ધોરણ 11 | విષય: Statistics
અહીં $x$ એ દૂધની કોથળીઓની માંગ છે અને $f$ એ ગ્રાહકોની સંખ્યા છે.
ગણતરી કોષ્ટક:
| x | f | f⋅x | f⋅x2 | cf |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 7 | 14 | 28 | 9 |
| 3 | 10 | 30 | 90 | 19 |
| 4 | 15 | 60 | 240 | 34 |
| 5 | 12 | 60 | 300 | 46 |
| 6 | 7 | 42 | 252 | 53 |
| 7 | 4 | 28 | 196 | 57 |
| 8 | 2 | 16 | 128 | 59 |
| કુલ | $N = 59$ | $\sum fx = 252$ | $\sum fx^2 = 1236$ | -- |
મધ્યક ($\bar{x}$):
બહુલક ($M_o$):
સૌથી વધુ આવૃત્તિ $f = 15$ છે, જે $x = 4$ ને અનુરૂપ છે.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
વિષમતાંક ($Sk$ / $j$):
અહીં સૌથી વધુ આવૃત્તિ $56$ બે વખત આવે છે ($x = 14.0$ અને $x = 14.5$), તેથી બહુલક ($M_o$) અસ્પષ્ટ છે. આથી મધ્યસ્થ ($M$) નો ઉપયોગ કરીને કાર્લ પિયર્સનનું સૂત્ર વાપરીશું.
ગણતરી કોષ્ટક:
| x | f | f⋅x | f⋅x2 | cf |
| 12.0 | 5 | 60.0 | 720.00 | 5 |
| 12.5 | 20 | 250.0 | 3125.00 | 25 |
| 13.0 | 30 | 390.0 | 5070.00 | 55 |
| 13.5 | 47 | 634.5 | 8565.75 | 102 |
| 14.0 | 56 | 784.0 | 10976.00 | 158 |
| 14.5 | 56 | 812.0 | 11774.00 | 214 |
| 15.0 | 37 | 555.0 | 8325.00 | 251 |
| 15.5 | 16 | 248.0 | 3844.00 | 267 |
| 16.0 | 3 | 48.0 | 768.00 | 270 |
| કુલ | $N = 270$ | $\sum fx = 3781.5$ | $\sum fx^2 = 53167.75$ | -- |
મધ્યક ($\bar{x}$):
મધ્યસ્થ ($M$):
સંચયી આવૃત્તિ $cf$ કોષ્ટક પરથી, $135.5$ એ $cf = 158$ માં આવે છે, જે $x = 14.0$ માટે છે.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
વિષમતાંક ($j$):
અર્થઘટન:
વિષમતાંકનું મૂલ્ય $j = 0.03$ (ધન અને 0 ની ખૂબ નજીક) હોવાથી આ આવૃત્તિ-વિતરણ અંશતઃ ધન વિષમ છે (લગભગ સંમિત વિષમ વિતરણ કહી શકાય).
અહીં નિવારક સીમાઓ: 4.5 - 9.5, 9.5 - 14.5, આદિ થશે. વર્ગલંબાઈ $c = 5$ સમાન છે અને મહત્તમ આવૃત્તિ $8$ અજોડ છે, તેથી બહુલક સ્પષ્ટ છે.
ગણતરી કોષ્ટક ($d = \frac{x - A}{c}$, જ્યાં $A = 17$):
| વર્ગ | f | મધ્યકિંમત (x) | d=5x−17 | f⋅d | f⋅d2 |
| 5 - 9 | 3 | 7 | -2 | -6 | 12 |
| 10 - 14 | 8 | 12 | -1 | -8 | 8 |
| 15 - 19 | 4 | 17 | 0 | 0 | 0 |
| 20 - 24 | 2 | 22 | 1 | 2 | 2 |
| 25 - 29 | 1 | 27 | 2 | 2 | 4 |
| કુલ | $N = 18$ | -- | -- | $\sum fd = -10$ | $\sum fd^2 = 26$ |
મધ્યક ($\bar{x}$):
બહુલક ($M_o$):
સૌથી વધુ આવૃત્તિ $8$ ધરાવતો વર્ગ 10 - 14 છે. આ અતિવ્યાપક (અનિવારક) હોવાથી તેની સીમાઓ $9.5 - 14.5$ થાય.
અહીં $L = 9.5$, $f_m = 8$, $f_1 = 3$, $f_2 = 4$, $c = 5$.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
વિષમતાંક ($j$):
અર્થઘટન:
વિષમતાંકનું મૂલ્ય $j = +0.36$ ધન હોવાથી આવૃત્તિ-વિતરણ ધન વિષમ છે.
અહીં નિવારક વર્ગો છે અને મહત્તમ આવૃત્તિ $20$ સ્પષ્ટ છે. વર્ગલંબાઈ $c = 2$ સમાન છે.
ગણતરી કોષ્ટક ($A = 10$, $c = 2$):
| વર્ગ | f | મધ્યકિંમત (x) | d=2x−10 | f⋅d | f⋅d2 |
| 5 - 7 | 5 | 6 | -2 | -10 | 20 |
| 7 - 9 | 12 | 8 | -1 | -12 | 12 |
| 9 - 11 | 20 | 10 | 0 | 0 | 0 |
| 11 - 13 | 8 | 12 | 1 | 8 | 8 |
| 13 - 15 | 3 | 14 | 2 | 6 | 12 |
| 15 - 17 | 2 | 16 | 3 | 6 | 18 |
| કુલ | $N = 50$ | -- | -- | $\sum fd = -2$ | $\sum fd^2 = 70$ |
મધ્યક ($\bar{x}$):
બહુલક ($M_o$):
મહત્તમ આવૃત્તિ $20$ ધરાવતો વર્ગ $9 - 11$ છે.
અહીં $L = 9$, $f_m = 20$, $f_1 = 12$, $f_2 = 8$, $c = 2$.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
વિષમતાંક ($j$):
અર્થઘટન:
વિષમતાંક $j = +0.05$ ધન હોવાથી માહિતી ધન વિષમ છે.
અહીં મિશ્ર આવૃત્તિ-વિતરણ (અસતત અને અસમાન વર્ગલંબાઈ ધરાવતું વર્ગીકૃત) હોવાથી બહુલક ($M_o$) અસ્પષ્ટ છે. તેથી મધ્યસ્થ ($M$) નો ઉપયોગ કરીશું.
ગણતરી કોષ્ટક:
| વાર્ષિક ઘસારો | f | મધ્યકિંમત (x) | f⋅x | f⋅x2 | cf |
| 7 | 2 | 7 | 14 | 98 | 2 |
| 9 | 3 | 9 | 27 | 243 | 5 |
| 10 | 4 | 10 | 40 | 400 | 9 |
| 10.5 - 20.5 | 7 | 15.5 | 108.5 | 1681.75 | 16 |
| 20.5 - 24.5 | 12 | 22.5 | 270 | 6075 | 28 |
| 24.5 - 36.5 | 10 | 30.5 | 305 | 9302.5 | 38 |
| કુલ | $N = 38$ | -- | $\sum fx = 764.5$ | $\sum fx^2 = 17800.25$ | -- |
મધ્યક ($\bar{x}$):
મધ્યસ્થ ($M$):
$cf$ પરથી $19$ મો પ્રાપ્તાંક $20.5 - 24.5$ વર્ગમાં સમાવિષ્ટ થાય છે.
અહીં $L = 20.5$, $cf = 16$, $f = 12$, $c = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
વિષમતા ($Sk$):
વિષમતાંક ($j$):
વિષમતાનો પ્રકાર:
વિષમતા $Sk < 0$ અને $j < 0$ હોવાથી વિષમતાનો પ્રકાર ઋણ વિષમતા છે.
અહીં વર્ગલંબાઈ અસમાન છે ($2, 4, 6, 8, 2$), જેથી બહુલક ($M_o$) અસ્પષ્ટ છે. તેથી મધ્યસ્થ ($M$) વાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
ગણતરી કોષ્ટક:
| વર્ગ | f | મધ્યકિંમત (x) | f⋅x | f⋅x2 | cf |
| 0 - 2 | 3 | 1 | 3 | 3 | 3 |
| 2 - 6 | 10 | 4 | 40 | 160 | 13 |
| 6 - 12 | 7 | 9 | 63 | 567 | 20 |
| 12 - 20 | 12 | 16 | 192 | 3072 | 32 |
| 20 - 22 | 3 | 21 | 63 | 1323 | 35 |
| કુલ | $N = 35$ | -- | $\sum fx = 361$ | $\sum fx^2 = 5125$ | -- |
મધ્યક ($\bar{x}$):
મધ્યસ્થ ($M$):
$17.5$ મો પ્રાપ્તાંક $6 - 12$ વર્ગમાં આવશે.
અહીં $L = 6$, $cf = 13$, $f = 7$, $c = 6$.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
વિષમતા ($Sk$):
વિષમતાંક ($j$):
વિષમતાનો પ્રકાર:
વિષમતા $Sk > 0$ હોવાથી ધન વિષમતા છે.
અહીં વર્ગલંબાઈ અસમાન છે ($2, 6, 6, 8, 4, 4$), તેથી બહુલક અસ્પષ્ટ હોવાથી મધ્યસ્થ ($M$) નો ઉપયોગ કરીશું.
ગણતરી કોષ્ટક:
| વર્ગ | f | મધ્યકિંમત (x) | f⋅x | f⋅x2 | cf |
| $-3^\circ$ થી $-1^\circ$ | 4 | -2 | -8 | 16 | 4 |
| $-1^\circ$ થી $5^\circ$ | 14 | 2 | 28 | 56 | 18 |
| $5^\circ$ થી $11^\circ$ | 20 | 8 | 160 | 1280 | 38 |
| $11^\circ$ થી $19^\circ$ | 14 | 15 | 210 | 3150 | 52 |
| $19^\circ$ થી $23^\circ$ | 5 | 21 | 105 | 2205 | 57 |
| $23^\circ$ થી $27^\circ$ | 3 | 25 | 75 | 1875 | 60 |
| કુલ | $N = 60$ | -- | $\sum fx = 570$ | $\sum fx^2 = 8582$ | -- |
મધ્યક ($\bar{x}$):
મધ્યસ્થ ($M$):
$30$ મો પ્રાપ્તાંક $5^\circ \text{ થી } 11^\circ$ વર્ગમાં સમાવિષ્ટ થાય છે.
અહીં $L = 5$, $cf = 18$, $f = 20$, $c = 6$.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
વિષમતા ($Sk$):
વિષમતાંક ($j$):
વિષમતાનો પ્રકાર:
વિષમતા $Sk > 0$ હોવાથી ધન વિષમતા ધરાવે છે.
સૌપ્રથમ ઉંમર ($x$) ને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીને સંચયી આવૃત્તિ ($cf$) નું કોષ્ટક બનાવીએ:
| ઉંમર (x) | યુવાનોની સંખ્યા (f) | સંચયી આવૃત્તિ (cf) |
| 17 | 4 | 4 |
| 18 | 11 | 15 |
| 20 | 19 | 34 |
| 22 | 9 | 43 |
| 23 | 8 | 51 |
| 25 | 22 | 73 |
| 26 | 7 | 80 |
| 28 | 3 | 83 |
| કુલ | $N = 83$ | -- |
ચતુર્થકોની ગણતરી:
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$):
$cf$ કોષ્ટક પરથી, 21મો પ્રાપ્તાંક $cf = 34$ માં આવે છે, જે $x = 20$ માટે છે.
મધ્યસ્થ ($M$):
$cf$ કોષ્ટક પરથી, 42મો પ્રાપ્તાંક $cf = 43$ માં આવે છે, જે $x = 22$ માટે છે.
તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$):
$cf$ કોષ્ટક પરથી, 63મો પ્રાપ્તાંક $cf = 73$ માં આવે છે, જે $x = 25$ માટે છે.
વિષમતાંક ($j$):
વિષમતાનો પ્રકાર: વિષમતાંક $j = 0.2$ ધન હોવાથી આવૃત્તિ-વિતરણ ધન વિષમ છે.
મૂળ આવૃત્તિ-વિતરણનું કોષ્ટક:
| વર્ગ (મૂડી લાખ ₹ માં) | સંચયી આવૃત્તિ (cf) | આવૃત્તિ (f) |
| 100 - 300 | 6 | 6 |
| 300 - 500 | 16 | 10 |
| 500 - 700 | 19 | 3 |
| 700 - 900 | 23 | 4 |
| 900 - 1100 | 27 | 4 |
| 1100 - 1300 | 31 | 4 |
| કુલ | -- | $N = 31$ |
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$):
$\frac{N}{4} = \frac{31}{4} = 7.75 \Rightarrow Q_1$ વર્ગ $300 - 500$ છે. ($L = 300, cf = 6, f = 10, c = 200$)
મધ્યસ્થ ($M$):
$\frac{N}{2} = \frac{31}{2} = 15.5 \Rightarrow M$ વર્ગ $300 - 500$ છે. ($L = 300, cf = 6, f = 10, c = 200$)
તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$):
$\frac{3N}{4} = \frac{93}{4} = 23.25 \Rightarrow Q_3$ વર્ગ $900 - 1100$ છે. ($L = 900, cf = 23, f = 4, c = 200$)
વિષમતા ($Sk$):
વિષમતાંક ($j$):
વિષમતાનો પ્રકાર: વિષમતા $Sk > 0$ હોવાથી ધન વિષમતા છે.
સંચયી આવૃત્તિ ($cf$) નું કોષ્ટક:
| વેચાણ (હજાર ટન) | f | cf |
| 0 - 20 | 30 | 30 |
| 20 - 40 | 70 | 100 |
| 40 - 50 | 125 | 225 |
| 50 - 75 | 100 | 325 |
| 75 - 90 | 40 | 365 |
| 90 - 120 | 20 | 385 |
| 120 - 150 | 15 | 400 |
| કુલ | $N = 400$ | -- |
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$):
$\frac{N}{4} = \frac{400}{4} = 100 \Rightarrow Q_1$ વર્ગ $20 - 40$ છે. ($L = 20, cf = 30, f = 70, c = 20$)
મધ્યસ્થ ($M$):
$\frac{N}{2} = \frac{400}{2} = 200 \Rightarrow M$ વર્ગ $40 - 50$ છે. ($L = 40, cf = 100, f = 125, c = 10$)
તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$):
$\frac{3N}{4} = 300 \Rightarrow Q_3$ વર્ગ $50 - 75$ છે. ($L = 50, cf = 225, f = 100, c = 25$)
વિષમતા ($Sk$):
વિષમતાંક ($j$):
વિષમતાનો પ્રકાર: વિષમતા $Sk > 0$ હોવાથી ધન વિષમતા છે.
સંચયી આવૃત્તિ ($cf$) નું કોષ્ટક:
| વર્ગ | f | cf |
| 10 - 12 | 4 | 4 |
| 12 - 14 | 10 | 14 |
| 14 - 16 | 16 | 30 |
| 16 - 18 | 29 | 59 |
| 18 - 20 | 52 | 111 |
| 20 - 22 | 80 | 191 |
| 22 - 24 | 32 | 223 |
| 24 - 26 | 23 | 246 |
| 26 - 28 | 17 | 263 |
| 28 - 30 | 1 | 264 |
| કુલ | $N = 264$ | -- |
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$):
$\frac{N}{4} = \frac{264}{4} = 66 \Rightarrow Q_1$ વર્ગ $18 - 20$ છે. ($L = 18, cf = 59, f = 52, c = 2$)
મધ્યસ્થ ($M$):
$\frac{N}{2} = \frac{264}{2} = 132 \Rightarrow M$ વર્ગ $20 - 22$ છે. ($L = 20, cf = 111, f = 80, c = 2$)
તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$):
$\frac{3N}{4} = 198 \Rightarrow Q_3$ વર્ગ $22 - 24$ છે. ($L = 22, cf = 191, f = 32, c = 2$)
વિષમતાંક ($j$):
સાચો વિકલ્પ: (B)
A: બહુલક કરતાં વધારે
B: બહુલક કરતાં ઓછું
C: બહુલકની બરાબર
D: મધ્યક વિશે કંઈ કહી શકાય નહિ.
સમષ્ટિ કે માહિતીના આવૃત્તિ-વિતરણમાં સંમિતતાના અભાવને વિષમતા કહેવાય.
જે આવૃત્તિ-વિતરણમાં સમષ્ટિના અવલોકનો મધ્યકની બંને બાજુએ સમાન રીતે વિતરિત થયેલા હોય તેને સંમિત આવૃત્તિ-વિતરણ કહેવાય.
જ્યારે આવૃત્તિ-વિતરણ સંમિત ન હોય (એટલે કે મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક સમાન ન હોય અથવા આવૃત્તિવક્ર સંપૂર્ણ ઘંટાકાર ન હોય) ત્યારે વિષમતા છે તેમ કહેવાય.
વિષમ આવૃત્તિ-વિતરણમાં મધ્યસ્થ ($M$) નું સ્થાન એ હંમેશા મધ્યક ($\bar{x}$) અને બહુલક ($M_o$) ની વચ્ચે હોય છે.
જો આવૃત્તિવક્રનો જમણી તરફનો છેડો વધુ ખેંચાયેલો હોય તો ધન વિષમતા અને ડાબી તરફનો છેડો વધુ ખેંચાયેલો હોય તો ઋણ વિષમતા નક્કી થાય છે.
વિષમતાનું સાપેક્ષ માપ એટલે વિષમતાંક ($j$). વિષમતાંકની કિંમતનો સામાન્ય વિસ્તાર $-1$ થી $+1$ (અને અસમાન વર્ગલંબાઈ કે બહુલકની અસ્પષ્ટતાના કિસ્સામાં $-3$ થી $+3$) હોય છે.
કાર્લ પિયર્સનની પદ્ધતિમાં મધ્યક ($\bar{x}$), મધ્યસ્થ ($M$), બહુલક ($M_o$) અને પ્રમાણિત વિચલન ($s$) જેવા માપોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
બાઉલીની પદ્ધતિમાં વિષમતાનું માપ મેળવવાનો આધાર પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$), તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) અને મધ્યસ્થ ($M$ અથવા $Q_2$) ના સ્થાન પર રહેલો છે.
કાર્લ પિયર્સનની પદ્ધતિથી મેળવેલ વિષમતાંકની કિંમત વધુ વિશ્વસનીય છે.
વિષમતાંક એ સાપેક્ષ માપ છે, કારણ કે તે એકમરહિત માપ છે અને બે કે તેથી વધુ આવૃત્તિ-વિતરણોની વિષમતાની સરખામણી કરવા માટે વપરાય છે.
$j = \frac{3(Q_3 + Q_1 - 2M)}{Q_3 - Q_1}$ (બાઉલીનું સૂત્ર) અથવા $j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s}$ (કાર્લ પિયર્સનનું અસ્પષ્ટ બહુલક માટેનું સૂત્ર).
અસમાન વર્ગલંબાઈવાળા આવૃત્તિ-વિતરણમાં (જ્યાં $j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s}$ વપરાય છે) વિષમતાંકનો વિસ્તાર $-3 \le j \le +3$ હોય છે.
અહીં $Q_1 = 36$, $M = 40$ અને $Q_3 = 42$ છે.
$(Q_3 - M) = 42 - 40 = 2$ અને $(M - Q_1) = 40 - 36 = 4$.
અહીં $(Q_3 - M) < (M - Q_1)$ હોવાથી આવૃત્તિ-વિતરણ ઋણ વિષમ પ્રકારનું છે.
આ આવૃત્તિ-વિતરણ ઋણ વિષમ પ્રકારનું છે.
મધ્યક એ મધ્યસ્થ કરતાં ઓછો છે ($\bar{x} < M$), તેથી આ આવૃત્તિ-વિતરણ ઋણ વિષમ પ્રકારનું છે.
અહીં $Q_3 + Q_1 = 2M$ ($125 = 2 \times 62.5 = 125$) થાય છે, તેથી આવૃત્તિ-વિતરણ સંમિત છે (તેમાં વિષમતાનો અભાવ છે, વિષમતા $Sk = 0$).
વિષમતાના મુખ્ય ૨ પ્રકાર છે:
ધન વિષમતા
ઋણ વિષમતા
ધન વિષમતા: આકૃતિનો જમણી તરફનો છેડો લંબાયેલો હોય છે. માપોનું સ્થાન: $\bar{x} > M > M_o$ અને $(Q_3 - Q_2) > (Q_2 - Q_1)$.
ઋણ વિષમતા: આકૃતિનો ડાબી તરફનો છેડો લંબાયેલો હોય છે. માપોનું સ્થાન: $\bar{x} < M < M_o$ અને $(Q_3 - Q_2) < (Q_2 - Q_1)$.
સંમિત આવૃત્તિ-વિતરણમાં મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલકના મૂલ્યો સમાન હોય છે ($\bar{x} = M = M_o$).
તેનો આવૃત્તિવક્ર સંપૂર્ણ ઘંટાકાર સ્વરૂપનો હોય છે અને પ્રથમ ચતુર્થક તથા તૃતીય ચતુર્થક મધ્યસ્થથી સમાન અંતરે આવેલા હોય છે ($(Q_3 - M) = (M - Q_1)$).
તેમાં મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલકના મૂલ્યો સમાન હોતા નથી ($\bar{x} \neq M \neq M_o$).
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) અને તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) એ મધ્યસ્થ ($M$) થી સમાન અંતરે હોતા નથી ($(Q_3 - M) \neq (M - Q_1)$).
સૂત્ર: $S_k = \bar{x} - M_o$
$-2.8 = \bar{x} - 48.8$
$\bar{x} = 48.8 - 2.8 = \mathbf{46}$
સંમિત આવૃત્તિ-વિતરણ માટે $Q_3 + Q_1 = 2M$
$138 = 2M$
$M = \frac{138}{2} = \mathbf{69}$
સૂત્ર: $j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s}$
$0.75 = \frac{3(37.50 - M)}{20}$
$0.75 \times 20 = 3(37.50 - M)$
$15 = 112.5 - 3M$
$3M = 112.5 - 15 = 97.5$
$M = \mathbf{32.5}$
અહીં $(\bar{x} - M) = 3$ અને $j = 0.75$ આપેલ છે.
સૂત્ર: $j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s}$
$0.75 = \frac{3(3)}{s}$
$0.75 = \frac{9}{s}$
$s = \frac{9}{0.75} = \mathbf{12}$
ધારો કે $(Q_2 - Q_1) = x$, તેથી $(Q_3 - Q_2) = 2x$.
બાઉલીનું વિષમતાંકનું સૂત્ર: $j = \frac{(Q_3 - Q_2) - (Q_2 - Q_1)}{(Q_3 - Q_2) + (Q_2 - Q_1)}$
$j = \frac{2x - x}{2x + x} = \frac{x}{3x} = \mathbf{\frac{1}{3}}$ (અથવા 0.33)
ચતુર્થક વિચલન $Q.D. = \frac{Q_3 - Q_1}{2} \Rightarrow 22 = \frac{Q_3 - Q_1}{2} \Rightarrow (Q_3 - Q_1) = 44$
બાઉલીની પદ્ધતિ મુજબ: $j = \frac{S_k}{Q_3 - Q_1}$
$j = \frac{-6.6}{44} = \mathbf{-0.15}$
પ્રથમ આસાદિત સૂત્રથી મધ્યસ્થ ($M$) શોધીએ:
$M_o = 3M - 2\bar{x} \Rightarrow 46 = 3M - 2(40)$
$46 = 3M - 80 \Rightarrow 3M = 126 \Rightarrow M = 42$
હવે બાઉલીનો વિષમતાંક:
$j = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1} = \frac{76 - 2(42)}{20} = \frac{76 - 84}{20} = \frac{-8}{20} = \mathbf{-0.4}$
ચતુર્થકોના ક્રમ મુજબ: $Q_1 = 40$, $Q_2 (M) = 76$ અને $Q_3 = 98$.
$j = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1} = \frac{98 + 40 - 2(76)}{98 - 40} = \frac{138 - 152}{58} = \frac{-14}{58} \approx \mathbf{-0.2414}$
પ્રકાર: $j$ ની કિંમત ઋણ હોવાથી આ ઋણ વિષમ આવૃત્તિ-વિતરણ છે.
અહીં $j = 0.85$ અને $(\bar{x} - M_o) = 3.4$
$j = \frac{\bar{x} - M_o}{s} \Rightarrow 0.85 = \frac{3.4}{s} \Rightarrow s = \frac{3.4}{0.85} = 4$
વિચરણ ($s^2$) $= 4^2 = \mathbf{16}$
$\bar{x} = 44$ હોવાથી: $44 + M_o = 82 \Rightarrow M_o = 82 - 44 = 38$
હવે વિષમતાંક:
$j = \frac{\bar{x} - M_o}{s} = \frac{44 - 38}{12} = \frac{6}{12} = \mathbf{0.5}$
કાર્લ પિયર્સનની રીતમાં વિષમતા ($S_k$) એ મધ્યક ($\bar{x}$) અને બહુલક ($M_o$) ના તફાવત પર આધારિત છે.
જ્યારે બહુલક સ્પષ્ટ હોય ત્યારે સૂત્ર: $j = \frac{\bar{x} - M_o}{s}$
જ્યારે બહુલક અસ્પષ્ટ કે બહુ-બહુલકીય વિતરણ હોય ત્યારે સૂત્ર: $j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s}$
આ માપ એકમરહિત સાપેક્ષ માપ છે અને તેનો વિસ્તાર સામાન્ય રીતે $-1$ થી $+1$ (અથવા $-3$ થી $+3$) સુધીનો હોય છે.
બાઉલીની રીત ચતુર્થકો ($Q_1, Q_2/M, Q_3$) ના સ્થાનિક અંતરો પર આધારિત છે.
વિષમતાનું સૂત્ર: $S_k = (Q_3 - M) - (M - Q_1) = Q_3 + Q_1 - 2M$
વિષમતાંકનું સૂત્ર: $j = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1}$
આ રીત ખાસ કરીને ખુલ્લા છેડાવાળા વર્ગો ધરાવતા આવૃત્તિ-વિતરણો માટે ખૂબ ઉપયોગી છે. બાઉલીના વિષમતાંકની કિંમત હંમેશા $-1$ થી $+1$ ની વચ્ચે જ હોય છે.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ નીચેના સંજોગોમાં થાય છે:
જ્યારે આવૃત્તિ-વિતરણમાં બહુલક ($M_o$) અસ્પષ્ટ હોય.
જ્યારે વિતરણ બહુ-બહુલકીય (એક કરતાં વધુ બહુલક ધરાવતું) હોય.
જ્યારે વિતરણમાં અસમાન વર્ગલંબાઈ આપેલી હોય.
ધન વિષમતા:
આવૃત્તિવક્રનો જમણી તરફનો છેડો વધુ ખેંચાયેલો હોય છે.
સંબંધ: $\bar{x} > M > M_o$ અને $(Q_3 - M) > (M - Q_1)$.
વિષમતાંક $j > 0$ (ધન) હોય છે.
ઋણ વિષમતા:
આવૃત્તિવક્રનો ડાબી તરફનો છેડો વધુ ખેંચાયેલો હોય છે.
સંબંધ: $\bar{x} < M < M_o$ અને $(Q_3 - M) < (M - Q_1)$.
વિષમતાંક $j < 0$ (ઋણ) હોય છે.
સમષ્ટિ A માટે: $j_A = \frac{\bar{x} - M_o}{s} = \frac{56 - 60}{24} = \frac{-4}{24} = -0.167$
આથી, $\vert{}j_A\vert{} = 0.167$
સમષ્ટિ B માટે: $j_B = \frac{3(\bar{x} - M)}{s} = \frac{3(56 - 60)}{30} = \frac{-12}{30} = -0.40$
આથી, $\vert{}j_B\vert{} = 0.40$
જે સમષ્ટિના વિષમતાંકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ($\vert{}j\vert{}$) શૂન્યની વધુ નજીક હોય તે સંમિતતાની વધુ નજીક ગણાય.
અહીં $\vert{}j_A\vert{} < \vert{}j_B\vert{}$ હોવાથી સમષ્ટિ A એ સંમિતતાની વધુ નજીક છે.
સમષ્ટિ A માટે:
$4Q_1 = 144 \Rightarrow Q_1 = 36$
$3Q_2 = 144 \Rightarrow Q_2 (M) = 48$
$2Q_3 = 144 \Rightarrow Q_3 = 72$
$j_A = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1} = \frac{72 + 36 - 2(48)}{72 - 36} = \frac{108 - 96}{36} = \frac{12}{36} = \mathbf{0.333}$
આથી, $\vert{}j_A\vert{} = 0.333$
સમષ્ટિ B માટે:
$j_B = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1} = \frac{70 + 34.8 - 2(45.5)}{70 - 34.8} = \frac{104.8 - 91}{35.2} = \frac{13.8}{35.2} \approx \mathbf{0.392}$
આથી, $\vert{}j_B\vert{} = 0.392$
જે સમષ્ટિના $\vert{}j\vert{}$ ની કિંમત વધુ હોય તે વધારે વિષમ ગણાય.
અહીં $\vert{}j_B\vert{} > \vert{}j_A\vert{}$ હોવાથી સમષ્ટિ B વધારે વિષમ છે.
અહીં $(Q_3 - M) = 12.8$ અને $(M - Q_1) = 11.2$ આપેલ છે.
વિષમતા ($S_k$):
$S_k = (Q_3 - M) - (M - Q_1) = 12.8 - 11.2 = \mathbf{1.6}$
વિષમતાંક ($j$):
$Q_3 - Q_1 = (Q_3 - M) + (M - Q_1) = 12.8 + 11.2 = 24$
$j = \frac{S_k}{Q_3 - Q_1} = \frac{1.6}{24} = \mathbf{0.067}$
પ્રથમ પ્રમાણિત વિચલન ($s$) શોધીએ:
$\text{ચલનાંક} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100 \Rightarrow 25 = \frac{s}{32} \times 100 \Rightarrow s = \frac{25 \times 32}{100} = 8$
હવે વિષમતાંક ($j$):
$j = \frac{\bar{x} - M_o}{s} = \frac{32 - 32.2}{8} = \frac{-0.2}{8} = \mathbf{-0.025}$
મધ્યક ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{640}{20} = 32$
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
$s = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{20800}{20} - (32)^2} = \sqrt{1040 - 1024} = \sqrt{16} = 4$
વિષમતાંક ($j$):
$j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s} = \frac{3(32 - 32.2)}{4} = \frac{3(-0.2)}{4} = \frac{-0.6}{4} = \mathbf{-0.15}$
બહુલક ($M_o$):
$j = \frac{\bar{x} - M_o}{s} \Rightarrow -0.60 = \frac{60 - M_o}{10} \Rightarrow -6 = 60 - M_o \Rightarrow M_o = 60 + 6 = \mathbf{66}$
મધ્યસ્થ ($M$):
$j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s} \Rightarrow -0.60 = \frac{3(60 - M)}{10} \Rightarrow -6 = 180 - 3M$
$3M = 180 + 6 = 186 \Rightarrow M = \frac{186}{3} = \mathbf{62}$
અહીં $S_k = 8, j = \frac{2}{3}, \bar{x} = 64$
પ્રમાણિત વિચલન ($s$):
$j = \frac{S_k}{s} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{8}{s} \Rightarrow 2s = 24 \Rightarrow s = 12$
મધ્યસ્થ ($M$):
$S_k = 3(\bar{x} - M) \Rightarrow 8 = 3(64 - M) \Rightarrow 8 = 192 - 3M$
$3M = 192 - 8 = 184 \Rightarrow M = \frac{184}{3} = \mathbf{61.33}$
ચલનાંક:
$\text{ચલનાંક} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100 = \frac{12}{64} \times 100 = \mathbf{18.75\%}$
અહીં $Q_3 + Q_1 = 1.5M$ અને $Q_3 - Q_1 = \frac{2}{3}M$ આપેલ છે.
બાઉલીના વિષમતાંકના સૂત્ર મુજબ:
$j = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1} = \frac{1.5M - 2M}{\frac{2}{3}M} = \frac{-0.5M}{\frac{2}{3}M} = -0.5 \times \frac{3}{2} = \mathbf{-0.75}$
માપોની ગણતરી:
$4\bar{x} = 144 \Rightarrow \bar{x} = 36$
$6M_o = 144 \Rightarrow M_o = 24$
$Q_3 + Q_1 = 60$
$6(Q_3 - Q_1) = 60 \Rightarrow Q_3 - Q_1 = 10$
કાર્લ પિયર્સનનો વિષમતાંક ($j_{KP}$):
$j_{KP} = \frac{\bar{x} - M_o}{s} = \frac{36 - 24}{64} = \frac{12}{64} = \mathbf{0.1875}$
બાઉલીનો વિષમતાંક ($j_B$):
પ્રથમ મધ્યસ્થ ($M$) શોધીએ: $M_o = 3M - 2\bar{x} \Rightarrow 24 = 3M - 2(36) \Rightarrow 24 = 3M - 72 \Rightarrow 3M = 96 \Rightarrow M = 32$
$j_B = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1} = \frac{60 - 2(32)}{10} = \frac{60 - 64}{10} = \frac{-4}{10} = \mathbf{-0.4}$
વ્યાખ્યા: જે આવૃત્તિ-વિતરણ સંમિત ન હોય, એટલે કે જેમાં આવૃત્તિઓનું વિતરણ મધ્યવર્તી કિંમતની બંને બાજુ સરખી રીતે વહેંચાયેલું ન હોય, તેને વિષમ આવૃત્તિ-વિતરણ કહે છે.
લક્ષણો:
મધ્યક ($\bar{x}$), મધ્યસ્થ ($M$), અને બહુલક ($Mo$) ના મૂલ્યો સમાન હોતા નથી ($\bar{x} \neq M \neq Mo$).
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) અને ત્રીજો ચતુર્થક ($Q_3$) એ મધ્યસ્થ ($M$) થી સમાન અંતરે હોતા નથી ($Q_3 - M \neq M - Q_1$).
આવૃત્તિ વક્રનો ડાબી કે જમણી બાજુનો છેડો વધુ ખેંચાયેલો હોય છે.
આલેખ સંમિત (ઘંટાકાર) હોતો નથી.
વ્યાખ્યા: જે આવૃત્તિ-વિતરણમાં ચલની કિંમતો મધ્યવર્તી કિંમતની બંને બાજુએ સમાન રીતે વિતરિત થયેલી હોય, તેને સંમિત આવૃત્તિ-વિતરણ કહે છે.
લક્ષણો:
મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલકના મૂલ્યો સમાન હોય છે ($\bar{x} = M = Mo$).
પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) અને ત્રીજો ચતુર્થક ($Q_3$) મધ્યસ્થ ($M$) થી સમાન અંતરે હોય છે ($Q_3 - M = M - Q_1$).
વિતરણનો આવૃત્તિ વક્ર સંપૂર્ણ ઘંટાકાર (Bell-shaped) સ્વરૂપનો હોય છે.
| વિગત | કાર્લ પિયર્સનની રીત | બાઉલીની રીત |
| આધાર | આ રીત મધ્યવર્તી સ્થિતિના માપો (મધ્યક, મધ્યસ્થ, બહુલક) અને પ્રમાણિત વિચલન પર આધારિત છે. | આ રીત ચતુર્થકો ($Q_1, M, Q_3$) ના સ્થાનીય માપો પર આધારિત છે. |
| સૂત્ર | $S_k = \bar{x} - Mo$ અથવા $S_k = 3(\bar{x} - M)$ $S_k / s$ | $S_k = Q_3 + Q_1 - 2M$ $j = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1}$ |
| ઉપયોગીતા | જ્યારે માહિતીમાં ખુલ્લા છેડાવાળા વર્ગો ન હોય ત્યારે વધુ યોગ્ય છે. | ખુલ્લા છેડાવાળા વર્ગો ધરાવતી માહિતી માટે આ રીત શ્રેષ્ઠ છે. |
વિષમતા (Skewness): માહિતીમાં સંમિતતાના અભાવને વિષમતા કહે છે. તે નિરપેક્ષ માપ છે અને તેનો એકમ આપેલી માહિતીના એકમ જેવો જ હોય છે. તેને $S_k$ વડે દર્શાવાય છે.
વિષમતાંક (Coefficient of Skewness): વિષમતાના નિરપેક્ષ માપને પ્રસારના માપ વડે ભાગવાથી મળતા એકમરહિત માપને વિષમતાંક કહે છે. તે સાપેક્ષ માપ છે અને તેને $j$ વડે દર્શાવાય છે. તેનું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે $-1$ થી $+1$ ની વચ્ચે હોય છે.
સમષ્ટિના આવૃત્તિ-વિતરણમાં સંમિતતા છે કે નહીં તે જાણવું.
આવૃત્તિ-વિતરણમાં વિષમતાનું પ્રમાણ અને તેની દિશા (ધન કે ઋણ) નક્કી કરવી.
મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેના સંબંધો સમજવા.
બે કે તેથી વધુ આવૃત્તિ-વિતરણોની તુલના કરવી.
૧. કાર્લ પિયર્સનની રીત ($j_K = \frac{3(\bar{x} - M)}{s}$):
પેઢી A:
પેઢી B:
૨. બાઉલીની રીત ($j_B = \frac{Q_3 + Q_1 - 2M}{Q_3 - Q_1}$):
પેઢી A:
પેઢી B:
તુલના: કાર્લ પિયર્સનની રીતે બંને પેઢીમાં ધન વિષમતા છે, જેમાં પેઢી B ની વિષમતા વધુ છે. બાઉલીની રીતે પેઢી A માં ઋણ વિષમતા અને પેઢી B માં ધન વિષમતા જોવા મળે છે.
$N = \sum f = 29$
મધ્યક ($\bar{x}$) અને પ્રમાણિત વિચલન ($s$) ની ગણતરી:
$\sum fx = (30\times 2) + (25\times 2) + (21\times 7) + (20\times 3) + (18\times 4) + (16\times 7) + (15\times 2) + (12\times 3) = 587$
$\bar{x} = \frac{587}{29} \approx 20.24$
અહીં મહત્તમ આવૃત્તિ $f = 7$ બે વખત આવે છે (21 અને 16 માટે), તેથી બહુલક અસ્પષ્ટ છે.
મધ્યસ્થ ($M$) ની ગણતરી કરતા: $M = 20$
$s \approx 4.68$
વિષમતાંક ($j$):
$N = \sum f = 50$
મધ્યક ($\bar{x}$):
બહુલક ($Mo$): મહત્તમ આવૃત્તિ 18 છે, જેની સામેની કિંમત $Mo = 20$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$): ગણતરી કરતા $s \approx 1.63$ મળે છે.
વિષમતાંક ($j$):
અહીં ધારેલો મધ્યક $A = 240$ છે.
$\sum f(x - 240) = 0 \implies \bar{x} = A + \frac{\sum f(x - A)}{n} = 240 + 0 = 240$
$s = \sqrt{\frac{\sum f(x - 240)^2}{n}} = \sqrt{\frac{11250}{200}} = \sqrt{56.25} = 7.5$
વિષમતાંક ($j$):
વિષમતાનો પ્રકાર: વિષમતાંકનું મૂલ્ય ઋણ આવાથી આ વિતરણ ઋણ વિષમ આવૃત્તિ-વિતરણ છે.
માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતાં:
| કલાક (x) | અકસ્માત (f) | સંચયી આવૃત્તિ (cf) |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1.5 | 2 | 5 |
| 2 | 1 | 6 |
| 2.5 | 2 | 8 |
| 3 | 3 | 11 |
| 3.5 | 4 | 15 |
| 4 | 5 | 20 |
ચતુર્થકો અને મધ્યસ્થની ગણતરી ($n = 20$):
$Q_1 = \text{અવલોકનનું સ્થાન } \frac{n+1}{4} = \frac{21}{4} = 5.25 \text{ મું અવલોકન} \implies Q_1 = 1.5 + 0.25(2 - 1.5) = 1.625$
$M = \text{અવલોકનનું સ્થાન } \frac{n+1}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \text{ મું અવલોકન} \implies M = 3$
$Q_3 = \text{અવલોકનનું સ્થાન } \frac{3(n+1)}{4} = \frac{63}{4} = 15.75 \text{ મું અવલોકન} \implies Q_3 = 3.5 + 0.75(4 - 3.5) = 3.875$
બાઉલીનો વિષમતાંક ($j$):
વર્ગો બનાવતાં: (મધ્યકિંમતો વચ્ચેનું અંતર અસમાન હોવાથી વર્ગ સીમાઓ નક્કી કરતા): $-10\text{ થી }0, 0\text{ થી }10, 10\text{ થી }14, 14\text{ થી }22, 22\text{ થી }28$
વર્ગલંબાઈ અસમાન હોવાથી બહુલક ($Mo$) અસ્પષ્ટ છે, તેથી $j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s}$ સૂત્ર વપરાશે.
$n = \sum f = 365$
ગણતરી મુજબ:
મધ્યક ($\bar{x}$): $\frac{\sum fx}{n} = \frac{(-5\times 25) + (5\times 35) + (12\times 105) + (18\times 125) + (25\times 75)}{365} = \frac{-125 + 175 + 1260 + 2250 + 1875}{365} = \frac{5435}{365} \approx 14.89^\circ C$
મધ્યસ્થ ($M$): $M \text{ નો વર્ગ } \frac{n}{2} = 182.5 \text{ મું અવલોકન} \implies 14\text{ થી }22$ વર્ગમાં.
પ્રમાણિત વિચલન ($s$): $s \approx 7.82$
વિષમતાંક ($j$):
$$j = \frac{3(14.89 - 15.12)}{7.82} = \frac{3(-0.23)}{7.82} = \frac{-0.69}{7.82} \approx -0.09$$
અહીં મહત્તમ આવૃત્તિ $f = 38$ બે વાર આવે છે (20-30 અને 30-40 માટે), તેથી બહુલક અસ્પષ્ટ છે.
$n = 120$
મધ્યક ($\bar{x}$):
મધ્યસ્થ ($M$):
પ્રમાણિત વિચલન ($s$): $s \approx 12.28$
વિષમતાંક ($j$):
પ્રકાર: ધન વિષમતા.
માહિતી ખુલ્લા છેડાવાળા વર્ગો ધરાવે છે, તેથી બાઉલીની પદ્ધતિ યોગ્ય છે.
$n = 150$
| વર્ગ | f | cf |
| 10 થી ઓછા | 15 | 15 |
| 10 - 20 | 30 | 45 |
| 20 - 30 | 50 | 95 |
| 30 - 40 | 40 | 135 |
| 40 અને વધુ | 15 | 150 |
ગણતરી:
$Q_1 \text{ વર્ગ } (\frac{150}{4} = 37.5) \implies 10 - 20 \implies Q_1 = 10 + \left(\frac{37.5 - 15}{30}\right) \times 10 = 17.5$
$M \text{ વર્ગ } (\frac{150}{2} = 75) \implies 20 - 30 \implies M = 20 + \left(\frac{75 - 45}{50}\right) \times 10 = 26$
$Q_3 \text{ વર્ગ } (\frac{3\times 150}{4} = 112.5) \implies 30 - 40 \implies Q_3 = 30 + \left(\frac{112.5 - 95}{40}\right) \times 10 = 34.375$
વિષમતાંક ($j$):
પ્રકાર: ઋણ વિષમતા.
અહીં મિશ્ર વિતરણ હોવાથી બહુલક અસ્પષ્ટ છે, તેથી $M$ નો ઉપયોગ થશે.
$n = 80$
મધ્યક ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{(1\times 10) + (2\times 8) + (3\times 12) + (6\times 10) + (10\times 5) + (14\times 15) + (18\times 20)}{80} = \frac{736}{80} = 9.2 \text{ એકમ}$
મધ્યસ્થ ($M$): $M \text{ સ્થાન } 40 \implies 8 - 12 \text{ વર્ગ में} \implies M = 8 + \left(\frac{40 - 40}{5}\right)\times 4 = 8 \text{ એકમ}$
પ્રમાણિત વિચલન ($s$): $s \approx 6.42$
વિષમતા ($S_k$):
વિષમતાંક ($j$):
આપેલ વિતરણ 'થી ઓછા' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ-વિતરણ છે.
$n = 50$
ચતુર્થકો અને મધ્યસ્થની ગણતરી:
$Q_1$ સ્થાન $= \frac{50}{4} = 12.5 \implies$ વર્ગ $4.1 - 4.2 \implies Q_1 = 4.1 + \left(\frac{12.5 - 6}{7}\right) \times 0.1 \approx 4.193$
$M$ સ્થાન $= \frac{50}{2} = 25 \implies$ વર્ગ $4.3 - 4.4 \implies M = 4.3 + \left(\frac{25 - 23}{10}\right) \times 0.1 = 4.32$
$Q_3$ સ્થાન $= \frac{3\times 50}{4} = 37.5 \implies$ વર્ગ $4.4 - 4.5 \implies Q_3 = 4.4 + \left(\frac{37.5 - 33}{8}\right) \times 0.1 = 4.456$
વિષમતાંક ($j$):
અર્થઘટન: આ વિતરણમાં ખૂબ અલ્પ પ્રમાણમાં ધન વિષમતા છે.
વર્ગલંબાઈ અસમાન હોવાથી $j = \frac{3(\bar{x} - M)}{s}$ નો ઉપયોગ થશે.
$n = 51$
ગણતરીઓ:
મધ્યક ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{(1.5\times 15) + (4\times 12) + (7.5\times 8) + (12.5\times 6) + (17.5\times 4) + (25\times 3) + (35\times 2) + (50\times 1)}{51} = \frac{465.5}{51} \approx 9.13$
મધ્યસ્થ ($M$): સ્થાન $\frac{51}{2} = 25.5 \implies$ વર્ગ $3 - 5$
પ્રમાણિત વિચલન ($s$): $s \approx 10.85$
વિષમતાંક ($j$):
અર્થઘટન: આવૃત્તિ-વિતરણમાં ધન વિષમતા વધારે જોવા મળે છે.
અનિવારક વર્ગોને નિવારકમાં ફેરવતાં: $0.95 - 1.95, 1.95 - 2.95, \dots$
$n = 200$
ચતુર્થકો અને મધ્યસ્થની ગણતરી:
$Q_1$ સ્થાન $= \frac{200}{4} = 50 \implies$ વર્ગ $1.95 - 2.95 \implies Q_1 = 1.95 + \left(\frac{50 - 10}{40}\right) \times 1 = 2.95$
$M$ સ્થાન $= \frac{200}{2} = 100 \implies$ વર્ગ $3.95 - 4.95 \implies M = 3.95 + \left(\frac{100 - 70}{50}\right) \times 1 = 4.55$
$Q_3$ સ્થાન $= \frac{3\times 200}{4} = 150 \implies$ વર્ગ $5.95 - 6.95 \implies Q_3 = 5.95 + \left(\frac{150 - 150}{30}\right) \times 1 = 5.95$
વિષમતાંક ($j$):
અર્થઘટન: માહિતીમાં અલ્પ પ્રમાણમાં ઋણ વિષમતા છે.
$n = 120$
મધ્યક ($\bar{x}$):
બહુલક ($Mo$): મહત્તમ આવૃત્તિ 50 ની સામેની કિંમત $Mo = 180 \text{ ચોમી}$.
વિષમતાંક ($j$):
અર્થઘટન: વિષમતાંક શૂન્ય છે, એટલે કે આ આવૃત્તિ-વિતરણ સંપૂર્ણપણે સંમિત (Symmetrical) છે અને તેમાં વિષમતાનો અભાવ છે.
$n = 105$
| વર્ગ | f | cf |
| 10 - 15 | 5 | 5 |
| 15 - 20 | 10 | 15 |
| 20 - 25 | 15 | 30 |
| 25 - 30 | 20 | 50 |
| 30 - 35 | 25 | 75 |
| 35 - 40 | 30 | 105 |
ગણતરીઓ:
$Q_1$ સ્થાન $= \frac{105}{4} = 26.25 \implies$ વર્ગ $20 - 25 \implies Q_1 = 20 + \left(\frac{26.25 - 15}{15}\right) \times 5 = 23.75$
$M$ સ્થાન $= \frac{105}{2} = 52.5 \implies$ વર્ગ $30 - 35 \implies M = 30 + \left(\frac{52.5 - 50}{25}\right) \times 5 = 30.5$
$Q_3$ સ્થાન $= \frac{3\times 105}{4} = 78.75 \implies$ વર્ગ $35 - 40 \implies Q_3 = 35 + \left(\frac{78.75 - 75}{30}\right) \times 5 = 35.625$
વિષમતાંક ($j$):