chapter 5
ધોરણ 10 | విષય: Maths
(i) પ્રથમ કિલોમીટર માટે ટેક્સી ભાડું ₹ 15 અને પછીના દરેક કિલોમીટર માટે ₹ 8 છે.
ગણતરી:
1 કિમીનું ભાડું (a1) = ₹ 15
2 કિમીનું ભાડું (a2) = 15+8= ₹ 23
3 કિમીનું ભાડું (a3) = 23+8= ₹ 31
4 કિમીનું ભાડું (a4) = 31+8= ₹ 39
શ્રેણી: 15,23,31,39,…
તફાવત: a2−a1=8, a3−a2=8 (સામાન્ય તફાવત d=8 અચળ છે)
જવાબ: હા, આ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
(ii) નળાકારમાં રહેલી દવાનું પ્રમાણ (હવા) - વેક્યૂમ પંપ દર વખતે નળાકારની બાકી રહેલી હવાનો 41 ભાગ બહાર કાઢે છે.
ગણતરી:
ધારો કે શરૂઆતમાં હવાનું પ્રમાણ V છે.
1 લી વાર પંપ માર્યા પછી બાકી હવા: V−41V=43V
2 જી વાર પંપ માર્યા પછી બાકી હવા: 43V−41(43V)=169V
શ્રેણી: V,43V,169V,…
તફાવત: a2−a1=−41V, જ્યારે a3−a2=−163V (તફાવત સમાન નથી)
જવાબ: ના, આ સમાંતર શ્રેણી બનાવતું નથી.
(iii) એક કૂવો ખોદવા માટે પ્રથમ મીટરના ₹ 150 અને પછીના દરેક મીટર દીઠ ₹ 50 વધે છે.
ગણતરી:
1 મીટરનો ખર્ચ (a1) = ₹ 150
2 મીટરનો ખર્ચ (a2) = 150+50= ₹ 200
3 મીટરનો ખર્ચ (a3) = 200+50= ₹ 250
શ્રેણી: 150,200,250,…
તફાવત: a2−a1=50, a3−a2=50 (સામાન્ય તફાવત d=50 અચળ છે)
જવાબ: હા, આ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
(iv) ₹ 10,000 ની રકમ પર 8% વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે ખાતામાં જમા થતી રકમ.
ગણતરી:
પ્રથમ વર્ષની રકમ = 10,000
બીજા વર્ષની રકમ = 10000(1+1008)=10800
ત્રીજા વર્ષની રકમ = 10000(1+1008)2=11664
તફાવત: ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ દર વર્ષે બદલાય છે, જેથી ક્રમિક પદોનો તફાવત સરખો રહેતો નથી.
જવાબ: ના, આ સમાંતર શ્રેણી બનાવતું નથી.
શ્રેણીના પદો: a,a+d,a+2d,a+3d
a=10,d=10
પદો: 10,20,30,40
a=−2,d=0
પદો: −2,−2,−2,−2
a=4,d=−3
પદો: 4,1,−2,−5
a=−1,d=21
પદો: −1,−21,0,21
a=−1.25,d=−0.25
પદો: −1.25,−1.50,−1.75,−2.00
3,1,−1,−3,…
પ્રથમ પદ a=3
સામાન્ય તફાવત d=1−3=−2
−5,−1,3,7,…
પ્રથમ પદ a=−5
સામાન્ય તફાવત d=−1−(−5)=4
31,35,39,313,…
પ્રથમ પદ a=31
સામાન્ય તફાવત d=35−31=34
0.6,1.7,2.8,3.9,…
પ્રથમ પદ a=0.6
સામાન્ય તફાવત d=1.7−0.6=1.1
(i) 2,4,8,16,…
a2−a1=2, a3−a2=4 (સમાન નથી) → સમાંતર શ્રેણી નથી.
(ii) 2,25,3,27,…
d=25−2=21 (સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
d=21
પછીના 3 પદો: 4,29,5
(iii) −1.2,−3.2,−5.2,−7.2,…
d=−3.2−(−1.2)=−2 (સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
d=−2
પછીના 3 પદો: −9.2,−11.2,−13.2
(iv) −10,−6,−2,2,…
d=−6−(−10)=4 (સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
d=4
પછીના 3 પદો: 6,10,14
(v) 3,3+2
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="1.08em" viewBox="0 0 400000 1080" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M95,702<br />
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14<br />
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54<br />
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10<br />
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429<br />
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221<br />
l0 -0<br />
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14<br />
H400000v40H845.2724<br />
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7<br />
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z<br />
M834 80h400000v40h-400000z"></path></svg>)
,3+22,3+32,…
d=(3+2
)−3=2 (સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
d=2
પછીના 3 પદો: 3+42
,3+52,3+62
(vi) 0.2,0.22,0.222,0.2222,…
a2−a1=0.02, a3−a2=0.002 (સમાન નથી) → સમાંતર શ્રેણી નથી.
(vii) 0,−4,−8,−12,…
d=−4−0=−4 (સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
d=−4
પછીના 3 પદો: −16,−20,−24
(viii) −21,−21,−21,−21,…
d=0 (સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
d=0
પછીના 3 પદો: −21,−21,−21
(ix) 1,3,9,27,…
3−1=2, 9−3=6 (સમાન નથી) → સમાંતર શ્રેણી નથી.
(x) a,2a,3a,4a,…
d=a (સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
d=a
પછીના 3 પદો: 5a,6a,7a
(xi) a,a2,a3,a4,…
a2−a=a3−a2 → સમાંતર શ્રેણી નથી.
(xii) 2
,8,18,32,…
આને લખી શકાય: 2
,22,32,42,…
d=2
(સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીના 3 પદો: 52
=50, 62=72, 72=98
(xiii) 3
,6,9,12,…
6
−3=9−6 → સમાંતર શ્રેણી નથી.
(xiv) 12,32,52,72,⋯⇒1,9,25,49,…
9−1=8, 25−9=16 (સમાન નથી) → સમાંતર શ્રેણી નથી.
(xv) 12,52,72,73,⋯⇒1,25,49,73,…
25−1=24, 49−25=24, 73−49=24
d=24 (સમાન છે) → સમાંતર શ્રેણી છે.
પછીના 3 પદો: 97,121,145
a=7,d=3,n=8, an=?
a8=7+(8−1)3=7+(7×3)=7+21=28
a=−18,n=10,an=0, d=?
0=−18+(10−1)d⇒18=9d⇒d=2
d=−3,n=18,an=−5, a=?
−5=a+(18−1)(−3)⇒−5=a+17(−3)⇒−5=a−51⇒a=46
a=−18.9,d=2.5,an=3.6, n=?
3.6=−18.9+(n−1)2.5⇒22.5=(n−1)2.5⇒n−1=9⇒n=10
a=3.5,d=0,n=105, an=?
a105=3.5+(105−1)0=3.5
(i) સમાંતર શ્રેણી 10,7,4,… નું 30-મું પદ શોધો.
અહીં a=10,d=7−10=−3,n=30
a30=10+(30−1)(−3)=10+29(−3)=10−87=−77
(ii) સમાંતર શ્રેણી −3,−21,2,… નું 11-મું પદ શોધો.
અહીં a=−3,d=−21−(−3)=−21+3=25,n=11
a11=−3+(11−1)(25)=−3+10(25)=−3+25=22
2,□,26
a=2,a3=26
a3=a+2d⇒26=2+2d⇒2d=24⇒d=12
વચ્ચેનું પદ a2=2+12=14
□,13,□,3
a2=a+d=13 --- (સમીકરણ 1)
a4=a+3d=3 --- (સમીકરણ 2)
સમીકરણ 2 માંથી 1 બાદ કરતા: 2d=−10⇒d=−5
d ની કિંમત મૂકતાં: a+(−5)=13⇒a=18
ખાલી ખાના: a1=18 અને a3=13−5=8
5,□,□,921
a=5,a4=219
5+3d=219⇒3d=219−5=29⇒d=23
પદો: a2=5+23=621 અને a3=6.5+1.5=8
a=3,d=5,an=78
78=3+(n−1)5
75=(n−1)5⇒n−1=15⇒n=16
જવાબ: 16-મું પદ 78 થાય.
(i) 7, 13, 19, ..., 205
a=7,d=13−7=6,an=205a=7,d=13−7=6,an=205
an=a+(n−1)dan=a+(n−1)d
205=7+(n−1)6205=7+(n−1)6
205−7=(n−1)6205−7=(n−1)6
198=(n−1)6198=(n−1)6
1986=n−16198=n−1
33=n−133=n−1
n=33+1n=33+1
n=34n=34
(ii) 18, 15.5, 13, ..., -47
a=18,d=15.5−18=−2.5,an=−47a=18,d=15.5−18=−2.5,an=−47
an=a+(n−1)dan=a+(n−1)d
−47=18+(n−1)(−2.5)−47=18+(n−1)(−2.5)
−47−18=(n−1)(−2.5)−47−18=(n−1)(−2.5)
−65=(n−1)(−2.5)−65=(n−1)(−2.5)
−65−2.5=n−1−2.5−65=n−1
26=n−126=n−1
n=26+1n=26+1
n=27n=27
a=11,d=8−11=−3,an=−150
−150=11+(n−1)(−3)−150=11+(n−1)(−3)
−150−11=(n−1)(−3)−150−11=(n−1)(−3)
−161=(n−1)(−3)−161=(n−1)(−3)
n−1=1613=53.66n−1=3161=53.66
n=54.66n=54.66
અહીં
nn
ધન પૂર્ણાંક નથી, તેથી -150 એ શ્રેણીનું પદ નથી.
a+10d=38
--- (1)
a+15d=73a+15d=73
--- (2)
સમીકરણ (2) - (1) કરતા:
5d=35⇒d=75d=35⇒d=7
dd
ની કિંમત (1) માં મૂકતા:
a+10(7)=38⇒a+70=38⇒a=−32a+10(7)=38⇒a+70=38⇒a=−32
a31=a+30da31=a+30d
a31=−32+30(7)=−32+210a31=−32+30(7)=−32+210
a31=178a31=178
n=50,a3=12,a50=106
a+2d=12a+2d=12
--- (1)
a+49d=106a+49d=106
--- (2)
સમીકરણ (2) - (1) કરતા:
47d=94⇒d=247d=94⇒d=2
a+2(2)=12⇒a+4=12⇒a=8a+2(2)=12⇒a+4=12⇒a=8
a29=a+28d=8+28(2)=8+56a29=a+28d=8+28(2)=8+56
a29=64a29=64
a+2d=4
--- (1)
a+8d=−8a+8d=−8
--- (2)
સમીકરણ (2) - (1) કરતા:
6d=−12⇒d=−26d=−12⇒d=−2
a+2(−2)=4⇒a−4=4⇒a=8a+2(−2)=4⇒a−4=4⇒a=8
an=0⇒8+(n−1)(−2)=0an=0⇒8+(n−1)(−2)=0
−2(n−1)=−8⇒n−1=4⇒n=5−2(n−1)=−8⇒n−1=4⇒n=5
ઉત્તર: 5 મું પદ 0 થાય.
a17=a10+7
(a+16d)=(a+9d)+7(a+16d)=(a+9d)+7
16d−9d=716d−9d=7
7d=77d=7
d=1d=1
a=3,d=12
an=a54+132an=a54+132
a+(n−1)d=a+53d+132a+(n−1)d=a+53d+132
(n−1)12=53(12)+132(n−1)12=53(12)+132
(n−1)12=636+132(n−1)12=636+132
(n−1)12=768(n−1)12=768
n−1=76812=64n−1=12768=64
n=65n=65
a,a+d...a,a+d...
અને
b,b+d...b,b+d...
છે.
(a+99d)−(b+99d)=100⇒a−b=100(a+99d)−(b+99d)=100⇒a−b=100
1000 મા પદનો તફાવત
=(a+999d)−(b+999d)=(a+999d)−(b+999d)
=a−b=a−b
ઉત્તર: તફાવત 100 જ રહેશે.
a=105,d=7,an=994a=105,d=7,an=994
994=105+(n−1)7994=105+(n−1)7
889=(n−1)7⇒n−1=127⇒n=128889=(n−1)7⇒n−1=127⇒n=128
ઉત્તર: 128 સંખ્યાઓ.
a=12,d=4,an=248a=12,d=4,an=248
248=12+(n−1)4248=12+(n−1)4
236=(n−1)4⇒n−1=59⇒n=60236=(n−1)4⇒n−1=59⇒n=60
ઉત્તર: 60 ગુણિત.
63+(n−1)263+(n−1)2
શ્રેણી 2:
3+(n−1)73+(n−1)7
63+2n−2=3+7n−763+2n−2=3+7n−7
61+2n=7n−461+2n=7n−4
61+4=7n−2n61+4=7n−2n
65=5n⇒n=1365=5n⇒n=13
n=13n=13
a3=16⇒a+2d=16
--- (1)
a7=a5+12⇒a+6d=a+4d+12a7=a5+12⇒a+6d=a+4d+12
2d=12⇒d=62d=12⇒d=6
d=6d=6
ની કિંમત (1) માં મૂકતા:
a+2(6)=16⇒a+12=16⇒a=4a+2(6)=16⇒a+12=16⇒a=4
શ્રેણી: 4, 10, 16, 22, ...
a=253,d=248−253=−5,n=20a=253,d=248−253=−5,n=20
a20=a+19d=253+19(−5)a20=a+19d=253+19(−5)
a20=253−95a20=253−95
a20=158a20=158
(a+3d)+(a+7d)=24⇒2a+10d=24⇒a+5d=12
--- (1)
(a+5d)+(a+9d)=44⇒2a+14d=44⇒a+7d=22(a+5d)+(a+9d)=44⇒2a+14d=44⇒a+7d=22
--- (2)
સમીકરણ (2) - (1) કરતા:
2d=10⇒d=52d=10⇒d=5
a+5(5)=12⇒a+25=12⇒a=−13a+5(5)=12⇒a+25=12⇒a=−13
પ્રથમ ત્રણ પદ: -13, -8, -3.
a=5000,d=200,an=7000
7000=5000+(n−1)2007000=5000+(n−1)200
2000=(n−1)200⇒n−1=10⇒n=112000=(n−1)200⇒n−1=10⇒n=11
ઉત્તર: 11 મા વર્ષે.
a=5,d=1.75,an=20.75
20.75=5+(n−1)1.7520.75=5+(n−1)1.75
15.75=(n−1)1.7515.75=(n−1)1.75
n−1=15.751.75=9⇒n=10n−1=1.7515.75=9⇒n=10
n=10n=10
Sn=n2[2a+(n−1)d]Sn=2n[2a+(n−1)d]
Sn=n2[a+l]Sn=2n[a+l]
(જ્યારે અંતિમ પદ
ll
આપેલ હોય)
(i) 2, 7, 12, ... 10 પદ સુધી
a=2,d=7−2=5,n=10a=2,d=7−2=5,n=10
S10=102[2(2)+(10−1)5]S10=210[2(2)+(10−1)5]
S10=5[4+9(5)]S10=5[4+9(5)]
S10=5[4+45]S10=5[4+45]
S10=5[49]S10=5[49]
S10=245S10=245
(ii) -37, -33, -29, ... 12 પદ સુધી
a=−37,d=−33−(−37)=4,n=12a=−37,d=−33−(−37)=4,n=12
S12=122[2(−37)+(12−1)4]S12=212[2(−37)+(12−1)4]
S12=6[−74+11(4)]S12=6[−74+11(4)]
S12=6[−74+44]S12=6[−74+44]
S12=6[−30]S12=6[−30]
S12=−180S12=−180
a=7,d=3.5,an=84a=7,d=3.5,an=84
84=7+(n−1)3.584=7+(n−1)3.5
77=(n−1)3.5⇒n−1=22⇒n=2377=(n−1)3.5⇒n−1=22⇒n=23
S23=232[7+84]S23=223[7+84]
S23=232[91]=20932S23=223[91]=22093
S23=1046.5S23=1046.5
(i)
a=5,d=3,an=50a=5,d=3,an=50
આપેલ હોય, તો
nn
અને
SnSn
શોધો.
50=5+(n−1)350=5+(n−1)3
45=(n−1)3⇒n−1=15⇒n=1645=(n−1)3⇒n−1=15⇒n=16
S16=162[5+50]S16=216[5+50]
S16=8[55]S16=8[55]
S16=440S16=440
(ii)
a=7,a13=35a=7,a13=35
આપેલ હોય, તો
dd
અને
S13S13
શોધો.
35=7+12d35=7+12d
28=12d⇒d=281228=12d⇒d=1228
d=73d=37
S13=132[7+35]S13=213[7+35]
S13=132[42]=13×21S13=213[42]=13×21
S13=273S13=273
(iv)
a3=15,S10=125a3=15,S10=125
આપેલ હોય, તો
dd
અને
a10a10
શોધો.
a+2d=15⇒a=15−2da+2d=15⇒a=15−2d
--- (1)
S10=102[2a+9d]=125S10=210[2a+9d]=125
5[2(15−2d)+9d]=1255[2(15−2d)+9d]=125
30−4d+9d=2530−4d+9d=25
5d=−5⇒d=−15d=−5⇒d=−1
a=15−2(−1)=17a=15−2(−1)=17
a10=17+9(−1)a10=17+9(−1)
a10=8a10=8
a=9,d=8,Sn=636
636=n2[2(9)+(n−1)8]636=2n[2(9)+(n−1)8]
636=n2[18+8n−8]636=2n[18+8n−8]
636=n2[10+8n]636=2n[10+8n]
636=n(5+4n)⇒4n2+5n−636=0636=n(5+4n)⇒4n2+5n−636=0
અવયવ પાડતા:
(4n+53)(n−12)=0(4n+53)(n−12)=0
n=12n=12
(
nn
ઋણ ન હોઈ શકે)
ઉત્તર: 12 પદો.
a=5,l=45,Sn=400
400=n2[5+45]400=2n[5+45]
400=n2[50]⇒400=25n400=2n[50]⇒400=25n
n=16n=16
45=5+(16−1)d45=5+(16−1)d
40=15d⇒d=401540=15d⇒d=1540
d=83d=38
a=6,d=6,n=40a=6,d=6,n=40
S40=402[2(6)+39(6)]S40=240[2(6)+39(6)]
S40=20[12+234]S40=20[12+234]
S40=20[246]S40=20[246]
S40=4920S40=4920
a=8,d=8,n=15a=8,d=8,n=15
S15=152[2(8)+14(8)]S15=215[2(8)+14(8)]
S15=152[16+112]S15=215[16+112]
S15=152[128]=15×64S15=215[128]=15×64
S15=960S15=960
a=200,d=50,n=30
S30=302[2(200)+29(50)]S30=230[2(200)+29(50)]
S30=15[400+1450]S30=15[400+1450]
S30=15[1850]S30=15[1850]
S30=27750S30=27750
ઉત્તર: કુલ દંડ ₹ 27,750.
પ્રથમ બટાકા માટે અંતર
=2×5=10=2×5=10
મીટર
બીજા બટાકા માટે અંતર
=2×(5+3)=16=2×(5+3)=16
મીટર
શ્રેણી: 10, 16, 22, ... (10 પદ)
a=10,d=6,n=10a=10,d=6,n=10
S10=102[2(10)+9(6)]S10=210[2(10)+9(6)]
S10=5[20+54]S10=5[20+54]
S10=5[74]S10=5[74]
S10=370S10=370
મીટર