chapter 8

ધોરણ 10 | విષય: Maths

સ્વાધ્યાય 8.1

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$$

$$AC = 25\text{ cm}$$

(i) $\angle A$ માટે:

સામેની બાજુ = $BC = 7$

પાસેની બાજુ = $AB = 24$

કર્ણ = $AC = 25$

$$\sin A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{7}{25}$$

$$\cos A = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{24}{25}$$

(ii) $\angle C$ માટે:

સામેની બાજુ = $AB = 24$

પાસેની બાજુ = $BC = 7$

કર્ણ = $AC = 25$

$$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{24}{25}$$

$$\cos C = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{7}{25}$$

સાચો જવાબ: પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:$$PR^2 = PQ^2 + QR^2$$$$13^2 = 12^2 + QR^2 \implies 169 = 144 + QR^2$$$$QR^2 = 25 \implies QR = 5\text{ cm}$$$\angle P$ માટે: $\tan P = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$$\angle R$ માટે: $\cot R = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{સામેની બાજુ}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$$$\tan P - \cot R = \frac{5}{12} - \frac{5}{12} = 0$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

$$\sin A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{4}$$

ધારો કે સામેની બાજુ = $3k$ અને કર્ણ = $4k$.

પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:

$$\text{પાસેની બાજુ}^2 = \text{કર્ણ}^2 - \text{સામેની બાજુ}^2 = (4k)^2 - (3k)^2 = 16k^2 - 9k^2 = 7k^2$$

$$\text{પાસેની બાજુ} = \sqrt{7}k$$

$\cos A = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{\sqrt{7}k}{4k} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{3k}{\sqrt{7}k} = \frac{3}{\sqrt{7}}$

સાચો જવાબ: ઉકેલ:$$\cot A = \frac{8}{15} = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{સામેની બાજુ}}$$ધારો કે પાસેની બાજુ = $8k$ અને સામેની બાજુ = $15k$.પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:$$\text{કર્ણ}^2 = (15k)^2 + (8k)^2 = 225k^2 + 64k^2 = 289k^2$$$$\text{કર્ણ} = 17k$$$\sin A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17}$$\sec A = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{17k}{8k} = \frac{17}{8}$

સાચો જવાબ: ઉકેલ:$$\sec \theta = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{13}{12}$$ધારો કે કર્ણ = $13k$ અને પાસેની બાજુ = $12k$.પાયથાગોરસથી:$$\text{સામેની બાજુ}^2 = (13k)^2 - (12k)^2 = 169k^2 - 144k^2 = 25k^2 \implies \text{સામેની બાજુ} = 5k$$બાકીના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો:$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{5}{13}$$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{12}{13}$$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{5}{12}$$\text{cosec } \theta = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{સામેની બાજુ}} = \frac{13}{5}$$\cot \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{સામેની બાજુ}} = \frac{12}{5}$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

$\Delta ABC$ લો જેમાં $\angle C = 90^\circ$ છે.

$\cos A = \frac{AC}{AB}$

$\cos B = \frac{BC}{AB}$

આપેલ છે કે $\cos A = \cos B$:

$$\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AB} \implies AC = BC$$

ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા પણ સમાન હોય છે.

તેથી, $AC = BC \implies \angle A = \angle B$. (સાબિત થાય છે.)

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

(i) અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરતાં:

$$\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} = \frac{1 - \sin^2 \theta}{1 - \cos^2 \theta}$$

ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ મુજબ ($1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ અને $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$):

$$\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \cot^2 \theta = \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64}$$

(ii)

$$\cot^2 \theta = \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

$$\cot A = \frac{4}{3} \implies \tan A = \frac{3}{4}$$

ધારો કે પાસેની બાજુ = $4k$, સામેની બાજુ = $3k$.

પાયથાગોરસથી કર્ણ = $\sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} = 5k$.

તેથી:

$\sin A = \frac{3}{5}$

$\cos A = \frac{4}{5}$

ડાબી બાજુ (LHS):

$$\text{LHS} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$$

જમણી બાજુ (RHS):

$$\text{RHS} = \cos^2 A - \sin^2 A = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$$

અહીં $\text{LHS} = \text{RHS}$ હોવાથી, આપેલ સમીકરણ સત્ય છે.

સાચો જવાબ: ઉકેલ:$\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \text{સામેની બાજુ } (BC) = 1k, \text{ પાસેની બાજુ } (AB) = \sqrt{3}k$.પાયથાગોરસથી કર્ણ ($AC$) = $\sqrt{(1k)^2 + (\sqrt{3}k)^2} = \sqrt{1 + 3}k = 2k$.આથી:$\sin A = \frac{1}{2}, \quad \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos C = \frac{1}{2}$(i)$$\sin A \cos C + \cos A \sin C = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$$(ii)$$\cos A \cos C - \sin A \sin C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$$

સાચો જવાબ: ઉકેલ:ધારો કે $QR = x\text{ cm}$, તો $PR = (25 - x)\text{ cm}$.પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:$$PR^2 = PQ^2 + QR^2$$$$(25 - x)^2 = 5^2 + x^2$$$$625 - 50x + x^2 = 25 + x^2$$$$600 = 50x \implies x = 12\text{ cm}$$તેથી:$QR = 12\text{ cm}$$PR = 25 - 12 = 13\text{ cm}$$PQ = 5\text{ cm}$$\angle P$ માટેના ગુણોત્તરો:$\sin P = \frac{QR}{PR} = \frac{12}{13}$$\cos P = \frac{PQ}{PR} = \frac{5}{13}$$\tan P = \frac{QR}{PQ} = \frac{12}{5}$

સાચો જવાબ:

$\tan A$ નું મૂલ્ય હંમેશાં 1 કરતાં ઓછું હોય છે.
- અસત્ય. કારણ: $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$, જે 1 કરતાં વધારે છે.

$A$ માપવાળા કોઈક ખૂણા માટે $\sec A = \frac{12}{5}$ સત્ય છે.
- સત્ય. કારણ: $\sec A = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી ગુણોત્તર 1 થી મોટો હોવો જોઈએ, અહીં $\frac{12}{5} > 1$ છે.

ખૂણા $A$ ના cosecant ને સંક્ષિપ્તમાં $\cos A$ તરીકે લખાય છે.
- અસત્ય. કારણ: $\cos A$ એ cosine નો સંક્ષિપ્ત રૂપ છે. Cosecant નું સંક્ષિપ્ત રૂપ $\text{cosec } A$ છે.

$\cot$ અને $A$ નો ગુણાકાર $\cot A$ છે.
- અસત્ય. કારણ: $\cot A$ એ ખૂણા $A$ નો cotangent દર્શાવે છે. ખૂણા $A$ વગર $\cot$ શબ્દનો કોઈ સ્વતંત્ર અર્થ નથી.

$\theta$ માપવાળા કોઈ એક ખૂણા માટે $\sin \theta = \frac{4}{3}$ શક્ય છે.
- અસત્ય. કારણ: $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$. કર્ણ હંમેશાં સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી $\sin \theta$ નું મૂલ્ય ક્યારેય 1 થી મોટું હોઈ શકે નહીં, પરંતુ અહીં $\frac{4}{3} > 1$ છે.

સ્વાધ્યાય 8.2

સાચો જવાબ:

ખૂણો (θ)	0∘	30∘	45∘	60∘	90∘
$\sin \theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$

સાચો જવાબ:

(i) sin60∘cos30∘+sin30∘cos60∘

ઉકેલ: મૂલ્યો મૂકતાં:

=(23

)(23

)+(21)(21)

=43+41=44=1

(ii) 2tan245∘+cos230∘−sin260∘

ઉકેલ: મૂલ્યો મૂકતાં:

=2(1)2+(23

)2−(23

)2

=2(1)+43−43=2+0=2

(iii) sec30∘+cosec 30∘cos45∘

ઉકેલ: મૂલ્યો મૂકતાં:

2+22

1=3

2+23

1

=2

1×23

+23

=26

+22

અંશ અને છેદને (26−22) વડે ગુણતાં (છેદનું સંમેયીકરણ):

=(26

+22

)(26

−22

(26

−22

)=(26

)2−(22

)2218

−26

=24−82(32

)−26

=1662

−26

=162(32

−6

)=832

−6

(iv) sec30∘+cos60∘+cot45∘sin30∘+tan45∘−cosec 60∘

ઉકેલ: અંશ અને છેદમાં મૂલ્યો મૂકતાં:

અંશ=21+1−3

2=23−3

2=23

−4

છેદ=3

2+21+1=3

2+23=23

4+33

માટે,

=23

+423

−4=33

+433

−4

છેદનું સંમેયીકરણ કરવા (33−4) વડે અંશ અને છેદને ગુણતાં:

=(33

+4)(33

−4)(33

−4)2=(33

)2−42(33

)2−2(33

)(4)+42

=27−1627−243

+16=1143−243

(v) sin230∘+cos230∘5cos260∘+4sec230∘−tan245∘

ઉકેલ: મૂલ્યો મૂકતાં:

=(21)2+(23

)25(21)2+4(3

2)2−(1)2

=41+435(41)+4(34)−1=4445+316−1

=11215+64−12=1267

સાચો જવાબ: ઉકેલ:$$\frac{2 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$અમે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.સાચો વિકલ્પ: (A) $\sin 60^\circ$(ii) $\frac{1 - \tan^2 45^\circ}{1 + \tan^2 45^\circ} =$ _________(A) $\tan 90^\circ$(B) $1$(C) $\sin 45^\circ$(D) $0$ઉકેલ:$$\frac{1 - (1)^2}{1 + (1)^2} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$$સાચો વિકલ્પ: (D) $0$(iii) જ્યારે $A =$ _________ હોય, ત્યારે $\sin 2A = 2 \sin A$ સત્ય હોય.(A) $0^\circ$(B) $30^\circ$(C) $45^\circ$(D) $60^\circ$ઉકેલ:$A = 0^\circ$ મૂકતાં:ડા.બા. $= \sin(2 \times 0^\circ) = \sin 0^\circ = 0$જ.બા. $= 2 \sin 0^\circ = 2(0) = 0$ડા.બા. = જ.બા.સાચો વિકલ્પ: (A) $0^\circ$(iv) $\frac{2 \tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ} =$ _________(A) $\cos 60^\circ$(B) $\sin 60^\circ$(C) $\tan 60^\circ$(D) $\sin 30^\circ$ઉકેલ:$$\frac{2 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \sqrt{3}$$અમે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.સાચો વિકલ્પ: (C) $\tan 60^\circ$

સાચો જવાબ: ઉકેલ:$\tan (A + B) = \sqrt{3}$અમે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.$$\implies A + B = 60^\circ \quad \text{--- (સમીકરણ 1)}$$$\tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$અમે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.$$\implies A - B = 30^\circ \quad \text{--- (સમીકરણ 2)}$$સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં:$$(A + B) + (A - B) = 60^\circ + 30^\circ$$$$2A = 90^\circ \implies A = 45^\circ$$$A = 45^\circ$ ને સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:$$45^\circ + B = 60^\circ \implies B = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$$જવાબ: $A = 45^\circ$ અને $B = 15^\circ$.

સાચો જવાબ:

sin(A+B)=sinA+sinB
- અસત્ય.
- ચકાસણી: ધારો કે A=30∘ અને B=60∘.
  - ડા.બા. =sin(30∘+60∘)=sin90∘=1
  - જ.બા. =sin30∘+sin60∘=21+23=21+3
  - ડા.બા. = જ.બા.

જેમ-જેમ θ નું મૂલ્ય વધે, તેમ-તેમ sinθ નું મૂલ્ય વધે છે.
- સત્ય.
- ચકાસણી: sin0∘=0, sin30∘=0.5, sin45∘≈0.707, sin60∘≈0.866, sin90∘=1. 0∘ થી 90∘ તરફ જતાં મૂલ્ય વધે છે.

જેમ-જેમ θ નું મૂલ્ય વધે, તેમ-તેમ cosθ નું મૂલ્ય વધે છે.
- અસત્ય.
- ચકાસણી: cos0∘=1 અને cos90∘=0. 0∘ થી 90∘ તરફ જતાં મૂલ્ય ઘટે છે, વધતું નથી.

θ ના દરેક મૂલ્ય માટે sinθ=cosθ થાય.
- અસત્ય.
- ચકાસણી: આ વિધાન ફક્ત θ=45∘ માટે જ સત્ય છે (sin45∘=cos45∘=21). અન્ય ખૂણાઓ માટે જેમ કે θ=30∘, sin30∘=21 જ્યારે cos30∘=23.

A=0∘ માટે cotA અવ્યાખ્યાયિત છે.
- સત્ય.
- ચકાસણી: cot0∘=sin0∘cos0∘=01, જે ગાણિતિક રીતે અવ્યાખ્યાયિત (Undefined) છે.

સ્વાધ્યાય 8.3

સાચો જવાબ:

sin2A+cos2A=1

1+tan2A=sec2A(અથવા sec2A−tan2A=1)

1+cot2A=cosec2A(અથવા cosec2A−cot2A=1)

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

sinA ને cotA ના સ્વરૂપમાં: અમે જાણીએ છીએ કે:

cosec2A=1+cot2A

cosec A=1+cot2A

તેથી, sinA=cosec A1:

sinA=1+cot2A1

tanA ને cotA ના સ્વરૂપમાં:

tanA=cotA1

secA ને cotA ના સ્વરૂપમાં: અમે જાણીએ છીએ કે:

sec2A=1+tan2A

sec2A=1+cot2A1=cot2Acot2A+1

બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતાં:

secA=cotA1+cot2A

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

cosA:

cosA=secA1

sinA:

sin2A+cos2A=1⟹sin2A=1−cos2A

sin2A=1−sec2A1=sec2Asec2A−1

sinA=secAsec2A−1

tanA:

1+tan2A=sec2A⟹tan2A=sec2A−1

tanA=sec2A−1

cotA:

cotA=tanA1=sec2A−11

cosec A:

cosec A=sinA1=sec2A−1secA

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

9sec2A−9tan2A=9(sec2A−tan2A)=9(1)=9

સાચો વિકલ્પ: (B) 9

Allen

(ii) (1+tanθ+secθ)(1+cotθ−cosec θ)= _________

Allen

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) -1

Allen

ઉકેલ: બધા પદોને sin અને cos માં ફેરવતાં:

=(1+cosθsinθ+cosθ1)(1+sinθcosθ−sinθ1)

=(cosθcosθ+sinθ+1)(sinθsinθ+cosθ−1)

અંશમાં (a+b)(a−b)=a2−b2 નો ઉપયોગ કરતાં (જ્યાં a=sinθ+cosθ અને b=1):

=sinθcosθ(sinθ+cosθ)2−12

=sinθcosθsin2θ+cos2θ+2sinθcosθ−1

sin2θ+cos2θ=1 મૂકતાં:

=sinθcosθ1+2sinθcosθ−1=sinθcosθ2sinθcosθ=2

સાચો વિકલ્પ: (C) 2

(iii) (secA+tanA)(1−sinA)= _________

(A) secA

(B) sinA

(C) cosec A

(D) cosA

ઉકેલ:

=(cosA1+cosAsinA)(1−sinA)

=(cosA1+sinA)(1−sinA)=cosA(1+sinA)(1−sinA)

=cosA1−sin2A=cosAcos2A=cosA

સાચો વિકલ્પ: (D) cosA

(iv) 1+cot2A1+tan2A= _________

(A) sec2A

(B) -1

(C) cot2A

(D) tan2A

ઉકેલ:

1+cot2A1+tan2A=cosec2Asec2A=sin2A1cos2A1=cos2Asin2A=tan2A

સાચો વિકલ્પ: (D) tan2A

સાચો જવાબ:

(i) (cosec θ−cotθ)2=1+cosθ1−cosθ

સાબિતી:

LHS=(cosec θ−cotθ)2=(sinθ1−sinθcosθ)2

=sin2θ(1−cosθ)2=1−cos2θ(1−cosθ)2

=(1−cosθ)(1+cosθ)(1−cosθ)(1−cosθ)=1+cosθ1−cosθ=RHS

(ii) 1+sinAcosA+cosA1+sinA=2secA

Allen

સાબિતી:

LHS=cosA(1+sinA)cos2A+(1+sinA)2

=cosA(1+sinA)cos2A+1+2sinA+sin2A

=cosA(1+sinA)(sin2A+cos2A)+1+2sinA=cosA(1+sinA)1+1+2sinA

=cosA(1+sinA)2+2sinA=cosA(1+sinA)2(1+sinA)=cosA2=2secA=RHS

(iii) 1−cotθtanθ+1−tanθcotθ=1+secθ⋅cosec θ

સાબિતી:

પદોને sin અને cos માં ફેરવતાં:

LHS=1−sinθcosθcosθsinθ+1−cosθsinθsinθcosθ

=cosθ(sinθ−cosθ)sin2θ+sinθ(cosθ−sinθ)cos2θ

=cosθ(sinθ−cosθ)sin2θ−sinθ(sinθ−cosθ)cos2θ

=sinθcosθ(sinθ−cosθ)sin3θ−cos3θ

અવયવ સૂત્ર a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) વાપરતાં:

=sinθcosθ(sinθ−cosθ)(sinθ−cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)

=sinθcosθ1+sinθcosθ=sinθcosθ1+sinθcosθsinθcosθ

=secθ⋅cosec θ+1=RHS

(iv) secA1+secA=1−cosAsin2A

સાબિતી:

LHS=cosA11+cosA1=cosA1cosAcosA+1=1+cosA

RHS=1−cosAsin2A=1−cosA1−cos2A=1−cosA(1−cosA)(1+cosA)=1+cosA

અહીં LHS=RHS.

(v) નિત્યસમ cosec2A=1+cot2A નો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો:

cosA+sinA−1cosA−sinA+1=cosec A+cotA

સાબિતી:

અંશ અને છેદને sinA વડે ભાગતાં:

LHS=cotA+1−cosec AcotA−1+cosec A=cotA−cosec A+1(cotA+cosec A)−1

અંશમાં 1=cosec2A−cot2A મૂકતાં:

=cotA−cosec A+1(cotA+cosec A)−(cosec2A−cot2A)

=cotA−cosec A+1(cosec A+cotA)−(cosec A+cotA)(cosec A−cotA)

=cotA−cosec A+1(cosec A+cotA)[1−(cosec A−cotA)]

=cotA−cosec A+1(cosec A+cotA)(1−cosec A+cotA)=cosec A+cotA=RHS

(vi) 1−sinA1+sinA=secA+tanA

સાબિતી:

LHS=1−sinA1+sinA×1+sinA1+sinA

=1−sin2A(1+sinA)2

=cos2A(1+sinA)2

=cosA1+sinA=cosA1+cosAsinA=secA+tanA=RHS

(vii) 2cos3θ−cosθsinθ−2sin3θ=tanθ

સાબિતી:

LHS=cosθ(2cos2θ−1)sinθ(1−2sin2θ)

=cosθ(2cos2θ−1)sinθ(1−2(1−cos2θ))

=cosθ(2cos2θ−1)sinθ(1−2+2cos2θ)=cosθ(2cos2θ−1)sinθ(2cos2θ−1)=cosθsinθ=tanθ=RHS

(viii) (sinA+cosec A)2+(cosA+secA)2=7+tan2A+cot2A

સાબિતી:

LHS=(sin2A+2sinA⋅cosec A+cosec2A)+(cos2A+2cosA⋅secA+sec2A)

=(sin2A+cos2A)+2(1)+2(1)+cosec2A+sec2A

=1+2+2+(1+cot2A)+(1+tan2A)

=7+tan2A+cot2A=RHS

(ix) (cosec A−sinA)(secA−cosA)=tanA+cotA1

સાબિતી:

LHS=(sinA1−sinA)(cosA1−cosA)=(sinA1−sin2A)(cosA1−cos2A)

=(sinAcos2A)(cosAsin2A)=sinAcosA

RHS=cosAsinA+sinAcosA1=sinAcosAsin2A+cos2A1=sinAcosA11=sinAcosA

અહીં LHS=RHS.

(x) (1+cot2A1+tan2A)=(1−cotA1−tanA)2=tan2A

સાબિતી:

પ્રથમ ભાગ:

1+cot2A1+tan2A=cosec2Asec2A=sin2A1cos2A1=tan2A

બીજો ભાગ:

(1−tanA11−tanA)2=(tanAtanA−11−tanA)2=(−tanA)2=tan2A

આમ, ત્રણેય ભાગ સમાન સાબિત થાય છે.

chapter 8

પ્રશ્ન 1

પ્રશ્ન 2

પ્રશ્ન 3

પ્રશ્ન 4

પ્રશ્ન 5

પ્રશ્ન 6

પ્રશ્ન 7

પ્રશ્ન 8

પ્રશ્ન 9

પ્રશ્ન 11

(i) sin60∘cos30∘+sin30∘cos60∘

(ii) 2tan245∘+cos230∘−sin260∘

(iii) sec30∘+cosec 30∘cos45∘

(iv) sec30∘+cos60∘+cot45∘sin30∘+tan45∘−cosec 60∘

(v) sin230∘+cos230∘5cos260∘+4sec230∘−tan245∘

પ્રશ્ન 3

પ્રશ્ન 1

પ્રશ્ન 2

પ્રશ્ન 3: સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તમારી પસંદગીની યથાર્થતા ચકાસો

(i) 9sec2A−9tan2A= _________

(ii) (1+tanθ+secθ)(1+cotθ−cosec θ)= _________

Allen

(iii) (secA+tanA)(1−sinA)= _________

(iv) 1+cot2A1+tan2A= _________

(i) (cosec θ−cotθ)2=1+cosθ1−cosθ

(ii) 1+sinAcosA+cosA1+sinA=2secA

Allen

(iii) 1−cotθtanθ+1−tanθcotθ=1+secθ⋅cosec θ

(iv) secA1+secA=1−cosAsin2A

(v) નિત્યસમ cosec2A=1+cot2A નો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો:

(vi) 1−sinA1+sinA=secA+tanA

(vii) 2cos3θ−cosθsinθ−2sin3θ=tanθ

(viii) (sinA+cosec A)2+(cosA+secA)2=7+tan2A+cot2A

(ix) (cosec A−sinA)(secA−cosA)=tanA+cotA1

(x) (1+cot2A1+tan2A)=(1−cotA1−tanA)2=tan2A

chapter 8

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 1 $\Delta ABC$ માં $\angle B$ કાટખૂણો છે. $AB = 24\text{ cm}$, $BC = 7\text{ cm}$ હોય, તો નીચેના ગુણોત્તરોનું મૂલ્ય શોધો: (i) $\sin A, \cos A$ (ii) $\sin C, \cos C$

પ્રશ્ન 1

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 2 આકૃતિ 8.13 માં, $\tan P - \cot R$ શોધો. ($PQ = 12\text{ cm}, PR = 13\text{ cm}, \angle Q = 90^\circ$)

પ્રશ્ન 2

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 3 જો $\sin A = \frac{3}{4}$ હોય, તો $\cos A$ અને $\tan A$ ની ગણતરી કરો.

પ્રશ્ન 3

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 4 જો $15 \cot A = 8$ હોય, તો $\sin A$ અને $\sec A$ શોધો.

પ્રશ્ન 4

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 5 જો $\sec \theta = \frac{13}{12}$ હોય, તો બાકીના બધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો શોધો.

પ્રશ્ન 5

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 6 $\angle A$ અને $\angle B$ એવા લઘુકોણો છે કે જેથી $\cos A = \cos B$. સાબિત કરો કે $\angle A = \angle B$.

પ્રશ્ન 6

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 7 જો $\cot \theta = \frac{7}{8}$ હોય, તો: (i) $\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}$ (ii) $\cot^2 \theta$ ની કિંમત શોધો.

પ્રશ્ન 7

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 8 જો $3 \cot A = 4$ હોય, તો નક્કી કરો કે $\frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A$ છે કે નહિ.

પ્રશ્ન 8

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 9 $\Delta ABC$ માં $\angle B = 90^\circ$. જો $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોય, તો: (i) $\sin A \cos C + \cos A \sin C$ (ii) $\cos A \cos C - \sin A \sin C$ ના મૂલ્ય શોધો.

પ્રશ્ન 9

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 10$\Delta PQR$ માં $\angle Q = 90^\circ$, $PR + QR = 25\text{ cm}$ અને $PQ = 5\text{ cm}$ હોય, તો $\sin P, \cos P$ અને $\tan P$ શોધો.

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 11 નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તે કારણ આપી જણાવો:

પ્રશ્ન 11

પ્રશ્ન. ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યોનું કોષ્ટક (સંદર્ભ માટે)

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 1: કિંમત શોધો

(i) sin60∘cos30∘+sin30∘cos60∘

(ii) 2tan245∘+cos230∘−sin260∘

(iii) sec30∘+cosec 30∘cos45∘​

(iv) sec30∘+cos60∘+cot45∘sin30∘+tan45∘−cosec 60∘​

(v) sin230∘+cos230∘5cos260∘+4sec230∘−tan245∘​

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 2: સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તેની યથાર્થતા ચકાસો(i) $\frac{2 \tan 30^\circ}{1 + \tan^2 30^\circ} =$ _________(A) $\sin 60^\circ$(B) $\cos 60^\circ$(C) $\tan 60^\circ$(D) $\sin 30^\circ$

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 3 જો $\tan (A + B) = \sqrt{3}$ અને $\tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોય, જ્યાં $0^\circ < A + B \le 90^\circ$ અને $A > B$, તો $A$ અને $B$ શોધો.

પ્રશ્ન 3

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 4: સત્ય કે અસત્ય જણાવો અને યથાર્થતા ચકાસો

પ્રશ્ન. ઉપયોગી ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમો:

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 1 ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો $\sin A$, $\sec A$ અને $\tan A$ ને $\cot A$ ના પદોમાં દર્શાવો.

પ્રશ્ન 1

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 2 ∠A ના બાકીના બધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોને secA ના પદોમાં દર્શાવો.

પ્રશ્ન 2

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 3: સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તમારી પસંદગીની યથાર્થતા ચકાસો (i) 9sec2A−9tan2A= _________ (A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0

પ્રશ્ન 3: સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તમારી પસંદગીની યથાર્થતા ચકાસો

(i) 9sec2A−9tan2A= _________

(ii) (1+tanθ+secθ)(1+cotθ−cosec θ)= _________ Allen

(iii) (secA+tanA)(1−sinA)= _________

(iv) 1+cot2A1+tan2A​= _________

પ્રશ્ન. પ્રશ્ન 4: નીચેના નિત્યસમો સાબિત કરો (જ્યાં ખૂણાઓ લઘુકોણ છે)

(i) (cosec θ−cotθ)2=1+cosθ1−cosθ​

(ii) 1+sinAcosA​+cosA1+sinA​=2secA Allen

(iii) 1−cotθtanθ​+1−tanθcotθ​=1+secθ⋅cosec θ

(iv) secA1+secA​=1−cosAsin2A​

(v) નિત્યસમ cosec2A=1+cot2A નો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો:

(vi) 1−sinA1+sinA​​=secA+tanA

(vii) 2cos3θ−cosθsinθ−2sin3θ​=tanθ

(viii) (sinA+cosec A)2+(cosA+secA)2=7+tan2A+cot2A

(ix) (cosec A−sinA)(secA−cosA)=tanA+cotA1​

(x) (1+cot2A1+tan2A​)=(1−cotA1−tanA​)2=tan2A

(iii) sec30∘+cosec 30∘cos45∘

(iv) sec30∘+cos60∘+cot45∘sin30∘+tan45∘−cosec 60∘

(v) sin230∘+cos230∘5cos260∘+4sec230∘−tan245∘

(ii) (1+tanθ+secθ)(1+cotθ−cosec θ)= _________

Allen

(iv) 1+cot2A1+tan2A= _________

(i) (cosec θ−cotθ)2=1+cosθ1−cosθ

(ii) 1+sinAcosA+cosA1+sinA=2secA

Allen

(iii) 1−cotθtanθ+1−tanθcotθ=1+secθ⋅cosec θ

(iv) secA1+secA=1−cosAsin2A

(vi) 1−sinA1+sinA=secA+tanA

(vii) 2cos3θ−cosθsinθ−2sin3θ=tanθ

(ix) (cosec A−sinA)(secA−cosA)=tanA+cotA1

(x) (1+cot2A1+tan2A)=(1−cotA1−tanA)2=tan2A