chapter 9

સાચો જવાબ:

પ્રશ્ન 1

સર્કસના તંબુમાં, જમીન સાથે શિરોલંબ સ્થિતિમાં રહેલા થાંભલાની ટોચથી જમીન સાથે ખેંચીને બાંધેલા $20\text{ m}$ લાંબા દોરડા પર એક કલાકાર ચઢી રહ્યો છે. જો દોરડું જમીન સાથે $30^\circ$ માપનો ખૂણો બનાવે તો થાંભલાની ઊંચાઈ શોધો.

સાચો જવાબ:

પ્રશ્ન 2

વાવાઝોડાને કારણે એક ઝાડ એવી રીતે ભાંગીને વળી જાય છે, જેથી તેની ટોચ જમીન સાથે $30^\circ$ માપનો ખૂણો બનાવે તે રીતે જમીનને સ્પર્શે છે. ઝાડની જમીનને સ્પર્શતી ટોચ અને ઝાડના થડ વચ્ચેનું અંતર $8\text{ m}$ હોય, તો ઝાડની ઊંચાઈ શોધો.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

1. 
   

   5 વર્ષથી નાના બાળકો માટે:

   
   $$\sin 30^\circ = \frac{1.5}{\text{લપસણી-1}} \implies \frac{1}{2} = \frac{1.5}{l_1} \implies l_1 = 3\text{ m}$$


2. 
   

   મોટા બાળકો માટે:

   
   $$\sin 60^\circ = \frac{3}{\text{લપસણી-2}} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{l_2} \implies l_2 = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\text{ m}$$

જવાબ: નાના બાળકોની લપસણીની લંબાઈ $3\text{ m}$ અને મોટા બાળકોની લપસણીની લંબાઈ $2\sqrt{3}\text{ m}$ છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે.

$$\tan 30^\circ = \frac{h}{30}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{30} \implies h = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\text{ m}$$

જવાબ: ટાવરની ઊંચાઈ $10\sqrt{3}\text{ m}$ છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L$ છે.

$$\sin 60^\circ = \frac{60}{L}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{60}{L} \implies L = \frac{120}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3}\text{ m}$$

જવાબ: દોરીની લંબાઈ $40\sqrt{3}\text{ m}$ છે.

સાચો જવાબ:

પ્રશ્ન 6

$1.5\text{ m}$ ઊંચો છોકરો $30\text{ m}$ ઊંચી ઇમારત તરફ ચાલે છે. ઉત્સેધકોણ $30^\circ$ થી વધીને $60^\circ$ થાય છે. તો તે કેટલું અંતર ચાલ્યો હશે?

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ઇમારતની ઊંચાઈ $= 20\text{ m}$, ટાવરની ઊંચાઈ $= h$.

• 
  

  $45^\circ$ વાળા ત્રિકોણમાં: $\tan 45^\circ = \frac{20}{x} \implies 1 = \frac{20}{x} \implies x = 20\text{ m}$ (જમીન પરનું અંતર)

  
  


• 
  

  $60^\circ$ વાળા ત્રિકોણમાં: $\tan 60^\circ = \frac{20 + h}{20} \implies \sqrt{3} = \frac{20 + h}{20} \implies 20\sqrt{3} = 20 + h$

  
  


• 
  

  $h = 20(\sqrt{3} - 1)\text{ m}$

  
  

જવાબ: ટાવરની ઊંચાઈ $20(\sqrt{3} - 1)\text{ m}$ છે.

સાચો જવાબ:

પ્રશ્ન 8

એક બેઠક પર $1.6\text{ m}$ ઊંચી પ્રતિમા ગોઠવેલ છે. પ્રતિમાની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $60^\circ$ અને બેઠકની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $45^\circ$ છે. બેઠકની ઊંચાઈ શોધો.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  ટાવર વાળા ત્રિકોણમાં: $\tan 60^\circ = \frac{50}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{50}{x} \implies x = \frac{50}{\sqrt{3}}\text{ m}$

  
  


• 
  

  ઇમારત વાળા ત્રિકોણમાં: $\tan 30^\circ = \frac{h}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50/\sqrt{3}}$

  
  


• 
  

  $h = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}\text{ m}$ (અથવા $16.67\text{ m}$)

  
  

જવાબ: ઇમારતની ઊંચાઈ $16\frac{2}{3}\text{ m}$ છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ છે. એક સ્તંભથી અંતર $x$, બીજાથી $(80 - x)$.

• 
  

  પ્રથમ ત્રિકોણ: $\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3}$

  
  


• 
  

  બીજો ત્રિકોણ: $\tan 30^\circ = \frac{h}{80 - x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x\sqrt{3}}{80 - x}$

  
  


• 
  

  $3x = 80 - x \implies 4x = 80 \implies x = 20\text{ m}$

  
  


• 
  

  $h = 20\sqrt{3}\text{ m}$

  
  

જવાબ:

• 
  

  સ્તંભની ઊંચાઈ = $20\sqrt{3}\text{ m}$

  
  


• 
  

  નિરીક્ષણ બિંદુથી અંતરો = $20\text{ m}$ અને $60\text{ m}$

  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે નહેરની પહોળાઈ $x$ અને ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે.

• 
  

  $\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3}$

  
  


• 
  

  $\tan 30^\circ = \frac{h}{x + 20} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x\sqrt{3}}{x + 20}$

  
  


• 
  

  $3x = x + 20 \implies 2x = 20 \implies x = 10\text{ m}$

  
  


• 
  

  $h = 10\sqrt{3}\text{ m}$

  
  

જવાબ: ટાવરની ઊંચાઈ $10\sqrt{3}\text{ m}$ અને નહેરની પહોળાઈ $10\text{ m}$ છે.

સાચો જવાબ:

પ્રશ્ન 12

$7\text{ m}$ ઊંચી ઇમારત પરથી કેબલ ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $60^\circ$ અને તળિયાનો અવસેધકોણ $45^\circ$ છે. ટાવરની ઊંચાઈ શોધો.

સાચો જવાબ:

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    પ્રથમ વહાણનું અંતર x1​: tan45∘=x1​75​⟹x1​=75 m

    
    
  
  
  • 
    

    બીજા વહાણનું અંતર x2​: tan30∘=x2​75​⟹3​1​=x2​75​⟹x2​=753​ m

    
    
  
  
  
  
  

  બંને વહાણ વચ્ચેનું અંતર =x2​−x1​=753​−75=75(3​−1) m

  
  
  

  જવાબ: બંને વહાણ વચ્ચેનું અંતર 75(3​−1) m છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ: બલૂનની જમીનથી અસરકારક ઊંચાઈ h=88.2−1.2=87 m.

• 
  

  60∘ માટે અંતર x: tan60∘=x87​⟹x=3​87​=293​ m

  
  


• 
  

  30∘ માટે અંતર y: tan30∘=y87​⟹y=873​ m

  
  

બલૂને કાપેલું અંતર =y−x=873​−293​=583​ m

જવાબ: બલૂને કાપેલું અંતર 583​ m છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ: ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ h છે.

• 
  

  60∘ ખૂણે ટાવરથી અંતર x: tan60∘=xh​⟹h=x3​

  
  


• 
  

  30∘ ખૂણે કૂલ અંતર y: tan30∘=yh​⟹3​1​=yx3​​⟹y=3x

  
  

કાર દ્વારા 6 સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર =y−x=3x−x=2x.

2x અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય =6 સેકન્ડ

હવે બાકી રહેલું અંતર x કાપવા માટે લાગતો સમય =26​=3 સેકન્ડ

જવાબ: કારને ટાવર સુધી પહોંચતાં હવે 3 સેકન્ડ નો સમય લાગશે.