ધોરણ 11 | విષય: Statistics
સાચો વિકલ્પ: (D)
A: 25
B: 0.5
C: 0.1
D: 625
જવાબ: $T_n = a r^n$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
અહીં પ્રથમ પદ $T_1 = a r = a r^{1}$, બીજું પદ $T_2 = a r^2$, ત્રીજું પદ $T_3 = a r^3$.
આ જ ભાત (pattern) મુજબ, $n$ મું પદ $T_n = a r^n$ થાય.
જવાબ: $0.1$ (અથવા $\frac{1}{10}$)
સવિસ્તાર ઉકેલ:
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{T_2}{T_1} = \frac{0.01}{0.1} = 0.1$
જવાબ: $140$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
અહીં $a = 7$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{7}{7} = 1$.
જ્યારે $r = 1$ હોય, ત્યારે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = n \cdot a$ થાય.
તેથી, $S_{20} = 20 \times 7 = 140$
જવાબ: $2$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_1 = 2^{1+1} = 2^2 = 4$
$\text{T}_2 = 2^{2+1} = 2^3 = 8$
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{\text{T}_2}{\text{T}_1} = \frac{8}{4} = 2$
જવાબ: $\frac{1}{4}$ (અથવા $0.25$)
સવિસ્તાર ઉકેલ:
જો $a, b, c$ ગુણોત્તર-શ્રેણીમાં હોય તો $b^2 = a c$ થાય.
અહીં $a = 4$, $b = 1$, $c = y$
$1^2 = 4 \times y \implies 1 = 4y \implies y = \frac{1}{4}$
જવાબ: $-1$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
ધારો કે બે ક્રમિક પદો $\text{T}_n$ અને $\text{T}_{n+1}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ: $\text{T}_n + \text{T}_{n+1} = 0 \implies \text{T}_{n+1} = -\text{T}_n$
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{\text{T}_{n+1}}{\text{T}_n} = \frac{-\text{T}_n}{\text{T}_n} = -1$
જવાબ: $4$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
જૂના સૂત્ર મુજબ: $\text{T}_n = \text{S}_n - \text{S}_{n-1}$
તેથી સાતમું પદ $\text{T}_7 = \text{S}_7 - \text{S}_6 = 15 - 11 = 4$
જવાબ: સાચું
સવિસ્તાર ઉકેલ:
જો $a, b, c, d$ ગુણોત્તર-શ્રેણીમાં હોય તો:
$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c} = r$
અહીં $\frac{b}{a} = r \implies b = ar$
અને $\frac{d}{c} = r \implies d = cr$
ડાબી બાજુ $ad = a(cr) = acr$
જમણી બાજુ $bc = (ar)c = acr$
તેથી $ad = bc$ થાય, માટે આપેલ વિધાન સાચું છે.
જવાબ: સાચું
સવિસ્તાર ઉકેલ:
પ્રથમ પદ $\text{T}_1$ અને પ્રથમ એક પદનો સરવાળો $\text{S}_1$ બંને હંમેશા સરખા જ હોય છે.
જવાબ: $16$ (અથવા $16:1$)
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_7 = a r^6$ અને $\text{T}_3 = a r^2$
તેમનો ગુણોત્તર = $\frac{\text{T}_7}{\text{T}_3} = \frac{a r^6}{a r^2} = r^{6-2} = r^4$
અહીં $r = 2 \implies 2^4 = 16$
(1) $2, 10, 50, \dots$ (છઠ્ઠું પદ)
જવાબ: $6250$
ઉકેલ: $a = 2$, $r = \frac{10}{2} = 5$
$\text{T}_6 = a r^5 = 2 \times 5^5 = 2 \times 3125 = 6250$
(2) $100, 50, 25, \dots$ (સાતમું પદ)
જવાબ: $\frac{25}{16}$ (અથવા $1.5625$)
ઉકેલ: $a = 100$, $r = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
$\text{T}_7 = a r^6 = 100 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 100 \times \frac{1}{64} = \frac{25}{16}$
(3) $\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{4}{27} \dots$ (આઠમું પદ)
જવાબ: $\frac{128}{6561}$
ઉકેલ: $a = \frac{1}{3}$, $r = \frac{2/9}{1/3} = \frac{2}{3}$
$\text{T}_8 = a r^7 = \frac{1}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^7 = \frac{1}{3} \times \frac{128}{2187} = \frac{128}{6561}$
(4) $2, 2\sqrt{2}, 4, \dots$ (પાંચમું પદ)
જવાબ: $8$
ઉકેલ: $a = 2$, $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$\text{T}_5 = a r^4 = 2 \times (\sqrt{2})^4 = 2 \times 4 = 8$
જવાબ: $135$ (અથવા $-135$)
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_5 = a r^4 = 405$ અને $\text{T}_7 = a r^6 = 3645$
$\frac{\text{T}_7}{\text{T}_5} = \frac{a r^6}{a r^4} = \frac{3645}{405} \implies r^2 = 9 \implies r = 3 \text{ અથવા } r = -3$
જો $r = 3$ લઈએ: $a (3)^4 = 405 \implies 81a = 405 \implies a = 5$
માટે, $\text{T}_4 = a r^3 = 5 \times 3^3 = 5 \times 27 = 135$
(જો $r = -3$ લઈએ તો $a = 5$ અને $\text{T}_4 = 5 \times (-3)^3 = -135$)
જવાબ: $\text{T}_5 = \frac{1}{3}$, $\text{S}_4 = \frac{65}{16}$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$a = \frac{27}{16}$, $r = \frac{2}{3}$
$\text{T}_5 = a r^4 = \frac{27}{16} \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{27}{16} \times \frac{16}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$
$\text{S}_4 = \frac{a(1 - r^4)}{1 - r} = \frac{\frac{27}{16} \left(1 - \frac{16}{81}\right)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{27}{16} \left(\frac{65}{81}\right)}{\frac{1}{3}} = \frac{27}{16} \times \frac{65}{81} \times 3 = \frac{65}{16}$
જવાબ: $\frac{1}{64}$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_5 = a r^4 = \frac{1}{4} \implies 4 r^4 = \frac{1}{4} \implies r^4 = \frac{1}{16} \implies r^2 = \frac{1}{4}$
$\text{T}_7 = a r^6 = a (r^2)^3 = 4 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{16}$
(અથવા $\text{T}_7 = \text{T}_5 \times r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$)
જવાબ: $120$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_2 = ar = 9$ અને $\text{T}_5 = ar^4 = 243$
$\frac{\text{T}_5}{\text{T}_2} = \frac{ar^4}{ar} = r^3 = \frac{243}{9} = 27 \implies r = 3$
$ar = 9 \implies a(3) = 9 \implies a = 3$
$\text{S}_4 = \frac{a(r^4 - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{3(81 - 1)}{2} = \frac{3 \times 80}{2} = 120$
જવાબ: $12.4$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$a = 10$, $\text{T}_4 = a r^3 = 0.08 \implies 10 r^3 = 0.08 \implies r^3 = 0.008 \implies r = 0.2$
પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $\text{S}_3 = a + ar + ar^2 = 10 + 10(0.2) + 10(0.04) = 10 + 2 + 0.4 = 12.4$
જવાબ: $4, 16, 64, \dots$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_1 = a$, $\text{T}_2 = ar$, $\text{T}_3 = ar^2 = 64$
આપેલ શરત: $a^2 = ar \implies a = r$ (કારણ કે $a \neq 0$)
હવે $ar^2 = 64$ માં $a = r$ મૂકતા:
$r \cdot r^2 = 64 \implies r^3 = 64 \implies r = 4$
માટે $a = 4$
ગુણોત્તર-શ્રેણી: $a, ar, ar^2, \dots \implies 4, 16, 64, \dots$
જવાબ: $m = 10$ (અથવા $-10$), $t = 40$ (અથવા $-40$)
સવિસ્તાર ઉકેલ:
અહીં $a = 5$.
ત્રીજું પદ $\text{T}_3 = 20 \implies a r^2 = 20 \implies 5 r^2 = 20 \implies r^2 = 4 \implies r = \pm 2$
જો $r = 2$ હોય તો:
$m = \text{T}_2 = 5 \times 2 = 10$
$t = \text{T}_4 = 20 \times 2 = 40$
જો $r = -2$ હોય તો:
$m = 5 \times (-2) = -10$
$t = 20 \times (-2) = -40$
જવાબ: $n = 5$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{S}_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \implies 121 = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1}$
$121 = \frac{3^n - 1}{2} \implies 242 = 3^n - 1 \implies 3^n = 243$
$3^n = 3^5 \implies n = 5$
જવાબ: $\frac{16}{3}$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_4 = \text{S}_4 - \text{S}_3$
$\text{S}_4 = \frac{2}{3} (2^4 - 1) = \frac{2}{3} (16 - 1) = \frac{2}{3} \times 15 = 10$
$\text{S}_3 = \frac{2}{3} (2^3 - 1) = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{14}{3}$
$\text{T}_4 = 10 - \frac{14}{3} = \frac{30 - 14}{3} = \frac{16}{3}$
જવાબ: $8 \cdot 3^n$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_n = \text{S}_n - \text{S}_{n-1} = 4(3^n - 1) - 4(3^{n-1} - 1)$
$\text{T}_n = 4 \cdot 3^n - 4 - 4 \cdot 3^{n-1} + 4 = 4 \cdot 3^n - 4 \cdot 3^{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}(3 - 1) = 8 \cdot 3^{n-1}$
હવે $n$ ની જગ્યાએ $n+1$ મૂકતા:
$\text{T}_{n+1} = 8 \cdot 3^{(n+1)-1} = 8 \cdot 3^n$
જવાબ: $125$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
બીજું પદ $\text{T}_2 = ar = 5$
પ્રથમ ત્રણ પદો: $a, ar, ar^2$
તેમનો ગુણાકાર = $a \times ar \times ar^2 = a^3 r^3 = (ar)^3$
$(ar)^3 = 5^3 = 125$
જવાબ: 6 પદોનો
સવિસ્તાર ઉકેલ: a=2, r=24=2, Sn=126 Sn=r−1a(rn−1)⟹126=2−12(2n−1) 126=2(2n−1)⟹63=2n−1⟹2n=64⟹2n=26⟹n=6
જવાબ: $a = 4, n = 5$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\text{T}_n = a r^{n-1} = 324 \implies a \cdot 3^{n-1} = 324 \implies a \cdot 3^n = 972$
$\text{S}_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \implies 484 = \frac{a(3^n - 1)}{3 - 1} \implies 484 = \frac{a \cdot 3^n - a}{2}$
$968 = a \cdot 3^n - a$
અહીં $a \cdot 3^n = 972$ મૂકતા:
$968 = 972 - a \implies a = 972 - 968 \implies a = 4$
હવે $a \cdot 3^{n-1} = 324 \implies 4 \cdot 3^{n-1} = 324 \implies 3^{n-1} = 81 = 3^4 \implies n-1 = 4 \implies n = 5$
(1) $4, 16, 64, \dots$ (પ્રથમ $4$ પદ)
જવાબ: $340$
ઉકેલ: $a = 4, r = 4, n = 4$
$\text{S}_4 = \frac{4(4^4 - 1)}{4 - 1} = \frac{4(256 - 1)}{3} = \frac{4 \times 255}{3} = 4 \times 85 = 340$
(2) $2, 3, \frac{9}{2}, \dots$ (પ્રથમ $5$ પદ)
જવાબ: $\frac{211}{8}$ (અથવા $26.375$)
ઉકેલ: $a = 2, r = \frac{3}{2}, n = 5$
$\text{S}_5 = \frac{2 \left[\left(\frac{3}{2}\right)^5 - 1\right]}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{2 \left[\frac{243}{32} - 1\right]}{\frac{1}{2}} = 4 \times \frac{211}{32} = \frac{211}{8}$
(3) $100, 20, 4, \dots$ (પ્રથમ $5$ પદ)
જવાબ: $124.96$ (અથવા $\frac{3124}{25}$)
ઉકેલ: $a = 100, r = \frac{1}{5}, n = 5$
$\text{S}_5 = \frac{100 \left[1 - \left(\frac{1}{5}\right)^5\right]}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{100 \left[1 - \frac{1}{3125}\right]}{\frac{4}{5}} = 100 \times \frac{5}{4} \times \frac{3124}{3125} = 125 \times \frac{3124}{3125} = \frac{3124}{25}$
(4) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ (પ્રથમ $10$ પદ)
જવાબ: $\frac{1023}{1024}$
ઉકેલ: $a = \frac{1}{2}, r = \frac{1}{2}, n = 10$
$\text{S}_{10} = \frac{\frac{1}{2} \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right]}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$
જવાબ: $k = 3$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
જો $a, b, c$ ગુણોત્તર-શ્રેણીમાં હોય તો $b^2 = a c$ થાય.
$(4k - 2)^2 = (k + 4)(7k + 1)$
$16k^2 - 16k + 4 = 7k^2 + k + 28k + 4$
$16k^2 - 16k + 4 = 7k^2 + 29k + 4$
$16k^2 - 7k^2 - 16k - 29k = 0$
$9k^2 - 45k = 0 \implies 9k(k - 5) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = 5$.
પરંતુ જો $k = 0$ લઈએ તો $4k - 2 = -2$ થાય, જે ધન સંખ્યા નથી.
માટે $k = 3$ ચોક્કસ ચકાસણી:
(નોંધ: જો $9k^2 - 45k = 0$ ઉકેલીએ તો $k=5$ આવે છે. ચાલો ફરીથી સમીકરણ ચેક કરીએ:
$(4k-2)^2 = 16k^2 - 16k + 4$
$(k+4)(7k+1) = 7k^2 + 29k + 4$
$9k^2 - 45k = 0 \implies k=5$.)
તેથી $k = 5$.
જવાબ: $n = 5$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$a = 1, r = 3$
$\text{S}_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$
શરત: $\text{S}_n \le 365 \implies \frac{3^n - 1}{2} \le 365 \implies 3^n - 1 \le 730 \implies 3^n \le 731$
હવે $3$ ના ઘાત તપાસીએ:
$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243, 3^6 = 729, 3^7 = 2187$
અહીં $3^6 = 729 \le 731$.
તેથી $n$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે.
જવાબ: $n = 11$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$a = 1, r = 2$
$\text{S}_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$
શરત: $2^n - 1 \ge 2000 \implies 2^n \ge 2001$
$2$ ની ઘાત ચકાસતા:
$2^{10} = 1024$ (જે $2001$ થી નાની છે)
$2^{11} = 2048$ (જે $2001$ થી મોટી છે)
માટે $n$ ની લઘુતમ કિંમત $11$ થશે.
જવાબ: $y = 81$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$a = y$, $r = \frac{1}{3}$, $n = 5$, $\text{S}_5 = 121$
$\text{S}_5 = \frac{y \left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5\right]}{1 - \frac{1}{3}} = 121$
$\frac{y \left[1 - \frac{1}{243}\right]}{\frac{2}{3}} = 121 \implies \frac{y \times \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = 121$
$y \times \frac{242}{243} \times \frac{3}{2} = 121 \implies y \times \frac{121}{81} = 121 \implies y = 81$
જવાબ: $r = 3$ અથવા $r = -3$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\frac{a(r^4 - 1)}{r - 1} = 10 \times \frac{a(r^2 - 1)}{r - 1}$
$r^4 - 1 = 10 (r^2 - 1)$
$(r^2 - 1)(r^2 + 1) = 10(r^2 - 1)$
$r^2 + 1 = 10 \implies r^2 = 9 \implies r = \pm 3$
જવાબ: $r = 2$ અથવા $r = -2$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$\frac{\text{T}_5 + \text{T}_3}{\text{T}_5 - \text{T}_3} = \frac{5}{3}$
$\frac{a r^4 + a r^2}{a r^4 - a r^2} = \frac{5}{3} \implies \frac{a r^2 (r^2 + 1)}{a r^2 (r^2 - 1)} = \frac{5}{3}$
$\frac{r^2 + 1}{r^2 - 1} = \frac{5}{3} \implies 3(r^2 + 1) = 5(r^2 - 1)$
$3r^2 + 3 = 5r^2 - 5 \implies 2r^2 = 8 \implies r^2 = 4 \implies r = \pm 2$
જવાબ: $1, 5, 25$ અથવા $25, 5, 1$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
ગુણાકાર: $\left(\frac{a}{r}\right) \times a \times (ar) = 125 \implies a^3 = 125 \implies a = 5$
સરવાળો: $\frac{5}{r} + 5 + 5r = 31 \implies 5\left(\frac{1}{r} + r\right) = 26 \implies \frac{1 + r^2}{r} = \frac{26}{5}$
$5 + 5r^2 = 26r \implies 5r^2 - 26r + 5 = 0$
$(5r - 1)(r - 5) = 0 \implies r = 5 \text{ અથવા } r = \frac{1}{5}$
જો $r = 5$ તો પદો: $\frac{5}{5}, 5, 5(5) \implies 1, 5, 25$
જો $r = \frac{1}{5}$ તો પદો: $25, 5, 1$
જવાબ: $-8, -4, 18$ નો સંભવિત ઉકેલ અથવા $r$ ના મૂલ્ય મુજબ પદો.
સવિસ્તાર ઉકેલ:
ધારો કે પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
ગુણાકાર = $a^3 = -64 \implies a = -4$
સરવાળો = $\frac{-4}{r} - 4 - 4r = 6 \implies -4\left(\frac{1}{r} + r\right) = 10 \implies \frac{1+r^2}{r} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$
$2 + 2r^2 = -5r \implies 2r^2 + 5r + 2 = 0$
$(2r + 1)(r + 2) = 0 \implies r = -2 \text{ અથવા } r = -\frac{1}{2}$
જો $r = -2$ હોય તો પદો: $\frac{-4}{-2}, -4, (-4)(-2) \implies 2, -4, 8$
(નોંધ: અહીં સરવાળો $2 - 4 + 8 = 6$ બરાબર થાય છે!)
જો $r = -\frac{1}{2}$ હોય તો પદો: $8, -4, 2$
જવાબ: ₹ $1,02,30,000$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
અહીં $a = 10000$, $r = 2$, $n = 10$
$\text{S}_{10} = \frac{10000(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 10000(1024 - 1) = 10000 \times 1023 = 1,02,30,000$
જવાબ: $248$ નોટો
સવિસ્તાર ઉકેલ:
$a = 128, r = \frac{1}{2}, n = 5$
$\text{S}_5 = \frac{128 \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5\right]}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{128 \left[1 - \frac{1}{32}\right]}{\frac{1}{2}} = 256 \times \frac{31}{32} = 8 \times 31 = 248$
જવાબ: આશરે $6095$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
વસ્તી વધારા માટે સૂત્ર: $\text{A} = \text{P} \left(1 + \frac{\text{R}}{100}\right)^n$
અહીં $\text{P} = 5000, \text{R} = 2\%, n = 10$
$\text{A} = 5000 \left(1 + \frac{2}{100}\right)^{10} = 5000 \times (1.02)^{10}$
$(1.02)^{10} \approx 1.21899$
$\text{A} \approx 5000 \times 1.21899 \approx 6094.97 \approx 6095$
જવાબ: ₹ $2,65,720.50$
સવિસ્તાર ઉકેલ:
ઘસારાનું સૂત્ર: $\text{A} = \text{P} \left(1 - \frac{\text{R}}{100}\right)^n$
અહીં $\text{P} = 5,00,000, \text{R} = 10\%, n = 6$
$\text{A} = 500000 \left(1 - \frac{10}{100}\right)^6 = 500000 \times (0.9)^6$
$(0.9)^6 = 0.531441$
$\text{A} = 500000 \times 0.531441 = 2,65,720.50$ રૂપિયા