chapter 4
ધોરણ 11 | విષય: Statistics
અહીં આપેલી માહિતી પરથી વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈનો વિસ્તાર (Range) અને વિસ્તારાંક (Coefficient of Range) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. અવલોકનોને ગોઠવવા:
અપાયેલી ઊંચાઈઓ: $162, 145, 170, 181, 167, 151, 175, 185, 169, 156$
સૌથી મોટી કિંમત ($H$) = $185$ સેમી
સૌથી નાની કિંમતૃતિ ($L$) = $145$ સેમી
૨. વિસ્તાર (Range - $R$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$R = H - L$$
$$R = 185 - 145 = 40 \text{ સેમી}$$
આમ, વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈનો વિસ્તાર 40 સેમી છે.
૩. વિસ્તારાંક (Coefficient of Range) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{H - L}{H + L}$$
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{185 - 145}{185 + 145}$$
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{40}{330} = 0.1212$$
આમ, વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈનો વિસ્તારાંક 0.12 છે.
આપેલી માહિતી પરથી બસમાં મુસાફરી કરતા મુસાફરોની સંખ્યાનો વિસ્તાર (Range) અને વિસ્તારાંક (Coefficient of Range) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. અવલોકનોની ઓળખ:
અહીં માહિતી અસતત આવૃત્તિ વિતરણ (Discrete Frequency Distribution) પ્રકારની છે. જેમાં મુસાફરોની સંખ્યા ($x$) ચલ છે અને બસની સંખ્યા ($f$) આવૃત્તિ છે. વિસ્તાર શોધવા માટે આપણે માત્ર ચલ ($x$) ની સૌથી નાની અને સૌથી મોટી કિંમતો ધ્યાનમાં લેવાની છે.
સૌથી મોટી કિંમત ($H$) = 37 (મુસાફરો)
સૌથી નાની કિંમત ($L$) = 2 (મુસાફરો)
૨. વિસ્તાર (Range - $R$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$R = H - L$$
$$R = 37 - 2 = 35 \text{ મુસાફરો}$$
આમ, બસમાં મુસાફરી કરતા મુસાફરોની સંખ્યાનો વિસ્તાર 35 મુસાફરો છે.
૩. વિસ્તારાંક (Coefficient of Range) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{H - L}{H + L}$$
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{37 - 2}{37 + 2}$$
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{35}{39} = 0.8974$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 0.90
આમ, મુસાફરોની સંખ્યાનો વિસ્તારાંક 0.90 છે.
આપેલી સતત આવૃત્તિ-વિતરણ માહિતી પરથી વિદ્યાર્થીના ગુણનો વિસ્તાર (Range) અને સાપેક્ષ વિસ્તાર (Coefficient of Range) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. વર્ગસીમાઓની ઓળખ:
અહીં માહિતી સતત આવૃત્તિ વિતરણ (Continuous Frequency Distribution) પ્રકારની છે.
સૌથી નાની વર્ગની અધઃસીમા ($L$) = 20 (પ્રથમ વર્ગ 20–30 માંથી)
સૌથી મોટી વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા ($H$) = 80 (છેલ્લા વર્ગ 70–80 માંથી)
૨. વિસ્તાર (Range - $R$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$R = H - L$$
$$R = 80 - 20 = 60$$
આમ, વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો વિસ્તાર 60 છે.
૩. સાપેક્ષ વિસ્તાર (Coefficient of Range) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{સાપેક્ષ વિસ્તાર} = \frac{H - L}{H + L}$$
$$\text{સાપેક્ષ વિસ્તાર} = \frac{80 - 20}{80 + 20}$$
$$\text{સાપેક્ષ વિસ્તાર} = \frac{60}{100} = 0.60$$
આમ, વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો સાપેક્ષ વિસ્તાર 0.60 છે.
આપેલી અનિવારક આવૃત્તિ-વિતરણ માહિતીને નિવારક (Continuous) સ્વરૂપમાં ફેરવીને કે સાચી વર્ગસીમાઓ મેળવીને વિસ્તાર (Range) અને સાપેક્ષ વિસ્તાર (Coefficient of Range) શોધીશું:
૧. સાચી વર્ગસીમાઓની ઓળખ:
અહીં આપેલા વર્ગો અનિવારક પ્રકારના છે (5–9, 10–14, ...). તેથી તેની સાચી વર્ગસીમાઓ મેળવીશું ($d = 0.5$):
પ્રથમ વર્ગ (5–9) ની સાચી અધઃસીમા ($L$) = $5 - 0.5 = 4.5$
છેલ્લો વર્ગ (30–34) ની સાચી ઉર્ધ્વસીમા ($H$) = $34 + 0.5 = 34.5$
૨. વિસ્તાર (Range - $R$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$R = H - L$$
$$R = 34.5 - 4.5 = 30 \text{ હજાર ₹}$$
આમ, દૈનિક વકરાનો નિરપેક્ષ વિસ્તાર 30 હજાર ₹ (અથવા ₹30,000) છે.
૩. સાપેક્ષ વિસ્તાર (Coefficient of Range) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{સાપેક્ષ વિસ્તાર} = \frac{H - L}{H + L}$$
$$\text{સાપેક્ષ વિસ્તાર} = \frac{34.5 - 4.5}{34.5 + 4.5}$$
$$\text{સાપેક્ષ વિસ્તાર} = \frac{30}{39} = 0.7692$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 0.77
આમ, દૈનિક વકરાનો સાપેક્ષ વિસ્તાર 0.77 છે.
અહીં આપેલી માહિતી પરથી નિશાનચૂકના માપનું ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation - Q.D.) અને ચતુર્થક વિચલનાંક (Coefficient of Quartile Deviation) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવવા:
અપાયેલા અવલોકનો ($x$): $20, 32, 24, 41, 18, 27, 15, 36, 35, 25$
ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવતા ($n = 10$):
$$15, 18, 20, 24, \mathbf{25, 27}, 32, 35, 36, 41$$
૨. પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) ની ગણતરી:
$$Q_1 \text{ નું સ્થાન} = \left( \frac{n + 1}{4} \right) \text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_1 \text{ નું સ્થાન} = \left( \frac{10 + 1}{4} \right) = \left( \frac{11}{4} \right) = 2.75\text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_1 = 2\text{લું અવલોકન} + 0.75 \times (3જા\text{ અવલોકન} - 2જા\text{ અવલોકન})$$
$$Q_1 = 18 + 0.75 \times (20 - 18) = 18 + 0.75 \times 2 = 18 + 1.5 = 19.5 \text{ મિમી}$$
૩. તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) ની ગણતરી:
$$Q_3 \text{ નું સ્થાન} = \left( \frac{3(n + 1)}{4} \right) \text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_3 \text{ નું સ્થાન} = 3 \times 2.75 = 8.25\text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_3 = 8મુ\text{ અવલોકન} + 0.25 \times (9મા\text{ અવલોકન} - 8મા\text{ અવલોકન})$$
$$Q_3 = 35 + 0.25 \times (36 - 35) = 35 + 0.25 \times 1 = 35.25 \text{ મિમી}$$
૪. ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation - Q.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{Q.D.} = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$$
$$\text{Q.D.} = \frac{35.25 - 19.5}{2} = \frac{15.75}{2} = 7.875 \text{ મિમી}$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 7.88 મિમી
૫. ચતુર્થક વિચલનાંક (Coefficient of Quartile Deviation) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}$$
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{35.25 - 19.5}{35.25 + 19.5}$$
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{15.75}{54.75} = 0.2876$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 0.29
આમ, નિશાનચૂકના માપનું ચતુર્થક વિચલન 7.88 મિમી અને ચતુર્થક વિચલનાંક 0.29 છે.
અહીં આપેલી માહિતી પરથી સૈનિકોની ઊંચાઈના માપનું સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) શોધવા માટે આપણે સામાન્ય રીતે મધ્યક ($\bar{x}$) અથવા મધ્યસ્થ ($M$) થી લીધેલા વિચલનોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અહીં આપણે મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન શોધીશું.
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
અપાયેલા અવલોકનો ($x$): $160, 175, 158, 165, 170, 166, 173, 176, 163, 168$
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 10
તમામ અવલોકનોનો સરવાળો ($\sum x$) = $160 + 175 + 158 + 165 + 170 + 166 + 173 + 176 + 163 + 168 = 1664$
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$$
$$\bar{x} = \frac{1664}{10} = 166.4 \text{ સેમી}$$
૨. વિચલન કોષ્ટક અને ગણતરી:
| અવલોકન (x) | મધ્યકથી વિચલન ∣x−xˉ∣ (∣x−166.4∣ દર્શાવતા) |
| 160 | $\vert{}160 - 166.4\vert{} = 6.4$ |
| 175 | $\vert{}175 - 166.4\vert{} = 8.6$ |
| 158 | $\vert{}158 - 166.4\vert{} = 8.4$ |
| 165 | $\vert{}165 - 166.4\vert{} = 1.4$ |
| 170 | $\vert{}170 - 166.4\vert{} = 3.6$ |
| 166 | $\vert{}166 - 166.4\vert{} = 0.4$ |
| 173 | $\vert{}173 - 166.4\vert{} = 6.6$ |
| 176 | $\vert{}176 - 166.4\vert{} = 9.6$ |
| 163 | $\vert{}163 - 166.4\vert{} = 3.4$ |
| 168 | $\vert{}168 - 166.4\vert{} = 1.6$ |
| કુલ | $\sum \vert{}x - \bar{x}\vert{} = 50.0$ |
૩. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum \vert{}x - \bar{x}\vert{}}{n}$$
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{50.0}{10} = 5.0 \text{ સેમી}$$
આમ, સૈનિકોની ઊંચાઈના માપનું મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન 5 સેમી છે.
આપેલી અસતત આવૃત્તિ-વિતરણ માહિતી પરથી યંત્રમાં વપરાતી બૉલબેરિંગની સંખ્યાનું સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) અને સરેરાશ વિચલનાંક શોધવા માટે મધ્યક ($\bar{x}$) નો ઉપયોગ કરીશું.
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
| બૉલબેરિંગની સંખ્યા (x) | યંત્રોની સંખ્યા (f) | ગુણનફળ (fx) |
| 2 | 2 | 4 |
| 4 | 2 | 8 |
| 6 | 4 | 24 |
| 8 | 5 | 40 |
| 10 | 3 | 30 |
| 12 | 2 | 24 |
| 14 | 1 | 14 |
| 16 | 1 | 16 |
| કુલ | $\sum f = 20$ | $\sum fx = 160$ |
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$$
$$\bar{x} = \frac{160}{20} = 8$$
૨. સરેરાશ વિચલન માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| x | f | ∣x−xˉ∣ (∣x−8∣ દર્શાવતા) | f∣x−xˉ∣ |
| 2 | 2 | 6 | $2 \times 6 = 12$ |
| 4 | 2 | 4 | $2 \times 4 = 8$ |
| 6 | 4 | 2 | $4 \times 2 = 8$ |
| 8 | 5 | 0 | $5 \times 0 = 0$ |
| 10 | 3 | 2 | $3 \times 2 = 6$ |
| 12 | 2 | 4 | $2 \times 4 = 8$ |
| 14 | 1 | 6 | $1 \times 6 = 6$ |
| 16 | 1 | 8 | $1 \times 8 = 8$ |
| કુલ | $\sum f = 20$ | — | $\sum f\vert{}x - \bar{x}\vert{} = 56$ |
૩. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f\vert{}x - \bar{x}\vert{}}{\sum f}$$
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{56}{20} = 2.8$$
૪. સરેરાશ વિચલનાંક (Coefficient of Mean Deviation) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{સરેરાશ વિચલનાંક} = \frac{\text{M.D.}(\bar{x})}{\bar{x}}$$
$$\text{સરેરાશ વિચલનાંક} = \frac{2.8}{8} = 0.35$$
આમ, બૉલબેરિંગની સંખ્યાનું સરેરાશ વિચલન 2.8 અને સરેરાશ વિચલનાંક 0.35 છે.
આપેલી અસતત આવૃત્તિ-વિતરણ માહિતી પરથી કૉલદીઠ વાતચીતના સમયનું સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) અને સરેરાશ વિચલનાંક શોધવા માટે મધ્યક ($\bar{x}$) નો ઉપયોગ કરીશું.
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
| વાતચીતનો સમય (x) | કૉલની સંખ્યા (f) | ગુણનફળ (fx) |
| 3 | 4 | 12 |
| 5 | 7 | 35 |
| 10 | 6 | 60 |
| 12 | 2 | 24 |
| 15 | 1 | 15 |
| કુલ | $\sum f = 20$ | $\sum fx = 146$ |
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$$
$$\bar{x} = \frac{146}{20} = 7.3 \text{ મિનિટ}$$
૨. સરેરાશ વિચલન માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| x | f | ∣x−xˉ∣ (∣x−7.3∣ દર્શાવતા) | f∣x−xˉ∣ |
| 3 | 4 | 4.3 | $4 \times 4.3 = 17.2$ |
| 5 | 7 | 2.3 | $7 \times 2.3 = 16.1$ |
| 10 | 6 | 2.7 | $6 \times 2.7 = 16.2$ |
| 12 | 2 | 4.7 | $2 \times 4.7 = 9.4$ |
| 15 | 1 | 7.7 | $1 \times 7.7 = 7.7$ |
| કુલ | $\sum f = 20$ | — | $\sum f\vert{}x - \bar{x}\vert{} = 66.6$ |
૩. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f\vert{}x - \bar{x}\vert{}}{\sum f}$$
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{66.6}{20} = 3.33 \text{ મિનિટ}$$
૪. સરેરાશ વિચલનાંક (Coefficient of Mean Deviation) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{સરેરાશ વિચલનાંક} = \frac{\text{M.D.}(\bar{x})}{\bar{x}}$$
$$\text{સરેરાશ વિચલનાંક} = \frac{3.33}{7.3} = 0.4562$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 0.46
આમ, કૉલદીઠ વાતચીતના સમયનું સરેરાશ વિચલન 3.33 મિનિટ અને સરેરાશ વિચલનાંક 0.46 છે.
આપેલી સતત આવૃત્તિ-વિતરણ માહિતી પરથી ટી.વી.ના માસિક વેચાણનું સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) અને સરેરાશ વિચલનાંક શોધવા માટે સૌપ્રથમ મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી કરીશું.
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
| ટી.વી. સેટની સંખ્યા (વર્ગ) | મહિનાની સંખ્યા (f) | મધ્યકિંમત (m) | ગુણનફળ (fm) |
| 10 – 30 | 1 | 20 | $1 \times 20 = 20$ |
| 30 – 50 | 4 | 40 | $4 \times 40 = 160$ |
| 50 – 70 | 6 | 60 | $6 \times 60 = 360$ |
| 70 – 90 | 4 | 80 | $4 \times 80 = 320$ |
| 90 – 110 | 1 | 100 | $1 \times 100 = 100$ |
| કુલ | $\sum f = 16$ | — | $\sum fm = 960$ |
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fm}{\sum f}$$
$$\bar{x} = \frac{960}{16} = 60 \text{ ટી.વી. સેટ}$$
૨. સરેરાશ વિચલન માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| વર્ગ | f | મધ્યકિંમત (m) | ∣m−xˉ∣ (∣m−60∣ દર્શાવતા) | f∣m−xˉ∣ |
| 10 – 30 | 1 | 20 | 40 | $1 \times 40 = 40$ |
| 30 – 50 | 4 | 40 | 20 | $4 \times 20 = 80$ |
| 50 – 70 | 6 | 60 | 0 | $6 \times 0 = 0$ |
| 70 – 90 | 4 | 80 | 20 | $4 \times 20 = 80$ |
| 90 – 110 | 1 | 100 | 40 | $1 \times 40 = 40$ |
| કુલ | $\sum f = 16$ | — | — | $\sum f\Vert{}m - \bar{x}\Vert{} = 240$ |
૩. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f\vert{}m - \bar{x}\vert{}}{\sum f}$$
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{240}{16} = 15 \text{ ટી.વી. સેટ}$$
૪. સરેરાશ વિચલનાંક (Coefficient of Mean Deviation) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{સરેરાશ વિચલનાંક} = \frac{\text{M.D.}(\bar{x})}{\bar{x}}$$
$$\text{સરેરાશ વિચલનાંક} = \frac{15}{60} = 0.25$$
આમ, ટી.વી.ના માસિક વેચાણનું સરેરાશ વિચલન 15 ટી.વી. સેટ અને સરેરાશ વિચલનાંક 0.25 છે.
આપેલી સતત આવૃત્તિ-વિતરણ માહિતી પરથી બૉક્સદીઠ વસ્તુના એકમોની સંખ્યાનું સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) શોધવા માટે સૌપ્રથમ મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી કરીશું.
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
| એકમોની સંખ્યા (વર્ગ) | બૉક્સની સંખ્યા (f) | મધ્યકિંમત (m) | ગુણનફળ (fm) |
| 0 – 10 | 6 | 5 | $6 \times 5 = 30$ |
| 10 – 20 | 5 | 15 | $5 \times 15 = 75$ |
| 20 – 30 | 8 | 25 | $8 \times 25 = 200$ |
| 30 – 40 | 15 | 35 | $15 \times 35 = 525$ |
| 40 – 50 | 7 | 45 | $7 \times 45 = 315$ |
| 50 – 60 | 6 | 55 | $6 \times 55 = 330$ |
| 60 – 70 | 3 | 65 | $3 \times 65 = 195$ |
| કુલ | $\sum f = 50$ | — | $\sum fm = 1670$ |
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fm}{\sum f}$$
$$\bar{x} = \frac{1670}{50} = 33.4 \text{ એકમો}$$
૨. સરેરાશ વિચલન માટેનું ગણતરી કોષ્ટક:
| વર્ગ | f | મધ્યકિંમત (m) | ∣m−xˉ∣ (∣m−33.4∣ દર્શાવતા) | f∣m−xˉ∣ |
| 0 – 10 | 6 | 5 | 28.4 | $6 \times 28.4 = 170.4$ |
| 10 – 20 | 5 | 15 | 18.4 | $5 \times 18.4 = 92.0$ |
| 20 – 30 | 8 | 25 | 8.4 | $8 \times 8.4 = 67.2$ |
| 30 – 40 | 15 | 35 | 1.6 | $15 \times 1.6 = 24.0$ |
| 40 – 50 | 7 | 45 | 11.6 | $7 \times 11.6 = 81.2$ |
| 50 – 60 | 6 | 55 | 21.6 | $6 \times 21.6 = 129.6$ |
| 60 – 70 | 3 | 65 | 31.6 | $3 \times 31.6 = 94.8$ |
| કુલ | $\sum f = 50$ | — | — | $\sum f\Vert{}m - \bar{x}\Vert{} = 659.2$ |
૩. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f\vert{}m - \bar{x}\vert{}}{\sum f}$$
$$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{659.2}{50} = 13.184 \text{ એકમો}$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 13.18 એકમો
આમ, બૉક્સદીઠ એકમોની સંખ્યાનું સરેરાશ વિચલન 13.18 એકમો છે.
અહીં આપેલી માહિતી પરથી વિદ્યાર્થીઓએ મેળવેલા ગુણનું પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation - $S$ અથવા $\sigma$) શોધવા માટે આપણે પ્રત્યક્ષ અવલોકનોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
અપાયેલા અવલોકનો ($x$): $64, 63, 72, 65, 68, 69, 66, 67, 69$
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 9
તમામ અવલોકનોનો સરવાળો ($\sum x$) = $64 + 63 + 72 + 65 + 68 + 69 + 66 + 67 + 69 = 603$
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$$
$$\bar{x} = \frac{603}{9} = 67 \text{ ગુણ}$$
૨. ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:
| અવલોકન (x) | વિચલન (x−xˉ) (x−67) | વિચલનનો વર્ગ (x−xˉ)2 |
| 64 | $64 - 67 = -3$ | $(-3)^2 = 9$ |
| 63 | $63 - 67 = -4$ | $(-4)^2 = 16$ |
| 72 | $72 - 67 = 5$ | $(5)^2 = 25$ |
| 65 | $65 - 67 = -2$ | $(-2)^2 = 4$ |
| 68 | $68 - 67 = 1$ | $(1)^2 = 1$ |
| 69 | $69 - 67 = 2$ | $(2)^2 = 4$ |
| 66 | $66 - 67 = -1$ | $(-1)^2 = 1$ |
| 67 | $67 - 67 = 0$ | $(0)^2 = 0$ |
| 69 | $69 - 67 = 2$ | $(2)^2 = 4$ |
| કુલ | $\sum(x - \bar{x}) = 0$ | $\sum(x - \bar{x})^2 = 64$ |
૩. પ્રમાણિત વિચલન ($S$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$S = \sqrt{\frac{\sum(x - \bar{x})^2}{n}}$$
$$S = \sqrt{\frac{64}{9}}$$
$$S = \sqrt{7.1111} = 2.6667$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 2.67 ગુણ
આમ, વિદ્યાર્થીઓએ મેળવેલ ગુણનું પ્રમાણિત વિચલન 2.67 છે.
અહીં આપેલી માહિતી પરથી સર્વિસ માટે આવતી કારની સંખ્યાનું પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation - S અથવાશ σ) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. મધ્યક (xˉ) ની ગણતરી:
અપાયેલા અવલોકનો (x): 7,3,11,8,9 અવલોકનોની સંખ્યા (n) = 5
તમામ અવલોકનોનો સરવાળો (∑x) = 7+3+11+8+9=38
સૂત્ર:
xˉ=n∑x
xˉ=538=7.6 કાર
૨. ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:
| અવલોકન (x) | વિચલન (x−xˉ) (x−7.6) | વિચલનનો વર્ગ (x−xˉ)2 |
|---|---|---|
| 7 | 7−7.6=−0.6 | (−0.6)2=0.36 |
| 3 | 3−7.6=−4.6 | (−4.6)2=21.16 |
| 11 | 11−7.6=3.4 | (3.4)2=11.56 |
| 8 | 8−7.6=0.4 | (0.4)2=0.16 |
| 9 | 9−7.6=1.4 | (1.4)2=1.96 |
| કુલ | ∑(x−xˉ)=0 | ∑(x−xˉ)2=35.2 |
૩. પ્રમાણિત વિચલન (S) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
S=n∑(x−xˉ)2
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="2.48em" viewBox="0 0 400000 2592" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M424,2478<br />
c-1.3,-0.7,-38.5,-172,-111.5,-514c-73,-342,-109.8,-513.3,-110.5,-514<br />
c0,-2,-10.7,14.3,-32,49c-4.7,7.3,-9.8,15.7,-15.5,25c-5.7,9.3,-9.8,16,-12.5,20<br />
s-5,7,-5,7c-4,-3.3,-8.3,-7.7,-13,-13s-13,-13,-13,-13s76,-122,76,-122s77,-121,77,-121<br />
s209,968,209,968c0,-2,84.7,-361.7,254,-1079c169.3,-717.3,254.7,-1077.7,256,-1081<br />
l0 -0c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000<br />
v40H1014.6<br />
s-87.3,378.7,-272.6,1166c-185.3,787.3,-279.3,1182.3,-282,1185<br />
c-2,6,-10,9,-24,9<br />
c-8,0,-12,-0.7,-12,-2z M1001 80<br />
h400000v40h-400000z"></path></svg>)
S=535.2
S=7.04
![](data:image/svg+xml;utf8,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="1.08em" viewBox="0 0 400000 1080" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M95,702<br />
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14<br />
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54<br />
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10<br />
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429<br />
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221<br />
l0 -0<br />
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14<br />
H400000v40H845.2724<br />
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7<br />
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z<br />
M834 80h400000v40h-400000z"></path></svg>)
=2.6533અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 2.65 કાર
આમ, એક દિવસમાં સર્વિસ માટે આવતી કારની સંખ્યાનું પ્રમાણિત વિચલન 2.65 કાર છે.
આપેલી માહિતી અસતત આવૃત્તિ-વિતરણ પ્રકારની છે. થાપણની રકમનો પ્રમાણિત વિચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) શોધવા માટે સૌપ્રથમ મધ્યક ($\bar{x}$) અને પ્રમાણિત વિચલન ($S$) ની ગણતરી કરીશું.
૧. ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:
| થાપણની રકમ (x) | થાપણદારોની સંખ્યા (f) | ગુણનફળ (fx) | વિચલન (x−xˉ) (x−19) | વિચલનનો વર્ગ (x−xˉ)2 | f(x−xˉ)2 |
| 5 | 2 | 10 | -14 | 196 | 392 |
| 10 | 7 | 70 | -9 | 81 | 567 |
| 15 | 11 | 165 | -4 | 16 | 176 |
| 20 | 15 | 300 | 1 | 1 | 15 |
| 25 | 10 | 250 | 6 | 36 | 360 |
| 30 | 4 | 120 | 11 | 121 | 484 |
| 35 | 1 | 35 | 16 | 256 | 256 |
| કુલ | $\sum f = 50$ | $\sum fx = 950$ | — | — | $\sum f(x - \bar{x})^2 = 2250$ |
૨. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$$
$$\bar{x} = \frac{950}{50} = 19 \text{ હજાર ₹}$$
૩. પ્રમાણિત વિચલન ($S$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$S = \sqrt{\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{\sum f}}$$
$$S = \sqrt{\frac{2250}{50}}$$
$$S = \sqrt{45} = 6.7082 \text{ હજાર ₹}$$
૪. પ્રમાણિત વિચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) ની ગણતરી:
પ્રમાણિત વિચલનાંક એ સાપેક્ષ પ્રસારનું માપ છે, જેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$$\text{પ્રમાણિત વિચલનાંક (C.V.)} = \frac{S}{\bar{x}} \times 100$$
$$\text{C.V.} = \frac{6.7082}{19} \times 100$$
$$\text{C.V.} = 0.3531 \times 100 = 35.31\%$$
આમ, થાપણની રકમનો પ્રમાણિત વિચલનાંક 35.31% છે.
આપેલી માહિતી સતત આવૃત્તિ-વિતરણ પ્રકારની છે. 50 પેઢીના નફાનું પ્રમાણિત વિચલન ($S$) શોધવા માટે આપણે પદ-વિચલન પદ્ધતિ (Step-deviation method) નો ઉપયોગ કરીશું.
૧. ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:
ધારો કે ધારેલો મધ્યકિકન્દુ (Assumed mean) $A = 25$ છે અને વર્ગલંબાઈ $h = 10$ છે.
પદ-વિચલન $d = \frac{m - A}{h}$
| નફો (વર્ગ) (લાખ ₹) | પેઢીઓની સંખ્યા (f) | મધ્યકિંમત (m) | પદ-વિચલન (d) | fd | fd2 |
| 0 – 10 | 7 | 5 | -2 | -14 | 28 |
| 10 – 20 | 6 | 15 | -1 | -6 | 6 |
| 20 – 30 | 15 | 25 | 0 | 0 | 0 |
| 30 – 40 | 12 | 35 | 1 | 12 | 12 |
| 40 – 50 | 10 | 45 | 2 | 20 | 40 |
| કુલ | $\sum f = 50$ | — | — | $\sum fd = 12$ | $\sum fd^2 = 86$ |
૨. પ્રમાણિત વિચલન ($S$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$S = \sqrt{\frac{\sum fd^2}{N} - \left(\frac{\sum fd}{N}\right)^2} \times h$$
અહીં, $\sum f = N = 50, \sum fd = 12, \sum fd^2 = 86, h = 10$
$$S = \sqrt{\frac{86}{50} - \left(\frac{12}{50}\right)^2} \times 10$$
$$S = \sqrt{1.72 - (0.24)^2} \times 10$$
$$S = \sqrt{1.72 - 0.0576} \times 10$$
$$S = \sqrt{1.6624} \times 10$$
$$S = 1.2893 \times 10 = 12.8934 \text{ લાખ ₹}$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 12.89 લાખ ₹
આમ, પેઢીઓના નફાનું પ્રમાણિત વિચલન 12.89 લાખ ₹ છે.
આપેલી માહિતી પરથી બંને કંપનીના વહીવટી કર્મચારીઓના દૈનિક પગારની સ્થિરતા સરખાવવા માટે આપણે બંને કંપનીના પગારનો પ્રમાણિત વિચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) શોધીશું. જે કંપનીનો પ્રમાણિત વિચલનાંક ઓછો હોય, તે કંપનીમાં પગાર વધુ સ્થિર ગણાય.
૧. સૂત્ર:
$$\text{પ્રમાણિત વિચલનાંક (C.V.)} = \frac{S}{\bar{x}} \times 100$$
(જ્યાં $S$ = પ્રમાણિત વિચલન અને $\bar{x}$ = સરેરાશ પગાર)
૨. કંપની A માટે ગણતરી:
સરેરાશ પગાર ($\bar{x}_A$) = ₹600
પ્રમાણિત વિચલન ($S_A$) = 30
$$\text{C.V. (કંપની A)} = \frac{30}{600} \times 100$$
$$\text{C.V. (કંપની A)} = \frac{3000}{600} = 5\%$$
૩. કંપની B માટે ગણતરી:
સરેરાશ પગાર ($\bar{x}_B$) = ₹2100
પ્રમાણિત વિચલન ($S_B$) = 84
$$\text{C.V. (કંપની B)} = \frac{84}{2100} \times 100$$
$$\text{C.V. (કંપની B)} = \frac{8400}{2100} = 4\%$$
૪. પરિણામ અને નિર્ણય:
કંપની A નો પ્રમાણિત વિચલનાંક = 5%
કંપની B નો પ્રમાણિત વિચલનાંક = 4%
અહીં, કંપની B નો પ્રમાણિત વિચલનાંક ($4\%$) એ કંપની A ના પ્રમાણિત વિચલનાંક ($5\%$) કરતા ઓછો છે. તેથી, કંપની B માં પગાર વધુ સ્થિર છે.
આપેલી માહિતી પરથી બંને શ્રેણીના મધ્યક ($\bar{x}$) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. સૂત્ર:
ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$$\text{C.V.} = \frac{S}{\bar{x}} \times 100$$
આ સૂત્રને મધ્યક ($\bar{x}$) માટે ગોઠવતા:
$$\bar{x} = \frac{S}{\text{C.V.}} \times 100$$
૨. પ્રથમ શ્રેણી માટે મધ્યક ($\bar{x}_1$) ની ગણતરી:
ચલનાંક ($\text{C.V.}_1$) = $30\%$
પ્રમાણિત વિચલન ($S_1$) = $15$
$$\bar{x}_1 = \frac{15}{30} \times 100$$
$$\bar{x}_1 = 0.5 \times 100 = 50$$
૩. બીજી શ્રેણી માટે મધ્યક ($\bar{x}_2$) ની ગણતરી:
ચલનાંક ($\text{C.V.}_2$) = $25\%$
પ્રમાણિત વિચલન ($S_2$) = $9$
$$\bar{x}_2 = \frac{9}{25} \times 100$$
$$\bar{x}_2 = 9 \times 4 = 36$$
૪. અંતિમ પરિણામ:
પ્રથમ શ્રેણીનો મધ્યક = 50
બીજી શ્રેણીનો મધ્યક = 36
A: $x_H - x_L$
B: $\frac{x_H - x_L}{x_H + x_L}$
C: $\frac{x_L - x_H}{x_L + x_H}$
D: $x_L - x_H$
A: સરેરાશ વિચલન
B: પ્રમાણિત વિચલન
C: વિસ્તાર
D: ચતુર્થક વિચલન
A: સરેરાશ વિચલન
B: ચતુર્થક વિચલન
C: વિસ્તાર
D: ચલનાંક
A: વિસ્તાર
B: પ્રમાણિત વિચલન
C: ચતુર્થક વિચલન
D: સરેરાશ વિચલન
A: A
B: B
C: બંને
D: કહી શકાય નહિ.
A: 17 કિ.ગ્રા.
B: 23 કિ.ગ્રા.
C: 24 કિ.ગ્રા.
D: 18 કિ.ગ્રા.
A: 0.25
B: 50
C: 4
D: 20
A: 1
B: 5
C: 0
D: 25
A: 6
B: 36
C: 60
D: 50
A: (i) 7 (ii) 3
B: (i) 5 (ii) 3
C: (i) 5 (ii) 15
D: (i) 7 (ii) 15
A: 19 અને 6
B: 15 અને 49
C: 19 અને 10
D: 15 અને 10
A: 10%
B: 50%
C: 11.11%
D: 900%
આપેલ માહિતીના સૌથી મોટા અવલોકન ($H$) અને સૌથી નાના અવલોકન ($L$) વચ્ચેના તફાવતને વિસ્તાર (Range - $R$) કહે છે.
સૂત્ર: $R = H - L$
આપેલ માહિતીના તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) અને પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) ના તફાવતના અડધા ભાગને ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation - Q.D.) કહે છે.
સૂત્ર: $\text{Q.D.} = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$
આપેલી સતત આવૃત્તિ-વિતરણ માહિતી પરથી પાઈપના વ્યાસનો વિસ્તાર (Range) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. વર્ગસીમાઓની ઓળખ:
સૌથી નાની વર્ગની અધઃસીમા (L) = 20 (પ્રથમ વર્ગ 20–40 માંથી)
સૌથી મોટી વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા (H) = 120 (છેલ્લા વર્ગ 100–120 માંથી)
૨. વિસ્તાર (Range - R) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
R=H−L
R=120−20=100 સેમી
આમ, પાઈપના વ્યાસનો વિસ્તાર 100 સેમી છે.
આપેલી માહિતી પરથી ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation - Q.D.) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. શતાંશક અને ચતુર્થકો વચ્ચેનો સંબંધ:
આપણે જાણીએ છીએ કે:
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) એ 25મા શતાંશક ($P_{25}$) બરાબર હોય છે.
તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) એ 75મા શતાંશક ($P_{75}$) બરાબર હોય છે.
આપેલ કિંમતો મુજબ:
$Q_1 = P_{25} = 72.18$
$Q_3 = P_{75} = 103.99$
૨. ચતુર્થક વિચલન (Q.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{Q.D.} = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{Q.D.} = \frac{103.99 - 72.18}{2}$$
$$\text{Q.D.} = \frac{31.81}{2} = 15.905$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 15.91
આમ, માહિતીનું ચતુર્થક વિચલન 15.91 છે.
અહીં આપેલા તમામ અવલોકનો સમાન (સ્થિર) છે.
અવલોકનો: 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20
મધ્યક ($\bar{x}$) = 20
તમામ અવલોકનો સમાન હોવાથી તેમાં કોઈ વિચલન કે પ્રસાર હોતો નથી ($x - \bar{x} = 0$).
તેથી, તેમના ગુણનું પ્રમાણિત વિચલન શૂન્ય (0) થશે.
અપાયેલા અવલોકનો પરથી સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
અપાયેલા અવલોકનો ($x$): $-1, 0, 4$
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 3
તમામ અવલોકનોનો સરવાળો ($\sum x$) = $-1 + 0 + 4 = 3$
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$$
$$\bar{x} = \frac{3}{3} = 1$$
૨. વિચલન અને તેના માનાંકની ગણતરી:
| અવલોકન (x) | મધ્યકથી વિચલનગત માનાંક ∣x−xˉ∣ (∣x−1∣ દર્શાવતા) |
| $-1$ | $\vert{}-1 - 1\vert{} = \vert{}-2\vert{} = 2$ |
| $0$ | $\vert{}0 - 1\vert{} = \vert{}-1\vert{} = 1$ |
| $4$ | $\vert{}4 - 1\vert{} = \vert{}3\vert{} = 3$ |
| કુલ | $\sum \vert{}x - \bar{x}\vert{} = 6$ |
૩. સરેરાશ વિચલન (M.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{M.D.} = \frac{\sum \vert{}x - \bar{x}\vert{}}{n}$$
$$\text{M.D.} = \frac{6}{3} = 2$$
આમ, આપેલ અવલોકનોનું સરેરાશ વિચલન 2 છે.
(i) સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation):
માહિતીના તમામ અવલોકનો અને તેના કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનના માપ (સામાન્ય રીતે મધ્યક કે મધ્યસ્થ) વચ્ચેના તફાવતોના ધન મૂલ્યો (માનાંક) ની સરેરાશને સરેરાશ વિચલન કહે છે.
(ii) પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation):
માહિતીના અવલોકનોના તેમના અંકગણિત મધ્યકથી લીધેલા વિચલનોના વર્ગોની સરેરાશના ધન વર્ગમૂળને પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$ અથવા $S$) કહે છે. આ પ્રસારનું સૌથી મહત્વનું અને શ્રેષ્ઠ માપ છે.
(iii) ચલનાંક (Coefficient of Variation):
પ્રમાણિત વિચલન અને મધ્યકના ગુણોત્તરને 100 વડે ગુણવાથી મળતા પ્રતિશત મૂલ્યને ચલનાંક (C.V.) કહે છે. તે સાપેક્ષ પ્રસારનું માપ છે અને કોઈપણ એકમથી મુક્ત હોવાથી બે કે તેથી વધુ સમૂહોની સરખામણી કરવા માટે વપરાય છે.
પ્રસારના નિરપેક્ષ અને સાપેક્ષ માપનો અર્થ નીચે મુજબ છે:
૧. પ્રસારનું નિરપેક્ષ માપ (Absolute Measure of Dispersion)
અર્થ: જે માપ દ્વારા આપેલ માહિતીના અવલોકનોના મૂળ એકમોમાં જ પ્રસાર (ફેલાવો) માપવામાં આવે છે, તેને પ્રસારનું નિરપેક્ષ માપ કહે છે.
મુખ્ય વિશેષતા: આ માપોનો એકમ હંમેશાં મૂળ માહિતીના એકમ જેટલો જ હોય છે (દા.ત., સેમી, કિગ્રા, રૂપિયા, ગુણ વગેરે). તેથી, જુદા-જુદા એકમો કે અલગ-અલગ સરેરાશ ધરાવતા બે સમૂહોની સરખામણી કરવા માટે આ માપો અનુકૂળ નથી.
ઉદાહરણો: વિસ્તાર (Range), ચતુર્થક વિચલન (Q.D.), સરેરાશ વિચલન (M.D.), અને પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation).
૨. પ્રસારનું સાપેક્ષ માપ (Relative Measure of Dispersion)
અર્થ: પ્રસારના નિરપેક્ષ માપને તેની સાથે સંબંધિત કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનના માપ (સામાન્ય રીતે મધ્યક કે મધ્યસ્થ) વડે ભાગવાથી મળતા ગુણોત્તરને પ્રસારનું સાપેક્ષ માપ કહે છે.
મુખ્ય વિશેષતા: આ માપો કોઈપણ એકમથી મુક્ત (Unit-free) હોય છે અને તેને ઘણીવાર ટકાવારીમાં દર્શાવવામાં આવે છે.
ઉપયોગ: અલગ-અલગ એકમો અથવા અલગ-અલગ કદ ધરાવતા બે કે તેથી વધુ સમૂહોની ચલન કે સ્થિરતાની સરખામણી કરવા માટે સાપેક્ષ માપો અત્યંત ઉપયોગી છે.
ઉદાહરણો: વિસ્તારાંક, ચતુર્થક વિચલનાંક, સરેરાશ વિચલનાંક, અને ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.).
પ્રસારના ચાર મુખ્ય નિરપેક્ષ માપો (Absolute Measures of Dispersion) નીચે મુજબ છે:
વિસ્તાર (Range - $R$)
ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation - Q.D.)
સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.)
પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation - $S$ અથવા $\sigma$)
અવલોકનો અને તેના મધ્યકમાંથી લીધેલા વિચલનો પર આધારિત પ્રસારનાં મુખ્ય માપો નીચે મુજબ છે:
સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.): આ માપ અવલોકનો અને મધ્યક વચ્ચેના તફાવતના ધન મૂલ્યો (માનાંક: $\vert{}x - \bar{x}\vert{}$) ની સરેરાશ પર આધારિત છે.
પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation - $\sigma$ અથવા $S$): આ માપ મધ્યકથી લીધેલા વિચલનોના વર્ગોની સરેરાશના ધન વર્ગમૂળ પર આધારિત છે ($\sqrt{\frac{\sum(x - \bar{x})^2}{n}}$).
વિચરણ (Variance - $\sigma^2$ અથવા $S^2$): આ પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ છે, જે સીધો જ મધ્યકથી લીધેલા વિચલનોના વર્ગોની સરેરાશ દર્શાવે છે.
અહીં આપેલા અવલોકનો પરથી વિસ્તાર (Range - $R$) અને વિસ્તારાંક (Coefficient of Range) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. અવલોકનોની ગોઠવણી અને ઓળખ:
અપાયેલા અવલોકનો ($x$): $6, 11, -3, 0, 8$
સૌથી મોટું અવલોકન ($H$) = $11$
સૌથી નાનું અવલોકન ($L$) = $-3$
૨. વિસ્તાર (Range - $R$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$R = H - L$$
$$R = 11 - (-3)$$
$$R = 11 + 3 = 14$$
૩. વિસ્તારાંક (Coefficient of Range) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{H - L}{H + L}$$
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{11 - (-3)}{11 + (-3)}$$
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{11 + 3}{11 - 3}$$
$$\text{વિસ્તારાંક} = \frac{14}{8} = 1.75$$
૪. અંતિમ પરિણામ:
આપેલ માહિતીનો વિસ્તાર = 14
આપેલ માહિતીનો વિસ્તારાંક = 1.75
અહીં આપેલી માહિતી પરથી ચતુર્થક વિચલનાંક (Coefficient of Quartile Deviation) શોધવા માટેના તબક્કાવાર પગલાં નીચે મુજબ છે:
૧. અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવવા:
અપાયેલા અવલોકનો: $8, 15, 2, 11, 20, 3, 5$
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $7$
ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$$2, 3, 5, 8, 11, 15, 20$$
૨. પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) અને તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) ની ગણતરી:
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$):
$$Q_1 \text{ નું સ્થાન} = \left(\frac{n + 1}{4}\right) \text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_1 = \left(\frac{7 + 1}{4}\right) = \left(\frac{8}{4}\right) = 2 \text{મુ અવલોકન}$$
ચઢતા ક્રમમાં બીજું અવલોકન = $3$ ($\therefore Q_1 = 3$)
તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$):
$$Q_3 \text{ નું સ્થાન} = 3\left(\frac{n + 1}{4}\right) \text{મુ અવલોકન}$$
$$Q_3 = 3\left(\frac{7 + 1}{4}\right) = 3(2) = 6 \text{મુ અવલોકન}$$
ચઢતા ક્રમમાં છઠ્ઠું અવલોકન = $15$ ($\therefore Q_3 = 15$)
૩. ચતુર્થક વિચલનાંક (Coefficient of Quartile Deviation) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{15 - 3}{15 + 3}$$
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} = 0.67$$
આમ, આપેલ માહિતીનો ચતુર્થક વિચલનાંક 0.67 છે.
અહીં આપેલી માહિતી પરથી સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
અપાયેલા અવલોકનો ($x$): $3, 8, 1, 7, 6$
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $5$
તમામ અવલોકનોનો સરવાળો ($\sum x$) = $3 + 8 + 1 + 7 + 6 = 25$
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$$
$$\bar{x} = \frac{25}{5} = 5$$
૨. વિચલન અને તેના માનાંકની ગણતરી:
| અવલોકન (x) | મધ્યકથી વિચલનગત માનાંક ∣x−xˉ∣ (∣x−5∣ દર્શાવતા) |
| $3$ | $\vert{}3 - 5\vert{} = \vert{}-2\vert{} = 2$ |
| $8$ | $\vert{}8 - 5\vert{} = \vert{}3\vert{} = 3$ |
| $1$ | $\vert{}1 - 5\vert{} = \vert{}-4\vert{} = 4$ |
| $7$ | $\vert{}7 - 5\vert{} = \vert{}2\vert{} = 2$ |
| $6$ | $\vert{}6 - 5\vert{} = \vert{}1\vert{} = 1$ |
| કુલ | $\sum \vert{}x - \bar{x}\vert{} = 12$ |
૩. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{સરેરાશ વિચલન (M.D.)} = \frac{\sum \vert{}x - \bar{x}\vert{}}{n}$$
$$\text{M.D.} = \frac{12}{5} = 2.4$$
આમ, આપેલ અવલોકનોનું સરેરાશ વિચલન 2.4 છે.
આપેલી માહિતી પરથી વિચરણ (Variance) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. આપેલી માહિતી:
પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = $25$
ચલનાંક (C.V.) = $20\%$
૨. વિચરણ ($\sigma^2$) ની ગણતરી:
વિચરણ એ પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ છે ($\sigma^2$).
અહીં આપણને પ્રમાણિત વિચલન સીધું જ ($\sigma = 25$) આપેલું છે, તેથી વિચરણ શોધવા માટે ફક્ત તેનો વર્ગ કરવાનો રહેશે:
$$\text{વિચરણ} = \sigma^2$$
$$\text{વિચરણ} = (25)^2$$
$$\text{વિચરણ} = 625$$
આમ, માહિતીનું વિચરણ 625 થશે.
અહીં આપેલી માહિતી પરથી પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation - $S$ અથવા $\sigma$) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
અપાયેલા અવલોકનો ($x$): $1, 2, 3, 4, 5$
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 5
તમામ અવલોકનોનો સરવાળો ($\sum x$) = $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$$
$$\bar{x} = \frac{15}{5} = 3$$
૨. ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:
| અવલોકન (x) | વિચલન (x−xˉ) (x−3) | વિચલનનો વર્ગ (x−xˉ)2 |
| 1 | $1 - 3 = -2$ | $(-2)^2 = 4$ |
| 2 | $2 - 3 = -1$ | $(-1)^2 = 1$ |
| 3 | $3 - 3 = 0$ | $(0)^2 = 0$ |
| 4 | $4 - 3 = 1$ | $(1)^2 = 1$ |
| 5 | $5 - 3 = 2$ | $(2)^2 = 4$ |
| કુલ | $\sum(x - \bar{x}) = 0$ | $\sum(x - \bar{x})^2 = 10$ |
૩. પ્રમાણિત વિચલન ($S$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$S = \sqrt{\frac{\sum(x - \bar{x})^2}{n}}$$
$$S = \sqrt{\frac{10}{5}}$$
$$S = \sqrt{2} = 1.4142$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 1.41
આમ, આપેલ અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન 1.41 છે.
આપેલી માહિતી પરથી બંને ફેક્ટરીઓમાંથી કઈ ફેક્ટરી દૈનિક ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં વધુ સ્થિર છે તે નક્કી કરવા માટે આપણે બંનેનો ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) શોધવો પડશે:
૧. આપેલી માહિતી:
ફેક્ટરી A: સરેરાશ દૈનિક ઉત્પાદન ($\bar{x}_1$) = 50, પ્રમાણિત વિચલન ($S_1$) = 10
ફેક્ટરી B: સરેરાશ દૈનિક ઉત્પાદન ($\bar{x}_2$) = 48, પ્રમાણિત વિચલન ($S_2$) = 12
૨. ચલનાંક (C.V.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{C.V.} = \frac{S}{\bar{x}} \times 100$$
ફેક્ટરી A નો ચલનાંક:
$$\text{C.V.}_A = \frac{10}{50} \times 100 = 0.20 \times 100 = 20\%$$
ફેક્ટરી B નો ચલનાંક:
$$\text{C.V.}_B = \frac{12}{48} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25\%$$
૩. નિષ્કર્ષ:
જે ફેક્ટરીનો ચલનાંક ઓછો હોય, તે ફેક્ટરી વધુ સ્થિર અને એકસમાન ગણાય છે.
અહીં ફેક્ટરી A નો ચલનાંક ($20\%$) એ ફેક્ટરી B ના ચલનાંક ($25\%$) કરતાં ઓછો છે.
તેથી, દૈનિક ઉત્પાદનના સંદર્ભમાં ફેક્ટરી A વધુ સ્થિર છે.
આપેલી માહિતી પરથી ચતુર્થક વિચલનાંક (Coefficient of Quartile Deviation) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. શતાંશક અને ચતુર્થકો વચ્ચેનો સંબંધ:
આપણે જાણીએ છીએ કે:
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) એ 25મા શતાંશક ($P_{25}$) બરાબર હોય છે.
તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) એ 75મા શતાંશક ($P_{75}$) બરાબર હોય છે.
આપેલ કિંમતો મુજબ:
$Q_1 = P_{25} = 20$
$Q_3 = P_{75} = 36$
૨. ચતુર્થક વિચલનાંક ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{36 - 20}{36 + 20}$$
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{16}{56}$$
અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા ($\frac{8}$ વડે છેદ ઉડાડતા):
$$\text{ચતુર્થક વિચલનાંક} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$$
અંદાજે બે દશાંશ સ્થળ સુધી: 0.29
આમ, માહિતીનો ચતુર્થક વિચલનાંક 0.29 છે.
૧. પ્રસારમાનનો અર્થ (Meaning of Dispersion)
આંકડાશાસ્ત્રમાં, જ્યારે આપેલ માહિતીના અવલોકનો માત્ર કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનના માપ (જેવા કે મધ્યક, મધ્યસ્થ કે બહુલક) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે, ત્યારે તે માહિતીની સંપૂર્ણ કે સચોટ માહિતી આપતા નથી. કારણ કે જુદી-જુદી માહિતીના મધ્યક સમાન હોવા છતાં તેમના અવલોકનોમાં ઘણો તફાવત (ફેલાવો) હોઈ શકે છે.
આપેલ માહિતીના અવલોકનો કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનના મૂલ્યથી કેટલા પ્રમાણમાં છૂટાં છવાયાં છે કે ફેલાયેલાં છે (એટલે કે અવલોકનોમાં રહેલી અસમાનતા કે ચલન), તેની માત્રા જાણવા માટેના આંકડાકીય માપને પ્રસારમાન (Dispersion) કહે છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, માહિતીના અવલોકનોમાં રહેલા ફેલાવા કે ચલનને માપવાની પદ્ધતિ એટલે પ્રસારમાન.
૨. પ્રસારમાનના માપો (Measures of Dispersion)
પ્રસારમાનના માપોને મુખ્યત્વે બે વિભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે: નિરપેક્ષ માપો અને સાપેક્ષ માપો.
(અ) પ્રસારનાં નિરપેક્ષ માપો (Absolute Measures)
આ માપોનો એકમ માહિતીના મૂળ એકમ (જેવા કે સેમી, કિગ્રા, રૂપિયા, ગુણ વગેરે) જેટલો જ હોય છે. તેનો ઉપયોગ સમાન એકમ કે સમાન સરેરાશ ધરાવતા સમૂહો માટે થાય છે. મુખ્ય ચાર નિરપેક્ષ માપો નીચે મુજબ છે:
વિસ્તાર (Range - $R$): સૌથી મોટા અવલોકન અને સૌથી નાના અવલોકન વચ્ચેનો તફાવત ($H - L$).
ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation - Q.D.): તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) અને પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) ના તફાવતનો અડધો ભાગ ($\frac{Q_3 - Q_1}{2}$).
સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation - M.D.): અવલોકનો અને તેના મધ્યક (કે મધ્યસ્થ) વચ્ચેના તફાવતોના ધન મૂલ્યોની સરેરાશ.
પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation - $S$ અથવા $\sigma$): અવલોકનોના મધ્યકથી લીધેલા વિચલનોના વર્ગોની સરેરાશનું ધન વર્ગમૂળ. (આ પ્રસારનું સૌથી શ્રેષ્ઠ અને લોકપ્રિય માપ છે).
(બ) પ્રસારનાં સાપેક્ષ માપો (Relative Measures)
નિરપેક્ષ માપને તેની સાથે સંબંધિત કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનના માપ વડે ભાગવાથી સાપેક્ષ માપ મળે છે. આ માપો કોઈપણ એકમથી મુક્ત (Unit-free) હોય છે. તેનો ઉપયોગ જુદા-જુદા એકમો કે અલગ-અલગ સરેરાશ ધરાવતા બે કે તેથી વધુ સમૂહોની સરખામણી કરવા માટે થાય છે. મુખ્ય ચાર સાપેક્ષ માપો નીચે મુજબ છે:
વિસ્તારાંક (Coefficient of Range): $\frac{H - L}{H + L}$
ચતુર્થક વિચલનાંક (Coefficient of Quartile Deviation): $\frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}$
સરેરાશ વિચલનાંક (Coefficient of Mean Deviation): $\frac{\text{M.D.}}{\text{મધ્યક કે મધ્યસ્થ}}$
ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.): $\frac{S}{\bar{x}} \times 100$ (આ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતું સાપેક્ષ માપ છે).
એક આદર્શ અથવા સારા પ્રસારમાન (Measure of Dispersion) માં નીચે મુજબનાં ઇચ્છનીય લક્ષણો હોવા જોઈએ:
સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા (Clear Definition): પ્રસારનું માપ અસ્પષ્ટ કે શંકાસ્પદ ન હોવું જોઈએ, પરંતુ તેની વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ અને ચોક્કસ હોવી જોઈએ જેથી કોઈપણ વ્યક્તિ તેની ગણતરી ચોક્કસપ કરી શકે.
સરળ ગણતરી અને સમજ (Easy Calculation and Comprehension): તેની ગણતરી સરળ હોવી જોઈએ અને તેને સમજવામાં પણ સરળ હોવું જોઈએ, જેથી સામાન્ય વ્યક્તિ પણ તેનો અર્થ સમજી શકે.
બધા જ અવલોકનો પર આધારિત (Based on All Observations): પ્રસારનું આદર્શ માપ માહિતીના તમામ અવલોકનો પર આધારિત હોવું જોઈએ. જો કોઈ એક પણ અવલોકનને છોડી દેવામાં આવે, તો તેના પરિણામમાં ફેરફાર થવો જોઈએ.
સ્થિરતા (Sampling Stability): એક જ મોટી સમષ્ટિ (Population) માંથી લીધેલા જુદા-જુદા નિદર્શ (Samples) ના પ્રસારના માપોમાં વધુ ફેરફાર થવો જોઈએ નહીં, એટલે કે તેમાં પર્યાપ્ત સ્થિરતા હોવી જોઈએ.
બીજગણિતીય પ્રક્રિયાઓ માટે અનુકૂળ (Amenable to Mathematical Treatment): પ્રસારનું માપ એવું હોવું જોઈએ કે જેના પર આગળની આંકડાકીય અને બીજગણિતીય ગણતરીઓ (જેમ કે સંયુક્ત પ્રમાણિત વિચલન વગેરે) સરળતાથી થઈ શકે.
અંતિમ અવલોકનોની ઓછી અસર (Less Affected by Extreme Values): માહિતીમાં રહેલા અતિશય મોટા કે અતિશય નાના (અંતિમ) અવલોકનોની પ્રસારના માપ પર અવાંછિત કે ખૂબ મોટી અસર ન થવી જોઈએ.
વિસ્તારના લાભ (Advantages of Range):
સરળતા: તે પ્રસારનું સૌથી સરળ, પ્રાથમિક અને સમજવામાં તેમજ ગણતરી કરવામાં સૌથી સહેલું માપ છે. સામાન્ય વ્યક્તિ પણ તેને ઝડપથી સમજી શકે છે.
ઝડપી ગણતરી: તેની ગણતરી માટે કોઈ જટિલ સૂત્રો કે ગાણિતિકક્રિયાઓની જરૂર પડતી નથી, માત્ર સૌથી મોટા અને સૌથી નાના અવલોકનની જરૂર પડે છે.
ઉપયોગિતા: ઔદ્યોગિક ક્ષેત્રે ગુણવત્તા નિયંત્રણ (Quality Control - R-chart) માં, શેરબજારના उतार-ચढ़ाવમાં અને હવામાન ખાતામાં મહત્તમ તથા ન્યૂનતમ તાપમાનના તફાવતને જાણવા માટે તેનો બહોળા પ્રમાણમાં ઉપયોગ થાય છે.
વિસ્તારના ગેરલાભ (Disadvantages of Range):
માત્ર બે જ અવલોકનો પર આધાર: તે માત્ર માહિતીના બે અંતિમ અવલોકનો (સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું) પર જ આધારિત છે. વચ્ચેના બાકીના તમામ અવલોકનોની સંપૂર્ણ અવગણના થાય છે.
અતિશય મૂલ્યોથી અસર: જો માહિતીમાં કોઈ એક પણ અવલોકન અતિશય મોટું કે અતિશય નાનું (Extreme value) હોય, તો વિસ્તારનું આખું મૂલ્ય ખૂબ જ પ્રભાવિત થાય છે અને તે સમગ્ર માહિતીનું સાચું ચિત્ર રજૂ કરી શકતું નથી.
ખુલ્લા અંતરાલો માટે અશક્ય: જો આવૃત્તિ-વિતરણમાં પ્રથમ વર્ગ "૨૦ થી ઓછી" કે છેલ્લો વર્ગ "૧૦૦ થી વધુ" જેવા ખુલ્લા અંતરાલ (Open-end classes) વાળા હોય, તો વિસ્તાર શોધી શકાતો નથી.
નિદર્શગત અસ્થિરતા: જુદા-જુદા નિદર્શો માટે વિસ્તારના મૂલ્યોમાં ઘણો મોટો તફાવત જોવા મળે છે, એટલે કે તેમાં પર્યાપ્ત આંકડાકીય સ્થિરતા હોતી નથી.
ચતુર્થક વિચલનના લાભ (Advantages of Quartile Deviation):
ખુલ્લા અંતરાલો માટે ઉપયોગી: જો આવૃત્તિ-વિતરણમાં પ્રથમ વર્ગ કે છેલ્લો વર્ગ ખુલ્લો (Open-end) હોય (દા.ત., "૨૦ થી ઓછા" કે "૧૦૦ થી વધુ"), તો પણ ચતુર્થક વિચલન સહેલાઈથી શોધી શકાય છે.
અંતિમ મૂલ્યોની ઓછી અસર: વિસ્તારની જેમ તે માત્ર બે છેડાના અવલોકનો પર આધારિત નથી, પરંતુ $Q_1$ અને $Q_3$ પર આધારિત હોવાથી અતિશય મોટા કે નાના (અંતિમ) અવલોકનોની આત્યંતિક અસર તેના પર થતી નથી.
અનિયમિત માહિતી માટે યોગ્ય: જ્યારે માહિતીમાં કેટલાક મૂલ્યો અસામાન્ય રીતે મોટા કે નાના હોય ત્યારે પ્રમાણિત વિચલન કરતાં ચતુર્થક વિચલન વધુ યોગ્ય સાબિત થાય છે.
ચતુર્થક વિચલનના ગેરલાભ (Disadvantages of Quartile Deviation):
બધા અવલોકનોની અવગણના: તે માત્ર પ્રથમ ($Q_1$) અને તૃતીય ($Q_3$) ચતુર્થક પર જ આધારિત છે. તેનો અર્થ એ કે માહિતીના મધ્યના 50% ભાગ સિવાયના બાકીના 50% અવલોકનોની સંપૂર્ણ અવગણના થાય છે.
બીજગણિતીય ગણતરીઓ માટે અયોગ્ય: પ્રમાણિત વિચલનની જેમ તેના પર આગળની જટિલ આંકડાકીય અને બીજગણિતીય પ્રક્રિયાઓ (જેમ કે સંયુક્ત ચતુર્થક વિચલન) કરી શકાતી નથી.
નિદર્શગત અસ્થિરતા: જુદા-જુદા નિદર્શો (Samples) માટે ચતુર્થક વિચલનના મૂલ્યોમાં પ્રમાણિત વિચલન કરતાં વધુ ઉતાર-ચઢાવ જોવા મળે છે, એટલે કે તેમાં પર્યાપ્ત સ્થિરતા હોતી નથી.
સરેરાશ વિચલનના લાભ (Advantages of Mean Deviation):
બધા જ અવલોકનો પર આધારિત: તે માહિતીના તમામ અવલોકનો પર આધારિત છે. આમાં કોઈપણ એક પણ અવલોકનની બાદબાકી કે અવગણના કરવામાં આવતી નથી.
સરળ સમજ અને ગણતરી: પ્રમાણિત વિચલનની સરખામણીમાં તેની ગણતરી અને અર્થઘટન relativamente સરળ છે.
અંતિમ મૂલ્યોની ઓછી અસર: વિસ્તારની સરખામણીમાં અતિશય મોટા કે નાના (અંતિમ) અવલોકનોની અસર સરેરાશ વિચલન પર ઓછી થાય છે, કારણ કે તેમાં બધા અવલોકનોના વિચલનો લેવાય છે.
મધ્યક અને મધ્યસ્થ બંનેથી શક્ય: તેની ગણતરી અંકગણિત મધ્યક ($\bar{x}$) તેમજ મધ્યસ્થ ($M$) બંનેમાંથી કોઈપણ એકની મદદથી કરી શકાય છે.
સરેરાશ વિચલનના ગેરલાભ (Disadvantages of Mean Deviation):
બીજગણિતીય ગણતરીઓ માટે મર્યાદા: સરેરાશ વિચલન કાઢતી વખતે વિચલનોના માનાંક ($\vert{}x - \bar{x}\vert{}$) લેવામાં આવે છે, જેના કારણે માઈનસ ચિહ્નો અવગણાય છે. આ ગાણિતિક અપૂર્ણતાને કારણે તેના પર આગળની જટિલ આંકડાકીય પ્રક્રિયાઓ (જેમ કે સંયુક્ત સરેરાશ વિચલન) કરી શકાતી નથી.
નિદર્શગત અસ્થિરતા: જુદા-જુદા નિદર્શો (Samples) માટે સરેરાશ વિચલનના મૂલ્યોમાં પ્રમાણિત વિચલન કરતાં વધુ ઉતાર-ચઢાવ જોવા મળે છે, એટલે કે તેમાં પૂરતી સ્થિરતા હોતી નથી.
શાબ્દિક માનાંકની મુશ્કેલી: માનાંક ($\vert{} \vert{}$) ની ગાણિતિક પ્રક્રિયા ઉચ્ચ સ્તરીય આંકડાશાસ્ત્રમાં મુશ્કેલી ઊભી કરે છે.
પ્રમાણિત વિચલનના લાભ (Advantages of Standard Deviation):
શાસ્ત્રીય રીતે સર્વશ્રેષ્ઠ માપ: પ્રમાણિત વિચલન એ પ્રસારનું સૌથી લોકપ્રિય, વૈજ્ઞાનિક અને આદર્શ માપ છે. આંકડાશાસ્ત્રમાં તેનો સૌથી વધુ ઉપયોગ થાય છે.
બધા જ અવલોકનો પર આધારિત: તે માહિતીના તમામ અવલોકનો પર સંપૂર્ણ રીતે આધારિત છે; આમાં કોઈપણ એક પણ અવલોકનની બાદબાકી કે અવગણના થતી નથી.
બીજગણિતીય પ્રક્રિયાઓ માટે ઉત્તમ: સરેરાશ વિચલનની જેમ આમાં માનાંક લેવામાં આવતો નથી, પરંતુ વિચલનોના વર્ગ કરાતા હોવાથી તેના પર આગળની જટિલ આંકડાકીય અને ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓ (જેમ કે સંયુક્ત પ્રમાણિત વિચલન - Combined Standard Deviation) ખૂબ જ સરળતાથી થઈ શકે છે.
નિદર્શગત સ્થિરતા: જુદા-જુદા નિદર્શો (Samples) માટે પ્રમાણિત વિચલનના મૂલ્યોમાં અન્ય પ્રસારના માપો (જેવા કે વિસ્તાર કે ચતુર્થક વિચલન) કરતા સૌથી ઓછો ફેરફાર જોવા મળે છે, એટલે કે તેમાં ઉચ્ચ કક્ષાની આંકડાકીય સ્થિરતા હોય છે.
અંતિમ અવલોકનોની ઓછી અસર: વિસ્તારની સરખામણીમાં આત્યંતિક (અતિશય મોટા કે નાના) અવલોકનોની અસર પ્રમાણિત વિચલન પર ઓછી થાય છે.
પ્રમાણિત વિચલનના ગેરલાભ (Disadvantages of Standard Deviation):
સમજવામાં અને ગણતરીમાં જટિલ: અન્ય માપો (જેમ કે વિસ્તાર) ની સરખામણીમાં પ્રમાણિત વિચલનની ગણતરી થોડી અટપટી છે અને સામાન્ય વ્યક્તિ માટે તેનો અર્થ સમજી મુશ્કેલ બને છે.
અંતિમ મૂલ્યોનું વધુ ભારણ: વિચલનોના વર્ગ કરવામાં આવતા હોવાથી, માહિતીમાં રહેલા અતિશય મોટા અવલોકનોનો વર્ગ ખૂબ મોટો થઈ જાય છે, જેના કારણે તે અંતિમ (Extreme) મૂલ્યોને વધુ પડતું મહત્વ આપે છે.
ખુલ્લા અંતરાલો માટે અશક્ય: જો આવૃત્તિ-વિતરણમાં પ્રથમ કે છેલ્લો વર્ગ ખુલ્લો (Open-end) હોય (દા.ત., "૨૦ થી ઓછા" કે "૧૦૦ થી વધુ"), તો ચોક્કસ મધ્યક ન મળવાને કારણે પ્રમાણિત વિચલનની ગણતરી સીધી રીતે કરી શકાતી નથી.
માહિતીના અવલોકનોના તેમના અંકગણિત મધ્યકથી લીધેલા વિચલનોના વર્ગોની સરેરાશના ધન વર્ગમૂળને પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation - $\sigma$ અથવા $S$) કહે છે.
સૂત્ર:
$$S = \sqrt{\frac{\sum(x - \bar{x})^2}{n}}$$
પ્રસારના તમામ માપોમાં પ્રમાણિત વિચલનને સૌથી ઉત્તમ અને વૈજ્ઞાનિક માપ ગણવામાં આવે છે, જેના મુખ્ય કારણો નીચે મુજબ છે:
બધા જ અવલોકનો પર આધારિત: આ માપની ગણતરીમાં માહિતીના એક પણ અવલોકનની બાદબાકી કે અવગણના થતી નથી, પરંતુ તે તમામ અવલોકનોને સંપૂર્ણપણે ધ્યાનમાં લે છે.
બીજગણિતીય પ્રક્રિયાઓ માટે અનુકૂળ: સરેરાશ વિચલનની જેમ આમાં માનાંક ($\vert{} \vert{}$) લેવામાં આવતો નથી, પરંતુ વિચલનોના વર્ગ કરાતા હોવાથી તેના પર આગળની જટિલ આંકડાકીય અને ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓ (જેમ કે સંયુક્ત પ્રમાણિત વિચલન - Combined Standard Deviation) ખૂબ જ સરળતાથી થઈ શકે છે.
નિદર્શગત સ્થિરતા (Sampling Stability): એક જ સમષ્ટિમાંથી લીધેલા જુદા-જુદા નિદર્શો માટે પ્રમાણિત વિચલનના મૂલ્યોમાં અન્ય પ્રસારના માપો (જેવા કે વિસ્તાર કે ચતુર્થક વિચલન) કરતાં સૌથી ઓછો ફેરફાર જોવા મળે છે, એટલે કે તેમાં ઉચ્ચ કક્ષાની આંકડાકીય સ્થિરતા હોય છે.
અંતિમ મૂલ્યોની ઓછી અસર: વિસ્તારની સરખામણીમાં આત્યંતિક (અતિશય મોટા કે નાના) અવલોકનોની સીધી વિકૃત અસર પ્રમાણિત વિચલન પર ઓછી થાય છે.
ઉચ્ચ આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો આધાર: સહસંબંધ, નિયતસંબંધ, સંભાવના સિદ્ધાંત અને પરીક્ષણ (Testing of Hypothesis) જેવી ઉચ્ચ કક્ષાની આંકડાકીય પદ્ધતિઓમાં પ્રમાણિત વિચલનનો સૌથી વધુ ઉપયોગ થાય છે.
ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) વિશેની ટૂંક નોંધ નીચે મુજબ છે:
૧. અર્થ અને વ્યાખ્યા:
ચલનાંક એ પ્રસારનું સૌથી મહત્વનું અને વ્યાપક ઉપયોગમાં લેવાતું સાપેક્ષ માપ છે. પ્રમાણિત વિચલન ($S$) અને અંકગણિત મધ્યક ($\bar{x}$) ના ગુણોત્તરને 100 વડે ગુણવાથી મળતા પ્રતિશત મૂલ્યને ચલનાંક કહે છે.
સૂત્ર:
$$\text{ચલનાંક (C.V.)} = \frac{S}{\bar{x}} \times 100$$
(જ્યાં $S$ = પ્રમાણિત વિચલન અને $\bar{x}$ = મધ્યક)
૨. મુખ્ય વિશેષતાઓ અને ઉપયોગિતા:
એકમથી મુક્ત (Unit-free): ચલનાંક ટકાવારીમાં દર્શાવાતો હોવાથી તે કોઈપણ એકમ (જેવા કે સેમી, કિગ્રા, રૂપિયા વગેરે) થી સંપૂર્ણપણે મુક્ત હોય છે.
સરખામણી માટે શ્રેષ્ઠ: જ્યારે બે કે તેથી વધુ સમૂહોના એકમો જુદા-જુદા હોય અથવા તેમના મધ્યક અલગ હોય, ત્યારે તેમની વચ્ચે ચલન (અસમાનતા) કે સ્થિરતાની સરખામણી કરવા માટે ચલનાંકનો ઉપયોગ થાય છે.
સ્થિરતાનો માપદંડ: જે સમૂહ કે શ્રેણીનો ચલનાંક ઓછો હોય, તે સમૂહ વધુ સ્થિર, સમાન અને એકસમાન (Consistent) ગણાય છે; અને જેનો ચલનાંક વધુ હોય, તેમાં અસ્થિરતા અથવા ચલન વધારે હોય છે.
આમ, બે કે તેથી વધુ ભિન્ન સમૂહોની ચોક્કસ અને વૈજ્ઞાનિક સરખામણી કરવા માટે ચલનાંક એ અત્યંત ઉપયોગી આંકડાકીય સાધન છે.
આપેલી માહિતી પરથી ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation - Q.D.) શોધવા માટે સૌપ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ (Cumulative Frequency - cf) નું કોષ્ટક તૈયાર કરવું પડશે:
૧. સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક:
| ફૂલની સંખ્યા (x) | છોડની સંખ્યા / આવૃત્તિ (f) | સંચયી આવૃત્તિ (cf) |
| 11 | 5 | 5 |
| 13 | 8 | 13 |
| 15 | 13 | 26 |
| 17 | 20 | 46 |
| 19 | 22 | 68 |
| 21 | 18 | 86 |
| 23 | 10 | 96 |
| 25 | 4 | 100 |
| કુલ | $N = 100$ |
૨. પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) ની ગણતરી:
$Q_1$ નું સ્થાન = $\left(\frac{N}{4}\right)$ મુ અવલોકન
અહીં $N = 100$ હોવાથી,
$$Q_1 \text{ નું સ્થાન} = \frac{100}{4} = 25 \text{ મુ અવલોકન}$$
સંચયી આવૃત્તિ (cf) માં 25 થી તરત જ મોટી અથવા સમાન સંચયી આવૃત્તિ 26 છે, જેની સામેનું અવલોકન 15 છે.
તેથી, $Q_1 = 15$
૩. તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) ની ગણતરી:
$Q_3$ નું સ્થાન = $\left(\frac{3N}{4}\right)$ મુ અવલોકન
$$Q_3 \text{ નું સ્થાન} = \frac{3 \times 100}{4} = 75 \text{ મુ અવલોકન}$$
સંચયી આવૃત્તિ (cf) માં 75 થી તરત જ મોટી સંચયી આવૃત્તિ 86 છે, જેની સામેનું અવલોકન 21 છે.
તેથી, $Q_3 = 21$
૪. ચતુર્થક વિચલન (Q.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{Q.D.} = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{Q.D.} = \frac{21 - 15}{2}$$
$$\text{Q.D.} = \frac{6}{2} = 3$$
આમ, છોડદીઠ ફૂલની સંખ્યાનું ચતુર્થક વિચલન 3 છે.
આપેલી માહિતી પરથી મૅચદીઠ ગોલની સંખ્યાનું સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation) શોધવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરીશું:
૧. ગણતરી કોષ્ટક:
મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી માટે:
કુલ મૅચની સંખ્યા ($N$) = $\sum f = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$
$\sum (x \cdot f) = (1\times1) + (2\times4) + (3\times6) + (4\times4) + (5\times1) = 1 + 8 + 18 + 16 + 5 = 48$
મધ્યક ($\bar{x}$) = $\frac{\sum x \cdot f}{N} = \frac{48}{16} = 3$
હવે, મધ્યકથી લીધેલા વિચલનોના માનાંક અને તેના ગુણાકારનું કોષ્ટક:
| ગોલની સંખ્યા (x) | મૅચની સંખ્યા (f) | x⋅f | વિચલન ∣x−xˉ∣ (∣x−3) | f⋅∣x−xˉ∣ |
| 1 | 1 | 1 | $\vert{}1 - 3\vert{} = 2$ | $1 \times 2 = 2$ |
| 2 | 4 | 8 | $\vert{}2 - 3\vert{} = 1$ | $4 \times 1 = 4$ |
| 3 | 6 | 18 | $\vert{}3 - 3\vert{} = 0$ | $6 \times 0 = 0$ |
| 4 | 4 | 16 | $\vert{}4 - 3\vert{} = 1$ | $4 \times 1 = 4$ |
| 5 | 1 | 5 | $\vert{}5 - 3\vert{} = 2$ | $1 \times 2 = 2$ |
| કુલ | $N = 16$ | $\sum xf = 48$ | $\sum f\Vert{}x - \bar{x}\Vert{} = 12$ |
૨. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{સરેરાશ વિચલન (M.D.)} = \frac{\sum f\vert{}x - \bar{x}\vert{}}{N}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{M.D.} = \frac{12}{16} = 0.75$$
આમ, મૅચદીઠ ગોલની સંખ્યાનું સરેરાશ વિચલન 0.75 છે.
આપેલી માહિતી પરથી ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. આપેલી માહિતી:
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $100$
ધારેલો મધ્યક ($A$) = $4$
$\sum d = 25$
ગ્રંથસ્થ કે પ્રચલિત સંકેત મુજબ $\sum d^2$ (અહીં $E$ એટલે $\Sigma$) = $272$
૨. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
સૂત્ર (ધારેલા મધ્યકની રીત):
$$\bar{x} = A + \frac{\sum d}{n}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x} = 4 + \frac{25}{100}$$
$$\bar{x} = 4 + 0.25 = 4.25$$
૩. પ્રમાણિત વિચલન ($S$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$S = \sqrt{\frac{\sum d^2}{n} - \left(\frac{\sum d}{n}\right)^2}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$S = \sqrt{\frac{272}{100} - \left(\frac{25}{100}\right)^2}$$
$$S = \sqrt{2.72 - (0.25)^2}$$
$$S = \sqrt{2.72 - 0.0625}$$
$$S = \sqrt{2.6575} \approx 1.63$$
૪. ચલનાંક (C.V.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{C.V.} = \frac{S}{\bar{x}} \times 100$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{C.V.} = \frac{1.6302}{4.25} \times 100$$
$$\text{C.V.} = 0.38357 \times 100 = 38.36\%$$
આમ, આપેલ માહિતીનો ચલનાંક 38.36% છે.
આપેલી માહિતી પરથી મિશ્ર પ્રમાણિત વિચલન (Combined Standard Deviation - $S_{12}$) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. આપેલી માહિતી:
માહિતીસમૂહ A: અવલોકનોની સંખ્યા ($n_1$) = $50$, મધ્યક ($\bar{x}_1$) = $113$, પ્રમાણિત વિચલન ($S_1$) = $6$
માહિતીસમૂહ B: અવલોકનોની સંખ્યા ($n_2$) = $60$, મધ્યક ($\bar{x}_2$) = $120$, પ્રમાણિત વિચલન ($S_2$) = $7$
૨. મિશ્ર મધ્યક ($\bar{x}_{12}$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\bar{x}_{12} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x}_{12} = \frac{(50 \times 113) + (60 \times 120)}{50 + 60}$$
$$\bar{x}_{12} = \frac{5650 + 7200}{110}$$
$$\bar{x}_{12} = \frac{12850}{110} = 116.82$$
૩. બંને મધ્યકોના મિશ્ર મધ્યકથી વિચલનો ($d_1$ અને $d_2$) ની ગણતરી:
$d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x}_{12} = 113 - 116.82 = -3.82$
$d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x}_{12} = 120 - 116.82 = 3.18$
૪. મિશ્ર વિચરણ ($S_{12}^2$) અને મિશ્ર પ્રમાણિત વિચલન ($S_{12}$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$S_{12}^2 = \frac{n_1(S_1^2 + d_1^2) + n_2(S_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$$
અહીં વિચરણો: $S_1^2 = 6^2 = 36$ અને $S_2^2 = 7^2 = 49$
કિંમતો મૂકતા:
$$S_{12}^2 = \frac{50(36 + (-3.82)^2) + 60(49 + (3.18)^2)}{50 + 60}$$
$$S_{12}^2 = \frac{50(36 + 14.59) + 60(49 + 10.11)}{110}$$
$$S_{12}^2 = \frac{50(50.59) + 60(59.11)}{110}$$
$$S_{12}^2 = \frac{2529.5 + 3546.6}{110}$$
$$S_{12}^2 = \frac{6076.1}{110} = 55.24$$
હવે મિશ્ર પ્રમાણિત વિચલન ($S_{12}$) શોધવા માટે તેનું વર્ગમૂળ કાઢીશું:
$$S_{12} = \sqrt{55.24} \approx 7.43$$
આમ, આપેલ માહિતીનું મિશ્ર પ્રમાણિત વિચલન 7.43 છે.
આપેલી માહિતી પરથી ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) શોધવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. આપેલી માહિતી:
અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $10$
અવલોકનોનો સરવાળો ($\sum x$) = $80$
અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો ($\sum x^2$) = $800$
૨. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\bar{x} = \frac{80}{10} = 8$$
૩. પ્રમાણિત વિચલન ($S$) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$S = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$S = \sqrt{\frac{800}{10} - \left(\frac{80}{10}\right)^2}$$
$$S = \sqrt{80 - (8)^2}$$
$$S = \sqrt{80 - 64}$$
$$S = \sqrt{16} = 4$$
૪. ચલનાંક (C.V.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{C.V.} = \frac{S}{\bar{x}} \times 100$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{C.V.} = \frac{4}{8} \times 100$$
$$\text{C.V.} = 0.5 \times 100 = 50\%$$
આમ, આપેલ માહિતીનો ચલનાંક 50% છે.
અહીં આપેલા આવૃત્તિ-વિતરણ પરથી સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation) શોધવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરીશું:
૧. વર્ગ લંબાઈ અને મધ્યસ્થ કિંમત ($x$) ની ગણતરી:
અહીં વર્ગો સતત (Inclusive) સ્વરૂપમાં છે. દરેક વર્ગની મધ્યસ્થ કિંમત ($x$) શોધવાનું સૂત્ર:
$$\text{મધ્યસ્થ કિંમત } (x) = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ऊર્ધ્વસીમા}}{2}$$
વર્ગ $12-16$ માટે: $\frac{12 + 16}{2} = 14$
વર્ગ $17-21$ માટે: $\frac{17 + 21}{2} = 19$
વર્ગ $22-26$ માટે: $\frac{22 + 26}{2} = 24$
વર્ગ $27-31$ માટે: $\frac{27 + 31}{2} = 29$
વર્ગ $32-36$ માટે: $\frac{32 + 36}{2} = 34$
૨. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
કુલ આવૃત્તિ ($N$) = $\sum f = 2 + 3 + 14 + 8 + 3 = 30$
| ગુણ (વર્ગ) | વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (f) | મધ્યસ્થ કિંમત (x) | x⋅f |
| $12 - 16$ | 2 | 14 | $2 \times 14 = 28$ |
| $17 - 21$ | 3 | 19 | $3 \times 19 = 57$ |
| $22 - 26$ | 14 | 24 | $14 \times 24 = 336$ |
| $27 - 31$ | 8 | 29 | $8 \times 29 = 232$ |
| $32 - 36$ | 3 | 34 | $3 \times 34 = 102$ |
| કુલ | $N = 30$ | $\sum xf = 755$ |
મધ્યક ($\bar{x}$) = $\frac{\sum x \cdot f}{N} = \frac{755}{30} = 25.17$
૩. સરેરાશ વિચલન માટેનું કોષ્ટક:
| મધ્યસ્થ કિંમત (x) | આવૃત્તિ (f) | મધ્યકથી વિચલનગત માનાંક ∣x−xˉ∣ (∣x−25.17) | f⋅∣x−xˉ∣ |
| 14 | 2 | $\vert{}14 - 25.17\vert{} = 11.17$ | $2 \times 11.17 = 22.34$ |
| 19 | 3 | $\vert{}19 - 25.17\vert{} = 6.17$ | $3 \times 6.17 = 18.51$ |
| 24 | 14 | $\vert{}24 - 25.17\vert{} = 1.17$ | $14 \times 1.17 = 16.38$ |
| 29 | 8 | $\vert{}29 - 25.17\vert{} = 3.83$ | $8 \times 3.83 = 30.64$ |
| 34 | 3 | $\vert{}34 - 25.17\vert{} = 8.83$ | $3 \times 8.83 = 26.49$ |
| કુલ | $N = 30$ | $\sum f\Vert{}x - \bar{x}\Vert{} = 114.36$ |
(ટીપ: ચોકસાઈ માટે પોઈન્ટ પછીના અંકો પૂરતા રાખતા $\sum f\vert{}x - \bar{x}\vert{} = 114.33$ મળે છે.)
૪. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{સરેરાશ વિચલન (M.D.)} = \frac{\sum f\vert{}x - \bar{x}\vert{}}{N}$$
$$\text{M.D.} = \frac{114.33}{30} = 3.81$$
આમ, આપેલા આવૃત્તિ-વિતરણનું સરેરાશ વિચલન 3.81 છે.
આપેલી માહિતી (અહીં વર્ગખંડો પૂરા પાડવામાં થોડી વિગત ખૂટતી હતી, જે પ્રમાણભૂત વિતરણ મુજબ $0-5$ થી શરૂ થાય છે) પરથી ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation - Q.D.) શોધવા માટે સૌપ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ (cf) નું કોષ્ટક તૈયાર કરીશું:
૧. સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક:
| જાહેરાતનું ખર્ચ (હજાર ₹) | કંપનીઓની સંખ્યા (f) | સંચયી આવૃત્તિ (cf) |
| $0 - 5$ | 3 | 3 |
| $5 - 15$ | 8 | 11 |
| $15 - 30$ | 15 | 26 |
| $30 - 40$ | 10 | 36 |
| $40 - 60$ | 8 | 44 |
| $60 - 100$ | 6 | 50 |
| કુલ | $N = 50$ |
૨. પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) ની ગણતરી:
$Q_1$ નું વર્ગખંડ નક્કી કરવા માટેનું સ્થાન = $\left(\frac{N}{4}\right)$ મુ અવલોકન
$$\frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \text{ મુ અવલોકન}$$
સંચયી આવૃત્તિ (cf) માં 12.5 થી તરત જ મોટી સંચયી આવૃત્તિ 26 છે, જેનો વર્ગ $15 - 30$ છે. (આથી $Q_1$ વર્ગ $15 - 30$ થાય).
સૂત્ર:
$$Q_1 = L + \frac{\frac{N}{4} - cf}{f} \times h$$
જ્યાં:
$L = 15$ (વર્ગની અધઃસીમા)
$cf = 11$ (પ્રથમ ચતુર્થક વર્ગની અગાઉના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ)
$f = 15$ (ચતુર્થક વર્ગની આવૃત્તિ)
$h = 15$ (વર્ગ લંબાઈ: $30 - 15$)
કિંમતો મૂકતા:
$$Q_1 = 15 + \frac{12.5 - 11}{15} \times 15$$
$$Q_1 = 15 + \frac{1.5}{15} \times 15 = 15 + 1.5 = 16.5$$
૩. તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) ની ગણતરી:
$Q_3$ નું વર્ગખંડ નક્કી કરવા માટેનું સ્થાન = $\left(\frac{3N}{4}\right)$ મુ અવલોકન
$$\frac{3N}{4} = \frac{3 \times 50}{4} = 37.5 \text{ મુ અવલોકન}$$
સંચયી આવૃત્તિ (cf) માં 37.5 થી તરત જ મોટી સંચયી આવૃત્તિ 44 છે, જેનો વર્ગ $60 - 100$ છે.
સૂત્ર:
$$Q_3 = L + \frac{\frac{3N}{4} - cf}{f} \times h$$
જ્યાં:
લવઅધઃસીમા $L = 60$
અગાઉના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $cf = 36$
વર્ગની આવૃત્તિ $f = 8$
વર્ગ લંબાઈ $h = 40$ ($100 - 60$)
કિંમતો મૂકતા:
$$Q_3 = 60 + \frac{37.5 - 36}{8} \times 40$$
$$Q_3 = 60 + \frac{1.5}{8} \times 40$$
$$Q_3 = 60 + (1.5 \times 5) = 60 + 7.5 = 67.5$$
૪. ચતુર્થક વિચલન (Q.D.) ની ગણતરી:
સૂત્ર:
$$\text{ચતુર્થક વિચલન (Q.D.)} = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{Q.D.} = \frac{67.5 - 16.5}{2}$$
$$\text{Q.D.} = \frac{51}{2} = 25.5$$
આમ, કંપનીદીઠ જાહેરાત-ખર્ચનું ચતુર્થક વિચલન 25.5 (હજાર ₹) છે.
બૅટ્સમૅને કરેલા રનનું પ્રમાણિત વિચલન શોધવા માટે નીચે પ્રમાણે કોષ્ટક તૈયાર કરવામાં આવે છે:
| વર્ગ (રન) | મધ્યબિંદુ (xi) | આવૃત્તિ (fi) | fixi | xi−xˉ | (xi−xˉ)2 | fi(xi−xˉ)2 |
| 0–10 | 5 | 10 | 50 | -26 | 676 | 6,760 |
| 10–20 | 15 | 15 | 225 | -16 | 256 | 3,840 |
| 20–30 | 25 | 25 | 625 | -6 | 36 | 900 |
| 30–40 | 35 | 25 | 875 | 4 | 16 | 400 |
| 40–50 | 45 | 10 | 450 | 14 | 196 | 1,960 |
| 50–60 | 55 | 10 | 550 | 24 | 576 | 5,760 |
| 60–70 | 65 | 5 | 325 | 34 | 1,156 | 5,780 |
| કુલ | $N = 100$ | $\sum f_i x_i = 3100$ | $\sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = 25,400$ |
ગણતરી:
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) શોધીએ:
$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3100}{100} = 31$$
૨. પ્રમાણિત વિચલન ($s$) નું સૂત્ર:
$$s = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$s = \sqrt{\frac{25400}{100}} = \sqrt{254} \approx 15.94$$
આ માહિતી પરથી બૅટ્સમૅને કરેલા રનનું પ્રમાણિત વિચલન 15.94 છે.
વિદ્યાર્થીઓના ગુણનું ચતુર્થક વિચલન શોધવા માટે સૌપ્રથમ વર્ગને સતત વર્ગમાં ફેરવીને સંચયી આવૃત્તિ (Cumulative Frequency) મેળવવામાં આવે છે:
| ગુણ (વર્ગ) | સતત વર્ગ | વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (fi) | સંચયી આવૃત્તિ (c.f.) |
| 0–9 | -0.5 – 9.5 | 30 | 30 |
| 10–19 | 9.5 – 19.5 | 50 | 80 |
| 20–29 | 19.5 – 29.5 | 64 | 144 |
| 30–39 | 29.5 – 39.5 | 42 | 186 |
| 40–49 | 39.5 – 49.5 | 29 | 215 |
| 50 કે તેથી વધુ | 49.5 – 59.5 | 5 | 220 |
| કુલ | $N = 220$ |
૧. પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) ની ગણતરી:
વર્ગ લંબાઈ $N/4 = 220 / 4 = 55$ મુસાફરી કરે છે, જે સંચયી આવૃત્તિ 80 માં આવે છે.
તેથી, $Q_1$ વર્ગ 9.5 – 19.5 છે.
અધઃસીમા ($L$) = 9.5, $c.f.$ = 30, $f$ = 50, વર્ગ લંબાઈ ($h$) = 10
$$Q_1 = L + \frac{\frac{N}{4} - c.f.}{f} \times h$$
$$Q_1 = 9.5 + \frac{55 - 30}{50} \times 10 = 9.5 + \frac{25}{50} \times 10 = 9.5 + 5 = 14.5$$
૨. તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) ની ગણતરી:
વર્ગ લંબાઈ $3N/4 = 3 \times 220 / 4 = 165$ મુસાફરી કરે છે, જે સંચયી આવૃત્તિ 186 માં આવે છે.
તેથી, $Q_3$ વર્ગ 29.5 – 39.5 છે.
અધઃસીમા ($L$) = 29.5, $c.f.$ = 144, $f$ = 42, વર્ગ લંબાઈ ($h$) = 10
$$Q_3 = L + \frac{\frac{3N}{4} - c.f.}{f} \times h$$
$$Q_3 = 29.5 + \frac{165 - 144}{42} \times 10 = 29.5 + \frac{21}{42} \times 10 = 29.5 + 5 = 34.5$$
૩. ચતુર્થક વિચલન (Q.D.) ની ગણતરી:
$$\text{ચતુર્થક વિચલન (Q.D.)} = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$$
$$\text{ચતુર્થક વિચલન} = \frac{34.5 - 14.5}{2} = \frac{20}{2} = 10$$
આ માહિતી પરથી વિદ્યાર્થીઓના ગુણનું ચતુર્થક વિચલન 10 છે.
બે ટુકડીઓની રમતની સુસંગતતા (Consistency) ચકાસવા માટે ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) શોધવામાં આવે છે. જે ટુકડીનો ચલનાંક ઓછો હોય, તે ટુકડી વધારે સુસંગત (consistent) રમત રમે છે તેમ કહેવાય.
ચલનાંકનું સૂત્ર:
ચલનાંક (C.V.)=મધ્યક (xˉ)પ્રમાણિત વિચલન (s)×100
૧. ટુકડી A માટે ગણતરી:
| ગોલ (xi) | આવૃત્તિ (fi) | fixi | xi−xˉ | (xi−xˉ)2 | fi(xi−xˉ)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 20 | 0 | -1.54 | 2.3716 | 47.432 |
| 1 | 10 | 10 | -0.54 | 0.2916 | 2.916 |
| 2 | 7 | 14 | 0.46 | 0.2116 | 1.4812 |
| 3 | 5 | 15 | 1.46 | 2.1316 | 10.658 |
| 4 | 4 | 16 | 2.46 | 6.0516 | 24.2064 |
| 5 | 2 | 10 | 3.46 | 11.9716 | 23.9432 |
| 6 | 2 | 12 | 4.46 | 19.8916 | 39.7832 |
| કુલ | N=50 | ∑fixi=77 | ∑fi(xi−xˉ)2=150.42 |
મધ્યક (xˉA):
xˉA=5077=1.54
પ્રમાણિત વિચલન (sA):
sA=50150.42=3.0084≈1.734
ચલનાંક (C.V.A):
C.V.A=1.541.734×100≈112.63%
૨. ટુકડી B માટે ગણતરી:
| ગોલ (xi) | આવૃત્તિ (fi) | fixi | xi−xˉ | (xi−xˉ)2 | fi(xi−xˉ)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0 | -1.50 | 2.25 | 33.75 |
| 1 | 10 | 10 | -0.50 | 0.25 | 2.50 |
| 2 | 5 | 10 | 0.50 | 0.25 | 1.25 |
| 3 | 4 | 12 | 1.50 | 2.25 | 9.00 |
| 4 | 3 | 12 | 2.50 | 6.25 | 18.75 |
| 5 | 2 | 10 | 3.50 | 12.25 | 24.50 |
| 6 | 1 | 6 | 4.50 | 20.25 | 20.25 |
| કુલ | N=40 | ∑fixi=60 | ∑fi(xi−xˉ)2=110.00 |
મધ્યક (xˉB):
xˉB=4060=1.5
પ્રમાણિત વિચલન (sB):
sB=40110=2.75≈1.658
ચલનાંક (C.V.B):
C.V.B=1.51.658×100≈110.55%
નિષ્કર્ષ:
ટુકડી A નો ચલનાંક = 112.63%
ટુકડી B નો ચલનાંક = 110.55%
અહીં ટુકડી B નો ચલનાંક ઓછો છે, તેથી ટુકડી B વધારે સુસંગત (consistent) રમત રમે છે.
અહીં કુલ ખર્ચનું વિધેય $y = 10 + 3x$ આપેલ છે, જે એક સુરેખ સંબંધ ($y = a + bx$) દર્શાવે છે.
અપસરણ (વિસર્પણ) ના માપો (જેવા કે વિસ્તાર, ચતુર્થક વિચલન, સરેરાશ વિચલન અને પ્રમાણિત વિચલન) ઉદગમ બિંદુના ફેરફાર ($a$) થી સ્વતંત્ર હોય છે, પરંતુ માપના ફેરફાર અથવા ગુણાંક ($b$) પર આધાર રાખે છે.
સુરેખ સંબંધ $y = a + bx$ માટે કોઈપણ અપસરણના માપ $D$ માટે સૂત્ર નીચે મુજબ થાય છે:
$$\text{માપ}(y) = \vert{}b\vert{} \times \text{માપ}(x)$$
અહીં $b = 3$ છે, તેથી દરેક માપને 3 વડે ગુણવાથી કુલ ખર્ચ $y$ ના માપો મળશે:
૧. વિસ્તાર (Range):
$$\text{વિસ્તાર}(y) = 3 \times \text{વિસ્તાર}(x) = 3 \ \text{ કે } 3 \times 50 = 150$$
૨. ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation):
$$\text{ચતુર્થક વિચલન}(y) = 3 \times \text{ચતુર્થક વિચલન}(x) = 3 \times 5 = 15$$
૩. સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation):
$$\text{સરેરાશ વિચલન}(y) = 3 \times \text{સરેરાશ વિચલન}(x) = 3 \times 8 = 24$$
૪. પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation):
$$\text{પ્રમાણિત વિચલન}(y) = 3 \times \text{પ્રમાણિત વિચલન}(x) = 3 \times 10 = 30$$
અંતિમ પરિણામ:
કુલ ખર્ચ $y$ નો વિસ્તાર = 150
ચતુર્થક વિચલન = 15
સરેરાશ વિચલન = 24
પ્રમાણિત વિચલન = 30
આપેલ આવૃત્તિ વિતરણ માટે પ્રસારમાનનું સૌથી શ્રેષ્ઠ અને સર્વસ્વીકૃત નિરપેક્ષ માપ પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation) છે, અને તેનું સાપેક્ષ માપ ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.) છે.
આ માહિતી પરથી ગણતરી કરવા માટે નીચે પ્રમાણે કોષ્ટક તૈયાર કરવામાં આવે છે:
| ગુણ (વર્ગ) | મધ્યબિંદુ (xi) | આવૃત્તિકારી (fi) | fixi | xi−xˉ (xˉ≈32.37) | (xi−xˉ)2 | fi(xi−xˉ)2 |
| 10–20 | 15 | 2 | 30 | -17.37 | 301.66 | 603.32 |
| 20–30 | 25 | 4 | 100 | -7.37 | 54.29 | 217.17 |
| 30–40 | 35 | 10 | 350 | 2.63 | 6.93 | 69.25 |
| 40–50 | 45 | 3 | 135 | 12.63 | 159.56 | 478.67 |
| કુલ | $N = 19$ | $\sum f_i x_i = 615$ | $\sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = 1368.42$ |
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{615}{19} \approx 32.37$$
૨. નિરપેક્ષ માપ: પ્રમાણિત વિચલન ($s$)
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર:
$$s = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$s = \sqrt{\frac{1368.42}{19}} = \sqrt{72.02} \approx 8.49$$
આમ, પ્રસારમાનનું નિરપેક્ષ માપ (પ્રમાણિત વિચલન) = 8.49 છે.
૩. સાપેક્ષ માપ: ચલનાંક (Coefficient of Variation - C.V.)
ચલનાંકનું સૂત્ર:
$$\text{ચલનાંક (C.V.)} = \frac{\text{પ્રમાણિત વિચલન } (s)}{\text{મધ્યક } (\bar{x})} \times 100$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{C.V.} = \frac{8.49}{32.37} \times 100 \approx 26.22\%$$
આમ, પ્રસારમાનનું સાપેક્ષ માપ (ચલનાંક) = 26.22% છે.
આપેલ માહિતી "થી ઓછી" (Less than) પ્રકારની સંચયી આવૃત્તિ વિતરણમાં છે. સૌપ્રથમ તેને સામાન્ય આવૃત્તિ વિતરણ (સતત વર્ગ) માં રૂપાંતરિત કરીને પ્રમાણિત વિચલન શોધી શકાય:
| વેતન વર્ગ (હજાર ₹) | મધ્યબિંદુ (xi) | સંચયી આવૃત્તિ (c.f.) | આવૃત્તિ (fi) | fixi | xi−xˉ (xˉ=40.9) | (xi−xˉ)2 | fi(xi−xˉ)2 |
| 0–10 | 5 | 5 | 5 | 25 | -35.9 | 1288.81 | 6,444.05 |
| 10–20 | 15 | 17 | 12 | 180 | -25.9 | 670.81 | 8,049.72 |
| 20–30 | 25 | 47 | 30 | 750 | -15.9 | 252.81 | 7,584.30 |
| 30–40 | 35 | 92 | 45 | 1,575 | -5.9 | 34.81 | 1,566.45 |
| 40–50 | 45 | 142 | 50 | 2,250 | 4.1 | 16.81 | 840.50 |
| 50–60 | 55 | 179 | 37 | 2,035 | 14.1 | 198.81 | 7,355.97 |
| 60–70 | 65 | 200 | 21 | 1,365 | 24.1 | 580.81 | 12,197.01 |
| કુલ | $N = 200$ | $\sum f_i x_i = 8180$ | $\sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = 44,038$ |
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{8180}{200} = 40.9$$
૨. પ્રમાણિત વિચલન ($s$) ની ગણતરી:
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર:
$$s = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$s = \sqrt{\frac{44038}{200}} = \sqrt{220.19} \approx 14.84$$
આ માહિતી પરથી કર્મચારીઓના વેતનનું પ્રમાણિત વિચલન 14.84 (હજાર ₹) એટલે કે ₹14,840 છે.
આપેલ આવૃત્તિ વિતરણમાં કુલ 100 ઉદ્યોગોની સંખ્યા મુજબ ખૂટતી આવૃત્તિઓ 25 (40–50 વર્ગ માટે) છે (જેથી કુલ આવૃત્તિ 100 થાય).
સરેરાશ વિચલન (સામાન્ય રીતે મધ્યક અથવા મધ્યસ્થથી) શોધવા માટે નીચે પ્રમાણે કોષ્ટક તૈયાર કરવામાં આવે છે:
| ભાવ વર્ગ (₹) | મધ્યબિંદુ (xi) | ઉદ્યોગોની સંખ્યા (fi) | સંચયી આવૃત્તિ (c.f.) | fixi | ∣xi−xˉ∣ (xˉ=42.6) | fi∥xi−xˉ∥ |
| 0–10 | 5 | 3 | 3 | 15 | 37.6 | 112.8 |
| 10–20 | 15 | 8 | 11 | 120 | 27.6 | 220.8 |
| 20–30 | 25 | 15 | 26 | 375 | 17.6 | 264.0 |
| 30–40 | 35 | 20 | 46 | 700 | 7.6 | 152.0 |
| 40–50 | 45 | 25 | 71 | 1,125 | 2.4 | 60.0 |
| 50–60 | 55 | 10 | 81 | 550 | 12.4 | 124.0 |
| 60–70 | 65 | 9 | 90 | 585 | 22.4 | 201.6 |
| 70–80 | 75 | 6 | 96 | 450 | 32.4 | 194.4 |
| 80–90 | 85 | 4 | 100 | 340 | 42.4 | 169.6 |
| કુલ | $N = 100$ | $\sum f_i x_i = 4260$ | $\sum f_i \Vert{}x_i - \bar{x}\Vert{} = 1499.2$ |
૧. મધ્યક ($\bar{x}$) ની ગણતરી:
$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{4260}{100} = 42.6$$
૨. સરેરાશ વિચલન (મધ્યકથી) ની ગણતરી:
સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર:
$$\text{સરેરાશ વિચલન (M.D.)} = \frac{\sum f_i \vert{}x_i - \bar{x}\vert{}}{N}$$
કિંમતો મૂકતા:
$$\text{M.D.} = \frac{1499.2}{100} = 14.99$$
આ માહિતી પરથી શેરના બંધભાવનું સરેરાશ વિચલન ₹14.99 છે.