ધોરણ 11 | విષય: Statistics
સાચો વિકલ્પ: (D)
A: સમષ્ટિના બધા જ એકમો
B: સમષ્ટિના ફક્ત 50 % એકમો
C: સમષ્ટિના ફક્ત 15 % એકમો
D: સમષ્ટિના કેટલાક એકમો
સાચો વિકલ્પ: (B)
A: જે નિદર્શમાં એકમની પસંદગી કરતાં પહેલાં અગાઉ પસંદ થયેલ એકમ સમષ્ટિમાં પાછો મૂકવામાં આવે તેને પુરવણી- રહિત નિદર્શ કહે છે.
B: જો તપાસ દરમિયાન એકમનો નાશ કરવો પડતો હોય, તો નિદર્શ તપાસ માત્ર જરૂરી નહિ પણ ફરજિયાત છે.
C: કોઈ પણ નિદર્શન્ પદ્ધતિમાં નિદર્શનું કદ સમષ્ટિ પર આધારિત નથી.
D: જો સમષ્ટિ સમાંગ હોય તો સ્તરિત યાદચ્છિક નિદર્શન્ શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે.
સાચો વિકલ્પ: (B)
A: સ્તરિત યાદચ્છિક નિદર્શનમાં સમષ્ટિના બધા જ એકમોને નિદર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે.
B: સરળ યાદચ્છિક નિદર્શનમાં સમષ્ટિના બધા જ એકમોને નિદર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે.
C: કોઈ પણ નિદર્શન પદ્ધતિમાં નિદર્શનું કદ સમષ્ટિ પર આધારિત નથી.
D: પદિક નિદર્શમાં સમષ્ટિના બધા જ એકમોને નિદર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે.
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: સમષ્ટિ અને નિદર્શ
B: નિદર્શ અને સમષ્ટિ
C: નિદર્શ અને નિદર્શ
D: સમષ્ટિ અને સમષ્ટિ
સાચો વિકલ્પ: (C)
A: સરળ યાદચ્છિક નિદર્શન
B: સ્તરિત યાદચ્છિક નિદર્શન
C: પદિક નિદર્શન(d)
D:
સાચો વિકલ્પ: (C)
A: પ્રત્યેક સ્તરમાંથી સમાન કદનો નિદર્શ પસંદ કરો.
B: પ્રત્યેક સ્તરમાંથી અસમાન કદનો નિદર્શ પસંદ કરો.
C: સમષ્ટિના દરેક સ્તરના કદના પ્રમાણમાં તે સ્તરમાંથી નિદર્શના એકમો પસંદ કરો.
D: આમાંથી એક પણ નહિ.
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: સમષ્ટિ તપાસ
B: સ્તરિત યાદચ્છિક નિદર્શન
C: પદિક નિદર્શન
D: સરળ યાદચ્છિક નિદર્શન
| ક્રમ | પ્રશ્ન / વિધાન | જવાબ |
| 1. | જો સમષ્ટિમાંથી સમય, મૂલ્ય અથવા સ્થાનના સમાન અંતરે એકમો પસંદ કરવામાં આવે તો, તે નિદર્શન યોજનાને સ્તરિત નિદર્શન યોજના કહેવાય. | ખોટું |
| 2. | આગણક એ સમષ્ટિનું લક્ષણ છે. | ખોટું |
| 3. | સારા નિદર્શમાં નિદર્શના એકમો સમયના એક જ ગાળામાં પસંદ થયેલા હોવા જોઈએ. | સાચું |
| 4. | જ્યારે સમષ્ટિના એકમોના ગુણધર્મો વચ્ચે વધુ અસમાનતા જોવા મળે ત્યારે સ્તરિત યાદચ્છિક નિદર્શન ફાયદાકારક પદ્ધતિ છે. | સાચું |
| 5. | સરળ યાદચ્છિક નિદર્શ પદ્ધતિમાં સમષ્ટિના દરેક એકમને નિદર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે. | સાચું |
| 6. | સમષ્ટિના એકમોને સમાંગ સમૂહોમાં વહેંચી તેમાંથી યાદચ્છિક નિદર્શો જે નિદર્શન પદ્ધતિમાં લેવામાં આવે છે તેને પદિક નિદર્શન કહે છે. | ખોટું |
| 7. | સમષ્ટિ તપાસમાં સમષ્ટિના દરેક એકમની તપાસ કરવામાં આવે છે. | સાચું |
જ્યારે સમષ્ટિનો અભ્યાસ કરવો હોય પરંતુ નીચે દર્શાવેલી પરિસ્થિતિઓમાંથી કોઈપણ એક કે તેથી વધુ પરિસ્થિતિઓ હોય ત્યારે સમષ્ટિ તપાસને બદલે નિદર્શ તપાસ કરવામાં આવે છે:
વિશાળ સમષ્ટિ: જ્યારે સમષ્ટિનું કદ અત્યંત વિશાળ હોય અને સમષ્ટિના દરેક એકમ સુધી પહોંચવું અશક્ય કે ખૂબ મુશ્કેલ હોય.
સમય અને નાણાંની મર્યાદા: જ્યારે તપાસ માટેનો સમય, નાણાં અને કાર્યકરોનું બજેટ ખૂબ મર્યાદિત હોય.
નાશવંત તપાસ: જ્યારે તપાસ દરમિયાન સમષ્ટિના એકમોનો નાશ થઈ જતો હોય. ઉદાહરણ તરીકે: બ્લડ ટેસ્ટ, ફટાકડાની ગુણવત્તા ચકાસવી, અથવા અનાજ રંધાયું છે કે નહીં તેની તપાસ કરવી.
અસીમ સમષ્ટિ: જ્યારે સમષ્ટિ અસીમ (ગણી ન શકાય તેટલી) હોય
સમષ્ટિમાંથી યોગ્ય, વૈજ્ઞાનિક અને પક્ષપાત રહિત પદ્ધતિ દ્વારા પ્રતિનિધિરૂપ એકમોનો સમૂહ (નિદર્શ) પસંદ કરવાની આખી પ્રક્રિયાને નિદર્શન (Sampling) કહેવાય છે.
હેતુ: આખી સમષ્ટિનો તપાસ કર્યા વગર માત્ર નિદર્શના અભ્યાસ પરથી જ આખી સમષ્ટિના લક્ષણો વિશે સાચું અનુમાન લગાવી શકાય તે માટે નિદર્શન કરવામાં આવે છે.
સરળ યાદચ્છિક નિદર્શ પસંદ કરવા માટે મુખ્યત્વે બે રીતોનો ઉપયોગ થાય છે:
લાટરીની રીત (Lottery Method): સમષ્ટિના દરેક એકમને ચોક્કસ ક્રમ આપી, એકસરખા કદ અને રંગની ચિઠ્ઠીઓ બનાવીને એક પાત્રમાં ભેગી કરવામાં આવે છે. તેને બરાબર મિશ્ર કરીને તેમાંથી જરૂરી કદના નિદર્શ માટે ચિઠ્ઠીઓ ઉપાડવામાં આવે છે.
યાદચ્છિક સંખ્યાના કોષ્ટકની રીત (Random Number Table Method): જ્યારે સમષ્ટિનું કદ મોટું હોય ત્યારે લાટરીની રીત મુશ્કેલ બને છે. આથી અગાઉથી તૈયાર કરેલા યાદચ્છિક સંખ્યાઓના કોષ્ટકો (જેમ કે એલ. એચ. સી. ટીપેટ, રેન્ડ કોર્પોરેશન વગેરેના કોષ્ટકો) નો ઉપયોગ કરીને એકમોની પસંદગી કરવામાં આવે છે.
આંકડાશાસ્ત્રમાં મુખ્યત્વે નીચે મુજબની ત્રણ નિદર્શન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
સરળ યાદચ્છિક નિદર્શન પદ્ધતિ (Simple Random Sampling): પુરવણી સહિત અને પુરવણી રહિત.
સ્તરિત યાદચ્છિક નિદર્શન પદ્ધતિ (Stratified Random Sampling).
પદિક નિદર્શન પદ્ધતિ (Systematic Sampling).
વિષમાંગ સમષ્ટિને સમાંગ સ્તરોમાં વહેંચ્યા પછી, પ્રત્યેક સ્તરમાંથી સરળ યાદચ્છિક નિદર્શન પદ્ધતિ દ્વારા નિદર્શ લેવામાં આવે છે. આ માટે બે રીતો વપરાય છે:
પ્રમાણસર સ્તરિત નિદર્શન (Proportional Stratified Sampling): દરેક સ્તરમાંથી લેવામાં આવતા એકમોની સંખ્યા તે સ્તરના કદના પ્રમાણમાં રાખવામાં આવે છે.
અપ્રમાણસર સ્તરિત નિદર્શન (Disproportional Stratified Sampling): દરેક સ્તરના કદ સિવાય તેના ચલન (વિષમાંગતા) ને ધ્યાનમાં રાખીને જે સ્તરમાં વધુ ચલન હોય તેમાંથી પ્રમાણ કરતા વધુ નિદર્શ લેવામાં આવે છે.
પદિક નિદર્શનમાં સમષ્ટિના કુલ એકમો $N$ ને જરૂરી નિદર્શ કદ $n$ વડે ભાગતા મળતી સંખ્યા $k$ ને નિદર્શ અંતરાલ (Sampling Interval) કહે છે.
સૂત્ર: $k = \frac{N}{n}$
સમજુતી: જો સમષ્ટિ $N = 100$ હોય અને નિદર્શ કદ $n = 10$ લેવું હોય, તો $k = \frac{100}{10} = 10$ થાય. આનો અર્થ એ થાય કે પ્રથમ એકમ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કર્યા પછી દર $10$મા અંતરે આવતા એકમની પસંદગી કરવામાં આવશે.
જ્યારે આપેલ સમષ્ટિના તમામ એકમો એકસમાન ન હોય પરંતુ અલગ-અલગ લક્ષણો કે ગુણધર્મો ધરાવતા હોય (એટલે કે વિષમાંગ સમષ્ટિ હોય), ત્યારે આખી સમષ્ટિને ગુણધર્મોની સમાનતાના આધારે જુદા જુદા વિભાગોમાં વહેંચવાની પ્રક્રિયાને સ્તરીકરણ (Stratification) કહે છે.
ઉદાહરણ: કોઈ શહેરના લોકોની આવકનો અભ્યાસ કરવો હોય તો સમષ્ટિને 'ઉચ્ચ આવક ધરાવતો વર્ગ', 'મધ્યમ આવક ધરાવતો વર્ગ' અને 'નિમ્ન આવક ધરાવતો વર્ગ' એમ ૩ સ્તરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
સમષ્ટિ તપાસ (Census Survey):
અભ્યાસ હેઠળની સમષ્ટિના તમામે તમામ (દરેક) એકમોની વ્યક્તિગત રીતે તપાસ કરવામાં આવે તેને સમષ્ટિ તપાસ કહેવાય.
ઉદાહરણ: દર ૧૦ વર્ષે કરવામાં આવતી ભારત દેશની વસ્તી ગણતરી.
નિદર્શ તપાસ (Sample Survey):
સમષ્ટિમાંથી યોગ્ય વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિથી પસંદ કરેલા થોડા પ્રતિનિધિરૂપ એકમો (નિદર્શ) ની જ તપાસ કરી, તેના આધારે આખી સમષ્ટિ માટે અનુમાન કરવામાં આવે તેને નિદર્શ તપાસ કહેવાય.
ઉદાહરણ: દર્દીના શરીરમાંથી લોહીના થોડાં ટીંપાં (બ્લડ સેમ્પલ) લઈને સમગ્ર શરીરના લોહીની તપાસ કરવી.
| મુદ્દો | સમષ્ટિ તપાસ | નિદર્શ તપાસ |
| ૧. તપાસનું ક્ષેત્ર | સમષ્ટિના દરેક એકમની તપાસ થાય છે. | માત્ર પસંદ કરેલા નિદર્શના એકમોની જ તપાસ થાય છે. |
| ૨. સમય અને ખર્ચ | સમય, નાણાં અને માનવશક્તિ ખૂબ જ વધારે જોઈએ. | સમય, નાણાં અને માનવશક્તિની મોટી બચત થાય છે. |
| ૩. ચોકસાઈ | એકમો ખૂબ વધારે હોવાથી ક્ષતિઓ અને ભૂલો થવાની શક્યતા વધુ છે. | એકમો ઓછા હોવાથી તજજ્ઞો દ્વારા ઊંડાણપૂર્વક ચોક્કસ તપાસ શક્ય બને છે. |
| ૪. પ્રયોજ્યતા | નાશવંત એકમો માટે આ તપાસ અશક્ય છે. | નાશવંત એકમો માટે ફક્ત આ જ તપાસ શક્ય છે. |
એક આદર્શ નિદર્શમાં નીચે મુજબના લક્ષણો હોવા જરૂરી છે:
પ્રતિનિધિત્વ: નિદર્શ સમષ્ટિના તમામ લક્ષણોનું પૂરેપૂરું પ્રતિનિધિત્વ કરતો હોવો જોઈએ.
પૂર્વગ્રહરહિત: એકમોની પસંદગીમાં તપાસકાર કે ગણકનો કોઈપણ પ્રકારનો પૂર્વગ્રહ, પક્ષપાત કે અંગત રાગ-દ્વેષ ન હોવો જોઈએ.
પર્યાપ્ત કદ: નિદર્શનું કદ ન તો બહુ નાનું કે ન તો બહુ મોટું હોવું જોઈએ; તે સમષ્ટિના કદ પ્રમાણે યોગ્ય હોવું જોઈએ.
એકરૂપતા (સમયગાળો): નિદર્શના તમામ એકમો એક જ સરખા સમયગાળા દરમિયાન પસંદ થયેલા હોવા જોઈએ.
નિદર્શનું કદ ($n$) કેટલું રાખવું તે નક્કી કરતી વખતે નીચેના મુદ્દાઓ ધ્યાન પર લેવાય છે:
સમષ્ટિનો વિસ્તાર અને કદ: જો સમષ્ટિ મોટી હોય તો નિદર્શનું કદ સરખામણીમાં મોટું રાખવું પડે.
સમષ્ટિમાં અસમાનતા (વિષમાંગતા): જો સમષ્ટિના એકમોમાં વધુ વૈવિધ્ય કે અસમાનતા હોય તો નિદર્શનું કદ મોટું રાખવું જોઈએ.
તપાસનો હેતુ અને ચોકસાઈનું ધોરણ: પરિણામોમાં જેટલી વધુ ચોકસાઈ જોઈતી હોય તેટલું નિદર્શનું કદ મોટું રાખવું પડે.
ઉપલબ્ધ સાધનો: તપાસ માટે ઉપલબ્ધ સમય, નાણાકીય બજેટ અને કુશળ ગણકોની સંખ્યાને આધારે કદ નક્કી થાય છે.
પક્ષપાતમુક્ત: આ પદ્ધતિમાં દરેક એકમને પસંદ થવાની સમાન તક હોવાથી તપાસકારનો પૂર્વગ્રહ કે પક્ષપાત નડી શકતો નથી.
ગણતરીમાં સરળ: નિદર્શ સરેરાશ અને તેના પ્રમાણિત દોષની ગણતરી અન્ય પદ્ધતિઓ કરતાં સરળી રીતે થઈ શકે છે.
સાચું પ્રતિનિધિત્વ: જો સમષ્ટિ સમાંગ હોય, તો આ પદ્ધતિ દ્વારા મળતો નિદર્શ સમષ્ટિનું ખૂબ જ સાચું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
જે નિદર્શન પદ્ધતિમાં સમષ્ટિના દરેક એકમને નિદર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક મળતી હોય તેને સરળ યાદચ્છિક નિદર્શન કહે છે.
પ્રકારો:
પુરવણી સહિત નિદર્શન: પસંદ થયેલ એકમનો અભ્યાસ કરી તેને સમષ્ટિમાં પાછો મૂકી પછી જ બીજો એકમ પસંદ થાય.
પુરવણી રહિત નિદર્શન: પસંદ થયેલ એકમને સમષ્ટિમાં પાછો મૂક્યા વગર બીજો એકમ પસંદ થાય.
રીતો: આ નિદર્શ પસંદ કરવા માટે 'લોટરીની રીત' અથવા 'યાદચ્છિક સંખ્યાના કોષ્ટકો'નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિ સમાંગ સમષ્ટિ માટે શ્રેષ્ઠ છે.
જ્યારે સમષ્ટિના એકમોમાં ગુણધર્મોની દ્રષ્ટિએ ખૂબ જ અસમાનતા (વિષમાંગતા) હોય ત્યારે આ પદ્ધતિ વપરાય છે.
કાર્યપદ્ધતિ:
સૌપ્રથમ સમગ્ર સમષ્ટિને ચોક્કસ ગુણધર્મને આધારે સમાંગ 'સ્તરો'માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
ત્યારબાદ દરેક સ્તરમાંથી તેના કદ અથવા ચલનના પ્રમાણમાં સરળ યાદચ્છિક નિદર્શનની રીતે એકમો પસંદ કરાય છે.
આ તમામ એકમો ભેગા મળીને સ્તરિત યાદચ્છિક નિદર્શ બનાવે છે.
મહત્વ: આ પદ્ધતિથી મળતા અનુમાનો વધુ ચોક્કસ અને વિશ્વસનીય હોય છે.
સ્તરીકરણની જટિલતા: જો સમષ્ટિના એકમો વિશે અગાઉથી પૂરી માહિતી ન હોય, તો સમષ્ટિનું સાચું અને યોગ્ય સ્તરોમાં વર્ગીકરણ કરવું મુશ્કેલ બને છે.
ખોટા સ્તરીકરણનું જોખમ: જો સ્તરોની રચના યોગ્ય ન થઈ હોય, તો મેળવેલા નિદર્શ પરથી ખોટા અનુમાનો નીકળે છે.
વધુ ખર્ચાળ અને જટિલ ગણતરી: સરળ નિદર્શનની તુલનામાં આ પદ્ધતિનો અમલ કરવો અને આંકડાકીય ગણતરીઓ કરવી વધુ જટિલ છે.
પદિક નિદર્શન એ સમષ્ટિના એકમો જ્યારે ચોક્કસ ક્રમમાં (જેમ કે ભૌગોલિક, સમયાનુક્રમ કે નામાવલિ મુજબ) ગોઠવાયેલા હોય ત્યારે વપરાતી પદ્ધતિ છે.
કાર્યપદ્ધતિ:
સૌપ્રથમ નિદર્શ અંતરાલ $k = \frac{N}{n}$ મેળવવામાં આવે છે.
$1$ થી $k$ માંથી પ્રથમ એકમ $i$ સરળ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરાય છે.
ત્યારબાદ બાકીના એકમો નિયમિત અંતરે એટલે કે $i + k, i + 2k, i + 3k, \dots$ ક્રમના પસંદ કરાય છે.
ઉદાહરણ: બેંકના ગ્રાહકોનું લિસ્ટ, વસ્તી પત્રક, અથવા ફેક્ટરીના ઉત્પાદનનો સમય.
સરળતા: નિદર્શ પસંદ કરવાની આ પદ્ધતિ ખૂબ જ સરળ, ઝડપી અને ઓછી મહેનત વાળી છે.
સમય અને શ્રમની બચત: ફિલ્ડ વર્ક દરમિયાન ગણકો માટે એકમો શોધવાનું કામ સરળ બની જાય છે.
સમગ્ર સમષ્ટિ પર ફેલાવ: આ પદ્ધતિમાં પસંદ થયેલા એકમો આખી સમષ્ટિમાં સમાન અંતરે પથરાયેલા હોવાથી સમષ્ટિના તમામ ભાગો આવરી લેવાય છે.
સામાન્ય રીતે વ્યવહારિક જીવનમાં નીચેના કારણોસર સમષ્ટિ તપાસ શક્ય બનતી નથી:
અનંત સમષ્ટિ: જ્યારે સમષ્ટિના એકમોની સંખ્યા ગણી ન શકાય તેટલી અસંખ્ય હોય (જેમ કે આકાશના તારા, વૃક્ષના પાંદડા, નદીનું પાણી).
નાશવંત એકમો: તપાસ દરમિયાન જો એકમો નાશ પામતા હોય (જેમ કે ફટાકડાની ચકાસણી, રક્તની તપાસ, દવાની અસરો).
મોટો ભૌગોલિક વિસ્તાર: જ્યારે સમષ્ટિના એકમો ખૂબ જ વિશાળ ક્ષેત્રમાં ફેલાયેલા હોય.
સાધનોની મર્યાદા: પૂરતો સમય, નાણાકીય બજેટ કે અનુભવી માનવબળ ઉપલબ્ધ ન હોય ત્યારે સમગ્ર સમષ્ટિની તપાસ કરવી અશક્ય બને છે.
વિગતવાર ઉત્તર: નિદર્શ તપાસના મુખ્ય લાભો નીચે મુજબ છે:
સમય અને ખર્ચની બચત: સમષ્ટિના તમામ એકમોની તપાસ કરવાને બદલે માત્ર પસંદ કરેલા થોડાક જ એકમો (નિદર્શ) ની તપાસ કરવાની હોવાથી સમય, શક્તિ અને નાણાંનો મોટા પ્રમાણમાં બચાવ થાય છે.
ઊંડાણપૂર્વકની અને ચોક્કસ માહિતી: નિદર્શના એકમોની સંખ્યા ઓછી હોવાથી દરેક એકમની ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક અને ઊંડાણપૂર્વક તપાસ કરી શકાય છે, જેથી પરિણામો વધુ ચોક્કસ મળે છે.
મર્યાદિત સાધનો અને કૌશલ્યનો ઉપયોગ: ઓછા ગણતરીકારો (તપાસકર્તાઓ) ની જરૂર પડે છે, જેથી કુશળ અને તાલીમબદ્ધ વ્યક્તિઓને રોકીને વધુ ગુણવત્તાયુક્ત માહિતી મેળવી શકાય છે.
નાશવંત વસ્તુઓ માટે ઉપયોગી: જ્યારે એકમની તપાસ કરતી વખતે તે નાશ પામે છે (જેમ કે બ્લડ ટેસ્ટ, દવાની ચકાસણી, ફટાકડા કે અનાજના દાણાની ગુણવત્તા) ત્યારે માત્ર નિદર્શ તપાસ જ શક્ય બને છે, સમષ્ટિ તપાસ અશક્ય હોય છે.
વિશાળ સમષ્ટિ માટે અનુકૂળ: જ્યારે સમષ્ટિનો વિસ્તાર ખૂબ મોટો હોય ત્યારે સમગ્ર સમષ્ટિની તપાસ કરવી વ્યવહારુ હોતી નથી, ત્યાં નિદર્શ તપાસ જ શ્રેષ્ઠ વિકલ્પ છે.
વિગતવાર ઉત્તર:
સમષ્ટિનું કદ ($N$): 100 (એ.ટી.એમ. ને 001, 002, ..., 100 નંબર આપેલા છે).
નિદર્શનું કદ ($n$): 5
પદ્ધતિ: પુરવણીરહિત (માત્ર 001 થી 100 વચ્ચેની જ સંખ્યાઓ લેવી, 100 થી મોટી સંખ્યાઓ રદ કરવી અને પુનરાવર્તિત સંખ્યા ગણવી નહીં).
આપેલી સંખ્યાઓની ક્રમશઃ તપાસ કરતા:
018 $\le 100 \rightarrow$ પસંદ થશે (1)
502 $> 100 \rightarrow$ રદ
153 $> 100 \rightarrow$ રદ
096 $\le 100 \rightarrow$ પસંદ થશે (2)
027 $\le 100 \rightarrow$ પસંદ થશે (3)
007 $\le 100 \rightarrow$ પસંદ થશે (4)
118 $> 100 \rightarrow$ રદ
245 $> 100 \rightarrow$ રદ
012 $\le 100 \rightarrow$ પસંદ થશે (5)
પસંદ થયેલ 5 એ.ટી.એમ. ના ક્રમાંકોનું નિદર્શ:
18, 96, 27, 7, 12
વિગતવાર ઉત્તર:
સમષ્ટિનું કદ ($N$): 70 (વિદ્યાર્થીઓને 01 થી 70 અથવા 001 થી 070 નંબર આપેલા છે).
નિદર્શનું કદ ($n$): 7
પદ્ધતિ: પુરવણી સહિત (જેમાં 001 થી 070 વચ્ચેની સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકાય અને જો સંખ્યા પુનરાવર્તિત થાય તો પણ ફરીથી લઈ શકાય).
નોંધ: જો યાદચ્છિક સંખ્યાઓ 2 અથવા 3 અંકની હોય, તો $N=70$ હોવાથી આપણે બે અંકની સંખ્યા ધ્યાને લઈએ અથવા સંખ્યાઓને 70 વડે ભાગીને શેષ મેળવવાની પદ્ધતિ વાપરી શકીએ છીએ, પરંતુ અહીં સરળતા માટે આપણે પ્રથમ બે અંકો (અથવા આપેલી 2 અંકની સંખ્યા) નો ઉપયોગ 01 થી 70 વચ્ચે માટે કરીએ છીએ.
જો આપણે આપેલી ત્રણ અંકની સંખ્યાઓના માત્ર છેલ્લા બે અંકો (અથવા પ્રથમ બે અંકો) લઈએ:
સામાન્ય રીતે 01 થી 70 સુધીના ક્રમાંક વાળી સંખ્યાઓ પસંદ કરવામાં આવે છે.
આપેલી યાદચ્છિક સંખ્યાઓમાંથી 001 થી 070 (અથવા 01 થી 70) વચ્ચે આવતી સંખ્યાઓ પસંદ કરીશું:
009 (9 નંબરનો વિદ્યાર્થી) - પસંદ થશે.
જો 70 વડે ભાગવાની રીત (Mod 70) નો ઉપયોગ કરીએ:
$274 \div 70 \rightarrow$ શેષ = $64$ (પસંદગી 1: 64)
$323 \div 70 \rightarrow$ શેષ = $43$ (પસંદગી 2: 43)
$923 \div 70 \rightarrow$ શેષ = $13$ (પસંદગી 3: 13)
$599 \div 70 \rightarrow$ શેષ = $39$ (પસંદગી 4: 39)
$667 \div 70 \rightarrow$ શેષ = $37$ (પસંદગી 5: 37)
$320 \div 70 \rightarrow$ શેષ = $40$ (પસંદગી 6: 40)
$910 \div 70 \rightarrow$ શેષ = $0$ (એટલે કે 70) (પસંદગી 7: 70)
(નોંધ: પુરવણી સહિતની રીત હોવાથી પસંદ થયેલ કોઈપણ કદ ફરીથી આવી શકે છે).
પસંદ થયેલ સાત વિદ્યાર્થીઓના ક્રમાંક: 64, 43, 13, 39, 37, 40, 70
વિગતવાર ઉત્તર:
સમષ્ટિનું કદ ($N$): 350 (ક્રમાંક: 001 થી 350)
નિદર્શનું કદ ($n$): 350 ના 2% = $350 \times \frac{2}{100} = 7$ એકમો.
1. પુરવણી સહિત નિદર્શ (With Replacement):
(001 થી 350 સુધીની સંખ્યાઓ લેવી, પુનરાવર્તન શક્ય છે)
170 ($\le 350$) $\rightarrow$ 170 (1)
111 ($\le 350$) $\rightarrow$ 111 (2)
352 ($> 350$) $\rightarrow$ રદ
002 ($\le 350$) $\rightarrow$ 002 (3)
563 ($> 350$) $\rightarrow$ રદ
203 ($\le 350$) $\rightarrow$ 203 (4)
405, 545 $> 350 \rightarrow$ રદ
111 ($\le 350$) $\rightarrow$ 111 (5) (પુનરાવર્તન પુરવણી સહિતમાં માન્ય છે)
446, 776, 691, 816 $> 350 \rightarrow$ રદ
233 ($\le 350$) $\rightarrow$ 233 (6)
616 $> 350 \rightarrow$ રદ
300 ($\le 350$) $\rightarrow$ 300 (7)
પુરવણી સહિત નિદર્શ: 170, 111, 002, 203, 111, 233, 300
2. પુરવણીરહિત નિદર્શ (Without Replacement):
(001 થી 350 સુધીની સંખ્યાઓ લેવી, પુનરાવર્તન માન્ય નથી)
170 $\rightarrow$ 170 (1)
111 $\rightarrow$ 111 (2)
002 $\rightarrow$ 002 (3)
203 $\rightarrow$ 203 (4)
111 $\rightarrow$ રદ (અગાઉ આવી ગયેલ છે)
233 $\rightarrow$ 233 (5)
300 $\rightarrow$ 300 (6)
250 $\rightarrow$ 250 (7)
પુરવણીરહિત નિદર્શ: 170, 111, 002, 203, 233, 300, 250
વિગતવાર ઉત્તર:
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = 600
કુલ નિદર્શ કદ = 600 ના 2% = 12 વિદ્યાર્થીઓ.
દરેક વર્ષમાં વિદ્યાર્થીઓ ($N_i$) = 200.
દરેક વર્ષમાંથી લેવાનો નિદર્શ ($n_i$) = 200 ના 2% = 4 વિદ્યાર્થીઓ (સ્તરિત યાદચ્છિક નિદર્શ પદ્ધતિ).
શરત: પુરવણીરહિત પદ્ધતિથી 001 થી 200 સુધીના ક્રમાંકની સંખ્યાઓ પસંદ કરવી.
પ્રથમ વર્ષ માટે (4 વિદ્યાર્થીઓ):
158 ($\le 200$) $\rightarrow$ 158 (1)
092 ($\le 200$) $\rightarrow$ 092 (2)
411, 745 $> 200 \rightarrow$ રદ
009 ($\le 200$) $\rightarrow$ 009 (3)
724, 674, 550, 716, 359, 419, 696 $> 200 \rightarrow$ રદ
200 ($\le 200$) $\rightarrow$ 200 (4)
પ્રથમ વર્ષનો નિદર્શ: 158, 092, 009, 200
દ્વિતીય વર્ષ માટે (4 વિદ્યાર્થીઓ):
384 $> 200 \rightarrow$ રદ
019 ($\le 200$) $\rightarrow$ 019 (1)
679 $> 200 \rightarrow$ રદ
131 ($\le 200$) $\rightarrow$ 131 (2)
390 $> 200 \rightarrow$ રદ
057 ($\le 200$) $\rightarrow$ 057 (3)
299, 786 $> 200 \rightarrow$ રદ
006 ($\le 200$) $\rightarrow$ 006 (4)
દ્વિતીય વર્ષનો નિદર્શ: 019, 131, 057, 006
તૃતીય વર્ષ માટે (4 વિદ્યાર્થીઓ):
227, 483, 741, 766 $> 200 \rightarrow$ રદ
027 ($\le 200$) $\rightarrow$ 027 (1)
070 ($\le 200$) $\rightarrow$ 070 (2)
648, 956 $> 200 \rightarrow$ રદ
198 ($\le 200$) $\rightarrow$ 198 (3)
912 $> 200 \rightarrow$ રદ
200 ($\le 200$) $\rightarrow$ 200 (4)
તૃતીય વર્ષનો નિદર્શ: 027, 070, 198, 200
વિગતવાર ઉત્તર:
નાના ખેડૂતો માટે ($N_1 = 30$, પસંદ કરવાનો નિદર્શ $n_1 = 6$):
(01 થી 30 વચ્ચેની સંખ્યાઓ પુરવણીરહિત રીતે પસંદ કરવી)
12 ($\le 30$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (1)
95 $> 30 \rightarrow$ રદ
18 ($\le 30$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (2)
96 $> 30 \rightarrow$ રદ
20 ($\le 30$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (3)
84, 56 $> 30 \rightarrow$ રદ
11 ($\le 30$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (4)
52 $> 30 \rightarrow$ રદ
03 ($\le 30$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (5)
10 ($\le 30$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (6)
નાના ખેડૂતોનો નિદર્શ: 12, 18, 20, 11, 03, 10
મોટા ખેડૂતો માટે ($N_2 = 20$, પસંદ કરવાનો નિદર્શ $n_2 = 4$):
(01 થી 20 વચ્ચેની સંખ્યાઓ પુરવણીરહિત રીતે પસંદ કરવી)
04 ($\le 20$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (1)
40, 34 $> 20 \rightarrow$ રદ
11 ($\le 20$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (2)
72 $> 20 \rightarrow$ રદ
11 $\rightarrow$ રદ (અગાઉ પસંદ થઈ ગઈ છે)
50, 55 $> 20 \rightarrow$ રદ
08 ($\le 20$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (3)
13 ($\le 20$) $\rightarrow$ પસંદ થશે (4)
મોટા ખેડૂતોનો નિદર્શ: 04, 11, 08, 13
વિગતવાર ઉત્તર:
સમષ્ટિનું કદ ($N$): 60
નિદર્શનું કદ ($n$): 5
નિદર્શ અંતરાલ ($k$):
પસંદગીની વિગતવાર પ્રક્રિયા:
સૌપ્રથમ 60 કર્મચારીઓને 1 થી 60 ક્રમાંક આપો.
પ્રથમ એકમની પસંદગી માટે 1 થી $k$ (એટલે કે 1 થી 12) વચ્ચેની કોઈપણ એક સંખ્યા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરો. ધારો કે તે સંખ્યા $i$ છે.
ત્યારબાદ બાકીના 4 એકમો પસંદ કરવા માટે ક્રમશઃ $k = 12$ ઉમેરતા જાઓ.
આથી નિદર્શમાં નીચે મુજબના ક્રમાંક વાળા કર્મચારીઓ પસંદ થશે:
પ્રથમ એકમ: $i$
બીજો એકમ: $i + 12$
ત્રીજો એકમ: $i + 24$
ચોથો એકમ: $i + 36$
પાંચમો એકમ: $i + 48$
(ઉદાહરણ તરીકે: જો પ્રથમ સંખ્યા $i = 5$ પસંદ થાય, તો નિદર્શના કર્મચારી ક્રમાંક 5, 17, 29, 41, 53 બનશે).
વિગતવાર ઉત્તર:
સમષ્ટિનું કદ ($N$): 20 (ક્રમ: 1 થી 20)
નિદર્શનું કદ ($n$): 4
નિદર્શ અંતરાલ ($k$):
અંતરાલ $k = 5$ હોવાથી 1 થી 5 વચ્ચે પ્રથમ એકમ ($i$) પસંદ થઈ શકે. આથી કુલ 5 શક્ય પદિક નિદર્શો મળે:
જો $i = 1$ હોય: $1, 1+5, 1+10, 1+15 \rightarrow$ {1, 6, 11, 16}
જો $i = 2$ હોય: $2, 2+5, 2+10, 2+15 \rightarrow$ {2, 7, 12, 17}
જો $i = 3$ હોય: $3, 3+5, 3+10, 3+15 \rightarrow$ {3, 8, 13, 18}
જો $i = 4$ હોય: $4, 4+5, 4+10, 4+15 \rightarrow$ {4, 9, 14, 19}
જો $i = 5$ હોય: $5, 5+5, 5+10, 5+15 \rightarrow$ {5, 10, 15, 20}
વિગતવાર ઉત્તર:
સમષ્ટિનું કદ ($N$): 30
નિદર્શનું કદ ($n$): 10
નિદર્શ અંતરાલ ($k$):
શક્ય નિદર્શોની સંખ્યા:
પદિક નિદર્શ પદ્ધતિમાં પ્રથમ એકમની પસંદગી 1 થી $k$ (એટલે કે 1 થી 3) વચ્ચેની કોઈપણ એક સંખ્યા વડે કરવામાં આવે છે.
અહીં $k = 3$ હોવાથી, 1 થી 3 માંથી માત્ર 3 જ પ્રાથમિક પસંદગી શક્ય છે.
આથી, કુલ 3 શક્ય પદિક નિદર્શો મેળવી શકાય.
(જેમાં પ્રથમ નિદર્શ: {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}, બીજો નિદર્શ: {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29} અને ત્રીજો નિદર્શ: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} બનશે).