:

• 
  
  
  
  • 
    

    કુલ ગોળા $= 20$

    
    
  
  
  • 
    

    ખામીયુક્ત ગોળા $= 4$

    
    
    

    $$\text{P(ખામીયુક્ત)} = \frac{4}{20} = \mathbf{\frac{1}{5}}$$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  ધારો કે (1) માં કાઢવામાં આવેલ ગોળો ખામીયુક્ત નથી અને તેને પાછો મૂકવામાં પણ નથી આવ્યો. હવે બાકીના ગોળામાંથી એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. આ ગોળો ખામીયુક્ત ન હોય (એટલે કે સારો હોય) તેની સંભાવના કેટલી?

  
  
  
  
  
  • 
    

    એક સારો ગોળો બહાર કાઢી લીધો છે, તેથી બાકી રહેલા કુલ ગોળા $= 20 - 1 = 19$

    
    
  
  
  • 
    

    બાકી રહેલા સારા (ખામીયુક્ત ન હોય તેવા) ગોળા $= 16 - 1 = 15$

    
    
    

    $$\text{P(ખામીયુક્ત ન હોય)} = \mathbf{\frac{15}{19}}$$

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  કુલ તક્તીઓની સંખ્યા =90

  
  

1. 
   

   બે આંકડાની સંખ્યા હોય તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     1 થી 90 માં બે આંકડાની સંખ્યાઓ =10 થી 90 (કુલ 81 સંખ્યાઓ)

     
     P=9081​=109​ અથવા 0.9
   
   
   
   


2. 
   

   પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ ={1,4,9,16,25,36,49,64,81} (કુલ 9 સંખ્યાઓ)

     
     P=909​=101​ અથવા 0.1
   
   
   
   


3. 
   

   5 વડે વિભાજ્ય સંખ્યા હોય તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     5 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ ={5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90} (કુલ 18 સંખ્યાઓ)

     
     P=9018​=51​
   
   
   
   

સાચો જવાબ:

કુલ સપાટીઓની સંખ્યા $= 6$A મળે તેની સંભાવના:A દર્શાવતી સપાટીઓની સંખ્યા $= 2$$$\text{P(A)} = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$D મળે તેની સંભાવના:D દર્શાવતી સપાટીની સંખ્યા $= 1$$$\text{P(D)} = \mathbf{\frac{1}{6}}$$

સાચો જવાબ:

• 
  

  લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ =લંબાઈ×પહોળાઈ=3 m×2 m=6 m2

  
  


• 
  

  વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) =2વ્યાસ​=21​ m

  
  


• 
  

  વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ =πr2=π×(21​)2=4π​ m2

  
  


• 
  

  સંભાવના:

  
  P=લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ​=64π​​=24π​

સાચો જવાબ: કુલ પેનની સંખ્યા $= 144$ખામીયુક્ત પેન $= 20$સારી પેન $= 144 - 20 = 124$તે પેન ખરીદશે તેની સંભાવના કેટલી?નુરી સારી પેન જ ખરીદશે, તેથી સાનુકૂળ પરિણામ $= 124$$$\text{P(ખરીદશે)} = \frac{124}{144} = \mathbf{\frac{31}{36}}$$તે પેન નહીં ખરીદે તેની સંભાવના કેટલી?જો પેન ખામીયુક્ત હશે તો તે નહીં ખરીદે, તેથી સાનુકૂળ પરિણામ $= 20$$$\text{P(નહીં ખરીદે)} = \frac{20}{144} = \mathbf{\frac{5}{36}}$$

સાચો જવાબ:

• 
  

  કુલ પરિણામોની સંખ્યા =6×6=36

  
  

1. 
   

   કોષ્ટક પૂર્ણ કરો (પાસા પરના અંકોનો સરવાળો):

   
   

સરવાળો	સાનુકૂળ પરિણામો	સંભાવના
2	(1,1) → 1	361​
3	(1,2), (2,1) → 2	362​
4	(1,3), (2,2), (3,1) → 3	363​
5	(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4	364​
6	(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5	365​
7	(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6	366​
8	(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5	365​
9	(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4	364​
10	(4,6), (5,5), (6,4) → 3	363​
11	(5,6), (6,5) → 2	362​
12	(6,6) → 1	361​

 

2. 
   

   એક વિદ્યાર્થી દલીલ કરે છે કે 11 શક્ય પરિણામો 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 અને 12 છે. તેમાંના પ્રત્યેકની સંભાવના 111​ છે. શું આપ આ દલીલ સાથે સમહત છો? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

   
   
   
   
   
   • 
     

     ઉત્તર: ના, આપણે આ દલીલ સાથે સંમત નથી.

     
     
   
   
   • 
     

     કારણ: આ 11 પરિણામો સમસંભાવી નથી. દરેક સરવાળો મળવાના સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા જુદી જુદી છે (જેમ કે સરવાળો 7 મળવાની સંભાવના 366​ છે, જ્યારે સરવાળો 2 મળવાની સંભાવના 361​ છે).

     
     
   
   
   
   

સાચો જવાબ:

• 
  

  સિક્કાને 3 વાર ઉછાળવાના કુલ શક્ય પરિણામો ($2^3 = 8$):

  
  $$\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$$


• 
  

  હનીફ જીતે તેવા પરિણામો: $\{HHH, TTT\}$ (કુલ $2$)

  
  


• 
  

  હનીફ હારે તેવા પરિણામો: કુલ પરિણામોમાંથી જીતવાના પરિણામો બાદ કરતાં $= 8 - 2 = 6$

  
  $$\{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}$$


• 
  

  સંભાવના:

  
  $$\text{P(હનીફ હારે)} = \frac{6}{8} = \mathbf{\frac{3}{4}}$$

સાચો જવાબ:

• 
  

  પાસાને બે વાર ફેંકવાના કુલ પરિણામો =36

  
  

1. 
   

   ઓછામાં ઓછી એક વાર 5 મળે તેવા પરિણામો:

   
   {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}
   
   
   
   
   • 
     

     આવા પરિણામોની સંખ્યા =11

     
     
   
   
   
   P(ઓછામાં ઓછી એક વાર 5 મળે)=3611​


2. 
   

   એકપણ વાર 5 ન મળે તેની સંભાવના:

   
   
   
   
   
   • 
     

     5 ન મળે તેવા પરિણામો =36−11=25

     
     
   
   
   
   P(એકપણ વાર 5 ન મળે)=3625​