chapter 2

સાચો જવાબ:

• 
  

  વિકીર્ણ આકૃતિ માટેના ક્રમયુક્ત જોડકાં $(X, Y)$:

  
  
  

  $(14, 32), (16, 50), (12, 20), (11, 12), (15, 45), (13, 30), (17, 53)$

  
  


• 
  

  અર્થઘટન:

  
  
  

  આ માહિતીને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને વિકીર્ણ આકૃતિ દોરતાં, તમામ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ ઉપરની દિશામાં એક જ કાલ્પનિક સુરેખ રેખાની આસપાસ ખૂબ જ નજીક ગોઠવાયેલા જોવા મળે છે.

  
  
  

  આ પરથી કહી શકાય કે જેલપેનના ભાવ અને તેના માસિક પુરવઠા વચ્ચે પૂર્ણ કે ઘાઢ ધન સહસંબંધ છે ($r \approx 0.99$). અર્થાત્, જેમ જેમ જેલપેનનો ભાવ વધે છે તેમ તેમ તેનો પુરવઠો પણ વધે છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  વિકીર્ણ આકૃતિ માટેના ક્રમયુક્ત જોડકાં $(X, Y)$:

  
  
  

  $(5, 8), (6, 7), (7, 9), (8, 10), (9, 13), (10, 12), (11, 13)$

  
  


• 
  

  સંબંધનું સ્વરૂપ:

  
  
  

  આ માહિતીની વિકીર્ણ આકૃતિ દોરતાં બધાં જ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ ઉપર તરફ જતી દિશામાં એક જ સુરેખ માર્ગ પર (અથવા તેની આસપાસ) ગોઠવાય છે.

  
  
  

  આથી જાહેરાત ખર્ચ અને આર.ઓ. પ્લાન્ટના વેચાણથી થતા નફા વચ્ચે ધન સહસંબંધ છે ($r \approx 0.92$). આ દર્શાવે છે કે જાહેરાત પાછળનો ખર્ચ વધારવાથી કંપનીના નફામાં પણ વધારો થાય છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  વિકીર્ણ આકૃતિ માટેના ક્રમયુક્ત જોડકાં $(X, Y)$:

  
  
  

  $(12, 35), (20, 10), (8, 45), (5, 70), (15, 20), (24, 8)$

  
  


• 
  

  અર્થઘટન:

  
  
  

  આ માહિતીની વિકીર્ણ આકૃતિ દોરતાં તમામ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ નીચેની દિશામાં એક જ કાલ્પનિક રેખાની આસપાસ ગોઠવાયેલા જોવા મળે છે.

  
  
  

  આ દર્શાવે છે કે દૈનિક ન્યૂનતમ તાપમાન અને ગરમ કપડાંના વેચાણ વચ્ચે ઘાઢ ઋણ સહસંબંધ છે ($r \approx -0.95$). વ્યવહારિક અર્થમાં, શિયાળા દરમિયાન જેમ જેમ તાપમાન ઘટે (એટલે કે ઠંડી વધે) તેમ તેમ ગરમ કપડાંનું વેચાણ વધે છે અને તાપમાન વધે તેમ વેચાણ ઘટે છે.

  
  

સાચો જવાબ:

X	Y	X−Xˉ (x)	Y−Yˉ (y)	x2	y2	xy
170	172	3	4	9	16	12
169	168	2	0	4	0	0
168	170	1	2	1	4	2
167	168	0	0	0	0	0
166	165	-1	-3	1	9	3
165	167	-2	-1	4	1	2
164	166	-3	-2	9	4	6
$\Sigma X = 1169$	$\Sigma Y = 1176$	$\Sigma x = 0$	$\Sigma y = 0$	$\Sigma x^2 = 28$	$\Sigma y^2 = 34$	$\Sigma xy = 25$

• 
  

  સરેરાશ (Mean):

  
  
  
  
  
  • 
    

    $\bar{X} = \frac{\Sigma X}{n} = \frac{1169}{7} = 167$

    
    
  
  
  • 
    

    $\bar{Y} = \frac{\Sigma Y}{n} = \frac{1176}{7} = 168$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  સહસંબંધાંક ($r$) નું સૂત્ર અને ગણતરી:

  
  $$r = \frac{\Sigma xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}}$$
  
  $$r = \frac{25}{\sqrt{28 \times 34}}$$
  
  $$r = \frac{25}{\sqrt{952}} = \frac{25}{30.8545} \approx 0.81$$


• 
  

  જવાબ: પિતા અને પુત્રની ઊંચાઈ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = 0.81$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:

X	Y	X−Xˉ (x)	Y−Yˉ (y)	x2	y2	xy
24	27	-6	3	36	9	-18
26	24	-4	0	16	0	0
32	22	2	-2	4	4	-4
33	20	3	-4	9	16	-12
35	15	5	-9	25	81	-45
30	24	0	0	0	0	0
$\Sigma X = 180$	$\Sigma Y = 132$	$\Sigma x = 0$	$\Sigma y = 0$	$\Sigma x^2 = 90$	$\Sigma y^2 = 110$	$\Sigma xy = -79$

• 
  

  સરેરાશ (Mean):

  
  
  
  
  
  • 
    

    $\bar{X} = \frac{180}{6} = 30$

    
    
  
  
  • 
    

    $\bar{Y} = \frac{132}{6} = 22$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  સહસંબંધાંક ($r$) ની ગણતરી:

  
  $$r = \frac{\Sigma xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}}$$
  
  $$r = \frac{-79}{\sqrt{90 \times 110}}$$
  
  $$r = \frac{-79}{\sqrt{9900}} = \frac{-79}{99.4987} \approx -0.90$$


• 
  

  જવાબ: વેફરનો ભાવ અને તેની માંગ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = -0.90$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:

X	Y	X−Xˉ (x)	Y−Yˉ (y)	x2	y2	xy
60	50	-4	-11	16	121	44
80	75	16	14	256	196	224
50	60	-14	-1	196	1	14
80	85	16	24	256	576	384
95	90	31	29	961	841	899
40	40	-24	-21	576	441	504
70	65	6	4	36	16	24
40	30	-24	-31	576	961	744
35	45	-29	-16	841	256	464
90	70	26	9	676	81	234
$\Sigma X = 640$	$\Sigma Y = 610$	$\Sigma x = 0$	$\Sigma y = 0$	$\Sigma x^2 = 4380$	$\Sigma y^2 = 3490$	$\Sigma xy = 3535$

• 
  

  સરેરાશ (Mean):

  
  
  
  
  
  • 
    

    $\bar{X} = \frac{640}{10} = 64$

    
    
  
  
  • 
    

    $\bar{Y} = \frac{610}{10} = 61$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  સહસંબંધાંક ($r$) ની ગણતરી:

  
  $$r = \frac{\Sigma xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}}$$
  
  $$r = \frac{3535}{\sqrt{4380 \times 3490}}$$
  
  $$r = \frac{3535}{\sqrt{15,286,200}} = \frac{3535}{3909.757} \approx 0.90$$


• 
  

  જવાબ: બંને વિષયોના ગુણ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = 0.90$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:

X	Y	X−Xˉ (x)	Y−Yˉ (y)	x2	y2	xy
12	11	2	1	4	1	2
8	10	-2	0	4	0	0
9	4	-1	-6	1	36	6
10	7	0	-3	0	9	0
8	13	-2	3	4	9	-6
11	16	1	6	1	36	6
$\Sigma X = 58$	$\Sigma Y = 61$	$\Sigma x = 0$	$\Sigma y = 0$	$\Sigma x^2 = 14$	$\Sigma y^2 = 91$	$\Sigma xy = 8$

• 
  

  સરેરાશ (Mean):

  
  
  
  
  
  • 
    

    $\bar{X} = \frac{58}{6} = 9.67$ (અપૂર્ણાંક હોવાથી ડાયરેક્ટ સૂત્ર અથવા ટૂંકી રીત વાપરી શકાય, અહીં સીધી પદ્ધતિ ઉપયોગમાં લઈ શકાય)

    
    
  
  
  
  


• 
  

  વૈકલ્પિક ટૂંકી રીત (સૂત્ર):

  
  $$r = \frac{n(\Sigma XY) - (\Sigma X)(\Sigma Y)}{\sqrt{n\Sigma X^2 - (\Sigma X)^2} \sqrt{n\Sigma Y^2 - (\Sigma Y)^2}}$$
  
  
  
  
  • 
    

    $\Sigma XY$ ની ગણતરી માટે: $(12\times11)+(8\times10)+(9\times4)+(10\times7)+(8\times13)+(11\times16) = 132 + 80 + 36 + 70 + 104 + 176 = 598$

    
    
  
  
  • 
    

    $\Sigma X^2 = 12^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 + 8^2 + 11^2 = 144 + 64 + 81 + 100 + 64 + 121 = 574$

    
    
  
  
  • 
    

    $\Sigma Y^2 = 11^2 + 10^2 + 4^2 + 7^2 + 13^2 + 16^2 = 121 + 100 + 16 + 49 + 169 + 256 = 711$

    
    
  
  
  • 
    

    સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

    
    $$r = \frac{6(598) - (58)(61)}{\sqrt{6(574) - (58)^2} \sqrt{6(711) - (61)^2}}$$
    
    $$r = \frac{3588 - 3538}{\sqrt{3444 - 3364} \sqrt{4266 - 3721}}$$
    
    $$r = \frac{50}{\sqrt{80} \sqrt{545}}$$
    
    $$r = \frac{50}{8.9443 \times 23.3452} = \frac{50}{208.825} \approx 0.24$$
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: બાળકોની બંને પ્રકારના કોયડા ઉકેલવાની ક્ષમતા વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = 0.24$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  $n = 7$

  
  


• 
  

  $\Sigma X = 110, \Sigma Y = 64 \implies \bar{X} = \frac{110}{7} = 15.71, \bar{Y} = \frac{64}{7} = 9.14$ (અપૂર્ણાંક હોવાથી ટૂંકી રીત અથવા સીધી પદ્ધતિ વાપરી શકાય).

  
  


• 
  

  સૂત્ર: $r = \frac{n(\Sigma XY) - (\Sigma X)(\Sigma Y)}{\sqrt{n\Sigma X^2 - (\Sigma X)^2} \sqrt{n\Sigma Y^2 - (\Sigma Y)^2}}$

  
  


• 
  

  અહીં, $\Sigma X^2 = 1810, \Sigma Y^2 = 436, \Sigma XY = 1039$

  
  


• 
  

  કિંમતો મૂકતા:

  
  $$r = \frac{7(1039) - (110)(64)}{\sqrt{7(1810) - (110)^2} \sqrt{7(436) - (64)^2}}$$
  
  $$r = \frac{7273 - 7040}{\sqrt{12670 - 12100} \sqrt{3052 - 4096}} \text{ (સચોટ ગણતરી મુજબ)}$$


• 
  

  જવાબ: મૂડીરોકાણ અને નફા વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = 0.82$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  $n = 5$

  
  


• 
  

  $\Sigma X = 30 \implies \bar{X} = \frac{30}{5} = 6$

  
  


• 
  

  $\Sigma Y = 40 \implies \bar{Y} = \frac{40}{5} = 8$

  
  


• 
  

  કોષ્ટક મુજબ વિચલનો ($x = X - \bar{X}, y = Y - \bar{Y}$):

  
  
  
  
  
  • 
    

    $\Sigma x^2 = 26$

    
    
  
  
  • 
    

    $\Sigma y^2 = 10$

    
    
  
  
  • 
    

    $\Sigma xy = -15$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  સૂત્ર: $r = \frac{\Sigma xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}}$

  
  $$r = \frac{-15}{\sqrt{26 \times 10}} = \frac{-15}{\sqrt{260}} = \frac{-15}{16.1245} \approx -0.96$$


• 
  

  જવાબ: અભ્યાસના કલાકો અને ઊંઘના કલાકો વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = -0.96$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  $n = 8$

  
  


• 
  

  $\Sigma X = 464 \implies \bar{X} = \frac{464}{8} = 58$

  
  


• 
  

  $\Sigma Y = 1153 \implies \bar{Y} = \frac{1153}{8} = 144.125$ (અહીં ટૂંકી રીત $u = X - A, v = Y - B$ નો ઉપયોગ સરળ પડે).

  
  


• 
  

  $A = 58, B = 140$ ધારીને ગણતરી કરતાં:

  
  
  
  
  
  • 
    

    $\Sigma u = 0, \Sigma v = 33$

    
    
  
  
  • 
    

    $\Sigma u^2 = 328, \Sigma v^2 = 915, \Sigma uv = 465$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  સૂત્ર: $r = \frac{n(\Sigma uv) - (\Sigma u)(\Sigma v)}{\sqrt{n\Sigma u^2 - (\Sigma u)^2} \sqrt{n\Sigma v^2 - (\Sigma v)^2}}$

  
  $$r = \frac{8(465) - (0)(33)}{\sqrt{8(328) - 0} \sqrt{8(915) - (33)^2}}$$
  
  $$r = \frac{3720}{\sqrt{2624} \sqrt{7320 - 1089}} = \frac{3720}{51.225 \times 78.93} \approx 0.67$$


• 
  

  જવાબ: ઉંમર અને લોહીના દબાણ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = 0.67$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  $n = 6$

  
  


• 
  

  $\Sigma X = 143 \implies \bar{X} = \frac{143}{6} = 23.83$

  
  


• 
  

  $\Sigma Y = 497 \implies \bar{Y} = \frac{497}{6} = 82.83$

  
  


• 
  

  સીધી પદ્ધતિ કે ટૂંકી રીતના સૂત્ર મુજબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    $\Sigma X^2 = 3711, \Sigma Y^2 = 41733, \Sigma XY = 11575$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  સૂત્ર:

  
  $$r = \frac{6(11575) - (143)(497)}{\sqrt{6(3711) - (143)^2} \sqrt{6(41733) - (497)^2}}$$
  
  $$r = \frac{69450 - 71071}{\sqrt{22266 - 20449} \sqrt{250398 - 247009}} = \frac{-1621}{\sqrt{1817} \sqrt{3389}} = \frac{-1621}{42.626 \times 58.215} \approx -0.92$$


• 
  

  જવાબ: ઉત્પાદન અને એકમદીઠ ઉત્પાદન ખર્ચ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = -0.92$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

છ શહેરોના લોકોની માથાદીઠ વાર્ષિક આવક (\(X\)) અને ભાવના સૂચક આંક (\(Y\)) વચ્ચેનો સહસંબંધાંક \(r \approx 0.99\) છે. આ કિંમત દર્શાવે છે કે માથાદીઠ વાર્ષિક આવક અને ભાવના સૂચક આંક વચ્ચે ખૂબ જ ગાઢ ગાઢ ધન સહસંબંધ છે. [1, 2]

કાર્લ પિયર્સનની ટૂંકી રીત (\(u\) અને \(v\) ની રીત) દ્વારા ગણતરી નીચે મુજબ વિગતવાર સમજી શકાય છે:

૧. મધ્યકની ગણતરી અને ચલ પરિવર્તન

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા \(n = 6\) છે. [1]

• \(X\) નો મધ્યક: \(\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{2,06,000}{6} = 34,333.33\)


• \(Y\) નો મધ્યક: \(\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{980}{6} = 163.33\) [1]

ગણતરી સરળ કરવા માટે આપણે ધારેલો મધ્યક \(A = 34,000\) અને \(B = 160\) લઈએ, તેમજ \(X\) માટે વર્ગલંબાઈ \(c_x = 1000\) લઈએ:

• \(u = \frac{X - 34000}{1000}\)


• \(v = Y - 160\)

---

૨. ગણતરીનું કોષ્ટક

શહેર	આવક (\(X\))	સૂચક આંક (\(Y\))	\(u = \frac{X-34000}{1000}\)	\(v = Y-160\)	\(u^{2}\)	\(v^{2}\)	\(uv\)
A	32000	120	-2	-40	4	1600	80
B	29000	100	-5	-60	25	3600	300
C	40000	250	6	90	36	8100	540
D	36000	180	2	20	4	400	40
E	30000	110	-4	-50	16	2500	200
F	39000	220	5	60	25	3600	300
કુલ (\(\sum \))			\(\sum u = 2\)	\(\sum v = 20\)	\(\sum u^2 = 110\)	\(\sum v^2 = 19800\)	\(\sum uv = 1460\)

---

૩. સહસંબંધાંક (\(r\)) ની ગણતરી

કાર્લ પિયર્સનનું સૂત્ર:

\(r=\frac{n\sum uv-(\sum u)(\sum v)}{\sqrt{n\sum u^{2}-(\sum u)^{2}}\cdot \sqrt{n\sum v^{2}-(\sum v)^{2}}}\)

સૂત્રમાં જરૂરી બધી કિંમતો મુકતા:

\(r=\frac{6(1460)-(2)(20)}{\sqrt{6(110)-(2)^{2}}\cdot \sqrt{6(19800)-(20)^{2}}}\)

\(r=\frac{8760-40}{\sqrt{660-4}\cdot \sqrt{118800-400}}\)

\(r=\frac{8720}{\sqrt{656}\cdot \sqrt{118400}}\)

\(r=\frac{8720}{25.6125\times 344.093}\)

\(r=\frac{8720}{8813.08}\)

\(r\approx \mathbf{0.9894}\)

આમ, માથાદીઠ વાર્ષિક આવક અને ભાવના સૂચક આંક વચ્ચેનો સહસંબંધાંક 0.99 છે. [1]

સાચો જવાબ:

• 
  

  $n = 7$

  
  


• 
  

  $\Sigma X = 24 \implies \bar{X} = \frac{24}{7} = 3.43$

  
  


• 
  

  $\Sigma Y = 102 \implies \bar{Y} = \frac{102}{7} = 14.57$

  
  


• 
  

  સીધી કે ડાયરેક્ટ પદ્ધતિથી:

  
  
  
  
  
  • 
    

    $\Sigma X^2 = 94, \Sigma Y^2 = 1656.5, \Sigma XY = 388$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  સૂત્ર:

  
  $$r = \frac{7(388) - (24)(102)}{\sqrt{7(94) - (24)^2} \sqrt{7(1656.5) - (102)^2}}$$
  
  $$r = \frac{2716 - 2448}{\sqrt{658 - 576} \sqrt{11595.5 - 10404}} <br>= \frac{268}{\sqrt{82} \sqrt{1191.5}} <br>= \frac{268}{9.055 \times 34.518} \approx 0.80$$


• 
  

  જવાબ: સભ્યોની સંખ્યા અને પેટ્રોલના વપરાશ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = 0.80$ છે.

  
  

સાચો જવાબ: ખાતરના વપરાશ (X) અને મકાઈની ઊપજ (Y) વચ્ચેનો સહસંબંધાંક r = 0.99 છે. આ દર્શાવે છે કે ખાતરના વપરાશ અને મકાઈની ઊપજ વચ્ચે ખૂબ જ ગાઢ સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ છે.

આ ગણતરી કાર્લ પિયર્સનની ટૂંકી રીત (u અને v ની રીત) દ્વારા નીચે મુજબ વિગતવાર સમજી શકાય છે:



૧. મધ્યકની ગણતરી અને ચલ પરિવર્તન

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા n = 9 છે.

• X નો મધ્યક: \(\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{12.6}{9} = 1.4\)

• Y નો મધ્યક: \(\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{659}{9} = 73.22\)

ગણતરી સરળ કરવા માટે આપણે ધારેલો મધ્યક A = 1.4 અને B = 72 લઈએ, તેમજ X માટે વર્ગલંબાઈ \(c_x = 0.1\) લઈએ:

• \(u = \frac{X - 1.4}{0.1}\)

• v = Y - 72

---

૨. ગણતરીનું કોષ્ટક

ખાતર (X)	ઊપજ (Y)	\(u = \frac{X-1.4}{0.1}\)	v = Y-72	u²	v²	uv
1.0	60	-4	-12	16	144	48
1.1	62	-3	-10	9	100	30
1.2	65	-2	-7	4	49	14
1.3	70	-1	-2	1	4	2
1.4	72	0	0	0	0	0
1.5	75	1	3	1	9	3
1.6	80	2	8	4	64	16
1.7	85	3	13	9	169	39
1.8	90	4	18	16	324	72
કુલ (\(\sum \))		\(\sum u = 0\)	\(\sum v = 11\)	\(\sum u^2 = 60\)	\(\sum v^2 = 863\)	\(\sum uv = 224\)

---

૩. સહસંબંધાંક (r) ની ગણતરી માટેનું સૂત્ર

\(r=\frac{n\sum uv-(\sum u)(\sum v)}{\sqrt{n\sum u^{2}-(\sum u)^{2}}\cdot \sqrt{n\sum v^{2}-(\sum v)^{2}}}\)

સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:

\(r=\frac{9(224)-(0)(11)}{\sqrt{9(60)-(0)^{2}}\cdot \sqrt{9(863)-(11)^{2}}}\)

\(r=\frac{2016-0}{\sqrt{540-0}\cdot \sqrt{7767-121}}\)

\(r=\frac{2016}{\sqrt{540}\cdot \sqrt{7646}}\)

\(r=\frac{2016}{23.238\times 87.441}\)

\(r=\frac{2016}{2031.97}\)

\(r\approx \mathbf{0.9921}\)

આમ, ખાતરના વપરાશ અને મકાઈની ઊપજ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક 0.99 છે.

સાચો જવાબ:

ગણતરી:

જ્યારે પ્રમાણિત વિચલનો અને સહવિચરણ આપેલા હોય ત્યારે સહસંબંધાંક ($r$) શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$$r = \frac{\text{Cov}(x, y)}{s_x \cdot s_y}$$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

$$r = \frac{30}{5 \times 12}$$

$$r = \frac{30}{60}$$

$$r = 0.5$$

• 
  

  જવાબ: વરસાદ અને પાકની ઊપજ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = 0.5$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ગણતરી:

પ્રમાણિત વિચલનો ($s_x$ અને $s_y$) આપેલા હોય ત્યારે સહસંબંધાંક શોધવા માટેનું સૂત્ર:

$$r = \frac{\Sigma XY - n \bar{X}\bar{Y}}{n \cdot s_x \cdot s_y}$$

સૂત્રમાં તમામ કિંમતો મૂકતા:

$$r = \frac{90000 - 10(160)(55)}{10 \times 25 \times 10}$$

$$r = \frac{90000 - 10(8800)}{2500}$$

$$r = \frac{90000 - 88000}{2500}$$

$$r = \frac{2000}{2500}$$

$$r = 0.8$$

• 
  

  જવાબ: વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ અને વજન વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $r = 0.8$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

(1) $\Sigma(X - \bar{X})^2 = 72$, $\Sigma(Y - \bar{Y})^2 = 32$, $\Sigma(X - \bar{X})(Y - \bar{Y}) = 45$

• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  ધારો કે $x = X - \bar{X}$ અને $y = Y - \bar{Y}$.

  
  
  

  આપણી પાસે $\Sigma x^2 = 72$, $\Sigma y^2 = 32$ અને $\Sigma xy = 45$ છે.

  
  
  

  સહસંબંધાંકનું સૂત્ર:

  
  $$r = \frac{\Sigma xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}}$$
  
  

  સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

  
  $$r = \frac{45}{\sqrt{72 \times 32}}$$
  
  $$r = \frac{45}{\sqrt{2304}}$$
  
  $$r = \frac{45}{48} = 0.9375 \approx 0.94$$


• 
  

  જવાબ (1): સહસંબંધાંક $r = 0.94$ છે.

  
  

(2) $n = 6, \Sigma X = 16, \Sigma Y = 51, \Sigma XY = 154, \Sigma X^2 = 52, \Sigma Y^2 = 471$

• 
  

  ગણતરી:

  
  
  

  કિંમતો સીધી સૂત્રમાં મૂકવા માટે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

  
  $$r = \frac{n(\Sigma XY) - (\Sigma X)(\Sigma Y)}{\sqrt{n\Sigma X^2 - (\Sigma X)^2} \sqrt{n\Sigma Y^2 - (\Sigma Y)^2}}$$
  
  

  સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

  
  $$r = \frac{6(154) - (16)(51)}{\sqrt{6(52) - (16)^2} \sqrt{6(471) - (51)^2}}$$
  
  $$r = \frac{924 - 816}{\sqrt{312 - 256} \sqrt{2826 - 2601}}$$
  
  $$r = \frac{108}{\sqrt{56} \sqrt{225}}$$
  
  $$r = \frac{108}{7.4833 \times 15}$$
  
  $$r = \frac{108}{112.25} \approx 0.96$$


• 
  

  જવાબ (2): સહસંબંધાંક $r = 0.96$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ગણતરી:

અહીં મધ્યકમાંથી લીધેલા વિચલનો આપેલા હોવાથી (એટલે કે $x = X - \bar{X}$ અને સ્મોલ $y = Y - \bar{Y}$):

• 
  

  $\Sigma x^2 = 920$

  
  


• 
  

  $\Sigma y^2 = 1050$

  
  


• 
  

  $\Sigma xy = -545$

  
  

સહસંબંધાંક ($r$) નું સૂત્ર:

$$r = \frac{\Sigma xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}}$$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

$$r = \frac{-545}{\sqrt{920 \times 1050}}$$

$$r = \frac{-545}{\sqrt{966,000}}$$

$$r = \frac{-545}{982.8529}$$

$$r \approx -0.5545$$

• 
  

  જવાબ: સહસંબંધાંકની કિંમત $r = -0.55$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:

કંપની	વિશ્લેષક 1 ના ક્રમ (R1​)	વિશ્લેષક 2 ના ક્રમ (R2​)	તફાવત d=R1​−R2​	d2
A	5	6	-1	1
B	2	4	-2	4
C	1	3	-2	4
D	4	2	2	4
E	3	1	2	4
F	6	5	1	1
કુલ			$\Sigma d = 0$	$\Sigma d^2 = 18$

• 
  

  નિદર્શ કદ $n = 6$

  
  


• 
  

  ક્રમાંક સહસંબંધાંક ($R$ અથવા $r_k$) નું સૂત્ર:

  
  $$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$


• 
  

  સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

  
  $$R = 1 - \frac{6(18)}{6(6^2 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{108}{6(36 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{108}{6(35)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{108}{210}$$
  
  $$R = 1 - 0.5143 = 0.4857 \approx 0.49$$


• 
  

  જવાબ: બંને વિશ્લેષકોના મૂલ્યાંકન વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક $R = 0.49$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:

ગામ	R1​	R2​	તફાવત d=R1​−R2​	d2
1	4	6	-2	4
2	8	8	0	0
3	7	5	2	4
4	1	1	0	0
5	9	9	0	0
6	5	7	-2	4
7	6	3	3	9
8	2	4	-2	4
9	3	2	1	1
કુલ			$\Sigma d = 0$	$\Sigma d^2 = 26$

• 
  

  નિદર્શ કદ $n = 9$

  
  


• 
  

  ક્રમાંક સહસંબંધાંક ($R$) નું સૂત્ર:

  
  $$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$


• 
  

  સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

  
  $$R = 1 - \frac{6(26)}{9(9^2 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{156}{9(81 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{156}{9(80)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{156}{720}$$
  
  $$R = 1 - 0.2167 = 0.7833 \approx 0.78$$


• 
  

  જવાબ: બંને અભિયાનની કામગીરી વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક $R = 0.78$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ક્રમાંક આપવાની પદ્ધતિ (Ranks Assignment):

• 
  

  વસ્તી ($X$) માં સૌથી મોટી કિંમતને 1 ક્રમ, ત્યારબાદ ઉતરતા ક્રમે ક્રમાંક આપતા ($R_1$):

  
  
  
  
  
  • 
    

    57 $\to$ 1, 45 $\to$ 2, 18 $\to$ 3, 14 $\to$ 4, 8 $\to$ 5

    
    
  
  
  
  


• 
  

  વસ્તી વધારાના દર ($Y$) માં સૌથી મોટી કિંમતને 1 ક્રમ, ત્યારબાદ ઉતરતા ક્રમે ક્રમાંક આપતા ($R_2$):

  
  
  
  
  
  • 
    

    20 $\to$ 1, 15 $\to$ 2, 13 $\to$ 3, 10 $\to$ 4, 5 $\to$ 5

    
    
  
  
  
  

ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:

શહેર	વસ્તી (X)	R1​	વસ્તી વધારો (Y)	R2​	તફાવત d=R1​−R2​	d2
A	57	1	13	3	-2	4
B	45	2	20	1	1	1
C	14	4	10	4	0	0
D	18	3	15	2	1	1
E	8	5	5	5	0	0
કુલ					$\Sigma d = 0$	$\Sigma d^2 = 6$

• 
  

  નિદર્શ કદ $n = 5$

  
  


• 
  

  ક્રમાંક સહસંબંધાંક ($R$) નું સૂત્ર:

  
  $$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$


• 
  

  સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

  
  $$R = 1 - \frac{6(6)}{5(5^2 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{36}{5(25 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{36}{5(24)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{36}{120}$$
  
  $$R = 1 - 0.3 = 0.70$$


• 
  

  જવાબ: શહેરોની વસ્તી અને વસ્તી-વધારાના દર વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક $R = 0.70$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

૧. ક્રમ આપવાની પદ્ધતિ

અહીં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા \(n = 10\) છે. સૌથી વધુ ગુણને ક્રમ ૧ આપીને આપણે \(X\) (ગણિતના ગુણ) ને ક્રમ \(R_{1}\) અને \(Y\) (આંકડાશાસ્ત્રના ગુણ) ને ક્રમ \(R_{2}\) આપીશું.

---

૨. ગણતરીનું કોષ્ટક

ગણિતના ગુણ (\(X\))	આંકડાશાસ્ત્રના ગુણ (\(Y\))	\(X\) નો ક્રમ (\(R_{1}\))	\(Y\) નો ક્રમ (\(R_{2}\))	તફાવત \(d = R_1 - R_2\)	તફાવતનો વર્ગ (\(d^{2}\))
39	47	8	10	-2	4
65	53	6	8	-2	4
62	58	7	7	0	0
90	86	2	2	0	0
82	62	3	5	-2	4
75	68	5	4	1	1
25	60	10	6	4	16
98	91	1	1	0	0
36	51	9	9	0	0
78	84	4	3	1	1
કુલ (\(\sum \))				\(\sum d = 0\)	\(\sum d^2 = 30\)

---

૩. ક્રમાંક સહસંબંધાંક (\(r\)) ની ગણતરી

સ્પિયરમેનનું સૂત્ર:

\(r=1-\frac{6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}\)

સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:

\(r=1-\frac{6\times 30}{10(10^{2}-1)}\)

\(r=1-\frac{180}{10(100-1)}\)

\(r=1-\frac{180}{10\times 99}\)

\(r=1-\frac{180}{990}\)

\(r=1-0.1818\)

\(r\approx \mathbf{0.8182}\)

આમ, વિદ્યાર્થીઓના ગણિત અને આંકડાશાસ્ત્રના ગુણ વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક 0.82 છે.

Show Code

 

 

 

સાચો જવાબ: ૧. ક્રમ આપવાની પદ્ધતિ અને સુધારા અવયવ (CF) ની ગણતરી

અહીં કુલ જોડકાંની સંખ્યા \(n = 7\) છે. સૌથી વધુ કિંમતને ક્રમ ૧ આપીશું.

• ચલ \(X\) (પતિની ઊંચાઈ): આમાં કોઈ અવલોકન પુનરાવર્તિત થતું નથી, તેથી ક્રમ સીધા અપાશે.


• ચલ \(Y\) (પત્નીની ઊંચાઈ):
  
  
  
  • અવલોકન 162 બે વાર આવે છે (ક્રમ 2 અને 3 નો સરેરાશ = \(\frac{2+3}{2} = 2.5\)).
  
  
  • અવલોકન 154 બે વાર આવે છે (ક્રમ 5 અને 6 નો સરેરાશ = \(\frac{5+6}{2} = 5.5\)).
  
  
  
  
  

સુધારા અવયવ (CF) ની ગણતરી:

• ૧૬૨ માટે (\(m=2\)): \(\frac{2^3 - 2}{12} = \frac{6}{12} = 0.5\)


• ૧૫૪ માટે (\(m=2\)): \(\frac{2^3 - 2}{12} = \frac{6}{12} = 0.5\)


• કુલ \(CF = 0.5 + 0.5 = 1.0\)

---

૨. ગણતરીનું કોષ્ટક

પતિની ઊંચાઈ (\(X\))	પત્નીની ઊંચાઈ (\(Y\))	\(X\) નો ક્રમ (\(R_{1}\))	\(Y\) નો ક્રમ (\(R_{2}\))	તફાવત \(d = R_1 - R_2\)	તફાવતનો વર્ગ (\(d^{2}\))
156	154	6	5.5	0.5	0.25
153	148	7	7.0	0.0	0.00
185	162	2	2.5	-0.5	0.25
157	157	5	4.0	1.0	1.00
163	162	3	2.5	0.5	0.25
191	170	1	1.0	0.0	0.00
162	154	4	5.5	-1.5	2.25
કુલ (\(\sum \))				\(\sum d = 0\)	\(\sum d^2 = 4\)

---

૩. ક્રમાંક સહસંબંધાંક (\(r\)) ની ગણતરી

ગાંઠ (Tie) હોય ત્યારે સૂત્ર:

\(r=1-\frac{6\left(\sum d^{2}+CF\right)}{n(n^{2}-1)}\)

સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:

\(r=1-\frac{6\left(4+1.0\right)}{7(7^{2}-1)}\)

\(r=1-\frac{6\times 5}{7(49-1)}\)

\(r=1-\frac{30}{7\times 48}\)

\(r=1-\frac{30}{336}\)

\(r=1-0.0893\)

\(r\approx \mathbf{0.9107}\)

આમ, પતિ અને પત્નીની ઊંચાઈ વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક 0.91 છે.



Show Code

























 

સાચો જવાબ: ૧. ક્રમ આપવાની પદ્ધતિ અને સુધારા અવયવ (CF) ની ગણતરી

અહીં કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા \(n = 8\) છે. સૌથી વધુ ગુણને ક્રમ ૧ આપીશું.

• ચલ \(X\) (પ્રથમ વ્યક્તિના ગુણ):
  
  
  
  • અવલોકન 28 બે વાર આવે છે (ક્રમ 5 અને 6 નો સરેરાશ = \(\frac{5+6}{2} = 5.5\)).
  
  
  
  
  


• ચલ \(Y\) (બીજી વ્યક્તિના ગુણ):
  
  
  
  • અવલોકન 32 ત્રણ વાર આવે છે (ક્રમ 4, 5 અને 6 નો સરેરાશ = \(\frac{4+5+6}{3} = 5.0\)).
  
  
  
  
  

સુધારા અવયવ (CF) ની ગણતરી:

• ૨૮ માટે (\(m=2\)): \(\frac{2^3 - 2}{12} = \frac{6}{12} = 0.5\)


• ૩૨ માટે (\(m=3\)): \(\frac{3^3 - 3}{12} = \frac{24}{12} = 2.0\)


• કુલ \(CF = 0.5 + 2.0 = 2.5\)

---

૨. ગણતરીનું કોષ્ટક

ઉમેદવાર	ગુણ (\(X\))	ગુણ (\(Y\))	\(X\) નો ક્રમ (\(R_{1}\))	\(Y\) નો ક્રમ (\(R_{2}\))	તફાવત \(d = R_1 - R_2\)	તફાવતનો વર્ગ (\(d^{2}\))
A	28	32	5.5	5.0	0.5	0.25
B	44	45	2.0	1.0	1.0	1.00
C	10	25	8.0	7.0	1.0	1.00
D	28	32	5.5	5.0	0.5	0.25
E	47	41	1.0	2.0	-1.0	1.00
F	35	32	4.0	5.0	-1.0	1.00
G	19	24	7.0	8.0	-1.0	1.00
H	40	38	3.0	3.0	0.0	0.00
કુલ (\(\sum \))					\(\sum d = 0\)	\(\sum d^2 = 5.5\)

---

૩. ક્રમાંક સહસંબંધાંક (\(r\)) ની ગણતરી

અવલોકનોમાં ગાંઠ (Tie) હોય ત્યારે સ્પિયરમેનનું સૂત્ર:

\(r=1-\frac{6\left(\sum d^{2}+CF\right)}{n(n^{2}-1)}\)

સૂત્રમાં જરૂરી બધી કિંમતો મુકતા:

\(r=1-\frac{6\left(5.5+2.5\right)}{8(8^{2}-1)}\)

\(r=1-\frac{6\times 8}{8(64-1)}\)

\(r=1-\frac{48}{8\times 63}\)

\(r=1-\frac{48}{504}\)

\(r=1-0.0952\)

\(r\approx \mathbf{0.9048}\)

આમ, ઇન્ટરવ્યૂ લેનાર બંને વ્યક્તિઓના મૂલ્યાંકન વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક 0.90 છે.



Show Code

























 

સાચો જવાબ: ૧. આપેલી વિગતો

• સ્પર્ધકોની સંખ્યા (\(n\)) = \(10\)


• ક્રમાંકોના તફાવતોના વર્ગોનો સરવાળો (\(\sum d^2\)) = \(214\)

---

૨. ક્રમાંક સહસંબંધાંક (\(r\)) ની ગણતરી

સ્પિયરમેનનું ક્રમાંક સહસંબંધાંકનું સૂત્ર:

\(r=1-\frac{6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}\)

સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:

\(r=1-\frac{6\times 214}{10(10^{2}-1)}\)

\(r=1-\frac{1284}{10(100-1)}\)

\(r=1-\frac{1284}{10\times 99}\)

\(r=1-\frac{1284}{990}\)

\(r=1-1.2970\)

\(r\approx \mathbf{-0.30}\)

આમ, સૌંદર્ય-સ્પર્ધાના બંને નિર્ણાયકોના મૂલ્યાંકન વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક -0.30 છે.



Show Code

























 

સાચો જવાબ: આ દાખલાની વિગતવાર ગણતરી નીચે મુજબના ત્રણ તબક્કામાં સમજી શકાય છે:



૧. ભૂલવાળો તફાવતોના વર્ગોનો સરવાળો (\(\sum d^2\)) શોધવો

અહીં આપેલી વિગતો:

• વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (\(n\)) = 10


• ભૂલવાળો સહસંબંધાંક (\(r\)) = 0.5

સ્પિયરમેનનું સૂત્ર:

\(r=1-\frac{6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}\)

સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:

\(0.5=1-\frac{6\sum d^{2}}{10(10^{2}-1)}\)

\(0.5=1-\frac{6\sum d^{2}}{990}\)

\(\frac{6\sum d^{2}}{990}=1-0.5\)

\(\frac{6\sum d^{2}}{990}=0.5\)

\(6\sum d^{2}=0.5\times 990=495\)

\(\sum d^{2}(\text{ભૂલવાળો})=\frac{495}{6}=82.5\)

---

૨. સુધારેલો \(\sum d^2\) શોધવો

• સાચો તફાવત (\(d\)) = 7 (જેનો વર્ગ \(7^2 = 49\) થાય)


• ખોટો તફાવત (\(d\)) = 3 (જેનો વર્ગ \(3^2 = 9\) થાય)

\(\sum d^{2}(\text{સુધારેલો})=\sum d^{2}(\text{ભૂલવાળો})-(\text{ખોટા }d)^{2}+(\text{સાચા }d)^{2}\)

\(\sum d^{2}(\text{સુધારેલો})=82.5-9+49\)

\(\sum d^{2}(\text{સુધારેલો})=82.5+40=122.5\)

---

૩. સુધારેલો ક્રમાંક સહસંબંધાંક (\(r\)) શોધવો

હવે, સુધારેલી કિંમત સૂત્રમાં મુકતા:

\(r=1-\frac{6\times 122.5}{10(10^{2}-1)}\)

\(r=1-\frac{735}{990}\)

\(r=1-0.7424\)

\(r\approx \mathbf{0.2576}\)

આમ, ક્રમાંક સહસંબંધાંકની સુધારેલી કિંમત આશરે 0.26 થાય.



Show Code

























 

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (C)

A: સ્તંભાલેખ

B: વર્તુળ આકૃતિ

C: વિકીર્ણ આકૃતિ

D: આવૃત્તિ વક્ર

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ
B: આંશિક ધન સહસંબંધ
C: સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ
D: આંશિક ઋણ સહસંબંધ

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ
B: આંશિક ધન સહસંબંધ
C: સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ
D: આંશિક ઋણ સહસંબંધ

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: 0
B: 1 અથવા -1
C: 0.5
D: -0.5

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (C)

A: $-1 < r < 1$

B: 0 થી 1

C: $-1 \le r \le 1$

D: -1 થી 0

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (D)
A: કિગ્રા
B: સેમી
C: કિમી
D:

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: આંશિક ધન સહસંબંધ
B: સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ
C: સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ
D: આંશિક ઋણ સહસંબંધ

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: X અને Y ના વિચરણોનો ગુણાકાર

B: X અને Y નું સહવિચરણ ($\text{Cov}(x, y)$)

C: X નું વિચરણ

D: Y નું વિચરણ

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: 0.99

B: -1.07

C: -0.85

D: 0

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: $r(x, y) \neq r(u, v)$
B: $r(x, y) > r(u, v)$
C: $r(x, y) = r(u, v)$
D: $r(x, y) < r(u, v)$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: 0.7
B: 0.9
C: 1.1
D: -0.7

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: 0.5

B: -0.5

C: 1

D: 0

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 0
B: -1
C: 1
D: 0.5

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 0
B: -1
C: 1
D: 0.1

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: 0
B: -1
C: 1
D: કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: $R = 0$

B: $R = -1$

C: $R = 1$

D: $R = 0.1$

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: $\frac{m^2 - m}{12}$

B: $\frac{m^3 - m}{12}$

C: $\frac{m^2 - 1}{12}$

D: $n(n - 1)$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: સંપૂર્ણ ધન
B: આંશિક ધન
C: સંપૂર્ણ ઋણ
D: આંશિક ઋણ

સાચો જવાબ: જ્યારે બે ચલો વચ્ચે કાર્ય-કારણનો સંબંધ હોય અને એક ચલમાં ફેરફાર થવાથી બીજા ચલમાં પણ ફેરફાર થતો હોય, ત્યારે તે બે ચલો વચ્ચે સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.

સાચો જવાબ: બે ચલો વચ્ચેના સુરેખ સહસંબંધની ઘાઢતા અને તેની દિશાનું માપ દર્શાવતી અચળ વાસ્તવિક સંખ્યાને સહસંબંધાંક ($r$) કહે છે.

સાચો જવાબ: ધન સહસંબંધ (વ્યક્તિની ઉંમર વધવાની સાથે વીમાનું પ્રીમિયમ પણ વધે છે).

સાચો જવાબ: ધન સહસંબંધ (વેચાણ વધતાં નફામાં પણ વધારો થાય છે).

સાચો જવાબ: ઋણ સહસંબંધ (ફુગાવાનો દર વધતાં લોકોની ખરીદશક્તિ ઘટે છે).

સાચો જવાબ: ઋણ સહસંબંધ (સમુદ્ર સપાટીથી જેમ ઊંચાઈ વધે તેમ હવામાં ઑક્સિજનનું પ્રમાણ ઘટે છે).

સાચો જવાબ: આ બંને ચલો વચ્ચે કોઈ જ વાસ્તવિક કે કાર્ય-કારણનો સંબંધ નથી, તેથી તેમની વચ્ચે અર્થહીન અથવા સહસંબંધનો અભાવ છે.

સાચો જવાબ: 0.4 જ રહેશે (કારણ કે સહસંબંધાંક એ ઉગમબિંદુના પરિવર્તનથી મુક્ત છે).

સાચો જવાબ: વિકીર્ણ આકૃતિ દ્વારા બે ચલો વચ્ચેના સહસંબંધના સ્વરૂપનો માત્ર પ્રાથમિક ખ્યાલ કે અંદાજ મેળવી શકાય છે, પરંતુ સહસંબંધની ચોક્કસ ગાણિતિક કિંમત જાણી શકાતી નથી.

સાચો જવાબ: : $r = 1 - \frac{6\Sigma d^2}{n(n^2 - 1)} = 1 - 1 = \mathbf{0}$ થાય.

સાચો જવાબ: ઋણ (-) થાય (કારણ કે પ્રમાણિત વિચલનો હંમેશા ધન હોવાથી સહસંબંધાંકનું ચિહ્ન સહવિચરણના ચિહ્ન પર આધાર રાખે છે).

સાચો જવાબ:

જ્યારે બે ચલો વચ્ચેના ફેરફારો એક જ દિશામાં થતા હોય—એટલે કે એક ચલની કિંમતમાં વધારો થાય ત્યારે બીજા ચલની કિંમતમાં પણ વધારો થાય, અને એક ચલ ઘટે ત્યારે બીજો ચલ પણ ઘટે—ત્યારે તે બંને વચ્ચે ધન સહસંબંધ (Positive Correlation) છે તેમ કહેવાય. આ સ્થિતિમાં સહસંબંધાંક ($r$) નું મૂલ્ય ધન (૦ થી +૧ ની વચ્ચે) હોય છે.

ઉદાહરણો:

• 
  

  આવક અને વપરાશ: સામાન્ય રીતે વ્યક્તિની માસિક આવક વધે તેમ તેનો વપરાશ કે ખર્ચ પણ વધે છે, અને આવક ઘટે તેમ ખર્ચ પણ ઘટે છે.

  
  


• 
  

  તાપમાન અને આઈસક્રીમનું વેચાણ: ઉનાળાની સિઝનમાં જેમ જેમ તાપમાન (ગરમી) વધે છે, તેમ તેમ આઈસક્રીમની માંગ અને વેચાણ પણ વધે છે.

  
  


• 
  

  વરસાદ અને પાકનું ઉત્પાદન: યોગ્ય પ્રમાણમાં વરસાદ વધવાથી ખેતરોમાં પાકનું ઉત્પાદન પણ સામાન્ય રીતે વધતું જોવા મળે છે.

  
  


• 
  

  વસ્તુની કિંમત અને પુરવઠો: અર્થશાસ્ત્રના નિયમ મુજબ, વસ્તુની કિંમત વધતા ઉત્પાદકો દ્વારા તેનો પુરવઠો પણ વધારવામાં આવે છે.

  
  

સાચો જવાબ:

જ્યારે બે ચલો વચ્ચેના ફેરફારો વિરુદ્ધ (ઉલટી) દિશામાં થતા હોય—એટલે કે એક ચલની કિંમતમાં વધારો થાય ત્યારે બીજા ચલની કિંમતમાં ઘટાડો થાય, અને એક ચલ ઘટે ત્યારે બીજો ચલ વધે—ત્યારે તે બંને વચ્ચે ઋણ સહસંબંધ (Negative Correlation) છે તેમ કહેવાય. આ સ્થિતિમાં સહસંબંધાંક ($r$) નું મૂલ્ય ઋણ (-૧ થી ૦ ની વચ્ચે) હોય છે.

ઉદાહરણો:

• 
  

  વસ્તુની કિંમત અને માંગ: માંગના નિયમ મુજબ, સામાન્ય રીતે કોઈ વસ્તુની કિંમત વધે ત્યારે તેની બજારમાં માંગ ઘટે છે, અને કિંમત ઘટે ત્યારે માંગ વધે છે.

  
  


• 
  

  વાહનની ઝડપ અને પહોંચવાનો સમય: મુસાફરી દરમિયાન વાહનની ઝડપ (Speed) જેટલી વધારે હોય, ગંતવ્ય સ્થાને પહોંચવા માટે લાગતો સમય (Time) એટલો જ ઓછો થાય છે.

  
  


• 
  

  તાપમાન અને ગરમ વસ્ત્રોનું વેચાણ: શિયાળામાં જેમ જેમ તાપમાન ઘટે (ઠંડી વધે) તેમ ગરમ વસ્ત્રોનું વેચાણ વધે છે, અને ઉનાળામાં તાપમાન વધતા ગરમ વસ્ત્રોનું વેચાણ ઘટી જાય છે.

  
  


• 
  

  ગરીબી અને સાક્ષરતા દર: સામાન્ય રીતે જે પ્રદેશમાં સાક્ષરતાનો દર ઊંચો હોય ત્યાં ગરીબીનું પ્રમાણ ઓછું જોવા મળે છે.

  
  

સાચો જવાબ:

કાર્લ પિયર્સનની ગુણન-પ્રધાત સહસંબંધાંકની રીતની મુખ્ય ધારણાઓ નીચે મુજબ છે:

• 
  

  સુરેખ સહસંબંધ (Linear Relationship): આ રીતની મુખ્ય ધારણા એ છે કે બે ચલો વચ્ચેનો સંબંધ સુરેખ (Linear) છે, એટલે કે જ્યારે બે ચલોની કિંમતોને આલેખમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર કે તેની આસપાસ ગોઠવાયેલા હોય છે.

  
  


• 
  

  કારણ અને અસરનો સંબંધ (Cause and Effect Relationship): ચલો વચ્ચે માત્ર ગાણિતિક જ નહીં, પરંતુ પ્રત્યક્ષ કે પરોક્ષ રીતે કારણ અને અસરનો (મુખ્ય ચલ અને નિર્ભર ચલ વચ્ચેનો) સંબંધ હોવો જરૂરી છે. જો બે ચલો વચ્ચે કોઈ વાસ્તવિક સંબંધ ન હોય છતાં ગાણિતિક રીતે સહસંબંધ મળે, તો તેને અર્થહીન સહસંબંધ કહેવાય છે.

  
  


• 
  

  સામાન્ય સંભાવના વિતરણ (Bivariate Normal Distribution): જે બે ચલો વચ્ચે સહસંબંધ શોધવાનો હોય, તેમનાં અવલોકનો દ્વિચલ સામાન્ય સંભાવના વિતરણ (Bivariate Normal Distribution) ધરાવતાં હોવા જોઈએ.

  
  


• 
  

  સ્વતંત્ર ચલો (Independent Observations): યાદચ્છિક નમૂનામાં લેવાયેલાં દરેક અવલોકનો એકબીજાથી સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ.

  
  

સાચો જવાબ:

બે ચલો વચ્ચેના સહસંબંધનો અભ્યાસ કરવાની સૌથી સરળ આલેખાત્મક પદ્ધતિને વિકીર્ણ આકૃતિ (Scatter Diagram) કહે છે.

આ પદ્ધતિમાં, બે ચલોની કિંમતોની જોડીઓને આલેખપત્ર પર (X અને Y અક્ષ પર) બિંદુઓ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. આ બિંદુઓ દ્વારા રચાતા સમૂહ કે વલણ (Trend) પરથી બંને ચલો વચ્ચે કેવા પ્રકારનો સહસંબંધ (ધન, ઋણ કે સહસંબંધનો અભાવ) છે તેનો પ્રાથમિક અને સ્પષ્ટ ખ્યાલ મેળવી શકાય છે.

સાચો જવાબ:

જ્યારે બે ચલો વચ્ચે આંકડાકીય કે ગાણિતિક રીતે સહસંબંધ જોવા મળે, પરંતુ વાસ્તવિકતામાં કે તાર્કિક રીતે તેમની વચ્ચે કોઈ જ કારણ અને અસરનો સંબંધ ન હોય, ત્યારે તેને અર્થહીન સહસંબંધ (Spurious or Nonsense Correlation) કહેવામાં આવે છે.

આવા સંજોગોમાં બે ચલો વચ્ચેનો સંબંધ માત્ર એક સંયોગ (Coincidence) હોય છે અથવા તે કોઈ ત્રીજા છુપા પરિબળને કારણે આંકડાકીય રીતે ઉત્પન્ન થયેલો દેખાવ હોય છે.

ઉદાહરણ: કોઈ શહેરમાં આઈસક્રીમના વેચાણમાં વધારો અને તે જ સમયગાળામાં ચોરીની ઘટનાઓમાં વધારો—આ બંને ચલોના આંકડાઓ વચ્ચે ગણતરી કરતા ગાણિતિક સહસંબંધ મળી શકે છે, પરંતુ આ બંને બાબતોને એકબીજા સાથે કોઈ વાસ્તવિક લેવાદેવા નથી. અહીં બંનેમાં વધારો થવાનું વાસ્તવિક કારણ ઉનાળાની ઋતુ કે ગરમી (ત્રીજું પરિબળ) છે, પરંતુ આઈસક્રીમના વેચાણ વધવાથી ગુનાખોરી વધતી નથી. તેથી, આ પ્રકારનો સહસંબંધ અર્થહીન ગણાય છે.

સાચો જવાબ:

કાર્ય-કારણનો સંબંધ (Cause and Effect Relationship) એ બે ચલો કે ઘટનાઓ વચ્ચેનો એવો વાસ્તવિક અને તાર્કિક સંબંધ છે, જેમાં એક ઘટના બીજા બનવાના કારણરૂપ બને છે.

અહીં 'કારણ' (Cause) એ મૂળ પરિસ્થિતિ કે ઘટના છે, અને 'કાર્ય' (Effect) એ તેના પરિણામે સર્જાતી અસર કે પરિણામ છે. એટલે કે, એક ચલમાં થતો ફેરફાર બીજા ચલના ફેરફાર માટે સીધી રીતે જવાબદાર હોય છે.

આ સંબંધને સરળ ઉદાહરણો દ્વારા સમજીએ:

૧. વરસાદ અને પાકનું ઉત્પાદન (વૈજ્ઞાનિક અને તાર્કિક સંબંધ)

• 
  

  કારણ: ખેતરોમાં સમયસર અને યોગ્ય પ્રમાણમાં વરસાદ પડવો.

  
  


• 
  

  કાર્ય (અસર): ખેતરોમાં પાકનું ઉત્પાદન સારું થવું.

  
  


• 
  

  સમજૂતી: અહીં વરસાદ પડવો એ 'કારણ' છે અને પાક સારો થવો એ તેનું 'કાર્ય' છે. એકબીજા સાથે સીધો અને કુદરતી સંબંધ છે.

  
  

૨. વસ્તુની કિંમત અને માંગ (અર્થશાસ્ત્રનો નિયમ)

• 
  

  કારણ: બજારમાં કોઈ વસ્તુની કિંમતમાં વધારો થવો.

  
  


• 
  

  કાર્ય (અસર): ગ્રાહકો દ્વારા તે વસ્તુની માંગમાં ઘટાડો થવો.

  
  


• 
  

  સમજૂતી: કિંમત વધવી એ કારણ છે અને તેના લીધે ગ્રાહકો ખરીદી ઓછી કરે (માંગ ઘટે) એ તેનું કાર્ય કે અસર છે.

  
  

સાચો જવાબ:

સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ (Perfect Positive Correlation) એટલે કે જ્યારે બે ચલો વચ્ચેનો સંબંધ સંપૂર્ણપણે એક જ દિશામાં હોય.

આનો સરળ અર્થ એ થાય કે જો પહેલા ચલની કિંમતમાં જેટલા ટકા કે એકમનો વધારો (કે ઘટાડો) થાય, બિલકુલ તે જ પ્રમાણમાં અને તે જ અચળ ગુણોત્તરમાં બીજા ચલની કિંમતમાં પણ વધારો (કે ઘટાડો) થાય.

મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ:

• 
  

  આ સ્થિતિમાં સહસંબંધાંક ($r$) નું મૂલ્ય હંમેશાં ચોક્કસ +૧ ($+1$) હોય છે.

  
  


• 
  

  જો આ બંને ચલોની કિંમતોને આલેખમાં (વિકીર્ણ આકૃતિ પર) દર્શાવવામાં આવે, તો બધાં જ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ ઉપરની તરફ જતી એક જ સીધી રેખા પર બરાબર ગોઠવાયેલા જોવા મળે છે.

  
  

ઉદાહરણ:

• 
  

  વરસાદ અને પાણીની સપાટી: ધારો કે એક ચોક્કસ તળાવમાં વરસાદના પ્રમાણ (ઇંચમાં) અને પાણીની સપાટી વધવાના પ્રમાણ વચ્ચેનો સંબંધ સંપૂર્ણ સુરેખ હોય—એટલે કે દરેક ૧ ઇંચ વધારાના વરસાદ સામે પાણીની સપાટી ચોક્કસ નિશ્ચિત ઇંચ જ વધતી હોય, તો તે સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ દર્શાવે છે.

  
  


• 
  

  ચલ $X$ અને $Y$ ની કિંમતો:

  
  
  
  
  
  • 
    

    જો $X = 1, 2, 3, 4$ હોય અને

    
    
  
  
  • 
    

    જો $Y = 2, 4, 6, 8$ હોય

    
    
  
  
  • 
    

    (અહીં $X$ ની કિંમત બમણી થાય છે તેમ $Y$ ની કિંમત પણ બમણી થાય છે). આવા કિસ્સામાં બંને વચ્ચે સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ ($r = +1$) છે તેમ કહેવાય.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

જ્યારે બે ચલો વચ્ચેનો સંબંધ સંપૂર્ણપણે વિરુદ્ધ (ઉલટી) દિશામાં હોય અને બંને ચલોમાં ફેરફારનું પ્રમાણ એકદમ ચોક્કસ અને અચળ ગુણોત્તરમાં હોય, ત્યારે તેને સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ (Perfect Negative Correlation) કહેવાય છે.

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે એક ચલની કિંમતમાં જેટલા ટકા કે એકમનો વધારો (કે ઘટાડો) થાય, ત્યારે બીજા ચલની કિંમતમાં બિલકુલ તે જ પ્રમાણમાં અને તેટલા જ એકમોનો ઘટાડો (કે વધારો) થાય છે.

મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ:

• 
  

  આ સ્થિતિમાં સહસંબંધાંક ($r$) નું મૂલ્ય હંમેશાં ચોક્કસ -૧ ($-1$) હોય છે.

  
  


• 
  

  જો આ બંને ચલોની કિંમતોને આલેખમાં (વિકીર્ણ આકૃતિ પર) દર્શાવવામાં આવે, તો બધાં જ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ નીચેની તરફ જતી એક જ સીધી રેખા પર બરાબર ગોઠવાયેલા જોવા મળે છે.

  
  

ઉદાહરણ:

• 
  

  ચલ $X$ અને $Y$ ની કિંમતો:

  
  
  
  
  
  • 
    

    જો $X = 1, 2, 3, 4$ હોય અને

    
    
  
  
  • 
    

    જો $Y = 10, 8, 6, 4$ હોય

    
    
  
  
  • 
    

    (અહીં જેમ $X$ ની કિંમત વધતી જાય છે, તેમ $Y$ ની કિંમત સમાન દરથી ઘટતી જાય છે). આવા કિસ્સામાં બંને વચ્ચે સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ ($r = -1$) છે તેમ કહેવાય.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

ક્રમાંક સહસંબંધ (સ્પીયરમેનની રીત) ની જરૂર મુખ્યત્વે નીચેની પરિસ્થિતિઓમાં પડે છે:

• 
  

  ગુણાત્મક માહિતી (Qualitative Data) માટે: જ્યારે ચલોને સીધી સંખ્યાઓમાં (સંખ્યાત્મક રીતે) માપી શકાતા ન હોય, પરંતુ ગુણોના આધારે તેને ક્રમ આપી શકાતા હોય ત્યારે ક્રમાંક સહસંબંધ વપરાય છે. દા.ત., વ્યક્તિની પ્રમાણિકતા, બુદ્ધિશક્તિ, સૌંદર્ય, નૃત્ય કળા, વક્તૃત્વ સ્પર્ધામાં આપવામાં આવતા ગુણ કે ન્યાયાધીશ દ્વારા થતું મૂલ્યાંકન.

  
  


• 
  

  માત્ર ક્રમાંકો જ આપેલા હોય ત્યારે: જ્યારે દાખલામાં વાસ્તવિક ચલોની કિંમતોને બદલે ડાયરેક્ટ ક્રમાંકો (Ranks - જેમ કે પહેલો નંબર, બીજો નંબર) જ આપવામાં આવ્યા હોય.

  
  


• 
  

  જ્યારે ડેટામાં અત્યંત મોટા કે નાના તફાવતો (Extreme Values / Outliers) હોય: જો માહિતીના ચલોમાં કોઈ કિંમત ખૂબ જ મોટી કે નાની હોય, તો કાર્લ પિયર્સનની પદ્ધતિથી ખોટા પરિણામો આવી શકે છે. આવા સંજોગોમાં કિંમતોને બદલે તેના ક્રમાંક આપીને ગણતરી કરવાથી આત્યંતિક મૂલ્યોની અસર નાબૂદ થઈ જાય છે.

  
  

સાચો જવાબ:

કાર્લ પિયર્સનની રીતનો સહસંબંધાંક ($r$) અને સ્પીયરમેનની ક્રમાંક સહસંબંધાંકની રીતનો સહસંબંધાંક ($R$) મુખ્યત્વે નીચેની પરિસ્થિતિઓમાં સરખા થાય છે:

• 
  

  જ્યારે બંને ચલોના ક્રમાંકો બિલકુલ સમાન હોય: જો બે ચલો ($X$ અને $Y$) ના ક્રમાંકો એક જ ક્રમમાં (સરખી ગોઠવણીમાં) હોય — એટલે કે પહેલા ચલનો જે ક્રમ હોય તે જ બીજા ચલનો ક્રમ હોય ($R_x = R_y$) — ત્યારે બંને રીતોથી ગણતરી કરતાં સહસંબંધાંકનું મૂલ્ય સરખું મળે છે.

  
  


• 
  

  જ્યારે ચલોની કિંમતો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય: જો ચલોની કિંમતો કોઈ નિશ્ચિત ક્રમ કે સમાંતર શ્રેણી (Arithmetic Progression) માં વધતી કે ઘટતી હોય અને તેમનો વ્યાપક સુરેખ સંબંધ સચવાતો હોય, ત્યારે પણ બંને પદ્ધતિઓના જવાબો સમાન આવે છે

  
  

સાચો જવાબ:

કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંક (r) ના સૂત્ર મુજબ:

r=sx​⋅sy​Cov(x,y)​

આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:

r=12×15120​

r=180120​

r=32​≈0.67

આમ, r ની કિંમત 0.67 (અથવા 32​) થશે.

સાચો જવાબ:

કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંક ($r$) ના સૂત્ર મુજબ:

$$r = \frac{\Sigma(x - \bar{x})(y - \bar{y})}{n \cdot s_x \cdot s_y}$$

આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:

$$r = \frac{-65}{10 \times 3 \times 4}$$

$$r = \frac{-65}{120}$$

છેદ ઉડાડતા (અંશ અને છેદને 5 વડે ભાગતા):

$$r = -\frac{13}{24} \approx -0.54$$

આમ, $r$ ની કિંમત $-\frac{13}{24}$ અથવા આશરે $-0.54$ થશે.

સાચો જવાબ:

સ્પીયરમેનના ક્રમાંક સહસંબંધાંક ($R$) ના સૂત્ર મુજબ:

$$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$

આપેલ કિંમતો: $n = 10$ અને $\Sigma d^2 = 120$

આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:

$$R = 1 - \frac{6 \times 120}{10(10^2 - 1)}$$

$$R = 1 - \frac{720}{10(100 - 1)}$$

$$R = 1 - \frac{720}{10 \times 99}$$

$$R = 1 - \frac{720}{990}$$

અંશ અને છેદમાંથી શૂન્ય કમી કરતા અને 9 વડે ભાગાકાર કરતા ($\frac{72}{99} = \frac{8}{11}$):

$$R = 1 - \frac{8}{11}$$

$$R = \frac{11 - 8}{11}$$

$$R = \frac{3}{11} \approx 0.27$$

આમ, ક્રમાંક સહસંબંધાંકની કિંમત $\frac{3}{11}$ અથવા આશરે $0.27$ થશે.

સાચો જવાબ:

બે ચલો વચ્ચેના સહસંબંધનો અભ્યાસ કરવાની સૌથી સરળ અને પ્રાથમિક આલેખાત્મક પદ્ધતિને વિકીર્ણ આકૃતિ (Scatter Diagram) કહે છે.

આ પદ્ધતિની કાર્યપદ્ધતિ અને તેના દ્વારા સહસંબંધ નક્કી કરવાની રીત નીચે મુજબ છે:

• 
  

  આકૃતિ દોરવાની પદ્ધતિ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આ પદ્ધતિમાં બે ચલો (ધારો કે $X$ અને $Y$) ની કિંમતોની જોડીઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવવામાં આવે છે.

    
    
  
  
  • 
    

    સામાન્ય રીતે $X$ અક્ષ પર સ્વતંત્ર ચલ અને $Y$ અક્ષ પર નિર્ભર ચલ લેવામાં આવે છે.

    
    
  
  
  • 
    

    દરેક અવલોકન માટે આલેખ પર બિંદુઓ અંકિત કરવામાં આવે છે, જેનાથી આલેખમાં બિંદુઓનો સમૂહ રચાય છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  આકૃતિના આધારે સહસંબંધના પ્રકાર:

  
  
  
  
  
  • 
    

    સંપૂર્ણ ધન સહសंબંધ ($r = +1$): જો આલેખના બધા જ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ ઉપરની તરફ જતી એક જ સીધી રેખા પર બરાબર ગોઠવાયેલા હોય.

    
    
  
  
  • 
    

    સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ ($r = -1$): જો બધા જ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ નીચેની તરફ આવતી એક જ સીધી રેખા પર ગોઠવાયેલા હોય.

    
    
  
  
  • 
    

    ધન સહસંબંધ: જો બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ ઉપર જતા પટ્ટાના સ્વરૂપમાં ગોઠવાયેલા હોય (ચલ $X$ વધે તેમ $Y$ પણ વધે).

    
    
  
  
  • 
    

    ઋણ સહસંબંધ: જો બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ નીચે આવતા પટ્ટામાં ગોઠવાયેલા હોય (ચલ $X$ વધે તેમ $Y$ ઘટે).

    
    
  
  
  • 
    

    સહસંબંધનો અભાવ: જો બિંદુઓ આખા આલેખમાં તદ્દન અવ્યવસ્થિત રીતે વેરાયેલા હોય અને કોઈ ચોક્કસ વલણ કે પટ્ટો ન જોવા મળે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  પદ્ધતિના ફાયદા અને મર્યાદાઓ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ફાયદો: આ પદ્ધતિ ખૂબ જ સરળ છે અને ચલો વચ્ચેના સંબંધનો પ્રાથમિક તથા ઝડપી ખ્યાલ માત્ર નજર ફેરવવાથી જ મળી જાય છે.

    
    
  
  
  • 
    

    મર્યાદા: આ પદ્ધતિથી સહસંબંધનું ચોક્કસ ગાણિતિક કે આંકડાકીય મૂલ્ય (સહસંબંધાંક) મેળવી શકાતું નથી.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

વિકીર્ણ આકૃતિની રીતના મુખ્ય ગુણ અને મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:

ગુણ (Advantages):

• 
  

  સરળતા: આ પદ્ધતિ સમજવામાં, દોરવામાં અને તેનું અર્થઘટન કરવામાં અત્યંત સરળ છે. ગાણિતિક કે આંકડાકીય જ્ઞાન ન હોય તેવી વ્યક્તિ પણ આલેખ જોઈને પ્રાથમિક ખ્યાલ મેળવી શકે છે.

  
  


• 
  

  ઝડપી અંદાજ: બે ચલો વચ્ચે સહસંબંધ છે કે નહીં અને જો છે, તો તે કયા પ્રકારનો (ધન કે ઋણ) છે, તેનો પ્રાથમિક અને ઝડપી ખ્યાલ માત્ર નજર ફેરવવાથી જ મળી જાય છે.

  
  


• 
  

  સંબંધના સ્વરૂપની સ્પષ્ટતા: ચલો વચ્ચેનો સંબંધ સુરેખ (Linear) છે કે અસુરેખ (Non-linear/Curvilinear), તે આ આકૃતિ દ્વારા સ્પષ્ટ જોઈ શકાય છે.

  
  


• 
  

  અસામાન્ય મૂલ્યોની ઓળખ: ડેટામાં કોઈ આત્યંતિક કે અસામાન્ય કિંમતો (Outliers) હોય, તો તે આલેખમાં તરત જ અલગથી દેખાઈ આવે છે, જે ગણતરીમાં સાવચેતી રાખવામાં ઉપયોગી બને છે.

  
  

મર્યાદાઓ (Limitations):

• 
  

  ચોક્કસ ગાણિતિક મૂલ્યનો અભાવ: આ પદ્ધતિથી બે ચલો વચ્ચેના સહસંબંધનું કોઈ ચોક્કસ આંકડાકીય કે ગાણિતિક મૂલ્ય (સહસંબંધાંક - $r$) મળતું નથી.

  
  


• 
  

  વ્યક્તિગત અભિપ્રાયની ભિન્નતા: આ પદ્ધતિ સંપૂર્ણપણે દ્રશ્યમાન (Visual) અંદાજ પર આધારિત છે, તેથી જુદી જુદી વ્યક્તિઓ આલેખ જોઈને અલગ-અલગ તારણ પર આવી શકે છે.

  
  


• 
  

  મજબૂતાઈ માપવાની મર્યાદા: સહસંબંધ કેટલો મજબૂત કે નબળો છે તેનું સચોટ ગણાત્મક માપ આ આકૃતિ દ્વારા દર્શાવી શકાતું નથી.

  
  

સાચો જવાબ:

સહસંબંધાંક ($r$) ના મુખ્ય ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:

• 
  

  મર્યાદા (-૧ થી +૧): સહસંબંધાંકની કિંમત હંમેશાં -૧ અને +૧ ની વચ્ચે (એટલે કે $-1 \le r \le 1$) હોય છે. તે ક્યારેય ૧ થી વધારે કે -૧ થી ઓછી હોઈ શકતી નથી.

  
  


• 
  

  એકમથી સ્વતંત્ર (Unit-free): સહસંબંધાંક એ કોઈપણ પ્રકારના એકમથી મુક્ત છે. તેમાં કિલોગ્રામ, મીટર, રૂપિયા કે કલાક જેવા કોઈ એકમો લાગુ પડતા નથી કારણ કે તે એક શુદ્ધ ગુણોત્તર (અંક) છે.

  
  


• 
  

  ઉદગમબિંદુ અને માપના પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર: ચલોની કિંમતોમાં કોઈ ચોક્કસ રકમ ઉમેરવાથી, બાદ કરવાથી (ઉદગમબિંદુ બદલવાથી) કે કોઈ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરવાથી (માપ બદલવાથી) સહસંબંધાંકની કિંમત બદલાતી નથી.

  
  


• 
  

  સમ્મિત સંબંધ (Symmetric): બે ચલો $X$ અને $Y$ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક સરખો જ રહે છે, પછી ભલે તમે $X$ નો $Y$ સાથેનો સંબંધ શોધો કે $Y$ નો $X$ સાથેનો સંબંધ શોધો (એટલે કે $r_{xy} = r_{yx}$).

  
  


• 
  

  ચિહ્નની સ્વતંત્રતા: સહસંબંધાંકનું ચિહ્ન (+ અથવા -) ચલો વચ્ચેના ફેરફારની દિશા દર્શાવે છે. જો ધન ચિહ્ન હોય તો સમદિશા સંબંધ અને ઋણ ચિહ્ન હોય તો વિરુદ્ધ દિશાનો સંબંધ સૂચવે છે.

  
  

સાચો જવાબ:

કાર્લ પિયર્સનની ગુણન-પ્રધાત સહસંબંધાંકની રીતના મુખ્ય ગુણ અને મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:

ગુણ (Advantages):

• 
  

  ચોક્કસ ગાણિતિક મૂલ્ય: આ પદ્ધતિથી બે ચલો વચ્ચેના સહસંબંધનું સચોટ અને ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્ય ($r$) મળે છે, જેનાથી બંને વચ્ચેના સંબંધની ઘનિષ્ઠતાનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ આવે છે.

  
  


• 
  

  દિશા અને મજબૂતાઈનું માપ: આ પદ્ધતિ સહસંબંધ કઈ દિશામાં છે (ધન કે ઋણ) તે દર્શાવવાની સાથે સાથે તે કેટલો મજબૂત કે નબળો છે તેનું સ્પષ્ટ આંકડાકીય માપ પણ આપે છે.

  
  


• 
  

  માપ અને ઉદગમબિંદુથી સ્વતંત્ર: આ પદ્ધતિમાં ચલોના માપદંડો કે એકમો બદલવાથી (ચલોમાં યોગ્ય પ્રક્રિયા કરવાથી) સહસંબંધાંકના અંતિમ મૂલ્ય પર કોઈ અસર થતી નથી.

  
  


• 
  

  વ્યાપક સ્વીકૃતિ: આ એક અત્યંત વૈજ્ઞાનિક અને પ્રમાણભૂત ગાણિતિક રીત હોવાથી આંકડાશાસ્ત્રમાં તેનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે.

  
  

મર્યાદાઓ (Limitations):

• 
  

  સુરેખ સંબંધની અનિવાર્ય શરત: આ રીત માત્ર સુરેખ સહસંબંધ (Linear Correlation) માપવા માટે જ સક્ષમ છે. જો ચલો વચ્ચે અસુરેખ (Curvilinear) સંબંધ હોય, તો આ પદ્ધતિ ખોટા કે ભ્રામક પરિણામો આપી શકે છે.

  
  


• 
  

  આત્યંતિક મૂલ્યોની વધુ અસર (Outliers): જો માહિતીમાં કોઈ અસાધારણ રીતે ખૂબ જ મોટી કે નાની કિંમતો હોય, તો તે સમગ્ર સહસંબંધાંકના પરિણામને ખૂબ જ પ્રભાવિત કરે છે.

  
  


• 
  

  માત્રાત્મક માહિતીની જરૂરિયાત: આ પદ્ધતિ માટે ડેટા સંખ્યાત્મક (Quantitative) હોવો અનિવાર્ય છે. ગુણાત્મક ગુણો (જેમ કે પ્રામાણિકતા, બુદ્ધિશક્તિ કે સૌંદર્ય) માટે આ રીત સીધી રીતે વાપરી શકાતી નથી.

  
  


• 
  

  ગણતરીની જટિલતા: જો અવલોકનોની સંખ્યા ઘણી મોટી હોય, તો આ પદ્ધતિથી ગણતરી કરવી લાંબી અને સમય માંગી લે તેવી બને છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  $r = 1$ (સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ):

  
  
  
  
  
  • 
    

    જ્યારે સહસંબંધાંકનું મૂલ્ય $+૧$ હોય, ત્યારે બંને ચલો વચ્ચે સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.

    
    
  
  
  • 
    

    આ સ્થિતિમાં બંને ચલો એક જ દિશામાં સંપૂર્ણ સચોટતાથી બદલાય છે. એટલે કે પહેલા ચલમાં જેટલા પ્રમાણમાં વધારો કે ઘટાડો થાય, બિલકુલ તે જ પ્રમાણમાં અને અચળ ગુણોત્તરમાં બીજા ચલમાં પણ ફેરફાર થાય છે.

    
    
  
  
  • 
    

    આલેખમાં (વિકીર્ણ આકૃતિ પર) આ તમામ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ ઉપરની તરફ જતી એક જ સીધી રેખા પર બરાબર ગોઠવાયેલા હોય છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  $r = -1$ (સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ):

  
  
  
  
  
  • 
    

    જ્યારે સહસંબંધાંકનું મૂલ્ય $-૧$ હોય, ત્યારે બંને ચલો વચ્ચે સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.

    
    
  
  
  • 
    

    આ સ્થિતિમાં બંને ચલો વચ્ચેનો સંબંધ સંપૂર્ણપણે વિરુદ્ધ (ઉલટી) દિશામાં હોય છે. એટલે કે એક ચલની કિંમતમાં જેટલો વધારો થાય, બીજા ચલની કિંમતમાં બિલકુલ તે જ પ્રમાણમાં અને તેટલા જ દરે ઘટાડો થાય છે.

    
    
  
  
  • 
    

    આલેખમાં આ તમામ બિંદુઓ ડાબેથી જમણી તરફ નીચેની તરફ આવતી એક જ સીધી રેખા પર બરાબર ગોઠવાયેલા હોય છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  $r = 0$ (સહસંબંધનો અભાવ / શૂન્ય સહસંબંધ):

  
  
  
  
  
  • 
    

    જ્યારે સહસંબંધાંકનું મૂલ્ય $૦$ હોય, ત્યારે બંને ચલો વચ્ચે કોઈ જ સુરેખ સહસંબંધ નથી તેમ કહેવાય (સહસંબંધનો અભાવ).

    
    
  
  
  • 
    

    આ સ્થિતિમાં બે ચલો વચ્ચે કોઈ સુરેખ કે તાર્કિક સંબંધ હોતો નથી. એક ચલમાં થતો ફેરફાર બીજા ચલના ફેરફાર પર કોઈ અસર કરતો નથી અથવા તે બંને વચ્ચે કોઈ નિશ્ચિત વલણ જોવા મળતું નથી.

    
    
  
  
  • 
    

    આલેખમાં બિંદુઓ કોઈ ચોક્કસ આકાર કે રેખા બનાવ્યા વગર આખા આલેખમાં તદ્દન અવ્યવસ્થિત રીતે વેરાયેલા હોય છે.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

સ્પિયરમૅનની ક્રમાંક સહસંબંધની રીત (Spearman's Rank Correlation Method) એ બે ચલો વચ્ચેનો સહસંબંધ શોધવાની એક ખૂબ જ લોકપ્રિય આંકડાકીય પદ્ધતિ છે. આ રીત બ્રિટિશ આંકડાશાસ્ત્રી ચાર્લ્સ એડવર્ડ સ્પિયરમૅન દ્વારા ૧૯૦૪માં વિકસાવવામાં આવી હતી.

જ્યારે બે ચલોને સંખ્યાત્મક રીતે માપી ન શકાતા હોય પરંતુ તેમને ક્રમ આપી શકાતા હોય, ત્યારે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.

મુખ્ય ઉપયોગના સંજોગો:

• 
  

  ગુણાત્મક માહિતી માટે: જ્યારે ચલો ગુણો કે લાક્ષણિકતાવાળા હોય—જેમ કે વ્યક્તિની પ્રામાણિકતા, બુદ્ધિશક્તિ, સૌંદર્ય, નૃત્ય કળા, વક્તૃત્વ કે ન્યાયાધીશ દ્વારા થતું ગુણાત્મક મૂલ્યાંકન.

  
  


• 
  

  જ્યારે સીધા ક્રમાંકો આપેલા હોય: દાખલામાં જો વાસ્તવિક ચલોની કિંમતોને બદલે ડાયરેક્ટ ક્રમાંકો (Ranks) જ આપેલા હોય.

  
  


• 
  

  આત્યંતિક મૂલ્યો (Outliers) હોય ત્યારે: જો માહિતીમાં કોઈ ખૂબ જ મોટી કે નાની કિંમતો હોય, તો કાર્લ પિયર્સનની રીતના બદલે આ રીત વધુ અનુકૂળ રહે છે.

  
  

સૂત્ર:

આ પદ્ધતિ માટેનું મૂળભૂત સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$

સૂત્રની સંજ્ઞાઓની સમજૂતી:

• 
  

  $R$ = સ્પીયરમેનનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક

  
  


• 
  

  $d$ = બે ચલોના ક્રમાંકો વચ્ચેનો તફાવત ($R_x - R_y$)

  
  


• 
  

  $\Sigma d^2$ = તફાવતના વર્ગોનો સરવાળો

  
  


• 
  

  $n$ = અવલોકનોની કુલ સંખ્યા

  
  

ગણતરી કરવાના મુખ્ય પગલાં:

૧. ક્રમાંક આપવા (Ranks): પ્રથમ ચલ $X$ ની કિંમતોને ચઢતા કે ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીને તેના ક્રમાંકો ($R_x$) આપો. તે જ રીતે બીજા ચલ $Y$ ની કિંમતોના ક્રમાંકો ($R_y$) નક્કી કરો. (જો પ્રશ્નમાં પહેલેથી જ ક્રમાંકો આપેલા હોય, તો આ પગલું કરવાની જરૂર નથી).

૨. તફાવત શોધવો ($d$): પહેલા ચલના ક્રમમાંથી બીજા ચલનો ક્રમ બાદ કરો: $d = R_x - R_y$ (નોંધ: $\Sigma d$ નો સરવાળો હંમેશાં શૂન્ય એટલે કે $\Sigma d = 0$ થવો જોઈએ).

૩. વર્ગ મેળવવો ($d^2$): તફાવતની કિંમતોનો વર્ગ કરો અને તેનો સરવાળો ($\Sigma d^2$) મેળવો.

૪. સૂત્રમાં કિંમત મૂકવી: મળેલાં મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકીને અંતિમ ગણતરી કરો.

વિશેષ સ્થિતિ: સમાન ક્રમાંકો (Tied Ranks)

જો ડેટામાં કોઈ કિંમત એક કરતા વધારે વખત પુનરાવર્તિત થતી હોય (એટલે કે બે કે તેથી વધુ અવલોકનો સરખા હોય), ત્યારે સમાન ક્રમાંકો આપવા પડે છે. આવી સ્થિતિમાં સૂત્રમાં સુધારો કરવા માટે દરેક સમાન અવલોકન દીઠ સુધારા પરિબળ (Correction Factor) ઉમેરવામાં આવે છે:

$$R = 1 - \frac{6 \left( \Sigma d^2 + \frac{m^3 - m}{12} + \frac{m^3 - m}{12} + \dots \right)}{n(n^2 - 1)}$$

(જ્યાં $m$ એ કોઈ અવલોકન કેટલી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે તેની સંખ્યા દર્શાવે છે).

સાચો જવાબ:

સ્પિયરમૅનના ક્રમાંક સહસંબંધની રીતના મુખ્ય ગુણ અને મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:

ગુણ (Advantages):

• 
  

  ગુણાત્મક માહિતી માટે શ્રેષ્ઠ: જ્યારે ચલોને સીધા સંખ્યાત્મક આંકડાઓમાં માપી ન શકાતા હોય પરંતુ ગુણો કે લાક્ષણિકતાઓના આધારે ક્રમ આપી શકાતા હોય (જેમ કે વ્યક્તિની પ્રામાણિકતા, બુદ્ધિશક્તિ, સૌંદર્ય કે નૃત્ય કળા), ત્યારે આ રીત એકમાત્ર ઉત્તમ વિકલ્પ સાબિત થાય છે.

  
  


• 
  

  સરળ અને સમજવામાં આસાન: કાર્લ પિયર્સનની ગુણન-પ્રધાત રીતની સરખામણીમાં આ પદ્ધતિ સમજવામાં, યાદ રાખવામાં અને ગણતરી કરવામાં ઘણી સરળ છે.

  
  


• 
  

  આત્યંતિક મૂલ્યોની અસરથી મુક્ત (Outliers): જો માહિતીના ડેટામાં કોઈ અસાધારણ રીતે ખૂબ જ મોટી કે નાની કિંમતો હોય, તો પણ આ પદ્ધતિના પરિણામો પર તેની કોઈ નકારાત્મક અસર થતી નથી કારણ કે ગણતરીમાં વાસ્તવિક કિંમતોને બદલે માત્ર ક્રમાંકોનો જ ઉપયોગ થાય છે.

  
  


• 
  

  સુરેખ સંબંધની અનિવાર્ય શરત નથી: આ પદ્ધતિ માટે ચલો વચ્ચે સખત સુરેખ સહસંબંધ જ હોવો જોઈએ તેવું જરૂરી નથી.

  
  

મર્યાદાઓ (Limitations):

• 
  

  માહિતીની ચોકસાઈમાં ઘટાડો (Loss of Information): વાસ્તવિક ચલોની ચોક્કસ કિંમતોને અવગણીને માત્ર ક્રમાંકો જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા હોવાથી, ડેટાની ઘણી સૂક્ષ્મ માહિતી નાશ પામે છે અને કાર્લ પિયર્સનની રીત જેટલા સચોટ પરિણામો મળતા નથી.

  
  


• 
  

  સમાન ક્રમાંકો વખતે ગણતરી જટિલ બને છે: જો ડેટામાં કોઈ કિંમત એક કરતા વધારે વખત સરખી (પુનરાવર્તિત) થતી હોય, તો સમાન ક્રમાંકો આપવા પડે છે અને સૂત્રમાં સુધારા પરિબળ (Correction Factor) ઉમેરવું પડે છે, જેનાથી ગણતરી લાંબી અને જટિલ થઈ જાય છે.

  
  


• 
  

  મોટા નમૂનાઓ માટે અસુવિધાજનક: જો અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) ખૂબ જ મોટી (દા.ત., ૩૦ કે તેથી વધુ) હોય, તો દરેક અવલોકનને ચઢતા કે ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીને ક્રમાંક આપવાનું કામ ખૂબ જ કંટાળાજનક અને સમય માંગી લે તેવું બને છે.

  
  

સાચો જવાબ:

જ્યારે બે ચલો વચ્ચેનો સહસંબંધ તપાસતી વખતે કોઈ ત્રીજા ચલ (અથવા એક કરતાં વધુ ચલો) ની અસરને સંપૂર્ણપણે અસરમાંથી કાઢી નાખવામાં (અચળ કે સ્થિર રાખવામાં) આવે અને પછી બાકીના બે ચલો વચ્ચેનો સહસંબંધ મેળવવામાં આવે, ત્યારે તેને આંશિક સહસંબંધ (Partial Correlation) કહેવાય છે.

આંશિક સહસંબંધના મૂલ્યનું અર્થઘટન આપણે તેના ચિહ્ન (+ અથવા -) અને તેના આંકડાકીય મૂલ્યના આધારે નીચે મુજબ કરી શકીએ છીએ:

• 
  

  ધન આંશિક સહસંબંધ (r>0):

  
  
  
  
  
  • 
    

    જો ત્રીજા ચલની અસરને દૂર કર્યા પછી પણ બાકીના બે ચલો વચ્ચે ધન સહસંબંધ મળે, તો તેનો અર્થ એ થાય કે ત્રીજા ચલને સ્થિર રાખવા છતાં તે બંને ચલો એક જ દિશામાં ફેરફાર કરે છે. દા.ત., જો ઉંમરની અસરને સ્થિર રાખવામાં આવે, તો પણ વ્યક્તિની ઊંચાઈ અને વજન વચ્ચે ધન સહસંબંધ જોવા મળી શકે છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  ઋણ આંશિક સહસંબંધયાંક (r<0):

  
  
  
  
  
  • 
    

    જો ત્રીજા પરિબળને અચળ રાખ્યા પછી બે ચલો વિરુદ્ધ દિશામાં બદલાતા દેખાય, તો તેને ઋણ આંશિક સહસંબંધ કહેવાય. દા.ત., કુટુંબના સભ્યોની સંખ્યાને સ્થિર રાખવામાં આવે, તો પણ માથાદીઠ આવક અને ગરીબી વચ્ચે ઋણ સહસંબંધ જોવા મળે છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  શૂન્ય આંશિક સહસંબંધ (r=0):

  
  
  
  
  
  • 
    

    જો ત્રીજા ચલની અસરને દૂર કર્યા બાદ બાકીના બે ચલો વચ્ચેનો સહસંબંધ શૂન્ય આવે, તો તેનો સ્પષ્ટ અર્થ એ થાય કે અગાઉ જે સંબંધ દેખાતો હતો તે વાસ્તવિક નહોતો, પરંતુ તે માત્ર પેેલા ત્રીજા છુપા ચલને કારણે જ ઊભો થયો હતો. (આ એક રીતે 'અર્થહીન સહસંબંધ' જેવું જ છે, જ્યાં ત્રીજું પરિબળ સંબંધ ઊભો કરતું હતું).

    
    
  
  
  
  


• 
  

  મૂલ્યની મજબૂતાઈ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આંશિક સહસંબંધાંકનું મૂલ્ય પણ હંમેશાં −૧ થી +૧ ની વચ્ચે જ હોય છે. મૂલ્ય જેટલું +૧ કે −૧ ની નજીક હોય, તેટલો તે બંને ચલો વચ્ચેનો શુદ્ધ સંબંધ વધુ મજબૂત ગણાય, અને મૂલ્ય જેટલું શૂન્યની નજીક હોય તેટલો સંબંધ નબળો ગણાય.

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

સહસંબંધાંક ($r$) નું અર્થઘટન કરતી વખતે અને તેના આધારે તારણો તારવતી વખતે નીચે મુજબની વિશેષ સાવચેતી રાખવી જરૂરી છે:

• 
  

  સહસંબંધ એટલે કારણ-અસરનો સંબંધ નહીં (Correlation does not imply causation): માત્ર બે ચલો વચ્ચે ઊંચો સહસંબંધ જોવા મળે એટલે તેનો અર્થ એવો નથી થતો કે એક ચલના ફેરફાર માટે બીજો ચલ જ સીધો જવાબદાર છે. ક્યારેક આ સંબંધ માત્ર એક સંયોગ (Coincidence) હોઈ શકે અથવા કોઈ ત્રીજા છુપા પરિબળને આભારી હોઈ શકે છે.

  
  


• 
  

  માત્ર સુરેખ સંબંધની મર્યાદા: કાર્લ પિયર્સનનો સહસંબંધાંક માત્ર સુરેખ સંબંધ (Linear Relationship) જ માપે છે. જો બે ચલો વચ્ચે અસુરેખ (Curvilinear) કે વક્ર રેખા જેવો સંબંધ હોય, તો ભલે ગાઢ સંબંધ હોય છતાં $r$ ની કિંમત શૂન્ય અથવા ખૂબ ઓછી આવી શકે છે.

  
  


• 
  

  આત્યંતિક મૂલ્યો (Outliers) ની અસર: જો માહિતીના ડેટામાં કોઈ અસાધારણ રીતે ખૂબ જ મોટી કે નાની કિંમતો હોય, તો તે સમગ્ર સહસંબંધાંકના પરિણામને કૃત્રિમ રીતે ખૂબ જ પ્રભાવિત કરી શકે છે અને ખોટું ચિત્ર ઊભું કરી શકે છે.

  
  


• 
  

  નાના નમૂનાના પરિણામો પર ભરોસો: જો અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) ખૂબ જ નાની હોય, તો સંયોગવશાત ખૂબ ઊંચો કે નીચો સહસંબંધાંક મળી શકે છે. નાના નમૂનાના આધારે કાઢેલા તારણો વ્યાપક સ્તરે ખોટા સાબિત થઈ શકે છે.

  
  


• 
  

  શૂન્ય સહસંબંધનો સાચો અર્થ: જો સહસંબંધાંકની કિંમત શૂન્ય ($r = 0$) આવે, તો તેનો અર્થ એવો નથી કે બંને ચલો વચ્ચે કોઈ જ પ્રકારનો સંબંધ નથી; તેનો અર્થ માત્ર એટલો જ થાય છે કે તેમની વચ્ચે કોઈ સુરેખ (Linear) સંબંધ નથી. તેમની વચ્ચે અન્ય પ્રકારનો ગાણિતિક સંબંધ હોઈ શકે છે.

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલ માહિતી મુજબ કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંક ($r$) ની ગણતરી નીચે મુજબ કરીશું:

આપેલ કિંમતો:

• 
  

  અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $10$

  
  


• 
  

  $X$ નો મધ્યક ($\bar{X}$) = $120$

  
  


• 
  

  $Y$ નો મધ્યક ($\bar{Y}$) = $150$

  
  


• 
  

  $X$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_x$) = $30$

  
  


• 
  

  $Y$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_y$) = $40$

  
  


• 
  

  $\Sigma XY = 189000$

  
  

સૂત્ર:

કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંક માટેનું એક સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$$r = \frac{\Sigma XY - n \cdot \bar{X} \cdot \bar{Y}}{n \cdot s_x \cdot s_y}$$

(નોંધ: આ સૂત્ર સીધું જ વાપરી શકાય કારણ કે આપણી પાસે પ્રમાણિત વિચલન $s_x$ અને $s_y$ તથા $\Sigma XY$ ની કિંમતો સીધી ઉપલબ્ધ છે).

પગલું ૧: અંશની ગણતરી ($\Sigma XY - n \cdot \bar{X} \cdot \bar{Y}$)

$$= 189000 - [10 \times 120 \times 150]$$

$$= 189000 - [180000]$$

$$= 9000$$

પગલું ૨: છેદની ગણતરી ($n \cdot s_x \cdot s_y$)

$$= 10 \times 30 \times 40$$

$$= 10 \times 1200$$

$$= 12000$$

પગલું ૩: સહસંબંધાંક ($r$) શોધવો

$$r = \frac{9000}{12000}$$

અંશ અને છેદમાંથી શૂન્ય કમી કરતા:

$$r = \frac{9}{12}$$

ત્રણ વડે ભાગાકાર કરતા ($\frac{3}{4}$):

$$r = 0.75$$

આમ, સહસંબંધાંકની કિંમત $0.75$ થશે, જે દર્શાવે છે કે વરસાદ અને પાકની ઊપજ વચ્ચે મજબૂત ધન સહસંબંધ છે.

સાચો જવાબ:

કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંક ($r$) ના સૂત્ર મુજબ:

$$r = \frac{n \Sigma XY - (\Sigma X)(\Sigma Y)}{\sqrt{[n \Sigma X^2 - (\Sigma X)^2][n \Sigma Y^2 - (\Sigma Y)^2]}}$$

આપેલ કિંમતો: $n = 9, \Sigma X = 51, \Sigma Y = 72, \Sigma X^2 = 315, \Sigma Y^2 = 582, \Sigma XY = 408$

પગલું ૧: અંશની ગણતરી [$n \Sigma XY - (\Sigma X)(\Sigma Y)$]

$$= (9 \times 408) - (51 \times 72)$$

$$= 3672 - 3672$$

$$= 0$$

પગલું ૨: છેદની ગણતરી

• 
  

  પ્રથમ પદ: $n \Sigma X^2 - (\Sigma X)^2 = (9 \times 315) - (51)^2 = 2835 - 2601 = 234$

  
  


• 
  

  બીજું પદ: $n \Sigma Y^2 - (\Sigma Y)^2 = (9 \times 582) - (72)^2 = 5238 - 5184 = 54$

  
  


• 
  

  છેદ = $\sqrt{234 \times 54} = \sqrt{12636}$

  
  

પગલું ૩: સહસંબંધાંક ($r$) શોધવો

$$r = \frac{0}{\sqrt{12636}}$$

$$r = 0$$

આમ, સહસંબંધાંકની કિંમત $0$ થશે, જે દર્શાવે છે કે બંને ચલો વચ્ચે કોઈ જ સુરેખ સહસંબંધ નથી (સહસંબંધનો અભાવ છે).

સાચો જવાબ:

સ્પીયરમેનના ક્રમાંક સહસંબંધાંક ($R$) ના સૂત્ર મુજબ:

$$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$

આપેલ માહિતી:

• 
  

  સ્પર્ધકોની કુલ સંખ્યા ($n$) = $8$ (કારણ કે આઠ સ્પર્ધકો છે)

  
  


• 
  

  તફાવતના વર્ગોનો સરવાળો ($\Sigma d^2 = \Sigma (R_x - R_y)^2$) = $126$

  
  

આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:

$$R = 1 - \frac{6 \times 126}{8(8^2 - 1)}$$

$$R = 1 - \frac{756}{8(64 - 1)}$$

$$R = 1 - \frac{756}{8 \times 63}$$

$$R = 1 - \frac{756}{504}$$

$$\frac{756}{504}$ના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા (બંનેને 252 થી ભાગતા, અથવા અનુક્રમે અંશ-છેદને 126 થી ભાગતા $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$):

$$R = 1 - 1.5$$

$$R = -0.5$$

આમ, સ્પીયરમેનનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક $-0.5$ થશે, જે બે નિર્ણાયકોના મૂલ્યાંકન વચ્ચે મધ્યમ પ્રકારનો ઋણ સહસંબંધ દર્શાવે છે.

સાચો જવાબ:

આપેલ માહિતી મુજબ સ્પીયરમેનના ક્રમાંક સહસંબંધાંક ($R$) ની ગણતરી નીચે મુજબ કરીશું:

આપેલ કિંમતો:

• 
  

  અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $5$ (પાંચ ઉમેદવારો)

  
  


• 
  

  બે નિર્ણાયકોના ક્રમ ($R_x$ અને $R_y$): $(3, 5), (5, 4), (1, 2), (2, 3), (4, 1)$

  
  

પગલું ૧: તફાવત ($d$) અને $d^2$ ની ગણતરી

• 
  

  પ્રથમ જોડી: $3 - 5 = -2 \implies (-2)^2 = 4$

  
  


• 
  

  બીજી જોડી: $5 - 4 = 1 \implies (1)^2 = 1$

  
  


• 
  

  ત્રીજી જોડી: $1 - 2 = -1 \implies (-1)^2 = 1$

  
  


• 
  

  ચોથી જોડી: $2 - 3 = -1 \implies (-1)^2 = 1$

  
  


• 
  

  પાંચમી જોડી: $4 - 1 = 3 \implies (3)^2 = 9$

  
  

તફાવતના વર્ગોનો સરવાળો ($\Sigma d^2$):

$$\Sigma d^2 = 4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16$$

પગલું ૨: સૂત્રમાં કિંમતો મૂકવી

સ્પીયરમેનના ક્રમાંક સહસંબંધાંકનું સૂત્ર:

$$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$

કિંમતો મૂકતા:

$$R = 1 - \frac{6 \times 16}{5(5^2 - 1)}$$

$$R = 1 - \frac{96}{5(25 - 1)}$$

$$R = 1 - \frac{96}{5 \times 24}$$

$$R = 1 - \frac{96}{120}$$

$$R = 1 - 0.8$$

$$R = 0.2$$

આમ, ક્રમાંક સહસંબંધાંકની કિંમત $0.2$ થશે, જે બંને નિર્ણાયકોના મૂલ્યાંકન વચ્ચે નબળો ધન સહસંબંધ દર્શાવે છે.

સાચો જવાબ:

અહીં આપેલ માહિતી પરથી કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંક ($r$) ની ગણતરી નીચે મુજબ કરીશું:

આપેલ કિંમતો:

• 
  

  અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $5$

  
  


• 
  

  ભાવ ($X$): $38, 45, 40, 42, 35$

  
  


• 
  

  માંગ ($Y$): $103, 92, 97, 98, 100$

  
  

પગલું ૧: મધ્યક ($\bar{X}$ અને $\bar{Y}$) શોધવા

• 
  

  $\Sigma X = 38 + 45 + 40 + 42 + 35 = 200$

  
  


• 
  

  મોટી કિંમતોના મધ્યક: $\bar{X} = \frac{200}{5} = 40$

  
  


• 
  

  $\Sigma Y = 103 + 92 + 97 + 98 + 100 = 490$

  
  


• 
  

  $\bar{Y} = \frac{490}{5} = 98$

  
  

પગલું ૨: કોષ્ટક દ્વારા વિચલનો અને ગુણનફળ શોધવા

X	Y	x=X−40	y=Y−98	x2	y2	xy
38	103	-2	5	4	25	-10
45	92	5	-6	25	36	-30
40	97	0	-1	0	1	0
42	98	2	0	4	0	0
35	100	-5	2	25	4	-10
કુલ		$\Sigma x = 0$	$\Sigma y = 0$	$\Sigma x^2 = 58$	$\Sigma y^2 = 66$	$\Sigma xy = -50$

પગલું ૩: સૂત્રમાં કિંમતો મૂકવી

કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંકનું સૂત્ર:

$$r = \frac{\Sigma xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}}$$

કિંમતો મૂકતા:

$$r = \frac{-50}{\sqrt{58 \times 66}}$$

$$r = \frac{-50}{\sqrt{3828}}$$

$$r = \frac{-50}{61.87}$$

$$r \approx -0.81$$

આમ, માસ્કના ભાવ અને માંગ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $-0.81$ થશે, જે દર્શાવે છે કે માસ્કના ભાવ અને માંગ વચ્ચે મજબૂત ઋણ સહસંબંધ છે (એટલે કે ભાવ વધે તેમ તેની માંગ ઘટે છે).

સાચો જવાબ:

અપેલ માહિતી મુજબ કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંક ($r$) ની ગણતરી નીચે મુજબ કરીશું:

આપેલ કિંમતો:

• 
  

  અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = $5$

  
  


• 
  

  માનવસંસાધન સંચાલનના ગુણ ($X$): $45, 25, 40, 20, 45$

  
  


• 
  

  વ્યક્તિત્વ વિકાસના ગુણ ($Y$): $47, 23, 17, 35, 48$

  
  

પગલું ૧: મધ્યક ($\bar{X}$ અને $\bar{Y}$) શોધવા

• 
  

  $\Sigma X = 45 + 25 + 40 + 20 + 45 = 175 \implies \bar{X} = \frac{175}{5} = 35$

  
  


• 
  

  $\Sigma Y = 47 + 23 + 17 + 35 + 48 = 170 \implies \bar{Y} = \frac{170}{5} = 34$

  
  

પગલું ૨: કોષ્ટક દ્વારા વિચલનો અને ગુણનફળ શોધવા

X	Y	x=X−35	y=Y−34	x2	y2	xy
45	47	10	13	100	169	130
25	23	-10	-11	100	121	110
40	17	5	-17	25	289	-85
20	35	-15	1	225	1	-15
45	48	10	14	100	196	140
કુલ		$\Sigma x = 0$	$\Sigma y = 0$	$\Sigma x^2 = 550$	$\Sigma y^2 = 776$	$\Sigma xy = 280$

પગલું ૩: સૂત્રમાં કિંમતો મૂકવી

કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાંકનું સૂત્ર:

$$r = \frac{\Sigma xy}{\sqrt{\Sigma x^2 \cdot \Sigma y^2}}$$

કિંમતો મૂકતા:

$$r = \frac{280}{\sqrt{550 \times 776}}$$

$$r = \frac{280}{\sqrt{426800}}$$

$$r = \frac{280}{653.30}$$

$$r \approx 0.43$$

આમ, બંને વિષયોના ગુણ વચ્ચેનો સહસંબંધાંક $0.43$ થશે, જે મધ્યમ પ્રકારનો ધન સહસંબંધ દર્શાવે છે.

સાચો જવાબ:

આપેલ માહિતી મુજબ સ્પિયરમૅનના ક્રમાંક સહસંબંધાંક ($R$) ની ગણતરી નીચે મુજબ કરીશું:

આપેલ કિંમતો:

• 
  

  લિપસ્ટિકની કુલ સંખ્યા ($n$) = $7$ (બ્રાંડ: A, B, C, D, E, F, G)

  
  


• 
  

  પ્રેયલે આપેલા ક્રમ ($R_x$): $5, 6, 7, 1, 3, 2, 4$

  
  


• 
  

  નિશીએ આપેલા ક્રમ ($R_y$): $5, 7, 6, 2, 1, 4, 3$

  
  

પગલું ૧: કોષ્ટક દ્વારા તફાવત ($d$) અને $d^2$ ની ગણતરી

બ્રાંડ	પ્રેયલનો ક્રમ (Rx​)	નિશીનો ક્રમ (Ry​)	તફાવત (d=Rx​−Ry​)	તફાવતનો વર્ગ (d2)
A	5	5	0	0
B	6	7	-1	1
C	7	6	1	1
D	1	2	-1	1
E	3	1	2	4
F	2	4	-2	4
G	4	3	1	1
કુલ			$\Sigma d = 0$	$\Sigma d^2 = 12$

પગલું ૨: સૂત્રમાં કિંમતો મૂકવી

સ્પીયરમેનના ક્રમાંક સહસંબંધાંકનું સૂત્ર:

$$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$

કિંમતો મૂકતા ($n = 7$ અને $\Sigma d^2 = 12$):

$$R = 1 - \frac{6 \times 12}{7(7^2 - 1)}$$

$$R = 1 - \frac{72}{7(49 - 1)}$$

$$R = 1 - \frac{72}{7 \times 48}$$

$$R = 1 - \frac{72}{336}$$

અંશ અને છેદને 24 વડે ભાગતા ($\frac{72}{336} = \frac{3}{14}$):

$$R = 1 - \frac{3}{14}$$

$$R = \frac{14 - 3}{14}$$

$$R = \frac{11}{14} \approx 0.79$$

આમ, બંને નિષ્ણાતોએ આપેલા નિર્ણયો વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક $\frac{11}{14}$ અથવા આશરે $0.79$ થશે, જે બંનેના અભિપ્રાયો વચ્ચે મજબૂત ધન સામ્યતા દર્શાવે છે.

સાચો જવાબ: ચ્હા અને કૉફીના ભાવો વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક r = 0.77 (અથવા 0.7714) છે.

આ ગણતરી સ્પિયરમેનની ક્રમાંક સહસંબંધાંકની પદ્ધતિ દ્વારા નીચે મુજબ કરવામાં આવી છે:



ક્રમાંક અને ગણતરીનું કોષ્ટક:

અહીં ચ્હાના ભાવને X અને કૉફીના ભાવને Y તરીકે દર્શાવી, સૌથી મોટી કિંમતને પ્રથમ ક્રમ (1) આપીને ક્રમાંકો (\(R_{X}\) અને \(R_{Y}\)) નક્કી કરેલા છે.

ચ્હાનો ભાવ (X)	કૉફીનો ભાવ (Y)	X નો ક્રમ (\(R_{X}\))	Y નો ક્રમ (\(R_{Y}\))	તફાવત \(d = R_X - R_Y\)	d²
340	190	4	3	1	1
370	215	2	1	1	1
450	200	1	2	-1	1
320	180	5	4	1	1
300	163	6	6	0	0
360	175	3	5	-2	4
કુલ	—	—	—	\(\sum d = 0\)	\(\sum \mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{=8}\)

અહીં અવલોકનોની કુલ સંખ્યા n = 6 અને તફાવતોના વર્ગોનો સરવાળો \(\sum d^2 = 8\) છે.



ક્રમાંક સહસંબંધાંકનું સૂત્ર અને ગણતરી:

\(r=1-\frac{6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}\)

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:

\(r=1-\frac{6\times 8}{6(6^{2}-1)}\)

\(r=1-\frac{48}{6(36-1)}\)

\(r=1-\frac{48}{6\times 35}\)

\(r=1-\frac{48}{210}\)

\(r=1-0.2286\)

\(\mathbf{r\approx 0.77}\)

અર્થઘટન: ચ્હા અને કૉફીના ભાવ વચ્ચે વધુ પ્રમાણમાં ધન ક્રમાંક સહસંબંધ જોવા મળે છે, જે દર્શાવે છે કે ચ્હાના ભાવ વધવાની સાથે કૉફીના ભાવમાં પણ વધારો થવાનું વલણ રહે છે.

સાચો જવાબ:

ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:

• 
  

  અહીં નિદર્શ કદ $n = 10$.

  
  


• 
  

  બંને ચલોમાં સૌથી મોટી કિંમતને 1 ક્રમ આપીને ઉતરતા ક્રમે ક્રમાંકો આપતાં:

  
  
  
  
  
  • 
    

    $X$ ના ક્રમાંકો ($R_1$): 3, 2, 6, 7, 1, 5, 8, 9, 10, 4

    
    
  
  
  • 
    

    $Y$ ના ક્રમાંકો ($R_2$): 3, 2, 5, 1, 4, 6, 8, 7, 10, 9

    
    
  
  
  
  

X	Y	R1​	R2​	તફાવત d=R1​−R2​	d2
65	52	3	3	0	0
68	53	2	2	0	0
43	42	6	5	1	1
38	60	7	1	6	36
77	45	1	4	-3	9
48	41	5	6	-1	1
35	37	8	8	0	0
30	38	9	7	2	4
25	25	10	10	0	0
50	27	4	9	-5	25
				$\Sigma d = 0$	$\Sigma d^2 = 76$

• 
  

  સૂત્ર અને ગણતરી:

  
  $$R = 1 - \frac{6 \Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{6(76)}{10(10^2 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{456}{10(99)} = 1 - \frac{456}{990}$$
  
  $$R = 1 - 0.4606 = 0.5394 \approx 0.54$$


• 
  

  જવાબ: સરેરાશ ભાવ અને પુરવઠા વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક $R = 0.54$ છે.

  
  

સાચો જવાબ:

ગણતરી અને અવયવ (Correction Factor):

• 
  

  અહીં નિદર્શ કદ $n = 7$.

  
  


• 
  

  પ્રથમ પરીક્ષાના ક્રમ ($R_1$) માં '3.5' બે વખત પુનરાવર્તિત થાય છે, તેથી $m = 2$.

  
  


• 
  

  સંશોધન અવયવ ($C.F.$) ની ગણતરી:

  
  $$C.F. = \frac{m^3 - m}{12} = \frac{2^3 - 2}{12} = \frac{8 - 2}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$$

ગણતરી માટેનું કોષ્ટક:

વિદ્યાર્થી	પ્રથમ પરીક્ષા (R1​)	દ્વિતીય પરીક્ષા (R2​)	તફાવત d=R1​−R2​	d2
A	5	7	-2	4
B	1	1	0	0
C	2	4	-2	4
D	3.5	6	-2.5	6.25
E	3.5	5	-1.5	2.25
F	7	3	4	16
G	6	2	4	16
કુલ			$\Sigma d = 0$	$\Sigma d^2 = 48.5$

• 
  

  સૂત્ર અને ગણતરી:

  
  $$R = 1 - \frac{6 \left[\Sigma d^2 + C.F.\right]}{n(n^2 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{6 \left[48.5 + 0.5\right]}{7(7^2 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{6(49)}{7(49 - 1)}$$
  
  $$R = 1 - \frac{294}{7(48)} = 1 - \frac{294}{336}$$
  
  $$R = 1 - 0.875 = 0.125 \approx 0.13$$


• 
  

  જવાબ: બંને પરીક્ષાના પરિણામો વચ્ચેનો ક્રમાંક સહસંબંધાંક $R = 0.13$ છે.

  
  

સાચો જવાબ: ખાતરનો વપરાશ (X) અને ઉત્પાદકતા (Y) વચ્ચેનો કાર્લ પિયર્સનની રીતનો સહસંબંધાંક r ≈ 0.99 છે. આ દર્શાવે છે કે બંને ચલ વચ્ચે ખૂબ જ ગાઢ (વધુ) સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ છે.

ગણતરીની વિગતવાર સમજ નીચે મુજબ છે:



ગણતરીનું કોષ્ટક:

અહીં જિલ્લાઓની સંખ્યા n = 8 છે.

X	Y	X²	Y²	XY
15	85	225	7,225	1,275
18	93	324	8,649	1,674
20	95	400	9,025	1,900
25	105	625	11,025	2,625
29	115	841	13,225	3,335
35	130	1,225	16,900	4,550
40	140	1,600	19,600	5,600
38	145	1,444	21,025	5,510
\(\sum X = 220\)	\(\sum Y = 908\)	\(\sum X^2 = 6,684\)	\(\sum Y^2 = 1,06,674\)	\(\sum XY = 26,469\)

---

સૂત્ર અને ગણતરી:

કાર્લ પિયર્સનનું સહસંબંધાંકનું સૂત્ર:

\(r=\frac{n\sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{n\sum X^{2}-(\sum X)^{2}}\cdot \sqrt{n\sum Y^{2}-(\sum Y)^{2}}}\)

કિંમતો મૂકતા:

• અંશની ગણતરી:
  
  \(n\sum XY-(\sum X)(\sum Y)=8(26,469)-(220)(908)\)
  
  \(=2,11,752-1,99,760=11,992\)

• છેદની ગણતરી:
  
  
  
  
  • પ્રથમ પદ: \(\sqrt{8(6,684) - (220)^2} = \sqrt{53,472 - 48,400} = \sqrt{5,072} \approx 71.218\)
  
  
  • દ્વિતીય પદ: \(\sqrt{8(1,06,674) - (908)^2} = \sqrt{8,53,392 - 8,24,464} = \sqrt{28,928} \approx 170.082\)
  
  
  • છેદનો ગુણાકાર: 71.218 × 170.082 = 12,112.90
  
  
  
  
  

• સહસંબંધાંક (r):
  
  \(r=\frac{11,992}{12,112.90}\approx 0.99\)

અર્થઘટન:

સહસંબંધાંકનું મૂલ્ય 0.99 છે, જે 1 ની ખૂબ નજીક હોવાથી કહી શકાય કે આઠ જિલ્લામાં ખાતરના વપરાશ અને ઉત્પાદકતા વચ્ચે વધુ ગાઢ ધન સહસંબંધ છે. એટલે કે ખાતરનો વપરાશ વધવાની સાથે ઉત્પાદકતામાં પણ નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.

સાચો જવાબ: વિડિયો ગેમ્સ રમવામાં ગાળેલા કલાકો (\(X\)) અને પરીક્ષામાં મેળવેલા ગુણ (\(Y\)) વચ્ચેનો કાર્લ પિયર્સનની રીતનો સહસંબંધાંક r ≈ -0.96 છે. આ દર્શાવે છે કે બંને અક્ષ વચ્ચે ખૂબ જ ગાઢ (વધુ) આંશિક ઋણ સહસંબંધ છે.

ગણતરી સરળ બનાવવા માટે આપણે ધારેલા મધ્યકની રીત (\(u\) અને \(v\)) નો ઉપયોગ કરીશું:

• ચલ \(X\) માટે ધારેલો મધ્યક \(A = 4.6\) અને વર્ગલંબાઈ \(c_x = 0.1\) લેતાં: \(u = \frac{X - 4.6}{0.1}\)


• ચલ \(Y\) માટે ધારેલો મધ્યક \(B = 4.9\) અને વર્ગલંબાઈ \(c_y = 0.1\) લેતાં: \(v = \frac{Y - 4.9}{0.1}\)

અહીં, કુલ અવલોકનોની સંખ્યા \(n = 6\) છે.



ગણતરીનું કોષ્ટક:

\(X\)	\(Y\)	\(u = \frac{X - 4.6}{0.1}\)	\(v = \frac{Y - 4.9}{0.1}\)	\(u^{2}\)	\(v^{2}\)	\(uv\)
4.3	5.2	-3	3	9	9	-9
4.7	4.9	1	0	1	0	0
4.5	5.0	-1	1	1	1	-1
5.0	4.7	4	-2	16	4	-8
4.0	5.4	-6	5	36	25	-30
5.1	4.3	5	-6	25	36	-30
સરવાળો		\(\sum u = 0\)	\(\sum v = 1\)	\(\sum u^2 = 88\)	\(\sum v^2 = 75\)	\(\sum uv = -78\)

---

સૂત્ર અને ગણતરી:

કાર્લ પિયર્સનનું ટૂંકી રીતનું સૂત્ર:

\(r=\frac{n\sum uv-(\sum u)(\sum v)}{\sqrt{n\sum u^{2}-(\sum u)^{2}}\cdot \sqrt{n\sum v^{2}-(\sum v)^{2}}}\)

કિંમતો મૂકતા:

1. અંશની ગણતરી:
   
   \(n\sum uv-(\sum u)(\sum v)=6(-78)-(0)(1)\)
   
   \(=-468-0=-468\)


2. છેદની ગણતરી:
   
   
   
   • પ્રથમ પદ: \(\sqrt{6(88) - (0)^2} = \sqrt{528} \approx 22.98\)
   
   
   • દ્વિતીય પદ: \(\sqrt{6(75) - (1)^2} = \sqrt{450 - 1} = \sqrt{449} \approx 21.19\)
   
   
   • છેદનો ગુણાકાર: \(22.98 \times 21.19 \approx 486.95\)
   
   
   
   
   


3. સહસંબંધાંક (r):
   
   \(r=\frac{-468}{486.95}\approx -0.96\)

અર્થઘટન:

સહસંબંધાંકનું મૂલ્ય -0.96 છે, જે દર્શાવે છે કે બાળકો દ્વારા વિડિયો ગેમ્સ રમવાના કલાકો અને પરીક્ષાના ગુણ વચ્ચે વધુ ગાઢ ઋણ સહસંબંધ છે. એટલે કે, વિડિયો ગેમ રમવાના કલાકો વધવાથી પરીક્ષામાં મેળવેલા ગુણ (Grade Point) ઘટે છે.



Show Code