chapter 7

ઉકેલ:

• 
  

  (a) ના, ગુરુત્વ અસરથી Shield કરી શકાય નહીં:

  
  
  

  વિદ્યુતબળ આકર્ષી કે અપાકર્ષી હોઈ શકે છે અને વાહકમાં મુક્ત વિદ્યુતભારો પુનઃગોઠવાઈને અંદરનું ક્ષેત્ર શૂન્ય કરી શકે છે. પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માત્ર આકર્ષી પ્રકારનું જ હોય છે અને તે પદાર્થ કે માધ્યમના ગુણધર્મો પર આધાર રાખતું નથી. તેથી કોઈપણ પદાર્થને ગુરુત્વીય અસરથી શિલ્ડ (Shield) કરી શકાતો નથી.

  
  


• 
  

  (b) હા, પરખ કરી શકશે:

  
  
  

  જો અવકાશ-મથકનું પરિમાણ (Size) ખૂબ મોટું હોય, તો પૃથ્વીના કેન્દ્રથી મથકના જુદા જુદા ભાગોનાં અંતરોમાં નોંધપત્ર તફાવત હશે. આથી મથકના વિવિધ ભાગો પર લાગતું ગુરુત્વપ્રવેગ ($g = G M / r^2$) અલગ-અલગ થશે, જેના કારણે ઉદ્ભવતાં ભરતી બળ (Tidal Force / ગુરુત્વીય તફાવત) ની પરખ અવકાશયાત્રી કરી શકશે.

  
  


• 
  

  (c) ભરતી બળ અંતરના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ($1/r^3$) હોવાથી:

  
  
  

  પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ($F \propto 1/r^2$) હોય છે, પરંતુ ભરતી બળ (Tidal Force) એ પૃથ્વીના બે વિરુદ્ધ છેડાઓ પર લાગતા ગુરુત્વીય બળના તફાવત પર આધાર રાખે છે, જે અંતરના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ($\Delta F \propto 1/r^3$) બદલાય છે.

  
  
  

  ચંદ્ર પૃથ્વીથી સૂર્ય કરતાં ખૂબ જ નજીક હોવાથી, સૂર્યની સરખામણીમાં ચંદ્રનું કુલ ખેંચાણબળ ઓછું હોવા છતાં તેના દ્વારા ઉદ્ભવતો બળનો તફાવત (ભરતી બળ) સૂર્ય કરતાં મોટો હોય છે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  (a) ઘટે છે: પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R_e)$ મુજબ ઊંચાઈ વધતાં ઘટે છે.

  
  


• 
  

  (b) ઘટે છે: પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંડાઈ $d$ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R_e)$ મુજબ ઊંડાઈ વધતાં ઘટે છે.

  
  


• 
  

  (c) પદાર્થના દળથી: ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = G M / R^2$ છે, જેમાં માત્ર પૃથ્વીનું દળ ($M$) આવે છે, પદાર્થનું દળ ($m$) નહીં.

  
  


• 
  

  (d) વધુ: $-G M m(1/r_2 - 1/r_1)$ સૂત્ર અંતર સાથે $g$ માં થતો ફેરફાર ધ્યાનમાં લે છે, જ્યારે $mg(r_2 - r_1)$ સૂત્ર માત્ર નાની ઊંચાઈઓ (જ્યાં $g$ અચળ મનાય) માટે જ આશરે સાચું છે. તેથી પ્રથમ સૂત્ર વધુ ચોક્કસાઈભર્યું છે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ગ્રહની ઝડપ $v_p = 2 v_e$ (જ્યાં $v_e$ = પૃથ્વીની ઝડપ)

    
    
  
  
  
  


• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  કોઈપણ કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહનો કક્ષીય વેગ:

  
  $$v = \sqrt{\frac{G M}{r}} \implies v \propto \frac{1}{\sqrt{r}} \implies r \propto \frac{1}{v^2}$$
  
  

  પૃથ્વી અને ગ્રહની કક્ષીય ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર લેતાં:

  
  $$\frac{r_p}{r_e} = \left(\frac{v_e}{v_p}\right)^2 = \left(\frac{v_e}{2v_e}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$$
  
  $$r_p = 0.25\,r_e$$


• 
  

  અંતિમ જવાબ: ગ્રહની કક્ષાનું પરિમાણ પૃથ્વીની કક્ષાના પરિમાણ કરતાં ચોથા ભાગનું (0.25 ગણું) હશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ગુરુના ઉપગ્રહ આયો માટે:

    
    
    
    
    
    • 
      

      આવર્તકાળ TJ​=1.769 days=1.769×86400 s

      
      
    
    
    • 
      

      ત્રિજ્યા rJ​=4.22×108 m

      
      
    
    
    
    
  
  
  • 
    

    સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વી માટે:

    
    
    
    
    
    • 
      

      આવર્તકાળ TS​=365.25 days=365.25×86400 s

      
      
    
    
    • 
      

      ત્રિજ્યા rS​=1.496×1011 m

      
      
    
    
    
    
  
  
  
  


• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  કેપલરના ત્રીજા નિયમ મુજબ કેન્દ્રીય પદાર્થનું દળ:

  
  M=GT24π2r3​
  
  

  સૂર્યનું દળ (MS​) અને ગુરુનું દળ (MJ​) નો ગુણોત્તર:

  
  MJ​MS​​=(rJ​rS​​)3×(TS​TJ​​)2
  
  MJ​MS​​=(4.22×1081.496×1011​)3×(365.251.769​)2
  
  MJ​MS​​=(354.5)3×(0.004843)2
  
  MJ​MS​​≈(4.455×107)×(2.345×10−5)≈1045≈1000
  
  MJ​≈10001​MS​


• 
  

  અંતિમ જવાબ: આથી સાબિત થાય છે કે ગુરુનું દળ સૂર્યના દળના લગભગ હજારમા ભાગનું (≈1/1000) છે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી:

  
  
  
  
  
  • 
    

    સૂર્યનું દળ M⊙​=2×1030 kg

    
    
  
  
  • 
    

    આકાશગંગાનું કુલ દળ M=2.5×1011×2×1030=5×1041 kg

    
    
  
  
  • 
    

    તારાનું કેન્દ્રથી અંતર (ત્રિજ્યા) r=50,000 ly

    
    
    

    (1 પ્રકાશવર્ષ =9.46×1015 m)

    
    r=5×104×9.46×1015=4.73×1020 m
  
  
  
  


• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  કેપલરના ત્રીજા નિયમ પરથી આવર્તકાળ (T):

  
  T=GM4π2r3​​
  
  T=(6.67×10−11)×(5×1041)4×(3.14)2×(4.73×1020)3​​
  
  T=3.335×103139.44×1.058×1062​​=1.251×1032​≈1.12×1016 s
  

  વર્ષમાં ફેરવતાં (1 વર્ષ=3.154×107 s):

  
  T=3.154×1071.12×1016​≈3.55×108 years


• 
  

  અંતિમ જવાબ: તારો આકાશગંગાની આસપાસ એક ભ્રમણ પૂરું કરવા માટે લગભગ 3.55×108 વર્ષ (35.5 કરોડ વર્ષ) નો સમય લેશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  (a) ગતિઊર્જા:

  
  
  

  ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા E=−GMm/(2r) અને ગતિઊર્જા K=GMm/(2r) હોય છે. તેથી કુલ ઊર્જા તેની ગતિઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય (E=−K) જેટલી હોય છે.

  
  


• 
  

  (b) ઓછી:

  
  
  

  કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ પાસે પહેલાથી જ ગતિઊર્જા (+GMm/2r) હોય છે, તેથી તેની કુલ બંધન ઊર્જા +GMm/(2r) થાય. જ્યારે સ્થિર પદાર્થ પાસે ગતિઊર્જા ન હોવાથી તેને મુક્ત કરવા માટે +GMm/r જેટલી ઊર્જા આપવી પડે. આથી ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે જરૂરી ઊર્જા ઓછી હોય છે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  (a) ના: નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે, જેમાં પદાર્થનું દળ ($m$) આવતું નથી.

  
  


• 
  

  (b) ના: પૃથ્વીને સમાન ઘનતાનો ગોળો ગણતાં તે સ્થાન પર આધાર રાખતો નથી.

  
  


• 
  

  (c) ના: નિષ્ક્રમણ વેગ એ દિશાથી સ્વતંત્ર છે (કોઈપણ દિશામાં ફેંકવામાં આવે તોપણ મૂલ્ય સમાન રહે છે).

  
  


• 
  

  (d) હા: પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ પરથી ફેંકવામાં આવે તો $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$ મુજબ ઊંચાઈ વધતાં નિષ્ક્રમણ વેગ ઘટે છે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  અચળ રહેતી રાશિઓ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    (c) કોણીય વેગમાન (Angular Momentum): સૂર્યનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી ટૉર્ક શૂન્ય થાય છે ($\tau = 0$), તેથી કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

    
    
  
  
  • 
    

    (f) કુલ ઊર્જા (Total Energy): ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સંરક્ષી બળ હોવાથી સમગ્ર કક્ષા દરમિયાન કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  બદલાતી રાશિઓ: રેખીય ઝડપ, કોણીય ઝડપ, ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા સૂર્યથી અંતર બદલાતાં સતત બદલાય છે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  (b) ચહેરા પર સોજા આવવા: ગુરુત્વાકર્ષણ ન હોવાથી રુધિર પગ તરફ જવાની જગ્યાએ ઉપર ચહેરા તરફ વધુ જાય છે, જેથી ચહેરા પર સોજા આવે છે.

  
  


• 
  

  (c) માથાનો દુઃખાવો: મગજ તરફ રુધિરનું દબાણ વધવાથી માથાનો દુઃખાવો થાય છે.

  
  


• 
  

  (d) દિશા-વિન્યાસનો પ્રશ્ન: ગુરુત્વબળની ગેરહાજરીમાં કઈ દિશા ઉપર કે નીચે છે તે નક્કી કરવું મુશ્કેલ બને છે.

  
  
  

  (નોંધ: (a) પગ પર સોજા આવશે નહીં કારણ કે પગ તરફ ગુરુત્વીય ખેંચાણ હોતું નથી.)

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  પૃથ્વીની અંદર ($r < R_e$): ગુરુત્વપ્રવેગ કેન્દ્રથી અંતરના સમપ્રમાણમાં વધે છે:

  
  
  

  $$g \propto r$$

  
  


• 
  

  પૃથ્વીની સપાટી પર ($r = R_e$): ગુરુત્વપ્રવેગ મહત્તમ હોય છે:

  
  
  

  $$g_{\max} = \frac{GM}{R_e^2}$$

  
  


• 
  

  પૃથ્વીની બહાર ($r > R_e$): ગુરુત્વપ્રવેગ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે:

  
  
  

  $$g \propto \frac{1}{r^2}$$

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: સૂર્યનું દળ $M_s = 2 \times 10^{30}\text{ kg}$, પૃથ્વીનું દળ $M_e = 6 \times 10^{24}\text{ kg}$, કુલ અંતર $r = 1.5 \times 10^{11}\text{ m}$.

  
  


• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે બળ શૂન્ય થાય છે (બંને બળો સમાન અને વિરુદ્ધ થાય):

  
  $$\frac{G M_e m}{x^2} = \frac{G M_s m}{(r - x)^2}$$
  
  $$\frac{r - x}{x} = \sqrt{\frac{M_s}{M_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}}} = \sqrt{3.33 \times 10^5} \approx 577.35$$
  
  $$r - x = 577.35 x \implies 578.35 x = 1.5 \times 10^{11}$$
  
  $$x = \frac{1.5 \times 10^{11}}{578.35} \approx \mathbf{2.59 \times 10^8\text{ m}}$$


• 
  

  અંતિમ જવાબ: પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $2.59 \times 10^8\text{ m}$ અંતરે રોકેટ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: ત્રિજ્યા $r = 1.5 \times 10^{11}\text{ m}$, આવર્તકાળ $T = 365.25\text{ days} = 3.156 \times 10^7\text{ s}$.

  
  


• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  કેપલરના ત્રીજા નિયમ મુજબ સૂર્યનું દળ ($M$):

  
  $$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$$
  
  $$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (1.5 \times 10^{11})^3}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (3.156 \times 10^7)^2} \approx \mathbf{2.0 \times 10^{30}\text{ kg}}$$


• 
  

  અંતિમ જવાબ: સૂર્યનું દળ આશરે $2 \times 10^{30}\text{ kg}$ હશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: Ts​=29.5Te​, પૃથ્વીનું અંતર re​=1.5×108 km.

  
  


• 
  

  ગણતરી (કેપલરના ત્રીજા નિયમ મુજબ):

  
  (re​rs​​)3=(Te​Ts​​)2=(29.5)2=870.25
  
  re​rs​​=(870.25)1/3≈9.55
  
  rs​=9.55×1.5×108≈1.43×109 km


• 
  

  અંતિમ જવાબ: શનિ સૂર્યથી 1.43×109 km (અથવા 1.43×1012 m) દૂર હશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: સપાટી પર વજન W=63 N, ઊંચાઈ h=Re​/2=0.5Re​.

  
  


• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  ઊંચાઈ h પર ગુરુત્વપ્રવેગ:

  
  gh​=(1+Re​h​)2g​=(1+0.5)2g​=2.25g​=94​g
  
  

  નવું વજન:

  
  Wh​=94​W=94​×63=28 N


• 
  

  અંતિમ જવાબ: અડધી ઊંચાઈએ પદાર્થ પર 28 N બળ લાગશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: સપાટી પર વજન W=250 N, ઊંડાઈ d=Re​/2.

  
  


• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  ઊંડાઈ d પર ગુરુત્વપ્રવેગ:

  
  gd​=g(1−Re​d​)=g(1−21​)=2g​
  
  

  નવું વજન:

  
  Wd​=2W​=2250​=125 N


• 
  

  અંતિમ જવાબ: અડધી ઊંડાઈએ પદાર્થનું વજન 125 N થશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: $v = 5000\text{ m/s}$, $R = 6.4 \times 10^6\text{ m}$, $g = 9.8\text{ m s}^{-2}$.

  
  


• 
  

  ગણતરી (ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ):

  
  $$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{R+h}$$
  
  $$h = \frac{R}{\left(\frac{2gR}{v^2} - 1\right)} = \frac{6.4 \times 10^6}{\left(\frac{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6}{(5000)^2} - 1\right)}$$
  
  $$h = \frac{6.4 \times 10^6}{5.017 - 1} = \frac{6.4 \times 10^6}{4.017} \approx \mathbf{1.6 \times 10^6\text{ m}} = \mathbf{1600\text{ km}}$$


• 
  

  અંતિમ જવાબ: રોકેટ સપાટીથી મહત્તમ 1600 km ઊંચાઈ સુધી જશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: v=3ve​, ve​=11.2 km/s.

  
  


• 
  

  ગણતરી (ઊર્જા સંરક્ષણ મુજબ):

  
  21​mv2−21​mve2​=21​mv∞2​
  
  v∞​=v2−ve2​​=(3ve​)2−ve2​​=8​ve​
  
  v∞​=2.828×11.2≈31.68 km/s


• 
  

  અંતિમ જવાબ: અનંત અંતરે પદાર્થની ઝડપ 31.68 km/s હશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: m=200 kg, h=400 km=0.4×106 m, Re​=6.4×106 m⟹r=6.8×106 m.

  
  


• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  જરૂરી ઊર્જા (બંધન ઊર્જા):

  
  E=2rGMe​m​
  
  E=2×(6.8×106)(6.67×10−11)×(6×1024)×200​≈5.9×109 J


• 
  

  અંતિમ જવાબ: ઉપગ્રહને મુક્ત કરવા માટે 5.9×109 J ઊર્જા આપવી પડશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: $M = 2 \times 10^{30}\text{ kg}$, $R = 10^7\text{ m}$.

  
  


• 
  

  ગણતરી (ઊર્જા સંરક્ષણ મુજબ):

  
  
  

  અથડામણ વખતે બંને કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2R$ થશે:

  
  $$0 + 0 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 - \frac{G M^2}{2R}$$
  
  $$Mv^2 = \frac{G M^2}{2R} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$$
  
  $$v = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (2 \times 10^{30})}{2 \times 10^7}} \approx \mathbf{2.58 \times 10^6\text{ m/s}}$$


• 
  

  અંતિમ જવાબ: અથડામણ સમયે દરેક તારાની ઝડપ $2.58 \times 10^6\text{ m/s}$ હશે.

  
  

ઉકેલ:

• 
  

  (a) ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર ($E$):

  
  
  

  મધ્યબિંદુએ બંને ગોળાઓના કારણે લાગતાં ગુરુત્વીય ક્ષેત્રો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય ($0\text{ N/kg}$) થશે.

  
  


• 
  

  (b) ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન ($V$):

  
  
  

  મધ્યબિંદુનું અંતર $r = 0.5\text{ m}$:

  
  $$V = -\frac{GM}{r} - \frac{GM}{r} = -\frac{2GM}{r}$$
  
  $$V = -\frac{2 \times (6.67 \times 10^{-11}) \times 100}{0.5} = \mathbf{-2.67 \times 10^{-8}\text{ J/kg}}$$

ઉકેલ:

• 
  

  આપેલી માહિતી: કુલ ઊર્જા $E = -1.5 \times 10^9\text{ J}$.

  
  


• 
  

  ગતિઊર્જા ($K$):

  
  $$K = -E = -(-1.5 \times 10^9) = \mathbf{1.5 \times 10^9\text{ J}}$$


• 
  

  સ્થિતિઊર્જા ($V$):

  
  $$V = 2E = 2 \times (-1.5 \times 10^9) = \mathbf{-3.0 \times 10^9\text{ J}}$$