chapter 3

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:ધારો કે:ભાગ લેનાર છોકરાઓની સંખ્યા = $x$ભાગ લેનાર છોકરીઓની સંખ્યા = $y$સમીકરણો બનાવવું:કુલ વિદ્યાર્થીઓ 10 છે:$$x + y = 10 \quad \text{--- (1)}$$છોકરીઓની સંખ્યા છોકરાઓ કરતાં 4 વધારે છે ($y - x = 4$ અથવા $y = x + 4$):$$-x + y = 4 \quad \text{--- (2)}$$આલેખ માટે બિંદુઓની ગણતરી:સમીકરણ (1) માટે ($y = 10 - x$):જો $x = 3$, તો $y = 10 - 3 = 7 \Rightarrow (3, 7)$જો $x = 5$, તો $y = 10 - 5 = 5 \Rightarrow (5, 5)$સમીકરણ (2) માટે ($y = x + 4$):જો $x = 0$, તો $y = 0 + 4 = 4 \Rightarrow (0, 4)$જો $x = 3$, તો $y = 3 + 4 = 7 \Rightarrow (3, 7)$આલેખ પરથી નિષ્કર્ષ:બંને રેખાઓ બિંદુ $(3, 7)$ આગળ પરસ્પર છેદે છે.જવાબ: છોકરાઓની સંખ્યા = 3 અને છોકરીઓની સંખ્યા = 7.(ii) 5 પેન્સિલ અને 7 પેનની કુલ કિંમત ₹ 50 છે અને તે જ કિંમતવાળી 7 પેન્સિલ તથા 5 પેનની કુલ કિંમત ₹ 46 છે, તો એક પેન્સિલ અને એક પેનની કિંમત શોધો.ઉકેલ:ધારો કે:1 પેન્સિલની કિંમત = ₹ $x$1 પેનની કિંમત = ₹ $y$સમીકરણો બનાવવું:5 પેન્સિલ અને 7 પેનની કિંમત ₹ 50:$$5x + 7y = 50 \quad \text{--- (1)}$$7 પેન્સિલ અને 5 પેનની કિંમત ₹ 46:$$7x + 5y = 46 \quad \text{--- (2)}$$આલેખ માટે બિંદુઓની ગણતરી:સમીકરણ (1) માટે ($y = \frac{50 - 5x}{7}$):જો $x = 3$, તો $y = \frac{50 - 15}{7} = 5 \Rightarrow (3, 5)$જો $x = 10$, તો $y = \frac{50 - 50}{7} = 0 \Rightarrow (10, 0)$સમીકરણ (2) માટે ($y = \frac{46 - 7x}{5}$):જો $x = 3$, તો $y = \frac{46 - 21}{5} = 5 \Rightarrow (3, 5)$જો $x = 8$, તો $y = \frac{46 - 56}{5} = -2 \Rightarrow (8, -2)$આલેખ પરથી નિષ્કર્ષ:બંને રેખાઓ બિંદુ $(3, 5)$ આગળ પરસ્પર છેદે છે.જવાબ: એક પેન્સિલની કિંમત = ₹ 3 અને એક પેનની કિંમત = ₹ 5.

સાચો જવાબ:

નિયમ યાદ રાખો:

1. 
   

   $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow$ છેદતી રેખાઓ (અનન્ય ઉકેલ)

   
   


2. 
   

   $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ સંપાતી રેખાઓ (અનંત ઉકેલ)

   
   


3. 
   

   $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ સમાંતર રેખાઓ (કોઈ ઉકેલ નથી)

   
   

(i) $5x - 4y + 8 = 0$ અને $7x + 6y - 9 = 0$

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{7}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}$

  
  
  

  અહીં, $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે.

    
    
  
  
  
  

(ii) $9x + 3y + 12 = 0$ અને $18x + 6y + 24 = 0$

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

  
  
  

  અહીં, $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: રેખાઓ સંપાતી છે.

    
    
  
  
  
  

(iii) $6x - 3y + 10 = 0$ અને $2x - y + 9 = 0$

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$

  
  
  

  અહીં, $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: રેખાઓ સમાંતર છે.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

(નોંધ: જે સમીકરણયુગ્મને ઉકેલ હોય તે સુસંગત કહેવાય, અને જેને એક પણ ઉકેલ ન હોય તે સુસંગત નથી.)

(i) $3x + 2y = 5 \Rightarrow 3x + 2y - 5 = 0$ ; $2x - 3y = 7 \Rightarrow 2x - 3y - 7 = 0$

• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$

  
  


• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow$ સુસંગત છે.

  
  

(ii) $2x - 3y = 8$ ; $4x - 6y = 9$

• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}$

  
  


• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ સુસંગત નથી.

  
  

(iii) $\frac{3}{2}x + \frac{5}{3}y = 7$ ; $9x - 10y = 14$

• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{5/3}{-10} = \frac{5}{-30} = -\frac{1}{6}$

  
  


• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow$ સુસંગત છે.

  
  

(iv) $5x - 3y = 11$ ; $-10x + 6y = -22$

• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{22} = -\frac{1}{2}$

  
  


• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ સુસંગત છે (અને અવલંબી છે).

  
  

(v) $\frac{4}{3}x + 2y = 8$ ; $2x + 3y = 12$

• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$

  
  


• 
  

  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ સુસંગત છે (અને અવલંબી છે).

  
  

સાચો જવાબ:

(i) $x + y = 5$, $2x + 2y = 10$

• 
  

  ચકાસણી: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

  
  


• 
  

  પરિણામ: સુસંગત છે (સંપાતી રેખાઓ - અનંત ઉકેલો છે).

  
  


• 
  

  ઉકેલ (આલેખ): બંને રેખાઓ એક જ બનશે (જેમ કે $(0,5)$ અને $(5,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા).

  
  

(ii) $x - y = 8$, $3x - 3y = 16$

• 
  

  ચકાસણી: $\frac{1}{3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$, પરંતુ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

  
  


• 
  

  પરિણામ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ સુસંગત નથી.

  
  

(iii) $2x + y - 6 = 0$, $4x - 2y - 4 = 0$

• 
  

  ચકાસણી: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

  
  


• 
  

  પરિણામ: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow$ સુસંગત છે (અનન્ય ઉકેલ મળે).

  
  


• 
  

  આલેખ પરથી ઉકેલ: બંને રેખાઓ બિંદુ $(2, 2)$ પર છેદશે. ($x = 2, y = 2$).

  
  

(iv) $2x - 2y - 2 = 0$, $4x - 4y - 5 = 0$

• 
  

  ચકાસણી: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$, $\frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$.

  
  


• 
  

  પરિણામ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ સુસંગત નથી.

  
  

સાચો જવાબ: ધારો કે:લંબચોરસની લંબાઈ = $x$ મીટરલંબચોરસની પહોળાઈ = $y$ મીટરશરતો મુજબ સમીકરણો:અર્ધપરિમિતિ ($x + y$) = 36 મીટર:$$x + y = 36 \quad \text{--- (1)}$$લંબાઈ, પહોળાઈ કરતાં 4 મીટર વધુ છે ($x = y + 4$):$$x - y = 4 \quad \text{--- (2)}$$ઉકેલ (બૈજિક/આલેખ):સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં:$$(x + y) + (x - y) = 36 + 4$$$$2x = 40 \Rightarrow x = 20\text{ મીટર}$$$x$ ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:$$20 + y = 36 \Rightarrow y = 16\text{ મીટર}$$જવાબ: બગીચાની લંબાઈ = 20 મીટર અને પહોળાઈ = 16 મીટર.

સાચો જવાબ: (i) છેદતી રેખાઓશરત: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$જવાબ (ઉદાહરણ): $5x + 2y - 9 = 0$ (અહીં $\frac{2}{5} \neq \frac{3}{2}$)(ii) સમાંતર રેખાઓશરત: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$જવાબ (ઉદાહરણ): $4x + 6y - 12 = 0$ (અહીં $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \neq \frac{-8}{-12}$)(iii) સંપાતી રેખાઓશરત: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$જવાબ (ઉદાહરણ): $4x + 6y - 16 = 0$ (પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે ગુણતાં)

સાચો જવાબ: ઉકેલ:સમીકરણ (1) $x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = x + 1$ ના બિંદુઓ:$x = 0 \Rightarrow y = 1 \rightarrow (0, 1)$$x = 2 \Rightarrow y = 3 \rightarrow (2, 3)$$x = -1 \Rightarrow y = 0 \rightarrow (-1, 0)$સમીકરણ (2) $3x + 2y - 12 = 0 \Rightarrow y = \frac{12 - 3x}{2}$ ના બિંદુઓ:$x = 0 \Rightarrow y = 6 \rightarrow (0, 6)$$x = 4 \Rightarrow y = 0 \rightarrow (4, 0)$$x = 2 \Rightarrow y = 3 \rightarrow (2, 3)$આલેખનું નિરૂપણ:બંને રેખાઓ પરસ્પર $(2, 3)$ બિંદુ પર છેદે છે.રેખા 1 x-અક્ષને $(-1, 0)$ પર છેદે છે.રેખા 2 x-અક્ષને $(4, 0)$ પર છેદે છે.જવાબ:રચાયેલા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના યામ $(2, 3)$, $(-1, 0)$ અને $(4, 0)$ છે.

સાચો જવાબ:

(i) x+y=14 અને x−y=4

• 
  

  ઉકેલ:

  
  x+y=14— (1)
  
  x−y=4— (2)
  

  સમીકરણ (2) પરથી x ને કર્તા બનાવતાં:

  
  x=y+4— (3)
  
  

  x ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  (y+4)+y=14
  
  2y+4=14
  
  2y=10⇒y=5
  

  y=5 ની કિંમત સમીકરણ (3) માં મૂકતાં:

  
  x=5+4⇒x=9
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: x=9,y=5

    
    
  
  
  
  

(ii) s−t=3 અને 3s​+2t​=6

• 
  

  ઉકેલ:

  
  s−t=3— (1)
  
  

  બીજા સમીકરણમાં લસાઅ 6 લઈને સાદુરૂપ આપતાં:

  
  62s+3t​=6⇒2s+3t=36— (2)
  
  

  સમીકરણ (1) પરથી s ને કર્તા બનાવતાં:

  
  s=t+3— (3)
  
  

  s ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં:

  
  2(t+3)+3t=36
  
  2t+6+3t=36
  
  5t=30⇒t=6
  

  t=6 ની કિંમત સમીકરણ (3) માં મૂકતાં:

  
  s=6+3⇒s=9
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: s=9,t=6

    
    
  
  
  
  

(iii) 3x−y=3 અને 9x−3y=9

• 
  

  ઉકેલ:

  
  3x−y=3— (1)
  
  9x−3y=9— (2)
  

  સમીકરણ (1) પરથી y ને કર્તા બનાવતાં:

  
  y=3x−3— (3)
  
  

  y ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં:

  
  9x−3(3x−3)=9
  
  9x−9x+9=9
  
  9=9(જે સત્ય વિધાન છે.)
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: આપેલ સમીકરણયુગ્મને અનંત ઉકેલો છે, જ્યાં y=3x−3 દર્શાવે છે.

    
    
  
  
  
  

(iv) 0.2x+0.3y=1.3 અને 0.4x+0.5y=2.3

• 
  

  ઉકેલ: બંને સમીકરણોને 10 વડે ગુણતાં દશાંશ ચિહ્ન નીકળી જશે:

  
  2x+3y=13— (1)
  
  4x+5y=23— (2)
  

  સમીકરણ (1) પરથી x ને કર્તા બનાવતાં:

  
  x=213−3y​— (3)
  
  

  x ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં:

  
  4(213−3y​)+5y=23
  
  2(13−3y)+5y=23
  
  26−6y+5y=23
  
  −y=23−26⇒−y=−3⇒y=3
  

  y=3 ની કિંમત સમીકરણ (3) માં મૂકતાં:

  
  x=213−3(3)​=213−9​=24​⇒x=2
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: x=2,y=3

    
    
  
  
  
  

(v) 2​x+3​y=0 અને 3​x−8​y=0

• 
  

  ઉકેલ:

  
  2​x+3​y=0— (1)
  
  3​x−8​y=0— (2)
  

  સમીકરણ (1) પરથી x ને કર્તા બનાવતાં:

  
  x=−2​3​​y— (3)
  

  x ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં:

  
  3​(−2​3​​y)−8​y=0
  
  −2​3​y−22​y=0
  
  y(−2​3​−22​)=0⇒y=0
  

  y=0 ની કિંમત સમીકરણ (3) માં મૂકતાં:

  
  x=0
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: x=0,y=0

    
    
  
  
  
  

(vi) 23x​−35y​=−2 અને 3x​+2y​=613​

• 
  

  ઉકેલ: લસાઅ લઈને સમીકરણોનું સાદુરૂપ આપતાં:

  
  
  
  
  
  • 
    

    પ્રથમ સમીકરણ (લસાઅ 6): 9x−10y=−12— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    બીજું સમીકરણ (લસાઅ 6): 2x+3y=13— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (2) પરથી x ને કર્તા બનાવતાં:

  
  x=213−3y​— (3)
  
  

  x ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  9(213−3y​)−10y=−12
  
  117−27y−20y=−24
  
  −47y=−141⇒y=3
  

  y=3 ની કિંમત સમીકરણ (3) માં મૂકતાં:

  
  x=213−3(3)​=24​⇒x=2
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: x=2,y=3

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

2x+3y=11— (1)

2x−4y=−24— (2)

સમીકરણ (1) પરથી 2x=11−3y⇒x=211−3y​

2x ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં:

(11−3y)−4y=−24

11−7y=−24⇒−7y=−35⇒y=5

y=5 ની કિંમત x=211−3(5)​ માં મૂકતાં:

x=211−15​=2−4​⇒x=−2

હવે, y=mx+3 માં x=−2 અને y=5 મૂકતાં:

5=m(−2)+3

5−3=−2m⇒2=−2m⇒m=−1

• 
  

  જવાબ: x=−2,y=5 અને m=−1.

  
  

સાચો જવાબ:

(i) બે સંખ્યાનો તફાવત 26 છે અને એક સંખ્યા બીજી સંખ્યાથી ત્રણ ગણી છે, તો તે બે સંખ્યા શોધો.

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે મોટી સંખ્યા = x અને નાની સંખ્યા = y.

    
    
  
  
  • 
    

    x−y=26— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    x=3y— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (2) ની x ની કિંમત (1) માં મૂકતાં:

  
  3y−y=26⇒2y=26⇒y=13
  
  

  y=13 ની કિંમત (2) માં મૂકતાં:

  
  x=3(13)=39
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: તે બે સંખ્યાઓ 39 અને 13 છે.

    
    
  
  
  
  

(ii) બે પૂરકકોણો પૈકી મોટો ખૂણો નાના ખૂણા કરતાં 18∘ મોટો હોય, તો તે પૂરકકોણો શોધો.

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે મોટો ખૂણો = x અને નાનો ખૂણો = y.

    
    
  
  
  • 
    

    પૂરકકોણોનો સરવાળો 180∘ થાય: x+y=180— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    શરત મુજબ: x−y=18⇒x=y+18— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  x ની કિંમત (1) માં મૂકતાં:

  
  (y+18)+y=180⇒2y=162⇒y=81∘
  
  

  y=81∘ ની કિંમત (2) માં મૂકતાં:

  
  x=81+18=99∘
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: પૂરકકોણોના માપ 99∘ અને 81∘ છે.

    
    
  
  
  
  

(iii) ક્રિકેટ ટીમના કોચે 7 બૅટ અને 6 દડાઓ ₹ 3800 માં ખરીદ્યા. પછીથી તેણે તે જ કિંમતવાળા 3 બૅટ અને 5 દડાઓ ₹ 1750 માં ખરીદ્યાં. તો એક બૅટની કિંમત અને એક દડાની કિંમત શોધો.

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે 1 બૅટની કિંમત = ₹ x અને 1 દડાની કિંમત = ₹ y.

    
    
  
  
  • 
    

    7x+6y=3800— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    3x+5y=1750— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (2) પરથી x=31750−5y​

  
  
  

  આ કિંમત (1) માં મૂકી સાદુરૂપ આપતાં:

  
  7(31750−5y​)+6y=3800
  
  12250−35y+18y=11400
  
  −17y=−850⇒y=50
  

  y=50 પરથી x:

  
  x=31750−5(50)​=31500​=500
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: એક બૅટની કિંમત = ₹ 500 અને એક દડાની કિંમત = ₹ 50.

    
    
  
  
  
  

(iv) એક શહેરમાં ટૅક્સીનું ભાડું નિશ્ચિત ભાડા અને કાપેલા અંતરના પ્રમાણમાં સંયુક્ત રીતે લેવાય છે. 10 કિમીના અંતર માટે ₹ 105 અને 15 કિમીની મુસાફરી માટે ₹ 155 ની ચુકવણી કરવી પડે છે. તો નિશ્ચિત ભાડું કેટલું અને પ્રતિ કિમીના દરે કેટલી કિંમત ચૂકવવી પડે ? મુસાફરે 25 કિમીની મુસાફરી માટે કેટલું ભાડું ચૂકવવું પડશે ?

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે નિશ્ચિત ભાડું = ₹ x અને પ્રતિ કિમી ભાડું = ₹ y.

    
    
  
  
  • 
    

    x+10y=105— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    x+15y=155— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (1) પરથી x=105−10y, તેને (2) માં મૂકતાં:

  
  (105−10y)+15y=155
  
  5y=50⇒y=10
  

  y=10 પરથી x=105−10(10)=5

  
  
  
  
  
  • 
    

    25 કિમી મુસાફરીનું ભાડું: x+25y=5+25(10)=5+250=255

    
    
  
  
  • 
    

    જવાબ: નિશ્ચિત ભાડું = ₹ 5, પ્રતિ કિમી ભાડું = ₹ 10, અને 25 કિમીનું કુલ ભાડું = ₹ 255.

    
    
  
  
  
  

(v) એક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેમાં 2 ઉમેરતાં તે 119​ બને છે. અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેમાં 3 ઉમેરતાં તે 65​ બને, તો તે અપૂર્ણાંક શોધો.

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે અંશ = x અને છેદ = y (અપૂર્ણાંક = yx​).

    
    
  
  
  • 
    

    શરત 1: y+2x+2​=119​⇒11x+22=9y+18⇒11x−9y=−4— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    શરત 2: y+3x+3​=65​⇒6x+18=5y+15⇒6x−5y=−3— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (1) અને (2) નો આદેશની રીતે ઉકેલ મેળવતાં x=7 અને y=9 મળશે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: માંગેલ અપૂર્ણાંક 97​ છે.

    
    
  
  
  
  

(vi) પાંચ વર્ષ પછી જેકબની ઉંમર તેના પુત્રની ઉંમર કરતાં ત્રણ ગણી હશે. પાંચ વર્ષ પહેલાં, જેકબની ઉંમર તેના પુત્રની ઉંમરથી સાત ગણી હોય, તો તેમની વર્તમાન ઉંમર શોધો.

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે જેકબની વર્તમાન ઉંમર = x વર્ષ અને તેના પુત્રની વર્તમાન ઉંમર = y વર્ષ.

    
    
  
  
  • 
    

    પાંચ વર્ષ પછી: (x+5)=3(y+5)⇒x−3y=10— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    પાંચ વર્ષ પહેલાં: (x−5)=7(y−5)⇒x−7y=−30— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (1) પરથી x=3y+10, તેને (2) માં મૂકતાં:

  
  (3y+10)−7y=−30⇒−4y=−40⇒y=10
  
  

  y=10 પરથી x=3(10)+10=40

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: જેકબની વર્તમાન ઉંમર 40 વર્ષ અને તેના પુત્રની વર્તમાન ઉંમર 10 વર્ષ છે.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

(i) x+y=5 અને 2x−3y=4

• 
  

  લોપની રીત:

  
  x+y=5— (1)
  
  2x−3y=4— (2)
  

  સમીકરણ (1) ને 3 વડે ગુણી તેમાં સમીકરણ (2) ઉમેરતાં:

  
  3(x+y)+(2x−3y)=3(5)+4
  
  3x+3y+2x−3y=15+4
  
  5x=19⇒x=519​
  

  x=519​ ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  519​+y=5⇒y=5−519​=525−19​⇒y=56​
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: x=519​,y=56​

    
    
  
  
  
  

(ii) 3x+4y=10 અને 2x−2y=2

• 
  

  લોપની રીત:

  
  3x+4y=10— (1)
  
  2x−2y=2— (2)
  

  સમીકરણ (2) ને 2 વડે ગુણી સમીકરણ (1) માં ઉમેરતાં:

  
  3x+4y+2(2x−2y)=10+2(2)
  
  3x+4y+4x−4y=10+4
  
  7x=14⇒x=2
  

  x=2 ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  3(2)+4y=10⇒6+4y=10⇒4y=4⇒y=1
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: x=2,y=1

    
    
  
  
  
  

(iii) 3x−5y−4=0 અને 9x=2y+7

• 
  

  પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

  
  3x−5y=4— (1)
  
  9x−2y=7— (2)


• 
  

  લોપની રીત: સમીકરણ (1) ને 3 વડે ગુણતાં:

  
  9x−15y=12— (3)
  
  

  સમીકરણ (3) માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતાં:

  
  (9x−15y)−(9x−2y)=12−7
  
  −13y=5⇒y=−135​
  

  y=−135​ ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  3x−5(−135​)=4
  
  3x+1325​=4⇒3x=4−1325​=1327​⇒x=139​
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: x=139​,y=−135​

    
    
  
  
  
  

(iv) 2x​+32y​=−1 અને x−3y​=3

• 
  

  સાંકળેલાં સમીકરણો (લસાઅ લઈને):

  
  3x+4y=−6— (1)
  
  3x−y=9— (2)


• 
  

  લોપની રીત: સમીકરણ (1) માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતાં:

  
  (3x+4y)−(3x−y)=−6−9
  
  5y=−15⇒y=−3
  

  y=−3 ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં:

  
  3x−(−3)=9⇒3x+3=9⇒3x=6⇒x=2
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: x=2,y=−3

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

(i) એક અપૂર્ણાંકના અંશમાં 1 ઉમેરતાં અને છેદમાંથી 1 બાદ કરતાં અપૂર્ણાંક કિંમત અતિસંક્ષિપ્તરૂપમાં 1 બને છે. જો માત્ર છેદમાં 1 ઉમેરતાં અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ 21​ બને, તો તે અપૂર્ણાંક શોધો.

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે અંશ = x અને છેદ = y (અપૂર્ણાંક = yx​).

    
    
  
  
  • 
    

    શરત 1: y−1x+1​=1⇒x+1=y−1⇒x−y=−2— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    શરત 2: y+1x​=21​⇒2x=y+1⇒2x−y=1— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં:

  
  (2x−y)−(x−y)=1−(−2)⇒x=3
  
  

  x=3 સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  3−y=−2⇒y=5
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: માગેલો અપૂર્ણાંક 53​ છે.

    
    
  
  
  
  

(ii) પાંચ વર્ષ પહેલાં, નૂરીની ઉંમર સોનુની ઉંમરથી ત્રણ ગણી હતી. દસ વર્ષ પછી નૂરીની ઉંમર સોનુની ઉંમરથી બે ગણી થશે, તો નૂરી અને સોનુની વર્તમાન ઉંમર કેટલી થશે ?

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે નૂરીની વર્તમાન ઉંમર = x વર્ષ અને સોનુની વર્તમાન ઉંમર = y વર્ષ.

    
    
  
  
  • 
    

    5 વર્ષ પહેલાં: x−5=3(y−5)⇒x−3y=−10— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    10 વર્ષ પછી: x+10=2(y+10)⇒x−2y=10— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં:

  
  (x−2y)−(x−3y)=10−(−10)⇒y=20
  
  

  y=20 સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  x−3(20)=−10⇒x−60=−10⇒x=50
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: નૂરીની વર્તમાન ઉંમર 50 વર્ષ અને સોનુની વર્તમાન ઉંમર 20 વર્ષ છે.

    
    
  
  
  
  

(iii) બે અંકોની સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 છે. વળી સંખ્યાના નવ ગણા કરતાં મળતી સંખ્યા એ અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળતી સંખ્યા કરતાં બે ગણી છે, તો તે સંખ્યા શોધો.

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે દશકનો અંક = x અને એકમનો અંક = y.

    
    
  
  
  • 
    

    મૂળ સંખ્યા = 10x+y

    
    
  
  
  • 
    

    અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળતી સંખ્યા = 10y+x

    
    
  
  
  • 
    

    શરત 1: x+y=9— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    શરત 2: 9(10x+y)=2(10y+x)

    
    90x+9y=20y+2x⇒88x−11y=0⇒8x−y=0— (2)
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં:

  
  (x+y)+(8x−y)=9+0⇒9x=9⇒x=1
  
  

  x=1 સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  1+y=9⇒y=8
  
  
  
  
  • 
    

    મૂળ સંખ્યા: 10(1)+8=18

    
    
  
  
  • 
    

    જવાબ: માગેલી સંખ્યા 18 છે.

    
    
  
  
  
  

(iv) મીના ₹ 2000 ઉપાડવા બૅન્કમાં ગઈ હતી. તેણે કૅશિયરને કહ્યું હતું કે મને માત્ર ₹ 50 અને ₹ 100 ની નોટો જ જોઈએ છે. મીનાને કુલ 25 નોટો મળી હતી. તો તેણે ₹ 50 અને ₹ 100 ની પ્રત્યેકની કેટલી કેટલી નોટો મેળવી હશે ?

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે ₹ 50 ની નોટોની સંખ્યા = x અને ₹ 100 ની નોટોની સંખ્યા = y.

    
    
  
  
  • 
    

    કુલ નોટો: x+y=25— (1)

    
    
  
  
  • 
    

    કુલ રકમ: 50x+100y=2000⇒x+2y=40— (2)

    
    
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં:

  
  (x+2y)−(x+y)=40−25⇒y=15
  
  

  y=15 સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  x+15=25⇒x=10
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: ₹ 50 ની નોટો = 10 અને ₹ 100 ની નોટો = 15.

    
    
  
  
  
  

(v) એક પ્રતિષ્ઠિત પુસ્તકાલય પ્રથમ ત્રણ દિવસનું એક પુસ્તકનું નિશ્ચિત ભાડું લે છે અને પછીના પ્રત્યેક દિવસ દીઠ અતિરિક્ત ભાડું લે છે. સરિતા સાત દિવસ પુસ્તક રાખવાના ₹ 27 ચૂકવે છે. સુસી પાંચ દિવસ પુસ્તક રાખવાના ₹ 21 ચૂકવે છે, તો નિશ્ચિત ભાડું અને પ્રત્યેક વધારાના દિવસનું ભાડું શોધો.

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે પ્રથમ 3 દિવસનું નિશ્ચિત ભાડું = ₹ x અને પછીના પ્રત્યેક દિવસનું વધારાનું ભાડું = ₹ y.

    
    
  
  
  • 
    

    સરિતા માટે (7 દિવસ = 3 દિવસ + 4 વધારાના દિવસ):

    
    x+4y=27— (1)
  
  
  • 
    

    સુસી માટે (5 દિવસ = 3 દિવસ + 2 વધારાના દિવસ):

    
    x+2y=21— (2)
  
  
  
  
  

  સમીકરણ (1) માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતાં:

  
  (x+4y)−(x+2y)=27−21⇒2y=6⇒y=3
  
  

  y=3 સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:

  
  x+4(3)=27⇒x+12=27⇒x=15
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: પ્રથમ ત્રણ દિવસનું નિશ્ચિત ભાડું = ₹ 15 અને પ્રત્યેક વધારાના દિવસનું ભાડું = ₹ 3.