chapter 4

સાચો જવાબ:

નોંધ: દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ ax2+bx+c=0 (a=0) છે.

• 
  

  (i) (x+1)2=2(x−3)

  
  x2+2x+1=2x−6
  
  x2+7=0
  

  આ ax2+bx+c=0 સ્વરૂપનું સમીકરણ છે (a=1=0).

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: હા, દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (ii) x2−2x=(−2)(3−x)

  
  x2−2x=−6+2x
  
  x2−4x+6=0
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: હા, દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (iii) (x−2)(x+1)=(x−1)(x+3)

  
  x2−x−2=x2+2x−3
  
  −3x+1=0
  

  અહીં x2 વાળું પદ દૂર થાય છે (a=0).

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: ના, દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (iv) (x−3)(2x+1)=x(x+5)

  
  2x2+x−6x−3=x2+5x
  
  x2−10x−3=0
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: હા, દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (v) (2x−1)(x−3)=(x+5)(x−1)

  
  2x2−7x+3=x2+4x−5
  
  x2−11x+8=0
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: હા, દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (vi) x2+3x+1=(x−2)2

  
  x2+3x+1=x2−4x+4
  
  7x−3=0
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: ના, દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (vii) (x+2)3=2x(x2−1)

  
  x3+6x2+12x+8=2x3−2x
  
  −x3+6x2+14x+8=0
  

  આ સમીકરણની મહત્તમ ઘાત 3 છે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: ના, દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (viii) x3−4x2−x+1=(x−2)3

  
  x3−4x2−x+1=x3−6x2+12x−8
  
  2x2−13x+9=0
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: હા, દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  (i) જમીનના એક લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી² છે. તેની લંબાઈ, પહોળાઈના બમણાથી 1 મીટર વધુ છે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે પહોળાઈ = x મીટર ⇒ લંબાઈ = (2x+1) મીટર.

    
    
  
  
  • 
    

    ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ ⇒x(2x+1)=528

    
    
  
  
  • 
    

    દ્વિઘાત સમીકરણ: 2x2+x−528=0

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (ii) બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર 306 છે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે બે ક્રમિક પૂર્ણાંકો x અને x+1 છે.

    
    
  
  
  • 
    

    ગુણાકાર = x(x+1)=306

    
    
  
  
  • 
    

    દ્વિઘાત સમીકરણ: x2+x−306=0

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (iii) રોહનની માતા તેના કરતાં 26 વર્ષ મોટાં છે. આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણાકાર 360 હશે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે રોહનની હાલની ઉંમર = x વર્ષ ⇒ માતાની ઉંમર = (x+26) વર્ષ.

    
    
  
  
  • 
    

    3 વર્ષ પછી: રોહનની ઉંમર = x+3, માતાની ઉંમર = x+29.

    
    
  
  
  • 
    

    (x+3)(x+29)=360⇒x2+32x+87=360

    
    
  
  
  • 
    

    દ્વિઘાત સમીકરણ: x2+32x−273=0

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (iv) એક ટ્રેન 480 કિમીનું અંતર અચળ ઝડપથી કાપે છે. જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય, તો આટલું જ અંતર કાપવા તે 3 કલાક વધુ લે છે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે ટ્રેનની સામાન્ય ઝડપ = x કિમી/કલાક.

    
    
  
  
  • 
    

    સમયનો તફાવત: x−8480​−x480​=3

    
    
  
  
  • 
    

    480(x(x−8)x−(x−8)​)=3⇒x2−8x480×8​=3⇒3840=3(x2−8x)

    
    
  
  
  • 
    

    દ્વિઘાત સમીકરણ: x2−8x−1280=0

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  (i) x2−3x−10=0

  
  (x−5)(x+2)=0⇒x=5 અથવા x=−2


• 
  

  (ii) 2x2+x−6=0

  
  2x2+4x−3x−6=0⇒2x(x+2)−3(x+2)=0
  
  (2x−3)(x+2)=0⇒x=23​ અથવા x=−2


• 
  

  (iii) 2​x2+7x+52​=0

  
  2​x2+2x+5x+52​=0⇒2​x(x+2​)+5(x+2​)=0
  
  (2​x+5)(x+2​)=0⇒x=−2​5​ અથવા x=−2​


• 
  

  (iv) 2x2−x+81​=0⇒16x2−8x+1=0

  
  (4x−1)2=0⇒x=41​,41​


• 
  

  (v) 100x2−20x+1=0

  
  (10x−1)2=0⇒x=101​,101​

સાચો જવાબ:

(i) લખોટીઓવાળો પ્રશ્ન (x2−45x+324=0)

• 
  

  ઉકેલ: મધ્યમ પદ −45x ના ભાગ: (−36)+(−9)=−45 અને (−36)×(−9)=324.

  
  x2−36x−9x+324=0
  
  x(x−36)−9(x−36)=0
  
  (x−36)(x−9)=0
  
  ⇒x=36 અથવા x=9
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: શરૂઆતમાં એક પાસે 36 અને બીજા પાસે 9 લખોટીઓ હતી.

    
    
  
  
  
  

(ii) રમકડાંવાળો પ્રશ્ન (x2−55x+750=0)

• 
  

  ઉકેલ: મધ્યમ પદ −55x ના ભાગ: (−30)+(−25)=−55 અને (−30)×(−25)=750.

  
  x2−30x−25x+750=0
  
  x(x−30)−25(x−30)=0
  
  (x−30)(x−25)=0
  
  ⇒x=30 અથવા x=25
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા 30 અથવા 25 છે.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા = $x$

  
  


• 
  

  તો બીજી સંખ્યા = $27 - x$

  
  

બંનેનો ગુણાકાર $182$ છે:

$$x(27 - x) = 182$$

$$27x - x^2 = 182$$

$$x^2 - 27x + 182 = 0$$

અવયવ પાડતાં: $(-14) + (-13) = -27$ અને $(-14) \times (-13) = 182$.

$$x^2 - 14x - 13x + 182 = 0$$

$$x(x - 14) - 13(x - 14) = 0$$

$$(x - 14)(x - 13) = 0$$

$$x = 14 \quad \text{અથવા} \quad x = 13$$

• 
  

  જવાબ: તે બે સંખ્યાઓ 13 અને 14 છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  ધારો કે પ્રથમ ધન પૂર્ણાંક = x

  
  


• 
  

  તેની ક્રમિક સંખ્યા = x+1

  
  

શરત મુજબ:

x2+(x+1)2=365

x2+(x2+2x+1)=365

2x2+2x+1−365=0

2x2+2x−364=0

આખા સમીકરણને 2 વડે ભાગતાં:

x2+x−182=0

અવયવ પાડતાં: (+14)×(−13)=−182 અને 14−13=1.

x2+14x−13x−182=0

x(x+14)−13(x+14)=0

(x+14)(x−13)=0

x=−14 (જે શક્ય નથી, કારણ કે ધન પૂર્ણાંક કહ્યા છે) અથવા x=13.

• 
  

  પ્રથમ સંખ્યા x=13

  
  


• 
  

  બીજી સંખ્યા x+1=13+1=14

  
  


• 
  

  જવાબ: માંગેલી સંખ્યાઓ 13 અને 14 છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  ધારો કે પાયો = x સેમી

  
  


• 
  

  વેધ (ઊંચાઈ) = (x−7) સેમી

  
  


• 
  

  કર્ણ = 13 સેમી

  
  

પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: (પાયો)2+(વેધ)2=(કર્ણ)2

x2+(x−7)2=132

x2+(x2−14x+49)=169

2x2−14x+49−169=0

2x2−14x−120=0

2 વડે ભાગતાં:

x2−7x−60=0

અવયવ પાડતાં: (−12)×(+5)=−60 અને (−12)+5=−7.

x2−12x+5x−60=0

x(x−12)+5(x−12)=0

(x−12)(x+5)=0

x=−5 (અંતર ઋણ ન હોઈ શકે) તેથી x=12.

• 
  

  પાયો = 12 સેમી

  
  


• 
  

  વેધ = 12−7=5 સેમી

  
  


• 
  

  જવાબ: બાકીની બે બાજુઓ 12 સેમી અને 5 સેમી છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  ધારો કે ઉત્પાદિત વસ્તુઓની સંખ્યા = x

  
  


• 
  

  પ્રત્યેક વસ્તુની કિંમત = ₹ (2x+3)

  
  

કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ = વસ્તુઓની સંખ્યા × એક વસ્તુની કિંમત:

x(2x+3)=90

2x2+3x=90

2x2+3x−90=0

અહીં a×c=2×(−90)=−180. મધ્યમ પદ +3x ના ભાગ: (+15)×(−12)=−180.

2x2+15x−12x−90=0

2x2−12x+15x−90=0

2x(x−6)+15(x−6)=0

(2x+15)(x−6)=0

2x+15=0⇒x=−215​ (વસ્તુઓની સંખ્યા અતિરિક્ત/ઋણ ન હોઈ શકે) અથવા x−6=0⇒x=6.

• 
  

  વસ્તુઓની સંખ્યા (x) = 6

  
  


• 
  

  પ્રત્યેક વસ્તુની કિંમત = 2(6)+3=12+3= ₹ 15

  
  


• 
  

  જવાબ: ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા 6 અને પ્રત્યેક વસ્તુની કિંમત ₹ 15 છે.

  
  

સાચો જવાબ:

વિવેચકનું સૂત્ર: D=b2−4ac

દ્વિઘાત સૂત્ર: x=2a−b±D​​

(i) 2x2−3x+5=0

• 
  

  ઉકેલ: અહીં a=2, b=−3, અને c=5 છે.

  
  D=b2−4ac
  
  D=(−3)2−4(2)(5)=9−40=−31
  

  અહીં D<0 છે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: આપેલ સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

    
    
  
  
  
  

(ii) 3x2−43​x+4=0

• 
  

  ઉકેલ: અહીં a=3, b=−43​, અને c=4 છે.

  
  D=b2−4ac
  
  D=(−43​)2−4(3)(4)=(16×3)−48=48−48=0
  

  અહીં D=0 હોવાથી સમીકરણને બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળશે.

  
  x=2a−b​=2(3)−(−43​)​=643​​=323​​=3​2​
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: આપેલ સમીકરણના સમાન વાસ્તવિક બીજ 3​2​ અને 3​2​ છે.

    
    
  
  
  
  

(iii) 2x2−6x+3=0

• 
  

  ઉકેલ: અહીં a=2, b=−6, અને c=3 છે.

  
  D=b2−4ac
  
  D=(−6)2−4(2)(3)=36−24=12
  

  અહીં D>0 હોવાથી સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળશે.

  
  x=2a−b±D​​
  
  x=2(2)−(−6)±12​​=46±23​​=42(3±3​)​=23±3​​
  
  
  
  • 
    

    જવાબ: માંગેલા ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ 23+3​​ અને 23−3​​ છે.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

(i) 2x2+kx+3=0

• 
  

  ઉકેલ: અહીં a=2, b=k, અને c=3 છે.

  
  D=b2−4ac=0
  
  k2−4(2)(3)=0
  
  k2−24=0
  
  k2=24⇒k=±24​=±4×6​
  
  k=±26​

(ii) kx(x−2)+6=0

• 
  

  ઉકેલ: સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતાં:

  
  kx2−2kx+6=0
  
  

  અહીં a=k, b=−2k, અને c=6 છે.

  
  D=b2−4ac=0
  
  (−2k)2−4(k)(6)=0
  
  4k2−24k=0
  
  4k(k−6)=0
  

  અહીં 4k=0⇒k=0 (જે શક્ય નથી, કારણ કે દ્વિઘાત સમીકરણમાં a=0 હોવું જોઈએ).

  
  
  

  તેથી k−6=0⇒k=6.

  
  

સાચો જવાબ: ઉકેલ:ધારો કે આંબાવાડીની પહોળાઈ = $x$ મીટરઆથી લંબાઈ = $2x$ મીટરક્ષેત્રફળ = લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ$$(2x)(x) = 800$$$$2x^2 = 800 \Rightarrow x^2 = 400$$$$x^2 - 400 = 0$$વિવેચક ચકાસતાં ($a = 1, b = 0, c = -400$):$$D = 0^2 - 4(1)(-400) = 1600 > 0$$ધન વાસ્તવિક ઉકેલ શક્ય છે, તેથી:$$x = \sqrt{400} = 20 \text{ મીટર}$$પહોળાઈ ($x$) = $20\text{ m}$લંબાઈ ($2x$) = $2(20) =$ $40\text{ m}$જવાબ: હા, આવી આંબાવાડી બનાવવી શક્ય છે. તેની પહોળાઈ $20\text{ m}$ અને લંબાઈ $40\text{ m}$ થશે.

સાચો જવાબ: ઉકેલ:ધારો કે પ્રથમ મિત્રની હાલની ઉંમર = $x$ વર્ષબીજા મિત્રની હાલની ઉંમર = $(20 - x)$ વર્ષ4 વર્ષ પહેલાં:પ્રથમ મિત્રની ઉંમર = $(x - 4)$ વર્ષબીજા મિત્રની ઉંમર = $(20 - x - 4) = (16 - x)$ વર્ષઆપેલી શરત મુજબ ગુણાકાર:$$(x - 4)(16 - x) = 48$$$$16x - x^2 - 64 + 4x = 48$$$$-x^2 + 20x - 64 = 48$$$$-x^2 + 20x - 112 = 0 \Rightarrow x^2 - 20x + 112 = 0$$હવે, આ સમીકરણના વિવેચક ($D$) ની કિંમત ચકાસીએ ($a = 1, b = -20, c = 112$):$$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48$$અહીં $D < 0$ (ઋણ) આવે છે, આથી આ સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.જવાબ: ના, આ પરિસ્થિતિ શક્ય નથી.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  લંબચોરસની પરિમિતિ = 2(લંબાઈ+પહોળાઈ)=80 m

  
  


• 
  

  લંબાઈ + પહોળાઈ = 40 m

  
  


• 
  

  ધારો કે પહોળાઈ = x મીટર

  
  


• 
  

  તો લંબાઈ = (40−x) મીટર

  
  

ક્ષેત્રફળ = 400 m2 હોવાથી:

x(40−x)=400

40x−x2=400

x2−40x+400=0

વિવેચક ચકાસતાં (a=1,b=−40,c=400):

D=b2−4ac=(−40)2−4(1)(400)=1600−1600=0

અહીં D=0 છે, એટલે કે વાસ્તવિક અને સમાન બીજ મળશે.

x=2a−b​=2(1)−(−40)​=240​=20 m

• 
  

  પહોળાઈ (x) = 20 m

  
  


• 
  

  લંબાઈ (40−x) = 40−20= 20 m

  
  


• 
  

  જવાબ: હા, આવો બગીચો બનાવવો શક્ય છે. (જે ચોરસ આકારનો બનશે) અને તેની લંબાઈ તથા પહોળાઈ બંને 20 m થશે.