chapter 3
ધોરણ 11 | విષય: Statistics
A: સમાંતર મધ્યક
B: મધ્યસ્થ
C: બહુલક
D: ગુણોત્તર મધ્યક
A: $D_7$
B: $Q_1$
C: $P_{45}$
D: $P_{50}$
A: વર્ગલંબાઈ અસમાન હોય
B: ખુલ્લા છેડાના વર્ગો હોય
C: વર્ગોની સંખ્યા 5થી વધુ હોય
D: અનિવારક પ્રકારના વર્ગો હોય
A: x < G
B: x = G
C: x > G
D: 1 > G
A: x = M = $M_0$
B: x > M > $M_0$
C: x < M < $M_0$
D: x < M > $M_0$
A: 25
B: 150
C: 5
D: 1.5
A: ) x = 0
B: x = 5
C: x = 9
D: x = 45
A: 1
B: 4
C: 7
D: 9
A: 25મા અવલોકનની કિંમત
B: 26મા અવલોકનની કિંમત
C: 25.5મા અવલોકનની કિંમત
D: 26.5મા અવલોકનની કિંમત
A: 4
B: 6
C: 6.5
D: 36
A: 30
B: 5
C: 35
D: 17.5
A: 10
B: 28
C: 7
D: 1.4
A: 8
B: 2
C: 16
D: 4
A: ચતુર્થકો વડે માહિતીનાં અવલોકનો 4 ભાગમાં વહેંચાય છે.
B: મધ્યક આપેલ માહિતીનાં અવલોકનોને 2 ભાગમાં વહેંચે છે.
C: શતાંશકો આપેલ માહિતીનાં અવલોકનોને 100 ભાગમાં વહેંચે છે.
D: દશાંશકો આપેલ માહિતીનાં અવલોકનોને 10 ભાગમાં વહેંચે છે.
A: બહુલક = 1 મી
B: બહુલક = 1.15 મી
C: બહુલક = 0.98 મી
D: બહુલક પ્રાપ્ય નથી.
(જ્યાં, \(M_{o}\) = બહુલક, M = મધ્યસ્થ, અને x̄ = મધ્યક છે)
(કારણ કે મધ્યસ્થ એ સ્થાનીય સરેરાશનું માપ હોવાથી, સૌથી મોટા અવલોકનમાં ફેરફાર કરવાથી મધ્યસ્થની કિંમતમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી).
(મધ્યક ઉગમબિંદુના ફેરફારથી બદલાય છે).
- અહીં, સૌથી મહત્તમ આવૃત્તિ (\(f\)) = \(48\) છે.
- મહત્તમ આવૃત્તિ \(48\) ની સામે ચલ \(x\) ની કિંમત = \(10\) છે.
જવાબ: આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણનો બહુલક \(10\) છે.
મધ્યકનું સૂત્ર:
\(\text{મધ્યક}=\frac{\text{સંખ્યાઓનો સરવાળો}}{\text{કુલ સંખ્યા}}\)
\(5=\frac{6+y}{2}\)
\(5\times 2=6+y\)
\(10=6+y\)
\(y=10-6\)
\(y=4\)
જવાબ: બીજી સંખ્યા \(4\) છે.
\(2,4,7,7,13,15,20\)
અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા (\(n\)) = \(7\) છે.
સ્ટેપ ૨: પ્રથમ ચતુર્થક (\(Q_{1}\)) નું સૂત્ર:
\(Q_{1}=\left(\frac{n+1}{4}\right)\text{માં અવલોકનની કિંમત}\)
\(Q_{1}=\left(\frac{7+1}{4}\right)\text{માં અવલોકનની કિંમત}\)
\(Q_{1}=\left(\frac{8}{4}\right)\text{માં અવલોકનની કિંમત}\)
\(Q_{1}=2\text{માં અવલોકનની કિંમત}\)
ચડતા ક્રમમાં બીજા સ્થાન પર રહેલું અવલોકન \(4\) છે.
જવાબ: પ્રથમ ચતુર્થક (\(Q_{1}\)) = \(4\) છે.
\(P_{75}=Q_{3}\)
જવાબ: \(P_{75}\) = \(25.75\)
વકરો (\(Y\)) = \(10 \times X\) થાય.
મધ્યસ્થ એ ઉગમબિંદુ અને માપના પરિવર્તનથી મુક્ત નથી (તે સ્કેલ બદલાવાથી બદલાય છે). તેથી વકરાનો મધ્યસ્થ શોધવા માટે માંગના મધ્યસ્થને પણ ભાવ વડે ગુણવો પડશે:
\(\text{વકરાનો મધ્યસ્થ}=10\times M_{X}\)
\(\text{વકરાનો મધ્યસ્થ}=10\times 15=150\)
જવાબ: તેના વકરાનો મધ્યસ્થ ₹ \(150\) હશે.
ભારિત મધ્યકનું સૂત્ર અને વિગતો
- સૂત્ર: \(\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\)
- જ્યાં:
- \(x_{i}\) = અવલોકનોની કિંમત
- \(w_{i}\) = દરેક અવલોકનનો ભાર (Weight)
- \(\sum w_i x_i\) = ભાર અને અવલોકનોના ગુણાકારનો કુલ સરવાળો
- \(\sum w_i\) = કુલ ભારનો સરવાળો
મધ્યવર્તી સ્થિતિના માપનો અર્થ અને મહત્વ
આંકડાશાસ્ત્રમાં માહિતીને સમજવા માટે કેન્દ્રબિંદુ જાણવું ખૂબ જરૂરી છે.
- મધ્યસ્થ મૂલ્ય: તે આખી માહિતીના સમૂહમાંથી એક એવો અંક શોધે છે જે આખી શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે.
- મુખ્ય પ્રકારો: સરેરાશ અથવા મધ્યક (Mean), મધ્યસ્થ (Median), અને બહુલક (Mode).
- ઉપયોગ: વિશાળ ડેટાને સમજવામાં અને તેની સરખામણી કરવામાં સરળતા રહે છે.
- સરળ ગણતરી: તેની ગણતરી કરવા માટે કોઈ જટિલ ગાણિતિક સૂત્રોની જરૂર પડતી નથી. માહિતીમાં જે અંક સૌથી વધુ વખત દેખાય તે જ બહુલક બને છે.
- આલેખ દ્વારા શોધ શક્ય: બહુલકની કિંમત માત્ર ગણતરીથી જ નહીં, પરંતુ સ્તંભાલેખ (Histogram) જેવા આલેખોની મદદથી પણ સરળતાથી મેળવી શકાય છે.
- ગુણાત્મક માહિતી માટે ઉપયોગી: મધ્યક (Mean)ની જેમ બહુલક માત્ર સંખ્યાઓ પૂરતો મર્યાદિત નથી. તેનો ઉપયોગ પ્રામાણિકતા, સુંદરતા કે ગ્રાહકોની પસંદગી જેવી ગુણાત્મક માહિતીનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થઈ શકે છે.
- આત્યંતિક કિંમતોની ઓછી અસર: માહિતીમાં રહેલી ખૂબ જ મોટી કે ખૂબ જ નાની (ચરમ) કિંમતોની અસર બહુલકની કિંમત પર પડતી નથી.
- અધૂરી માહિતીમાં પણ ઉપયોગી: જો માહિતીના છેડાના વર્ગો ખુલ્લા હોય અથવા વિતરણ અસમપ્રમાણ હોય, તો પણ બહુલક સરળતાથી શોધી શકાય છે.
- સમજવામાં સરળ: બહુલકની વિભાવના ખૂબ જ સરળ છે. સામાન્ય અવલોકન કરીને પણ તેને સરળતાથી સમજી શકાય છે.
વેપાર જગતમાં લોકપ્રિય વસ્તુઓ (જેમ કે સૌથી વધુ વેચાતી બૂટની સાઇઝ કે કપડાંની ડિઝાઇન) જાણવા માટે બહુલક સૌથી શ્રેષ્ઠ માપ ગણાય છે.
તેને સંકેતમાં \(\={X}_{c}\) વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
📐 મિશ્ર મધ્યકનું સૂત્ર
જો બે સમૂહ માટે અવલોકનોની સંખ્યા n₁ અને n₂ હોય, અને તેમના મધ્યક અનુક્રમે X̄₁ અને X̄₂ હોય, તો મિશ્ર મધ્યકનું સૂત્ર નીચે મુજબ થાય:
\(\={X}_{c}=\frac{n_{1}\={X}_{1}+n_{2}\={X}_{2}}{n_{1}+n_{2}}\)
(નોંધ: જો બે કરતા વધારે સમૂહ હોય, તો અંશમાં n₃X̄₃... અને છેદમાં n₃... તે રીતે પદો ઉમેરતા જવાય છે.)
જ્યારે માહિતીમાં ખૂબ જ મોટી અથવા ખૂબ જ નાની કિંમતો (અસાધારણ કિંમતો અથવા Outliers) હોય અથવા માહિતી અસમપ્રમાણ (Skewed) હોય, ત્યારે સરાસરી (મધ્યક) કરતાં મધ્યસ્થ એ વધુ ચઢિયાતું અને યોગ્ય માપ ગણાય છે.
મધ્યસ્થ શા માટે વધુ ઉપયોગી છે તેના મુખ્ય કારણો નીચે મુજબ છે:
- અસાધારણ કિંમતોની અસર નહીં: મધ્યક શોધતી વખતે તમામ અવલોકનોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે, જેથી કોઈ એક ખૂબ મોટી કિંમત આખા મધ્યકને બદલી નાખે છે. જ્યારે મધ્યસ્થ પર આવી અંતિમ કિંમતોની કોઈ અસર થતી નથી.
- આવક અને સંપત્તિની ગણતરી: દેશના લોકોની આવકની ગણતરી કરવા માટે મધ્યસ્થ વધુ યોગ્ય છે, કારણ કે થોડાક અબજોપતિઓની આવક મધ્યકને ખૂબ ઊંચો બતાવી શકે છે જે સામાન્ય લોકોની સાચી સ્થિતિ દર્શાવતું નથી.
- ખુલ્લા છેડાવાળા આવૃત્તિ વિતરણ: જ્યારે માહિતીના પ્રથમ કે અંતિમ વર્ગની સીમાઓ સ્પષ્ટ ન હોય (દા.ત. '૫૦૦ થી વધુ' કે '૧૦૦ થી ઓછી'), ત્યારે મધ્યક શોધી શકાતો નથી, પરંતુ મધ્યસ્થ સરળતાથી શોધી શકાય છે.
- ગુણાત્મક માહિતી: જ્યારે માહિતી સંખ્યામાં ન હોય પરંતુ ગુણધર્મો આધારિત હોય (દા.ત. પ્રામાણિકતા, સુંદરતા, ગ્રાહક સંતોષ), ત્યારે તેને ક્રમ આપીને મધ્યસ્થ દ્વારા શ્રેષ્ઠ વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.
માહિતીના વિશ્લેષણ માટે યોગ્ય સરેરાશની પસંદગી (Selection of an Ideal Average) કરવી ખૂબ મહત્વની છે, કારણ કે ખોટી સરેરાશ ખોટું તારણ આપી શકે છે. યોગ્ય સરેરાશ પસંદ કરતી વખતે મુખ્યત્વે નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ:
૧. માહિતીનો પ્રકાર (Type of Data)
- ગુણાત્મક માહિતી: જો માહિતી ગુણધર્મ દર્શાવતી હોય (જેમ કે પ્રામાણિકતા, સુંદરતા, ગ્રાહકની પસંદગી), તો બહુલક (Mode) શ્રેષ્ઠ ગણાય છે.
- સંખ્યાત્મક માહિતી: જો માહિતી આંકડાઓમાં હોય (જેમ કે ગુણ, આવક, ઊંચાઈ), તો મધ્યક (Mean) અથવા મધ્યસ્થ (Median) નો ઉપયોગ થાય છે.
૨. અંતિમ અવલોકનોની અસર (Effect of Extreme Values)
- જો માહિતીમાં બહુ મોટા અથવા બહુ નાના (અસાધારણ) આંકડા હોય, તો મધ્યક પર તેની ખૂબ મોટી અસર થાય છે.
- આવા સંજોગોમાં મધ્યકના બદલે મધ્યસ્થ (Median) વધુ યોગ્ય માપ ગણાય છે, કારણ કે તેના પર અંતિમ અવલોકનોની અસર થતી નથી.
૩. ખુલ્લા છેડાવાળા વર્ગો (Open-Ended Classes)
- જ્યારે આવૃત્તિ વિતરણમાં પ્રથમ વર્ગની નીચલી સીમા કે અંતિમ વર્ગની ઉપલી સીમા આપેલી ન હોય (ખુલ્લા છેડાવાળા વર્ગો), ત્યારે મધ્યકની ગણતરી અશક્ય બને છે.
- આવા સમયે મધ્યસ્થ (Median) કે બહુલક (Mode) નો ઉપયોગ કરવો જ અનિવાર્ય બને છે.
૪. સરેરાશનો હેતુ (Purpose of the Average)
- ગાણિતિક પ્રક્રિયા માટે: જો ભવિષ્યમાં આંકડાશાસ્ત્રની વધુ ગણતરીઓ (જેમ કે પ્રમાણિત વિચલન કે સહસંબંધ) કરવાની હોય, તો મધ્યક સૌથી ઉત્તમ છે.
- સ્થાન જાણવા માટે: જો માહિતીનું મધ્યબિંદુ કે સ્થાન જાણવું હોય, તો મધ્યસ્થ ઉપયોગી છે.
- પ્રચલિત પ્રવાહ જાણવા માટે: જો સૌથી વધુ લોકપ્રિય કે વારંવાર પુનરાવર્તન પામતી વસ્તુ જાણવી હોય (જેમ કે બજારમાં કયા નંબરના જૂતા વધુ વેચાય છે), તો બહુલક યોગ્ય છે.
- વૃદ્ધિ દર જાણવા માટે: જો વસ્તીવધારો, વ્યાજનો દર કે ઘસારાનો દર શોધવો હોય, તો ગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean) શ્રેષ્ઠ છે.
૫. આલેખ દ્વારા રજૂઆત (Graphical Representation)
- જો સરેરાશને આલેખ (Graph) દ્વારા દર્શાવવી હોય, તો મધ્યસ્થ અને બહુલક આલેખ દ્વારા મેળવી શકાય છે, પરંતુ મધ્યક આલેખ દ્વારા મેળવી શકાતો નથી.
આ કિંમત શોધવા માટે મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેના આસાદિત સંબંધના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:
\(\text{બહુલક (Z)}=3\times \text{મધ્યસ્થ (M)}-2\times \text{મધ્યક }(\={X})\)
ગણતરીના સ્ટેપ્સ:
- આપેલ કિંમતો:
- મધ્યક (X̄) = 5.5
- બહુલક (Z) = 6.4
- સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
\(6.4=3(M)-2(5.5)\)
\(6.4=3(M)-11\)
- સાદું રૂપ આપતા:
\(6.4+11=3(M)\)
\(17.4=3(M)\)
\(M=\frac{17.4}{3}\)
\(M=5.8\)
ગણતરીની રીત નીચે મુજબ છે:
ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા a અને બીજી સંખ્યા b છે.
- પ્રથમ સંખ્યા (a) = 4
- ગુણોત્તર મધ્યક (G) = 8
ગુણોત્તર મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
\(\text{ગુણોત્તર મધ્યક }(G)=\sqrt{a\times b}\)
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતાં:
\(8=\sqrt{4\times b}\)
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં:
\(8^{2}=4\times b\)
\(64=4\times b\)
હવે b ની કિંમત શોધવા માટે:
\(b=\frac{64}{4}\)
\(b=16\)
આમ, બીજી સંખ્યા 16 થશે
📊 ગણતરીના સ્ટેપ્સ:
- આપેલી માહિતી: ઉત્પાદનનો મધ્યક (\(\={x}\)) = \(81\)
- ખર્ચનું સમીકરણ: \(y = 3x + 50\)
- નવો મધ્યક (\(\={y}\)): \(y\) ની જગ્યાએ \(\={y}\) અને \(x\) ની જગ્યાએ \(\={x}\) મૂકતા:
\(\={y}=3(\={x})+50\)
\(\={y}=3(81)+50\)
\(\={y}=243+50\)
\(\={y}=293\)
ગણતરીની રીત
- પગલું 1: આપેલા અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવો:
a - 5, a - 3, a, a + 1, a + 2
- પગલું 2: અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા n = 5 (એકી સંખ્યા) છે.
એકી સંખ્યા માટે મધ્યસ્થનું સૂત્ર:
\(\text{મધ્યસ્થ}=\left(\frac{n+1}{2}\right)\text{-મું અવલોકન}\)
- પગલું 3: કિંમત મૂકો:
\(\text{મધ્યસ્થ}=\left(\frac{5+1}{2}\right)\text{-મું અવલોકન}=3\text{-જું અવલોકન}\)
આ દાખલાની ગણતરી માટે મિશ્ર મધ્યક (\(\={X}_{c}\)) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: [1]
\(\={X}_{c}=\frac{n_{1}\={X}_{1}+n_{2}\={X}_{2}}{n_{1}+n_{2}}\)
ગણતરીના તબક્કા:
- પ્રથમ વર્ગ માટે:
- વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (n₁) = 40
- ગુણનો મધ્યક (X̄₁) = 76
- પ્રથમ વર્ગના ગુણનો કુલ સરવાળો (n₁X̄₁) = \(40 \times 76 = \mathbf{3040}\) [1]
- બીજા વર્ગ માટે:
- વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (n₂) = 50
- ગુણનો મધ્યક (X̄₂) = 85
- બીજા વર્ગના ગુણનો કુલ સરવાળો (n₂X̄₂) = \(50 \times 85 = \mathbf{4250}\) [1]
- બંને વર્ગનો કુલ સરવાળો અને વિદ્યાર્થીઓ:
- બંને વર્ગના ગુણનો કુલ સરવાળો = \(3040 + 4250 = \mathbf{7290}\)
- કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (n₁ + n₂) = \(40 + 50 = \mathbf{90}\) [1]
મિશ્ર મધ્યકની ગણતરી:
\(\={X}_{c}=\frac{7290}{90}=\mathbf{81}\)
આમ, બંને વર્ગના તમામ વિદ્યાર્થીઓના ગણિત વિષયના ગુણનો મધ્યક 81 થાય
વાહનોની સંખ્યા ( ) | કુટુંબોની સંખ્યા ( ) | સંચયી આવૃત્તિ ( ) |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 |
| 1 | 4 | 2 + 4 = 6 |
| 2 | 9 | 6 + 9 = 15 |
| 3 | 7 | 15 + 7 = 22 |
| 4 | 3 | 22 + 3 = 25 |
| કુલ ( ) | 25 |
2. મધ્યસ્થની ગણતરી:
અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા
છે.
સંચયી આવૃત્તિ (
) ના કોલમમાં જોતાં, 13 મું અવલોકન એ
ની સામે આવે છે, જેની સામે વાહનોની સંખ્યા (
) 2 છે.
જવાબ: વાહનોની સંખ્યાનો મધ્યસ્થ 2 છે.
1. ગુણાકાર (
) નું કોષ્ટક બનાવતા:
| ચલ ( ) | ભાર ( ) | |
|---|---|---|
| 1500 | 5 | |
| 800 | 4 | |
| 200 | 1 | |
| કુલ | | |
2. ભારિત મધ્યકની ગણતરી:
જવાબ: ચલ
નો ભારિત મધ્યક 1090 છે.
એક આદર્શ સરેરાશના મુખ્ય લક્ષણો નીચે મુજબ છે:
- સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા: સરેરાશની વ્યાખ્યા ચોક્કસ અને સ્પષ્ટ હોવી જોઈએ. તેનાથી અલગ-અલગ વ્યક્તિઓ ગણતરી કરે તો પણ જવાબ એકસરખો જ આવે.
- સમજવામાં સરળ: સરેરાશની ગણતરી અને તેનો અર્થ સમજવામાં ખૂબ જ સરળ હોવો જોઈએ.
- ગણતરીમાં સરળ: તેની ગણતરી ખૂબ જ જટિલ ન હોવી જોઈએ અને તે ઝડપથી ગણી શકાય તેવી હોવી જોઈએ.
- બધા અવલોકનો પર આધારિત: સરેરાશની ગણતરીમાં માહિતીના દરેક અવલોકન (દરેક સંખ્યા) નો ઉપયોગ થયેલો હોવો જોઈએ.
- ચોક્કસ બીજગણિતીય પ્રક્રિયા: તે આગળની આંકડાશાસ્ત્રીય ગણતરીઓ અને બીજગણિતીય પ્રક્રિયાઓ (Algebraic treatment) માટે અનુકૂળ હોવી જોઈએ.
- સ્થિરતા (સ્થાયિત્વ): એક જ સમષ્ટિમાંથી લેવામાં આવેલા અલગ-અલગ નિદર્શ (Samples) ની સરેરાશમાં બહુ મોટો તફાવત ન હોવો જોઈએ.
- અતિ મોટા કે નાના અવલોકનોની નહિવત અસર: માહિતીના કોઈ એકાદ-બે ખૂબ જ મોટા અથવા ખૂબ જ નાના અવલોકનોની અસર સરેરાશના મૂલ્ય પર વધુ પડતી ન પડવી જોઈએ.
જો તમે ઇચ્છો તો, હું તમને આ લક્ષણોના આધારે મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલકમાંથી કયું માપ સૌથી શ્રેષ્ઠ છે તેની તુલના કરી શકું છું.
ગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean) એટલે આપેલા n ધન અવલોકનોના ગુણાકારનું n મું મૂળ. તેને સામાન્ય રીતે સંકેતમાં G વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જો કોઈ માહિતીના અવલોકનો
હોય, તો ગુણોત્તર મધ્યકનું સૂત્ર
થાય.
ગુણોત્તર મધ્યકના મુખ્ય લાભ અને ગેરલાભ નીચે મુજબ છે:
ગુણોત્તર મધ્યકના લાભ
- ચોક્કસ વ્યાખ્યા: આ મધ્યક ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ સ્પષ્ટ અને ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલો છે.
- બધા અવલોકનો પર આધારિત: તેની ગણતરીમાં આપેલા તમામ અવલોકનોનો ઉપયોગ થાય છે.
- ગાણિતિક ક્રિયાઓ માટે અનુકૂળ: આગળના ઉચ્ચ આંકડાશાસ્ત્રીય અભ્યાસ અને ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓ માટે તે ખૂબ જ યોગ્ય છે.
- અતિ મોટા અને નાના અવલોકનોની ઓછી અસર: મધ્યક (સરેરાશ)ની સરખામણીમાં આના પર ખૂબ મોટા કે ખૂબ નાના અવલોકનોની અસર ઓછી થાય છે.
- દર અને ટકાવારી માટે શ્રેષ્ઠ: સમય સાથે બદલાતા વિકાસ દર, વસ્તી વૃદ્ધિ દર, વ્યાજનો દર કે ટકાવારીની સરેરાશ શોધવા માટે આ મધ્યક સર્વશ્રેષ્ઠ છે.
ગુણોત્તર મધ્યકના ગેરલાભ
- અઘરી ગણતરી: તેની ગણતરી કરવી સામાન્ય મધ્યક કરતાં અઘરી અને જટિલ છે. ઘણીવાર આ માટે લોગેરિધમ (Logarithm)નો ઉપયોગ કરવો પડે છે.
- સમજવામાં મુશ્કેલ: સામાન્ય વ્યક્તિ માટે આ મધ્યક સમજવો અને તેનો અર્થ ઘટાવવો અઘરો છે.
- શૂન્ય અવલોકનની મર્યાદા: જો આપેલા અવલોકનોમાંથી કોઈ એક પણ અવલોકન 'શૂન્ય' (0) હોય, તો ગુણોત્તર મધ્યક શૂન્ય થઈ જાય છે, જે સમગ્ર માહિતીનું સાચું પ્રતિનિધિત્વ કરતું નથી.
- ઋણ અવલોકનની મર્યાદા: જો કોઈ અવલોકન ઋણ (Minus) હોય, તો તેની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ અથવા અશક્ય બને છે (ખાસ કરીને જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય).
- અજ્ઞાત માહિતીમાં અશક્ય: જો કોઈ એક પણ અવલોકનની કિંમત જાણીતી ન હોય, તો ગુણોત્તર મધ્યક શોધી શકાતો નથી.
જો તમે આ મધ્યકની ગણતરી કેવી રીતે થાય છે તે જાણવા માગતા હોવ, તો હું તમને એક ઉદાહરણ દ્વારા સમજાવી શકું છું. શું આપણે કોઈ ચોક્કસ દાખલાની ગણતરી કરવી છે?
બહુલકનો ખ્યાલ વધુ સ્પષ્ટ રીતે સમજવા માટે નીચેના ઉદાહરણો જુઓ:
ઉદાહરણ ૧: એક જ બહુલક હોય (અવર્ગીકૃત માહિતી)
કોઈ એક વર્ગના ૧૦ વિદ્યાર્થીઓએ ગણિતની એક કસોટીમાં મેળવેલા ગુણ નીચે મુજબ છે:
- ૭, ૫, ૮, ૫, ૬, ૯, ૫, ૭, ૪, ૫
સમજૂતી:
ઉપરના પ્રાપ્તાંકોમાં '૫' ગુણ સૌથી વધુ વખત (૪ વખત) આવે છે.
તેથી, આ માહિતીનો બહુલક Z = ૫ થાય.
ઉદાહરણ ૨: એકથી વધુ બહુલક હોય (દ્રિ-બહુલકીય માહિતી)
એક દુકાનમાં એક દિવસ દરમિયાન વેચાયેલા શર્ટના માપ નીચે મુજબ છે:
- ૩૮, ૪૦, ૪૨, ૩૮, ૪૦, ૪૪, ૩૬
સમજૂતી:
અહીં '૩૮' અને '૪૦' બંને માપ સરખી સંખ્યામાં (બબ્બે વખત) અને સૌથી વધુ વખત આવે છે.
તેથી, આ માહિતીના બે બહુલક છે: Z = ૩૮ અને ૪૦. આવી માહિતીને દ્વિ-બહુલકીય માહિતી કહે છે.
બહુલકના મુખ્ય ગુણધર્મો અને ઉપયોગો
- સરળતા: આ માપ શોધવા માટે કોઈ જટિલ ગણતરીની જરૂર પડતી નથી, માત્ર નિરીક્ષણથી જ જાણી શકાય છે.
- વ્યવહારિક ઉપયોગ: વેપાર જગતમાં આ માપ ખૂબ ઉપયોગી છે. જેમ કે, કયા નંબરના બૂટ કે કપડાંનું વેચાણ સૌથી વધુ થાય છે તે જાણવા માટે બહુલકનો ઉપયોગ થાય છે.
- આલેખ દ્વારા પ્રસ્તુતિ: બહુલકને આવૃત્તિ વક્ર અથવા સ્તંભાલેખ દ્વારા પણ સરળતાથી શોધી શકાય છે.
મુખ્યત્વે સ્થાનીય સરેરાશોના બે પ્રકાર છે:
૧. મધ્યસ્થ (Median - M)
માહિતીના અવલોકનોને ચડતા કે ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવ્યા પછી બરાબર મધ્યમાં આવતા અવલોકનને મધ્યસ્થ કહે છે.
- તે માહિતીને બે સરખા ભાગમાં વહેંચે છે.
- તેનાથી ૫૦% અવલોકનો નાના અને ૫૦% અવલોકનો મોટા હોય છે.
- તે અતિ મોટા કે અતિ નાના અવલોકનો (Extreme Values) થી પ્રભાવિત થતો નથી.
૨. બહુલક (Mode - Mo)
માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તન પામતા (સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા) અવલોકનને બહુલક કહે છે.
- જે અવલોકન સૌથી વધુ લોકપ્રિય કે સામાન્ય હોય તે બહુલક બને છે.
- જેમ કે, કોઈ દુકાનમાં સૌથી વધુ વેચાતી જૂતાની સાઈઝ એ બહુલકનું ઉદાહરણ છે.
અન્ય સ્થાનીય સરેરાશો (વિભાજકો)
મધ્યસ્થની જેમ જ માહિતીને જુદા જુદા ભાગમાં વહેંચતી અન્ય સ્થાનીય સરેરાશો નીચે મુજબ છે:
- ચતુર્થકો (Quartiles - Q): માહિતીને ચાર સરખા ભાગમાં વહેંચતા ત્રણ બિંદુઓ (Q₁, Q₂, Q₃).
- દશાંશકો (Deciles - D): માહિતીને દસ સરખા ભાગમાં વહેંચતા નવ બિંદુઓ (D₁ થી D₉).
- શતાંશકો (Percentiles - P): માહિતીને સો સરખા ભાગમાં વહેંચતા નવાણું બિંદુઓ (P₁ થી P₉₉).
મધ્યક અને મધ્યસ્થ વચ્ચેનો તફાવત
- વ્યાખ્યા અને અર્થ:
- મધ્યક એ માહિતીની સરેરાશ કિંમત છે.
- મધ્યસ્થ એ ગોઠવાયેલી માહિતીનું મધ્યસ્થ (વચ્ચેનું) મૂલ્ય છે.
- ગણતરી પર અસર:
- મધ્યકમાં તમામ અવલોકનોનો ઉપયોગ થાય છે.
- મધ્યસ્થમાં માત્ર વચ્ચેના સ્થાનનું મૂલ્ય જ મહત્વનું છે.
- આત્યંતિક મૂલ્યો (Outliers):
- મધ્યક ખૂબ મોટી કે નાની કિંમતોથી બદલાઈ જાય છે.
- મધ્યસ્થ પર આત્યંતિક મૂલ્યોની અસર થતી નથી.
- ઉપયોગ:
- મધ્યકનો ઉપયોગ સામાન્ય અને સ્થિર આંકડાકીય ગણતરી માટે થાય છે.
- મધ્યસ્થનો ઉપયોગ ખુલ્લા છેડાવાળા વર્ગો કે અસમાન માહિતી માટે વધુ સારો છે.
મધ્યક અને મધ્યસ્થ વિશે વધુ સ્પષ્ટતા મેળવવા માટે આ વિડિયો ઉપયોગી સાબિત થશે:
આંકડાશાસ્ત્રમાં ગુણોત્તર શ્રેણી (Geometric Mean) ને સૌથી ઇષ્ટતમ એટલે કે શ્રેષ્ઠ સરેરાશ ગણવામાં આવે છે.
આ સરેરાશને શ્રેષ્ઠ ગણવા પાછળના મુખ્ય કારણો નીચે મુજબ છે:
- ગણતરી આધાર: તે શ્રેણીના બધા જ અવલોકનો પર આધારિત હોય છે.
- નાની-મોટી કિંમતો: આ સરેરાશ પર ખૂબ મોટી કે ખૂબ નાની કિંમતોની (ચરમ મૂલ્યોની) વધુ પડતી અસર થતી નથી.
- ગુણોત્તર અને ટકાવારી: ટકાવારીમાં થતા ફેરફારો, ગુણોત્તર અથવા સાપેક્ષ બદલાવની ગણતરી કરવા માટે આ સૌથી યોગ્ય માપ છે.
- બીજગણિતીય પ્રક્રિયા: તે આગળની વધુ આંકડાકીય અને બીજગણિતીય ગણતરીઓ માટે ખૂબ અનુકૂળ છે.
ગણતરીની વિગત:
- આપેલા વિકાસદર (x): 2%, 2.5%, 4%, 3%
- વર્ષોની સંખ્યા (n): 4
- સૂત્ર: \(\bar{x} = \frac{\sum x}{n}\)
સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ગણતરી:
- \(\sum x = 2 + 2.5 + 4 + 3 = 11.5\)
- \(\bar{x} = \frac{11.5}{4} = 2.875\%\)
આ આમ, સરેરાશ આર્થિક વિકાસદર 2.875% છે.
સાતમો દશાંશક (\(D_{7}\)) ની કિંમત 8 મોબાઇલ ફોન છે અને પંદરમો શતાંશક (\(P_{15}\)) ની કિંમત 6 મોબાઇલ ફોન છે.
અહીં આપેલી માહિતી અસતત આવૃત્તિ વિતરણ દર્શાવે છે. ગણતરી સરળ કરવા માટે આપણે સૌપ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ (\(cf\)) નું કોષ્ટક બનાવીશું.
સંચયી આવૃત્તિનું કોષ્ટક:
| મોબાઇલ ફોનની સંખ્યા (\(x\)) | દિવસોની સંખ્યા (આવૃત્તિ \(f\)) | સંચયી આવૃત્તિ (\(cf\)) |
|---|---|---|
| 4 | 3 | 3 |
| 6 | 9 | 12 |
| 7 | 15 | 27 |
| 8 | 23 | 50 |
| 10 | 8 | 58 |
| 12 | 2 | 60 |
| કુલ | \(N = 60\) |
1. સાતમો દશાંશક (\(D_{7}\)) ની ગણતરી:
\(D_{7}=7\left(\frac{N+1}{10}\right)\text{ માં અવલોકનની કિંમત}\)
\(D_{7}=7\left(\frac{60+1}{10}\right)=7\times 6.1=42.7\text{ માં અવલોકનની કિંમત}\)
- સંચયી આવૃત્તિ (\(cf\)) ના કોલમમાં જોતાં, \(42.7\) નો સમાવેશ \(50\) વાળી સંચયી આવૃત્તિમાં થાય છે, જેની સામેનું અવલોકન \(x = 8\) છે.
- \(D_7 = 8\) મોબાઇલ ફોન
અર્થઘટન: દુકાનના 70% દિવસોમાં દૈનિક વેચાણ 8 કે તેથી ઓછા મોબાઇલ ફોનનું થયું હશે.
2. પંદરમો શતાંશક (\(P_{15}\)) ની ગણતરી:
\(P_{15}=15\left(\frac{N+1}{100}\right)\text{ માં અવલોકનની કિંમત}\)
\(P_{15}=15\left(\frac{60+1}{100}\right)=15\times 0.61=9.15\text{ માં અવલોકનની કિંમત}\)
- સંચયી આવૃત્તિ (\(cf\)) ના કોલમમાં જોતાં, \(9.15\) નો સમાવેશ \(12\) વાળી સંચયી આવૃત્તિમાં થાય છે, જેની સામેનું અવલોકન \(x = 6\) છે.
- \(P_{15} = 6\) મોબાઇલ ફોન
અર્થઘટન: દુકાનના 15% દિવસોમાં દૈનિક વેચાણ 6 કે તેથી ઓછા મોબાઇલ ફોનનું થયું હશે.
મશીન દ્વારા બોટલોમાં ભરેલા પરફ્યુમની સરેરાશ માત્રા \(29.6\text{ mL}\) અને ની \(30.4\text{ mL}\)વચ્ચે હોવી જોઈએ . નિરીક્ષણ માટે, પસંદ કરેલી બોટલોમાં પરફ્યુમની માત્રા (mL માં) \(7\) આ પ્રમાણે જોવા મળે છે:
\(30.2,\ 28.9,\ 29.2,\ 30.1,\ 29.4,\ 31.3,\ 31.4\)
શું આ મશીન યોગ્ય રીતે કામ કરી રહ્યું છે?
ઉકેલ:
- પરફ્યુમનો કુલ જથ્થો શોધો:
\(\Sigma x=30.2+28.9+29.2+30.1+29.4+31.3+31.4=210.5\text{\ mL}\)
- બોટલ\(\={x}\)માટે સરેરાશ (\(n = 7\)) ની ગણતરી કરો:
\(\={x}=\frac{\Sigma x}{n}=\frac{210.5}{7}\approx 30.07\text{\ mL}\)
- નિષ્કર્ષ:
ગણતરી કરેલ સરેરાશ \(30.07\text{ mL}\) સ્વીકાર્ય શ્રેણીમાં આવેલું છે \(29.6\text{ mL}\) . \(30.4\text{ mL}\)તેથી, હા, મશીન યોગ્ય રીતે કાર્ય કરી રહ્યું છે.
વર્ગમાં છોકરાઓનો \(34\)સરેરાશ સ્કોર \(57\) છે. વર્ગના \(60\)બધા વિદ્યાર્થીઓનો સરેરાશ સ્કોર \(59\)છે . છોકરીઓનો સરેરાશ સ્કોર શોધો.
ઉકેલ:
- છોકરીઓની સંખ્યા શોધો:
\(\text{Total\ students}=60,\quad \text{Boys}=34\)
\(\text{Girls}=60-34=26\)
- છોકરાઓએ મેળવેલા કુલ ગુણની ગણતરી કરો:
\(\text{Total\ marks\ of\ boys}=34\times 57=1938\)
- બધા વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા મેળવેલા કુલ ગુણની ગણતરી કરો:
\(\text{Total\ marks\ of\ all\ students}=60\times 59=3540\)
- છોકરીઓ દ્વારા મેળવેલા કુલ ગુણ શોધો:
\(\text{Total\ marks\ of\ girls}=3540-1938=1602\)
- છોકરીઓ માટે સરેરાશ સ્કોરની ગણતરી કરો:
\(\text{Mean\ of\ girls}=\frac{1602}{26}\approx \mathbf{61.62}\)
ઉકેલ:
- અવલોકનોનો પ્રારંભિક સરવાળો શોધો:
\(\text{Initial\ sum}=50\times 35=1750\)
- ખોટા અવલોકનને બાદ કરો:
\(\text{New\ sum}=1750-50=1700\)
- બાકીના (\(49\)) અવલોકનો સાથે નવા સરેરાશની ગણતરી કરો:
\(\text{New\ mean}=\frac{1700}{49}\approx \mathbf{34.69}\)
\(42,65,53,75,43,50,68,57,79,48,51,61,55,70,64\)
બધા વિદ્યાર્થીઓનો સરેરાશ ગુણ શોધો \(18\) .
ઉકેલ:
- પરિસ્થિતિ સમજો:
નાપાસ \(3\) થયેલા વિદ્યાર્થીઓએ પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓ કરતા ઓછા ગુણ મેળવ્યા હોવા જોઈએ \(15\) . તેથી, જ્યારે ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવશે, ત્યારે આ \(3\) નાપાસ થયેલા ગુણ પ્રથમ ત્રણ સ્થાનો (\(1\text{st}, 2\text{nd}, 3\text{rd}\)) પર કબજો કરશે.
- પાસિંગ માર્ક્સ ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
\(42,43,48,50,51,53,55,57,61,64,65,68,70,75,79\)
- સંપૂર્ણ યાદી ક્રમ બનાવવા માટે નિષ્ફળ સ્થાનોનો સમાવેશ કરો:
\([F_{1},F_{2},F_{3}],42,43,48,50,51,\mathbf{53},\mathbf{55},57,61,64,65,68,70,75,79\)
- (સમ સંખ્યા)\(n = 18\)માટે મધ્યક સૂત્ર શોધો :
\(\text{Median}=\frac{\left(\frac{n}{2}\right)\text{th\ term}+\left(\frac{n}{2}+1\right)\text{th\ term}}{2}=\frac{9\text{th\ term}+10\text{th\ term}}{2}\)
- ક્રમાંકિત યાદીમાંથી 9મા અને 10મા પદને ઓળખો:
- \(1\text{st to } 3\text{rd}\): નાપાસ થયેલા ગુણ
- \(4\text{th}\): \(42\) | \(5\text{th}\): \(43\) | \(6\text{th}\): \(48\) | \(7\text{th}\): \(50\) | \(8\text{th}\): \(51\)
- \(9\text{th}\) શબ્દ = \(53\)
- \(10\text{th}\) શબ્દ = \(55\)
- મધ્યકની ગણતરી કરો:
\(\text{Median}=\frac{53+55}{2}=\mathbf{54}\)
\(156,125,162,153,130,124,127,142,149,121\)
આ રીતે રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે: શું એવું કહી શકાય કે નવી જાહેરાત નીતિને કારણે સરેરાશ વેચાણ વધ્યું છે?
ઉકેલ:
- 10 દિવસના વેચાણનો સરવાળો શોધો:
\(\Sigma x=156+125+162+153+130+124+127+142+149+121=1389\)
- દિવસો\(n = 10\)માટે નવા સરેરાશની ગણતરી કરો :
\(\={x}_{\text{new}}=\frac{1389}{10}=138.9\)
- સરખામણી:
નવું સરેરાશ દૈનિક વેચાણ (\(138.9\)) જૂના સરેરાશ દૈનિક વેચાણ (\(126.2\)) કરતા વધારે છે.
- નિષ્કર્ષ:
હા, એવું તારણ કાઢી શકાય છે કે નવી જાહેરાત વ્યૂહરચના લાગુ કર્યા પછીસરેરાશ દૈનિક વેચાણમાં વધારો થયો છે .
અહીં આપેલા અવલોકનોનો સરવાળો ($\sum x$) અને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા ($n$) નીચે મુજબ છે:
અવલોકનો ($x$): $1.0, 3.2, 1.4, 1.9, 2.4, 1.6, 1.4, 2.1, 1.3, 1.5$
કુલ અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 10
મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$$
પગલું ૧: તમામ અવલોકનોનો સરવાળો ($\sum x$):
$$1.0 + 3.2 + 1.4 + 1.9 + 2.4 + 1.6 + 1.4 + 2.1 + 1.3 + 1.5 = 17.8$$
પગલું ૨: સરવાળાને કુલ સંખ્યા વડે ભાગતા:
$$\bar{x} = \frac{17.8}{10} = 1.78$$
આમ, છોડની વૃદ્ધિનો મધ્યક 1.78 સેમી છે.
આપેલ માહિતી પરથી સુધારેલો મધ્યક શોધવા માટેની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. ખોટો મધ્યક અને કુલ સરવાળો:
સ્પર્ધકોની સંખ્યા ($n$) = 4
આપેલો ખોટો મધ્યક ($\bar{x}_{\text{wrong}}$) = 24 વર્ષ
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો ($\sum x_{\text{wrong}}$) = $n \times \bar{x}_{\text{wrong}} = 4 \times 24 = 96$
૨. સાચો સરવાળો મેળવવો:
ખોટી નોંધાયેલી ઉંમર = 25 વર્ષ
સાચી ઉંમર = 27 વર્ષ
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો ($\sum x_{\text{correct}}$) = $\text{ખોટો સરવાળો} - \text{ખોટી કિંમત} + \text{સાચી કિંમત}$
$\sum x_{\text{correct}} = 96 - 25 + 27 = 98$
૩. સાચો મધ્યક શોધવો:
સાચો મધ્યક ($\bar{x}_{\text{correct}}$) = $\frac{\text{સાચો સરવાળો}}{\text{કુલ સંખ્યા ($n$)}} = \frac{98}{4} = 24.5$ વર્ષ
૪. નિયમની ચકાસણી અને નિર્ણય:
સ્પર્ધાના નિયમ મુજબ, જો ઉંમરનો મધ્યક 25 વર્ષથી વધારે હોય તો સ્પર્ધામાં ભાગ લઈ શકાય નહીં.
અહીં સુધારેલો (સાચો) મધ્યક 24.5 વર્ષ આવ્યો છે, જે 25 વર્ષ કરતાં ઓછો છે ($24.5 < 25$).
આમ, ઉંમરનો સુધારો કર્યા પછી પણ મધ્યક 25 વર્ષથી વધુ થતો નથી, તેથી તેઓ આ સ્પર્ધામાં ભાગ લઈ શકશે.
આપેલી માહિતી પરથી સ્ક્રૂના વ્યાસનો મધ્યક શોધવા માટે નીચે મુજબનું કોષ્ટક અને ગણતરી થશે:
ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:
| સ્ક્રૂનો વ્યાસ (x) | સ્ક્રૂની સંખ્યા (f) | ગુણનફળ (fx) |
| 30 | 10 | $30 \times 10 = 300$ |
| 35 | 15 | $35 \times 15 = 525$ |
| 40 | 8 | $40 \times 8 = 320$ |
| 45 | 5 | $45 \times 5 = 225$ |
| 50 | 3 | $50 \times 3 = 150$ |
| 55 | 4 | $55 \times 4 = 220$ |
| કુલ | $\sum f = 45$ | $\sum fx = 1740$ |
મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x} = \frac{1740}{45} = 38.67$$
આમ, સ્ક્રૂના વ્યાસનો મધ્યક 38.67 મિમી છે.
આપેલી માહિતી પરથી વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો મધ્યક શોધવા માટે નીચે મુજબનું કોષ્ટક અને ગણતરી થશે:
ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:
| ગુણ (વર્ગ) | વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (f) | મધ્યકિંમત (x) | ગુણનફળ (fx) |
| 0–10 | 3 | 5 | $3 \times 5 = 15$ |
| 10–20 | 5 | 15 | $5 \times 15 = 75$ |
| 20–30 | 12 | 25 | $12 \times 25 = 300$ |
| 30–40 | 16 | 35 | $16 \times 35 = 560$ |
| 40–50 | 11 | 45 | $11 \times 45 = 495$ |
| 50–60 | 5 | 55 | $5 \times 55 = 275$ |
| 60–70 | 4 | 65 | $4 \times 65 = 260$ |
| કુલ | $\sum f = 56$ | — | $\sum fx = 1980$ |
મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x} = \frac{1980}{56} = 35.36$$
આમ, વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો મધ્યક 35.36 છે.
આપેલી માહિતીમાં "ઓછી" શબ્દ આપેલો છે, જેનો અર્થ થાય છે કે આ સંચયી આવૃત્તિ-વિતરણ (Cumulative Frequency Distribution) છે. સૌપ્રથમ આ માહિતી પરથી સાચા વર્ગો અને તેની આવૃત્તિઓ ($f$) શોધીશું.
૧. વર્ગો અને આવૃત્તિ ($f$) ની ગણતરી:
વર્ગલંબાઈ $h = 4$ છે.
"4થી ઓછી" $\rightarrow$ વર્ગ: 0 – 4, સંચયી આવૃત્તિ: 20 $\rightarrow$ આવૃત્તિ ($f$) = 20
"8થી ઓછી" $\rightarrow$ વર્ગ: 4 – 8, સંચયી આવૃત્તિ: 42 $\rightarrow$ આવૃત્તિ ($f$) = $42 - 20 = 22$
"12થી ઓછી" $\rightarrow$ વર્ગ: 8 – 12, સંચયી આવૃત્તિ: 57 $\rightarrow$ આવૃત્તિ ($f$) = $57 - 42 = 15$
"16થી ઓછી" $\rightarrow$ વર્ગ: 12 – 16, સંચયી આવૃત્તિ: 65 $\rightarrow$ આવૃત્તિ ($f$) = $65 - 57 = 8$
"20થી ઓછી" $\rightarrow$ વર્ગ: 16 – 20, સંચયી આવૃત્તિ: 70 $\rightarrow$ આવૃત્તિ ($f$) = $70 - 65 = 5$
૨. મધ્યક શોધવા માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| વાતચીતનો સમય (વર્ગ) | કૉલની સંખ્યા (f) | મધ્યકિંમત (x) | ગુણનફળ (fx) |
| 0 – 4 | 20 | 2 | $20 \times 2 = 40$ |
| 4 – 8 | 22 | 6 | $22 \times 6 = 132$ |
| 8 – 12 | 15 | 10 | $15 \times 10 = 150$ |
| 12 – 16 | 8 | 14 | $8 \times 14 = 112$ |
| 16 – 20 | 5 | 18 | $5 \times 18 = 90$ |
| કુલ | $\sum f = 70$ | — | $\sum fx = 524$ |
૩. મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x} = \frac{524}{70} = 7.49$$
આમ, મોબાઇલ ધારકના કૉલના વાતચીતના સમયનો મધ્યક 7.49 મિનિટ છે.
આપેલી માહિતી પરથી પેઢીઓના નફાનો મધ્યક શોધીએ.
૧. મધ્યક શોધવા માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| નફો (વર્ગ) (લાખ ₹) | પેઢીઓની સંખ્યા (f) | મધ્યકિંમત (x) | ગુણનફળ (fx) |
| 0 – 7 | 4 | 3.5 | $4 \times 3.5 = 14.0$ |
| 7 – 14 | 9 | 10.5 | $9 \times 10.5 = 94.5$ |
| 14 – 21 | 18 | 17.5 | $18 \times 17.5 = 315.0$ |
| 21 – 28 | 12 | 24.5 | $12 \times 24.5 = 294.0$ |
| 28 – 35 | 7 | 31.5 | $7 \times 31.5 = 220.5$ |
| કુલ | $\sum f = 50$ | — | $\sum fx = 938.0$ |
૨. મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x} = \frac{938.0}{50} = 18.76$$
આમ, પેઢીઓના નફાનો મધ્યક 18.76 લાખ રૂપિયા છે.
આપેલી માહિતી પરથી વસ્તુની માંગનો મધ્યક શોધવા માટે નીચે મુજબનું કોષ્ટક અને ગણતરી થશે:
૧. મધ્યક શોધવા માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| માંગ (વર્ગ) (એકમો) | દિવસોની સંખ્યા (f) | મધ્યકિંમત (x) | ગુણનફળ (fx) |
| 5 – 14 | 4 | 9.5 | $4 \times 9.5 = 38.0$ |
| 15 – 24 | 17 | 19.5 | $17 \times 19.5 = 331.5$ |
| 25 – 34 | 19 | 29.5 | $19 \times 29.5 = 560.5$ |
| 35 – 49 | 22 | 42.0 | $22 \times 42.0 = 924.0$ |
| 50 – 64 | 18 | 57.0 | $18 \times 57.0 = 1026.0$ |
| 65 – 79 | 10 | 72.0 | $10 \times 72.0 = 720.0$ |
| કુલ | $\sum f = 90$ | — | $\sum fx = 3600.0$ |
૨. મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x} = \frac{3600}{90} = 40$$
આમ, વસ્તુની માંગનો મધ્યક 40 એકમો છે.
સંયુક્ત મધ્યક (Combined Mean) શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ નીચે મુજબ થશે:
$$\bar{x}_{12} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$$
અહીં આપેલી વિગતો:
પ્રથમ સમૂહ (કુશળ કારીગરો): $n_1 = 75$, મધ્યક $\bar{x}_1 = ₹280$
બીજો સમૂહ (બિનકુશળ કારીગરો): $n_2 = 125$, મધ્યક $\bar{x}_2 = ₹150$
ગણતરી:
૧. પ્રથમ સમૂહનું કુલ વેતન ($n_1\bar{x}_1$) = $75 \times 280 = 21,000$
૨. બીજા સમૂહનું કુલ વેતન ($n_2\bar{x}_2$) = $125 \times 150 = 18,750$
૩. કુલ કર્મચારીઓની સંખ્યા ($n_1 + n_2$) = $75 + 125 = 200$
૪. કુલ વેતનનો સરવાળો = $21,000 + 18,750 = 39,750$
સંયુક્ત મધ્યક ($\bar{x}_{12}$) = $\frac{39,750}{200} = 198.75$
આમ, બધા કારીગરોના વેતનનો મધ્યક ₹198.75 છે.
આપેલી માહિતી પરથી ભાવ આધારિત ટકાવારી ફેરફારોનો ભારિત મધ્યક (Weighted Mean of Percentage Changes) શોધવા માટેનું ગણતરી કોષ્ટક અને સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
૧. ભારિત મધ્યક માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| ખોરાકની વસ્તુ | ભાર (w) | ભાવનો ટકાવારી ફેરફાર (x) | ગુણનફળ (wx) |
| ચોખા | 7 | 134 | $7 \times 134 = 938$ |
| ઘઉં | 10 | 125 | $10 \times 125 = 1250$ |
| ચા | 5 | 115 | $5 \times 115 = 575$ |
| ખાંડ | 8 | 97 | $8 \times 97 = 776$ |
| કઠોળ | 2 | 120 | $2 \times 120 = 240$ |
| કુલ | $\sum w = 32$ | — | $\sum wx = 3779$ |
૨. ભારિત મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
$$\bar{x}_w = \frac{\sum wx}{\sum w}$$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x}_w = \frac{3779}{32} = 118.09375$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 118.09
આમ, ભાવ આધારિત ટકાવારી ફેરફારોનો ભારિત મધ્યક 118.09 છે.
આપેલી માહિતી પરથી ભારિત મધ્યક (Weighted Mean) શોધવા માટે નીચે મુજબનું કોષ્ટક અને ગણતરી થશે:
૧. ભારિત મધ્યક માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| સ્ટાફનો પ્રકાર | વ્યક્તિઓની સંખ્યા (ભાર - w) | વ્યક્તિદીઠ ફાળો (x) | ગુણનફળ (wx) |
| ઑફિસર | 2 | ₹1000 | $2 \times 1000 = ₹2000$ |
| ક્લાર્ક | 10 | ₹500 | $10 \times 500 = ₹5000$ |
| પટાવાળા | 3 | ₹200 | $3 \times 200 = ₹600$ |
| કુલ | $\sum w = 15$ | — | $\sum wx = ₹7600$ |
૨. ભારિત મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર:
$$\bar{x}_w = \frac{\sum wx}{\sum w}$$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x}_w = \frac{7600}{15} = 506.67$$
આમ, ભારિત મધ્યકનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્તિદીઠ ફાળાનો મધ્યક ₹506.67 છે.
૭ થિયરી પેપર અને ૩ પ્રેક્ટિકલ પરીક્ષાઓના સંયુક્ત મધ્યક પરથી પ્રેક્ટિકલ પરીક્ષાઓનો મધ્યક શોધવા માટેની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. ૭ થિયરી પેપરના ગુણની ગણતરી:
થિયરી પેપરની સંખ્યા ($n_1$) = 7
થિયરી પેપરના ગુણનો મધ્યક ($\bar{x}_1$) = 62
૭ થિયરી પેપરના ગુણનો કુલ સરવાળો = $7 \times 62 = 434$
૨. તમામ પરીક્ષાઓના સંયુક્ત ગુણની ગણતરી:
કુલ પરીક્ષાઓ ($n_1 + n_2$) = $7 + 3 = 10$
સંપૂર્ણ પરીક્ષાના ગુણનો મધ્યક ($\bar{x}_{12}$) = 68
તમામ 10 પરીક્ષાઓના ગુણનો કુલ સરવાળો = $10 \times 68 = 680$
૩. ૩ પ્રેક્ટિકલ પરીક્ષાઓના ગુણની ગણતરી:
૩ પ્રેક્ટિકલ પરીક્ષાઓના ગુણનો કુલ સરવાળો = (તમામ પરીક્ષાઓનો કુલ સરવાળો) - (૭ થિયરી પેપરનો કુલ સરવાળો)
$680 - 434 = 246$
૪. પ્રેક્ટિકલ પરીક્ષાઓનો મધ્યક ($\bar{x}_2$):
$\bar{x}_2 = \frac{\text{પ્રેક્ટિકल પરીક્ષાઓના ગુણનો કુલ સરવાળો}}{\text{પ્રેક્ટિકલ પરીક્ષાઓની સંખ્યા}}$
$\bar{x}_2 = \frac{246}{3} = 82$
આમ, સંપૂર્ણ પરીક્ષામાં ગુણનો મધ્યક 68 થાય તે માટે ૩ પ્રેક્ટિકલ પરીક્ષાઓમાં ગુણનો મધ્યક 82 હોવો જોઈએ.
ગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean - G.M.) શોધવા માટે લઘુગણક (Logarithm) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.
૧. આપેલી માહિતી અને સૂત્ર:
અવલોકનો ($x$): $2, 1, 5, 9, 1, 3, 2, 4$
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $8$
ગુણોત્તર મધ્યકનું સૂત્ર:
$$\log G = \frac{\sum \log x}{n}$$
$$G = \text{Antilog} (\log G)$$
૨. લઘુગણક (Log) કોષ્ટક અને ગણતરી:
| અવલોકન (x) | logx |
| 2 | 0.3010 |
| 1 | 0.0000 |
| 5 | 0.6990 |
| 9 | 0.9542 |
| 1 | 0.0000 |
| 3 | 0.4771 |
| 2 | 0.3010 |
| 4 | 0.6021 |
| કુલ | $\sum \log x = 3.3344$ |
૩. ગણતરી:
$$\log G = \frac{3.3344}{8} = 0.4168$$
$$G = \text{Antilog}(0.4168) = 2.61$$
આમ, ગુણોત્તર મધ્યકનો ઉપયોગ કરીને વાંચેલાં પુસ્તકોની સંખ્યાની સરેરાશ 2.61 છે.
મશીનની કિંમતમાં થતા ઘસારાના દરો ટકાવારીમાં આપેલા છે અને આ દરો એકબીજા સાથે ગુણાકારના સંબંધમાં (ચક્રવૃદ્ધિ દર) અસર કરતા હોય છે, તેથી ઘસારાના દરની યોગ્ય સરેરાશ શોધવા માટે ગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean - G.M.) નો ઉપયોગ કરવો પડે.
જ્યારે ટકાવારી ઘટાડો (ઘસારો) આપેલો હોય, ત્યારે તેટલા ટકા બાદ કર્યા પછીની બાકી રહેતી કિંમતની ટકાવારી શોધવામાં આવે છે:
પહેલો વર્ષ: $100 - 10 = 90\%$ $\rightarrow$ $x_1 = 0.90$
બીજું વર્ષ: $100 - 7 = 93\%$ $\rightarrow$ $x_2 = 0.93$
ત્રીજું વર્ષ: $100 - 5 = 95\%$ $\rightarrow$ $x_3 = 0.95$
ચોથું વર્ષ: $100 - 2 = 98\%$ $\rightarrow$ $x_4 = 0.98$
૧. ગુણોત્તર મધ્યક ($\log G$) ની ગણતરી:
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 4
| વર્ષ | ઘસારાનો દર | બાકી રહેતી કિંમત (x) | logx |
| 1 | 10% | 0.90 | $\bar{1}.9542$ (-0.0458) |
| 2 | 7% | 0.93 | $\bar{1}.9685$ (-0.0315) |
| 3 | 5% | 0.95 | $\bar{1}.9777$ (-0.0223) |
| 4 | 2% | 0.98 | $\bar{1}.9912$ (-0.0088) |
| કુલ | — | — | $\sum \log x = -0.1084$ |
નોંધ: $\log(0.90) = -0.0458$ અથવા $\bar{1}.9542$ લખાય.
૨. સરેરાશ દરની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\log G = \frac{\sum \log x}{n}$$
$$\log G = \frac{-0.1084}{4} = -0.0271$$
હવે એન્ટિલૉગ (Antilog) શોધતા:
$$G = \text{Antilog}(-0.0271) = \text{Antilog}(\bar{1}.9729) = 0.9395$$
આ બાકી રહેતી કિંમતની સરેરાશ ટકાવારી થઈ ($0.9395 \times 100 = 93.95\%$).
૩. સરેરાશ ઘસારાનો દર:
સરેરાશ ઘસારાનો દર શોધવા માટે તેને 100 માંથી બાદ કરીશું:
$$\text{સરેરાશ ઘસારો} = 100\% - 93.95\% = 6.05\%$$
આમ, મશીનના ઘસારાના દરની યોગ્ય સરેરાશ 6.05% છે.
આપેલી માહિતી પરથી ગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean - G.M.) શોધવા માટે લઘુગણક (Logarithm) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.
૧. આપેલી માહિતી અને સૂત્ર:
અવલોકનો ($x$): 15 કિમી અને 254 કિમી
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 2
ગુણોત્તર મધ્યકનું સૂત્ર:
$$\log G = \frac{\sum \log x}{n}$$
$$G = \text{Antilog} (\log G)$$
૨. લઘુગણક (Log) ગણતરી:
| દિવસ | અંતર (x) | logx |
| સોમવાર | 15 | 1.1761 |
| મંગળવાર | 254 | 2.4048 |
| કુલ | — | $\sum \log x = 3.5809$ |
૩. ગણતરી:
$$\log G = \frac{3.5809}{2} = 1.7905$$
હવે એન્ટિલૉગ (Antilog) શોધતા:
$$G = \text{Antilog}(1.7905) = 61.73$$
(અથવા સીધી ગણતરી મુજબ: $\sqrt{15 \times 254} = \sqrt{3810} \approx 61.73$)
આમ, ગુણોત્તર મધ્યકનો ઉપયોગ કરીને બે દિવસોમાં પ્રવાસ કરેલા અંતરની સરેરાશ 61.73 કિમી છે.
અહીં આપેલા અવલોકનો પરથી ચતુર્થકો ($Q_1, Q_2, Q_3$) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવવા:
આપેલા ગુણ: $8, 6, 7, 0, 2, 4, 6, 5, 5, 4, 8, 9, 3, 6, 7$
ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવતા ($n = 15$):
$$0, 2, 3, 4, 4, 5, 5, \mathbf{6}, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9$$
૨. પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) ની ગણતરી:
$$Q_1 \text{ નું સ્થાન} = \left( \frac{n + 1}{4} \right) \text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_1 \text{ નું સ્થાન} = \left( \frac{15 + 1}{4} \right) = \left( \frac{16}{4} \right) = 4\text{મુ અવલોકન}$$
ગોઠવાયેલી શ્રેણીમાં 4થું અવલોકન 4 છે.
આમ, $Q_1 = 4$
૩. દ્વિતીય ચતુર્થક અથવા મધ્યસ્થ ($Q_2 / M$) ની ગણતરી:
$$Q_2 \text{ નું સ્થાન} = \left( \frac{2(n + 1)}{4} \right) \text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_2 \text{ નું સ્થાન} = 2 \times 4 = 8\text{મુ અવલોકન}$$
ગોઠવાયેલી શ્રેણીમાં 8મું અવલોકન 6 છે.
આમ, $Q_2 = 6$
૪. તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) ની ગણતરી:
$$Q_3 \text{ નું સ્થાન} = \left( \frac{3(n + 1)}{4} \right) \text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_3 \text{ નું સ્થાન} = 3 \times 4 = 12\text{મુ અવલોકન}$$
ગોઠવાયેલી શ્રેણીમાં 12મું અવલોકન 7 છે.
આમ, $Q_3 = 7$
આપેલી માહિતી પરથી વિદ્યાર્થીઓના મનોરંજન પાછળના માસિક ખર્ચનો મધ્યસ્થ ($M$) શોધવા માટે સૌપ્રથમ સાચા વર્ગો અને આવૃત્તિઓ ($f$) નક્કી કરીશું.
૧. વર્ગો અને આવૃત્તિ ($f$) ની સ્પષ્ટતા:
અહીં માહિતી મિશ્ર પ્રકારની છે (પહેલો વર્ગ "ઓછો" અને છેલ્લો વર્ગ "વધુ" છે, જ્યારે વચ્ચેના વર્ગો નિયમિત છે).
વર્ગલંબાઈ $h = 200$ (સામાન્ય વર્ગો મુજબ)
"200 થી ઓછો" $\rightarrow$ વર્ગ: 0 – 200, આવૃત્તિ ($f$) = 8
"200 – 400" $\rightarrow$ વર્ગ: 200 – 400, આવૃત્તિ ($f$) = 23
"400 – 600" $\rightarrow$ વર્ગ: 400 – 600, આવૃત્તિ ($f$) = 40
"600 – 700" $\rightarrow$ વર્ગ: 600 – 700, આવૃત્તિ ($f$) = 17 (અહીં વર્ગલંબાઈ 100 છે)
"700 – 800" $\rightarrow$ વર્ગ: 700 – 800, આવૃત્તિ ($f$) = 7 (અહીં વર્ગલંબાઈ 100 છે)
"800 અને વધુ" $\rightarrow$ વર્ગ: 800 – 1000, આવૃત્તિ ($f$) = 5 (છેલ્લા વર્ગોની લંબાઈ ધ્યાનમાં લેતા)
૨. ગણતરી માટેનું સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક:
| ખર્ચ (વર્ગ) (₹માં) | વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (f) | સંચયી આવૃત્તિ (cf) |
| 0 – 200 | 8 | 8 |
| 200 – 400 | 23 | 31 |
| 400 – 600 | 40 | 71 |
| 600 – 700 | 17 | 88 |
| 700 – 800 | 7 | 95 |
| 800 – 1000 | 5 | 100 |
| કુલ | $N = 100$ | — |
૩. મધ્યસ્થ ($M$) ની ગણતરી:
મધ્યસ્થનું સ્થાન = $\frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50$મુ અવલોકન
સંચયી આવૃત્તિ ($cf$) મુજબ 50 નો સમાવેશ 71 માં થાય છે, જેની સામેનો મધ્યસ્થ વર્ગ 400 – 600 છે.
સૂત્ર: $M = L + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times h$
અહીં, $L = 400, \frac{N}{2} = 50, cf = 31$ (મધ્યસ્થ વર્ગના અગાઉના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ), $f = 40, h = 200$
$$M = 400 + \frac{50 - 31}{40} \times 200$$
$$M = 400 + \frac{19 \times 200}{40}$$
$$M = 400 + \frac{3800}{40} = 400 + 95 = 495$$
આમ, વિદ્યાર્થીઓના મનોરંજન પાછળના માસિક ખર્ચનો મધ્યસ્થ ₹495 છે.
આપેલી માહિતી અને તેની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. કાચી માહિતી પરથી મધ્યસ્થ શોધવો:
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા ($N$) = 30
સૌપ્રથમ અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 15 (કુલ 30 અવલોકનો)
મધ્યસ્થનું સ્થાન = $\frac{N}{2} = \frac{30}{2} = 15$મુ અવલોકન
ગોઠવાયેલી શ્રેણીમાં 15મું અને 16મું અવલોકન 4 અને 4 છે.
આથી, કાચી માહિતીનો મધ્યસ્થ ($M$) = 4 દિવસ
૨. અનિવારક (Inclusive) સતત આવૃત્તિ-વિતરણ કોષ્ટક:
પ્રથમ વર્ગ 1–3 અને સમાન લંબાઈ ($h = 3$) મુજબના અનિવારક વર્ગો અને તેની આવૃત્તિઓ ($f$):
| વર્ગ (રોકાણના દિવસો) | આવૃત્તિ (f) | સાચી વર્ગસીમાઓ (નિવારક વર્ગ) | સંચયી આવૃત્તિ (cf) |
| 1 – 3 | 13 | 0.5 – 3.5 | 13 |
| 4 – 6 | 9 | 3.5 – 6.5 | 22 |
| 7 – 9 | 5 | 6.5 – 9.5 | 27 |
| 10 – 12 | 2 | 9.5 – 12.5 | 29 |
| 13 – 15 | 1 | 12.5 – 15.5 | 30 |
| કુલ | $N = 30$ | — | — |
(નોંધ: અનિવારક વર્ગને મધ્યસ્થ શોધવા માટે નિવારક વર્ગમાં ફેરવવામાં આવ્યા છે, જ્યાં વર્ગ લંબાઈ $h = 3$ છે.)
૩. આવૃત્તિ-વિતરણ પરથી મધ્યસ્થની ગણતરી:
મધ્યસ્થનું સ્થાન = $\frac{N}{2} = \frac{30}{2} = 15$મુ અવલોકન
સંચયી આવૃત્તિ ($cf$) મુજબ 15 નો સમાવેશ 22 માં થાય છે, જેની સામેનો નિવારક મધ્યસ્થ વર્ગ 3.5 – 6.5 છે.
સૂત્ર: $M = L + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times h$
અહીં, નિવારક અધઃસીમા $L = 3.5$, $\frac{N}{2} = 15$, $cf = 13$,િયો $f = 9$, $h = 3$
$$M = 3.5 + \frac{15 - 13}{9} \times 3$$
$$M = 3.5 + \frac{2 \times 3}{9} = 3.5 + \frac{6}{9} = 3.5 + 0.67 = 4.17 \text{ દિવસ}$$
૪. પરિણામોની સરખામણી:
કાચી માહિતી પરથી મળતો મધ્યસ્થ = 4 દિવસ
સતત આવૃત્તિ-વિતરણ પરથી મળતો મધ્યસ્થ = 4.17 દિવસ
સરખામણી: બંને પદ્ધતિઓથી મળતા મધ્યસ્થના મૂલ્યો લગભગ સમાન ($\approx 4$) છે. માહિતીનું વર્ગીકરણ કરવાથી (ગૃપિંગ કરવાથી) ડેટાની ચોકસાઈમાં સામાન્ય તફાવત આવે છે, પરંતુ બંને પરિણામો દર્દીઓના સરેરાશ રોકાણના દિવસો લગભગ 4 દિવસ જ હોવાનું દર્શાવે છે.