ધોરણ 11 | విષય: Physics
ઉકેલ:
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન:
(i) ગોળો: તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર.
(ii) નળાકાર: તેની સંમિતિ અક્ષના મધ્યબિંદુ પર.
(iii) રિંગ: રિંગના કેન્દ્ર પર.
(iv) સમઘન: તેના વિકર્ણોના છેદનબિંદુ (કેન્દ્ર) પર.
શું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પદાર્થની અંદરના ભાગમાં જ હોય તે જરૂરી છે?
ના, તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, રિંગ અથવા પોલા ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે, જ્યાં પદાર્થનું કોઈ દ્રવ્ય હોતું નથી (એટલે કે તે પદાર્થની બહારના પોલા ભાગમાં હોય છે).
$\text{HCl}$ અણુમાં, બે પરમાણુઓના ન્યુક્લિયસો વચ્ચેનું અંતર લગભગ $1.27\text{ \AA}$ ($1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m}$) છે. ક્લોરિન અણુ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુથી લગભગ 35.5 ગણો દળદાર છે અને આ અણુનું લગભગ તમામ દળ તેના ન્યુક્લિયસમાં કેન્દ્રિત છે તેમ આપેલ છે, તો અણુના CMનું આશરે સ્થાન શોધો.
એક બાળક એક લાંબી ટ્રોલીના એક છેડે સ્થિર બેઠો છે, જે એક લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર એક નિયમિત $V$ ઝડપથી આગળ વધી રહી છે. જો આ બાળક ટ્રોલી પર ઊભો થઈને કોઈ પણ રીતે દોડે, તો (ટ્રોલી + બાળક) તંત્રના CMની ઝડપ કેટલી હશે ?
દર્શાવો કે સદિશો $\mathbf{a}$ અને $\mathbf{b}$થી બનેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ના મૂલ્યથી અડધું હોય છે.
ઉકેલ:
સાબિતી:
ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલક (Parallelepiped) ની ત્રણ ધાર સદિશો a, b અને c છે.
સદિશો b અને c થી બનતા પાયાનું ક્ષેત્રફળ =∣b×c∣, અને તેની દિશા પાયાને લંબરૂપે ઉપર તરફ હોય છે.
ચતુષ્ફલકની ઊંચાઈ h=∣a∣cosθ (જ્યાં θ એ a અને b×c વચ્ચેનો ખૂણો છે).
ચતુષ્ફલકનું કદ V=પાયાનું ક્ષેત્રફળ×ઊંચાઈ
ઉકેલ:
કોણીય વેગમાનના ઘટકો:
કોણીય વેગમાનની વ્યાખ્યા $\mathbf{l} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ મુજબ:
ઘટકો સરખાવતા:
$l_x = y P_z - z P_y$
$l_y = z P_x - x P_z$
$l_z = x P_y - y P_x$
$x\text{-}y$ સમતલમાં ગતિ માટે:
જો કણ માત્ર $x\text{-}y$ સમતલમાં ગતિ કરે, તો તેનો $z$-ઘટક શૂન્ય ($z = 0$) થાય અને $z$-દિશાનો વેગમાન ઘટક પણ શૂન્ય ($P_z = 0$) થાય.
આ મૂલ્યો મૂકતા:
$l_x = y(0) - (0)P_y = 0$
$l_y = (0)P_x - x(0) = 0$
$l_z = x P_y - y P_x \neq 0$
આથી સાબિત થાય છે કે $x\text{-}y$ સમતલમાં ગતિ કરતા કણના કોણીય વેગમાનને માત્ર $z$-ઘટક જ હોય છે.
ઉકેલ:
સાબિતી:
ધારો કે બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર d છે. એક કણનો વેગ v અને વિરુદ્ધ દિશામાં જતા બીજા કણનો વેગ −v છે.
કોઈપણ યાદચ્છિક ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે બંને કણોના સ્થાનસદિશ અનુક્રમે r1 અને r2 છે.
તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન:
અહીં ∣r1−r2∣sinθ=d (બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર) છે, જે ઉગમબિંદુની પસંદગી પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય L=mvd અચળ રહે છે અને તેની દિશા પણ અચળ રહે છે.
ઉકેલ:
આપેલી માહિતી:
સળિયાની લંબાઈ L=2 m
ખૂણા θ1=36.9∘ અને θ2=53.1∘
(નોંધ: sin36.9∘=0.6, cos36.9∘=0.8, sin53.1∘=0.8, cos53.1∘=0.6)
સ્ટેપ 1: સમક્ષિતિજ બળોનું સંતુલન:
સ્ટેપ 2: ગુરુત્વકેન્દ્ર (CG) સાપેક્ષે ટૉર્કનું સંતુલન:
અંતિમ જવાબ: સળિયાની ડાબી બાજુના છેડાથી તેના ગુરુત્વકેન્દ્રનું અંતર 0.72 m (અથવા 72 cm) હશે.
ઉકેલ:
આપેલી માહિતી: દળ M=3 kg, ત્રિજ્યા R=40 cm=0.4 m, બળ F=30 N
સ્ટેપ 1: જડત્વની ચાકમાત્રા (I) અને ટૉર્ક (τ):
પોલા નળાકાર માટે I=MR2=3×(0.4)2=0.48 kg m2
ટૉર્ક τ=F×R=30×0.4=12 N m
સ્ટેપ 2: કોણીય પ્રવેગ (α):
સ્ટેપ 3: રેખીય પ્રવેગ (a):
અંતિમ જવાબ: નળાકારનો કોણીય પ્રવેગ 25 rad s−2 અને દોરડાનો રેખીય પ્રવેગ 10 m s−2 હશે.
ઉકેલ:
આપેલી માહિતી: કોણીય ઝડપ ω=200 rad s−1, ટૉર્ક τ=180 N m
ગણતરી:
પાવર P=τ×ω
અંતિમ જવાબ: એન્જિનને 36 kW (36000 W) પાવર આવશ્યક છે.
ઉકેલ:
આપેલી માહિતી:
મૂળ તકતીનું ક્ષેત્રફળ A1=πR2, અને તેનું કેન્દ્ર x1=0
કાપી લીધેલ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ A2=π(R/2)2=4πR2, અને તેનું કેન્દ્ર x2=R/2
ગણતરી:
બાકી રહેલા ભાગનું ગુરુત્વકેન્દ્ર (xcm):
અંતિમ જવાબ: પરિણામી સપાટ પદાર્થનું ગુરુત્વકેન્દ્ર મૂળ ડિસ્કના કેન્દ્રથી છિદ્રની વિરુદ્ધ દિશામાં R/6 અંતરે હશે.
ઉકેલ:
આપેલી માહિતી:
સિક્કાઓનું કુલ દળ $m = 5 + 5 = 10\text{ g}$
સિક્કાઓનું નવું સંતુલન બિંદુ ($45.0\text{ cm}$) થી અંતર $d_1 = 45.0 - 12.0 = 33.0\text{ cm}$
મીટર-પટ્ટીના ગુરુત્વકેન્દ્ર ($50.0\text{ cm}$) નું નવું સંતુલન બિંદુ ($45.0\text{ cm}$) થી અંતર $d_2 = 50.0 - 45.0 = 5.0\text{ cm}$
ગણતરી (ટૉર્કનું સંતુલન):
અંતિમ જવાબ: મીટર-પટ્ટીનું દળ $66\text{ g}$ હશે.