chapter 3

ધોરણ 12 | విષય: Statistics

સ્વાધ્યાય 3.1

ભાવ (x)	માંગ (y)
12	18
14	12
15	10
16	8
18	7
21	5

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી માંગ (y) ની ભાવ (x) પરની નિયતસંબંધ રેખા ŷ = 31.44 - 1.34x મળશે, અને જ્યારે ભાવ x = ₹ 20 હોય ત્યારે માંગનું અનુમાન 4.64 (સો એકમો) એટલે કે 464 એકમો થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા n = 6 છે.

ભાવ (x)	માંગ (y)	xy	x²
12	18	216	144
14	12	168	196
15	10	150	225
16	8	128	256
18	7	126	324
21	5	105	441
$\sum x = 96$	$\sum y = 60$	$\sum xy = 893$	$\sum x^2 = 1586$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{96}{6} = 16$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{60}{6} = 10$

૩. નિયતસંબંધાંક (b) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{6(893)-(96)(60)}{6(1586)-(96)^{2}}$

$b=\frac{5358-5760}{9516-9216}$

$b=\frac{-402}{300}=-1.34$

૪. અંતઃખંડ (a) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=10-(-1.34)(16)$

$a=10+21.44=31.44$

૫. નિયતસંબંધ રેખા

માંગ (y) ની ભાવ (x) પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{y}=a+bx$

$\^{y}=31.44-1.34x$

૬. જ્યારે ભાવ x = ₹ 20 હોય ત્યારે માંગનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં x = 20 મૂકતા:

$\^{y}=31.44-1.34(20)$

$\^{y}=31.44-26.8$

$\^{y}=4.64\text{\ (સો એકમો)}$

નિષ્કર્ષ: જ્યારે વસ્તુનો ભાવ ₹ 20 હોય, ત્યારે તેની અંદાજિત માંગ 4.64 સો એકમો (અથવા 464 એકમો) થશે.

Show Code

કાર	કાર-વપરાશનો સમય (વર્ષ) x	સરેરાશ વાર્ષિક નિભાવ ખર્ચ (હજાર ₹) y
1	3	10
2	1	5
3	2	8
4	2	7
5	5	13
6	3	8

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી નિભાવ ખર્ચ (Y) ની કાર વપરાશના સમય (X) પરની નિયતસંબંધ રેખા Ŷ = 4.8 + 3.25X મળશે.

જ્યારે કારનો વપરાશ સમય X = 5 વર્ષ હોય, ત્યારે અંદાજિત વાર્ષિક નિભાવ ખર્ચ 21.05 હજાર ₹ (₹ 21,050) મળશે અને તેની ત્રુટિ -8.05 હજાર ₹ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા n = 6 છે.

કાર	વપરાશ સમય (X)	નિભાવ ખર્ચ (Y)	XY	X²
1	3	10	30	9
2	1	5	5	1
3	2	8	16	4
4	2	7	14	4
5	5	13	65	25
6	3	8	24	9
કુલ	$\sum X = 16$	$\sum Y = 51$	$\sum XY = 154$	$\sum X^2 = 52$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{16}{6} = 2.67$

$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{51}{6} = 8.5$

૩. નિયતસંબંધાંક (b) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{n\sum X^{2}-(\sum X)^{2}}$

$b=\frac{6(154)-(16)(51)}{6(52)-(16)^{2}}$

$b=\frac{924-816}{312-256}$

$b=\frac{108}{56}=1.9286\approx 1.93$

૪. અંતઃખંડ (a) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=8.5-(1.9286\times 2.67)$

$a=8.5-5.15=3.35$

(નોંધ: જો આપણે અપૂર્ણાંક મધ્યક $\frac{16}{6}$ નો સીધો ઉપયોગ કરીએ, તો $a = 8.5 - 1.9286 \times \frac{16}{6} = 8.5 - 5.143 = 3.36$ આસપાસ કિંમત મળે છે. અહીં આપણે b = 1.93 અને a = 3.35 લઈ આગળ વધીશું.)

૫. નિયતસંબંધ રેખા

Y ની X પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=3.35+1.93X$

૬. વપરાશ સમય X = 5 વર્ષ હોય ત્યારે નિભાવખર્ચનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં X = 5 મૂકતા:

$\^{Y}=3.35+1.93(5)$

$\^{Y}=3.35+9.65$

$\^{Y}=13\text{ હજાર ₹}$

અનુમાનિત વાર્ષિક નિભાવ ખર્ચ 13 હજાર ₹ (એટલે કે ₹ 13,000) થાય.

૭. ત્રુટિ (e) ની ગણતરી

ત્રુટિ શોધવાનું સૂત્ર: e = Y - Ŷ

કોષ્ટકમાં આપેલ મૂળ માહિતી મુજબ, જ્યારે કાર વપરાશનો સમય X = 5 વર્ષ હોય (અવલોકન 5), ત્યારે તેનો વાસ્તવિક નિભાવ ખર્ચ Y = 13 છે.

$e=13-13=0$

નિષ્કર્ષ: જ્યારે કાર વપરાશનો સમય 5 વર્ષ હોય ત્યારે વાર્ષિક નિભાવખર્ચનું અંદાજિત મૂલ્ય ૧૩ હજાર ₹ મળે છે, અને આ અનુમાનમાં ત્રુટિ (error) ૦ છે.

સરેરાશ વરસાદ (સેમી) x	પાક (ટન) y
25	84
32	90
38	95
29	88
31	93

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી પાકના ઉત્પાદન (y) ની સરેરાશ વરસાદ (x) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 64.17 + 0.83x$ મળશે.

જ્યારે સરેરાશ વરસાદ x = 35 સેમી હોય, ત્યારે પાકનું અંદાજિત ઉત્પાદન 93.33 ટન થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા n = 5 છે.

વરસાદ (x)	પાક (y)	xy	x²
25	84	2100	625
32	90	2880	1024
38	95	3610	1444
29	88	2552	841
31	93	2883	961
$\sum x = 155$	$\sum y = 450$	$\sum xy = 14025$	$\sum x^2 = 4895$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{155}{5} = 31$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{450}{5} = 90$

અહીં બંને મધ્યકો પૂર્ણાંક હોવાથી આપણે સીધી પદ્ધતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

૩. નિયતસંબંધાંક (b) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{5(14025)-(155)(450)}{5(4895)-(155)^{2}}$

$b=\frac{70125-69750}{24475-24025}$

$b=\frac{375}{450}=0.8333\approx 0.83$

૪. અંતઃખંડ (a) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=90-(0.8333\times 31)$

$a=90-25.83=64.17$

૫. નિયતસંબંધ રેખા

y ની x પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{y}=a+bx$

$\^{y}=64.17+0.83x$

૬. જ્યારે સરેરાશ વરસાદ x = 35 સેમી હોય ત્યારે પાકના ઉત્પાદનનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં x = 35 મૂકતા:

$\^{y}=64.17+0.83(35)$

$\^{y}=64.17+29.05$

$\^{y}=93.22\text{ ટન}$

(નોંધ: જો આપણે b ની ચોક્કસ કિંમત $\frac{5}{6}$ અને a ની ચોક્કસ કિંમત $\frac{385}{6}$ નો ઉપયોગ કરીએ, તો ચોક્કસ જવાબ $\frac{560}{6} = 93.33$ ટન મળે છે. પરીક્ષામાં બંનેમાંથી કોઈ પણ કિંમત માન્ય ગણાય છે.)

નિષ્કર્ષ: જ્યારે સરેરાશ વરસાદ 35 સેમી હોય, ત્યારે થતા પાકના ઉત્પાદનનું અનુમાન 93.33 ટન (અથવા દશાંશ ચિહ્નના રાઉન્ડિંગ મુજબ 93.22 ટન) થશે.

Show Code

કારીગર	1	2	3	4	5	6	7	8
અનુભવ (વર્ષ) x	12	5	10	3	18	4	12	16
કાર્ય-કૌશલ્ય આંક y	83	75	80	78	89	68	88	87

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી કાર્ય-કૌશલ્ય આંક ($y$) ની અનુભવ ($x$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 69.67 + 1.13x$ મળશે.

જ્યારે કોઈ કારીગરનો અનુભવ $x = 7$ વર્ષ હોય, ત્યારે તેનો અંદાજિત કાર્ય-કૌશલ્ય આંક 77.60 થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ છે.

કારીગર	અનુભવ ($x$)	કાર્ય-કૌશલ્ય આંક ($y$)	$xy$	$x^{2}$
1	12	83	996	144
2	5	75	375	25
3	10	80	800	100
4	3	78	234	9
5	18	89	1602	324
6	4	68	272	16
7	12	88	1056	144
8	16	87	1392	256
કુલ	$\sum x = 80$	$\sum y = 648$	$\sum xy = 6727$	$\sum x^2 = 1018$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{80}{8} = 10$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{648}{8} = 81$

અહીં બંને મધ્યકો પૂર્ણાંક (integer) હોવાથી ગણતરી ખૂબ સરળ બને છે.

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{8(6727)-(80)(648)}{8(1018)-(80)^{2}}$

$b=\frac{53816-51840}{8144-6400}$

$b=\frac{1976}{1744}\approx 1.133$

અહીં દશાંશના બે સ્થળ સુધી કિંમત લેતા $b = 1.13$ ગણાશે.

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=81-(1.133\times 10)$

$a=81-11.33=69.67$

૫. નિયતસંબંધ રેખા

$y$ ની $x$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{y}=a+bx$

$\^{y}=69.67+1.13x$

૬. જ્યારે અનુભવ $x = 7$ વર્ષ હોય ત્યારે કાર્ય-કૌશલ્ય આંકનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં $x = 7$ મૂકતા:

$\^{y}=69.67+1.13(7)$

$\^{y}=69.67+7.91=77.58$

(નોંધ: જો ગણતરીમાં $b = 1.1330$ ની વધુ ચોક્કસ કિંમત રાખવામાં આવે, તો જવાબ $69.67 + 7.93 = \mathbf{77.60}$ મળે છે. પરીક્ષામાં બંને ગણતરી સાચી સ્વીકારવામાં આવે છે.)

નિષ્કર્ષ: જ્યારે કોઈ કારીગરનો અનુભવ 7 વર્ષ હોય, ત્યારે તેનો અંદાજિત કાર્ય-કૌશલ્ય આંક 77.60 (અથવા 77.58) થશે.

Show Code

સ્વાધ્યાય 3.2

ખાતરનો વપરાશ (10 કિગ્રા) x	કપાસનો પાક હેક્ટરદીઠ (ક્વિન્ટલ) y
28	128
35	140
25	115
24	120
20	105
25	122
20	100

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી કપાસના પાક (Y) ની ખાતરના વપરાશ (X) પરની નિયતસંબંધ રેખા Ŷ = 54.84 + 2.52X મળશે.

જ્યારે ખાતરનો વપરાશ 300 કિગ્રા થયો હોય, ત્યારે હેક્ટર દીઠ કપાસના પાકનું અંદાજિત ઉત્પાદન 130.44 ક્વિન્ટલ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા n = 7 છે.

ખાતરનો વપરાશ (X) (10 કિગ્રા)	કપાસનો પાક (Y) (ક્વિન્ટલ)	XY	X²
28	128	3584	784
35	140	4900	1225
25	115	2875	625
24	120	2880	576
20	105	2100	400
25	122	3050	625
20	100	2000	400
$\sum X = 177$	$\sum Y = 830$	$\sum XY = 21389$	$\sum X^2 = 4635$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{177}{7} \approx 25.29$

$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{830}{7} \approx 118.57$

૩. નિયતસંબંધાંક (b) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{n\sum X^{2}-(\sum X)^{2}}$

$b=\frac{7(21389)-(177)(830)}{7(4635)-(177)^{2}}$

$b=\frac{149723-146910}{32445-31329}$

$b=\frac{2813}{1116}\approx 2.5206\approx 2.52$

૪. અંતઃખંડ (a) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=118.57-(2.52\times 25.29)$

$a=118.57-63.73=54.84$

(ચોક્કસ અપૂર્ણાંક કિંમત લેતા a = 54.8360 ≈ 54.84 મળે છે.)

૫. નિયતસંબંધ રેખા

Y ની X પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=54.84+2.52X$

૬. જ્યારે ખાતરનો વપરાશ 300 કિગ્રા હોય ત્યારે કપાસના પાકનું અનુમાન

અહીં ખાતરના વપરાશનો એકમ 10 કિગ્રા આપેલો છે.

તેથી, 300 કિગ્રા ખાતર માટે વપરાશની કિંમત $X = \frac{300}{10} = 30$ લેવી પડશે.

નિયતસંબંધ રેખામાં X = 30 મૂકતા:

$\^{Y}=54.84+2.52(30)$

$\^{Y}=54.84+75.6=130.44\text{ ક્વિન્ટલ}$

(જો નિયતસંબંધાંક b = 2.5206 અને a = 54.8360 ની વધુ ચોક્કસ કિંમતો ગણતરીમાં લઈએ, તો જવાબ 130.45 ક્વિન્ટલ જેવો પણ આવી શકે છે. પરીક્ષામાં બંને ગણતરીઓ સાચી ગણાય છે.)

નિષ્કર્ષ: જ્યારે ખાતરનો વપરાશ 300 કિગ્રા થયો હોય, ત્યારે હેક્ટર દીઠ કપાસના પાકનું અનુમાન 130.44 ક્વિન્ટલ થશે.

Show Code

પિતાની ઊંચાઈ (સેમી) x	167	169	171	168	173	166	167	165
પુત્રની ઊંચાઈ (સેમી) $y$	158	170	169	172	170	168	164	167

સાચો જવાબ:

2

પિતા અને પુત્રની ઊંચાઈ વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસવા માટે પિતા અને પુખ્ત વયના પુત્રની આઠ જોડની નીચે આપેલી માહિતી પરથી પુત્રની ઊંચાઈની પિતાની ઊંચાઈ પરની નિયતસંબંધ રેખા મેળવો. જ્યારે કોઈ પિતાની ઊંચાઈ 170 સેમી હોય ત્યારે તેના પુત્રની ઊંચાઈનું અનુમાન કરો.

પિતાની ઊંચાઈ (સેમી) x	167	169	171	168	173	166	167	165
પુત્રની ઊંચાઈ (સેમી) $y$	158	170	169	172	170	168	164	167

સ્થળની ઊંચાઈ (305 મીટર) x	0	1	2	3	4	5	6
અસરકારક ઑક્સિજન (%) $y$	20.9	20.1	19.4	17.9	17.9	17.3	16.6

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી અસરકારક ઑક્સિજનના પ્રમાણ ($Y$) ની સમુદ્રસપાટીથી ઊંચાઈ ($X$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = 20.73 - 0.71X$ મળશે.

જ્યારે કોઈ સ્થળની સમુદ્રસપાટીથી ઊંચાઈ $X = 7$ એકમ હોય, ત્યારે ત્યાં હવામાં અસરકારક ઑક્સિજનની ટકાવારીનો અંદાજ 15.73% થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$ છે.

ઊંચાઈ ($X$)	ઑક્સિજન ($Y$)	$XY$	$X^{2}$
0	20.9	0.0	0
1	20.1	20.1	1
2	19.4	38.8	4
3	17.9	53.7	9
4	17.9	71.6	16
5	17.3	86.5	25
6	16.6	99.6	36
$\sum X = 21$	$\sum Y = 130.1$	$\sum XY = 370.3$	$\sum X^2 = 91$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{21}{7} = 3$

$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{130.1}{7} \approx 18.59$

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{n\sum X^{2}-(\sum X)^{2}}$

$b=\frac{7(370.3)-(21)(130.1)}{7(91)-(21)^{2}}$

$b=\frac{2592.1-2732.1}{637-441}$

$b=\frac{-140}{196}\approx -0.7143\approx -0.71$

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=18.59-(-0.7143\times 3)$

$a=18.59+2.14=20.73$

(ચોક્કસ અપૂર્ણાંક કિંમત લેતા $a = 20.73$ મળે છે.)

૫. નિયતસંબંધ રેખા

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=20.73-0.71X$

૬. જ્યારે ઊંચાઈ $X = 7$ એકમ હોય ત્યારે ઑક્સિજનના પ્રમાણનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં $X = 7$ મૂકતા:

$\^{Y}=20.73-0.7143(7)$

$\^{Y}=20.73-5.00=15.73\%$

(જો દશાંશના બે જ સ્થળ $b = -0.71$ નો ઉપયોગ કરીએ, તો જવાબ $20.73 - 0.71(7) = 20.73 - 4.97 = \mathbf{15.76\%}$ મળે છે. પરીક્ષામાં પદ્ધતિસર બંને ગણતરી સાચી ગણાય છે.)

નિષ્કર્ષ: જ્યારે કોઈ સ્થળની સમુદ્રસપાટીથી ઊંચાઈ 7 એકમ હોય, ત્યારે ત્યાં હવામાં અસરકારક ઑક્સિજનનું અંદાજિત પ્રમાણ 15.73% (અથવા રાઉન્ડિંગ મુજબ 15.76%) થશે.

Show Code

વપરાશની જગ્યા (ચોરસ મીટર) x	55	60	75	80	100	120	140
માસિક ભાડું (₹) y	18,000	19,000	20,000	20,000	25,000	30,000	50,000

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી માસિક ભાડા ($Y$) ની વપરાશની જગ્યા ($X$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = -3495.80 + 327.73X$ મળશે.

જ્યારે ઘરની વપરાશની જગ્યા $X = 110$ ચોરસ મીટર હોય, ત્યારે તેનું અંદાજિત માસિક ભાડું ₹ 32,554.50 (અથવા આશરે ₹ 32,555) થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$ છે.

વપરાશની જગ્યા ($X$)	માસિક ભાડું ($Y$)	$XY$	$X^{2}$
55	18,000	9,90,000	3,025
60	19,000	11,40,000	3,600
75	20,000	15,00,000	5,625
80	20,000	16,00,000	6,400
100	25,000	25,00,000	10,000
120	30,000	36,00,000	14,400
140	50,000	70,00,000	19,600
$\sum X = 630$	$\sum Y = 1,82,000$	$\sum XY = 1,83,30,000$	$\sum X^2 = 62,650$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{630}{7} = 90$

$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{1,82,000}{7} = 26,000$

અહીં બંને મધ્યકો પૂર્ણાંક હોવાથી સીધી પદ્ધતિની ગણતરી ખૂબ સરળ બને છે.

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{n\sum X^{2}-(\sum X)^{2}}$

$b=\frac{7(1,83,30,00,0)-(630)(1,82,000)}{7(62,650)-(630)^{2}}$

$b=\frac{12,83,10,000-11,46,60,000}{4,38,550-3,96,900}$

$b=\frac{1,36,50,000}{41,650}\approx 327.7311\approx 327.73$

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=26,000-(327.7311\times 90)$

$a=26,000-29,495.80=-3495.80$

(અહીં $a$ ની કિંમત ઋણ (-) મળી શકે છે, જે દર્શાવે છે કે આ સુરેખ મૉડેલ ખૂબ નાની કિંમતો માટે મર્યાદિત હોઈ શકે.)

૫. નિયતસંબંધ રેખા

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=-3495.80+327.73X$

૬. જ્યારે વપરાશની જગ્યા $X = 110$ ચોરસ મીટર હોય ત્યારે ભાડાનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં $X = 110$ મૂકતા:

$\^{Y}=-3495.80+327.73(110)$

$\^{Y}=-3495.80+36,050.30$

$\^{Y}=32,554.50\text{ ₹}$

(જો નિયતસંબંધાંક $b$ ની વધુ ચોક્કસ કિંમત રાખવામાં આવે, તો પણ જવાબ ₹ 32,554.62 ની અત્યંત નજીક જ મળે છે.)

નિષ્કર્ષ: જો કોઈ ઘરની વપરાશની જગ્યા 110 ચોરસ મીટર હોય, તો તેનું અંદાજિત માસિક ભાડું ₹ 32,554.50 (અથવા રાઉન્ડ ફિગરમાં ₹ 32,555) થશે.

Show Code

વપરાશની જગ્યા (ચોરસ મીટર) x	55	60	75	80	100	120	140
માસિક ભાડું (₹) y	18,000	19,000	20,000	20,000	25,000	30,000	50,000

વપરાશની જગ્યા ($X$)	માસિક ભાડું ($Y$)	$XY$	$X^{2}$
55	18,000	9,90,000	3,025
60	19,000	11,40,000	3,600
75	20,000	15,00,000	5,625
80	20,000	16,00,000	6,400
100	25,000	25,00,000	10,000
120	30,000	36,00,000	14,400
140	50,000	70,00,000	19,600
$\sum X = 630$	$\sum Y = 1,82,000$	$\sum XY = 1,83,30,000$	$\sum X^2 = 62,650$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{630}{7} = 90$

$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{1,82,000}{7} = 26,000$

ગ્રાહકોની સંખ્યા x	50	70	100	70	150	120
વેચાણ (દસ હજાર ₹) મહત્તમ $y$	2.0	2.0	2.5	1.4	4.0	2.5

વપરાશની જગ્યા ($X$)	માસિક ભાડું ($Y$)	$XY$	$X^{2}$
55	18,000	9,90,000	3,025
60	19,000	11,40,000	3,600
75	20,000	15,00,000	5,625
80	20,000	16,00,000	6,400
100	25,000	25,00,000	10,000
120	30,000	36,00,000	14,400
140	50,000	70,00,000	19,600
$\sum X = 630$	$\sum Y = 1,82,000$	$\sum XY = 1,83,30,000$	$\sum X^2 = 62,650$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{630}{7} = 90$

$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{1,82,000}{7} = 26,000$

સાચો જવાબ: આપેલ વિગતો પરથી વાર્ષિક વહીવટી-ખર્ચ ($Y$) ની વાર્ષિક નફા ($X$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = 13.60 + 0.19X$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

પેઢીઓની સંખ્યા ($n$) = 10

મધ્યક: $\bar{X} = 60$ અને $\bar{Y} = 25$

પ્રમાણિત વિચલન: $s_x = 6$ અને $s_y = 3$

સહવિચરણ: $\text{Cov}(X, Y) = 10.4$

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે સહવિચરણ ($\text{Cov}(X, Y)$) અને પ્રમાણિત વિચલન ($s_{x}$) આપેલા હોય, ત્યારે $b$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{s_{x}^{2}}$

અહીં $s_x = 6$ હોવાથી, વિચરણ $s_x^2 = 6^2 = 36$ થશે.

$b=\frac{10.4}{36}\approx 0.2889\approx 0.29$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=25-(0.2889\times 60)$

$a=25-17.3333=7.6667\approx 7.67$

૪. નિયતસંબંધ રેખા

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=7.67+0.29X$

💡 તમારા માટે ખાસ સુધારો (⚠️ પરીક્ષા માટે ચેતવણી)

તમે ઉપર જે દાખલાની રકમ પૂછી છે, તે ગુજરાત બોર્ડ (GSEB) ધોરણ 12 આંકડાશાસ્ત્ર, ભાગ 1, પ્રકરણ 3 (સુરેખ નિયતસંબંધ) ના સ્વાધ્યાયનો દાખલો છે. પાઠ્યપુસ્તકના ઓરિજિનલ દાખલામાં એક નાની પ્રિન્ટિંગ મિસ્ટેક છે જેને સુધારીને ગણવો જરૂરી છે:

જો રકમમાં સહવિચરણ $\text{Cov}(X,Y) = 10.4$ ના બદલે સહસંબંધાંક $r = 0.4$ હોય (જે બોર્ડની પરીક્ષામાં પૂછાય છે), તો ગણતરી આ મુજબ બદલાશે:

b ની ગણતરી:

$b=r\cdot \frac{s_{y}}{s_{x}}=0.4\cdot \frac{3}{6}=0.4\cdot 0.5=0.2$

a ની ગણતરી:

$a=\={Y}-b\={X}=25-(0.2\times 60)=25-12=13$

સાચી નિયતસંબંધ રેખા:

$\^{Y}=13+0.2X$

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી મકાઈની ઊપજ ($Y$) ની વરસાદ ($X$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = 53.93 + 1.54X$ મળશે.

જ્યારે વરસાદ $X = 60$ સેમી પડે ત્યારે થતી મકાઈની ઊપજનું અનુમાન 146.18 ક્વિન્ટલ પ્રતિ હેક્ટર થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

મધ્યક: $\bar{X} = 82$ અને $\bar{Y} = 180$

વિચરણ: $s_x^2 = 64$ (તેથી પ્રમાણિત વિચલન $s_x = \sqrt{64} = 8$)

વિચરણ: $s_y^2 = 225$ (તેથી પ્રમાણિત વિચલન $s_y = \sqrt{225} = 15$)

સહસંબંધાંક ($r$) = 0.82

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે સહસંબંધાંક ($r$) અને પ્રમાણિત વિચલનો આપેલા હોય, ત્યારે સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=r\cdot \frac{s_{y}}{s_{x}}$

$b=0.82\cdot \frac{15}{8}$

$b=0.82\cdot 1.875=1.5375\approx 1.54$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

જો આપણે $b = 1.5375$ ની ચોક્કસ કિંમત લઈએ:

$a=180-(1.5375\times 82)$

$a=180-126.075=53.925\approx 53.93$

(નોંધ: જો તમે રાઉન્ડ કરેલી કિંમત $b = 1.54$ લો, તો $a = 180 - (1.54 \times 82) = 180 - 126.28 = 53.72$ મળશે. પરીક્ષામાં બંને પદ્ધતિ સાચી ગણાય છે.)

૪. નિયતસંબંધ રેખા

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=53.93+1.54X$

૫. જ્યારે વરસાદ $X = 60$ સેમી હોય ત્યારે મકાઈની ઊપજનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં $X = 60$ મૂકતા:

$\^{Y}=53.93+1.54(60)$

$\^{Y}=53.93+92.4$

$\^{Y}=146.33\text{ ક્વિન્ટલ પ્રતિ હેક્ટર}$

(જો નિયતસંબંધાંક $b = 1.5375$ અને $a = 53.925$ ની વધુ ચોક્કસ કિંમતો ગણતરીમાં રાખીએ, તો જવાબ 146.18 ક્વિન્ટલ પ્રતિ હેક્ટર મળે છે.)

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી પુરવઠા ($Y$) ની ભાવ ($X$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = 8.80 + 1.02X$ મળશે.

જ્યારે ભાવ $X = ₹ 16$ હોય ત્યારે પુરવઠાનું અનુમાન 25.05 (સો એકમો) એટલે કે 2505 એકમો થશે.

नीચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

$n = 10$

$\sum x = 130$

$\sum y = 220$

$\sum x^2 = 2288$

$\sum xy = 3467$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{130}{10} = 13$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{220}{10} = 22$

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{10(3467)-(130)(220)}{10(2288)-(130)^{2}}$

$b=\frac{34670-28600}{22880-16900}$

$b=\frac{6070}{5980}=\frac{607}{598}\approx 1.0151\approx 1.02$

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

જો આપણે $b = 1.0151$ ની કિંમત લઈએ:

$a=22-(1.0151\times 13)$

$a=22-13.1963=8.8037\approx 8.80$

(નોંધ: જો તમે રાઉન્ડ કરેલી કિંમત $b = 1.02$ નો સીધો ઉપયોગ કરો, તો $a = 22 - (1.02 \times 13) = 22 - 13.26 = 8.74$ મળશે. પરીક્ષામાં બંને પદ્ધતિ સાચી સ્વીકારવામાં આવે છે.)

૫. નિયતસંબંધ રેખા

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=8.80+1.02X$

૬. જ્યારે ભાવ $X = ₹ 16$ હોય ત્યારે પુરવઠાનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં $X = 16$ મૂકતા:

$\^{Y}=8.80+1.02(16)$

$\^{Y}=8.80+16.32$

$\^{Y}=25.12\text{\ (સો એકમો)}$

(જો ચોક્કસ કિંમત $b = 1.0151$ અને $a = 8.8037$ નો ઉપયોગ કરીએ, તો જવાબ $8.8037 + 1.0151(16) = \mathbf{25.05}$ સો એકમો મળે છે.)

નિષ્કર્ષ: જ્યારે કાંડા ઘડિયાળની બેટરીનો ભાવ ₹ 16 હોય, ત્યારે તેનો અંદાજિત પુરવઠો 25.05 સો એકમો (અથવા રાઉન્ડિંગ મુજબ 25.12 સો એકમો), એટલે કે આશરે 2505 એકમો થશે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી આઈસક્રીમના વેચાણ ($Y$) ની મહત્તમ તાપમાન ($X$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = -4.8 + 0.15X$ મળશે.

જ્યારે કોઈ દિવસનું મહત્તમ તાપમાન $X = 42$ ડિગ્રી સેલ્સિયસ હોય, ત્યારે તે દિવસે આઈસક્રીમના વેચાણનો અંદાજ 1.5 લાખ ₹ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

દિવસોની સંખ્યા ($n$) = 6

મહત્તમ તાપમાનનો મધ્યક ($\={X}$) = 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસ

આઈસક્રીમના વેચાણનો મધ્યક ($\={Y}$) = 1.2 લાખ ₹

$\sum XY = 306$

તાપમાનનું વિચરણ ($s_{x}^{2}$) = 20

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે $\sum XY$, મધ્યકો અને વિચરણ આપેલા હોય, ત્યારે $b$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=\frac{\sum XY-n\={X}\={Y}}{n\cdot s_{x}^{2}}$

કિંમતો મૂકતા:

$b=\frac{306-6\times 40\times 1.2}{6\times 20}$

$b=\frac{306-288}{120}$

$b=\frac{18}{120}=0.15$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=1.2-(0.15\times 40)$

$a=1.2-6=-4.8$

૪. નિયતસંબંધ રેખા

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=-4.8+0.15X$

૫. જ્યારે મહત્તમ તાપમાન $X = 42$ હોય ત્યારે આઈસક્રીમના વેચાણનો અંદાજ

નિયતસંબંધ રેખામાં $X = 42$ મૂકતા:

$\^{Y}=-4.8+0.15(42)$

$\^{Y}=-4.8+6.3$

$\^{Y}=1.5\text{ લાખ ₹}$

નિષ્કર્ષ: જો કોઈ દિવસનું મહત્તમ તાપમાન 42 ડિગ્રી સેલ્સિયસ હોય, તો તે દિવસે આઈસક્રીમનું અંદાજિત વેચાણ 1.5 લાખ ₹ થશે.

વિભાગ A

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: સહસંબંધ
B: નિયતસંબંધ
C: મધ્યક
D: વિચરણસાચો વિકલ્પ:

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત
B: કાર્લ પિયર્સનની રીત
C: મહત્તમ વર્ગોની રીત
D: બાઉલીની રીત

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: અંતઃખંડ
B: સાપેક્ષ ચલ
C: $X$ ની કિંમતમાં એક એકમનો ફેરફાર કરવાથી $Y$ ની કિંમતમાં થતો અંદાજિત ફેરફાર
D: $Y$ ની કિંમતમાં એક એકમનો ફેરફાર કરવાથી $X$ ની કિંમતમાં થતો અંદાજિત ફેરફાર

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: $b = r \left(\frac{s_y}{s_x}\right)$
B: $b = r \left(\frac{s_x}{s_y}\right)$
C: $b = \frac{\text{Cov}(x, y)}{s_y}$
D: $b = r s_x s_y$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: $(\bar{x}, \bar{y})$
B: $(0, \bar{y})$
C: $(\bar{x}, 0)$
D: $(0, 0)$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: માત્ર ઉગમબિંદુ પરિવર્તનથી
B: માત્ર માપ પરિવર્તનથી
C: ઉગમબિંદુ અને માપ બંને પરિવર્તનથી
D: એક પણ નહીં

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: જાહેરાત-ખર્ચની વેચાણ પરની નિયતસંબંધ રેખા
B: જાહેરાત-ખર્ચની જાહેરાત-ખર્ચ પરની નિયતસંબંધ રેખા
C: વેચાણની જાહેરાત-ખર્ચ પરની નિયતસંબંધ રેખા
D: વેચાણની વેચાણ પરની નિયતસંબંધ રેખા

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: $\hat{y} = a + bx + cx^2$
B: $x = c + by$
C: $\hat{y} = a + bx$
D: $\hat{y} = a + bx^2$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (D)
A: 1
B: -1
C: અસત્ય
D: 0

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: બે પ્રમાણિત વિચલનોનો ગુણાકાર
B: સહસંબંધાંકનો વર્ગ ($r^2$)
C: સહવિચરણનો વર્ગ
D: બે વિચરણોનો ગુણાકાર

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 13
B: 60
C: 70
D: 203

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: $-\frac{2}{3}$
B: $\frac{2}{3}$
C: $-\frac{3}{2}$
D: 2

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 28.5
B: 20
C: 15
D: 45

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: 7.5
B: 1.5
C: 37.5
D: 150

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: 80%
B: 64%
C: 36%
D: 20%

વિભાગ B

સાચો જવાબ: જ્યારે બે સહસંબંધિત ચલો વચ્ચેનો ક્રિયાત્મક કે વિધેયાત્મક સંબંધ કોઈ સુરેખા દ્વારા દર્શાવી શકાતો હોય, ત્યારે તેવા સંબંધને સુરેખ નિયતસંબંધ કહે છે.

સાચો જવાબ: નિરપેક્ષ ચલ $X$ ની કિંમતમાં એક એકમના ફેરફારને કારણે સાપેક્ષ ચલ $Y$ ની કિંમતમાં થતા અંદાજિત કે સરેરાશ ફેરફારના પ્રમાણને નિયતસંબંધાંક ($b$) કહે છે.

સાચો જવાબ: સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલ $y = \alpha + \beta x + u$ છે (જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પ્રચલો છે અને $u$ ત્રુટિ ચલ છે).

સાચો જવાબ: સાપેક્ષ ચલ $Y$ ની વાસ્તવિક કિંમત અને નિયતસંબંધ રેખા પરથી મેળવેલી અનુમાનિત કિંમત ($\hat{y}$) વચ્ચેના તફાવતને ત્રુટિ ($e = y - \hat{y}$) કહે છે.

સાચો જવાબ: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત (Method of Least Squares).

સાચો જવાબ: નિયતસંબંધાંક (b) એ ઊગમબિંદુના પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર છે, પરંતુ માપના પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર નથી.

સાચો જવાબ: નિયતસંબંધાંક એ સ્કેલ માપ (માપના એકમ) ના પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર નથી.

સાચો જવાબ: શૂન્ય ($0$).

સાચો જવાબ: હા.

સાચો જવાબ: $1$ ($b = 0.5 \times \frac{4}{2} = 1$).

સાચો જવાબ: $50$ ($\hat{y} = 31.5 + 1.85 \times 10 = 50$).

સાચો જવાબ: $r = 1$ (સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ).

સાચો જવાબ: : $r = -1$ (સંપૂર્ણ ઋ સહસંબંધ).

વિભાગ C

સાચો જવાબ: નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = a + bx$ માં અચળાંકો $a$ અને $b$ ને નીચે મુજબ ઓળખવામાં આવે છે:

$a$ ને અંતઃખંડ (Intercept) કહે છે:

તે દર્શાવે છે કે જ્યારે સ્વતંત્ર ચલ $x$ ની કિંમત શૂન્ય ($x = 0$) હોય, ત્યારે સાપેક્ષ ચલ $y$ ની અંદાજિત કિંમત કેટલી હશે.

$b$ ને નિયતસંબંધાંક (Regression Coefficient) અથવા રેખાનો ઢાળ (Slope) કહે છે:

તે દર્શાવે છે કે સ્વતંત્ર ચલ $x$ ની કિંમતમાં એક એકમનો ફેરફાર (વધારો/ઘટાડો) કરવાથી સાપેક્ષ ચલ $y$ ની કિંમતમાં કેટલો અંદાજિત ફેરફાર થાય છે.

સાચો જવાબ: નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 23.2 - 1.2x$ માં જ્યારે અવલોકન બિંદુ $(6, 17)$ નો ઉપયોગ થયો હોય, ત્યારે $X = 6$ માટે $Y$ ની અનુમાનિત કિંમતની ત્રુટિ $e = 1$ મળશે.

આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી નીચે મુજબ છે:

૧. આપેલી માહિતી

નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ: $\hat{y} = 23.2 - 1.2x$

આપેલ અવલોકન બિંદુ: $(6, 17)$
- અહીં, વાસ્તવિક કિંમત $X = 6$ અને તેને અનુરૂપ વાસ્તવિક $Y = 17$ છે.

૨. $X = 6$ માટે $Y$ ની અનુમાનિત કિંમત ($\^{y}$) ની ગણતરી

સમીકરણમાં $x = 6$ મૂકતાં:

$\^{y}=23.2-1.2(6)$

$\^{y}=23.2-7.2$

$\^{y}=16$

તેથી, અનુમાનિત કિંમત $\hat{y} = 16$ મળે છે.

૩. ત્રુટિ ($e$) ની ગણતરી

ત્રુટિ શોધવાનું સૂત્ર:

$e=Y-\^{y}$

કિંમતો મૂકતાં:

$e=17-16$

$e=1$

નિષ્કર્ષ: $X = 6$ માટે $Y$ ની અનુમાનિત કિંમતની ત્રુટિ (Error) ૧ થાય છે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી નિયતસંબંધ રેખાનો અંતઃખંડ $a = 2$ મળશે અને નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{y} = 2 + 0.6x$ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

$\bar{x} = 30$

$\bar{y} = 20$

$b = 0.6$

૨. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

અંતઃખંડ શોધવાનું સૂત્ર:

$a=\={y}-b\={x}$

કિંમતો મૂકતાં:

$a=20-(0.6\times 30)$

$a=20-18$

$a=2$

તેથી, અંતઃખંડની કિંમત $a = 2$ મળે છે.

૩. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$a$ અને $b$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતાં:

$\^{y}=2+0.6x$

સાચો જવાબ: જ્યારે નિયતસંબંધાંક $b = 5$ હોય, ત્યારે તેનું આંકડાશાસ્ત્રીય અર્થઘટન નીચે મુજબ થાય છે:

અર્થઘટન:

જો સ્વતંત્ર ચલ $X$ ની કિંમતમાં ૧ એકમનો વધારો કરવામાં આવે, તો તેને અનુરૂપ સાપેક્ષ ચલ $Y$ ની કિંમતમાં સરેરાશ ૫ એકમનો વધારો થશે તેવું અનુમાન મળે છે.

💡 ધ્યાનમાં રાખવા જેવી બાબતો:

અહીં $b$ ની કિંમત ધન ($+$) હોવાથી બંને ચલ વચ્ચે સીધો (ધન) સંબંધ છે, એટલે કે $X$ વધતા $Y$ પણ વધશે.

જો પરીક્ષામાં તમને કોઈ ચોક્કસ એકમો (જેમ કે ભાવ ₹ માં અને માંગ ક્વિન્ટલમાં) આપેલા હોય, તો અર્થઘટન કરતી વખતે તે એકમોનો ઉલ્લેખ કરવો ફરજિયાત છે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $Y$ નું પ્રમાણિત વિચલન $s_y = 3$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

નિયતસંબંધાંક ($b$) = $1.5$

સહસંબંધાંક ($r$) = $0.8$

$X$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_{x}$) = $1.6$

૨. ગણતરી

જ્યારે $b$, $r$, અને $s_{x}$ આપેલા હોય ત્યારે $Y$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_{y}$) શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=r\cdot \left(\frac{s_{y}}{s_{x}}\right)$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$1.5=0.8\cdot \left(\frac{s_{y}}{1.6}\right)$

હવે $s_{y}$ ને કર્તા બનાવવા માટે પદોની અદલાબદલી કરતાં:

$1.5=\frac{0.8}{1.6}\cdot s_{y}$

$1.5=0.5\cdot s_{y}$

$s_{y}=\frac{1.5}{0.5}$

$s_{y}=3$

નિષ્કર્ષ: સાપેક્ષ ચલ $Y$ નું પ્રમાણિત વિચલન ૩ થશે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી નિશ્ચાયકતાનો આંક $R^2 = 1$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

નિયતસંબંધાંક ($b$) = $0.6$

$X$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_{x}$) = $5$

$Y$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_{y}$) = $3$

૨. સહસંબંધાંક ($r$) ની ગણતરી

નિયતસંબંધાંક $b$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=r\cdot \left(\frac{s_{y}}{s_{x}}\right)$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$0.6=r\cdot \left(\frac{3}{5}\right)$

$0.6=r\cdot (0.6)$

$r=\frac{0.6}{0.6}=1$

તેથી, સહસંબંધાંક $r = 1$ મળે છે.

૩. નિશ્ચાયકતાનો આંક ($R^{2}$) ની ગણતરી

નિશ્ચાયકતાનો આંક એટલે કે સહસંબંધાંકનો વર્ગ ($r^{2}$):

$R^{2}=r^{2}$

$R^{2}=(1)^{2}=1$

નિષ્કર્ષ: નિશ્ચાયકતાનો આંક ૧ થશે. (જે દર્શાવે છે કે બે ચલ વચ્ચે સંપૂર્ણ ધન સુરેખ સહસંબંધ છે અને નિયતસંબંધ મૉડેલ સંપૂર્ણપણે વિશ્વસનીય છે.)

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $X$ નું પ્રમાણિત વિચલન $s_x = 5$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ: $\hat{y} = 35 + 2x$

અહીં રેખાના ઢાળ પરથી નિયતસંબંધાંક $b = 2$ મળે છે.

સહવિચરણ: $\text{Cov}(x, y) = 50$

૨. ગણતરી

જ્યારે નિયતસંબંધાંક ($b$) અને સહવિચરણ ($\text{Cov}(x, y)$) આપેલા હોય, ત્યારે $X$ નું વિચરણ ($s_{x}^{2}$) શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=\frac{\text{Cov}(x,y)}{s_{x}^{2}}$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$2=\frac{50}{s_{x}^{2}}$

હવે $s_{x}^{2}$ ને કર્તા બનાવતાં:

$s_{x}^{2}=\frac{50}{2}$

$s_{x}^{2}=25$

આમ, $X$ નું વિચરણ $25$ મળે છે.

૩. $X$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_{x}$)

વિચરણનું વર્ગમૂળ લેતાં:

$s_{x}=\sqrt{25}$

$s_{x}=5$

નિષ્કર્ષ: ચલ $X$ નું પ્રમાણિત વિચલન ૫ થશે.

સાચો જવાબ: અગાઉના પ્રશ્નની નિયતસંબંધ રેખા ŷ = 35 + 2x માં જો સાપેક્ષ ચલ Y ની કિંમતમાં ૧૦ એકમોનો વધારો કરવો હોય, તો સ્વતંત્ર ચલ X ની કિંમતમાં ૫ એકમોનો વધારો કરવો પડે.

આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી નીચે મુજબ છે:

૧. નિયતસંબંધાંક (b) નું અર્થઘટન

અહીં સમીકરણ પરથી નિયતસંબંધાંક b = 2 છે.

આ કિંમત દર્શાવે છે કે:

જો X ની કિંમતમાં ૧ એકમનો વધારો થાય, તો Y ની કિંમતમાં ૨ એકમનો વધારો થાય છે.

૨. જરૂરી ફેરફારની ગણતરી

આપણે સાપેક્ષ ચલ Y ની કિંમતમાં ૧૦ એકમોનો વધારો (Δ Y = 10) કરવો છે.

તેના માટે X માં કરવો પડતો ફેરફાર (Δ X) શોધવા માટેનું પદ નીચે મુજબ બને:

$\Delta X=\frac{\Delta Y}{b}$

કિંમતો મૂકતાં:

$\Delta X=\frac{10}{2}=5$

નિષ્કર્ષ: ચલ Y ની કિંમતમાં ૧૦ એકમનો વધારો કરવા માટે ચલ X ની કિંમતમાં ૫ એકમોનો વધારો કરવો પડશે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા માટે $b = 1.2$ અને અંતઃખંડ $a = 13$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતીનું વિશ્લેષણ

અહીં મધ્યકો $\bar{x} = 10$ અને $\bar{y} = 25$ આપેલા છે. આથી આપેલા પદોને નીચે મુજબ સમજી શકાય:

$\sum (x - 10)(y - 25) = \sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 120$

$\sum (x - 10)^2 = \sum (x - \bar{x})^2 = 100$

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે મધ્યકમાંથી લીધેલા વિચલનોના ગુણાકારનો સરવાળો આપેલ હોય ત્યારે $b$ શોધવાનું સૂત્ર:

$b=\frac{\sum (x-\={x})(y-\={y})}{\sum (x-\={x})^{2}}$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$b=\frac{120}{100}=1.2$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

અંતઃખંડ શોધવાનું સૂત્ર:

$a=\={y}-b\={x}$

કિંમતો મૂકતાં:

$a=25-(1.2\times 10)$

$a=25-12=13$

નિષ્કર્ષ:

નિયતસંબંધાંકની કિંમત $b = 1.2$ અને અંતઃખંડની કિંમત $a = 13$ થશે. (આ પરથી નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{y} = 13 + 1.2x$ બને.)

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $b_{yx}$ ની કિંમત $2.25$ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલ માહિતી

$b_{uv} = 0.75$

$u = 6(x - 20) \implies u = \frac{x - 20}{1/6}$ (અહીં ઉગમબિંદુ પરિવર્તન $A = 20$ અને સ્કેલ પરિવર્તન $c_x = \frac{1}{6}$ છે.)

$v = 2(y - 15) \implies v = \frac{y - 15}{1/2}$ (અહીં ઉગમબિંદુ પરિવર્તન $B = 15$ અને સ્કેલ પરિવર્તન $c_y = \frac{1}{2}$ છે.)

૨. નિયતસંબંધાંક પર સ્કેલ પરિવર્તનની અસરનું સૂત્ર

નિયતસંબંધાંક ઉગમબિંદુ પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર છે પરંતુ સ્કેલ પરિવર્તનથી મુક્ત નથી. તે માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b_{yx}=b_{vu}\cdot \left(\frac{c_{y}}{c_{x}}\right)$

(નોંધ: પ્રશ્નમાં $b_{uv}$ લખેલ છે, પરંતુ સામાન્ય ગાણિતિક ભાષા અને સુરેખ મૉડેલ અનુસાર $u$ પરથી $v$ ના પરિવર્તનમાં ઢાળ $b_{vu}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.)

૩. કિંમતો મૂકીને ગણતરી

સૂત્રમાં આપણી પાસેની કિંમતો મૂકતાં:

$b_{yx}=0.75\cdot \left(\frac{1/2}{1/6}\right)$

અપૂર્ણાંકના ભાગાકારને સરળ કરતાં:

$\frac{1/2}{1/6}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=3$

હવે, આ કિંમતને ગુણાકારમાં મૂકતાં:

$b_{yx}=0.75\times 3$

$b_{yx}=2.25$

નિષ્કર્ષ: મૂળ ચલ માટેના નિયતસંબંધાંક $b_{yx}$ ની કિંમત ૨.૨૫ થશે.

વિભાગ D

સાચો જવાબ: ૧. વિધાનની સમજૂતી: "બે ચલ વચ્ચે કાર્ય-કારણનો સંબંધ છે"

જ્યારે બે સહસંબંધિત ચલોમાંથી એક ચલની કિંમતમાં થતા ફેરફારને કારણે બીજા ચલની કિંમતમાં ફેરફાર થતો હોય, ત્યારે તે બે ચલ વચ્ચે કાર્ય-કારણનો સંબંધ છે તેમ કહેવાય.

આ સંબંધમાં એક ચલ 'કારણ' (Reason) સ્વરૂપ હોય છે અને બીજો ચલ તેની 'અસર' કે 'કાર્ય' (Effect) સ્વરૂપ હોય છે.

નિયતસંબંધના અભ્યાસમાં ચલો વચ્ચે કાર્ય-કારણનો સંબંધ હોવો એ પૂર્વશરત છે. જો આવો સંબંધ ન હોય, તો નિયતસંબંધાંક મેળવવો અર્થહીન બને છે.

💡 યોગ્ય ઉદાહરણો:

ઉદાહરણ ૧ (વરસાદ અને પાકનું ઉત્પાદન): જો કોઈ વિસ્તારમાં સરેરાશ વરસાદ વધે, તો પાકનું ઉત્પાદન પણ વધે છે. અહીં વરસાદ એ 'કારણ' છે અને પાકનું ઉત્પાદન એ તેની 'અસર' કે 'કાર્ય' છે.

ઉદાહરણ ૨ (જાહેરાત ખર્ચ અને વેચાણ): કંપની પોતાના ઉત્પાદનની જાહેરાત પાછળ વધુ ખર્ચ કરે તો તેનું વેચાણ વધે છે. અહીં જાહેરાત ખર્ચ એ 'કારણ' છે અને વેચાણ એ તેની 'અસર' છે.

ઉદાહરણ ૩ (ભાવ અને માંગ): સામાન્ય સંજોગોમાં વસ્તુનો ભાવ વધે ત્યારે તેની માંગ ઘટે છે. અહીં ભાવ એ 'કારણ' છે અને માગ એ તેની 'અસર' છે.

૨. નિરપેક્ષ ચલ અને સાપેક્ષ ચલની વ્યાખ્યા

કાર્ય-કારણના સંબંધથી જોડાયેલા બે ચલોને આંકડાશાસ્ત્રમાં નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

🔹 નિરપેક્ષ ચલ (Independent Variable)

વ્યાખ્યા: કાર્ય-કારણના સંબંધવાળા બે ચલો પૈકી જે ચલ કારણ સ્વરૂપ છે, તેને નિરપેક્ષ (અથવા સ્વતંત્ર) ચલ કહે છે.

સંકેત: તેને સામાન્ય રીતે $X$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

લાક્ષણિકતા: આ ચલની કિંમતમાં ફેરફાર થવાને કારણે બીજા ચલમાં ફેરફાર થાય છે. પ્રયોગકર્તા આ ચલની કિંમત પોતાની મેળે ધારી કે નક્કી કરી શકે છે.

🔹 સાપેક્ષ ચલ (Dependent Variable)

વ્યાખ્યા: કાર્ય-કારણના સંબંધવાળા બે ચલો પૈકી જે ચલ અસર કે કાર્ય સ્વરૂપ છે (એટલે કે જેની કિંમત નિરપેક્ષ ચલ પર આધાર રાખે છે), તેને સાપેક્ષ (અથવા આધારિત) ચલ કહે છે.

સંકેત: તેને સામાન્ય રીતે $Y$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

લાક્ષણિકતા: નિરપેક્ષ ચલ $X$ ની કિંમતમાં ફેરફાર થવાથી આ ચલ $Y$ ની કિંમતમાં ફેરફાર થાય છે. નિયતસંબંધ રેખા દ્વારા આપણે આ જ ચલની કિંમતોનું અંદાજીકરણ કરીએ છીએ.

સાચો જવાબ: ૧. વિકીર્ણ આકૃતિની રીતની સમજૂતી

આ રીત બે ચલ વચ્ચે સુરેખ નિયતસંબંધ રેખા મેળવવા માટેની ભૌમિતિક અથવા આલેખની રીત છે.

બિંદુઓનું આલેખન: સૌપ્રથમ આપેલા અવલોકનો $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ ને આલેખપત્ર પર યોગ્ય પ્રમાણમાપ લઈને બિંદુઓ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. આ બિંદુઓના સમૂહને 'વિકીર્ણ આકૃતિ' કહે છે.

રેખાનું અન્વાયોજન (દોરવું): આકૃતિના બધા જ બિંદુઓની વધુમાં વધુ નજીકથી પસાર થતી હોય તેવી એક સીધી રેખા હાથથી (મુક્ત હસ્તે - Free hand) દોરવામાં આવે છે. આ દોરેલી રેખાને ‘અન્વાયોજિત નિયતસંબંધ રેખા’ કહેવાય છે.

અનુમાન મેળવવું: જો કોઈ આપેલ નિરપેક્ષ ચલ $X$ ની કિંમત માટે સાપેક્ષ ચલ $Y$ નું અનુમાન મેળવવું હોય, તો આલેખ પર $X$-અક્ષ પરના તે બિંદુ પરથી લંબ દોરીને રેખાને જ્યાં છેદે ત્યાંથી $Y$-અક્ષ પર કિંમત વાંચી લેવામાં આવે છે.

🌟 આ રીતના ફાયદા:

આ રીત સમજવામાં અને ગણવામાં ખૂબ જ સરળ છે.

આમાં કોઈ જટિલ ગાણિતિક ગણતરીઓ કરવી પડતી નથી.

ચલો વચ્ચે કેવા પ્રકારનો સંબંધ છે (સુરેખ છે કે નહીં) તેનો પ્રાથમિક ખ્યાલ આકૃતિ જોઈને તરત જ આવી જાય છે.

૨. વિકીર્ણ આકૃતિની રીતની મર્યાદાઓ (Limitations)

સરળ હોવા છતાં, વ્યવહારમાં આ રીતનો ઉપયોગ મર્યાદિત છે કારણ કે તેની કેટલીક ગંભીર મર્યાદાઓ છે:

વ્યક્તિલક્ષીતા (Subjectivity): આ રીતની સૌથી મોટી મર્યાદા એ છે કે તેમાં રેખા કોઈ ગાણિતિક સૂત્રથી નહીં પણ હાથથી અંદાજે દોરવામાં આવે છે. આથી, જુદી-જુદી વ્યક્તિઓ એક જ માહિતી માટે આલેખ દોરે, તો દરેકની રેખા થોડી અલગ-અલગ આવી શકે છે.

અનન્ય (Unique) રેખાનો અભાવ: આ રીત દ્વારા બે વ્યક્તિ ક્યારેય એક સરખી (અનન્ય) રેખા મેળવી શકતી નથી, જેના કારણે તેના દ્વારા મળતા અનુમાનો પણ બદલાઈ શકે છે.

અચોક્કસ અનુમાનો: રેખા દોરવામાં સહેજ પણ ભૂલ થાય તો તેના પરથી મેળવેલા સાપેક્ષ ચલ $Y$ ના અનુમાનો ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ સંપૂર્ણ ચોક્કસ કે વિશ્વાસપાત્ર હોતા નથી.

ત્રુટિની ગણતરી અશક્ય: આ રીતમાં અનુમાનિત રેખા સંપૂર્ણ ગાણિતિક ન હોવાથી, અનુમાનમાં રહેલી ત્રુટિ (Error $e = Y - \hat{Y}$) નું ચોક્કસ માપ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધી શકાતું નથી.

નિષ્કર્ષ: આ જ મર્યાદાઓને કારણે, પરીક્ષામાં કે વાસ્તવિક સંશોધનોમાં વિકીર્ણ આકૃતિની રીતના બદલે 'ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત' (Method of Least Squares) નો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક રીતે શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજિત રેખા મેળવવામાં આવે છે.

સાચો જવાબ: ૧. પાયાનો સિદ્ધાંત (ત્રુટિ ઘટાડવી)

જ્યારે આપેલા બિંદુઓ $(x, y)$ માટે આપણે કોઈ અંદાજિત સુરેખ સમીકરણ $\hat{y} = a + bx$ વિચારીએ, ત્યારે વાસ્તવિક કિંમત ($y$) અને અનુમાનિત કિંમત ($\^{y}$) વચ્ચે થોડો તફાવત રહી જાય છે. આ તફાવતને ત્રુટિ (Error - $e$) કહે છે.

$e=y-\^{y}$

આ રીતનો મુખ્ય હેતુ બધી જ ત્રુટિઓના વર્ગોનો સરવાળો એટલે કે $\sum e^2 = \sum (y - \hat{y})^2$ ન્યૂનતમ (ઓછામાં ઓછો) કરવાનો છે.

આથી જ આ પદ્ધતિને 'ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત' કહેવામાં આવે છે અને આ રીતે મળતી રેખાને 'શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજિત રેખા' કહે છે.

૨. અચળાંકો મેળવવાની પ્રક્રિયા

ત્રુટિઓના વર્ગોનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય તે માટે કલનશાસ્ત્ર (Calculus) ના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને બે અચળાંકો—નિયતસંબંધાંક ($b$) અને અંતઃખંડ ($a$)—ની ચોક્કસ ગાણિતિક કિંમતો નીચે મુજબ મેળવવામાં આવે છે:

🔹 સ્ટેપ ૧: મધ્યકોની ગણતરી

સૌપ્રથમ બંને ચલના મધ્યકો શોધવામાં આવે છે:

$\={x}=\frac{\sum x}{n}\quad \text{અને}\quad \={y}=\frac{\sum y}{n}$

🔹 સ્ટેપ ૨: નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

માહિતીના પ્રકાર આધારે $b$ શોધવા માટે નીચેનામાંથી કોઈ એક મુખ્ય ગાણિતિક સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

જો મધ્યકો પૂર્ણાંક (Integer) હોય ત્યારે:

$b=\frac{\sum (x-\={x})(y-\={y})}{\sum (x-\={x})^{2}}$

જો મધ્યકો અપૂર્ણાંક (Decimal) હોય અને કિંમતો નાની હોય ત્યારે (સીધી રીત):

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

જો કિંમતો ખૂબ મોટી હોય ત્યારે (ધારેલા મધ્યક - $u, v$ ની રીત):

$b=\frac{n\sum uv-(\sum u)(\sum v)}{n\sum u^{2}-(\sum u)^{2}}$

🔹 સ્ટેપ ૩: અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$b$ ની કિંમત મળ્યા પછી, અંતઃખંડ $a$ નીચેના સૂત્રથી મેળવાય છે:

$a=\={y}-b\={x}$

🔹 સ્ટેપ ૪: નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

અંતે, મેળવેલા અચળાંકો $a$ અને $b$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકીને અંતિમ રેખા મેળવવામાં આવે છે:

$\^{y}=a+bx$

🌟 આ રીતના મુખ્ય ફાયદા

ગાણિતિક ચોકસાઈ: આ રીત સંપૂર્ણપણે ગાણિતિક હોવાથી તેનાથી મળતી રેખા અનન્ય (Unique) હોય છે. એટલે કે, ગમે તે વ્યક્તિ ગણતરી કરે, જવાબ હંમેશાં એક સરખો જ આવે છે.

વ્યક્તિલક્ષીતાનો અભાવ: વિકીર્ણ આકૃતિની જેમ આમાં કોઈ અંદાજો લગાવવાના હોતા નથી, તેથી આ પદ્ધતિ પૂર્વગ્રહમુક્ત છે.

વિશ્વસનીય અનુમાન: આ રેખા દ્વારા સ્વતંત્ર ચલ $X$ ની કોઈપણ આપેલી કિંમત માટે સાપેક્ષ ચલ $Y$ નું અત્યંત સચોટ અને વિશ્વસનીય અનુમાન લગાવી શકાય છે.

સાચો જવાબ: સુરેખ નિયતસંબંધ એ આંકડાશાસ્ત્રનું એક અત્યંત મહત્વનું અને વ્યવહારિક સાધન છે. અર્થશાસ્ત્ર, વેપાર-ઉદ્યોગ, સામાજિક વિજ્ઞાન અને તબીબી ક્ષેત્રે ભવિષ્યના આયોજન માટે તેનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે.

નિયતસંબંધની મુખ્ય ઉપયોગિતાઓ (Uses of Regression) નીચે મુજબ છે:

૧. સાપેક્ષ ચલનું અંદાજીકરણ (Estimation):

નિયતસંબંધનો મુખ્ય ઉપયોગ નિરપેક્ષ ચલ (X) ની કોઈ જ્ઞાત અથવા ભવિષ્યની કિંમત માટે તેને અનુરૂપ સાપેક્ષ ચલ (Y) ની કિંમતનું ચોક્કસ અનુમાન મેળવવા માટે થાય છે. (દા.ત., જો જાહેરાત ખર્ચ ₹ ૧૦ લાખ કરવામાં આવે, તો વેચાણ કેટલું થશે તેનું અગાઉથી અનુમાન કરી શકાય છે.)

૨. કાર્ય-કારણના સંબંધનું સ્વરૂપ જાણવા:

તેના દ્વારા બે ચલ વચ્ચે કેવા પ્રકારનો ગાણિતિક સંબંધ છે તે જાણી શકાય છે. વળી, એક ચલમાં ફેરફાર કરવાથી બીજા ચલ પર તેની કેટલી અને કેવી અસર થાય છે તેનું ચોક્કસ માપ મળે છે.

૩. આર્થિક અને વ્યાપારિક આયોજનમાં:

ધંધાકીય એકમો કે સરકાર પોતાની ભવિષ્યની નીતિઓ ઘડવા માટે નિયતસંબંધનો ઉપયોગ કરે છે. જેમ કે, ભવિષ્યની માંગ, પુરવઠો, નફો, ઉત્પાદન ખર્ચ કે રાષ્ટ્રીય આવકના અંદાજો મેળવીને તે મુજબ આયોજન કરી શકાય છે.

૪. ત્રુટિ (ભૂલ) નું માપ જાણવા:

નિયતસંબંધ મૉડેલ દ્વારા મેળવેલા અનુમાનો કેટલા સાચા છે અને તેમાં કેટલી ભૂલ (ત્રુટિ e = Y - Ŷ) રહી ગઈ છે, તે ગાણિતિક રીતે જાણી શકાય છે.

૫. મૉડેલની વિશ્વસનીયતા ચકાસવા:

નિશ્ચાયકતાના આંક (R²) ની મદદથી નિયતસંબંધ રેખા દ્વારા મેળવેલા અનુમાનો કેટલા વિશ્વસનીય અને સ્વીકાર્ય છે તેની ખાતરી કરી શકાય છે.

સાચો જવાબ: સુરેખ નિયતસંબંધના અભ્યાસમાં નિયતસંબંધાંક (b) ના ગુણધર્મો ખૂબ જ મહત્વના છે. નીચે નિયતસંબંધાંકના મુખ્ય ગુણધર્મો અને નિયતસંબંધ રેખા કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે તેની વિગતવાર માહિતી આપેલી છે:

🎯 નિયતસંબંધ રેખાનું પસાર થતું બિંદુ

ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતે મેળવેલી સુરેખ નિયતસંબંધ રેખા હંમેશાં બંને ચલના મધ્યકોથી બનતા બિંદુ એટલે કે (x̄, ȳ) માંથી જ પસાર થાય છે.

📊 નિયતસંબંધાંક (b) ના મુખ્ય ગુણધર્મો (Properties of Regression Coefficient)

૧. સહસંબંધાંક અને નિયતસંબંધાંકના ચિહ્નો સમાન હોય છે:

સહસંબંધાંક (r) અને નિયતસંબંધાંક ($b_{yx}$) ના ચિહ્નો હંમેશાં એકસરખા જ હોય છે. જો r ધન (+) હોય, તો b પણ ધન જ મળે અને જો r ઋણ (-) હોય, તો b પણ ઋણ જ મળે.

૨. ઉગમબિંદુ પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર છે, પરંતુ સ્કેલ પરિવર્તનથી નથી:

નિયતસંબંધાંકની કિંમતમાં ચલ X કે Y માં કોઈ સંખ્યા પ્લસ (+) કે માઇનસ (-) કરવાથી કોઈ ફેરફાર થતો નથી (તે ઉગમબિંદુ પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર છે). પરંતુ જો ચલની કિંમતને કોઈ સંખ્યા વડે ગુણવામાં કે ભાગવામાં આવે (સ્કેલ પરિવર્તન), તો નિયતસંબંધાંકની કિંમત બદલાય છે.

$b_{yx}=b_{vu}\cdot \left(\frac{c_{y}}{c_{x}}\right)$

૩. સહસંબંધાંક સાથેનો ગાણિતિક સંબંધ:

નિયતસંબંધાંક એ સહસંબંધાંક અને બંને ચલના પ્રમાણિત વિચલનોના ગુણોત્તરના ગુણાકાર બરાબર હોય છે:

$b=r\cdot \frac{s_{y}}{s_{x}}$

૪. ગુણોત્તર મધ્યકનો ગુણધર્મ:

જો બંને નિયતસંબંધાંક ($b_{yx}$ અને $b_{xy}$) ધ્યાનમાં લેવામાં આવે, તો સહસંબંધાંક (r) એ આ બંને નિયતસંબંધાંકોનો ગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean) થાય છે:

$r=\pm \sqrt{b_{yx}\cdot b_{xy}}$

૫. અર્થઘટનનો ગુણધર્મ:

તે સાપેક્ષ ચલના ફેરફારનું દર દર્શાવે છે. એટલે કે, નિરપેક્ષ ચલ X ની કિંમતમાં એક એકમનો વધારો કરવાથી સાપેક્ષ ચલ Y ની કિંમતમાં થતો અંદાજિત સરેરાશ ફેરફાર b જેટલો હોય છે.

સાચો જવાબ: નિશ્ચાયકતાનો આંક (Coefficient of Determination) એ સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલની વિશ્વસનીયતા (reliability) અને ચોકસાઈ માપવા માટેનું એક અત્યંત મહત્વનું સાધન છે. તેને સંકેતમાં $R^{2}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

નીચે તેની વ્યાખ્યા, સૂત્ર અને અર્થઘટનની વિગતવાર સમજૂતી આપેલી છે:

૧. વ્યાખ્યા (Definition)

નિરપેક્ષ ચલ $X$ અને સાપેક્ષ ચલ $Y$ વચ્ચેના સહસંબંધાંક ($r$) ના વર્ગને નિશ્ચાયકતાનો આંક ($R^{2}$) કહે છે.

$R^{2}=r^{2}$

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સાપેક્ષ ચલ $Y$ માં થતા કુલ ફેરફારોમાંથી કેટલા ટકા ફેરફારો નિયતસંબંધ રેખા દ્વારા (એટલે કે ચલ $X$ ના કારણે) સમજાવી શકાય છે, તે માપતા આંકને નિશ્ચાયકતાનો આંક કહે છે.

૨. સૂત્ર (Formula)

$R^{2}=[r(X,Y)]^{2}$

જ્યાં, $r$ એ ચલ $X$ અને ચલ $Y$ વચ્ચેનો કાર્લ પિયર્સનનો સહસંબંધાંક છે.

ગણતરી કરતી વખતે, તમે જે રીતે સહસંબંધાંક ($r$) શોધો છો, બસ તે જ કિંમતનો વર્ગ કરવાથી $R^{2}$ મળી જાય છે.

૩. સીમાઓ (Range)

નિશ્ચાયકતાના આંકની કિંમત હંમેશાં ૦ અને ૧ ની વચ્ચે અથવા તેના જેટલી જ હોય છે.

$0\le R^{2}\le 1$

૪. મોસ્ટ આઈએમપી (IMP): નિયતસંબંધ મૉડેલની વિશ્વસનીયતાનું અર્થઘટન

બોર્ડની પરીક્ષામાં $R^{2}$ ની કિંમત પરથી મૉડેલની વિશ્વસનીયતા ચકાસવાના પ્રશ્નો વારંવાર પૂછાય છે. તેનું અર્થઘટન મુખ્યત્વે બે પરિણામો પર આધારિત છે:

🔹 કિસ્સો ૧: જો $R^2 = 1$ (અથવા ૧ ની ખૂબ નજીક જેમ કે 0.95, 0.98) હોય તો:

અર્થઘટન: બે ચલ $X$ અને $Y$ વચ્ચે સંપૂર્ણ સુરેખ સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.

વિશ્વસનીયતા: આ સ્થિતિમાં સુરેખ નિયતસંબંધની ધારણા સંપૂર્ણ સાચી અને યોગ્ય છે. આ રેખા દ્વારા મેળવેલા સાપેક્ષ ચલ $Y$ ના તમામ અનુમાનો ૧૦૦% ચોક્કસ અને અત્યંત વિશ્વસનીય ગણાય છે.

🔹 કિસ્સો ૨: જો $R^2 = 0$ (અથવા ૦ ની ખૂબ નજીક જેમ કે 0.02, 0.05) હોય તો:

અર્થઘટન: બે ચલ $X$ અને $Y$ વચ્ચે સુરેખ સહસંબંધનો અભાવ છે (એટલે કે તેમની વચ્ચે કોઈ સુરેખ સંબંધ નથી).

વિશ્વસનીયતા: આ સ્થિતિમાં સુરેખ નિયતસંબંધની ધારણા યોગ્ય નથી. આ રેખા દ્વારા મેળવેલા અનુમાનો બિલકુલ સાચા પડતા નથી અને મૉડેલ અવિશ્વસનીય ગણાય છે.

સાચો જવાબ: સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા અનુમાનો ત્યારે જ સાચા અને ઉપયોગી નીવડે છે જ્યારે તેનો ઉપયોગ ખૂબ જ સમજદારીપૂર્વક કરવામાં આવે. જો ગણતરી કે અર્થઘટનમાં ભૂલ થાય, તો તેના આધારે લીધેલા નિર્ણયો ખોટા સાબિત થઈ શકે છે.

નિયતસંબંધના ઉપયોગમાં મુખ્યત્વે નીચે મુજબની સાવચેતીઓ રાખવી જોઈએ:

૧. કાર્ય-કારણના સંબંધની ખાતરી:

નિયતસંબંધ રેખા મેળવતા પહેલાં એ બાબતની ચોક્કસ ખાતરી કરી લેવી જોઈએ કે બંને ચલ વચ્ચે વાસ્તવમાં કાર્ય-કારણનો સંબંધ છે કે નહીં. જો બે ચલ વચ્ચે કોઈ તાર્કિક સંબંધ ન હોય અને માત્ર આકસ્મિક રીતે તેમની વચ્ચે સહસંબંધ દેખાતો હોય (જેને ભ્રામક સહસંબંધ કહેવાય), તો તેના પરથી મેળવેલી નિયતસંબંધ રેખા અર્થહીન બને છે.

૨. સુરેખ સંબંધની ધારણાની ચકાસણી:

નિયતસંબંધ રેખા દોરતા પહેલાં વિકીર્ણ આકૃતિ અથવા નિશ્ચાયકતાના આંક (R²) ની મદદથી એ ચકાસી લેવું જોઈએ કે બંને ચલ વચ્ચેનો સંબંધ સુરેખ (સીધી રેખા જેવો) છે કે નહીં. જો બે ચલ વચ્ચેનો સંબંધ વક્રરેખીય (Curvilinear) હોય અને આપણે સુરેખ નિયતસંબંધ રેખાનો ઉપયોગ કરીએ, તો મળતા અનુમાનો તદ્દન ખોટા પડશે.

૩. મૉડેલની વિશ્વસનીયતાની ચકાસણી (R² નો ઉપયોગ):

નિયતસંબંધ રેખા દ્વારા અનુમાન મેળવતા પહેલાં હંમેશાં નિશ્ચાયકતાનો આંક (R²) શોધવો જોઈએ. જો R² ની કિંમત ૦ ની નજીક હોય, તો તે રેખા દ્વારા ક્યારેય અનુમાન મેળવવું જોઈએ નહીં, કારણ કે તે મૉડેલ અવિશ્વસનીય ગણાય છે.

૪. બહિર્વેશન (Extrapolation) માં સાવચેતી:

આ સૌથી મહત્વની સાવચેતી છે. નિયતસંબંધ રેખાનો ઉપયોગ મૂળ માહિતીમાં આપેલા X ના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યોની રેન્જ (મર્યાદા) ની બહારની કિંમતો માટે અનુમાન કરવા માટે સામાન્ય રીતે ન કરવો જોઈએ. જો આપણે ખૂબ જ મોટી કે ખૂબ નાની કિંમતનું અનુમાન કરીએ (જેને બહિર્વેશન કહે છે), તો તે કિંમતે સમય જતાં ચલોનું વલણ બદલાઈ જવાને કારણે અનુમાન ખોટું પડી શકે છે.

૫. પરિસ્થિતિમાં ફેરફાર:

નિયતસંબંધ રેખા ભૂતકાળની કે વર્તમાન સમયની માહિતી પર આધારિત હોય છે. જો ભવિષ્યમાં કોઈ આકસ્મિક પરિસ્થિતિ, સરકારી નીતિ કે કુદરતી આફત આવે, તો જૂના મૉડેલના આધારે કરેલા ભવિષ્યના અનુમાનો સાચા પડતા નથી.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 4 + 0.75x$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

$\sum(x - \bar{x})^2 = 80$

$\sum(x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 60$

$\bar{x} = 8$

$\bar{y} = 10$

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે મધ્યકમાંથી લીધેલા વિચલનોના વર્ગો અને તેમના ગુણાકારનો સરવાળો આપેલ હોય, ત્યારે $b$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=\frac{\sum (x-\={x})(y-\={y})}{\sum (x-\={x})^{2}}$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$b=\frac{60}{80}=0.75$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

અંતઃખંડ શોધવાનું સૂત્ર:

$a=\={y}-b\={x}$

કિંમતો મૂકતાં:

$a=10-(0.75\times 8)$

$a=10-6=4$

૪. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$a$ અને $b$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતાં:

$\^{y}=4+0.75x$

નિષ્કર્ષ: માંગેલી નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{y} = 4 + 0.75x$ છે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = -10 + 2x$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

$\bar{x} = 30$

$\bar{y} = 50$

સહસંબંધાંક ($r$) = $0.8$

$X$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_{x}$) = $2$

$Y$ નું પ્રમાણિત વિચલન ($s_{y}$) = $5$

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે સહસંબંધાંક ($r$) અને બંને પ્રમાણિત વિચલનો આપેલા હોય, ત્યારે $b$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=r\cdot \left(\frac{s_{y}}{s_{x}}\right)$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$b=0.8\cdot \left(\frac{5}{2}\right)$

$b=0.8\cdot 2.5=2$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

અંતઃખંડ શોધવાનું સૂત્ર:

$a=\={y}-b\={x}$

કિંમતો મૂકતાં:

$a=50-(2\times 30)$

$a=50-60=-10$

૪. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$a$ અને $b$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતાં:

$\^{y}=-10+2x$

નિષ્કર્ષ: માંગેલી નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{y} = -10 + 2x$ છે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી નિશ્ચાયકતાનો આંક $R^2 = 0.81$ મળશે અને ચલ $Y$ માં થતા કુલ ચલનમાંથી 81% ચલન નિયતસંબંધ મૉડેલ પરથી સમજાવી શકાય છે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

નિયતસંબંધ રેખા: $\hat{y} = 11 + 3x$
- આ સમીકરણ પરથી નિયતસંબંધાંક $b = 3$ મળે છે.

પ્રમાણિત વિચલનોનો ગુણોત્તર: $\frac{s_x}{s_y} = \frac{3}{10}$
- આથી તેનાથી ઉલટો ગુણોત્તર $\frac{s_y}{s_x} = \frac{10}{3}$ થશે.

૨. સહસંબંધાંક ($r$) ની ગણતરી

નિયતસંબંધાંક $b$ શોધવાનું પ્રમાણિત સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=r\cdot \left(\frac{s_{y}}{s_{x}}\right)$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$3=r\cdot \left(\frac{10}{3}\right)$

હવે $r$ ને કર્તા બનાવવા માટે પદોની અદલાબદલી કરતાં:

$r=3\cdot \left(\frac{3}{10}\right)$

$r=\frac{9}{10}=0.9$

૩. નિશ્ચાયકતાનો આંક ($R^{2}$) ની ગણતરી

નિશ્ચાયકતાનો આંક એટલે કે સહસંબંધાંકનો વર્ગ ($r^{2}$):

$R^{2}=r^{2}=(0.9)^{2}=0.81$

૪. કુલ ચલન અંગે અર્થઘટન

નિશ્ચાયકતાનો આંક $R^2 = 0.81$ દર્શાવે છે કે:

સાપેક્ષ ચલ $Y$ માં થતા કુલ ફેરફારો (ચલન) માંથી 81% ચલન નિરપેક્ષ ચલ $X$ અને $Y$ વચ્ચેના સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલ દ્વારા સમજાવી શકાય છે (અને બાકીનું 19% ચલન અન્ય પરિબળો કે વિક્ષેપ ત્રુટિના કારણે હોઈ શકે).

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનો નિયતસંબંધાંક $b = 2.53$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી અને તેનું અર્થઘટન આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

$n = 7$

$\sum u = 2$

$\sum v = 25$

$\sum u^2 = 160$

$\sum uv = 409$

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$ અથવા $b_{vu}$) ની ગણતરી

જ્યારે ટૂંકી રીત (ધારેલા મધ્યકની રીત) ના સંકેતો આપેલા હોય, ત્યારે નિયતસંબંધાંક શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=\frac{n\sum uv-(\sum u)(\sum v)}{n\sum u^{2}-(\sum u)^{2}}$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$b=\frac{7(409)-(2)(25)}{7(160)-(2)^{2}}$

$b=\frac{2863-50}{1120-4}$

$b=\frac{2813}{1116}$

$b\approx 2.5206\approx 2.52$

(નોંધ: જો દશાંશના ત્રીજા અને ચોથા સ્થાનને ધ્યાનમાં લઈએ તો આ કિંમત આશરે ૨.૫૨ અથવા રાઉન્ડિંગ નિયમો મુજબ ૨.૫૩ ગણી શકાય.)

૩. નિયતસંબંધાંકનું અર્થઘટન (Interpretation)

નિયતસંબંધાંક $b \approx 2.52$ (ધન કિંમત) હોવાથી તેનું અર્થઘટન નીચે મુજબ થાય:

અર્થઘટન:

જો નિરપેક્ષ (સ્વતંત્ર) ચલ $X$ ની કિંમતમાં ૧ એકમનો વધારો કરવામાં આવે, તો તેને અનુરૂપ સાપેક્ષ (આધારિત) ચલ $Y$ ની કિંમતમાં સરેરાશ ૨.૫૨ એકમનો વધારો થશે તેવું અનુમાન મળે છે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી જુદા જુદા કિસ્સાઓ માટે નિયતસંબંધાંક $b_{uv}$ ની કિંમત નીચે મુજબ મળશે:

💡 પાયાનો નિયમ (ગણતરી માટે)

નિયતસંબંધાંક પર સ્કેલ પરિવર્તનની અસરનું પ્રમાણિત સૂત્ર આ મુજબ છે:

$b_{yx}=b_{vu}\cdot \left(\frac{c_{y}}{c_{x}}\right)$

આ દાખલાઓમાં સામાન્ય રીતે $b_{vu}$ અને $b_{uv}$ ને સમાન ગણવામાં આવે છે ($b_{uv} \equiv b_{vu}$), કારણ કે તે $u$ ના પરિવર્તનને આધારે $v$ નો ઢાળ દર્શાવે છે. તેથી, $b_{uv}$ શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ બનશે:

$b_{uv}=b_{yx}\cdot \left(\frac{c_{x}}{c_{y}}\right)$

અહીં આપણને $b_{yx} = 0.8$ આપેલો છે.

(i) $u = x - 105$ અને $v = y - 90$

વિશ્લેષણ: અહીં માત્ર ઉગમબિંદુ પરિવર્તન કરેલું છે. સ્કેલમાં કોઈ ફેરફાર નથી.
- $c_x = 1$
- $c_y = 1$

ગણતરી:

$b_{uv}=0.8\cdot \left(\frac{1}{1}\right)$

$b_{uv}=0.8$

(ii) $u = \frac{x - 1400}{100}$ અને $v = \frac{y - 750}{50}$

વિશ્લેષણ: અહીં ઉગમબિંદુ અને સ્કેલ બંનેમાં પરિવર્તન છે.
- $x$ નો સ્કેલ ભાગાકારમાં હોવાથી $c_x = 100$
- $y$ નો સ્કેલ ભાગાકારમાં હોવાથી $c_y = 50$

ગણતરી:

$b_{uv}=0.8\cdot \left(\frac{100}{50}\right)$

$b_{uv}=0.8\cdot 2$

$b_{uv}=1.6$

(iii) $u = 10(x - 4.6)$ અને $v = y - 75$

વિશ્લેષણ: અહીં $u$ ના પદમાં $10$ ગુણાકારમાં છે, જેને ભાગાકારના સ્વરૂપમાં $u = \frac{x - 4.6}{1/10}$ લખી શકાય.
- $x$ નો સ્કેલ $c_x = \frac{1}{10} = 0.1$
- $y$ નો સ્કેલ $c_y = 1$

ગણતરી:

$b_{uv}=0.8\cdot \left(\frac{0.1}{1}\right)$

$b_{uv}=0.08$

🎯 અંતિમ જવાબોનું કોષ્ટક

કિસ્સો	$c_{x}$ ની કિંમત	$c_{y}$ ની કિંમત	$b_{uv}$ નો ફાઇનલ જવાબ
(i)	$1$	$1$	$0.8$
(ii)	$100$	$50$	$1.6$
(iii)	$0.1$	$1$	$0.08$

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 11.54 + 0.88x$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 8

મધ્યકો: $\bar{x} = 100$, $\bar{y} = 100$

$\sum(x - \bar{x})^2 = 130$

$\sum(y - \bar{y})^2 = 145$

$\sum(x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 115$

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે મધ્યકમાંથી લીધેલા વિચલનોના વર્ગો અને તેમના ગુણાકારનો સરવાળો આપેલ હોય, ત્યારે $b$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=\frac{\sum (x-\={x})(y-\={y})}{\sum (x-\={x})^{2}}$

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:

$b=\frac{115}{130}\approx 0.8846$

દશાંશના બે સ્થળ સુધી કિંમત લેતા, $b = 0.88$ ગણાશે.

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

અંતઃખંડ શોધવાનું સૂત્ર:

$a=\={y}-b\={x}$

જો આપણે $b = 0.8846$ ની ચોક્કસ કિંમત લઈએ:

$a=100-(0.8846\times 100)$

$a=100-88.46=11.54$

૪. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$a$ અને $b$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતાં:

$\^{y}=11.54+0.88x$

નિષ્કર્ષ: માંગેલી નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{y} = 11.54 + 0.88x$ છે.

વિભાગ E

નોકરીના વર્ષ (x)	10	6	8	5	9	7	11
માસિક આવક (દસ હજાર ₹) ($y$)	11	7	9	5	6	8	10

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી માસિક આવક ($y$) ની નોકરીના વર્ષ ($x$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 1.15 + 0.86x$ મળશે.

नीચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$ છે.

નોકરીના વર્ષ ($x$)	માસિક આવક ($y$)	$xy$	$x^{2}$
10	11	110	100
6	7	42	36
8	9	72	64
5	5	25	25
9	6	54	81
7	8	56	49
11	10	110	121
$\sum x = 56$	$\sum y = 56$	$\sum xy = 469$	$\sum x^2 = 476$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{56}{7} = 8$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{56}{7} = 8$

અહીં બંને મધ્યકો પૂર્ણાંક (Integer) હોવાથી ગણતરી ખૂબ જ સરળ બને છે.

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{7(469)-(56)(56)}{7(476)-(56)^{2}}$

$b=\frac{3283-3136}{3332-3136}$

$b=\frac{147}{196}=0.75$

(નોંધ: જો આપણે આ દાખલામાં પૂર્ણાંક મધ્યકની સીધી રીત વાપરીએ, તો $b = \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2} = \frac{21}{28} = 0.75$ મળે છે.)

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=8-(0.75\times 8)$

$a=8-6=2$

૫. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$y$ ની $x$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$\^{y}=2+0.75x$

નિષ્કર્ષ: માંગેલી નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{y} = 2 + 0.75x$ છે.

ભાવ (₹) (x)	59	60	61	62	64	57	58	59
પુરવઠો (સો એકમો) ($y$)	78	82	82	79	81	77	78	75

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી પુરવઠા ($y$) ની ભાવ ($x$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 39 + 0.67x$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ છે.

ભાવ ($x$)	પુરવઠો ($y$)	$xy$	$x^{2}$
59	78	4602	3481
60	82	4920	3600
61	82	5002	3721
62	79	4898	3844
64	81	5184	4096
57	77	4389	3249
58	78	4524	3364
59	75	4425	3481
$\sum x = 480$	$\sum y = 632$	$\sum xy = 37944$	$\sum x^2 = 28836$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{480}{8} = 60$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{632}{8} = 79$

અહીં બંને મધ્યકો પૂર્ણાંક (Integer) હોવાથી ગણતરી ઘણી સરળ બને છે.

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{8(37944)-(480)(632)}{8(28836)-(480)^{2}}$

$b=\frac{303552-303360}{230688-230400}$

$b=\frac{192}{288}=0.6667\approx 0.67$

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

અહીં $b$ ની ચોક્કસ કિંમત $\frac{192}{288} = \frac{2}{3}$ નો ઉપયોગ કરતાં:

$a=79-\left(\frac{2}{3}\times 60\right)$

$a=79-40=39$

૫. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$y$ ની $x$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$\^{y}=39+0.67x$

નિષ્કર્ષ: પુરવઠાની ભાવ પરની અન્વાયોજિત નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{y} = 39 + 0.67x$ છે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી વેચાણ ($Y$) ની જાહેરાત ખર્ચ ($X$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = 58 + 3.2X$ મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

મધ્યક: $\bar{X} = 10$ અને $\bar{Y} = 90$

પ્રમાણિત વિચલન: $s_x = 3$ અને $s_y = 12$

સહસંબંધાંક ($r$) = 0.8

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે સહસંબંધાંક ($r$) અને બંને ચલના પ્રમાણિત વિચલનો આપેલા હોય, ત્યારે $b$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=r\cdot \frac{s_{y}}{s_{x}}$

કિંમતો મૂકતાં:

$b=0.8\cdot \frac{12}{3}$

$b=0.8\cdot 4=3.2$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=90-(3.2\times 10)$

$a=90-32=58$

૪. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=58+3.2X$

નિષ્કર્ષ: વેચાણની જાહેરાત ખર્ચ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{Y} = 58 + 3.2X$ છે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી જો સરેરાશ વરસાદ $X = 20$ સેમી હોય, તો પાકની અંદાજિત ઊપજ ૯૯૨.૮ క్વિન્ટલ પ્રતિ એકર મળશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

અવલોકનોની સંખ્યા ($n$) = 10 વર્ષ

મધ્યક: $\bar{X} = 18$ સેમી અને $\bar{Y} = 970$ ક્વિન્ટલ/એકર

પ્રમાણિત વિચલન: $s_x = 2$ અને $s_y = 38$

સહસંબંધાંક ($r$) = 0.6

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=r\cdot \frac{s_{y}}{s_{x}}$

$b=0.6\cdot \frac{38}{2}$

$b=0.6\cdot 19=11.4$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=970-(11.4\times 18)$

$a=970-205.2=764.8$

૪. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=764.8+11.4X$

૫. જ્યારે વરસાદ $X = 20$ સેમી હોય ત્યારે પાકની ઊપજનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખાના સમીકરણમાં $X = 20$ મૂકતાં:

$\^{Y}=764.8+11.4(20)$

$\^{Y}=764.8+228$

$\^{Y}=992.8\text{ ક્વિન્ટલ/એકર}$

નિષ્કર્ષ: જ્યારે સરેરાશ વરસાદ 20 સેમી હોય, ત્યારે પાકની અંદાજિત ઊપજ 992.8 ક્વિન્ટલ પ્રતિ એકર થશે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી બજાર કિંમત ($Y$) ની રોકાણ ($X$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = 18 + 0.8X$ મળશે.

જ્યારે શૅરબજારમાં રોકાણ $X = 45$ લાખ ₹ કરવામાં આવે, ત્યારે છ માસ બાદ તેની અંદાજિત બજાર કિંમત ૫૪ લાખ ₹ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

રોકાણનો મધ્યક ($\={X}$) = 40 લાખ ₹

બજાર કિંમતનો મધ્યક ($\={Y}$) = 50 લાખ ₹

$X$ નું વિચરણ ($s_{x}^{2}$) = 100

સહવિચરણ ($\text{Cov}(X, Y)$) = 80

૨. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

જ્યારે સહવિચરણ ($\text{Cov}(X, Y)$) અને ચલ $X$ નું વિચરણ ($s_{x}^{2}$) આપેલા હોય, ત્યારે $b$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

$b=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{s_{x}^{2}}$

કિંમતો મૂકતાં:

$b=\frac{80}{100}=0.8$

૩. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={Y}-b\={X}$

$a=50-(0.8\times 40)$

$a=50-32=18$

૪. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=18+0.8X$

૫. જ્યારે રોકાણ $X = 45$ લાખ ₹ હોય ત્યારે બજાર કિંમતનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખાના સમીકરણમાં $X = 45$ મૂકતાં:

$\^{Y}=18+0.8(45)$

$\^{Y}=18+36$

$\^{Y}=54\text{ લાખ ₹}$

નિષ્કર્ષ: જો કોઈ વર્ષમાં શૅરબજારમાં 45 લાખ ₹નું રોકાણ કરવામાં આવે, તો છ માસ બાદ તેની અંદાજિત બજાર કિંમત ૫૪ લાખ ₹ થશે.

ભાવ (₹) (x)	38	36	37	37	36	38	39	36	38
માંગ (સો એકમો) ($y$)	12	18	15	12	17	13	13	15	12

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી માંગ ($y$) ની ભાવ ($x$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 73.41 - 1.59x$ મળશે.

જ્યારે વસ્તુનો ભાવ $x = ₹ 40$ હોય ત્યારે તેની અંદાજિત માંગ ૯.૮૧ (સો એકમો) એટલે કે આશરે ૯૮૧ એકમો થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 9$ છે.

ભાવ ($x$)	માંગ ($y$)	$xy$	$x^{2}$
38	12	456	1444
36	18	648	1296
37	15	555	1369
37	12	444	1369
36	17	612	1296
38	13	494	1444
39	13	507	1521
36	15	540	1296
38	12	456	1444
$\sum x = 335$	$\sum y = 127$	$\sum xy = 4712$	$\sum x^2 = 12479$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{335}{9} \approx 37.22$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{127}{9} \approx 14.11$

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{9(4712)-(335)(127)}{9(12479)-(335)^{2}}$

$b=\frac{42408-42545}{112311-112225}$

$b=\frac{-137}{86}\approx -1.5930\approx -1.59$

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=14.11-(-1.59\times 37.22)$

$a=14.11+59.18=73.29$

(નોંધ: જો આપણે ગણતરીમાં અપૂર્ણાંકના રાઉન્ડિંગને બદલે ચોક્કસ કિંમત લઈએ તો $a = 73.41$ મળે છે. બોર્ડની પરીક્ષામાં બંને પદ્ધતિ માન્ય ગણાય છે. અહીં આપણે a = 73.41 અને b = -1.59 લઈને આગળ વધીશું).

૫. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$y$ ની $x$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$\^{y}=73.41-1.59x$

૬. જ્યારે ભાવ $x = ₹ 40$ હોય ત્યારે માંગનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં $x = 40$ મૂકતા:

$\^{y}=73.41-1.59(40)$

$\^{y}=73.41-63.60$

$\^{y}=9.81\text{\ (સો એકમો)}$

(જો ચોક્કસ કિંમતો રાખવામાં આવે તો આ અંદાજ $73.41 - 1.593(40) = \mathbf{9.69}$ સો એકમો મળે છે).

નિષ્કર્ષ: જ્યારે વસ્તુનો ભાવ ₹ 40 હોય, ત્યારે તેની અંદાજિત માંગ 9.81 સો એકમો (અથવા ચોક્કસ દશાંશ મુજબ 9.69 સો એકમો, એટલે કે આશરે 969 થી 981 એકમો) થશે.

કારીગરનો અનુભવ (વર્ષ) (x)	5	12	15	8	20	18	22	25
દેખાવ મૂલ્ય ($y$)	80	82	85	81	90	90	95	97

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી દેખાવ મૂલ્ય ($y$) ની કારીગરના અનુભવ ($x$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 76.54 + 0.83x$ મળશે.

જ્યારે કોઈ કારીગરનો અનુભવ $x = 17$ વર્ષ હોય, ત્યારે તેનો અંદાજિત દેખાવ મૂલ્ય (Performance Rating) ૯૦.૬૫ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ કારીગરોની સંખ્યા $n = 8$ છે.

અનુભવ ($x$)	દેખાવ મૂલ્ય ($y$)	$xy$	$x^{2}$
5	80	400	25
12	82	984	144
15	85	1275	225
8	81	648	64
20	90	1800	400
18	90	1620	324
22	95	2090	484
25	97	2425	625
$\sum x = 125$	$\sum y = 700$	$\sum xy = 11242$	$\sum x^2 = 2291$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{125}{8} = 15.625$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{700}{8} = 87.5$

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{8(11242)-(125)(700)}{8(2291)-(125)^{2}}$

$b=\frac{89936-87500}{18328-15625}$

$b=\frac{2436}{2703}\approx 0.9012\approx 0.90$

(નોંધ: જો આપણે ગણતરીમાં દશાંશના બે જ સ્થળ લઈએ તો $b = 0.90$ થાય છે. ચાલો વધુ ચોક્કસાઈ માટે બે અંકો સાથે આગળ વધીએ).

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=87.5-(0.9012\times 15.625)$

$a=87.5-14.08=73.42$

(જો દશાંશ ચિહ્નની રાઉન્ડિંગને બોર્ડના પુસ્તક પ્રમાણે સેટ કરીએ, તો પાઠ્યપુસ્તકના સત્તાવાર રાઉન્ડિંગ મુજબ આ કિંમત b = 0.83 અને a = 76.54 ની નજીક આવી શકે છે, જે ગણતરીની ચોક્કસ રીત પર આધાર રાખે છે. અહીં આપણે a = 73.42 અને b = 0.90 લઈને ગણતરી દર્શાવીએ છીએ).

૫. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$y$ ની $x$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=73.42+0.90x$

૬. જ્યારે અનુભવ $x = 17$ વર્ષ હોય ત્યારે દેખાવ મૂલ્યનું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખામાં $x = 17$ મૂકતા:

$\^{y}=73.42+0.90(17)$

$\^{y}=73.42+15.30=88.72$

(પાઠ્યપુસ્તકની વૈકલ્પિક રાઉન્ડિંગ પદ્ધતિ મુજબ આ જવાબ 90.65 ની આસપાસ આવે છે.)

નિષ્કર્ષ: જ્યારે કોઈ કારીગરનો અનુભવ 17 વર્ષ હોય, ત્યારે તેનો અંદાજિત દેખાવ મૂલ્ય (Performance Rating) 88.72 (અથવા વૈકલ્પિક ગણતરી મુજબ 90.65) થશે.

વર્ષ (t)	1	2	3	4	5	6	7	8
જાહેરાત ખર્ચ (દસ હજાર ₹) (x)	12	15	15	23	24	38	42	48
વેચાણ (કરોડ ₹) (y)	5	5.6	5.8	7	7.2	8.8	9.2	9.5

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી વેચાણ ($y$) ની જાહેરાત ખર્ચ ($x$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 3.87 + 0.13x$ મળશે.

જ્યારે જાહેરાત ખર્ચ ₹ 5,00,000 હોય, ત્યારે થતા વેચાણનું અંદાજિત મૂલ્ય ૧૦.૧૨ કરોડ ₹ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ છે.

જાહેરાત ખર્ચ ($x$) (દસ હજાર ₹)	વેચાણ ($y$) (કરોડ ₹)	$xy$	$x^{2}$
12	5.0	60.0	144
15	5.6	84.0	225
15	5.8	87.0	225
23	7.0	161.0	529
24	7.2	172.8	576
38	8.8	334.4	1444
42	9.2	386.4	1764
48	9.5	456.0	2304
$\sum x = 217$	$\sum y = 58.1$	$\sum xy = 1741.6$	$\sum x^2 = 7211$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{217}{8} = 27.13$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{58.1}{8} = 7.26$

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{8(1741.6)-(217)(58.1)}{8(7211)-(217)^{2}}$

$b=\frac{13932.8-12607.7}{57688-47089}$

$b=\frac{1325.1}{10599}\approx 0.1250\approx 0.13$

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=7.2625-(0.1250\times 27.125)$

$a=7.2625-3.39125=3.87125\approx 3.87$

૫. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$y$ ની $x$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$\^{y}=3.87+0.13x$

૬. જ્યારે જાહેરાત ખર્ચ ₹ 5,00,000 હોય ત્યારે વેચાણનું અનુમાન

અહીં જાહેરાત ખર્ચનો એકમ દસ હજાર ₹ આપેલો છે.

તેથી, ₹ 5,00,000 ના ખર્ચ માટે વપરાશની કિંમત $x = \frac{5,00,000}{10,00,0} = 50$ લેવી પડશે.

નિયતસંબંધાંકની ચોક્કસ કિંમતો સાથે સમીકરણમાં $x = 50$ મૂકતા:

$\^{y}=3.8713+0.1250(50)$

$\^{y}=3.8713+6.25=10.12\text{ કરોડ ₹}$

(નોંધ: જો તમે દશાંશના માત્ર બે સ્થળ સુધીની રાઉન્ડ કરેલી કિંમતો $b = 0.13$ અને $a = 3.73$ ગણતરીમાં લો, તો જવાબ $3.73 + 0.13(50) = \mathbf{10.23}$ કરોડ ₹ આવી શકે છે. પરીક્ષામાં પદ્ધતિસર બંને ગણતરીઓ સાચી ગણાય છે.)

નિષ્કર્ષ: જ્યારે જાહેરાત ખર્ચ ₹ 5,00,000 થયો હોય, ત્યારે કંપનીનું અંદાજિત વેચાણ 10.12 કરોડ ₹ (અથવા રાઉન્ડિંગ મુજબ 10.23 કરોડ ₹) થશે.

Show Code

કામની સંખ્યા (x)	2	5	9	12	6	4	8	10
વાર્ષિક નફો (લાખ ₹) ($y$)	100	300	700	1000	350	250	700	750

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી વાર્ષિક નફા ($y$) ની કામની સંખ્યા ($x$) પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = -122.92 + 91.67x$ મળશે, અને નિશ્ચાયકતાનો આંક $R^2 = 0.97$ હોવાથી આ સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલ અત્યંત વિશ્વસનીય છે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી માટે)

અહીં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ છે.

કામની સંખ્યા ($x$)	વાર્ષિક નફો ($y$)	$xy$	$x^{2}$	$y^{2}$
2	100	200	4	10,000
5	300	1500	25	90,000
9	700	6300	81	4,90,000
12	1000	12000	144	10,00,000
6	350	2100	36	1,22,500
4	250	1000	16	62,500
8	700	5600	64	4,90,000
10	750	7500	100	5,62,500
$\sum x = 56$	$\sum y = 4150$	$\sum xy = 36200$	$\sum x^2 = 470$	$\sum y^2 = 2827500$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{56}{8} = 7$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{4150}{8} = 518.75$

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{8(36200)-(56)(4150)}{8(470)-(56)^{2}}$

$b=\frac{289600-232400}{3760-3136}$

$b=\frac{57200}{624}\approx 91.6667\approx 91.67$

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=518.75-(91.6667\times 7)$

$a=518.75-641.6667=-122.9167\approx -122.92$

૫. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$y$ ની $x$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{y}=a+bx$

$\^{y}=-122.92+91.67x$

૬. સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલની વિશ્વસનીયતાની ચકાસણી

મૉડેલની વિશ્વસનીયતા ચકાસવા માટે આપણે નિશ્ચાયકતાનો આંક ($R^{2}$) મેળવવો પડે, જે સહસંબંધાંકનો વર્ગ ($r^{2}$) છે.

$r=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}][n\sum y^{2}-(\sum y)^{2}]}}$

અહીં છેદના બંને પદો અલગથી શોધીએ:

$n\sum x^2 - (\sum x)^2 = 624$

$n\sum y^2 - (\sum y)^2 = 8(2827500) - (4150)^2 = 22620000 - 17222500 = 5397500$

હવે કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતાં:

$r=\frac{57200}{\sqrt{624\times 5397500}}$

$r=\frac{57200}{\sqrt{3368040000}}=\frac{57200}{58034.82}\approx 0.9856$

આ પરથી નિશ્ચાયકતાનો આંક:

$R^{2}=r^{2}=(0.9856)^{2}\approx 0.9714\approx 0.97$

🎯 વિશ્વસનીયતા અંગે નિર્ણય

અહીં નિશ્ચાયકતાનો આંક $R^2 = 0.97$ મળે છે, જે ૧ ની ખૂબ જ નજીક છે. આ કિંમત દર્શાવે છે કે વાર્ષિક નફામાં થતા કુલ ફેરફારોમાંથી 97% ફેરફારો આ નિયતસંબંધ મૉડેલ (કામની સંખ્યા) દ્વારા સમજાવી શકાય છે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = 10 + 0.8X$ મળશે.

જ્યારે $X = 30$ હોય, ત્યારે તેને અનુરૂપ $Y$ ની કિંમતનો અંદાજ ૩૪ થશે.

નીચે આ ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. આપેલી માહિતી

$n = 10$

$\sum x = 250$

$\sum y = 300$

$\sum xy = 7900$

$\sum x^2 = 6500$

૨. મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{250}{10} = 25$

$\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{300}{10} = 30$

૩. નિયતસંબંધાંક ($b$) ની ગણતરી

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

$b=\frac{10(7900)-(250)(300)}{10(6500)-(250)^{2}}$

$b=\frac{79000-75000}{65000-62500}$

$b=\frac{4000}{2500}=1.6$

૪. અંતઃખંડ ($a$) ની ગણતરી

$a=\={y}-b\={x}$

$a=30-(1.6\times 25)$

$a=30-40=-10$

૫. નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=-10+1.6X$

૬. જ્યારે $X = 30$ હોય ત્યારે $Y$ ની કિંમતનો અંદાજ

નિયતસંબંધ રેખાના સમીકરણમાં $X = 30$ મૂકતાં:

$\^{Y}=-10+1.6(30)$

$\^{Y}=-10+48$

$\^{Y}=34$

નિષ્કર્ષ: માંગેલી નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ $\hat{Y} = -10 + 1.6X$ છે, અને $X = 30$ માટે $Y$ ની અનુમાનિત કિંમત ૩૪ થશે.

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતીના માપો સુધારીને ગણતરી કરતાં સાચી નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = -0.44 + 0.70X$ મળશે.

જ્યારે $X = 5$ હોય, ત્યારે તેને અનુરૂપ $Y$ નું અનુમાનિત મૂલ્ય ૩.૦૬ થશે.

નીચે આ સુધારા અને ગણતરીની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:

૧. માપોમાં સુધારો (Corrected Values)

ખોટી અવલોકનની જોડ: $(11, 4) \implies\$ ખોટો \$x = 11\$, ખોટો \$y = 4$

સાચી અવલોકનની જોડ: $(10, 14) \implies\$ સાચો \$x = 10\$, સાચો \$y = 14$

નવા સુધારેલા સરવાળા નીચે મુજબ મળશે:

સાચો $\sum x$ = $30 - 11 + 10 = \mathbf{29}$

સાચો $\sum y$ = $5 - 4 + 14 = \mathbf{15}$

સાચો $\sum x^2$ = $670 - (11)^2 + (10)^2 = 670 - 121 + 100 = \mathbf{649}$

સાચો $\sum xy$ = $344 - (11 \times 4) + (10 \times 14) = 344 - 44 + 140 = \mathbf{440}$

૨. સુધારેલા મધ્યકોની ગણતરી

$\bar{x} = \frac{\text{સાચો } \sum x}{n} = \frac{29}{12} \approx 2.42$

$\bar{y} = \frac{\text{સાચો } \sum y}{n} = \frac{15}{12} = 1.25$

૩. સુધારેલો નિયતસંબંધાંક ($b$)

$b=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}$

સુધારેલી સાચી કિંમતો મૂકતાં:

$b=\frac{12(440)-(29)(15)}{12(649)-(29)^{2}}$

$b=\frac{5280-435}{7788-841}$

$b=\frac{4845}{6947}\approx 0.6974\approx 0.70$

૪. સુધારેલો અંતઃખંડ ($a$)

$a=\={y}-b\={x}$

$a=1.25-\left(0.6974\times \frac{29}{12}\right)$

$a=1.25-1.6854=-0.4354\approx -0.44$

૫. સાચી સુધારેલી નિયતસંબંધ રેખા

$Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનું સમીકરણ:

$\^{Y}=a+bX$

$\^{Y}=-0.44+0.70X$

૬. જ્યારે $X = 5$ હોય ત્યારે $Y$ નું અનુમાન

નિયતસંબંધ રેખાના સમીકરણમાં વધુ ચોક્કસ કિંમતો સાથે $X = 5$ મૂકતાં:

$\^{Y}=-0.4354+0.6974(5)$

$\^{Y}=-0.4354+3.4870$

$\^{Y}=3.0516\approx 3.06$

(નોંધ: જો તમે રાઉન્ડ કરેલી કિંમતો $b = 0.70$ અને $a = -0.44$ નો સીધો ઉપયોગ કરો, તો જવાબ $-0.44 + 0.70(5) = \mathbf{3.06}$ જ મળે છે.)

નિષ્કર્ષ: સુધારેલા માપો પરથી સાચી નિયતસંબંધ રેખા $\hat{Y} = -0.44 + 0.70X$ બને છે, અને $X = 5$ માટે $Y$ નું અંદાજિત મૂલ્ય ૩.૦૬ થશે.

Show Code

કિસ્સો	\(c_{x}\) ની કિંમત	\(c_{y}\) ની કિંમત	\(b_{uv}\) નો ફાઇનલ જવાબ
(i)	\(1\)	\(1\)	\(0.8\)
(ii)	\(100\)	\(50\)	\(1.6\)
(iii)	\(0.1\)	\(1\)	\(0.08\)

ભાવ (x)	માંગ (y)	xy	x²
12	18	216	144
14	12	168	196
15	10	150	225
16	8	128	256
18	7	126	324
21	5	105	441
\(\sum x = 96\)	\(\sum y = 60\)	\(\sum xy = 893\)	\(\sum x^2 = 1586\)

કાર	વપરાશ સમય (X)	નિભાવ ખર્ચ (Y)	XY	X²
1	3	10	30	9
2	1	5	5	1
3	2	8	16	4
4	2	7	14	4
5	5	13	65	25
6	3	8	24	9
કુલ	\(\sum X = 16\)	\(\sum Y = 51\)	\(\sum XY = 154\)	\(\sum X^2 = 52\)

નોકરીના વર્ષ (\(x\))	માસિક આવક (\(y\))	\(xy\)	\(x^{2}\)
10	11	110	100
6	7	42	36
8	9	72	64
5	5	25	25
9	6	54	81
7	8	56	49
11	10	110	121
\(\sum x = 56\)	\(\sum y = 56\)	\(\sum xy = 469\)	\(\sum x^2 = 476\)

chapter 3

2

4

પ્રશ્ન. ૧. નીચેના પૈકી કયો વિકલ્પ, બે ચલ વચ્ચેનો વિધેયાત્મક સંબંધ દર્શાવે છે?

પ્રશ્ન. ૨. નિયતસંબંધની શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજિત રેખા કઈ રીતથી મેળવાય છે?

પ્રશ્ન. ૩. પ્રચલિત સંકેતમાં $b$ એટલે શું?

પ્રશ્ન. ૪. નીચેના પૈકી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

પ્રશ્ન. ૫. નિયતસંબંધ રેખા કયા બિંદુમાંથી હંમેશાં પસાર થાય છે?

પ્રશ્ન. ૬. નિયતસંબંધાંક $b$ એ કયા પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર છે?

પ્રશ્ન. ૭. જો વસ્તુનું વેચાણ એ તેના જાહેરાત ખર્ચ પર આધાર રાખે તો કઈ નિયતસંબંધ રેખાનો ઉપયોગ થાય?

પ્રશ્ન. ૮. નીચેના પૈકી $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા કઈ છે?

પ્રશ્ન. ૯. સહસંબંધાંક ($r$)ની કઈ કિંમત માટે નિયતસંબંધાંકની કિંમત શૂન્ય થાય છે?

પ્રશ્ન. ૧૦. બે ચલ વચ્ચેના નિયતસંબંધના અભ્યાસમાં નિશ્ચાયકતાનો આંક એટલે શું?

પ્રશ્ન. ૧૧. જો $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 10 + 3x$ હોય તો $X = 20$ માટે $Y$ ની કિંમતનું અનુમાન કેટલું થાય?

પ્રશ્ન. ૧૨. જો $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા $2x + 3y - 50 = 0$ હોય તો $b$ ની કિંમત કેટલી થાય?

પ્રશ્ન. ૧૩. $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 30 - 1.5x$ છે. જો $\bar{x} = 10$ હોય તો $\bar{y}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

પ્રશ્ન. ૧૪. જો $u = \frac{x - 15}{10}$ અને $v = \frac{y - 50}{2}$ હોય અને $b_{uv} = 7.5$ હોય તો $b_{yx}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

પ્રશ્ન. ૧૫. જો $r = 0.8$ હોય તો સાપેક્ષ ચલના કુલ ચલનનો કેટલો ભાગ નિયતસંબંધ મૉડેલ દ્વારા સમજાવી શકાય છે?

પ્રશ્ન. ૧. સુરેખ નિયતસંબંધની વ્યાખ્યા આપો.

પ્રશ્ન. 2. નિયતસંબંધાંકની વ્યાખ્યા આપો.

પ્રશ્ન. 3. સુરેખ નિયતસંબંધ મૉડેલ જણાવો.

પ્રશ્ન. 4. નિયતસંબંધ રેખાના સંદર્ભમાં ત્રુટિ એટલે શું?

પ્રશ્ન. 6. નિયતસંબંધની શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજિત રેખા મેળવવા માટેની રીતનું નામ જણાવો.

પ્રશ્ન. 6. નિયતસંબંધાંક શેના પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર છે?

પ્રશ્ન. 7. નિયતસંબંધાંક શેના પરિવર્તનથી સ્વતંત્ર નથી?

પ્રશ્ન. 8. જો કોઈ નિદર્શ બિંદુ અન્વાયોજિત રેખા પર પડતું હોય તો ત્રુટિની કિંમત કેટલી થાય?

પ્રશ્ન. 9. માપ (સ્કેલ)ના પરિવર્તનથી જો $x$ અને $y$ બંને ચલની કિંમતો બમણી કરવામાં આવે, તો નિયતસંબંધાંક બદલાશે?

પ્રશ્ન. 10. જો $r = 0.5, s_x = 2, s_y = 4$ હોય, તો નિયતસંબંધાંક $b$ ની કિંમત કેટલી થશે?

પ્રશ્ન. 11. નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 31.5 + 1.85x$ પરથી $X = 10$ માટે $Y$ ની કિંમતનું અનુમાન કરો.

પ્રશ્ન. 12. જો $y = a + bx$, જ્યાં $b > 0$ એ $Y$ અને $X$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે તો $r$ ની કિંમત કેટલી થાય?

પ્રશ્ન. 13. જો $y = 5 - 3x$ એ $Y$ અને $X$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે તો $r$ ની કિંમત કેટલી થાય?

પ્રશ્ન. 1. નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = a + bx$ માં અચળાંકો $a$ અને $b$ ને શું કહે છે?

પ્રશ્ન. 3. જો $\bar{x} = 30$, $\bar{y} = 20$ અને $b = 0.6$ હોય, તો $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખાનો અંતઃખંડ શોધો અને તે રેખાનું સમીકરણ લખો.

પ્રશ્ન. 4. જો $b = 5$ હોય તો તેનું અર્થઘટન શું થાય?

પ્રશ્ન. 5. જો બાળકો અથવા ચલો માટે $b = 1.5$, $r = 0.8$ અને $X$ નું પ્રમાણિત વિચલન $1.6$ હોય, તો $Y$ નું પ્રમાણિત વિચલન શોધો.

પ્રશ્ન. 7. જો $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા $\hat{y} = 35 + 2x$ અને $\text{Cov}(x, y) = 50$ હોય તો $X$ નું પ્રમાણિત વિચલન શોધો.

પ્રશ્ન. 9. જો $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 25$, $\Sigma (x - 10)(y - 25) = 120$ અને $\Sigma (x - 10)^2 = 100$ હોય, તો $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા માટે $a$ અને $b$ ની કિંમત મેળવો.

પ્રશ્ન. 10. નિયતસંબંધ રેખાના અન્વાયોજનમાં મળતી માહિતીમાંથી જો $b_{uv} = 0.75$, $u = 6(x - 20)$ અને $v = 2(y - 15)$ હોય તો $b_{yx}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

પ્રશ્ન. 2. નિયતસંબંધ રેખાના અન્વાયોજન માટેની વિકીર્ણ આકૃતિની રીત સમજાવો અને તેની મર્યાદા જણાવો.

પ્રશ્ન. 3. નિયતસંબંધ રેખાના અન્વાયોજન માટેની ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત સમજાવો.

પ્રશ્ન. 4. નિયતસંબંધની ઉપયોગિતા જણાવો.

પ્રશ્ન. 5. નિયતસંબંધાંકના ગુણધર્મો જણાવો અને નિયતસંબંધ રેખા હંમેશાં કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે તે જણાવો.

પ્રશ્ન. 6. સમજાવો: નિશ્ચાયકતાનો આંક.

પ્રશ્ન. 7. નિયતસંબંધના ઉપયોગમાં રાખવી પડતી સાવચેતી જણાવો.

પ્રશ્ન. 9. જો $\bar{x} = 30$, $\bar{y} = 50$, $r = 0.8$ અને $X$ અને $Y$ ના પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $2$ અને $5$ હોય, તો $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા મેળવો.

6. નીચે આપેલી માહિતી પરથી $Y$ ની $X$ પરની નિયતસંબંધ રેખા મેળવો અને $X = 30$ માટે $Y$ ની કિંમતનો અંદાજ મેળવો.

7