ધોરણ 11 | విષય: Statistics
$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ પ્રકારે
સૂત્ર $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ મુજબ,
$(x - \frac{1}{x})^3 = (x)^3 - 3(x)^2(\frac{1}{x}) + 3(x)(\frac{1}{x})^2 - (\frac{1}{x})^3$
$= x^3 - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$
પ્રથમ પાંચ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ = $1, 2, 3, 4, 5$ (કુલ $n = 5$ અંકો)
પાંચ અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે, તેથી પુનરાવર્તન વગર ગોઠવણી $5!$ થશે.
(1) કુલ કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય ?
કુલ સંખ્યાઓ = $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
જવાબ: 120
(2) 30,000 કરતાં મોટી કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય ?
30,000 થી મોટી સંખ્યા બનાવવા માટે પ્રથમ સ્થાન (દસ હજારનું સ્થાન) પર 3, 4 અથવા 5 માંથી જ કોઈ અંક આવી શકે.
પ્રથમ સ્થાન પસંદ કરવાના પ્રકાર = $3$ (3, 4, અથવા 5)
બાકીના 4 સ્થાનો માટે બાકીના 4 અંકોની ગોઠવણી = $4! = 24$
કુલ સંખ્યાઓ = $3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$
જવાબ: 72
(3) 5 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય ?
5 વડે નિઃશેષ ભાગવા માટે એકમનો અંક 5 જ હોવો જોઈએ.
એકમના સ્થાન માટે વિકલ્પ = $1$ (માત્ર અંક 5)
બાકીના 4 સ્થાનો માટે બાકીના 4 અંકોની ગોઠવણી = $4! = 24$
કુલ સંખ્યાઓ = $1 \times 4! = 24$
જવાબ: 24
અહીં 4 છોકરાઓ ($B$) અને 4 છોકરીઓ ($G$) છે. કોઈ પણ બે છોકરા કે બે છોકરી સાથે ન આવે એટલે કે ગોઠવણી એકાંતરે (alternating) હોવી જોઈએ.
આ માટે બે શક્યતા છે:
શક્યતા 1: $B-G-B-G-B-G-B-G$
છોકરાઓને ગોઠવવાના પ્રકાર = $4! = 24$
છોકરીઓને ગોઠવવાના પ્રકાર = $4! = 24$
રીતો = $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$
શક્યતા 2: $G-B-G-B-G-B-G-B$
રીતો = $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$
કુલ રીતો: $576 + 576 = 1152$
જવાબ: 1152
કુલ છોકરા = 3 ($B_1, B_2, B_3$), કુલ છોકરીઓ = 2 ($G_1, G_2$)
(1) બંને છોકરીઓ એક સાથે જ આવે ?
બંને છોકરીઓને એક જૂથ (1 અંક) ગણીએ.
હવે આપણી પાસે 3 છોકરા + 1 જૂથ = 4 એકમો છે.
4 એકમોની ગોઠવણી = $4! = 24$
બંને છોકરીઓ અંદરોઅંદર ગોઠવાઈ શકે = $2! = 2$
કુલ રીતો = $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$
જવાબ: 48
(2) છોકરાઓ અને છોકરીઓ વારાફરતી આવે ?
વારાફરતી આવવા માટે માત્ર એક જ ક્રમ શક્ય છે: $B - G - B - G - B$
3 છોકરાઓની ગોઠવણી = $3! = 6$
2 છોકરીઓની ગોઠવણી = $2! = 2$
કુલ રીતો = $3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$
જવાબ: 12
(3) ત્રણેય છોકરાઓ એક સાથે જ આવે ?
ત્રણેય છોકરાઓને એક જૂથ ગણીએ.
હવે આપણી પાસે 1 જૂથ + 2 છોકરીઓ = 3 એકમો છે.
3 એકમોની ગોઠવણી = $3! = 6$
ત્રણેય છોકરાઓ અંદરોઅંદર ગોઠવાઈ શકે = $3! = 6$
કુલ રીતો = $3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$
જવાબ: 36
WAKEFUL માં કુલ 7 અક્ષરો છે: A, E, F, K, L, U, W (અંગ્રેજી કક્કાવારી ક્રમમાં).
A થી શરૂ થતા શબ્દો: $1 \times 6! = 720$
E થી શરૂ થતા શબ્દો: $1 \times 6! = 720$
F થી શરૂ થતા શબ્દો: $1 \times 6! = 720$
K થી શરૂ થતા શબ્દો: $1 \times 6! = 720$
L થી શરૂ થતા શબ્દો: $1 \times 6! = 720$
U થી શરૂ થતા શબ્દો: $1 \times 6! = 720$
W થી શરૂ થતા શબ્દો:
WAE... થી શરૂ થતા: $1 \times 1 \times 1 \times 4! = 24$
WAF... થી શરૂ થતા: $1 \times 1 \times 1 \times 4! = 24$
WAKE... સુધી પહોંચ્યા પછી બાકીના અક્ષરો F, L, U:
WAKEFLU: 1
WAKEFUL: 2 (ઈચ્છિત શબ્દ)
કુલ ક્રમ:
$6 \times 720 + 24 + 24 + 2 = 4320 + 48 + 2 = 4370$
જવાબ: 4370 માં ક્રમે
કુલ 4 યુગલો = 4 પુરુષ ($M_1, M_2, M_3, M_4$) અને 4 સ્ત્રીઓ ($W_1, W_2, W_3, W_4$). કુલ 8 વ્યક્તિઓ.
(1) પસંદ કરેલી બે વ્યક્તિઓ પતિ-પત્ની હોય:
4 યુગલોમાંથી કોઈ પણ 1 યુગલ પસંદ કરવાનું છે.
પ્રકાર = $\binom{4}{1} = 4$
જવાબ: 4
(2) પસંદ કરેલી બે વ્યક્તિઓમાં એક પુરુષ અને એક સ્ત્રી હોય:
4 પુરુષોમાંથી 1 પુરુષ અને 4 સ્ત્રીઓમાંથી 1 સ્ત્રી.
પ્રકાર = $\binom{4}{1} \times \binom{4}{1} = 4 \times 4 = 16$
જવાબ: 16
(3) એક પુરુષ અને એક સ્ત્રી હોય પરંતુ તેઓ પતિ-પત્ની ન હોય:
કુલ (એક પુરુષ અને એક સ્ત્રી) પસંદગી = 16
પતિ-પત્ની હોય તેવી પસંદગી = 4
પતિ-પત્ની ન હોય તેવી પસંદગી = $16 - 4 = 12$
જવાબ: 12
આંકડાશાસ્ત્ર (S) = 4, અર્થશાસ્ત્ર (E) = 3. કુલ પુસ્તકો = 7. પસંદ કરવાના પુસ્તકો = 2.
(1) બંને પુસ્તકો એક જ વિષયના હોય:
બંને આંકડાશાસ્ત્રના હોય કે બંને અર્થશાસ્ત્રના હોય.
પ્રકાર = $\binom{4}{2} + \binom{3}{2} = 6 + 3 = 9$
જવાબ: 9
(2) બંને પુસ્તકો જુદા જુદા વિષયના હોય:
1 આંકડાશાસ્ત્રનું અને 1 અર્થશાસ્ત્રનું.
પ્રકાર = $\binom{4}{1} \times \binom{3}{1} = 4 \times 3 = 12$
જવાબ: 12
(3) અર્થશાસ્ત્ર વિષયનું એક પણ પુસ્તક ન આવે:
બંને પુસ્તકો આંકડાશાસ્ત્રમાંથી જ પસંદ કરવા પડે.
પ્રકાર = $\binom{4}{2} = 6$
જવાબ: 6
ઢીંગલીઓ (D) = 3, કીચન સેટ (K) = 4, કાર (C) = 3. કુલ = 10 રમકડાં. પસંદ કરવાના રમકડાં = 3.
(1) ત્રણેય રમકડાં ઢીંગલીઓ હોય:
3 ઢીંગલીઓમાંથી 3 પસંદ કરવી.
પ્રકાર = $\binom{3}{3} = 1$
જવાબ: 1
(2) ત્રણેય રમકડાં જુદા જુદા હોય:
1 ઢીંગલી, 1 કીચન સેટ અને 1 કાર.
પ્રકાર = $\binom{3}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} = 3 \times 4 \times 3 = 36$
જવાબ: 36
(3) બે ઢીંગલીઓ અને એક કીચન સેટ:
3 ઢીંગલીમાંથી 2 અને 4 કીચન સેટમાંથી 1.
પ્રકાર = $\binom{3}{2} \times \binom{4}{1} = 3 \times 4 = 12$
જવાબ: 12
સી.એ. (C) = 4, ડૉક્ટર (D) = 5. પસંદ કરવાના સભ્યો = 3.
(1) સી.એ.ની સંખ્યા બહુમતીમાં રહે (એટલે કે 2 સી.એ. અને 1 ડૉક્ટર અથવા 3 સી.એ.):
પ્રકાર = $(\binom{4}{2} \times \binom{5}{1}) + \binom{4}{3}$
$= (6 \times 5) + 4 = 30 + 4 = 34$
જવાબ: 34
(2) ડૉક્ટરની સંખ્યા બહુમતીમાં રહે (એટલે કે 2 ડૉક્ટર અને 1 સી.એ. અથવા 3 ડૉક્ટર):
પ્રકાર = $(\binom{5}{2} \times \binom{4}{1}) + \binom{5}{3}$
$= (10 \times 4) + 10 = 40 + 10 = 50$
જવાબ: 50
દ્વિપદી સૂત્ર અનુસાર:
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
બાદબાકી કરતાં:
$(a + b)^3 - (a - b)^3 = 2(3a^2b + b^3)$
અહીં $a = \sqrt{7}$ અને $b = 1$ મુકતા:
$= 2 \times [3(\sqrt{7})^2(1) + (1)^3]$
$= 2 \times [3(7)(1) + 1]$
$= 2 \times [21 + 1]$
$= 2 \times 22 = 44$
જવાબ: 44
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ સરવાળો કરતાં એકી પદો રદ થશે અને બેકી પદો બમણા થશે:
$(a+b)^6 + (a-b)^6 = 2 \left[ \binom{6}{0}a^6 + \binom{6}{2}a^4b^2 + \binom{6}{4}a^2b^4 + \binom{6}{6}b^6 \right]$
અહીં $a = \sqrt{3}$ અને $b = 1$ લેતાં:
$a^6 = (\sqrt{3})^6 = 27$
$a^4 = (\sqrt{3})^4 = 9$
$a^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
$b = 1$
કિંમતો મૂકતાં:
$= 2 \left[ 1(27) + 15(9)(1) + 15(3)(1) + 1(1) \right]$
$= 2 \left[ 27 + 135 + 45 + 1 \right]$
$= 2 \left[ 208 \right] = 416$
જવાબ: 416