chapter 8

ધોરણ 11 | విષય: Statistics

વિભાગ - A

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: $f : \{ 1, 2, 3, 4 \} \rightarrow \{ 3, 4, 5 \}$, ‘પ્રદેશ ગણની કિંમતમાં 2 નો વધારો કરો’ આ નિયમ વિધેય નથી.
B: $f : \text{A} \rightarrow \text{B}, \text{A} = \{-2, -1, 0, 1, 2 \}, \text{B} = \{0, 1, 2, 3, 4\}$, માટે $f(x) = x^2$ વિધેય નથી.
C: $g : \text{P} \rightarrow \text{Q}, \text{P} = \{-1, 0, 1\}, \text{Q} = \{-\frac{1}{3}, -1, 3\}, g(x) = \frac{x+2}{x-2}$ છે, તો $g$ ને વિધેય કહી શકાય.
D: $g : \{2, 3, 4, 5\} \rightarrow \{-1, 0, 1\}$ માટે $g(x) = 4x - 3$ વિધેય છે.

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: $f(\text{A}) = \{f(x) \mid x \in \text{A}\}$
B: સહપ્રદેશ ગણનો ઉપગણ કે સહપ્રદેશ પોતે ન હોય
C: પ્રદેશ તેનો વિસ્તાર હોય છે.
D: $f(\text{A}) = \{f(x) \mid x \in \text{B}\}$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: g ને વિધેય કહી શકાય.
B: g ને વિધેય ના કહી શકાય.
C: X ને વિધેય કહી શકાય.
D: Y ને વિધેય કહી શકાય

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: એક-એક વિધેય કહેવાય.
B: અનેક-એક વિધેય કહેવાય.
C: એક-અનેક વિધેય કહેવાય.
D: અનેક-અનેક વિધેય કહેવાય.

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: વિધેય ન કહેવાય.
B: એક-એક વિધેય
C: અચળ વિધેય કહેવાય.
D: અનેક-એક વિધેય

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: પ્રદેશની ફક્ત બે જ કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો ભિન્ન હોવા જોઈએ.
B: પ્રદેશની કોઈ બે કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો અસમાન હોવા જોઈએ.
C: પ્રદેશની કોઈ બે ભિન્ન કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો ભિન્ન હોવા જોઈએ.
D: પ્રદેશની પ્રત્યેક કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો અસમાન હોવા જોઈએ.

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: એક-એક વિધેય છે.
B: અનેક-એક વિધેય છે.
C: અચળ વિધેય છે.
D: $f(x)$ એ વિધેય નથી.

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: બંને વિધેયોના પ્રદેશ સમાન હોવા જોઈએ
B: બંને વિધેયોના વિસ્તાર સમાન હોવા જોઈએ.
C: (a) અને (b)
D: (a) અથવા (b)

વિભાગ – B

સાચો જવાબ:

કોઈપણ વિધેય $f: A \to B$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટેની શરતો નીચે મુજબ છે:

પ્રદેશ ગણ $A$ અને સહપ્રદેશ ગણ $B$ બંને અરિક્ત (ખાલી ન હોય તેવા) ગણ હોવા જોઈએ ($A \neq \emptyset, B \neq \emptyset$).

પ્રદેશ ગણ $A$ નો પ્રત્યેક ઘટક સહપ્રદેશ ગણ $B$ ના કોઈ અનન્ય (એક અને માત્ર એક જ) ઘટક સાથે સંબંધ ધરાવતો હોવો જોઈએ.

સાચો જવાબ:

ગણ $A$ ના પ્રત્યેક ઘટક માટે $f(x) = x^2$ ની કિંમતો શોધીએ:

$f(-3) = (-3)^2 = 9 \in B$

$f(-1) = (-1)^2 = 1 \in B$

$f(1) = (1)^2 = 1 \in B$

$f(3) = (3)^2 = 9 \in B$

અહીં, પ્રદેશ ગણ $A$ ના પ્રત્યેક ઘટકનું સહપ્રદેશ ગણ $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ મળે છે.

તેથી, $f$ એ વિધેય છે

સાચો જવાબ:

અહીં નિયમ $g(x) = x - 2$ થાય, જ્યાં $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$

જો આપણે $x = 1 \in \mathbb{N}$ લઈએ, તો:

$$g(1) = 1 - 2 = -1$$

પરંતુ $-1 \notin \mathbb{N}$ (સહપ્રદેશ ગણમાં નથી).

અહીં પ્રદેશના ઘટક $1$ નું પ્રતિબિંબ સહપ્રદેશ $\mathbb{N}$ માં મળતું નથી.

તેથી, આ નિયમને વિધેય કહી શકાય નહીં.

સાચો જવાબ:

જો વિધેય $f : A \to B$ માટે,

$$\forall x_1, x_2 \in A, \quad x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$$

અથવા

$$\forall x_1, x_2 \in A, \quad f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$$

થાય, તો $f$ ને એક-એક વિધેય કહે છે.

સાચો જવાબ:

જો વિધેય $f : A \to B$ માટે, પ્રદેશ ગણ $A$ માં એવા બે ભિન્ન ઘટકો $x_1, x_2 \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી:

$$x_1 \neq x_2 \quad \text{છતાં} \quad f(x_1) = f(x_2)$$

થાય, તો $f$ ને અનેક-એક વિધેય કહે છે.

સાચો જવાબ:

જો વિધેય $f : A \to B$ માટે, કોઈ અચળ $k \in B$ એવો મળે કે જેથી:

$$\forall x \in A, \quad f(x) = k$$

થાય (એટલે કે $R_f = \{k\}$), તો $f$ ને અચળ વિધેય કહે છે.

સાચો જવાબ:

બે વિધેયો સમાન થવા માટે પ્રથમ શરત એ છે કે બંનેના પ્રદેશ ગણ સમાન હોવા જોઈએ.

અહીં,

$f$ નો પ્રદેશ ગણ $D_f = \{1, 2, 3\}$

$g$ નો પ્રદેશ ગણ $D_g = \{2, 3, 4\}$

અહીં $D_f \neq D_g$ હોવાથી, $f$ અને $g$ સમાન વિધેય નથી.

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ ગણ $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ માંથી બે ભિન્ન ઘટકો $t = 1$ અને $t = -1$ લઈએ:

$f(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

અહીં $1 \neq -1$ હોવા છતાં $f(1) = f(-1) = 2$ થાય છે.

તેથી, વિધેય $f$ નો પ્રકાર 'અનેક-એક વિધેય' છે.

સાચો જવાબ: પ્રદેશ ગણ $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ છે. કોઈપણ બે ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો $t_1, t_2 \in \mathbb{N}$ માટે ($t_1 \neq t_2$), $t_1^2 + 1 \neq t_2^2 + 1$ થાય. એટલે કે, પ્રદેશ ગણના પ્રત્યેક ભિન્ન ઘટક માટે સહપ્રદેશ ગણમાં ભિન્ન પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી, વિધેય $f$ નો પ્રકાર 'એક-એક વિધેય' છે.

સાચો જવાબ: જે વિધેય $f : A \to B$ નો પ્રદેશ ગણ $A$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ અથવા તેનો ઉપગણ હોય ($A \subseteq \mathbb{R}$), તો તેવા વિધેયને વાસ્તવિક ચલનું વિધેય કહે છે

વિભાગ - C

સાચો જવાબ: જો $A$ અને $B$ એ બે અરિક્ત ગણો હોય અને પ્રદેશ ગણ $A$ નો પ્રત્યેક ઘટક સહપ્રદેશ ગણ $B$ ના કોઈ એક અને માત્ર એક જ (અનન્ય) ઘટક સાથે ચોક્કસ નિયમ, સંબંધ કે સંગતતાથી જોડાયેલ હોય, તો તે નિયમ કે સંબંધને ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનું વિધેય કહે છે. જેને સંકેતમાં $f : A \to B$ વડે દર્શાવાય છે.

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ (Domain): વિધેય $f : A \to B$ માં, ગણ $A$ ને વિધેય $f$ નો 'પ્રદેશ' અથવા 'પ્રદેશ ગણ' કહે છે. તેને સંકેતમાં $D_f$ વડે દર્શાવાય છે.

સહપ્રદેશ (Codomain): વિધેય $f : A \to B$ માં, ગણ $B$ ને વિધેય $f$ નો 'સહપ્રદેશ' અથવા 'સહપ્રદેશ ગણ' કહે છે.

સાચો જવાબ:

વિધેય $f : A \to B$ માં, પ્રદેશ ગણ $A$ ના પ્રત્યેક ઘટક $x$ ને સંગત મળતી પ્રતિબિંબિત કિંમતો $f(x)$ ના ગણને વિધેય $f$ નો વિસ્તાર કહે છે.

તેને સંકેતમાં $R_f$ વડે દર્શાવાય છે.

$$\text{સાંકેતિક રૂપ: } R_f = \{f(x) \mid x \in A\}$$

સાચો જવાબ:

પ્રથમ પ્રદેશ ગણ $A$ ના ઘટકો શોધીએ:

$A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 1 < x \le 4\} = \{2, 3, 4\}$

હવે $g(x) = x + 1$ મુજબ ઘટકોની કિંમતો શોધીએ:

$g(2) = 2 + 1 = 3$

$g(3) = 3 + 1 = 4$

$g(4) = 4 + 1 = 5$

તેથી, વિધેયનો વિસ્તાર $R_g = \{3, 4, 5\}$ થાય.

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ ગણ $X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

$k(t) = t^2 + 2$ માં કિંમતો મૂકીએ:

$k(-3) = (-3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11$

$k(3) = (3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11$

અહીં $-3 \neq 3$ હોવા છતાં $k(-3) = k(3) = 11$ મળે છે.

તેથી, વિધેય $k$ નો પ્રકાર 'અનેક-એક વિધેય' છે.

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ ના પ્રત્યેક ઘટક માટે:

$h(1) = 1 + 5 = 6$

$h(2) = 2 + 5 = 7$

$h(3) = 3 + 5 = 8$

અહીં પ્રદેશ ગણ $A$ ના પ્રત્યેક ભિન્ન ઘટક માટે સહપ્રદેશ ગણ $B$ માં ભિન્ન પ્રતિબિંબ મળે છે.

તેથી, વિધેય $h$ નો પ્રકાર 'એક-એક વિધેય' છે.

સાચો જવાબ:

અહીં વિસ્તાર $R_f = \{-2, -1, 0\}$ આપેલ છે.

$P(x) = 2x - 3 \implies 2x = P(x) + 3 \implies x = \frac{P(x) + 3}{2}$

$P(x) = -2$ માટે: $x = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$

$P(x) = -1$ માટે: $x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$P(x) = 0$ માટે: $x = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}$

તેથી, પ્રદેશ ગણ $A = \left\{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}\right\}$ થાય.

સાચો જવાબ:

પ્રથમ $f(2)$ અને $f(-2)$ ની કિંમત શોધીએ:

$f(2) = 1 - \frac{1}{1 - 2^2} = 1 - \frac{1}{1 - 4} = 1 - \frac{1}{-3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$f(-2) = 1 - \frac{1}{1 - (-2)^2} = 1 - \frac{1}{1 - 4} = 1 - \frac{1}{-3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

હવે, $f(2) - f(-2) = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$

જવાબ: $0$

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ ગણ $A = \{0, 3, 6\}$ ના ઘટકો માટે $f(x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ ની કિંમતો શોધીએ:

$f(0) = \frac{0 - 3}{0 + 4} = -\frac{3}{4}$

$f(3) = \frac{3 - 3}{3 + 4} = \frac{0}{7} = 0$

$f(6) = \frac{6 - 3}{6 + 4} = \frac{3}{10}$

તેથી, વિસ્તાર $R_f = \left\{-\frac{3}{4}, 0, \frac{3}{10}\right\}$ થાય.

સાચો જવાબ:

$f(3) = \frac{3^2(3 + 1)^2}{4} = \frac{9 \times 4^2}{4} = \frac{9 \times 16}{4} = 9 \times 4 = 36$

$f(2) = \frac{2^2(2 + 1)^2}{4} = \frac{4 \times 3^2}{4} = 3^2 = 9$

હવે, $f(3) - f(2) = 36 - 9 = 27$

જવાબ: $27$

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ $\mathbb{R}$ માંથી $x = 0$ અને $x = -2$ લઈએ:

$f(0) = 0^2 + 2(0) - 1 = -1$

$f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$

અહીં $0 \neq -2$ હોવા છતાં $f(0) = f(-2) = -1$ મળે છે.

તેથી, વિધેય $f$ નો પ્રકાર 'અનેક-એક વિધેય' છે.

સાચો જવાબ:

પ્રતિબિંબ શૂન્ય મળે એટલે કે $f(x) = 0$ લેતાં:

$$\frac{2x - 4}{x + 7} = 0$$

$$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$

જવાબ: $x = 2$ માટે પ્રતિબિંબ શૂન્ય મળે.

સાચો જવાબ:

અંશના અવયવ પાડીએ: $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$

તેથી, $f(x) = \frac{(x + 3)(x - 2)}{x - 2} = x + 3$ (જ્યાં $x \neq 2$)

અહીં $f(x) = x + 3$ એક સુરેખ સમીકરણ છે. પ્રદેશ ગણના કોઈપણ બે ભિન્ન ઘટકો $x_1 \neq x_2$ માટે હંમેશા $x_1 + 3 \neq x_2 + 3$ થાય (એટલે કે $f(x_1) \neq f(x_2)$).

તેથી, વિધેયનો પ્રકાર 'એક-એક વિધેય' છે.

સાચો જવાબ:

$f(x) = 6x^3 - 5^x + 15$ માં $x = 0$ મૂકતાં:

$$f(0) = 6(0)^3 - 5^0 + 15$$

$$f(0) = 6(0) - 1 + 15 \quad (\because 5^0 = 1)$$

$$f(0) = 0 - 1 + 15 = 14$$

જવાબ: $14$

સાચો જવાબ:

$f(3) = 3^3 - 2(3) + \frac{1}{3} = 27 - 6 + \frac{1}{3} = 21 + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}$

$f(-3) = (-3)^3 - 2(-3) + \frac{1}{-3} = -27 + 6 - \frac{1}{3} = -21 - \frac{1}{3} = -\frac{64}{3}$

હવે, $f(3) + f(-3) = \frac{64}{3} + \left(-\frac{64}{3}\right) = 0$

જવાબ: $0$

વિભાગ - D

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ ($D_f$): $A = \{10, 20, 30\}$

સહપ્રદેશ: $B = \{18, 48, 98, 128, 148\}$

વિસ્તાર ($R_f$):
- $f(10) = 5(10) - 2 = 50 - 2 = 48$
- $f(20) = 5(20) - 2 = 100 - 2 = 98$
- $f(30) = 5(30) - 2 = 150 - 2 = 148$
તેથી, વિસ્તાર ($R_f$) = $\{48, 98, 148\}$

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ: $P = \left\{-\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\}$

સહપ્રદેશ: $Q = \left\{-\frac{1}{5}, 1, \frac{1}{3}, 3\right\}$

વિસ્તાર ($R_f$):
- $f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-1/2}{2 - (-1/2)} = \frac{-1/2}{5/2} = -\frac{1}{5}$
- $f(1) = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$
- $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1/2}{2 - (1/2)} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$
- $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3/2}{2 - (3/2)} = \frac{3/2}{1/2} = 3$
તેથી, વિસ્તાર ($R_f$) = $\left\{-\frac{1}{5}, 1, \frac{1}{3}, 3\right\}$

સાચો જવાબ:

પહેલા વિધેયનું સાદુરૂપ આપીએ: $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - 1$

$f(-1)$ ની કિંમત:

$$f(-1) = \frac{1}{-1} + \frac{1}{(-1)^2} - 1 = -1 + 1 - 1 = -1$$

$f(-2)$ ની કિંમત:

$$f(-2) = \frac{1}{-2} + \frac{1}{(-2)^2} - 1 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{-2 + 1 - 4}{4} = -\frac{5}{4}$$

$f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત:

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{1/2} + \frac{1}{(1/2)^2} - 1 = 2 + 4 - 1 = 5$$

સાચો જવાબ:

અહીં $f(x) = 4x - 3 \implies 4x = f(x) + 3 \implies x = \frac{f(x) + 3}{4}$

$f(x) = 9 \implies x = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$f(x) = 13 \implies x = \frac{13 + 3}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$f(x) = 17 \implies x = \frac{17 + 3}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$f(x) = 25 \implies x = \frac{25 + 3}{4} = \frac{28}{4} = 7$

તેથી, $D_f = \{3, 4, 5, 7\}$

સાચો જવાબ:

$f(x) = 2x^2 - 5x + 4$

$f(3x) = 2(3x)^2 - 5(3x) + 4 = 2(9x^2) - 15x + 4 = 18x^2 - 15x + 4$

હવે આપેલ સમીકરણમાં કિંમતો મૂકીએ:

$$f(3x) - 3f(x) + 5 = 0$$

$$(18x^2 - 15x + 4) - 3(2x^2 - 5x + 4) + 5 = 0$$

$$18x^2 - 15x + 4 - 6x^2 + 15x - 12 + 5 = 0$$

$$(18x^2 - 6x^2) + (-15x + 15x) + (4 - 12 + 5) = 0$$

$$12x^2 - 3 = 0$$

$$12x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}$$

જવાબ: $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -\frac{1}{2}$

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$

$f(x) = x^2 + 1$ માં કિંમતો મૂકતાં:

$f(1) = 1^2 + 1 = 2$

$f(2) = 2^2 + 1 = 5$

$f(3) = 3^2 + 1 = 10$

$f(4) = 4^2 + 1 = 17$

તેથી, વિધેય $f$ નો વિસ્તાર $R_f = \{2, 5, 10, 17\}$ થાય.

સાચો જવાબ:

વિધેયનું સાદુરૂપ: $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$

$f(0) = 0 + 2 = 2$

$f(1) = 1 + 2 = 3$

$f(-2) = -2 + 2 = 0$

હવે, $f(0) + f(1) - f(-2) = 2 + 3 - 0 = 5$

જવાબ: $5$

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ $A = \{4, 5\}$ માટે:

$f(4) = \sqrt{4^2 - 16} = \sqrt{16 - 16} = \sqrt{0} = 0$

$f(5) = \sqrt{5^2 - 16} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$

તેથી, વિસ્તાર $R_f = \{0, 3\}$ થાય.

સાચો જવાબ:

બંને વિધેયો માટે પ્રદેશ ગણ $D = \{2, 3, 4\}$ આપેલ છે.

$f(x) = x^2$ માટે:
- $f(2) = 2^2 = 4$
- $f(3) = 3^2 = 9$
- $f(4) = 4^2 = 16$

$g(x) = 5x - 6$ માટે:
- $g(2) = 5(2) - 6 = 10 - 6 = 4$
- $g(3) = 5(3) - 6 = 15 - 6 = 9$
- $g(4) = 5(4) - 6 = 20 - 6 = 14$

સરખામણી કરતાં: $f(2) = g(2) = 4$, $f(3) = g(3) = 9$, પરંતુ $f(4) = 16 \neq g(4) = 14$.

તેથી, વિધેયો $f$ અને $g$ સમાન વિધેયો નથી ($f \neq g$).

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ $\mathbb{R}$ માંથી $x = 0$ અને $x = -3$ લઈએ:

$k(0) = 0^2 + 3(0) - 12 = -12$

$k(-3) = (-3)^2 + 3(-3) - 12 = 9 - 9 - 12 = -12$

અહીં $0 \neq -3$ છતાં $k(0) = k(-3) = -12$ મળે છે.

તેથી, વિધેય $k$ નો પ્રકાર 'અનેક-એક વિધેય' છે.

સાચો જવાબ:

પ્રદેશ ગણ $D = \{0, 1, 2\}$ આપેલ છે.

$f(x) = x(3x - 2)$ માટે:
- $f(0) = 0(3(0) - 2) = 0$
- $f(1) = 1(3(1) - 2) = 1(1) = 1$
- $f(2) = 2(3(2) - 2) = 2(6 - 2) = 2(4) = 8$

$g(x) = x^3$ માટે:
- $g(0) = 0^3 = 0$
- $g(1) = 1^3 = 1$
- $g(2) = 2^3 = 8$

અહીં, બંને વિધેયો માટે પ્રદેશ ગણ સમાન છે અને પ્રદેશના પ્રત્યેક ઘટક માટે $f(x) = g(x)$ થાય છે:

$$f(0) = g(0) = 0, \quad f(1) = g(1) = 1, \quad f(2) = g(2) = 8$$

તેથી સાબિત થાય છે કે $f$ અને $g$ સમાન વિધેયો છે ($f = g$).

સાચો જવાબ:

$f(2) = \frac{2(2) + 3}{5(2) + 2} = \frac{4 + 3}{10 + 2} = \frac{7}{12}$

$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(1/2) + 3}{5(1/2) + 2} = \frac{1 + 3}{\frac{5 + 4}{2}} = \frac{4}{9/2} = \frac{8}{9}$

હવે, $f(2) \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{12} \times \frac{8}{9} = \frac{7 \times 2}{3 \times 9} = \frac{14}{27}$

સાચો જવાબ:

$f(3) = 2(3)^2 + \frac{1}{3} = 2(9) + \frac{1}{3} = 18 + \frac{1}{3} = \frac{55}{3}$

$f(-3) = 2(-3)^2 + \frac{1}{-3} = 2(9) - \frac{1}{3} = 18 - \frac{1}{3} = \frac{53}{3}$

હવે, $f(3) + f(-3) = \frac{55}{3} + \frac{53}{3} = \frac{108}{3} = 36$

જવાબ: $36$

સાચો જવાબ:

$f(2) = 15(2)^3 - 4(2)^2 + 2 + 10 = 15(8) - 4(4) + 12 = 120 - 16 + 12 = 116$

$f(1) = 15(1)^3 - 4(1)^2 + 1 + 10 = 15 - 4 + 1 + 10 = 22$

હવે, $\frac{f(2)}{f(1)} = \frac{116}{22} = \frac{58}{11}$

જવાબ: $\frac{58}{11}$

સાચો જવાબ:

$x = 1000$ માટે $f(1000)$ ની કિંમત:

$$f(1000) = \sqrt{5600 - 4(1000)} = \sqrt{5600 - 4000} = \sqrt{1600} = 40$$

તેથી $f(1000) = 40$

$f(x) = 20$ થાય તે માટે $x$ ની કિંમત:

$$\sqrt{5600 - 4x} = 20$$

બંને બાજુ વર્ગ કરતાં:

$$5600 - 4x = 20^2$$

$$5600 - 4x = 400$$

$$4x = 5600 - 400$$

$$4x = 5200 \implies x = \frac{5200}{4} = 1300$$

તેથી $x = 1300$ માટે $f(x) = 20$ થાય.

chapter 8

પ્રશ્ન. 1. નીચે આપેલ વિધાનો પૈકી ક્યાં વિધાનો સાચાં છે ?

પ્રશ્ન. 2. વિધેય $f: \text{A} \rightarrow \text{B}$ માટેના વિસ્તાર માટે નીચેના વિધાનોપૈકી કયું વિધાન સાચું છે.

પ્રશ્ન. 3. $g : \text{X} \rightarrow \text{Y}, \text{X} = \{-1, 0\}, \text{Y} = \{2, 4\}, g(x) = 4 - 2x$. આ પરથી જણાવો કે નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે.

પ્રશ્ન. 6. એક-એક વિધેય માટે નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે ?

પ્રશ્ન. 7. $f : \text{Z} - \{0\} \rightarrow \text{N}$ અને $f(x) = x^2, x \in \text{Z} - \{0\}$ એ કયા પ્રકારનું વિધેય છે ?

પ્રશ્ન. 8. બે ભિન્ન વિધેયો સમાન થાય તે માટે નીચેના પૈકી કઈ શરત પર્યાપ્ત છે ?

પ્રશ્ન. 1. વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટેની જરૂરી શરત જણાવો.

પ્રશ્ન. 2. $f : A \to B, A = \{-3, -1, 1, 3\}, B = \{1, 0, 9\}, f(x) = x^2$. શું $f$ એ વિધેય છે ?

પ્રશ્ન. 3. $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, પ્રદેશ ગણના પ્રત્યેક ઘટકમાંથી 2 બાદ કરો. આ નિયમને વિધેય કહી શકાય ?

પ્રશ્ન. 4. એક-એક વિધેયની સાંકેતિક વ્યાખ્યા આપો.

પ્રશ્ન. 5. અનેક-એક વિધેયની સાંકેતિક વ્યાખ્યા આપો.

પ્રશ્ન. 6. અચળ વિધેયની સાંકેતિક વ્યાખ્યા આપો.

પ્રશ્ન. 7. $f : \{1, 2, 3\} \to \mathbb{N}, g : \{2, 3, 4\} \to \mathbb{N}, f(x) = 2x + 1$ અને $g(x) = x - 1$. $f$ અને $g$ સમાન વિધેય છે ? શા માટે ?

પ્રશ્ન. 8. વિધેય $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, f(t) = t^2 + 1, t \in \mathbb{Z}$ છે, તો $f$ નો પ્રકાર નક્કી કરો.

પ્રશ્ન. 9. વિધેય $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(t) = t^2 + 1, t \in \mathbb{N}$ છે, તો $f$ નો પ્રકાર નક્કી કરો.

પ્રશ્ન. 10. વાસ્તવિક ચલનું વિધેયને વ્યાખ્યાયિત કરો.

પ્રશ્ન. 1. વિધેયની વ્યાખ્યા આપો.

પ્રશ્ન. 2. વિધેયના પ્રદેશ અને સહપ્રદેશની વ્યાખ્યા આપો.

પ્રશ્ન. 3. વિધેયના વિસ્તાર વ્યાખ્યાયિત કરો.

પ્રશ્ન. 4. વિધેય $g : A \to \mathbb{N}, A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 1 < x \le 4\}, g(x) = x + 1$ નો વિસ્તાર શોધો.

પ્રશ્ન. 5. $k : X \to Y$ માટે $X = \{t \mid t \in \mathbb{Z}, -3 \le t \le 3\}, Y = \{a \mid a \in \mathbb{N}, 1 \le a \le 20\}, k(t) = t^2 + 2$ હોય તો વિધેય $k$ નો પ્રકાર જણાવો.

પ્રશ્ન. 6. $h : A \to B$ માટે $A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}, h(x) = x + 5$ માટે વિધેય $h$ નો પ્રકાર જણાવો.

પ્રશ્ન. 7. જો $P : A \to B, P(x) = 2x - 3$ અને $R_f = \{-2, -1, 0\}$ હોય, તો વિધેયનો પ્રદેશ ગણ મેળવો.

પ્રશ્ન. 8. જો $f(x) = 1 - \frac{1}{1 - x^2}, x \in \mathbb{R} - \{-1, 1\}$ હોય તો $f(2) - f(-2)$ ની કિંમત મેળવો.

પ્રશ્ન. 9. જો $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ નો પ્રદેશગણ $\{0, 3, 6\}$ હોય, તો તેનો વિસ્તાર શોધો.

પ્રશ્ન. 10. જો વાસ્તવિક વિધેય $f(x) = \frac{x^2(x + 1)^2}{4}$ હોય, તો $f(3) - f(2)$ ની કિંમત મેળવો.

પ્રશ્ન. 11. જો $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ તેમજ $f(x) = x^2 + 2x - 1$ હોય, તો વિધેય $f$ નો પ્રકાર જણાવો.

પ્રશ્ન. 12. વાસ્તવિક વિધેય $f(x) = \frac{2x - 4}{x + 7}$ માટે $x$ ની કઈ કિંમત માટે પ્રતિબિંબ શૂન્ય મળે.

પ્રશ્ન. 13. $f : \mathbb{Z} - \{2\} \to \mathbb{Z}, f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ વિધેયનો પ્રકાર જણાવો.

પ્રશ્ન. 14. વાસ્તવિક વિધેય $f(x) = 6x^3 - 5^x + 15$ માટે $f(0)$ ની કિંમત શોધો.

પ્રશ્ન. 15. વાસ્તવિક વિધેય $f(x) = x^3 - 2x + \frac{1}{x}$ માટે $f(3) + f(-3)$ ની કિંમત શોધો.

પ્રશ્ન. 1. $f : A \to B, A = \{10, 20, 30\}, B = \{18, 48, 98, 128, 148\}, f(x) = 5x - 2$ માટે પ્રદેશ, સહપ્રદેશ અને વિસ્તાર મેળવો.

પ્રશ્ન. 2. $f : P \to Q, P = \left\{-\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\}, Q = \left\{-\frac{1}{5}, 1, \frac{1}{3}, 3\right\}, f(x) = \frac{x}{2 - x}$ માટે પ્રદેશ, સહપ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો

પ્રશ્ન. 3. જો $f : \mathbb{R}-\{0\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x}\left(1 + \frac{1}{x}\right) - 1$ હોય, તો $f(-1), f(-2)$ અને $f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત મેળવો.

પ્રશ્ન. 4. જો વિધેય $f : A \to B, f(x) = 4x - 3$ માટે $R_f = \{9, 13, 17, 25\}$ હોય તો $D_f$ મેળવો.

પ્રશ્ન. 5. જો વાસ્તવિક વિધેય $f(x) = 2x^2 - 5x + 4$ હોય, તો $x$ ની કઈ કિંમત માટે $f(3x) - 3f(x) + 5 = 0$ થાય ?

પ્રશ્ન. 6. જો $f : A \to M, A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 1 \le x < 5\}$ અને $M = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 1 \le x \le 20\}$ તેમજ $f(x) = x^2 + 1$ હોય, તો વિધેય $f$ નો વિસ્તાર શોધો.

પ્રશ્ન. 7. જો $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ જ્યાં $x \in \mathbb{Z} - \{2\}$ હોય, તો $f(0) + f(1) - f(-2)$ ની કિંમત શોધો.

પ્રશ્ન. 8. વિધેય $f : A \to \mathbb{N} \cup \{0\}, f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$ નો પ્રદેશ $A = \{4, 5\}$ હોય, તો તેનો વિસ્તાર શોધો.

પ્રશ્ન. 9. જો $f(x) = x^2$ અને $g(x) = 5x - 6$ જ્યાં $x \in \{2, 3, 4\}$ છે, તો બંને વિધેયોની સમાનતા ચકાસો.

પ્રશ્ન. 10. જો $k : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ તેમજ $k(x) = x^2 + 3x - 12$ હોય તો વિધેય $k$ નો પ્રકાર જણાવો.

પ્રશ્ન. 11. જો $f(x) = x(3x - 2)$ તેમજ $g(x) = x^3$ અને $x \in \{0, 1, 2\}$ હોય તો સાબિત કરો કે $f$ અને $g$ સમાન વિધેયો છે.

પ્રશ્ન. 12. જો $f(x) = \frac{2x + 3}{5x + 2}, x \in \mathbb{R} - \left\{-\frac{2}{5}\right\}$ હોય, તો $f(2) \cdot f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત મેળવો.

પ્રશ્ન. 13. જો $f(x) = 2x^2 + \frac{1}{x}, x \in \mathbb{R} - \{0\}$ હોય, તો $f(3) + f(-3)$ ની કિંમત મેળવો.

પ્રશ્ન. 14. જો $f(x) = 15x^3 - 4x^2 + x + 10, x \in \mathbb{R}$ હોય, તો $\frac{f(2)}{f(1)}$ ની કિંમત મેળવો.

પ્રશ્ન. 15. જો $f : A \to \mathbb{N} \cup \{0\}, A = \{500, 1000, 1300, 1400\}, f(x) = \sqrt{5600 - 4x}$ હોય, તો $x = 1000$ માટે $f(x)$ શોધો. ઉપરાંત $x$ ની કઈ કિંમત માટે $f(x) = 20$ થશે ?