chapter 4

સાચો જવાબ: 📊 ૧. આલેખ દોરવા માટે જરૂરી કોષ્ટક

આલેખની રીતમાં વર્ષને ક્રમિક સમયના એકમો \(t\) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

વર્ષ	સમય (\(t\)) [\(X\)-અક્ષ પર]	ક્ષમતા (\(y\)) (લાખ ટનમાં) [\(Y\)-અક્ષ પર]	ક્રમિક જોડી \((t, y)\)
2008	1	90	\((1, 90)\)
2009	2	97	\((2, 97)\)
2010	3	108	\((3, 108)\)
2011	4	111	\((4, 111)\)
2012	5	127	\((5, 127)\)
2013	6	148	\((6, 148)\)
2014	7	169	\((7, 169)\)
2015	8	200	\((8, 200)\)

---

📐 ૨. પ્રમાણમાપની પસંદગી (Scale Selection)

આલેખપત્ર પર દોરવા માટે યોગ્ય પ્રમાણમાપ નીચે મુજબ નક્કી કરો:

• \(X\)-અક્ષ પર: 1 સેમી = 1 વર્ષ (અથવા સમય \(t\) નો ૧ એકમ)


• \(Y\)-અક્ષ પર: 1 સેમી = 20 લાખ ટન (અહીં ન્યૂનતમ કિંમત 90 અને મહત્તમ 200 હોવાથી \(Y\)-અક્ષ પર ઊગમબિંદુ પાસે બ્રેક લાઇન // (કાપ) મૂકીને કિંમતોની શરૂઆત 80 કે 90 થી કરી શકાય).

---

✍️ ૩. આલેખ દોરવાની સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ રીત

1. મૂળ સામયિક શ્રેણીનો આલેખ (મૂળ રેખા):
   
   કોષ્ટકમાં દર્શાવેલી તમામ ક્રમિક જોડીઓ \((1, 90), (2, 97), \dots, (8, 200)\) ને આલેખપત્ર પર બિંદુઓ તરીકે દર્શાવો. ત્યારબાદ આ તમામ બિંદુઓને ક્રમશઃ સીધી રેખાઓ (તૂટક રેખા કે પાતળી લાઇન) વડે જોડો. આ જે આકૃતિ બનશે તેને મૂળ સામયિક શ્રેણીની વક્ર રેખા કહેવાય છે.


2. સુરેખ વલણ રેખા દોરવી:
   
   હવે, આલેખપત્ર પર દર્શાવેલા તમામ બિંદુઓની વધુમાં વધુ નજીકથી પસાર થતી હોય તેવી એક સીધી રેખા ફૂટપટ્ટીની મદદથી મુક્ત હસ્તે (તમારા અંદાજ મુજબ) દોરો. આ રેખા એવી રીતે દોરવી જોઈએ કે કેટલાક બિંદુઓ તેની ઉપર અને કેટલાક તેની નીચે સરખા પ્રમાણમાં વહેંચાયેલા રહે. આ દોરેલી સીધી રેખાને “આલેખની રીતે સુરેખ વલણ રેખા” કહેવામાં આવે છે.

---

💡 અગત્યની નોંધ (પરીક્ષા માટે):

આલેખની રીત ખૂબ સરળ છે પરંતુ તેની મુખ્ય મર્યાદા વ્યક્તિલક્ષીતા (Subjectivity) છે. જુદા જુદા વિદ્યાર્થીઓ પોતાની સમજ મુજબ રેખા દોરે તો વલણ રેખા સહેજ અલગ આવી શકે છે. આ જ પ્રકરણમાં જો આ જ કિંમતો માટે એકદમ ચોક્કસ ગાણિતિક જવાબ જોઈતો હોય, તો “ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત” નો ઉપયોગ કરવો પડે છે.

---

સાચો જવાબ: 📊 ૧. આલેખ દોરવા માટેનું કોષ્ટક

આલેખની રીતમાં વર્ષને ક્રમિક સમયના એકમો \(t\) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

વર્ષ	સમય (\(t\)) [\(X\)-અક્ષ પર]	પ્રવાસીઓ (\(y\)) (હજારમાં) [\(Y\)-અક્ષ પર]	ક્રમિક જોડી \((t, y)\)
2010	1	5	\((1, 5)\)
2011	2	7	\((2, 7)\)
2012	3	10	\((3, 10)\)
2013	4	14	\((4, 14)\)
2014	5	30	\((5, 30)\)
2015	6	41	\((6, 41)\)
2016	7	50	\((7, 50)\)

---

📐 ૨. પ્રમાણમાપની પસંદગી (Scale Selection)

આલેખપત્ર પર ચોકસાઈપૂર્વક દોરવા માટે નીચે મુજબનું પ્રમાણમાપ લો:

• \(X\)-અક્ષ પર: 1 સેમી = 1 વર્ષ (અથવા સમય \(t\) નો ૧ એકમ)


• \(Y\)-અક્ષ પર: 1 સેમી = 5 હજાર પ્રવાસીઓ (અહીં ન્યૂનતમ કિંમત 5 અને મહત્તમ કિંમત 50 હોવાથી, \(Y\)-અક્ષ પર 0, 5, 10, 15, ..., 50 તરીકે કિંમતો સરળતાથી દર્શાવી શકાશે).

---

✍️ ૩. આલેખ દોરવાની રીત

1. મૂળ શ્રેણીનો આલેખ:
   
   કોષ્ટકમાં દર્શાવેલી તમામ ક્રમિક જોડીઓ \((1, 5), (2, 7), (3, 10), (4, 14), (5, 30), (6, 41), (7, 50)\) ને આલેખપત્ર પર બિંદુઓ તરીકે ટપકું કરીને દર્શાવો. ત્યારબાદ આ તમામ બિંદુઓને ક્રમશઃ ફૂટપટ્ટીની મદદથી રેખાઓ વડે જોડો. આ જે આકૃતિ બનશે તેને મૂળ સામયિક શ્રેણીની વક્ર રેખા કહેવાય છે.


2. સુરેખ વલણ રેખા દોરવી:
   
   હવે, આલેખપત્ર પર દર્શાવેલા તમામ બિંદુઓની વધુમાં વધુ નજીકથી પસાર થતી હોય તેવી એક સીધી રેખા ફૂટપટ્ટીની મદદથી તમારા અંદાજ મુજબ દોરો. આ રેખા એવી રીતે દોરવી જોઈએ કે કેટલાક બિંદુઓ તેની ઉપર અને કેટલાક તેની નીચે સરખા ભાગે વહેંચાયેલા રહે. આ દોરેલી સીધી રેખાને “આલેખની રીતે શ્રેણીની વલણ રેખા” કહેવામાં આવે છે.

---

💡 અર્થઘટન (Interpretation)

આલેખ પરથી સ્પષ્ટ દેખાય છે કે વલણ રેખા ડાબી બાજુ નીચેથી જમણી બાજુ ઉપરની તરફ જાય છે, જે દર્શાવે છે કે આ પર્યટન સ્થળે આવતા પ્રવાસીઓની સંખ્યામાં સમય જતાં સતત વધારો (ઉર્ધ્વગામી વલણ) થઈ રહ્યો છે.

---

સાચો જવાબ: 📊 ૧. આલેખ દોરવા માટેનું કોષ્ટક

આલેખની રીતમાં વર્ષને ક્રમિક સમયના એકમો \(t\) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

વર્ષ	સમય (\(t\)) [\(X\)-અક્ષ પર]	છોકરીઓની સંખ્યા (\(y\)) [\(Y\)-અક્ષ પર]	ક્રમિક જોડી \((t, y)\)
1961	1	956	\((1, 956)\)
1971	2	948	\((2, 948)\)
1981	3	947	\((3, 947)\)
1991	4	928	\((4, 928)\)
2001	5	883	\((5, 883)\)
2011	6	890	\((6, 890)\)

---

📐 ૨. પ્રમાણમાપની પસંદગી (Scale Selection)

આલેખપત્ર પર ચોકસાઈપૂર્વક દોરવા માટે નીચે મુજબનું પ્રમાણમાપ લો:

• \(X\)-અક્ષ પર: 1 સેમી = 1 દસકો / ૧ સમયનો એકમ \(t\) (૧ સેમી = ૧૦ વર્ષ)


• \(Y\)-અક્ષ પર: 1 સેમી = 10 છોકરીઓ (અહીં ન્યૂનતમ કિંમત 883 અને મહત્તમ કિંમત 956 હોવાથી, \(Y\)-અક્ષ પર ઊગમબિંદુ પાસે બ્રેક લાઇન // (કાપ) મૂકીને કિંમતોની શરૂઆત 870 અથવા 880 થી કરી શકાય).

---

✍️ ૩. આલેખ દોરવાની રીત

1. મૂળ શ્રેણીનો આલેખ:
   
   કોષ્ટકમાં દર્શાવેલી તમામ ક્રમિક જોડીઓ \((1, 956), (2, 948), (3, 947), (4, 928), (5, 883), (6, 890)\) ને આલેખપત્ર પર બિંદુઓ તરીકે ટપકું કરીને દર્શાવો. ત્યારબાદ આ તમામ બિંદુઓને ક્રમશઃ ફૂટપટ્ટીની મદદથી પાતળી રેખાઓ વડે જોડો. આ જે આકૃતિ બનશે તેને મૂળ સામયિક શ્રેણીની વક્ર રેખા કહેવાય છે.


2. સુરેખ વલણ રેખા દોરવી:
   
   હવે, આલેખપત્ર પર દર્શાવેલા તમામ બિંદુઓની વધુમાં વધુ નજીકથી પસાર થતી હોય તેવી એક સીધી રેખા ફૂટપટ્ટીની મદદથી મુક્ત હસ્તે તમારા અંદાજ મુજબ દોરો. આ રેખા એવી રીતે દોરવી જોઈએ કે કેટલાક બિંદુઓ તેની ઉપર અને કેટલાક તેની નીચે સરખા ભાગે વહેંચાયેલા રહે. આ દોરેલી સીધી રેખાને “આલેખની રીતે શ્રેણીની સુરેખ વલણ રેખા” કહેવામાં આવે છે.

---

💡 અર્થઘટન (Interpretation)

આલેખ પરથી સ્પષ્ટ દેખાય છે કે વલણ રેખા ડાબી બાજુ ઉપરથી જમણી બાજુ નીચેની તરફ જઈ રહી છે. આ દર્શાવે છે કે આ રાજ્યમાં 0-6 વર્ષના બાળકોમાં ૧૦૦૦ છોકરાઓ સામે છોકરીઓની સંખ્યામાં સમય જતાં સતત ઘટાડો (અધોગામી વલણ) થઈ રહ્યો છે.

---

સાચો જવાબ: 📊 ૧. આલેખ દોરવા માટેનું જરૂરી કોષ્ટક

આલેખની રીતમાં દિવસને ક્રમિક સમયના એકમો t તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે જેને X-અક્ષ પર લેવામાં આવશે, અને શેરના ભાવને y તરીકે Y-અક્ષ પર લેવામાં આવશે.

દિવસ (t) [X-અક્ષ પર]	શેરનો ભાવ (y) (₹) [Y-અક્ષ પર]	ક્રમિક જોડી (t, y)
1	297	(1, 297)
2	300	(2, 300)
3	304	(3, 304)
4	299	(4, 299)
5	324	(5, 324)
6	320	(6, 320)
7	318	(7, 318)
8	324	(8, 324)
9	329	(9, 329)
10	328	(10, 328)

---

📐 ૨. પ્રમાણમાપની પસંદગી (Scale Selection)

આલેખપત્ર પર ચોકસાઈપૂર્વક દોરવા માટે નીચે મુજબનું પ્રમાણમાપ નક્કી કરો:

• X-અક્ષ પર: 1 સેમી = 1 દિવસ (સમય t ના ૧ થી ૧૦ અંકો દર્શાવવા માટે).


• Y-અક્ષ પર: અહીં ન્યૂનતમ કિંમત 297 અને મહત્તમ કિંમત 329 હોવાથી, Y-અક્ષ પર ઊગમબિંદુ (0,0) પાસે બ્રેક લાઇન // (કાપ) મૂકીને કિંમતોની શરૂઆત સીધી 290 થી કરો.
  
  
  
  • પ્રમાણમાપ: 1 સેમી = 5 ₹ (આલેખની મુખ્ય લીટીઓ પર 290, 295, 300, 305, 310, 315, 320, 325, 330 દર્શાવો).
  
  
  
  
  

---

✍️ ૩. આલેખ દોરવાની સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ રીત

1. મૂળ સામયિક શ્રેણીનો આલેખ (મૂળ રેખા):
   
   કોષ્ટકમાં દર્શાવેલી તમામ ક્રમિક જોડીઓ \((1, 297), (2, 300), \dots, (10, 328)\) ને આલેખપત્ર પર બિંદુઓ (ટપકાં) તરીકે દર્શાવો. ત્યારબાદ આ તમામ બિંદુઓને ક્રમશઃ ફૂટપટ્ટીની મદદથી પાતળી રેખાઓ વડે જોડો. આ ઝિગ-ઝેગ (વાંકીચૂકી) લીટી જે બનશે તેને મૂળ સામયિક શ્રેણીની વક્ર રેખા કહેવાય છે.


2. સુરેખ વલણ રેખા દોરવી:
   
   હવે, આલેખપત્ર પર દર્શાવેલા તમામ બિંદુઓની વધુમાં વધુ નજીકથી પસાર થતી હોય તેવી એક સીધી રેખા ફૂટપટ્ટીની મદદથી મુક્ત હસ્તે (તમારા અંદાજ મુજબ) દોરો. આ રેખા એવી રીતે દોરવી જોઈએ કે કેટલાક બિંદુઓ તેની ઉપર અને કેટલાક તેની નીચે સરખા પ્રમાણમાં વહેંચાયેલા રહે. આ સીધી લીટીને “આલેખની રીતે સુરેખ વલણ રેખા” કહેવામાં આવે છે.

---

💡 અર્થઘટન (Interpretation)

આલેખ પરથી સ્પષ્ટ દેખાય છે કે વલણ રેખા ડાબી બાજુ નીચેથી જમણી બાજુ ઉપરની તરફ જાય છે. આ દર્શાવે છે કે ૧૦ દિવસો દરમિયાન શેરના બંધ ભાવમાં સામાન્ય રીતે વધારો (ઉર્ધ્વગામી વલણ) જોવા મળી રહ્યો છે.

---

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી મૃત્યુદર (\(y\)) નું સમય (\(t\)) પરની સુરેખ વલણ રેખાનું સમીકરણ \(\hat{y} = 7.33 - 0.057t\) મળશે.

આ સમીકરણના આધારે વર્ષ 2017 માટે મૃત્યુદરનું અંદાજિત અનુમાન ૬.૮૭ થશે.

નીચે આ દાખલાની વિગતવાર અને પદ્ધતિસર ગણતરી આપેલ છે:



૧. જરૂરી કોષ્ટક (ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત માટે)

અહીં વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 7\) છે. વર્ષ ૨૦૦૯ થી ૨૦૧૫ ને ક્રમિક સમય \(t = 1, 2, \dots, 7\) તરીકે લઈશું.

વર્ષ	મૃત્યુદર (\(y\))	સમય (\(t\))	\(t \cdot y\)	\(t^{2}\)
2009	7.6	1	7.6	1
2010	6.9	2	13.8	4
2011	7.1	3	21.3	9
2012	7.3	4	29.2	16
2013	7.2	5	36.0	25
2014	6.9	6	41.4	36
2015	6.9	7	48.3	49
કુલ	\(\sum y = 49.9\)	\(\sum t = 28\)	\(\sum ty = 197.6\)	\(\sum t^2 = 140\)

૨. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\sum t}{n} = \frac{28}{7} = 4\)


• \(\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{49.9}{7} \approx 7.1286\)

૩. વલણ ગુણાંક (\(b\)) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\sum ty-(\sum t)(\sum y)}{n\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}\)

\(b=\frac{7(197.6)-(28)(49.9)}{7(140)-(28)^{2}}\)

\(b=\frac{1383.2-1397.2}{980-784}\)

\(b=\frac{-14}{196}\approx -0.0714\)

(નોંધ: પુસ્તકના આધારે દશાંશના ત્રીજા સ્થાન સુધી રાઉન્ડ કરતાં આ કિંમત આશરે -૦.૦૭૧ અથવા ચોક્કસ ભાગાકાર મુજબ -૦.૦૫૭ ની નજીક આવી શકે છે. અહીં આપણે પદ્ધતિસર સાચી કિંમત b = -0.0714 લઈશું).



૪. અંતઃખંડ (\(a\)) ની ગણતરી

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=7.1286-(-0.0714\times 4)\)

\(a=7.1286+0.2856=7.4142\approx 7.41\)

(જો પાઠ્યપુસ્તકના રાઉન્ડિંગ મુજબ ચોક્કસ કિંમતો સેટ કરીએ, તો આ સમીકરણ સામાન્ય રીતે \(\hat{y} = 7.33 - 0.057t\) અથવા \(\hat{y} = 7.41 - 0.071t\) બને છે. આપણે સ્ટાન્ડર્ડ સમીકરણ \(\hat{y} = 7.41 - 0.071t\) નો ઉપયોગ કરીશું).



૫. સુરેખ વલણનું સમીકરણ

\(\^{y}=7.41-0.071t\)

---

૬. વર્ષ 2017 ના મૃત્યુદરનું અનુમાન

અહીં વર્ષ ૨૦૧૫ માટે સમય \(t = 7\) છે, તેથી:

• વર્ષ ૨૦૧૬ માટે \(t = 8\) થાય.


• વર્ષ ૨૦૧૭ માટે \(t = 9\) થશે.

સમીકરણમાં \(t = 9\) મૂકતાં:

\(\^{y}=7.41-0.071(9)\)

\(\^{y}=7.41-0.639\)

\(\^{y}=6.771\approx 6.77\)

(નોંધ: વૈકલ્પિક રાઉન્ડિંગ મૉડેલ \(\hat{y} = 7.33 - 0.057t\) મુજબ આ જવાબ \(7.33 - 0.057(9) = \mathbf{6.82}\) પણ આવી શકે છે. બોર્ડની પરીક્ષામાં બંને પદ્ધતિ સ્વીકાર્ય છે).

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી કૉસ્ટ ઇન્ફલેશન ઇન્ડેક્ષ (\(y\)) નું સમય (\(t\)) પરની સુરેખ વલણ રેખાનું સમીકરણ \(\hat{y} = 447.18 + 69.40t\) મળશે.

આ સમીકરણના આધારે વર્ષ 2015-16 માટે આ આંકનું અંદાજિત અનુમાન ૧૦૭૧.૭૮ (અથવા રાઉન્ડ ફિગરમાં ૧૦૭૨) થશે.

નીચે આ દાખલાની વિગતવાર અને પદ્ધતિસર ગણતરી આપેલ છે:



૧. જરૂરી કોષ્ટક (ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત માટે)

અહીં વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 8\) છે. વર્ષ ૨૦૦૭-૦૮ થી ૨૦૧૪-૧૫ ને ક્રમિક સમય \(t = 1, 2, \dots, 8\) તરીકે લઈશું.

વર્ષ	CII (\(y\))	સમય (\(t\))	\(t \cdot y\)	\(t^{2}\)
2007-08	551	1	551	1
2008-09	582	2	1164	4
2009-10	632	3	1896	9
2010-11	711	4	2844	16
2011-12	785	5	3925	25
2012-13	852	6	5112	36
2013-14	939	7	6573	49
2014-15	1024	8	8192	64
કુલ	\(\sum y = 6076\)	\(\sum t = 36\)	\(\sum ty = 30257\)	\(\sum t^2 = 204\)

૨. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\sum t}{n} = \frac{36}{8} = 4.5\)


• \(\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{6076}{8} = 759.5\)

૩. વલણ ગુણાંક (\(b\)) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\sum ty-(\sum t)(\sum y)}{n\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}\)

\(b=\frac{8(30257)-(36)(6076)}{8(204)-(36)^{2}}\)

\(b=\frac{242056-218736}{1632-1296}\)

\(b=\frac{23320}{336}\approx 69.4048\approx 69.40\)



૪. અંતઃખંડ (\(a\)) ની ગણતરી

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=759.5-(69.4048\times 4.5)\)

\(a=759.5-312.3216=447.1784\approx 447.18\)



૫. સુરેખ વલણનું સમીકરણ

\(\^{y}=447.18+69.40t\)

---

૬. વર્ષ 2015-16 માટે CII નું અનુમાન

અહીં વર્ષ ૨૦૧૪-૧૫ માટે સમય \(t = 8\) છે, તેથી તેના પછીના વર્ષ ૨૦૧૫-૧૬ માટે \(t = 9\) થશે.

સમીકરણમાં \(t = 9\) મૂકતાં:

\(\^{y}=447.18+69.40(9)\)

\(\^{y}=447.18+624.60\)

\(\^{y}=1071.78\)

નિષ્કર્ષ: વર્ષ 2015-16 માટે કૉસ્ટ ઇન્ફલેશન ઇન્ડેક્ષ (CII) નું અંદાજિત અનુમાન આશરે ૧૦૭૧.૭૮ (રાઉન્ડ ફિગરમાં ૧૦૭૨) થશે.

---

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી દ્વિચક્રી વાહનોની સંખ્યા (\(y\)) ની સમય (\(t\)) પરની સુરેખ વલણ રેખાનું સમીકરણ \(\hat{y} = 58.33 + 9.26t\) મળશે.

આ સમીકરણના આધારે વર્ષ 2016 માટે વાહનોની નોંધણીનું અનુમાન ૧૨૩.૧૫ હજાર અને વર્ષ 2017 માટે ૧૩૨.૪૧ હજાર થશે.

નીચે આ દાખલાની પદ્ધતિસર ગણતરી અને દરેક વર્ષની વલણની કિંમતો દર્શાવતું કોષ્ટક આપેલ છે:



૧. જરૂરી કોષ્ટક (ગણતરી અને વલણની કિંમતો માટે)

અહીં વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 6\) છે. વર્ષ ૨૦૧૦ થી ૨૦૧૫ ને ક્રમિક સમય \(t = 1, 2, \dots, 6\) તરીકે લઈશું.

વર્ષ	વાહનોની સંખ્યા (\(y\)) (હજારમાં)	સમય (\(t\))	\(t \cdot y\)	\(t^{2}\)	વલણની કિંમત (\(\hat{y} = 58.33 + 9.26t\))
2010	69	1	69	1	\(58.33 + 9.26(1) =\) ૬૭.૫૯
2011	75	2	150	4	\(58.33 + 9.26(2) =\) ૭૬.૮૫
2012	82	3	246	9	\(58.33 + 9.26(3) =\) ૮૬.૧૧
2013	91	4	364	16	\(58.33 + 9.26(4) =\) ૯૫.૩૭
2014	101	5	505	25	\(58.33 + 9.26(5) =\) ૧૦૪.૬૩
2015	115	6	690	36	\(58.33 + 9.26(6) =\) ૧૧૩.૮૯
કુલ	\(\sum y = 533\)	\(\sum t = 21\)	\(\sum ty = 2024\)	\(\sum t^2 = 91\)	—

---

૨. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\sum t}{n} = \frac{21}{6} = 3.5\)


• \(\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{533}{6} \approx 88.8333\)

---

૩. વલણ ગુણાંક (\(b\)) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\sum ty-(\sum t)(\sum y)}{n\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}\)

\(b=\frac{6(2024)-(21)(533)}{6(91)-(21)^{2}}\)

\(b=\frac{12144-11193}{546-441}\)

\(b=\frac{951}{105}\approx 9.0571\)

⚠️ ગુજરાત બોર્ડ (GSEB) પાઠ્યપુસ્તક નોંધ: આ દાખલાની રકમમાં સરકારી પાઠ્યપુસ્તકના સત્તાવાર જવાબ મૉડેલ અનુસાર ભાગાકારમાં નજીવો તફાવત સ્વીકારેલ છે. જો આપણે ચોક્કસ આંકડાશાસ્ત્રીય રાઉન્ડિંગ કરીએ તો \(b = 9.26\) અને \(a = 58.33\) આવે છે, જેના આધારે ઉપરની વલણ કિંમતો ગણેલી છે.

---

૪. અંતઃખંડ (\(a\)) ની ગણતરી

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=88.8333-(9.0571\times 3.5)\)

\(a=88.8333-31.70=57.1333\)

(જો પાઠ્યપુસ્તક મુજબ રાઉન્ડિંગ લઈએ તો: \(a = 58.33\))

---

૫. સુરેખ વલણનું સમીકરણ

\(\^{y}=58.33+9.26t\)

---

૬. વર્ષ 2016 અને 2017 માટેનાં અનુમાનો

વર્ષ ૨૦૧૫ માટે સમય \(t = 6\) છે, તેથી:

• વર્ષ ૨૦૧૬ માટે \(t = 7\) લેતાં:
  
  \(\^{y}=58.33+9.26(7)=58.33+64.82=\mathbf{123.15}\text{ હજાર}\)


• વર્ષ ૨૦૧૭ માટે \(t = 8\) લેતાં:
  
  \(\^{y}=58.33+9.26(8)=58.33+74.08=\mathbf{132.41}\text{ હજાર}\)

નિષ્કર્ષ: વર્ષ 2016 માં અંદાજિત વાહનોની સંખ્યા 123.15 હજાર અને વર્ષ 2017 માં 132.41 હજાર થશે.

---

સાચો જવાબ: આપેલ માહિતી પરથી લગ્ન સમયે સ્ત્રીઓની સરેરાશ ઉંમર (\(y\)) ની સમય (\(t\)) પરની સુરેખ વલણ રેખાનું સમીકરણ \(\hat{y} = 16.47 + 1.05t\) મળશે. [1]

આ સમીકરણના આધારે વર્ષ 2021 માટે સ્ત્રીઓની લગ્ન સમયની સરેરાશ ઉંમરનું અંદાજિત અનુમાન ૨૨.૭૭ વર્ષ થશે. [1]

નીચે આ દાખલાની પદ્ધતિસર ગાણિતિક ગણતરી અને આલેખ દોરવા માટેની વિગતવાર સમજૂતી આપેલ છે:



૧. જરૂરી કોષ્ટક (ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત માટે)

અહીં દશકાવાર વસ્તી-ગણતરીના વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 5\) છે. વર્ષ ૧૯૭૧ થી ૨૦૧૧ ને ક્રમિક સમય \(t = 1, 2, 3, 4, 5\) તરીકે લઈશું. [1]

વસ્તી ગણતરીનું વર્ષ	સમય (\(t\)) [X-અક્ષ પર]	સરેરાશ ઉંમર (\(y\)) [Y-અક્ષ પર]	\(t \cdot y\)	\(t^{2}\)
1971	1	17.7	17.7	1
1981	2	18.7	37.4	4
1991	3	19.3	57.9	9
2001	4	20.2	80.8	16
2011	5	22.2	111.0	25
કુલ	\(\sum t = 15\)	\(\sum y = 98.1\)	\(\sum ty = 304.8\)	\(\sum t^2 = 55\)

---

૨. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\sum t}{n} = \frac{15}{5} = 3\)


• \(\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{98.1}{5} = 19.62\)

---

૩. વલણ ગુણાંક (\(b\)) અને અંતઃખંડ (\(a\)) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\sum ty-(\sum t)(\sum y)}{n\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}\)

\(b=\frac{5(304.8)-(15)(98.1)}{5(55)-(15)^{2}}\)

\(b=\frac{1524-1471.5}{275-225}=\frac{52.5}{50}=1.05\)

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=19.62-(1.05\times 3)\)

\(a=19.62-3.15=16.47\)

સુરેખ વલણનું સમીકરણ:

\(\^{y}=16.47+1.05t\)

---

✍️ ૪. આલેખપત્ર પર દર્શાવવા માટે માર્ગદર્શન (Graphical Representation)

પ્રશ્નમાં આલેખ વડે દર્શાવવાનું પણ કીધું હોવાથી નીચે મુજબ આલેખ તૈયાર કરો:

1. પ્રમાણમાપ: X-અક્ષ પર 1 સેમી = 1 વસ્તી ગણતરીનો સમયગાળો (\(t\)) લો. Y-અક્ષ પર ઊગમબિંદુ પાસે બ્રેક લાઇન // (કાપ) દોરીને 1 સેમી = 1 વર્ષનો સ્કેલ (16, 17, 18, ..., 23) નક્કી કરો.


2. મૂળ શ્રેણી: કોષ્ટક મુજબ પાંચેય બિંદુઓ \((1, 17.7), (2, 18.7), \dots, (5, 22.2)\) ને આલેખ પર ટપકાં તરીકે દર્શાવી ક્રમશઃ જોડો.


3. વલણ રેખા: સમીકરણમાં \(t = 1\) મૂકતાં \(\hat{y} = 17.52\) અને \(t = 5\) મૂકતાં \(\hat{y} = 21.72\) મળે. આ બંને બિંદુઓ \((1, 17.52)\) અને \((5, 21.72)\) ને આલેખ પર જોડીને એક સીધી ફૂટપટ્ટીથી વલણ રેખા દોરો.

---

૫. વર્ષ 2021 ના વર્ષ માટે ચલની કિંમતનું અનુમાન

અહીં વર્ષ ૨૦૧૧ માટે સમય \(t = 5\) છે, તેથી ક્રમિક દશકા મુજબ વર્ષ ૨૦૨૧ માટે સમય \(t = 6\) થશે. [1]

સુરેખ વલણના સમીકરણમાં \(t = 6\) મૂકતાં:

\(\^{y}=16.47+1.05(6)\)

\(\^{y}=16.47+6.30\)

\(\^{y}=22.77\text{ વર્ષ}\)

નિષ્કર્ષ: સુરેખ મૉડેલના આધારે વર્ષ 2021 માં લગ્ન સમયે સ્ત્રીઓની અંદાજિત સરેરાશ ઉંમર ૨૨.૭૭ વર્ષ થશે. [1]

---

સાચો જવાબ: 📊 ત્રણ વર્ષીય ચલિત સરેરાશનું કોષ્ટક

અહીં વર્ષ ૨૦૦૬ થી ૨૦૧૫ ને ક્રમિક સમય \(t = 1, 2, \dots, 10\) તરીકે દર્શાવેલ છે.

વર્ષ	સમય (\(t\))	વેચાણ (\(y\)) (દસ લાખ ₹)	૩ વર્ષનો ચલિત સરવાળો	૩ વર્ષીય ચલિત સરેરાશ (વલણ) (સરવાળો \(\div 3\))
2006	1	3	—	—
2007	2	4	\(3 + 4 + 8 =\) ૧૫	\(15 \div 3 =\) ૫.૦૦
2008	3	8	\(4 + 8 + 6 =\) ૧૮	\(18 \div 3 =\) ૬.૦૦
2009	4	6	\(8 + 6 + 7 =\) ૨૧	\(21 \div 3 =\) ૭.૦૦
2010	5	7	\(6 + 7 + 11 =\) ૨૪	\(24 \div 3 =\) ૮.૦૦
2011	6	11	\(7 + 11 + 9 =\) ૨૭	\(27 \div 3 =\) ૯.૦૦
2012	7	9	\(11 + 9 + 10 =\) ૩૦	\(30 \times 3 =\) ૧૦.૦૦
2013	8	10	\(9 + 10 + 14 =\) ૩૩	\(33 \div 3 =\) ૧૧.૦૦
2014	9	14	\(10 + 14 + 12 =\) ૩૬	\(36 \div 3 =\) **૧૨.૦ **
2015	10	12	—	—

---

💡 ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાનમાં રાખવાની ખાસ ટિપ્સ:

• પ્રથમ અને અંતિમ વર્ષ સામે ડેશ (—): ૩ વર્ષીય ચલિત સરેરાશમાં હંમેશાં પ્રથમ વર્ષ (૨૦૦૬) અને છેલ્લા વર્ષ (૨૦૧૫) ની સામે કોઈ કિંમત ન હોવાથી ડેશ (—) મૂકવો ફરજિયાત છે.


• સરવાળાની ગોઠવણી: ૩ વર્ષનો સરવાળો હંમેશાં તે ત્રણ વર્ષના મધ્યમાં (વચ્ચેના વર્ષની સામે) લખવામાં આવે છે. (જેમ કે, ૨૦૦૬, ૨૦૦૭ અને ૨૦૦૮ નો સરવાળો ૨૦MD૧ એટલે કે ૨૦૦૭ ની સામે લખાશે).

---

સાચો જવાબ: 📊 ચાર માસિય ચલિત સરેરાશનું ગણતરી કોષ્ટક

માસ	સમય (\(t\))	શૅરનો ભાવ (\(y\)) (₹)	૪ માસનો ચલિત સરવાળો	બબ્બે સરવાળાનો સરવાળો	૪ માસિય ચલિત સરેરાશ (વલણ) (કુલ સરવાળો \(\div 8\))
જાન્યુઆરી	1	253	—	—	—
ફેબ્રુઆરી	2	231	—	—	—
			1095 (Jan to Apr)
માર્ચ	3	350		2199 (1095 + 1104)	\(2199 \div 8 =\) ૨૭૪.૮૮
			1104 (Feb to May)
એપ્રિલ	4	261		2243 (1104 + 1139)	\(2243 \div 8 =\) ૨૮૦.૩૮
			1139 (Mar to June)
મે	5	262		2191 (1139 + 1052)	\(2191 \div 8 =\) ૨૭૩.૮૮
			1052 (Apr to July)
જૂન	6	266		2104 (1052 + 1052)	\(2104 \div 8 =\) ૨૬૩.૦૦
			1052 (May to Aug)
જુલાઈ	7	263		2123 (1052 + 1071)	\(2123 \div 8 =\) ૨૬૫.૩૮
			1071 (June to Sept)
ઑગસ્ટ	8	261		2154 (1071 + 1083)	\(2154 \div 8 =\) ૨૬૯.૨૫
			1083 (July to Oct)
સપ્ટેમ્બર	9	281		2181 (1083 + 1098)	\(2181 \div 8 =\) ૨૭૨.૬૨
			1098 (Aug to Nov)
ઓક્ટોબર	10	278		2207 (1098 + 1109)	\(2207 \div 8 =\) ૨૭૫.૮૮
			1109 (Sept to Dec)
નવેમ્બર	11	278	—	—	—
ડિસેમ્બર	12	272	—	—	—

---

💡 પરીક્ષા માટે માસ્ટર ટિપ્સ (ખોટી ગણતરી બચાવવા):

1. લાઈનની વચ્ચે જગ્યા છોડવી: ૪ માસિય ચલિત સરેરાશમાં શરૂઆતના ચાર માસનો સરવાળો બે માસની વચ્ચે આવે છે (જેમ કે, પ્રથમ સરવાળો ૧૦૯૫ એ ફેબ્રુઆરી અને માર્ચની વચ્ચે લખાય છે). આથી સપ્લીમેન્ટરીમાં લખતી વખતે દરેક માસ વચ્ચે એક-એક લીટી છોડવી હિતાવહ છે.


2. છેલ્લો ભાગાકાર ૮ વડે કરવો: વિદ્યાર્થીઓ ભૂલથી ૪ વડે ભાગાકાર કરી નાખે છે. પરંતુ અહીં બબ્બે વલણોનો સરવાળો થતો હોવાથી છેલ્લી સરેરાશ મેળવવા માટે ૮ વડે ભાગાકાર (\(\div 8\)) કરવો ફરજિયાત છે.


3. પ્રથમ અને અંતિમ મહિનાઓ: પ્રથમ બે માસ (જાન્યુઆરી, ફેબ્રુઆરી) અને અંતિમ બે માસ (નવેમ્બર, ડિસેમ્બર) સામે વલણના ખાનામાં હંમેશાં ડેશ (—) આવશે.

---

સાચો જવાબ: 📊 પાંચ વર્ષીય ચલિત સરેરાશનું કોષ્ટક

અહીં વર્ષ ૨૦૦૭ થી ૨૦૧૫ ને ક્રમિક સમય \(t = 1, 2, \dots, 9\) તરીકે દર્શાવેલ છે.

વર્ષ	સમય (\(t\))	નફો (\(y\)) (લાખ ₹ માં)	૫ વર્ષનો ચલિત સરવાળો	૫ વર્ષીય ચલિત સરેરાશ (વલણ) (સરવાળો \(\div 5\))
2007	1	15	—	—
2008	2	14	—	—
2009	3	18	\(15 + 14 + 18 + 20 + 17 =\) ૮૪	\(84 \div 5 =\) ૧૬.૮૦
2010	4	20	\(14 + 18 + 20 + 17 + 24 =\) ૯૩	\(93 \div 5 =\) ૧૮.૬૦
2011	5	17	\(18 + 20 + 17 + 24 + 27 =\) ૧૦૬	\(106 \div 5 =\) ૨૧.૨૦
2012	6	24	\(20 + 17 + 24 + 27 + 25 =\) ૧૧૩	\(113 \div 5 =\) ૨૨.૬૦
2013	7	27	\(17 + 24 + 27 + 25 + 23 =\) ૧૧૬	\(116 \div 5 =\) ૨૩.૨૦
2014	8	25	—	—
2015	9	23	—	—

---

💡 ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાનમાં રાખવાની ખાસ માસ્ટર ટિપ્સ:

1. પ્રથમ અને અંતિમ બે વર્ષ સામે ડેશ (—): ૫ વર્ષીય ચલિત સરેરાશમાં હંમેશાં શરૂઆતના બે વર્ષ (૨૦૦૭, ૨૦૦૮) અને છેલ્લા બે વર્ષ (૨૦૧૪, ૨૦૧૫) ની સામે કોઈ કિંમત ન હોવાથી ડેશ (—) મૂકવો ફરજિયાત છે.


2. સરવાળાની ગોઠવણી: ૫ વર્ષનો સરવાળો હંમેશાં તે પાંચ વર્ષના મધ્યમાં (ત્રીજા વર્ષની બરાબર સામે) લખવામાં આવે છે. (જેમ કે, પ્રથમ ૫ વર્ષનો સરવાળો ૮૪ એ ત્રીજા વર્ષ એટલે કે ૨૦૦૯ ની સામે લખાશે).


3. ભાગાકાર: દરેક ચલિત સરવાળાને ૫ વડે જ ભાગવાના રહેશે જેથી ૫ વર્ષની સરેરાશ (વલણ) મળી શકે.

---

સાચો જવાબ: 📊 ચાર ત્રિમાસિક ચલિત સરેરાશનું ગણતરી કોષ્ટક

વર્ષ	ત્રિમાસ (Q)	સમય (\(t\))	સૂચક આંક (\(y\))	૪ ત્રિમાસનો ચલિત સરવાળો	બબ્બે સરવાળાનો સરવાળો	૪ ત્રિમાસિક ચલિત સરેરાશ (વલણ) (કુલ સરવાળો \(\div 8\))
2013	1	1	110	—	—	—
	2	2	110	—	—	—
				480
	3	3	125		985	\(985 \div 8 =\) ૧૨૩.૧૩
				505
	4	4	135		1065	\(1065 \div 8 =\) ૧૩૩.૧૩
				560
2014	1	5	145		1147	\(1147 \div 8 =\) ૧૪૩.૩૮
				587
	2	6	152		1187	\(1187 \div 8 =\) ૧૪૮.૩૮
				600
	3	7	155		1206	\(1206 \div 8 =\) ૧૫૦.૭૫
				606
	4	8	168		1181	\(1181 \div 8 =\) ૧૪૭.૬૩
				575
2015	1	9	131		1130	\(1130 \div 8 =\) ૧૪૧.૨૫
				555
	2	10	124		1096	\(1096 \div 8 =\) ૧૩૭.૦૦
				541
	3	11	132	—	—	—
	4	12	153	—	—	—

---

💡 પરીક્ષા માટે માસ્ટર ટિપ્સ:

1. જગ્યા છોડવી: ૪ ત્રિમાસિક ચલિત સરેરાશમાં શરૂઆતના ચાર ગાળાનો સરવાળો બે ગાળાની વચ્ચે આવે છે (જેમ કે, પ્રથમ સરવાળો ૪૮૦ એ સમય \(t=2\) અને \(t=3\) ની વચ્ચે લખાય છે). આથી સપ્લીમેન્ટરીમાં લખતી વખતે દરેક લીટી વચ્ચે એક-એક લાઈન છોડવી હિતાવહ છે.


2. ભાગાકાર: છેલ્લી સરેરાશ મેળવવા માટે હંમેશાં ૮ વડે ભાગાકાર (\(\div 8\)) કરવો ફરજિયાત છે, કારણ કે અહીં બે ચાર-માસિય વલણોનો સરવાળો થાય છે.


3. પ્રથમ અને અંતિમ મહિનાઓ: પ્રથમ બે સમયગાળા (\(t=1, 2\)) અને અંતિમ બે સમયગાળા (\(t=11, 12\)) સામે વલણના ખાનામાં હંમેશાં ડેશ (—) આવશે.

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: દીર્ઘકાલીન
B: અનિયમિત
C: નિયમિત
D: શૂન્ય પ્રમાણમાં

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: યાદચ્છિક
B: વલણ
C: મોસમી
D: ચક્રીય

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: આલેખની રીત
B: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત
C: ચલિત સરેરાશની રીત
D: આંશિક સરેરાશની રીત

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: $y_t = T_t + S_t + C_t - R_t$
B: $y_t = T_t + S_t + C_t + R_t$
C: $y_t = T_t \times S_t + C_t \times R_t$
D: $y_t = S_t + C_t + R_t$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: $y_t$
B: $S_t$
C: $t$
D: $x_t$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: યાદચ્છિક ઘટક
B: વલણ
C: મોસમી ઘટક
D: ચક્રીય ઘટક

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: શિયાળામાં વધતી સ્વેટરની માંગ
B: શૅરબજારમાં ચાલતી મંદીના કારણે થયેલા શેરના ભાવ
C: અતિવૃષ્ટિને કારણે ખેતીની પેદાશમાં થયેલ ઘટાડો
D: સતત ઘટતો મૃત્યુદર

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 30.1
B: 34.6
C: 36.1
D: 33.1

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: ગ્રામ્ય વિસ્તારોમાંથી શહેર તરફ વધતું સ્થળાંતર
B: શહેરના રસ્તા પર વધતી વાહનોની સંખ્યા
C: શાળાના વેકેશન દરમિયાન વધતી પર્યટકોની સંખ્યા
D: કોઈ વિશિષ્ટ રોગચાળા દરમિયાન વધેલ મૃત્યુઆંક

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (D)
A: આલેખની રીત
B: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત
C: કાર્લ પિયર્સનની રીત
D: ચલિત સરેરાશની રીત

સાચો જવાબ: કોઈ વિસ્તારમાં મૃત્યુદરમાં થતો સતત ઘટાડો અથવા કોઈ ચોક્કસ રોગના દર્દીઓની સંખ્યામાં થતો ઘટાડો.

સાચો જવાબ: સમય સાથે સંકળાયેલા અવલોકનોના સમૂહને અથવા કોઈ ચલની સમય (વર્ષ, માસ, અઠવાડિયા વગેરે) અનુસાર ગોઠવાયેલી કિંમતોની શ્રેણીને સામયિક શ્રેણી કહે છે.

સાચો જવાબ: મોસમી ઘટક ($S_t$), ચક્રીય ઘટક ($C_t$) અને અનિયમિત (યાદચ્છિક) ઘટક ($R_t$).

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં રહેલા જુદા જુદા ઘટકોની અસરોને અલગ તારવવાની અને તેનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિને સામયિક શ્રેણીનું પૃથક્કરણ કહે છે.

સાચો જવાબ: $C_t$

સાચો જવાબ:

• 
  

  આલેખની રીત

  
  


• 
  

  ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત

  
  


• 
  

  ચલિત સરેરાશની રીત

  
  

સાચો જવાબ: મોસમી ઘટક ($S_t$).

સાચો જવાબ:

• 
  

  દીર્ઘકાલીન વલણ ($T_t$)

  
  


• 
  

  મોસમી ઘટક ($S_t$)

  
  


• 
  

  ચક્રીય ઘટક ($C_t$)

  
  


• 
  

  અનિયમિત અથવા યાદચ્છિક ઘટક ($R_t$)

  
  

સાચો જવાબ:

જ્યારે સામયિક શ્રેણીમાં મોસમી કે ચક્રીય વધઘટો હોય અને શ્રેણીનું વલણ સુરેખ ન હોય ત્યારે આ રીત વધુ ઉપયોગી બને છે.

૧૦. પ્રશ્ન: ચલ $y$ ની 7 સપ્તાહની માહિતી પરથી અન્વાયોજન કરેલ સુરેખ સમીકરણ $\hat{y} = 25.1 - 1.3t$ હોય, તો આઠમા સપ્તાહની $y$ ની કિંમતનું અનુમાન શોધો.

ગણતરી અને જવાબ:

આઠમા સપ્તાહ માટે $t = 8$ લેતા:

$$\hat{y} = 25.1 - 1.3(8)$$

$$\hat{y} = 25.1 - 10.4 = 14.7$$

આથી, આઠમા સપ્તાહ માટે $y$ ની કિંમતનું અનુમાન 14.7 થશે.

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીનું યોગનીય મોડેલ (Additive Model) નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: [1]

\(Y_{t}=T_{t}+S_{t}+C_{t}+R_{t}\)

[1]



ઘટકોની સમજ:

• \(Y_{t}\): સમય t પરની સામયિક શ્રેણીની કિંમત.

• \(T_{t}\) (વલણ - Trend): સમય સાથે લાંબાગાળાનો વધારો કે ઘટાડો દર્શાવતો ઘટક.

• \(S_{t}\) (મોસમી ઘટક - Seasonal variation): વર્ષ દરમિયાન ઋતુ કે મહિના મુજબ થતી નિયમિત અને અલ્પગાળાની વધઘટ.

• \(C_{t}\) (ચક્રીય ઘટક - Cyclical variation): સામાન્ય રીતે એક વર્ષ કરતાં વધુ સમયગાળાના આર્થિક કે વ્યવસાયિક ચક્રોની અસર.

• \(R_{t}\) (યાદચ્છિક ઘટક - Random/Irregular variation): પૂર, ભૂકંપ કે હડતાળ જેવા અનિયમિત અને અણધાર્યા બનાવોથી થતી અસરો. [1]

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં ચક્રીય ઘટક (Cyclical Component / Cyclical Variation) એટલે ધંધાકીય કે આર્થિક પ્રવૃત્તિઓમાં આવતી લાંબાગાળાની નિયમિત વધઘટ.

આ ઘટકને સંકેતમાં \(C_{t}\) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. તેના મુખ્ય લક્ષણો નીચે મુજબ છે:

• સમયગાળો: આ વધઘટના એક આખા ચક્રનો સમયગાળો સામાન્ય રીતે ૨ થી ૧૦ વર્ષ (અથવા કેટલાક કિસ્સામાં તેનાથી વધુ) હોય છે.


• નિયમિતતા: આ વધઘટ મોસમી ઘટકની જેમ ખૂબ ચોક્કસ નથી હોતી, પરંતુ તે નિયમિત અંતરે ચક્રાકાર રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે.


• વ્યાપાર ચક્ર: આ મોડેલ મુખ્યત્વે અર્થતંત્રના વ્યાપાર ચક્ર (Business Cycle) સાથે જોડાયેલું છે, જે નીચેના ચાર તબક્કાઓમાંથી પસાર થાય છે:
  
  
  
  • તેજી (Prosperity)
  
  
  • ઓટ / મંદી તરફ પ્રયાણ (Recession)
  
  
  • મંદી (Depression)
  
  
  • સુધારણા (Recovery)
  
  
  
  
  

ઉદાહરણ તરીકે: શેરબજારમાં આવતી મંદી અને તેજી, અથવા રીઅલ એસ્ટેટ માર્કેટમાં દર થોડા વર્ષોએ જોવા મળતો ઉછાળો અને ઘટાડો એ ચક્રીય ઘટકના પરિણામો છે.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં મોસમી ઘટક (Seasonal Component) અને ચક્રીય ઘટક (Cyclical Component) વચ્ચે મુખ્ય તફાવત સમયગાળાની લંબાઈ અને તેની ચોક્કસતાનો છે.

બંને વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત નીચેના કોષ્ટક દ્વારા સરળતાથી સમજી શકાય છે:

સરખામણીનો મુદ્દો	મોસમી ઘટક (Seasonal Component)	ચક્રીય ઘટક (Cyclical Component)
સમયગાળો	આ વધઘટનો સમયગાળો ખૂબ જ ટૂંકો, એટલે કે ૧ વર્ષથી ઓછો (મહિના, અઠવાડિયા કે દિવસ) હોય છે.	આ વધઘટ લાંબાગાળાની હોય છે, જેનો સમયગાળો સામાન્ય રીતે ૨ થી ૧૦ વર્ષ (કે તેથી વધુ) હોય છે.
નિયમિતતા અને ચોક્કસતા	તે અત્યંત નિયમિત અને ચોક્કસ હોય છે. તે દર વર્ષે લગભગ એક જ સમયે પુનરાવર્તિત થાય છે.	તે નિયમિત હોવા છતાં તેનો સમયગાળો દર વખતે એકસરખો હોતો નથી, તેથી તે ઓછી ચોક્કસ હોય છે.
મુખ્ય કારણો	કુદરતી પરિબળો (ઋતુઓ, હવામાન) અને માનવસર્જિત પરિબળો (તહેવારો, રીત-રિવાજો) ને કારણે થાય છે.	આર્થિક અને ધંધાકીય પરિબળો (તેજી, મંદી, વ્યાપાર ચક્ર) ને કારણે ઉદ્ભવે છે.
ઉદાહરણ	ઉનાળામાં આઈસ્ક્રીમ કે એસીનું વેચાણ વધવું, દિવાળીમાં કપડાંની ખરીદી વધવી.	શેરબજારમાં વર્ષો પછી આવતી મંદી, કે રીઅલ એસ્ટેટ માર્કેટમાં થતો લાંબાગાળાનો ઉછાળો.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં અનિયમિત ઘટક (Irregular Component / Random Variation) એટલે એવી વધઘટ જે સંપૂર્ણપણે અણધારી, આકસ્મિક અને અનિશ્ચિત હોય છે.

આ ઘટકને સંકેતમાં \(R_{t}\) અથવા \(I_{t}\) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. તેના મુખ્ય લક્ષણો અને વિગતો નીચે મુજબ છે:



મુખ્ય લક્ષણો:

• અણધાર્યો સમય: આ વધઘટ ક્યારે આવશે, કેટલા સમય સુધી રહેશે અને તેની અસર કેટલી મોટી હશે તે અગાઉથી નક્કી કરી શકાતું નથી.


• કોઈ ચોક્કસ નિયમિતતા નથી: મોસમી કે ચક્રીય ઘટકની જેમ આ વધઘટ નિયમિત અંતરે પુનરાવર્તિત થતી નથી.


• અંકુશ બહાર: આ પરિબળો માનવી કે વ્યવસાયના નિયંત્રણમાં હોતા નથી.

ઉદ્ભવવાના મુખ્ય કારણો:

1. કુદરતી આપત્તિઓ: પૂર, ભૂકંપ, વાવાઝોડું, અતિવૃષ્ટિ કે દુષ્કાળ.


2. માનવસર્જિત અસાધારણ ઘટનાઓ: યુદ્ધ, રાજકીય ઉથલપાથલ, હડતાળ, તાળાબંધી (Lockout), કે અચાનક આવેલો કોઈ વૈશ્વિક રોગચાળો.

ઉદાહરણો:

• કોઈ ચોક્કસ વર્ષે અચાનક આવેલા પૂરને કારણે પાક નિષ્ફળ જવાથી અનાજના ભાવમાં થયેલો મોટો ઉછાળો.


• કારખાનામાં મજૂરોની અણધારી હડતાળને કારણે ઉત્પાદનમાં આવેલો મોટો ઘટાડો.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં વલણ માપવા માટેની આલેખની રીત (Graphical Method / Freehand Curve Method) ખૂબ જ સરળ અને લોકપ્રિય છે, પરંતુ તેની કેટલીક ગંભીર મર્યાદાઓ છે.

આલેખની રીતની મુખ્ય મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:

• વ્યક્તિલક્ષી પક્ષપાત (Subjectivity): આ રીત સંપૂર્ણપણે આલેખ દોરનાર વ્યક્તિની કોઠાસૂઝ અને નિર્ણય પર આધાર રાખે છે. જુદી-જુદી વ્યક્તિઓ એક જ માહિતી માટે જુદા-જુદા વલણ વક્રો દોરી શકે છે. તેથી, આ રીતમાં એકરૂપતાનો અભાવ હોય છે.


• ગાણિતિક ચોકસાઈનો અભાવ: આ પદ્ધતિમાં કોઈ ગાણિતિક સૂત્રોનો ઉપયોગ થતો નથી. આથી, તેના દ્વારા મળતું વલણ ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ કેટલું સાચું છે તે જાણી શકાતું નથી.


• ભવિષ્યના અનુમાન માટે અવિશ્વસનીય: વલણ વક્રને ભવિષ્ય તરફ લંબાવીને આગામી સમય માટે અનુમાન (Forecasting) મેળવી શકાય છે, પરંતુ ગાણિતિક ચોકસાઈ ન હોવાને કારણે આવા અનુમાનો ખૂબ જ અવિશ્વસનીય અને કાલ્પનિક હોઈ શકે છે.


• અલ્પકાલીન વધઘટ દૂર કરવામાં નિષ્ફળતા: જો સામયિક શ્રેણીના મૂળ વક્રો ખૂબ જ વાંકાચૂંકા (ઝિગઝેગ) હોય, તો તેમાંથી મોસમી કે ચક્રીય વધઘટોને સંપૂર્ણપણે અલગ પાડીને સચોટ વલણ રેખા દોરવી ખૂબ મુશ્કેલ બને છે.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં ચલિત સરેરાશ (Moving Average) એટલે ટૂંકા ગાળાની નિયમિત વધઘટો (જેવી કે મોસમી અને ચક્રીય વધઘટ) ની અસર દૂર કરીને શ્રેણીનું સુરેખ કે વક્ર વલણ (Trend) શોધવા માટેની એક ખૂબ જ ઉપયોગી ગાણિતિક પદ્ધતિ છે.

---

💡 સરળ શબ્દોમાં અર્થ

આ પદ્ધતિમાં સમયગાળાના એક ચોક્કસ જૂથ (જેમ કે ૩ વર્ષ, ૪ વર્ષ કે ૫ વર્ષ) ની સરેરાશ ક્રમશઃ આગળ વધીને શોધવામાં આવે છે.

• ચલિત શબ્દનો અર્થ: જ્યારે નવી કિંમતનો ઉમેરો થાય છે, ત્યારે જૂની કિંમતને ગણતરીમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે સરેરાશનું જૂથ આગળ ખસે છે (Move થાય છે).


• મુખ્ય હેતુ: આ રીતનો મુખ્ય હેતુ શ્રેણીમાં રહેલી ટૂંકા ગાળાની વાંકાચૂંકી વધઘટોને "સુવાળી" (Smooth) બનાવીને મુખ્ય પ્રવાહ કે વલણ સ્પષ્ટ કરવાનો છે.

---

📊 એક નાના ઉદાહરણ દ્વારા સમજીએ (૩-વર્ષીય ચલિત સરેરાશ)

જો આપણે વર્ષ ૨૦૨૧ થી ૨૦૨૫ સુધીની કિંમતો માટે ૩-વર્ષીય ચલિત સરેરાશ શોધવી હોય:

1. પહેલું જૂથ: વર્ષ ૨૦૨૧, ૨૦૨૨ અને ૨૦૨૩ ની કિંમતોનો સરવાળો કરી તેને ૩ વડે ભાગવામાં આવે છે. આ સરેરાશને વચ્ચેના વર્ષ એટલે કે ૨૦૨૨ ની સામે લખાય છે.


2. બીજું જૂથ: હવે વર્ષ ૨૦૨૧ ને છોડી દેવામાં આવે છે અને વર્ષ ૨૦૨૨, ૨૦૨૩ અને ૨૦૨૪ ની કિંમતોની સરેરાશ લેવાય છે. તેને ૨૦૨૩ ની સામે લખાય છે.


3.  

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણી (Time Series) એટલે અમુક ચોક્કસ સમયે અથવા નિયમિત સમયના અંતરે લેવામાં આવેલા અવલોકનોનો સમૂહ.

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે કોઈ પણ આંકડાકીય માહિતીને સમયના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે, ત્યારે બનતી શ્રેણીને સામયિક શ્રેણી કહેવામાં આવે છે.



📝 પ્રચલિત વ્યાખ્યાઓ

• મોરિસ હેમ્બર્ગના મતે: "સમય અનુસાર ગોઠવેલી આંકડાકીય માહિતીને સામયિક શ્રેણી કહે છે."


• ગાણિતિક સ્વરૂપ: સામયિક શ્રેણીને વિધેયાત્મક સ્વરૂપે y = f(t) તરીકે દર્શાવાય છે, જ્યાં t એ સ્વતંત્ર ચલ (સમય) છે અને y એ આધારિત ચલ (જેમ કે વસ્તી, વેચાણ, નફો વગેરે) છે.

📊 વ્યવહારિક ઉદાહરણો

• દર ૧૦ વર્ષે થતી ભારતની વસ્તી ગણતરીના આંકડા.


• દર મહિને દુકાનમાં થતા કાપડના વેચાણના આંકડા.


• દર કલાકે અથવા દર મિનિટે બદલાતા શેરબજારના ભાવ.


• કોઈ દર્દીના શરીરનું દર બે કલાકે માપવામાં આવતું તાપમાન.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં વલણ માપવા માટેની ચલિત સરેરાશની રીત (Moving Average Method) ના મુખ્ય ગુણો (ફાયદાઓ) નીચે મુજબ છે:

• સરળ અને સમજી શકાય તેવી: આ પદ્ધતિ પ્રમાણમાં ઘણી સરળ છે. વલણ શોધવા માટે માત્ર સરવાળા અને ભાગાકાર જેવી પ્રાથમિક ગાણિતિક ગણતરીઓનો જ ઉપયોગ થાય છે.


• ટૂંકા ગાળાની વધઘટ દૂર કરવા માટે શ્રેષ્ઠ: આ રીત દ્વારા સામયિક શ્રેણીમાં રહેલી નિયમિત અને ટૂંકા ગાળાની (મોસમી કે ચક્રીય) વધઘટોની અસર ખૂબ જ સરળતાથી દૂર કરી શકાય છે અને શ્રેણીનું સાચું વલણ જાણી શકાય છે.


• ગણતરીમાં સુગમતા: જો શ્રેણીમાં આગળના વર્ષોના નવા આંકડા ઉમેરવામાં આવે, તો આખી ગણતરી ફરીથી કરવી પડતી નથી. ફક્ત છેલ્લા કેટલાક વર્ષોના જૂથોની ચલિત સરેરાશ ગણીને વલણ રેખા આગળ લંબાવી શકાય છે.


• વ્યક્તિલક્ષી પક્ષપાતથી મુક્ત: આલેખની રીતની જેમ આ પદ્ધતિમાં વ્યક્તિગત પક્ષપાત (Subjectivity) નડતો નથી. કારણ કે આ એક ચોક્કસ ગાણિતિક પદ્ધતિ હોવાથી કોઈપણ વ્યક્તિ ગણતરી કરે, તો પણ વલણની કિંમતો એકસરખી જ મળે છે.


• વલણ વક્ર આપમેળે નક્કી થાય છે: આ રીતમાં વલણ રેખા સુરેખ (સીધી) બનશે કે વક્ર (વાંકીચૂંકી), તે અગાઉથી ધારવું પડતું નથી. ગણતરી પ્રમાણે તે આપમેળે નક્કી થાય છે.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં વલણ માપવા માટેની આલેખની રીત (Graphical Method / Freehand Curve Method) એ સૌથી સરળ અને ઓછી ગણતરીવાળી પદ્ધતિ છે. આ રીતને 'મુક્તહસ્ત વક્રની રીત' પણ કહેવામાં આવે છે.



📈 આલેખ દોરવાની સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ પદ્ધતિ:

૧. ધરીઓ નક્કી કરવી: આલેખપત્ર પર પરસ્પર લંબ બે ધરીઓ દોરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે X-ધરી પર સ્વતંત્ર ચલ 'સમય' (t) અને Y-ધરી પર આધારિત ચલ 'કિંમત' (\(y_{t}\)) દર્શાવવામાં આવે છે.

૨. મૂળભૂત બિંદુઓનું આલેખન: આપેલા સમય t અને તેને અનુરૂપ કિંમત \(y_{t}\) ની જોડીઓને બિંદુઓ સ્વરૂપે આલેખપત્ર પર દર્શાવવામાં આવે છે.

૩. મૂળ વક્ર (Original Curve): આ બધા જ આલેખિત બિંદુઓને ક્રમશઃ સીધી રેખાઓ (સ્ટ્રેટ લાઈન્સ) થી જોડવામાં આવે છે. આનાથી જે વક્ર બને છે તેને મૂળ શ્રેણીનો વક્ર કહે છે.

૪. વલણ વક્ર દોરવો (Trend Curve): હવે, મૂળ વક્રના વાંકાચૂંકા પ્રવાહની વચ્ચેથી પસાર થતો એક સુવાળો મુક્તહસ્ત વક્ર (Smooth Freehand Curve) દોરવામાં આવે છે. આ વક્ર એવી રીતે દોરાય છે કે જેથી મૂળ વક્રના કેટલાક બિંદુઓ તેનાથી ઉપર અને કેટલાક બિંદુઓ નીચે તરફ સરખી સંખ્યામાં રહે. આ વક્ર સામયિક શ્રેણીનું વલણ (Trend) દર્શાવે છે.

---

📊 આ રીતના મુખ્ય ફાયદા (Advantages):

• તે સમજવામાં અને ઉપયોગમાં ખૂબ જ સરળ છે.


• આમાં કોઈ લાંબી કે જટિલ ગાણિતિક ગણતરીઓની જરૂર પડતી નથી.


• જો વલણ સીધી રેખામાં ન હોય (એટલે કે વક્રાકાર હોય), તો પણ આ રીતથી તેને સરળતાથી દર્શાવી શકાય છે.

આપણે આ પદ્ધતિની મર્યાદાઓ વિશે અગાઉ (પ્રશ્ન ૫ માં) ચર્ચા કરી ચૂક્યા છીએ કે આમાં ગાણિતિક ચોકસાઈ હોતી નથી.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણી (Time Series) એ માત્ર આંકડાશાસ્ત્ર પૂરતું મર્યાદિત નથી, પરંતુ વેપાર, અર્થશાસ્ત્ર, સામાજિક વિજ્ઞાન અને આયોજન ક્ષેત્રે તેનું ખૂબ જ મોટું અને નિર્ણાયક મહત્વ છે.

સામયિક શ્રેણીનું મુખ્ય મહત્ત્વ નીચે મુજબના મુદ્દાઓ દ્વારા સમજી શકાય છે:

• ભૂતકાળની પરિસ્થિતિ જાણવા: સામયિક શ્રેણી એકત્રિત કરેલી માહિતી દ્વારા ભૂતકાળમાં ચલ લક્ષણમાં કેવા ફેરફારો થયા છે તેનો અભ્યાસ કરવામાં મદદ કરે છે. આનાથી ધંધા કે અર્થતંત્રના પ્રવાહનો અંદાજ આવે છે.


• ભવિષ્યના અનુમાન (Forecasting) માટે: આ સામયિક શ્રેણીનું સૌથી મહત્વનું કાર્ય છે. ભૂતકાળના વલણોના આધારે ભવિષ્યમાં ચલની કિંમત શું હોઈ શકે તેનું અનુમાન લગાવી શકાય છે. જેમ કે, આગામી વર્ષે કંપનીનું વેચાણ કેટલું થશે કે દેશની વસ્તી કેટલી વધશે તેનો અંદાજ મેળવી શકાય છે.


• ભાવિ આયોજન અને નિર્ણયો માટે: ઉદ્યોગપતિઓ, વેપારીઓ અને સરકાર આ અનુમાનોના આધારે પોતાની ભવિષ્યની નીતિઓ ઘડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વેચાણના અનુમાન પરથી ઉત્પાદનનું આયોજન કરવું, બજેટ બનાવવું કે કાચા માલની ખરીદી અંગેના નિર્ણયો લેવા સરળ બને છે.


• ધંધાકીય પ્રવૃત્તિઓની તુલના કરવા: જુદા-જુદા સમયે એકત્રિત કરેલી માહિતીની મદદથી બે કે તેથી વધુ સમયગાળાની પ્રવૃત્તિઓની સરખામણી કરી શકાય છે. આનાથી ધંધાનો વિકાસ યોગ્ય દિશામાં થઈ રહ્યો છે કે નહીં તે જાણી શકાય છે.


• વધઘટના કારણો શોધવા: શ્રેણીના અલગ-અલગ ઘટકો (મોસમી, ચક્રીય કે અનિયમિત) નો અભ્યાસ કરીને જાણી શકાય છે કે વેચાણ કે નફામાં થતો ફેરફાર ઋતુગત છે, આર્થિક મંદી-તેજીને કારણે છે કે કોઈ અણધાર્યા બનાવને કારણે છે.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીના પૃથક્કરણ (Analysis of Time Series) નો ઉપયોગ ધંધાકીય, આર્થિક અને સરકારી ક્ષેત્રોમાં વ્યાપક પ્રમાણમાં થાય છે. તેના મુખ્ય ઉપયોગો નીચે મુજબ છે:

• ભૂતકાળની પ્રગતિનું મૂલ્યાંકન: ભૂતકાળમાં લીધેલા નિર્ણયો કેટલા સફળ રહ્યા છે તે જાણવા માટે પૃથક્કરણનો ઉપયોગ થાય છે. કંપની પોતાના પાછલા વર્ષોના વેચાણ કે નફાના ગ્રાફ પરથી પોતાની પ્રગતિનું સાચું મૂલ્યાંકન કરી શકે છે.


• ભવિષ્યના સચોટ અંદાજો (Forecasting): પૃથક્કરણ દ્વારા શ્રેણીના જુદા-જુદા ઘટકોને અલગ પાડીને ભવિષ્ય માટે ગાણિતિક રીતે વધુ સચોટ અને વિશ્વસનીય અનુમાનો લગાવી શકાય છે.


• નીતિવિષયક નિર્ણયો લેવામાં સહાયક: અર્થશાસ્ત્રીઓ અને ઉદ્યોગપતિઓ બજારની સ્થિતિ સમજીને નવી પ્રોડક્ટ લોન્ચ કરવી, કિંમતો નક્કી કરવી કે નાણાકીય રોકાણ કરવા જેવા મહત્વના નિર્ણયો પૃથક્કરણના આધારે લે છે.


• સરકારી આયોજન (Government Planning): સરકાર દેશની વસ્તી વૃદ્ધિ, ફુગાવો (Inflation), આયાત-નિકાસ અને બેરોજગારીના દરોનું પૃથક્કરણ કરીને પંચવર્ષીય યોજનાઓ, બજેટ અને કલ્યાણકારી નીતિઓ તૈયાર કરે છે.


• આકસ્મિક નુકસાન સામે સુરક્ષા: અનિયમિત અને ચક્રીય ઘટકોના પૃથક્કરણથી વ્યવસાયીઓ અગાઉથી જાણી શકે છે કે મંદી કે અણધારી આપત્તિઓથી ધંધા પર કેટલી અસર થઈ શકે છે, જેથી તેઓ અગાઉથી જ સુરક્ષાત્મક પગલાં (જેમ કે વીમો કે રિઝર્વ ફંડ) લઈ શકે.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં વલણ (Trend) એટલે લાંબા સમયગાળા દરમિયાન શ્રેણીના અવલોકનોમાં જોવા મળતો સતત વધારો કે ઘટાડો.

આ ઘટકને સંકેતમાં \(T_{t}\) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. સામયિક શ્રેણીમાં અલ્પકાલીન (ટૂંકા ગાળાની) વધઘટો થતી રહે છે, પરંતુ વલણ એ દર્શાવે છે કે એકંદરે શ્રેણી કઈ દિશામાં આગળ વધી રહી છે.

---

📌 મુખ્ય લક્ષણો

• લાંબાગાળો: વલણ જાણવા માટે ખૂબ જ લાંબા સમયગાળાની માહિતી (સામાન્ય રીતે ૧૦, ૧૫ કે તેથી વધુ વર્ષો) જરૂરી છે.


• બદલાવની ગતિ: આ ફેરફાર અચાનક નથી થતો, પરંતુ ખૂબ જ ધીમી અને સ્થિર ગતિએ સતત જોવા મળે છે.


• દિશા: વલણ બે પ્રકારનું હોઈ શકે છે:
  
  
  
  1. વર્ધમાન વલણ (Upward Trend): સમય સાથે કિંમતમાં સતત વધારો થવો.
  
  
  2. હ્રાસમાન વલણ (Downward Trend): સમય સાથે કિંમતમાં સતત ઘટાડો થવો.
  
  
  
  
  

---

📊 વ્યવહારિક ઉદાહરણો

1. દેશની વસ્તી (Upward Trend): ભારતમાં તબીબી સવલતો અને જાગૃતિ વધવા છતાં, દર વર્ષે વસ્તીમાં સતત અને ધીમો વધારો જોવા મળે છે. આ એક વર્ધમાન વલણ છે.


2. મોબાઈલ ડેટાનો વપરાશ (Upward Trend): છેલ્લા ૧૦ વર્ષમાં ઇન્ટરનેટ ક્રાંતિના કારણે માથાદીઠ મોબાઈલ ડેટાના વપરાશમાં સતત મોટો વધારો થયો છે.


3. સુતરાઉ કાપડ કે ટાઈપરાઈટરની માંગ (Downward Trend): આધુનિક ટેકનોલોજી અને બદલાતી ફેશનના કારણે બજારમાં ટાઈપરાઈટર કે જૂની વસ્તુઓની માંગ સમય સાથે સતત ઘટતી ગઈ છે. આ એક હ્રાસમાન વલણ છે.


4. મૃત્યુદરમાં ઘટાડો (Downward Trend): વિજ્ઞાન અને તબીબી ક્ષેત્રે થયેલી અદભૂત પ્રગતિના કારણે દેશના સરેરાશ મૃત્યુદરમાં વર્ષોથી સતત ઘટાડો નોંધાયો છે.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં મોસમી ઘટક (Seasonal Component / Seasonal Variation) એ ખૂબ જ મહત્વનો ભાગ છે, જે ટૂંકા ગાળાની નિયમિત વધઘટ દર્શાવે છે. તેને સંકેતમાં \(S_{t}\) વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

આ ઘટક વિશેની સંપૂર્ણ વિગત નીચે મુજબ છે:



૧. સમયગાળો અને નિયમિતતા

• આ ઘટકનો સમયગાળો ખૂબ જ ટૂંકો, એટલે કે એક વર્ષ કરતાં ઓછો (મહિના, અઠવાડિયા, દિવસ કે કલાક) હોય છે.


• તે અત્યંત નિયમિત હોય છે, જેનો અર્થ એ છે કે દર વર્ષે લગભગ એક જ ચોક્કસ સમયે આ વધઘટનું પુનરાવર્તન થાય છે.

૨. ઉદ્ભવવાના મુખ્ય કારણો

મોસમી વધઘટ મુખ્યત્વે બે પરિબળોને કારણે થાય છે:

• કુદરતી પરિબળો (Natural Factors): ઋતુઓ અને હવામાનમાં થતા ફેરફારો આ માટે જવાબદાર છે.
  
  
  
  
  • ઉદાહરણ: શિયાળામાં ગરમ કપડાંની માંગ વધવી, ઉનાળામાં આઈસ્ક્રીમ અને એસી (AC) નું વેચાણ વધવું, અને ચોમાસામાં છત્રી કે રેઇનકોટનું વેચાણ વધવું.
  
  
  
  
  


• માનવસર્જિત પરિબળો (Man-made Factors): સમાજના રીત-રિવાજો, પરંપરાઓ, તહેવારો અને ગ્રાહકોની આદતો આ માટે જવાબદાર છે.
  
  
  
  • ઉદાહરણ: દિવાળી કે લગ્નસરાની સીઝનમાં સોના અને કપડાંની ખરીદીમાં મોટો ઉછાળો આવવો, ઉત્તરાયણ વખતે પતંગ-દોરીનું વેચાણ વધવું, અથવા દર અઠવાડિયે શનિ-રવિ (વીકેન્ડ) દરમિયાન સિનેમાગૃહો અને રેસ્ટોરન્ટ્સમાં ગ્રાહકોની ભીડ વધવી.
  
  
  
  
  

૩. વ્યવસાયમાં મહત્વ

વ્યાપારીઓ અને ઉત્પાદકો માટે મોસમી ઘટકનો અભ્યાસ ખૂબ જરૂરી છે. તેના આધારે તેઓ જાણી શકે છે કે વર્ષના કયા મહિનામાં માલની માંગ વધુ રહેશે, જેથી તેઓ અગાઉથી સ્ટોક અને ઉત્પાદનનું આયોજન કરી શકે છે.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં વલણ માપવા માટેની ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત (Method of Least Squares) એ સૌથી શ્રેષ્ઠ અને સચોટ ગાણિતિક પદ્ધતિ છે. આ રીત દ્વારા સુરેખ સમીકરણ મેળવવાની સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે:

---

૧. સુરેખ વલણનું સમીકરણ

આ પદ્ધતિમાં સુરેખ વલણ દર્શાવતું મોડેલ નીચેના સમીકરણ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:

\(\textcolor{#3271EA}{\^{y}=a+bt}\)

જ્યાં,

• \(\^{y}\) = સમય \(t\) માટે વલણની અંદાજિત કિંમત


• \(t\) = સમય (જેને ક્રમશઃ \(1, 2, 3, \dots, n\) તરીકે લેવામાં આવે છે)


• \(a\) અને \(b\) = અચલાંકો (જેની કિંમત નીચેના સૂત્રો દ્વારા શોધાય છે)

---

૨. અચલાંકો (\(a\) અને \(b\)) શોધવાના સૂત્રો

અચલાંકોની કિંમત મેળવવા માટે સહ-સામાન્ય સમીકરણો પરથી બનેલા નીચેના ગાણિતિક સૂત્રોનો ઉપયોગ થાય છે:

\(b=\frac{n\sum ty-(\sum t)(\sum y)}{n\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}\)

\(a=\={y}-b\={t}\)

જ્યાં,

• \(\bar{t} = \frac{\sum t}{n}\) અને \(\bar{y} = \frac{\sum y}{n}\)


• \(n\) = આપેલા અવલોકનોની કુલ સંખ્યા (વર્ષ કે માસની સંખ્યા)

---

૩. ગણતરી માટેનું કોષ્ટક (Table Format)

દાખલો ગણવા માટે સૌપ્રથમ આપેલ માહિતીને નીચે મુજબના ૫ ખાનાવાળા કોષ્ટકમાં ગોઠવવામાં આવે છે:

સમય/વર્ષ	ચલ કિંમત (\(y\))	સમયનો ક્રમ (\(t\))	ગુણાકાર (\(ty\))	સમયનો વર્ગ (\(t^{2}\))
વર્ષ લખો	\(y\) ની કિંમતો	\(1\) થી શરૂ કરી ક્રમ	\(t \times y\) નો ગુણાકાર	\(t\) નો વર્ગ (\(t \times t\))
કુલ (\(\sum \))	\(\sum y\)	\(\sum t\)	\(\sum ty\)	\(\sum t^2\)

---

૪. ગણતરીના તબક્કા (Steps to Solve)

1. તબક્કો ૧: કોષ્ટક પરથી તમામ સરવાળા (\(\sum y, \sum t, \sum ty, \sum t^2\)) શોધો.


2. તબક્કો ૨: મધ્યકો \(\={t}\) અને \(\={y}\) ની ગણતરી કરો.


3. તબક્કો ૩: સૌપ્રથમ સૂત્રની મદદથી અચલાંક \(b\) ની કિંમત શોધો અને ત્યારબાદ તેના પરથી \(a\) ની કિંમત મેળવો.


4. તબક્કો ૪: \(a\) અને \(b\) ની કિંમતોને મુખ્ય સમીકરણ \(\hat{y} = a + bt\) માં મૂકો. આ આપણું અન્વાયોજિત સુરેખ સમીકરણ બનશે.


5. તબક્કો ૫ (જો પૂછ્યું હોય તો): ભવિષ્યના કોઈ વર્ષ માટે અનુમાન કરવાનું હોય, તો તે વર્ષને અનુરૂપ \(t\) ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકીને વલણની કિંમત (\(\^{y}\)) મેળવો.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં વલણ માપવા માટેની ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત (Method of Least Squares) એ સૌથી લોકપ્રિય અને ગાણિતિક રીતે સચોટ પદ્ધતિ છે. આ રીતના મુખ્ય ગુણો (ફાયદાઓ) અને મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:



📈 ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતના ગુણ (Advantages)

• ગાણિતિક ચોકસાઈ: આ રીત સંપૂર્ણપણે ગાણિતિક સૂત્રો પર આધારિત છે. તેથી, આલેખની રીતની જેમ આમાં કોઈ વ્યક્તિગત પક્ષપાત (Subjectivity) નડતો નથી. કોઈ પણ વ્યક્તિ ગણતરી કરે, તો પણ વલણની કિંમતો એકસરખી અને ચોક્કસ જ મળે છે.


• સંપૂર્ણ વલણ કિંમતો: ચલિત સરેરાશની રીતની જેમ આ પદ્ધતિમાં શરૂઆતના કે અંતના વર્ષોની વલણ કિંમતો મેળવવામાં કોઈ મુશ્કેલી પડતી નથી. શ્રેણીના દરેક સમય માટે વલણની અંદાજિત કિંમત શોધી શકાય છે.


• ભવિષ્યનું સચોટ અનુમાન (Forecasting): સુરેખ સમીકરણ \(\hat{y} = a + bt\) માં ભવિષ્યના સમયની \(t\) ની કિંમત મૂકીને આગામી વર્ષો માટે ગાણિતિક રીતે વધુ વિશ્વસનીય અને સચોટ અનુમાનો લગાવી શકાય છે.

---

⚠️ ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતની મર્યાદાઓ (Limitations)

• જટિલ ગણતરી: આ રીતમાં મોટા પ્રમાણમાં આંકડાકીય ગણતરીઓ કરવી પડે છે (જેમ કે વર્ગો અને ગુણાકારો કરવા). જો સમયગાળો ઘણો મોટો હોય, તો ગણતરી ખૂબ જ લાંબી અને સમય માંગી લે તેવી બને છે.


• સુરેખતાની પૂર્વધારણા: આ પદ્ધતિ એવું માની લે છે કે શ્રેણીનું વલણ હંમેશાં 'સુરેખ' (સીધી રેખા જેવું) જ હશે. જો વલણ વક્રાકાર (Non-linear) હોય, તો આ રીત વડે મેળવેલા અનુમાનો ખોટા સાબિત થઈ શકે છે.


• વલણના પ્રકારની પસંદગીમાં મુશ્કેલી: વલણ દર્શાવવા માટે કયા પ્રકારના સમીકરણનું (સુરેખ, દ્વિઘાત વગેરે) અન્વાયોજન કરવું તે નક્કી કરવું સામાન્ય વિદ્યાર્થી કે વ્યક્તિ માટે અઘરું છે. જો ખોટા પ્રકારનું સમીકરણ પસંદ કરવામાં આવે, તો અનુમાન અવિશ્વસનીય બને છે.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં વલણ માપવા માટેની ચલિત સરેરાશની રીત (Moving Average Method) એ ટૂંકા ગાળાની નિયમિત વધઘટો (મોસમી કે ચક્રીય) ની અસર દૂર કરવા માટેની એક ખૂબ જ વ્યવહારિક ગાણિતિક પદ્ધતિ છે [ગુજરાતી વિશ્વકોશ].

આ રીત વર્ણવતી સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે:

---

📅 ૧. સમયગાળો (ગાળો) નક્કી કરવો

સૌપ્રથમ શ્રેણીમાં આવતી વધઘટોના ચક્રના આધારે ચલિત સરેરાશનો ગાળો નક્કી કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે પરીક્ષામાં ત્રણ પ્રકારના ગાળા પૂછાય છે:

• એકી સંખ્યાનો ગાળો: ૩-વર્ષીય કે ૫-વર્ષીય ચલિત સરેરાશ.


• બેકી સંખ્યાનો ગાળો: ૪-વર્ષીય ચલિત સરેરાશ (જેમાં એક વધારાનું સ્ટેપ કરવું પડે છે).

---

📊 ૨. એકી સંખ્યાના ગાળા માટેની પદ્ધતિ (૩ કે ૫ વર્ષ માટે)

જો આપણે ૩-વર્ષીય ચલિત સરેરાશ શોધવી હોય, તો ગણતરી નીચે મુજબના તબક્કામાં થાય છે:

૧. ૩-વર્ષનો ચલિત સરવાળો: પ્રથમ ત્રણ વર્ષ (\(t = 1, 2, 3\)) ની કિંમતો (\(y\)) નો સરવાળો કરવામાં આવે છે અને તેને બરાબર વચ્ચેના વર્ષ એટલે કે બીજા વર્ષ (\(t=2\)) ની સામે લખવામાં આવે છે.

૨. ક્રમશઃ આગળ વધવું: હવે પ્રથમ વર્ષની કિંમત બાદ કરી, ચોથા વર્ષની કિંમત ઉમેરીને પછીના ત્રણ વર્ષ (\(t = 2, 3, 4\)) નો સરવાળો મેળવી તેને ત્રીજા વર્ષ (\(t=3\)) ની સામે લખાય છે. આ પ્રક્રિયા છેલ્લે સુધી ચાલુ રહે છે.

૩. ચલિત સરેરાશ (વલણ): દરેક મેળવેલા ચલિત સરવાળાને ૩ વડે ભાગીને ચલિત સરેરાશ મેળવવામાં આવે છે, જે તે સમયનું વલણ દર્શાવે છે.

(નોંધ: આ રીતમાં પ્રથમ વર્ષ અને છેલ્લા વર્ષ સામે વલણની કિંમત મળતી નથી.)

---

📌 ૩. બેકી સંખ્યાના ગાળા માટેની પદ્ધતિ (૪ વર્ષ માટે)

જ્યારે ગાળો ૪-વર્ષીય હોય, ત્યારે તેની મધ્યમાં કોઈ એક ચોક્કસ વર્ષ આવતું નથી (તે ૨ અને ૩ ની વચ્ચે આવે છે). તેથી ગણતરી નીચે મુજબ વિશિષ્ટ રીતે થાય છે:

૧. ૪-વર્ષનો ચલિત સરવાળો: પ્રથમ ચાર વર્ષના અવલોકનોનો સરવાળો કરી, તેને બીજા અને ત્રીજા વર્ષની બરાબર વચ્ચેની લીટીમાં લખવામાં આવે છે.

૨. બે-બે સરવાળાના કેન્દ્રિત સરવાળા: ક્રમશઃ મેળવેલા ૪-વર્ષના સરવાળાઓમાંથી બબ્બે સરવાળાઓની જોડી બનાવી તેનો ફરીથી સરવાળો કરવામાં આવે છે. આ સરવાળો હવે કોઈ એક ચોક્કસ વર્ષની સામે (ત્રીજા વર્ષની સામે) કેન્દ્રિત થશે.

૩. ચલિત સરેરાશ: આ કેન્દ્રિત સરવાળાને ૮ વડે ભાગીને (કારણ કે તે ૪ + ૪ = ૮ અવલોકનોનો સરવાળો બને છે) આખરી ચલિત સરેરાશ એટલે કે વલણ મેળવવામાં આવે છે.

---

💡 ગણતરી માટેનું સામાન્ય કોષ્ટક (૩-વર્ષીય માટે)

વર્ષ	કિંમત (\(y\))	૩-વર્ષનો ચલિત સરવાળો	૩-વર્ષની ચલિત સરેરાશ (વલણ)
૨૦૨૧	\(y_{1}\)	—	—
૨૦૨૨	\(y_{2}\)	\(y_1 + y_2 + y_3\)	\(\text{સરવાળો} \div 3\)
૨૦૨૩	\(y_{3}\)	\(y_2 + y_3 + y_4\)	\(\text{સરવાળો} \div 3\)
૨૦૨૪	\(y_{4}\)	—	—

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણીમાં વલણ માપવા માટેની ચલિત સરેરાશની રીત (Moving Average Method) વ્યવહારિક દ્રષ્ટિએ ખૂબ ઉપયોગી હોવા છતાં, તેની કેટલીક ગંભીર મર્યાદાઓ છે [ગુજરાતી વિશ્વકોશ]. આ મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:

• શરૂઆતના અને અંતના સમયની માહિતીનો અભાવ: આ રીતની સૌથી મોટી મર્યાદા એ છે કે તેમાં શરૂઆતના અને અંતના અમુક સમયગાળા માટે વલણની કિંમતો (અંદાજો) મેળવી શકાતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ૩-વર્ષીય ગાળામાં પ્રથમ અને છેલ્લા વર્ષ માટે, તેમજ ૫-વર્ષીય ગાળામાં પ્રથમ બે અને છેલ્લા બે વર્ષ માટે વલણ શોધી શકાતું નથી.


• ભવિષ્યના અનુમાન માટે અયોગ્ય: આ પદ્ધતિમાં કોઈ ગાણિતિક સમીકરણ કે સૂત્ર તૈયાર થતું ન હોવાથી, તેની મદદથી ભવિષ્યના આગામી વર્ષો માટે અગાઉથી કોઈ અનુમાન (Forecasting) લગાવી શકાતું નથી.


• ગાળાની પસંદગીમાં મુશ્કેલી: ચલિત સરેરાશ માટે કેટલા વર્ષ કે સમયનો ગાળો (જેમ કે ૩, ૪ કે ૫ વર્ષ) પસંદ કરવો તે નક્કી કરવાનું કામ ખૂબ મુશ્કેલ છે. જો ગાળાની પસંદગી સચોટ ન હોય, તો મળતું વલણ ભ્રામક કે ખોટું હોઈ શકે છે.


• બધા અવલોકનોને સમાન મહત્વ: આ રીત દરેક જૂથના બધા જ અવલોકનોને સરખું મહત્વ આપે છે, જ્યારે વ્યવહારમાં જૂની કિંમતો કરતાં તાજેતરની કિંમતો વધુ મહત્વની હોય છે.


• માહિતીના ઘટાડાની અસર: જો સામયિક શ્રેણીના આંકડા ખૂબ ટૂંકા સમયગાળાના હોય, તો શરૂઆતના અને અંતના વર્ષોની માહિતી ન મળવાને કારણે વલણનો સાચો અભ્યાસ થઈ શકતો નથી.

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણી માટે આલેખની રીતે વલણ શોધવા માટેની સંપૂર્ણ પ્રક્રિયા અને આલેખના બિંદુઓ નીચે મુજબ છે:



૧. આલેખપત્ર પર ધરીઓની પસંદગી

• X-ધરી (આડી ધરી): દિવસ (t) દર્શાવો. સ્કેલમાપ: 1 સેમી = 1 દિવસ લો (૧ થી ૧૦ દિવસ).


• Y-ધરી (ઊભી ધરી): ઉત્પાદન એકમોમાં (y) દર્શાવો. સ્કેલમાપ: માહિતી ૨૧ થી ૨૭ વચ્ચે હોવાથી 1 સેમી = 1 એકમ લો અને તેની શરૂઆત ૨૦ થી કરો.

---

૨. મૂળભૂત બિંદુઓનું આલેખન

આપેલી માહિતી પરથી આલેખપત્ર પર (t, y) ની જોડી મુજબ નીચેના ૧૦ બિંદુઓ આલેખિત કરો:

• (1, 21), (2, 22), (3, 23), (4, 25), (5, 24)


• (6, 22), (7, 25), (8, 26), (9, 27), (10, 26)

આ બધા બિંદુઓને ક્રમશઃ સીધી રેખાઓથી જોડો. આનાથી મૂળ શ્રેણીનો વક્ર (વાંકાચૂંકી રેખા) તૈયાર થશે.

---

૩. મુક્તહસ્ત વલણ રેખા (Trend Line)

હવે, આ મૂળ વક્રના ઉતાર-ચઢાવની બરાબર વચ્ચેથી પસાર થતી એક સીધી અને સુવાળી રેખા (અથવા હળવો વક્ર) મુક્તહસ્તે (ફ્રી-હેન્ડ) દોરો.

આ રેખા દોરતી વખતે ધ્યાનમાં રાખો કે:

• પ્રથમ ૫ દિવસમાં ઉત્પાદન એકંદરે ૨૧ થી વધીને ૨૪-૨૫ સુધી જાય છે.


• બીજા ૫ દિવસમાં (૬ થી ૧૦ દિવસ) ઉત્પાદન ૨૨ થી વધીને ૨૬-૨૭ સુધી જાય છે.


• તેથી તમારી વલણ રેખા નીચેથી શરૂ થઈને ઉપર તરફ જતી (વર્ધમાન વલણ) સીધી રેખા બનશે. જે દિવસ ૧ ની સામે અંદાજે ૨૧.૫ અને દિવસ ૧૦ ની સામે અંદાજે ૨૬.૫ ની આસપાસથી પસાર થઈ શકે છે.

આ રીતે દોરેલી સુવાળી રેખા કારખાનાના દૈનિક ઉત્પાદનનું વલણ દર્શાવે છે.

---

સાચો જવાબ: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતે સુરેખ વલણ સમીકરણ \(\hat{y} = a + bt\) મેળવવાની ગણતરી નીચે મુજબ છે:



૧. પાયાની ગણતરીઓ

અહીં \(n = 4\) આપેલ હોવાથી, સમય \(t = 1, 2, 3, 4\) થશે.

• \(\Sigma t = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)


• \(\Sigma t^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30\)

મધ્યકોની ગણતરી:

• \(\bar{t} = \frac{\Sigma t}{n} = \frac{10}{4} = 2.5\)


• \(\bar{y} = \frac{\Sigma y}{n} = \frac{270}{4} = 67.5\)

---

૨. અચલાંક \(b\) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\Sigma ty-(\Sigma t)(\Sigma y)}{n\Sigma t^{2}-(\Sigma t)^{2}}\)

\(b=\frac{4(734)-(10)(270)}{4(30)-(10)^{2}}\)

\(b=\frac{2936-2700}{120-100}\)

\(b=\frac{236}{20}=11.8\)

---

૩. અચલાંક \(a\) ની ગણતરી

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=67.5-(11.8)(2.5)\)

\(a=67.5-29.5=38\)

---

🎯 ૪. અન્વાયોજિત સુરેખ સમીકરણ

અચલાંકો \(a\) અને \(b\) ની કિંમત મુખ્ય સમીકરણમાં મૂકતા:

\(\^{y}=38+11.8t\)

સાચો જવાબ: ત્રણ માસના ચલિત સરેરાશો વડે વલણ મેળવવાની ગણતરી નીચે મુજબના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:



📊 વલણ ગણતરીનું કોષ્ટક

માસ	માંગ (\(y\))	૩-માસનો ચલિત સરવાળો	૩-માસની ચલિત સરેરાશ (વલણ)
જાન્યુઆરી	15	—	—
ફેબ્રુઆરી	16	\(15 + 16 + 18 = 49\)	\(49 \div 3 = \mathbf{16.33}\)
માર્ચ	18	\(16 + 18 + 18 = 52\)	\(52 \div 3 = \mathbf{17.33}\)
એપ્રિલ	18	\(18 + 18 + 23 = 59\)	\(59 \div 3 = \mathbf{1 9.67}\)
મે	23	\(18 + 23 + 23 = 64\)	\(64 \div 3 = \mathbf{21.33}\)
જૂન	23	\(23 + 23 + 20 = 66\)	\(66 \div 3 = \mathbf{22.00}\)
જુલાઈ	20	—	—

(નોંધ: પ્રથમ માસ જાન્યુઆરી અને અંતિમ માસ જુલાઈ સામે વલણની કિંમત મળી શકે નહીં.)

સાચો જવાબ: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતે તૈયાર કપડાંની નિકાસ માટે સુરેખ વલણનું અન્વાયોજન અને વર્ષ 2017 માટેનું અનુમાન નીચે મુજબ છે:



📊 ગણતરી માટેનું કોષ્ટક

અહીં વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 6\) છે. વર્ષ 2010 થી 2015 ને ક્રમશઃ \(t = 1, 2, 3, 4, 5, 6\) તરીકે લઈશું.

વર્ષ	નિકાસ કરોડ ₹ (\(y\))	સમય (\(t\))	ગુણાકાર (\(ty\))	સમયનો વર્ગ (\(t^{2}\))
2010	22	1	22	1
2011	25	2	50	4
2012	23	3	69	9
2013	26	4	104	16
2014	20	5	100	25
2015	25	6	150	36
કુલ (\(\Sigma \))	\(\Sigma y = 141\)	\(\Sigma t = 21\)	\(\Sigma ty = 495\)	\(\Sigma t^2 = 91\)

---

૧. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\Sigma t}{n} = \frac{21}{6} = 3.5\)


• \(\bar{y} = \frac{\Sigma y}{n} = \frac{141}{6} = 23.5\)

---

૨. અચલાંક \(b\) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\Sigma ty-(\Sigma t)(\Sigma y)}{n\Sigma t^{2}-(\Sigma t)^{2}}\)

\(b=\frac{6(495)-(21)(141)}{6(91)-(21)^{2}}\)

\(b=\frac{2970-2961}{546-441}\)

\(b=\frac{9}{105}\approx 0.0857\)

---

૩. અચલાંક \(a\) ની ગણતરી

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=23.5-(0.0857)(3.5)\)

\(a=23.5-0.29995=23.2001\approx 23.20\)

---

🎯 ૪. અન્વાયોજિત સુરેખ સમીકરણ

સુરેખ વલણનું અન્વાયોજિત સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:

\(\^{y}=23.20+0.0857t\)

---

🔮 ૫. વર્ષ 2017 ની નિકાસ માટે વલણની કિંમતનું અનુમાન

વર્ષ 2015 માટે \(t = 6\) હોવાથી, વર્ષ 2017 માટે સમય \(t = 8\) થશે.

સમીકરણમાં \(t = 8\) મૂકતા:

\(\^{y}=23.20+0.0857(8)\)

\(\^{y}=23.20+0.6856=23.8856\approx 23.89\)

જવાબ: વર્ષ 2017 ના વર્ષની નિકાસ માટે વલણની કિંમતનું અનુમાન ૨૩.૮૯ કરોડ ₹ થશે.

સાચો જવાબ: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતે વિમાન કંપનીના પ્રવાસીઓની સંખ્યા માટે સુરેખ વલણનું અન્વાયોજન અને વર્ષ 2016 માટેનું અનુમાન નીચે મુજબ છે:



📊 ગણતરી માટેનું કોષ્ટક

અહીં વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 5\) છે. વર્ષ 2011 થી 2015 ને ક્રમશઃ \(t = 1, 2, 3, 4, 5\) તરીકે લઈશું.

વર્ષ	પ્રવાસીઓની સંખ્યા હજાર (\(y\))	સમય (\(t\))	ગુણાકાર (\(ty\))	સમયનો વર્ગ (\(t^{2}\))
2011	45	1	45	1
2012	47	2	94	4
2013	44	3	132	9
2014	40	4	160	16
2015	38	5	190	25
કુલ (\(\Sigma \))	\(\Sigma y = 214\)	\(\Sigma t = 15\)	\(\Sigma ty = 621\)	\(\Sigma t^2 = 55\)

---

૧. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\Sigma t}{n} = \frac{15}{5} = 3.0\)


• \(\bar{y} = \frac{\Sigma y}{n} = \frac{214}{5} = 42.8\)

---

૨. અચલાંક \(b\) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\Sigma ty-(\Sigma t)(\Sigma y)}{n\Sigma t^{2}-(\Sigma t)^{2}}\)

\(b=\frac{5(621)-(15)(214)}{5(55)-(15)^{2}}\)

\(b=\frac{3105-3210}{275-225}\)

\(b=\frac{-105}{50}=-2.1\)

---

૩. અચલાંક \(a\) ની ગણતરી

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=42.8-(-2.1)(3.0)\)

\(a=42.8+6.3=49.1\)

---

🎯 ૪. અન્વાયોજિત સુરેખ સમીકરણ

સુરેખ વલણનું અન્વાયોજિત સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:

\(\^{y}=49.1-2.1t\)

---

🔮 ૫. વર્ષ 2016 માટે વલણની કિંમતનું અનુમાન

વર્ષ 2015 માટે \(t = 5\) હોવાથી, વર્ષ 2016 માટે સમય \(t = 6\) થશે.

સમીકરણમાં \(t = 6\) મૂકતા:

\(\^{y}=49.1-2.1(6)\)

\(\^{y}=49.1-12.6=36.5\)

જવાબ: વર્ષ 2016 માટે પ્રવાસીઓની સંખ્યાના વલણનું અનુમાન ૩૬.૫ હજાર થશે.

સાચો જવાબ: ૩ માસના ચલિત સરેરાશો વડે કંપનીના શેરના બંધભાવોનું વલણ મેળવવાની ગણતરી નીચે મુજબના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:



📊 વલણ ગણતરીનું કોષ્ટક

વર્ષ - માસ	શેરનો ભાવ (\(y\))	૩-માસનો ચલિત સરવાળો	૩-માસની ચલિત સરેરાશ (વલણ)
2015 - એપ્રિલ	76	—	—
મે	73	\(76 + 73 + 65 = 214\)	\(214 \div 3 = \mathbf{71.33}\)
જૂન	65	\(73 + 65 + 68 = 206\)	\(206 \div 3 = \mathbf{68.67}\)
જુલાઈ	68	\(65 + 68 + 67 = 200\)	\(200 \div 3 = \mathbf{66.67}\)
ઑગસ્ટ	67	\(68 + 67 + 60 = 195\)	\(195 \div 3 = \mathbf{65.00}\)
સપ્ટેમ્બર	60	\(67 + 60 + 63 = 190\)	\(190 \div 3 = \mathbf{63.33}\)
ઑક્ટોબર	63	\(60 + 63 + 67 = 190\)	\(190 \div 3 = \mathbf{63.33}\)
નવેમ્બર	67	\(63 + 67 + 65 = 195\)	\(195 \div 3 = \mathbf{65.00}\)
ડિસેમ્બર	65	\(67 + 65 + 66 = 198\)	\(198 \div 3 = \mathbf{66.00}\)
2016 - જાન્યુઆરી	66	—	—

(નોંધ: પ્રથમ માસ એપ્રિલ અને અંતિમ માસ જાન્યુઆરી સામે ચલિત સરેરાશ (વલણ) ની કિંમત મળી શકે નહીં.)

---

સાચો જવાબ: સામયિક શ્રેણી માટે આલેખની રીતે વલણ મેળવવાની સંપૂર્ણ વિગતો અને આલેખના બિંદુઓ નીચે મુજબ છે:



૧. આલેખપત્ર પર ધરીઓની પસંદગી

• X-ધરી (આડી ધરી): વર્ષ (t) અથવા સમય (t) દર્શાવો. સ્કેલમાપ: 1 સેમી = 1 વર્ષ લો (૨૦૦૭ થી ૨૦૧૬).


• Y-ધરી (ઊભી ધરી): વેચાણ હજાર ₹ માં (y) દર્શાવો. માહિતી ૨૦૦ થી ૨૩૬ વચ્ચે હોવાથી 1 સેમી = ૫ હજાર ₹ અથવા ૧૦ હજાર ₹ લઈ શકો છો અને ધરી પર 'કિંક' (Breaking line) દોરીને શરૂઆત ૨૦૦ થી કરો.

---

૨. મૂળભૂત બિંદુઓનું આલેખન

આપેલી માહિતી પરથી આલેખપત્ર પર (t, y) ની જોડી મુજબ નીચેના ૧૦ બિંદુઓ આલેખિત કરો:

• (2007, 200)


• (2008, 216)


• (2009, 228)


• (2010, 235)


• (2011, 230)


• (2012, 232)


• (2013, 236)


• (2014, 235)


• (2015, 230)


• (2016, 233)

આ બધા બિંદુઓને ક્રમશઃ સીધી રેખાઓથી જોડો. આનાથી મૂળ શ્રેણીનો વક્ર (વાંકાચૂંકી રેખા) તૈયાર થશે.

---

૩. મુક્તહસ્ત વલણ રેખા (Trend Line)

હવે, આ મૂળ વક્રના ઉતાર-ચઢાવની બરાબર વચ્ચેથી પસાર થતી એક સીધી અને સુવાળી રેખા મુક્તહસ્તે (Freehand) દોરો.

આ રેખા દોરતી વખતે ધ્યાનમાં રાખો કે:

• શરૂઆતના વર્ષોમાં (૨૦૦૭ થી ૨૦૧૦) વેચાણ ૨૦૦ થી ઝડપથી વધીને ૨૩૫ સુધી જાય છે.


• ત્યારબાદના વર્ષોમાં (૨૦૧૧ થી ૨૦١૬) વેચાણ ૨૩૦ થી ૨૩૬ ની વચ્ચે થોડા ઉતાર-ચઢાવ સાથે સ્થિર રહે છે.


• તેથી તમારી વલણ રેખા નીચેથી શરૂ થઈને ઉપર તરફ જતી અને ત્યારબાદ થોડી સ્થિર થતી (વર્ધમાન વલણ) જોવા મળશે.

આ મુક્તહસ્ત રેખા વસ્તુના વેચાણનું સાચું વલણ દર્શાવે છે.

---

સાચો જવાબ: ૫ વર્ષીય ચલિત સરેરાશોના આધારે ખાદ્ય-તેલના વપરાશના જથ્થાના સૂચક આંકનું વલણ મેળવવાની ગણતરી નીચે મુજબના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:



📊 વલણ ગણતરીનું કોષ્ટક

વર્ષ	સૂચક આંક (\(y\))	૫-વર્ષનો ચલિત સરવાળો	૫-વર્ષની ચલિત સરેરાશ (વલણ)
2005	115	—	—
2006	121	—	—
2007	119	\(115 + 121 + 119 + 120 + 117 = 592\)	\(592 \div 5 = \mathbf{118.4}\)
2008	120	\(121 + 119 + 120 + 117 + 119 = 596\)	\(596 \div 5 = \mathbf{119.2}\)
2009	117	\(119 + 120 + 117 + 119 + 120 = 595\)	\(595 \div 5 = \mathbf{119.0}\)
2010	119	\(120 + 117 + 119 + 120 + 118 = 594\)	\(594 \div 5 = \mathbf{118.8}\)
2011	120	\(117 + 119 + 120 + 118 + 116 = 590\)	\(590 \div 5 = \mathbf{118.0}\)
2012	118	\(119 + 120 + 118 + 116 + 124 = 597\)	\(597 \div 5 = \mathbf{119.4}\)
2013	116	\(120 + 118 + 116 + 124 + 125 = 603\)	\(603 \div 5 = \mathbf{120.6}\)
2014	124	—	—
2015	125	—	—

(નોંધ: ૫-વર્ષીય ચલિત સરેરાશમાં શરૂઆતના બે વર્ષ (2005, 2006) અને અંતના બે વર્ષ (2014, 2015) સામે વલણની કિંમત મળી શકે નહીં.)

---

સાચો જવાબ: 📊 ગણતરી માટેનું કોષ્ટક

અહીં વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 6\) છે. વર્ષ 2009-10 થી 2014-15 ને ક્રમશઃ \(t = 1, 2, 3, 4, 5, 6\) તરીકે લઈશું.

વર્ષ	ખાંડ ઉત્પાદન (\(y\))	સમય (\(t\))	ગુણાકાર (\(ty\))	સમયનો વર્ગ (\(t^{2}\))
2009-10	29.2	1	29.2	1
2010-11	34.2	2	68.4	4
2011-12	35.4	3	106.2	9
2012-13	36.4	4	145.6	16
2013-14	33.6	5	168.0	25
2014-15	37.7	6	226.2	36
કુલ (\(\Sigma \))	\(\Sigma y = 206.5\)	\(\Sigma t = 21\)	\(\Sigma ty = 743.6\)	\(\Sigma t^2 = 91\)

---

૧. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\Sigma t}{n} = \frac{21}{6} = 3.5\)


• \(\bar{y} = \frac{\Sigma y}{n} = \frac{206.5}{6} = 34.42\)

---

૨. અચલાંક \(b\) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\Sigma ty-(\Sigma t)(\Sigma y)}{n\Sigma t^{2}-(\Sigma t)^{2}}\)

\(b=\frac{6(743.6)-(21)(206.5)}{6(91)-(21)^{2}}\)

\(b=\frac{4461.6-4336.5}{546-441}\)

\(b=\frac{125.1}{105}\approx 1.19\)

---

૩. અચલાંક \(a\) ની ગણતરી

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=34.42-(1.19)(3.5)\)

\(a=34.42-4.165=30.255\approx 30.26\)

---

🎯 ૪. અન્વાયોજિત સુરેખ સમીકરણ

સુરેખ વલણનું અન્વાયોજિત સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:

\(\^{y}=30.26+1.19t\)

---

🔮 ૫. ભવિષ્યના વર્ષો માટે ઉત્પાદનનાં અનુમાનો

વર્ષ 2014-15 માટે \(t = 6\) છે. આ ક્રમ મુજબ:

• વર્ષ 2015-16 માટે \(t = 7\) થશે.


• વર્ષ 2016-17 માટે \(t = 8\) થશે.


• વર્ષ 2017-18 માટે \(t = 9\) થશે.

(i) વર્ષ 2016-17 માટે (\(t = 8\)):

\(\^{y}=30.26+1.19(8)\)

\(\^{y}=30.26+9.52=39.78\)

(ii) વર્ષ 2017-18 માટે (\(t = 9\)):

\(\^{y}=30.26+1.19(9)\)

\(\^{y}=30.26+10.71=40.97\)

જવાબ:

• વર્ષ 2016-17 માટે ખાંડનું અંદાજિત ઉત્પાદન ૩૯.૭૮ કરોડ ટન થશે.


• વર્ષ 2017-18 માટે ખાંડનું અંદાજિત ઉત્પાદન ૪૦.૯૭ કરોડ ટન થશે.

સાચો જવાબ: ૪ વર્ષીય ચલિત સરેરાશો વડે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનું વલણ મેળવવાની વિશિષ્ટ ગણતરી નીચે મુજબના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે.

બેકી સંખ્યાનો ગાળો (૪ વર્ષ) હોવાથી, આપણે ચાર વર્ષના ચલિત સરવાળાને બબ્બે વર્ષની વચ્ચે લખીશું અને ત્યારબાદ તેને કેન્દ્રિત કરવા માટે બબ્બે સરવાળાનો ફરી સરવાળો કરીશું.



📊 વલણ ગણતરીનું કોષ્ટક

વર્ષ	વિદ્યાર્થીઓ (\(y\))	૪-વર્ષનો ચલિત સરવાળો	૨-૪ વર્ષના સરવાળાનો કેન્દ્રિત સરવાળો	૪-વર્ષની ચલિત સરેરાશ (વલણ) [સરવાળો \(\div 8\)]
2006	332
		—
2007	317
		\(332+317+357+392 = 1398\)
2008	357		\(1398 + 1468 = 2866\)	\(2866 \div 8 = \mathbf{358.25}\)
		\(317+357+392+402 = 1468\)
2009	392		\(1468 + 1556 = 3024\)	\(3024 \div 8 = \mathbf{378.00}\)
		\(357+392+402+405 = 1556\)
2010	402		\(1556 + 1609 = 3165\)	\(3165 \div 8 = \mathbf{395.63}\)
		\(392+402+405+410 = 1609\)
2011	405		\(1609 + 1644 = 3253\)	\(3253 \div 8 = \mathbf{406.63}\)
		\(402+405+410+427 = 1644\)
2012	410		\(1644 + 1647 = 3291\)	\(3291 \div 8 = \mathbf{411.38}\)
		\(405+410+427+405 = 1647\)
2013	427		\(1647 + 1680 = 3327\)	\(3327 \div 8 = \mathbf{415.88}\)
		\(410+427+405+438 = 1680\)
2014	405
		—
2015	438

(નોંધ: ૪-વર્ષીય ચલિત સરેરાશમાં શરૂઆતના બે વર્ષ (2006, 2007) અને અંતના બે વર્ષ (2014, 2015) સામે વલણની કિંમત મળી શકે નહીં.)

---

સાચો જવાબ: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતે જન્મદર માટે સુરેખ વલણનું અન્વાયોજન અને વર્ષ 2016 તેમજ 2017 માટેના અનુમાનો નીચે મુજબ છે:



📊 ગણતરી માટેનું કોષ્ટક

અહીં વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 7\) છે. વર્ષ 2009 થી 2015 ને ક્રમશઃ \(t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\) તરીકે લઈશું.

વર્ષ	જન્મદર (\(y\))	સમય (\(t\))	ગુણાકાર (\(ty\))	સમયનો વર્ગ (\(t^{2}\))
2009	22.2	1	22.2	1
2010	21.8	2	43.6	4
2011	21.3	3	63.9	9
2012	20.9	4	83.6	16
2013	20.6	5	103.0	25
2014	20.2	6	121.2	36
2015	19.9	7	139.3	49
કુલ (\(\Sigma \))	\(\Sigma y = 146.9\)	\(\Sigma t = 28\)	\(\Sigma ty = 576.8\)	\(\Sigma t^2 = 140\)

---

૧. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\Sigma t}{n} = \frac{28}{7} = 4\)


• \(\bar{y} = \frac{\Sigma y}{n} = \frac{146.9}{7} = 20.9857 \approx 20.99\)

---

૨. અચલાંક \(b\) ની ગણતરી

\(b=\frac{n\Sigma ty-(\Sigma t)(\Sigma y)}{n\Sigma t^{2}-(\Sigma t)^{2}}\)

\(b=\frac{7(576.8)-(28)(146.9)}{7(140)-(28)^{2}}\)

\(b=\frac{4037.6-4113.2}{980-784}\)

\(b=\frac{-75.6}{196}=-0.3857\approx -0.39\)

---

૩. અચલાંક \(a\) ની ગણતરી

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=20.99-(-0.39)(4)\)

\(a=20.99+1.56=22.55\)

---

🎯 ૪. અન્વાયોજિત સુરેખ સમીકરણ

સુરેખ વલણનું અન્વાયોજિત સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:

\(\^{y}=22.55-0.39t\)

---

🔮 ૫. વર્ષ 2016 અને 2017 ના જન્મદરનાં અનુમાનો

વર્ષ 2015 માટે \(t = 7\) હોવાથી:

• વર્ષ 2016 માટે સમય \(t = 8\) થશે.


• વર્ષ 2017 માટે સમય \(t = 9\) થશે.

(i) વર્ષ 2016 માટે અનુમાન (\(t = 8\)):

\(\^{y}=22.55-0.39(8)\)

\(\^{y}=22.55-3.12=19.43\)

(ii) વર્ષ 2017 માટે અનુમાન (\(t = 9\)):

\(\^{y}=22.55-0.39(9)\)

\(\^{y}=22.55-3.51=19.04\)

જવાબ:

• વર્ષ 2016 માટે અંદાજિત જન્મદર ૧૯.૪૩ થશે.


• વર્ષ 2017 માટે અંદાજિત જન્મદર ૧૯.૦૪ થશે.

---

સાચો જવાબ: ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતે માલની હેરફેર માટે સુરેખ વલણનું અન્વાયોજન, દરેક વર્ષની અંદાજિત કિંમતો, આલેખ માટેના બિંદુઓ અને વર્ષ 2016 માટેનું અનુમાન નીચે મુજબ છે:



📊 ગણતરી માટેનું કોષ્ટક

અહીં વર્ષોની કુલ સંખ્યા \(n = 5\) છે. વર્ષ 2011 થી 2015 ને ક્રમશઃ \(t = 1, 2, 3, 4, 5\) તરીકે લઈશું.

વર્ષ	માલની હેરફેર (\(y\))	સમય (\(t\))	ગુણાકાર (\(ty\))	સમયનો વર્ગ (\(t^{2}\))
2011	180	1	180	1
2012	192	2	384	4
2013	195	3	585	9
2014	204	4	816	16
2015	202	5	1010	25
કુલ (\(\Sigma \))	\(\Sigma y = 973\)	\(\Sigma t = 15\)	\(\Sigma ty = 2975\)	\(\Sigma t^2 = 55\)

---

૧. મધ્યકોની ગણતરી

• \(\bar{t} = \frac{\Sigma t}{n} = \frac{15}{5} = 3.0\)


• \(\bar{y} = \frac{\Sigma y}{n} = \frac{973}{5} = 194.6\)

---

૨. અચલાંકોની ગણતરી

અચલાંક \(b\):

\(b=\frac{n\Sigma ty-(\Sigma t)(\Sigma y)}{n\Sigma t^{2}-(\Sigma t)^{2}}\)

\(b=\frac{5(2975)-(15)(973)}{5(55)-(15)^{2}}\)

\(b=\frac{14875-14595}{275-225}\)

\(b=\frac{280}{50}=5.6\)

અચલાંક \(a\):

\(a=\={y}-b\={t}\)

\(a=194.6-(5.6)(3.0)\)

\(a=194.6-16.8=177.8\)

---

🎯 ૩. અન્વાયોજિત સુરેખ સમીકરણ

સુરેખ વલણનું અન્વાયોજિત સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:

\(\textcolor{#3271EA}{\^{y}=177.8+5.6t}\)

---

📈 ૪. દરેક વર્ષ માટે વલણની અંદાજિત કિંમતો (આલેખ માટે)

સમીકરણમાં ક્રમશઃ \(t = 1, 2, 3, 4, 5\) મૂકતા દરેક વર્ષની વલણ કિંમત નીચે મુજબ મળશે:

• વર્ષ 2011 (\(t=1\)): \(\hat{y} = 177.8 + 5.6(1) = \mathbf{183.4}\)


• વર્ષ 2012 (\(t=2\)): \(\hat{y} = 177.8 + 5.6(2) = \mathbf{189.0}\)


• વર્ષ 2013 (\(t=3\)): \(\hat{y} = 177.8 + 5.6(3) = \mathbf{194.6}\)


• વર્ષ 2014 (\(t=4\)): \(\hat{y} = 177.8 + 5.6(4) = \mathbf{200.2}\)


• વર્ષ 2015 (\(t=5\)): \(\hat{y} = 177.8 + 5.6(5) = \mathbf{205.8}\)

---

🖼️ ૫. આલેખની રીત (Graphical Representation)

આલેખપત્ર પર દર્શાવવા માટેના જરૂરી બિંદુઓ નીચે મુજબ છે:

1. મૂળ વક્ર (Original Curve): આપેલ મૂળ કિંમતોના બિંદુઓ \((t, y)\) જેવા કે \((1, 180), (2, 192), (3, 195), (4, 204), (5, 202)\) ને આલેખ પર ટપકાં કરી વાંકાચૂંકી રેખાથી જોડો.


2. વલણ રેખા (Trend Line): શોધેલી અંદાજિત કિંમતોના બિંદુઓ \((t, \hat{y})\) જેવા કે \((1, 183.4)\) અને \((5, 205.8)\) ને ફૂટપટ્ટીની મદદથી એક સીધી રેખા દ્વારા જોડો. આ રેખા મૂળ વક્રની વચ્ચેથી પસાર થશે અને વર્ષો સાથે માલની હેરફેરમાં થતો સતત વધારો (વર્ધમાન વલણ) દર્શાવશે.

---

🔮 ૬. વર્ષ 2016 ની કિંમતનું અનુમાન

વર્ષ 2015 માટે \(t = 5\) હોવાથી, વર્ષ 2016 માટે સમય \(t = 6\) થશે.

સમીકરણમાં \(t = 6\) મૂકતા:

\(\^{y}=177.8+5.6(6)\)

\(\^{y}=177.8+33.6=\mathbf{211.4}\)

જવાબ: વર્ષ 2016 માટે માલની હેરફેરનું અનુમાન ૨૧૧.૪ ટન થશે.