chapter 1
ધોરણ 12 | విષય: Statistics2
સ્વાધ્યાય 1.1
સાચો જવાબ:
(1) એક સમતોલ સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે.
જવાબ:
$$U = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$$
(2) છ બાજુવાળો એક સમતોલ પાસો અને એક સમતોલ સિક્કો એકસાથે ઉછાળવામાં આવે.
જવાબ:
$$U = \{(1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T), (6,H), (6,T)\}$$
(3) a, b, c, d, e એમ પાંચ વ્યક્તિઓમાંથી બે વ્યક્તિઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે.
જવાબ:
$$U = \{\{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{a,e\}, \{b,c\}, \{b,d\}, \{b,e\}, \{c,d\}, \{c,e\}, \{d,e\}\}$$
સાચો જવાબ:
૧૦૦ ગુણની પરીક્ષામાં વિદ્યાર્થીને મળતા ગુણનો નિદર્શ અવકાશ \(U = \{0, 1, 2, 3, \dots, 100\}\) થાય અને તેના કુલ નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા ૧૦૧ છે.
અહીં વિદ્યાર્થીને ઓછામાં ઓછા ૦ ગુણ અને વધુમાં વધુ ૧૦૦ ગુણ મળી શકે છે (ગુણ પૂર્ણાંકમાં હોવાથી).
વિગતવાર સમજૂતી:
અહીં વિદ્યાર્થીને ઓછામાં ઓછા ૦ ગુણ અને વધુમાં વધુ ૧૦૦ ગુણ મળી શકે છે (ગુણ પૂર્ણાંકમાં હોવાથી).
વિગતવાર સમજૂતી:
- નિદર્શ અવકાશ (U): \(U = \{0, 1, 2, 3, \dots, 100\}\)
- કુલ નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા [n(U)]: 101 (૧ થી ૧૦૦ સુધીના ૧ bowling અને ૦ ગુણ એમ મળીને કુલ ૧૦૧ થાય).
સાચો જવાબ:
$$U = \{(A,B), (A,C), (A,D), (B,A), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C,D), (D,A), (D,B), (D,C)\}$$
(ધારો કે ચાર વ્યક્તિઓ $A, B, C, D$ છે, જ્યાં પહેલો ઘટક મંત્રી અને બીજો ઘટક સહમંત્રી દર્શાવે છે.)
$$U = \{(A,B), (A,C), (A,D), (B,A), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C,D), (D,A), (D,B), (D,C)\}$$
સાચો જવાબ:
જવાબ:
નિદર્શ અવકાશ: $U = \{H, TH, TTH, TTTH, TTTTH, \dots\}$
આ નિદર્શ અવકાશ અનંત છે.
સાચો જવાબ:
પ્રથમ પાંચ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ = $\{1, 2, 3, 4, 5\}$
નિદર્શ અવકાશ: $U = \{\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,2,5\}, \{1,3,4\}, \{1,3,5\}, \{1,4,5\}, \{2,3,4\}, \{2,3,5\}, \{2,4,5\}, \{3,4,5\}\}$
સાચો જવાબ:
(1) પસંદ કરવામાં આવેલ સંખ્યા અયુગ્મ સંખ્યા હોય
જવાબ:
$$A_1 = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\}$$
(2) પસંદ કરવામાં આવેલ સંખ્યા 3 વડે વિભાજ્ય હોય
જવાબ:
$$A_2 = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$$
(3) પસંદ કરવામાં આવેલ સંખ્યા 2 અથવા 3 વડે વિભાજ્ય હોય
જવાબ:
$$A_3 = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20\}$$
સાચો જવાબ:
(ધારો કે નર બાળક માટે B અને નારી બાળક માટે G છે.)
નિદર્શ અવકાશ: $U = \{BB, BG, GB, GG\}$
(1) ઘટના A1 = એક બાળક નારીજાતિ (છોકરી)નું હોય.
જવાબ:
$$A_1 = \{BG, GB\}$$
(2) ઘટના A₂ = ઓછામાં ઓછું એક બાળક નારીજાતિ (છોકરી)નું હોય.
જવાબ:
$$A_2 = \{BG, GB, GG\}$$
સાચો જવાબ:
નિદર્શ અવકાશ: $U = \{(x, y) \mid x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$ (કુલ 36 નિદર્શ બિંદુઓ)
(1) ઘટના A1 = પાસા પરના અંકનો સરવાળો 7 થાય
જવાબ:
$$A_1 = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$$
(2) ઘટના A2 = પાસા પરના અંકનો સરવાળો 4 થી ઓછો થાય
જવાબ:
$$A_2 = \{(1,1), (1,2), (2,1)\}$$
(3) ઘટના A3 = પાસા પરના અંકનો સરવાળો 3 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય
જવાબ:
$$A_3 = \{(1,2), (2,1), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)\}$$
(4) ઘટના A4 = પાસા પરના અંકનો સરવાળો 12થી વધુ થાય
જવાબ:
$$A_4 = \emptyset \text{ (અશક્ય ઘટના)}$$
સાચો જવાબ:
પ્રથમ પાંચ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) માંથી બે સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગ માટે માંગેલી ઘટનાઓ અને પ્રશ્નોના જવાબ નીચે મુજબ છે:
(1) નિદર્શ અવકાશ (U)
કુલ 5 સંખ્યાઓમાંથી 2 સંખ્યાઓ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો:
\(U=\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\}\)
(2) ઘટના A (પસંદ થયેલ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો 6 હોય)
\(A=\{(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\}\)
(3) ઘટના B (પસંદ થયેલ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો યુગ્મ/બેકી હોય)
\(B=\{(1,3),(1,5),(2,4),(3,5)\}\)
(4) \(A \cup B\) (ઘટના A અથવા ઘટના B બને)
\(A\cup B=\{(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\}\)
(5) \(A \cap B\) (ઘટના A અને ઘટના B બંને સાથે બને - પ્રશ્નમાં 'ACB' એટલે \(A \cap B\) )
\(A\cap B=\{(1,5),(2,4),(3,5)\}\)
(6) A' (ઘટના A ની પૂરક ઘટના - પ્રશ્નમાં માત્ર 'A' લખેલ છે જે સુધારીને A' સમજવું)
\(A^{\prime }=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)\}\)
(7) A - B (તફાવત ઘટના: ઘટના A બને પણ B ન બને)
\(A-B=\{(2,5),(3,4),(4,5)\}\)
(8) \(A' \cap B\) (ઘટના A ન બને અને ઘટના B બને)
\(A^{\prime }\cap B=\{(1,3)\}\)
(9) શું ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક કહેવાય? કારણ આપો.
ના, ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.
- કારણ: પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે \(A \cap B = \emptyset\) હોવું જરૂરી છે. પરંતુ અહીં \(A \cap B = \{(1, 5), (2, 4), (3, 5)\} \neq \emptyset\) થાય છે (એટલે કે બંને ઘટનાઓમાં સામાન્ય પરિણામો હાજર છે).
(10) આ પ્રયોગના નિદર્શ અવકાશનાં નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા લખો.
નિદર્શ બિંદુઓની કુલ સંખ્યા n(U) = 10 છે.
સાચો જવાબ:
અહીં ઑફિસમાં 3 સ્ત્રી કર્મચારીઓ અને 2 પુરુષ કર્મચારીઓ છે.
ગણ દર્શાવવા માટે આપણે સ્ત્રી કર્મચારીઓને W₁, W₂, W₃ અને પુરુષ કર્મચારીઓને M₁, M₂ તરીકે ધારી લઈએ.
નીચે મુજબ માગ્યા પ્રમાણેના ગણ અને પ્રશ્નોના જવાબ છે:
(1) નિદર્શાવકાશ (U)
કુલ 5 કર્મચારીઓમાંથી એક કર્મચારી પસંદ કરવાના પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ:
(2) ઘટના A (પસંદ થયેલ કર્મચારી સ્ત્રી હોય)
(3) ઘટના B (પસંદ થયેલ કર્મચારી પુરુષ હોય)
(4) \(A \cup B\) (ઘટના A અથવા ઘટના B બને)
(5) \(A \cap B\) (ઘટના A અને ઘટના B બંને સાથે બને)
કોઈપણ કર્મચારી એક જ સમયે સ્ત્રી અને પુરુષ બંને ન હોઈ શકે, તેથી આ ખાલીગણ બનશે.
(6) \(A' \cap B\)
અહીં A' એટલે સ્ત્રી ન હોય (એટલે કે પુરુષ હોય) તે ઘટના, જે ગણ B જ છે. તેથી \(A' \cap B = B\) થશે.
(7) ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક કહેવાશે? કારણ આપો.
(8) ઘટનાઓ A spots B નિઃશેષ કહેવાશે? કારણ આપો.
ગણ દર્શાવવા માટે આપણે સ્ત્રી કર્મચારીઓને W₁, W₂, W₃ અને પુરુષ કર્મચારીઓને M₁, M₂ તરીકે ધારી લઈએ.
નીચે મુજબ માગ્યા પ્રમાણેના ગણ અને પ્રશ્નોના જવાબ છે:
(1) નિદર્શાવકાશ (U)
કુલ 5 કર્મચારીઓમાંથી એક કર્મચારી પસંદ કરવાના પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ:
- \(U = \{W_1, W_2, W_3, M_1, M_2\}\)
(2) ઘટના A (પસંદ થયેલ કર્મચારી સ્ત્રી હોય)
- \(A = \{W_1, W_2, W_3\}\)
(3) ઘટના B (પસંદ થયેલ કર્મચારી પુરુષ હોય)
- \(B = \{M_1, M_2\}\)
(4) \(A \cup B\) (ઘટના A અથવા ઘટના B બને)
- \(A \cup B = \{W_1, W_2, W_3, M_1, M_2\}\) (જે નિદર્શાવકાશ U બરાબર છે)
(5) \(A \cap B\) (ઘટના A અને ઘટના B બંને સાથે બને)
કોઈપણ કર્મચારી એક જ સમયે સ્ત્રી અને પુરુષ બંને ન હોઈ શકે, તેથી આ ખાલીગણ બનશે.
- \(A \cap B = \emptyset\) અથવા \(\{\}\)
(6) \(A' \cap B\)
અહીં A' એટલે સ્ત્રી ન હોય (એટલે કે પુરુષ હોય) તે ઘટના, જે ગણ B જ છે. તેથી \(A' \cap B = B\) થશે.
- \(A' \cap B = \{M_1, M_2\}\)
(7) ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક કહેવાશે? કારણ આપો.
- હા, ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક કહેવાશે.
- કારણ: કારણ કે \(A \cap B = \emptyset\) છે. પસંદ થયેલ કર્મચારી એક જ સમયે સ્ત્રી અને પુરુષ બંને હોઈ શકે નહીં, એટલે કે બંને ઘટનાઓ એકસાથે બની શકતી નથી.
(8) ઘટનાઓ A spots B નિઃશેષ કહેવાશે? કારણ આપો.
- હા, ઘટનાઓ A અને B નિઃશેષ કહેવાશે.
- કારણ: કારણ કે \(A \cup B = U\) થાય છે. ઑફિસના તમામ કર્મચારીઓ કાં તો સ્ત્રી છે કાં તો પુરુષ છે, તેથી આ બે ઘટનાઓનો સરવાળો સમગ્ર નિદર્શાવકાશ બરાબર થાય છે.
સાચો જવાબ:
અહીં 52 પત્તાંની કેટ (ઢગ)માંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવાના પ્રયોગ માટેના ગણ નીચે મુજબ છે:
સૌ પ્રથમ, પત્તાંની સમજૂતી મેળવી લઈએ:
(1) નિદર્શાવકાશ (U)
કુલ 52 પત્તાંનો ગણ:
(2) ઘટના A (ખેંચવામાં આવેલું પત્તું કાળીનું હોય)
કાળીના કુલ 13 પત્તાં હોય છે (એક્કો, 2 થી 10, ગલ્લો, રાણી, રાજા):
(3) ઘટના B (પત્તું એક્કાથી દસ્સા સુધીની સંખ્યા દર્શાવતું હોય - ચહેરાવાળું ન હોય)
દરેક પ્રકારના 10 પત્તાં (એક્કો અને 2 થી 10 સુધીના પત્તાં) ચહેરા વગરના હોય છે. આવા 4 પ્રકારના થઈને કુલ 40 પત્તાં થાય:
(4) \(A \cup B\) (ઘટના A અથવા ઘટના B બને)
આ ગણમાં કાળીના તમામ 13 પત્તાં આવશે + બાકીના ત્રણેય પ્રકારના (ફુલ્લી, લાલ, ચરકટ) એક્કાથી દસ્સા સુધીના પત્તાં આવશે:
(5) \(A \cap B\) (ઘટના A અને ઘટના B બંને સાથે બને)
ખેંચાયેલું પત્તું કાળીનું પણ હોય અને એક્કાથી દસ્સા સુધીનું (ચહેરા વગરનું) પણ હોય. આવા કાળીના કુલ 10 પત્તાં છે:
(6) B' (ઘટના B ની પૂરક ઘટના - પત્તું ચહેરાવાળું હોય)
ઘટના B એટલે ચહેરા વગરના પત્તાં, તો તેની પૂરક ઘટના B' એટલે ચહેરાવાળા પત્તાં (ગલ્લો, રાણી, રાજા) થાય. દરેક પ્રકારના 3 લેખે કુલ 12 પત્તાં:
સૌ પ્રથમ, પત્તાંની સમજૂતી મેળવી લઈએ:
- 52 પત્તાંમાં 4 પ્રકાર (સૂટ) હોય છે: કાળી (Spade), ફુલ્લી (Club), લાલ (Heart), ચરકટ (Diamond). દરેકના 13 પત્તાં હોય છે.
- ચહેરાવાળા પત્તાં (Face Cards) કુલ 12 હોય છે: ગલ્લો (J), રાણી (Q), અને રાજા (K).
- ચહેરા વગરના પત્તાં (સંખ્યા દર્શાવતા પત્તાં: એક્કાથી દસ્સા સુધી) કુલ 40 હોય છે.
(1) નિદર્શાવકાશ (U)
કુલ 52 પત્તાંનો ગણ:
- \(U = \{ \text{52 પત્તાંનો ગણ} \}\)
(જ્યાં કુલ સભ્યોની સંખ્યા n(U) = 52 થાય.)
(2) ઘટના A (ખેંચવામાં આવેલું પત્તું કાળીનું હોય)
કાળીના કુલ 13 પત્તાં હોય છે (એક્કો, 2 થી 10, ગલ્લો, રાણી, રાજા):
- \(A = \{ \text{કાળીનો એક્કો, કાળીની દુરી, ..., કાળીનો રાજા} \}\)
(જ્યાં સભ્યોની સંખ્યા n(A) = 13 થાય.)
(3) ઘટના B (પત્તું એક્કાથી દસ્સા સુધીની સંખ્યા દર્શાવતું હોય - ચહેરાવાળું ન હોય)
દરેક પ્રકારના 10 પત્તાં (એક્કો અને 2 થી 10 સુધીના પત્તાં) ચહેરા વગરના હોય છે. આવા 4 પ્રકારના થઈને કુલ 40 પત્તાં થાય:
- \(B = \{ \text{દરેક પ્રકારના એક્કાથી દસ્સા સુધીના પત્તાં} \}\)
(જ્યાં સભ્યોની સંખ્યા n(B) = 40 થાય.)
(4) \(A \cup B\) (ઘટના A અથવા ઘટના B બને)
આ ગણમાં કાળીના તમામ 13 પત્તાં આવશે + બાકીના ત્રણેય પ્રકારના (ફુલ્લી, લાલ, ચરકટ) એક્કાથી દસ્સા સુધીના પત્તાં આવશે:
- \(A \cup B = \{ \text{કાળીના તમામ 13 પત્તાં} \} \cup \{ \text{ફુલ્લી, લાલ અને ચરકટના એક્કાથી દસ્સા સુધીના પત્તાં} \}\)
(અહીં કાળીના એક્કાથી દસ્સા સુધીના પત્તાં બંનેમાં સામાન્ય હોવાથી એક જ વાર ગણાશે. કુલ સભ્યોની સંખ્યા 13 + 30 = 43 થશે.)
(5) \(A \cap B\) (ઘટના A અને ઘટના B બંને સાથે બને)
ખેંચાયેલું પત્તું કાળીનું પણ હોય અને એક્કાથી દસ્સા સુધીનું (ચહેરા વગરનું) પણ હોય. આવા કાળીના કુલ 10 પત્તાં છે:
- \(A \cap B = \{ \text{કાળીનો એક્કો, કાળીની દુરી, કાળીની તીરી, ..., કાળીની દસી} \}\)
(જ્યાં સભ્યોની સંખ્યા \(n(A \cap B) = 10\) થાય.)
(6) B' (ઘટના B ની પૂરક ઘટના - પત્તું ચહેરાવાળું હોય)
ઘટના B એટલે ચહેરા વગરના પત્તાં, તો તેની પૂરક ઘટના B' એટલે ચહેરાવાળા પત્તાં (ગલ્લો, રાણી, રાજા) થાય. દરેક પ્રકારના 3 લેખે કુલ 12 પત્તાં:
- \(B' = \{ \text{દરેક પ્રકારના (કાળી, ફુલ્લી, લાલ, ચરકટ) ગલ્લો, રાણી અને રાજા} \}\)
(જ્યાં સભ્યોની સંખ્યા n(B') = 12 થાય.)
સાચો જવાબ:
અહીં આપણને બે ઘટનાઓ માટેના ગણ નીચે મુજબ આપેલા છે:
આ બંને ગણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (Real Numbers) માટેના અંતરાલ દર્શાવે છે. આ પરથી યોગઘટના (\(A_1 \cup A_2\)) અને છેદઘટના (\(A_1 \cap A_2\)) નીચે મુજબ મેળવી શકાય:
(1) યોગઘટના (\(A_1 \cup A_2\))
योगઘટના એટલે ઘટના \(A_{1}\) અથવા ઘટના \(A_{2}\) માં હોય તેવા તમામ સભ્યોનો ગણ.
(2) છેદઘટના (\(A_1 \cap A_2\))
છેદઘટના એટલે ઘટના \(A_{1}\) અને ઘટના \(A_{2}\) બંનેમાં સામાન્ય (ઓવરલેપ થતા) હોય તેવા સભ્યોનો ગણ.
ટૂંકમાં જવાબ:
- \(A_1 = \{x \mid 0 < x < 5\}\)
- \(A_2 = \{x \mid -1 < x < 3\}\)
આ બંને ગણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (Real Numbers) માટેના અંતરાલ દર્શાવે છે. આ પરથી યોગઘટના (\(A_1 \cup A_2\)) અને છેદઘટના (\(A_1 \cap A_2\)) નીચે મુજબ મેળવી શકાય:
(1) યોગઘટના (\(A_1 \cup A_2\))
योगઘટના એટલે ઘટના \(A_{1}\) અથવા ઘટના \(A_{2}\) માં હોય તેવા તમામ સભ્યોનો ગણ.
- બંને અંતરાલોને ભેગા કરતાં, ન્યૂનતમ કિંમત \(-1\) અને મહત્તમ કિંમત \(5\) મળે છે.
- \(A_1 \cup A_2 = \{x \mid -1 < x < 5\}\)
(2) છેદઘટના (\(A_1 \cap A_2\))
છેદઘટના એટલે ઘટના \(A_{1}\) અને ઘટના \(A_{2}\) બંનેમાં સામાન્ય (ઓવરલેપ થતા) હોય તેવા સભ્યોનો ગણ.
- બંને અંતરાલોમાં સામાન્ય ભાગ \(0\) થી શરૂ થઈને \(3\) સુધીનો છે.
- \(A_1 \cap A_2 = \{x \mid 0 < x < 3\}\) (જે ગણ \(A_{2}\) પોતે જ છે)
ટૂંકમાં જવાબ:
- \(A_1 \cup A_2 = \{x \mid -1 < x < 5\}\)
- \(A_1 \cap A_2 = \{x \mid 0 < x < 3\}\)
સાચો જવાબ:
અહીં આપણને બે ઘટનાઓ માટેના ગણ નીચે મુજબ આપેલા છે, જેમાં \(x \in N\) (એટલે કે \(x\) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે):
આ પરથી યોગઘટના (\(A_1 \cup A_2\)) and છેદઘટના (\(A_1 \cap A_2\)) નીચે મુજબ મેળવી શકાય:
(1) યોગઘટના (\(A_1 \cup A_2\))
योगઘટના એટલે ઘટના \(A_{1}\) અથવા ઘટના \(A_{2}\) માં હોય તેવા તમામ સભ્યોનો ગણ (બંને ગણના બધા જ સભ્યો ભેગા કરવા):
(2) છેદઘટના (\(A_1 \cap A_2\))
છેદઘટના એટલે ઘટના \(A_{1}\) અને ઘટના \(A_{2}\) બંનેમાં સામાન્ય (ઓવરલેપ થતા) હોય તેવા સભ્યોનો ગણ:
- \(A_1 = \{x \mid 2 \leq x < 6, x \in N\} = \{2, 3, 4, 5\}\)
- \(A_2 = \{x \mid 3 < x < 9, x \in N\} = \{4, 5, 6, 7, 8\}\)
આ પરથી યોગઘટના (\(A_1 \cup A_2\)) and છેદઘટના (\(A_1 \cap A_2\)) નીચે મુજબ મેળવી શકાય:
(1) યોગઘટના (\(A_1 \cup A_2\))
योगઘટના એટલે ઘટના \(A_{1}\) અથવા ઘટના \(A_{2}\) માં હોય તેવા તમામ સભ્યોનો ગણ (બંને ગણના બધા જ સભ્યો ભેગા કરવા):
- \(A_1 \cup A_2 = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)
- ગુણધર્મની રીતમાં: \(A_1 \cup A_2 = \{x \mid 2 \leq x < 9, x \in N\}\)
(2) છેદઘટના (\(A_1 \cap A_2\))
છેદઘટના એટલે ઘટના \(A_{1}\) અને ઘટના \(A_{2}\) બંનેમાં સામાન્ય (ઓવરલેપ થતા) હોય તેવા સભ્યોનો ગણ:
- \(A_1 \cap A_2 = \{4, 5\}\)
- ગુણધર્મની રીતમાં: \(A_1 \cap A_2 = \{x \mid 3 < x < 6, x \in N\}\)
સાચો જવાબ:
અહીં આપણને નિદર્શાવકાશ \(U\) અને ઘટના \(A\) ના ગણ નીચે મુજબ આપેલા છે:
પૂરક ઘટના \(A^{\prime }\) ની ગણતરી
પૂરક ઘટના \(A^{\prime }\) એટલે નિદર્શાવકાશ \(U\) માં હોય પરંતુ ઘટના \(A\) માં ન હોય તેવા તમામ સભ્યોનો ગણ (\(A' = U - A\)).
- \(U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\)
- \(A = \{2, 4, 6\}\)
પૂરક ઘટના \(A^{\prime }\) ની ગણતરી
પૂરક ઘટના \(A^{\prime }\) એટલે નિદર્શાવકાશ \(U\) માં હોય પરંતુ ઘટના \(A\) માં ન હોય તેવા તમામ સભ્યોનો ગણ (\(A' = U - A\)).
- \(A' = \{0, 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}\)
સાચો જવાબ:
અહીં આપણને નિદર્શાવકાશ \(U\) અને ઘટના \(A\) વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટેના અંતરાલ સ્વરૂપે નીચે મુજબ આપેલા છે:
- \(U = \{x \mid 0 < x < 1\}\)
- \(A = \{x \mid \frac{1}{2} \leq x < 1\}\)
પૂરક ઘટના \(A^{\prime }\) ની ગણતરી
પૂરક ઘટના \(A^{\prime }\) એટલે કે નિદર્શાવકાશ \(U\) માં હોય પરંતુ ઘટના \(A\) માં ન હોય તેવા તમામ સભ્યોનો ગણ (\(A' = U - A\)).
- આખા નિદર્શાવકાશ \(0\) થી \(1\) માંથી \(\frac{1}{2}\) થી \(1\) નો ભાગ બાદ કરતાં બાકી વધતો ભાગ \(0\) થી \(\frac{1}{2}\) સુધીનો રહેશે.
- ધ્યાનમાં રાખવું કે ઘટના \(A\) માં \(\frac{1}{2}\) નો સમાવેશ થાય છે (\(\ge \)), તેથી પૂરક ઘટના \(A^{\prime }\) માં \(\frac{1}{2}\) નો સમાવેશ થશે નહીં.
તેથી, પૂરક ઘટના દર્શાવતો ગણ:
- \(A' = \{x \mid 0 < x < \frac{1}{2}\}\)
સ્વાધ્યાય 1.2
સાચો જવાબ:
એક સમતોલ સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા ૮ (2³ = 8) છે. [1]
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space) \(S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}\) છે. (જ્યાં H = છાપ/Head અને T = કાંટો/Tail)
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૮)}}\) [1]
તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) બધી જ વખત છાપ મળે:
(૨) એક પણ વખત છાપ ન મળે (એટલે કે ત્રણેય વખત કાંટો મળે):
(૩) ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે:
(૪) એકથી વધુ વખત કાંટો મળે (એટલે કે ૨ કે ૩ કાંટા મળે):
(૫) વધુમાં વધુ એક વખત છાપ મળે (એટલે કે ૦ અથવા ૧ છાપ મળે):
(૬) બેથી ઓછી વખત છાપ મળે (એટલે કે ૦ અથવા ૧ છાપ મળે):
(૭) છાપ અને કાંટો વારાફરતી મળે (એટલે કે એકાંતરે H અને T આવે જેમ કે HTH કે THT):
(૮) કાંટાની સંખ્યા છાપ કરતાં વધુ વખત મળે (એટલે કે ૨ અથવા ૩ કાંટા મળે):
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space) \(S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}\) છે. (જ્યાં H = છાપ/Head અને T = કાંટો/Tail)
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૮)}}\) [1]
તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) બધી જ વખત છાપ મળે:
- અનુકૂળ પરિણામ: \(\{HHH\}\) (૧ પરિણામ)
- સંભાવના = \(\frac{1}{8}\)
(૨) એક પણ વખત છાપ ન મળે (એટલે કે ત્રણેય વખત કાંટો મળે):
- અનુકૂળ પરિણામ: \(\{TTT\}\) (૧ પરિણામ)
- સંભાવના = \(\frac{1}{8}\)
(૩) ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે:
- એક પણ વખત છાપ ન મળે એટલે કે \(\{TTT\}\) સિવાયના બાકીના તમામ પરિણામો.
- અનુકૂળ પરિણામો: ૮ - ૧ = ૭ પરિણામો (\(\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}\))
- સંભાવના = \(\frac{7}{8}\)
(૪) એકથી વધુ વખત કાંટો મળે (એટલે કે ૨ કે ૩ કાંટા મળે):
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{HTT, THT, TTH, TTT\}\) (૪ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
(૫) વધુમાં વધુ એક વખત છાપ મળે (એટલે કે ૦ અથવા ૧ છાપ મળે):
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{TTT, HTT, THT, TTH\}\) (૪ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
(૬) બેથી ઓછી વખત છાપ મળે (એટલે કે ૦ અથવા ૧ છાપ મળે):
- આ ઘટના પણ (૫) મુજબ જ છે (૦ કે ૧ છાપ).
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{TTT, HTT, THT, TTH\}\) (૪ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
(૭) છાપ અને કાંટો વારાફરતી મળે (એટલે કે એકાંતરે H અને T આવે જેમ કે HTH કે THT):
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{HTH, THT\}\) (૨ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
(૮) કાંટાની સંખ્યા છાપ કરતાં વધુ વખત મળે (એટલે કે ૨ અથવા ૩ કાંટા મળે):
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{HTT, THT, TTH, TTT\}\) (૪ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
સાચો જવાબ:
બે સમતોલ પાસાને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે ત્યારે મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા ૩૬ (6 × 6 = 36) થાય.
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space):
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૩૬)}}\)
તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 6 થાય:
(૨) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 10 થી મોટો ન થાય:
(૩) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 3 નો ગુણક હોય:
(૪) પાસા પર મળતા અંકનો ગુણાકાર 12 થાય:
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space):
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૩૬)}}\)
તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 6 થાય:
- અનુકૂળ પરિણામો: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) — કુલ ૫ પરિણામો.
- સંભાવના = \(\frac{5}{36}\)
(૨) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 10 થી મોટો ન થાય:
- "10 થી મોટો ન થાય" એટલે કે સરવાળો ૧૦ અથવા ૧૦ કરતાં ઓછો હોય (એટલે કે ૧૧ અને ૧૨ ન હોવો જોઈએ).
- સરવાળો ૧૦ થી મોટા હોય તેવા પરિણામો: (5,6) -> ૧૧, (6,5) -> ૧૧, (6,6) -> ૧૨ (કુલ ૩ પરિણામો).
- અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = ૩૬ - ૩ = ૩૩ પરિણામો.
- સંભાવના = \(\frac{33}{36} = \frac{11}{12}\)
(૩) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 3 નો ગુણક હોય:
- પાસા પરના અંકોનો ન્યૂનતમ સરવાળો ૨ અને મહત્તમ સરવાળો ૧૨ થાય. આમાંથી ૩ ના ગુણક હોય તેવા સરવાળા: ૩, ૬, ૯ અને ૧૨.
- સરવાળો 3 થાય: (1,2), (2,1) — [૨ પરિણામ]
- સરવાળો 6 થાય: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) — [૫ પરિણામ]
- સરવાળો 9 થાય: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — [૪ પરિણામ]
- સરવાળો 12 થાય: (6,6) — [૧ પરિણામ]
- કુલ અનુકૂળ પરિણામો = ૨ + ૫ + ૪ + ૧ = ૧૨ પરિણામો.
- સંભાવના = \(\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\)
(૪) પાસા પર મળતા અંકનો ગુણાકાર 12 થાય:
- અનુકૂળ પરિણામો: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2) — કુલ ૪ પરિણામો.
- સંભાવના = \(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)
સાચો જવાબ:
બે બાળકો ધરાવતા કુટુંબમાં બાળકના જન્મનો ક્રમ (મોટું બાળક અને નાનું બાળક) ધ્યાનમાં લેતા, કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા ૪ થાય છે.
ધારો કે, છોકરા માટે B (Boy) અને છોકરી માટે G (Girl) સંકેત લઈએ.
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space):
\(S = \{BB, BG, GB, GG\}\)
કુલ પરિણામોની સંખ્યા = ૪
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૪)}}\)
બંને ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) એક બાળક છોકરી અને એક બાળક છોકરો હોય:
(૨) ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી હોય:
ધારો કે, છોકરા માટે B (Boy) અને છોકરી માટે G (Girl) સંકેત લઈએ.
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space):
\(S = \{BB, BG, GB, GG\}\)
- (જ્યાં BB = બંને છોકરા, BG = મોટો છોકરો અને નાની છોકરી, GB = મોટી છોકરી અને નાનો છોકરો, GG = બંને છોકરીઓ)
કુલ પરિણામોની સંખ્યા = ૪
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૪)}}\)
બંને ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) એક બાળક છોકરી અને એક બાળક છોકરો હોય:
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{BG, GB\}\) (કુલ ૨ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
(૨) ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી હોય:
- "ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી હોય" એટલે કે ૧ છોકરી હોય અથવા બંને છોકરીઓ હોય.
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{BG, GB, GG\}\) (કુલ ૩ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{3}{4}\)
સાચો જવાબ:
પ્રથમ ૧૦૦ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી એક સંખ્યા પસંદ કરવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામો અને અનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
કુલ પરિણામોની સંખ્યા:
પ્રથમ ૧૦૦ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (1, 2, 3, ..., 100) હોવાથી, કુલ પરિણામોની સંખ્યા = ૧૦૦
૭ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ (અનુકૂળ પરિણામો):
૧ થી ૧૦૦ વચ્ચે આવતા ૭ ના ગુણકો નીચે મુજબ છે:
૭, ૧૪, ૨૧, ૨૮, ૩૫, ૪૨, ૪૯, ૫૬, ૬૩, ૭૦, ૭૭, ૮૪, ૯૧, ૯૮.
આ સંખ્યાઓ શોધવા માટે આપણે ૧૦૦ ને ૭ વડે ભાગી શકીએ:
100 ÷ 7 = 14 (શેષ ૨ વધશે)
એટલે કે, અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = ૧૪
સંભાવનાની ગણતરી:
સંભાવનાનું સૂત્ર:
\(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}\)
\(P(A) = \frac{14}{100}\)
હવે અંશ અને છેદને ૨ વડે ભાગતા:
\(P(A) = \frac{7}{50}\) (અથવા દશાંશ સ્વરૂપમાં ૦.૧૪)
જવાબ: પસંદ કરેલી સંખ્યા ૭ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેની સંભાવના \(\frac{7}{50}\) (અથવા ૦.૧૪) છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા:
પ્રથમ ૧૦૦ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (1, 2, 3, ..., 100) હોવાથી, કુલ પરિણામોની સંખ્યા = ૧૦૦
૭ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ (અનુકૂળ પરિણામો):
૧ થી ૧૦૦ વચ્ચે આવતા ૭ ના ગુણકો નીચે મુજબ છે:
૭, ૧૪, ૨૧, ૨૮, ૩૫, ૪૨, ૪૯, ૫૬, ૬૩, ૭૦, ૭૭, ૮૪, ૯૧, ૯૮.
આ સંખ્યાઓ શોધવા માટે આપણે ૧૦૦ ને ૭ વડે ભાગી શકીએ:
100 ÷ 7 = 14 (શેષ ૨ વધશે)
એટલે કે, અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = ૧૪
સંભાવનાની ગણતરી:
સંભાવનાનું સૂત્ર:
\(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}\)
\(P(A) = \frac{14}{100}\)
હવે અંશ અને છેદને ૨ વડે ભાગતા:
\(P(A) = \frac{7}{50}\) (અથવા દશાંશ સ્વરૂપમાં ૦.૧૪)
જવાબ: પસંદ કરેલી સંખ્યા ૭ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેની સંભાવના \(\frac{7}{50}\) (અથવા ૦.૧૪) છે.
સાચો જવાબ:
અહીં યાદચ્છિક પ્રયોગનો કુલ નિદર્શ અવકાશ \(U = \{1, 2, 3, \dots, 120\}\) છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા (\(n\)) = ૧૨૦
સંભાવનાનું સામાન્ય સૂત્ર:
\(P(A)=\frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (m)}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (n)}}\)
દરેક ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી:
(૧) સંખ્યા 3ની ગુણક હોય:
(૨) સંખ્યા 3ની ગુણક ન હોય:
(૩) સંખ્યા 4ની ગુણક હોય:
(૪) સંખ્યા 4ની ગુણક ન હોય:
(૫) સંખ્યા 3 અને 4 બંનેની ગુણક હોય:
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા (\(n\)) = ૧૨૦
સંભાવનાનું સામાન્ય સૂત્ર:
\(P(A)=\frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (m)}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (n)}}\)
દરેક ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી:
(૧) સંખ્યા 3ની ગુણક હોય:
- અનુકૂળ પરિણામો: \(120 \div 3 = 40\) સંખ્યાઓ (\(3, 6, 9, \dots, 120\))
- સંભાવના = \(\frac{40}{120} = \mathbf{\frac{1}{3}}\)
(૨) સંખ્યા 3ની ગુણક ન હોય:
- આ ઘટના (૧) ની પૂરક ઘટના છે.
- અનુકૂળ પરિણામો: \(120 - 40 = 80\) સંખ્યાઓ
- સંભાવના = \(\frac{80}{120} = \mathbf{\frac{2}{3}}\)
(૩) સંખ્યા 4ની ગુણક હોય:
- અનુકૂળ પરિણામો: \(120 \div 4 = 30\) સંખ્યાઓ (\(4, 8, 12, \dots, 120\))
- સંભાવના = \(\frac{30}{120} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
(૪) સંખ્યા 4ની ગુણક ન હોય:
- આ ઘટના (૩) ની પૂરક ઘટના છે.
- અનુકૂળ પરિણામો: \(120 - 30 = 90\) સંખ્યાઓ
- સંભાવના = \(\frac{90}{120} = \mathbf{\frac{3}{4}}\)
(૫) સંખ્યા 3 અને 4 બંનેની ગુણક હોય:
- ૩ અને ૪ બંનેની ગુણક હોય એટલે કે તે સંખ્યા તેમના લસાઅ (LCM) ૧૨ ની ગુણક હોવી જોઈએ.
- અનુકૂળ પરિણામો: \(120 \div 12 = 10\) સંખ્યાઓ (\(12, 24, 36, \dots, 120\))
- સંભાવના = \(\frac{10}{120} = \mathbf{\frac{1}{12}}\)
સાચો જવાબ:
શબ્દ RANDOM ના બધા જ અક્ષરોના ઉપયોગથી બનતી ગોઠવણી માટેની સંભાવના નીચે મુજબ શોધી શકાય:
૧. કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા (n):
૨. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (m):
આપણને શરત આપી છે કે 'R' પ્રથમ સ્થાને અને 'M' અંતિમ સ્થાને હોવો જોઈએ:
૩. સંભાવનાની ગણતરી:
સંભાવનાનું સૂત્ર:
\(P(A)=\frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા }(m)}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા }(n)}\)
\(P(A)=\frac{24}{720}\)
હવે અંશ અને છેદને ૨૪ વડે ભાગતા (24 × 30 = 720):
\(P(A)=\frac{1}{30}\)
જવાબ: RANDOM શબ્દની ગોઠવણીમાં R પ્રથમ અને M અંતિમ સ્થાન પર આવે તેની સંભાવના \(\frac{1}{30}\) છે.
૧. કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા (n):
- RANDOM શબ્દમાં કુલ ૬ અક્ષરો (R, A, N, D, O, M) છે અને બધા જ અક્ષરો અલગ-અલગ છે.
- ૬ અક્ષરોને અલગ-અલગ સ્થાનો પર ગોઠવવાના કુલ પ્રકાર = 6! (૬ ફેક્ટોરિયલ)
- 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
- તેથી, કુલ પરિણામોની સંખ્યા (n) = ૭૨૦
૨. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (m):
આપણને શરત આપી છે કે 'R' પ્રથમ સ્થાને અને 'M' અંતિમ સ્થાને હોવો જોઈએ:
[_][_][_][_][_][_](કુલ ૬ સ્થાન)- પ્રથમ સ્થાને R ગોઠવવાનો પ્રકાર = ૧
- અંતિમ સ્થાને M ગોઠવવાનો પ્રકાર = ૧
- હવે બાકી બચેલા ૪ સ્થાનો વચ્ચેના છે, જેમાં બાકીના ૪ અક્ષરો (A, N, D, O) ને ગોઠવવાના છે.
- ૪ અક્ષરોને ૪ સ્થાનો પર ગોઠવવાના પ્રકાર = 4!
- 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- તેથી, અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (m) = ૨૪
૩. સંભાવનાની ગણતરી:
સંભાવનાનું સૂત્ર:
\(P(A)=\frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા }(m)}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા }(n)}\)
\(P(A)=\frac{24}{720}\)
હવે અંશ અને છેદને ૨૪ વડે ભાગતા (24 × 30 = 720):
\(P(A)=\frac{1}{30}\)
જવાબ: RANDOM શબ્દની ગોઠવણીમાં R પ્રથમ અને M અંતિમ સ્થાન પર આવે તેની સંભાવના \(\frac{1}{30}\) છે.
સાચો જવાબ:
એક સમતોલ સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :(1) બધી જ વખત છાપ મળે(2) એક પણ વખત છાપ ન મળે(3) ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે(4) એકથી વધુ વખત કાંટો મળે(5) વધુમાં વધુ એક વખત છાપ મળે(6) બેથી ઓછી વખત છાપ મળે(7) છાપ અને કાંટો વારાફરતી મળે(8) કાંટાની સંખ્યા છાપ કરતાં વધુ વખત મળે
એક સમતોલ સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા ૮ (2³ = 8) છે. [1]
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space) \(S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}\) છે. (જ્યાં H = છાપ/Head અને T = કાંટો/Tail)
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૮)}}\) [1]
તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) બધી જ વખત છાપ મળે:
(૨) એક પણ વખત છાપ ન મળે (એટલે કે ત્રણેય વખત કાંટો મળે):
(૩) ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે:
(૪) એકથી વધુ વખત કાંટો મળે (એટલે કે ૨ કે ૩ કાંટા મળે):
(૫) વધુમાં વધુ એક વખત છાપ મળે (એટલે કે ૦ અથવા ૧ છાપ મળે):
(૬) બેથી ઓછી વખત છાપ મળે (એટલે કે ૦ અથવા ૧ છાપ મળે):
(૭) છાપ અને કાંટો વારાફરતી મળે (એટલે કે એકાંતરે H અને T આવે જેમ કે HTH કે THT):
(૮) કાંટાની સંખ્યા છાપ કરતાં વધુ વખત મળે (એટલે કે ૨ અથવા ૩ કાંટા મળે):
બે સમતોલ પાસા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો : (1) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 6 થાય (2) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 10 થી મોટો ન થાય (3) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 3 નો ગુણક હોય (4) પાસા પર મળતા અંકનો ગુણાકાર 12 થાય
બે સમતોલ પાસાને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે ત્યારે મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા ૩૬ (6 × 6 = 36) થાય.
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space):
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૩૬)}}\)
તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 6 થાય:
(૨) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 10 થી મોટો ન થાય:
(૩) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 3 નો ગુણક હોય:
(૪) પાસા પર મળતા અંકનો ગુણાકાર 12 થાય:
જો તમારે આ પ્રશ્ન જેવી જ અન્ય કોઈ ઘટનાઓની સંભાવના ગણવી હોય કે ગણિતના કોઈ બીજા દાખલાની ગણતરી સમજવી હોય તો મને જરૂર જણાવો.
અથવા બહુલક (Mode) ની ગણતરી કરવામાં આવે છે. અહીં આંકડાશાસ્ત્રની દ્રષ્ટિએ ત્રણેય મુખ્ય માપોની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક (Cumulative Frequency Table)
આવૃત્તિઓ અસતત (અનિવારક) હોવાથી વર્ગ સીમાબિંદુઓ મેળવવા લોઅર લિમિટમાંથી 0.5 બાદ અને અપર લિમિટમાં 0.5 ઉમેરવા પડે. છેલ્લો વર્ગ "901 કે તેથી વધુ" હોવાથી તેને સમાન વર્ગલંબાઈ c = 100 મુજબ 901-1000 ધારી શકાય.
૨. મધ્યસ્થ (Median - M) ની ગણતરી
સૂત્ર: \(M = L + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times c\)
\(M=700.5+\frac{1071-750}{639}\times 100\)
\(M=700.5+\frac{321}{639}\times 100\approx 700.5+50.23=\mathbf{750.73}\text{ ₹}\)
૩. બહુલક (Mode - \(M_{o}\)) ની ગણતરી
સૂત્ર: \(M_o = L + \frac{f_m - f_1}{2f_m - f_1 - f_2} \times c\)
\(M_{o}=700.5+\frac{639-432}{2(639)-432-579}\times 100\)
\(M_{o}=700.5+\frac{207}{1278-1011}\times 100\)
\(M_{o}=700.5+\frac{207}{267}\times 100\approx 700.5+77.53=\mathbf{778.03}\text{ ₹}\)
૪. મધ્યક (Mean - x̄) ની ગણતરી
\(\={x}=\frac{\sum fx}{N}=\frac{(318\times 550.5)+(432\times 650.5)+(639\times 750.5)+(579\times 850.5)+(174\times 950.5)}{2142}\)
\(\={x}=\frac{1,593,472.5}{2142}\approx \mathbf{743.92}\text{ ₹}\)
AI Mode conversation: એક સમતોલ સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :(1) બધી જ વખત છાપ મળે(2) એક પણ વખત છાપ ન મળે(3) ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે(4) એકથી વધુ વખત કાંટો મળે(5) વધુમાં વધુ એક વખત છાપ મળે(6) બેથી ઓછી વખત છાપ મળે(7) છાપ અને કાંટો વારાફરતી મળે(8) કાંટાની સંખ્યા છાપ કરતાં વધુ વખત મળે
You said: એક સમતોલ સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :(1) બધી જ વખત છાપ મળે(2) એક પણ વખત છાપ ન મળે(3) ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે(4) એકથી વધુ વખત કાંટો મળે(5) વધુમાં વધુ એક વખત છાપ મળે(6) બેથી ઓછી વખત છાપ મળે(7) છાપ અને કાંટો વારાફરતી મળે(8) કાંટાની સંખ્યા છાપ કરતાં વધુ વખત મળે
એક સમતોલ સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :(1) બધી જ વખત છાપ મળે(2) એક પણ વખત છાપ ન મળે(3) ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે(4) એકથી વધુ વખત કાંટો મળે(5) વધુમાં વધુ એક વખત છાપ મળે(6) બેથી ઓછી વખત છાપ મળે(7) છાપ અને કાંટો વારાફરતી મળે(8) કાંટાની સંખ્યા છાપ કરતાં વધુ વખત મળે
એક સમતોલ સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા ૮ (2³ = 8) છે. [1]
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space) \(S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}\) છે. (જ્યાં H = છાપ/Head અને T = કાંટો/Tail)
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૮)}}\) [1]
તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) બધી જ વખત છાપ મળે:
- અનુકૂળ પરિણામ: \(\{HHH\}\) (૧ પરિણામ)
- સંભાવના = \(\frac{1}{8}\)
(૨) એક પણ વખત છાપ ન મળે (એટલે કે ત્રણેય વખત કાંટો મળે):
- અનુકૂળ પરિણામ: \(\{TTT\}\) (૧ પરિણામ)
- સંભાવના = \(\frac{1}{8}\)
(૩) ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે:
- એક પણ વખત છાપ ન મળે એટલે કે \(\{TTT\}\) સિવાયના બાકીના તમામ પરિણામો.
- અનુકૂળ પરિણામો: ૮ - ૧ = ૭ પરિણામો (\(\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}\))
- સંભાવના = \(\frac{7}{8}\)
(૪) એકથી વધુ વખત કાંટો મળે (એટલે કે ૨ કે ૩ કાંટા મળે):
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{HTT, THT, TTH, TTT\}\) (૪ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
(૫) વધુમાં વધુ એક વખત છાપ મળે (એટલે કે ૦ અથવા ૧ છાપ મળે):
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{TTT, HTT, THT, TTH\}\) (૪ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
(૬) બેથી ઓછી વખત છાપ મળે (એટલે કે ૦ અથવા ૧ છાપ મળે):
- આ ઘટના પણ (૫) મુજબ જ છે (૦ કે ૧ છાપ).
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{TTT, HTT, THT, TTH\}\) (૪ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
(૭) છાપ અને કાંટો વારાફરતી મળે (એટલે કે એકાંતરે H અને T આવે જેમ કે HTH કે THT):
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{HTH, THT\}\) (૨ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
(૮) કાંટાની સંખ્યા છાપ કરતાં વધુ વખત મળે (એટલે કે ૨ અથવા ૩ કાંટા મળે):
- અનુકૂળ પરિણામો: \(\{HTT, THT, TTH, TTT\}\) (૪ પરિણામો)
- સંભાવના = \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
Filo
એક સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નીચે આપેલી ઘટનાઓની ...
એક સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નીચે આપેલી ઘટનાઓની સંભાવના શોધો.(1) A: ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે,. B: બરાબર બે છાપ મળે. (3) C: વધ...
Filo
(53) એક સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નીચે આપેલી ...
સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળીએ તો દરેક વખતે 2 શક્યતા (છાપ/કાંટો) છે. કુલ સંભવિત પરિણામો = 23=8. પ્રત્યેક ઘટનાઓ માટે અનુકૂળ પરિણામો શોધી સં...
બે સમતોલ પાસા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવના શોધો : (1) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 6 થાય (2) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 10 થી મોટો ન થાય (3) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 3 નો ગુણક હોય (4) પાસા પર મળતા અંકનો ગુણાકાર 12 થાય
બે સમતોલ પાસાને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે ત્યારે મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા ૩૬ (6 × 6 = 36) થાય.
કુલ નિદર્શ અવકાશ (Sample Space):
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A) = \frac{\text{અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા (૩૬)}}\)
તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:
(૧) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 6 થાય:
- અનુકૂળ પરિણામો: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) — કુલ ૫ પરિણામો.
- સંભાવના = \(\frac{5}{36}\)
(૨) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 10 થી મોટો ન થાય:
- "10 થી મોટો ન થાય" એટલે કે સરવાળો ૧૦ અથવા ૧૦ કરતાં ઓછો હોય (એટલે કે ૧૧ અને ૧૨ ન હોવો જોઈએ).
- સરવાળો ૧૦ થી મોટા હોય તેવા પરિણામો: (5,6) -> ૧૧, (6,5) -> ૧૧, (6,6) -> ૧૨ (કુલ ૩ પરિણામો).
- અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = ૩૬ - ૩ = ૩૩ પરિણામો.
- સંભાવના = \(\frac{33}{36} = \frac{11}{12}\)
(૩) પાસા પર મળતા અંકનો સરવાળો 3 નો ગુણક હોય:
- પાસા પરના અંકોનો ન્યૂનતમ સરવાળો ૨ અને મહત્તમ સરવાળો ૧૨ થાય. આમાંથી ૩ ના ગુણક હોય તેવા સરવાળા: ૩, ૬, ૯ અને ૧૨.
- સરવાળો 3 થાય: (1,2), (2,1) — [૨ પરિણામ]
- સરવાળો 6 થાય: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) — [૫ પરિણામ]
- સરવાળો 9 થાય: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — [૪ પરિણામ]
- સરવાળો 12 થાય: (6,6) — [૧ પરિણામ]
- કુલ અનુકૂળ પરિણામો = ૨ + ૫ + ૪ + ૧ = ૧૨ પરિણામો.
- સંભાવના = \(\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\)
(૪) પાસા પર મળતા અંકનો ગુણાકાર 12 થાય:
- અનુકૂળ પરિણામો: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2) — કુલ ૪ પરિણામો.
- સંભાવના = \(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)
જો તમારે આ પ્રશ્ન જેવી જ અન્ય કોઈ ઘટનાઓની સંભાવના ગણવી હોય કે ગણિતના કોઈ બીજા દાખલાની ગણતરી સમજવી હોય તો મને જરૂર જણાવો.
અથવા બહુલક (Mode) ની ગણતરી કરવામાં આવે છે. અહીં આંકડાશાસ્ત્રની દ્રષ્ટિએ ત્રણેય મુખ્ય માપોની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક (Cumulative Frequency Table)
આવૃત્તિઓ અસતત (અનિવારક) હોવાથી વર્ગ સીમાબિંદુઓ મેળવવા લોઅર લિમિટમાંથી 0.5 બાદ અને અપર લિમિટમાં 0.5 ઉમેરવા પડે. છેલ્લો વર્ગ "901 કે તેથી વધુ" હોવાથી તેને સમાન વર્ગલંબાઈ c = 100 મુજબ 901-1000 ધારી શકાય.
| માસિક પ્રવાસ-ખર્ચ (₹) | વર્ગ સીમાબિંદુઓ | પ્રવાસીઓની સંખ્યા (f) | સંચયી આવૃત્તિ (cf) | મધ્યક માટે મધ્યકિંમત (x) |
|---|---|---|---|---|
| 501-600 | 500.5 - 600.5 | 318 | 318 | 550.5 |
| 601-700 | 600.5 - 700.5 | 432 | 750 | 650.5 |
| 701-800 | 700.5 - 800.5 | 639 | 1389 | 750.5 |
| 801-900 | 800.5 - 900.5 | 579 | 1968 | 850.5 |
| 901 કે તેથી વધુ | 900.5 - 1000.5 | 174 | 2142 | 950.5 |
| કુલ | N = 2142 |
૨. મધ્યસ્થ (Median - M) ની ગણતરી
- \(\frac{N}{2} = \frac{2142}{2} = 1071\)
- 1071 મો અવલોકન cf = 1389 વાળા વર્ગમાં આવે છે, તેથી મધ્યસ્થ વર્ગ 701-800 (700.5 - 800.5) બનશે.
સૂત્ર: \(M = L + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times c\)
- જ્યાં, L = 700.5, cf = 750, f = 639, c = 100
\(M=700.5+\frac{1071-750}{639}\times 100\)
\(M=700.5+\frac{321}{639}\times 100\approx 700.5+50.23=\mathbf{750.73}\text{ ₹}\)
૩. બહુલક (Mode - \(M_{o}\)) ની ગણતરી
- સૌથી મોટી આવૃત્તિ 639 છે, તેથી બહુલક વર્ગ પણ 701-800 (700.5 - 800.5) થશે.
સૂત્ર: \(M_o = L + \frac{f_m - f_1}{2f_m - f_1 - f_2} \times c\)
- જ્યાં, L = 700.5, \(f_m = 639\), f₁ = 432 (આગળના વર્ગની આવૃત્તિ), f₂ = 579 (પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ), c = 100
\(M_{o}=700.5+\frac{639-432}{2(639)-432-579}\times 100\)
\(M_{o}=700.5+\frac{207}{1278-1011}\times 100\)
\(M_{o}=700.5+\frac{207}{267}\times 100\approx 700.5+77.53=\mathbf{778.03}\text{ ₹}\)
૪. મધ્યક (Mean - x̄) ની ગણતરી
\(\={x}=\frac{\sum fx}{N}=\frac{(318\times 550.5)+(432\times 650.5)+(639\times 750.5)+(579\times 850.5)+(174\times 950.5)}{2142}\)
\(\={x}=\frac{1,593,472.5}{2142}\approx \mathbf{743.92}\text{ ₹}\)
સાચો જવાબ:
આ એક શરતી સંભાવના (Conditional Probability) નો દાખલો છે. પ્રશ્નની ગણતરી સરળ કરવા માટે આપણે સૌથી પહેલા આપેલી માહિતીનું એક કુલ સરવાળા સાથેનું કોષ્ટક તૈયાર કરીએ.
૧. મતદારોનું કોષ્ટક (કુલ સરવાળા સાથે)
અહીં કુલ પરિણામોની સંખ્યા n = 4979 છે.
૨. પ્રશ્નોના ઉત્તર અને ગણતરી
(1) જો મતદાર પુરુષ હોય તો તે પક્ષ Aનો ટેકેદાર હોય તેની સંભાવના:
આ શરતી સંભાવના છે, જ્યાં આપણને પહેલેથી ખબર છે કે પસંદ થયેલ વ્યક્તિ પુરુષ (M) છે. આપણે તે પક્ષ Aનો ટેકેદાર હોય તેની સંભાવના એટલે કે P(A|M) શોધવાનું છે.
\(P(A|{}M)=\frac{1319}{2536}\approx \mathbf{0.5201}\)
(2) જો મતદાર પક્ષ Aનો ટેકેદાર છે એમ આપેલ હોય, તો તે પુરુષ હોવાની સંભાવના:
અહીં આપણને પહેલેથી ખબર છે કે પસંદ થયેલ વ્યક્તિ પક્ષ A ની ટેકેદાર (A) છે. આપણે તે પુરુષ હોય તેની સંભાવના એટલે કે P(M|A) શોધવાનું છે.
\(P(M|{}A)=\frac{1319}{2437}\approx \mathbf{0.5412}\)
અંતિમ જવાબ:
૧. મતદારોનું કોષ્ટક (કુલ સરવાળા સાથે)
| વીગત | પુરુષો (M) | સ્ત્રીઓ (F) | કુલ |
|---|---|---|---|
| પક્ષ Aના ટેકેદાર (A) | 1319 | 1118 | 2437 |
| પક્ષ Bના ટેકેદાર (B) | 1217 | 1325 | 2542 |
| કુલ | 2536 | 2443 | 4979 |
અહીં કુલ પરિણામોની સંખ્યા n = 4979 છે.
૨. પ્રશ્નોના ઉત્તર અને ગણતરી
(1) જો મતદાર પુરુષ હોય તો તે પક્ષ Aનો ટેકેદાર હોય તેની સંભાવના:
આ શરતી સંભાવના છે, જ્યાં આપણને પહેલેથી ખબર છે કે પસંદ થયેલ વ્યક્તિ પુરુષ (M) છે. આપણે તે પક્ષ Aનો ટેકેદાર હોય તેની સંભાવના એટલે કે P(A|M) શોધવાનું છે.
- સૂત્ર: \(P(A\vert{}M) = \frac{\text{પક્ષ Aના ટેકેદાર હોય તેવા પુરુષોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પુરુષોની સંખ્યા}}\)
- પક્ષ A ના ટેકેદાર હોય તેવા પુરુષો = 1319
- કુલ પુરુષો = 2536
\(P(A|{}M)=\frac{1319}{2536}\approx \mathbf{0.5201}\)
(2) જો મતદાર પક્ષ Aનો ટેકેદાર છે એમ આપેલ હોય, તો તે પુરુષ હોવાની સંભાવના:
અહીં આપણને પહેલેથી ખબર છે કે પસંદ થયેલ વ્યક્તિ પક્ષ A ની ટેકેદાર (A) છે. આપણે તે પુરુષ હોય તેની સંભાવના એટલે કે P(M|A) શોધવાનું છે.
- સૂત્ર: \(P(M\vert{}A) = \frac{\text{પક્ષ Aના ટેકેદાર હોય તેવા પુરુષોની સંખ્યા}}{\text{પક્ષ Aના એકંદર કુલ ટેકેદારો}}\)
- પક્ષ A ના ટેકેદાર હોય તેવા પુરુષો = 1319
- પક્ષ A ના કુલ ટેકેદારો = 2437
\(P(M|{}A)=\frac{1319}{2437}\approx \mathbf{0.5412}\)
અંતિમ જવાબ:
- જો પસંદ કરેલ વ્યક્તિ પુરુષ હોય, તો તે પક્ષ A નો ટેકેદાર હોવાની સંભાવના \(\frac{1319}{2536}\) (અથવા 0.5201) છે.
- જો પસંદ કરેલ વ્યક્તિ પક્ષ A નો ટેકેદાર હોય, તો તે પુરુષ હોવાની સંભાવના \(\frac{1319}{2437}\) (અથવા 0.5412) છે.
વિભાગ A
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (D)
A: ચોક્કસ ઘટના
B: $\emptyset$ ની પૂરક ઘટના
C: U અને $\emptyset$ ની યોગઘટના
D: અશક્ય ઘટના
A: ચોક્કસ ઘટના
B: $\emptyset$ ની પૂરક ઘટના
C: U અને $\emptyset$ ની યોગઘટના
D: અશક્ય ઘટના
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (B)
A: 1
B: 0
C: 0.5
D: 0 અને 1ની વચ્ચે
A: 1
B: 0
C: 0.5
D: 0 અને 1ની વચ્ચે
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (C)
A: $P(A) < 0$
B: $0 \le P(A) \ge 1$
C: $0 \le P(A) \le 1$
D: $P(A) > 1$
A: $P(A) < 0$
B: $0 \le P(A) \ge 1$
C: $0 \le P(A) \le 1$
D: $P(A) > 1$
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: P(A∩B)=P(B)
B: P(A∪B)=P(B)
C: P(A∪B)=P(A)
D: P(B−A)=P(B)−P(A)
A: P(A∩B)=P(B)
B: P(A∪B)=P(B)
C: P(A∪B)=P(A)
D: P(B−A)=P(B)−P(A)
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: ગાણિતિક વ્યાખ્યા
B: પૂર્વ શરણાયુક્ત વ્યાખ્યા
C: આંકડાશાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા
D: ભૌમિતિક વ્યાખ્યા
A: ગાણિતિક વ્યાખ્યા
B: પૂર્વ શરણાયુક્ત વ્યાખ્યા
C: આંકડાશાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા
D: ભૌમિતિક વ્યાખ્યા
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (C)
A: P(T)=0.5
B: P(H)+P(T)=1
C: P(H∩T)=0.5
D: P(H)=0.5
A: P(T)=0.5
B: P(H)+P(T)=1
C: P(H∩T)=0.5
D: P(H)=0.5
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (C)
A: બે પાસા ઉછાળવા
B: ઓફિસમાંથી બે કર્મચારીઓ પસંદ કરવા
C: ઇલેક્ટ્રિક બલ્બનું આયુષ્ય કલાકમાં માપવું
D: 52 પત્તામાંથી એક પત્તું પસંદ કરવું
A: બે પાસા ઉછાળવા
B: ઓફિસમાંથી બે કર્મચારીઓ પસંદ કરવા
C: ઇલેક્ટ્રિક બલ્બનું આયુષ્ય કલાકમાં માપવું
D: 52 પત્તામાંથી એક પત્તું પસંદ કરવું
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (B)
A: નિરપેક્ષ ઘટનાઓ
B: પૂરક ઘટનાઓ
C: ચોક્કસ ઘટનાઓ
D: અશક્ય ઘટનાઓ
A: નિરપેક્ષ ઘટનાઓ
B: પૂરક ઘટનાઓ
C: ચોક્કસ ઘટનાઓ
D: અશક્ય ઘટનાઓ
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: નિરપેક્ષ ઘટનાઓ
B: પૂરક ઘટનાઓ
C: ચોક્કસ ઘટનાઓ
D: અશક્ય ઘટનાઓ
A: નિરપેક્ષ ઘટનાઓ
B: પૂરક ઘટનાઓ
C: ચોક્કસ ઘટનાઓ
D: અશક્ય ઘટનાઓ
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (B)
A: P(A)
B: P(B)
C: P(A∩B)
D: P(A∪B)
A: P(A)
B: P(B)
C: P(A∩B)
D: P(A∪B)
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: 6 3 (પ્રશ્નમાં 6 2 અને 6∗3 છે, જે યોગ્ય વિકલ્પ મુજબ 6 3 થાય)
B: 3
C: 6×3
D: 6
A: 6 3 (પ્રશ્નમાં 6 2 અને 6∗3 છે, જે યોગ્ય વિકલ્પ મુજબ 6 3 થાય)
B: 3
C: 6×3
D: 6
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (D)
A: 1/2
B: 1/6
C: 1/5
D: 1/3
A: 1/2
B: 1/6
C: 1/5
D: 1/3
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: P(A∩B)=P(A)×P(B)
B: P(A∪B)=P(A)+P(B)
C: P(A∪B)=P(A)×P(B)
D: P(A∩B)=P(A)+P(B)
A: P(A∩B)=P(A)×P(B)
B: P(A∪B)=P(A)+P(B)
C: P(A∪B)=P(A)×P(B)
D: P(A∩B)=P(A)+P(B)
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: 0
B: 1/7
C: 2/7
D: 3/7
A: 0
B: 1/7
C: 2/7
D: 3/7
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (A)
A: 0.12
B: 0.42
C: 0.28
D: 0.18
A: 0.12
B: 0.42
C: 0.28
D: 0.18
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (B)
A: ϕ
B: B
C: A
D: U
A: ϕ
B: B
C: A
D: U
સાચો જવાબ:
સાચો વિકલ્પ: (B)
A: 0
B: (1/N)
C: 1
D: કહી શકાય નહિ.
A: 0
B: (1/N)
C: 1
D: કહી શકાય નહિ.
વિભાગ B
સાચો જવાબ:
(૧) એક સમતોલ સિક્કો ઉછાળવો.
(૨) એક સમતોલ પાસો ફેંકવો.
(૨) એક સમતોલ પાસો ફેંકવો.
સાચો જવાબ:
(વેન આકૃતિ વર્ણન): લંબચોરસ નિદર્શ અવકાશ U માં બે વર્તુળો A અને B દોરવામાં આવે છે, જેમાં માત્ર A નો ભાગ (એટલે કે A અને B ના સામાન્ય છેદગણ સિવાયનો A નો બાકીનો ભાગ) છાંયડાવાળો દર્શાવવાથી A−B ની વેન આકૃતિ બને છે.
સાચો જવાબ:
નિદર્શ અવકાશ U ના કોઈ ઉપગણને ઘટના કહે છે.
સાચો જવાબ:
એક સમતોલ પાસો અને એક સમતોલ સિક્કો એક સાથે ઉછાળવાના યાદચ્છિક પ્રયોગનો નિદર્શ અવકાશ (S) નીચે મુજબ છે:
અહીં,
નિદર્શ અવકાશ (S):
આ નિદર્શ અવકાશમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા n(S) = 12 છે.
અહીં,
- પાસા પરના અંક: 1, 2, 3, 4, 5, 6
- સિક્કા પરના પરિણામ: H (છાપ) અને T (કાંટો)
નિદર્શ અવકાશ (S):
આ નિદર્શ અવકાશમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા n(S) = 12 છે.
સાચો જવાબ:
શરતી સંભાવના (Conditional Probability) એટલે કોઈ એક ઘટના બની ચૂકી છે તે આપેલ હોય, ત્યારે અન્ય કોઈ ઘટના બનવાની સંભાવના.
જો કોઈ યાદચ્છિક પ્રયોગના નિદર્શાવકાશ U ની બે ઘટનાઓ A અને B હોય, અને ઘટના B ઉદ્ભવી ચૂકી છે તેવું આપેલું હોય, ત્યારે ઘટના A ઉદ્ભવવાની સંભાવનાને ધારેલી ઘટના B પર આધારિત ઘટના A ની શરતી સંભાવના કહેવામાં આવે છે.
તેને સંકેતમાં P(A|B) વડે દર્શાવાય છે (જ્યાં P(B) > 0).
સાચો જવાબ:
ત્રણ ઘટનાઓ A, B અને C પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના (
) શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
પદોની સમજૂતી:
- : ઘટના A, B કે C પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના.
- P(A), P(B), P(C): અનુક્રમે ઘટના A, B અને C ની સંભાવના.
- : બે ઘટનાઓ એકસાથે (સાથે) બનવાની સંભાવન
- : ત્રણેય ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના.
સાચો જવાબ:
જો નિદર્શ અવકાશની બે ઘટનાઓ A અને B માટે P(A∩B)=P(A)⋅P(B) શરતનું પાલન થાય, તો તે બે ઘટનાઓને નિરપેક્ષ ઘટનાઓ કહે છે.
સાચો જવાબ:
નિદર્શ અવકાશની બે નિરપેક્ષ ઘટનાઓ A અને B માટે સંભાવનાનો ગુણાકારનો નિયમ \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) છે.
નિયમની સમજ
- જ્યારે બે ઘટનાઓ નિરપેક્ષ (Independent) હોય, ત્યારે એક ઘટના બનવાની અસર બીજી ઘટનાની સંભાવના પર પડતી નથી.
- આ નિયમ મુજબ, બંને ઘટનાઓ એકસાથે (સાથે-સાથે) બનવાની સંભાવના તેમની અલગ-અલગ સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક સ્વરૂપ
\(P(A\text{ અને }B)=P(A)\times P(B)\)
અહીં:
- \(P(A \cap B)\) = ઘટના A અને ઘટના B બંને એકસાથે થવાની સંભાવના.
- P(A) = ઘટના A થવાની સંભાવના.
- P(B) = ઘટના B થવાની સંભાવના.
સાચો જવાબ:
૧. P(A/B) નું અર્થઘટન
૨. P(B/A) નું અર્થઘટન
- વાંચન: આને "B શરતે A ની સંભાવના" (Probability of A given B) વાંચવામાં આવે છે.
- અર્થ: જ્યારે કોઈ ઘટના B ઘટના બની ચૂકી હોય, ત્યારે તે શરતે ઘટના A બને તેની સંભાવનાને P(A/B) કહે છે.
- અહીં ઘટના B એ શરત છે અને તે જાણીતી ઘટના છે.
૨. P(B/A) નું અર્થઘટન
- વાંચન: આને "A શરતે B ની સંભાવના" (Probability of B given A) વાંચવામાં આવે છે.
- અર્થ: જ્યારે કોઈ ઘટના A ઘટના બની ચૂકી હોય, ત્યારે તે શરતે ઘટના B બને તેની સંભાવનાને P(B/A) કહે છે.
- અહીં ઘટના A એ શરત છે અને તે જાણીતી ઘટના છે.
સાચો જવાબ:
જો A∪B∪C=U હોય, તો તે ત્રણ ઘટનાઓને નિઃશેષ ઘટનાઓ કહે છે.
સાચો જવાબ:
\(P(A) + P(B) \ge P(A \cup B) \ge P(A) \ge P(A \cap B) \ge 0\)
આ ક્રમ પાછળના મુખ્ય કારણો:
- \(P(A) + P(B)\): તે સૌથી મોટું પદ છે, કારણ કે સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) થાય.
- \(P(A \cup B)\): બે ઘટનાઓ ભેગી થાય તેની સંભાવના કોઈ એક સિંગલ ઘટના \(P(A)\) કરતાં હંમેશા વધારે અથવા બરાબર હોય.
- \(P(A)\): કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના તેના છેદગણ \(P(A \cap B)\) (બંને ઘટનાઓ સાથે બને) કરતાં મોટી અથવા બરાબર હોય.
- \(P(A \cap B)\): આ સંભાવના હંમેશા \(0\) કે તેથી વધુ હોય છે.
- \(0\): સંભાવના ક્યારેય ઋણ (negative) હોઈ શકે નહીં, તેથી \(0\) સૌથી નાનું છે.
સાચો જવાબ:
(૧) યાદચ્છિક પ્રયોગ: જે પ્રયોગના તમામ શક્ય પરિણામો પહેલેથી જાણીતા હોય, પરંતુ તે પૈકી કયું ચોક્કસ પરિણામ આવશે તેની ખાતરીથી આગાહી ન થઈ શકતી હોય તેવા પ્રયોગને યાદચ્છિક પ્રયોગ કહે છે.
(૨) નિદર્શ અવકાશ: યાદચ્છિક પ્રયોગના તમામ શક્ય પરિણામોના ગણને નિદર્શ અવકાશ કહે છે.
(૩) સમસંભાવી ઘટનાઓ: જે ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના સમાન હોય તેવી ઘટનાઓને સમસંભાવી ઘટનાઓ કહે છે.
(૪) સાનુકૂળ પરિણામો: આપેલ ઘટના જે પરિણામોથી બને છે તે પરિણામોને તે ઘટના માટેના સાનુકૂળ પરિણામો કહે છે.
(૫) સંભાવના (ગાણિતિક વ્યાખ્યા): યાદચ્છિક પ્રયોગના કુલ N સમસંભાવી અને પરસ્પર નિવારક પરિણામોમાંથી ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા m હોય, તો P(A)=Nm ને સંભાવનાની ગાણિતિક વ્યાખ્યા કહે છે.
(૬) સંભાવના (આંકડાશાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા): કોઈ પ્રયોગનું પુનરાવર્તન N વખત કરવાથી જો ઘટના A કુલ m વખત બને, તો N ની અનંત વ્યાપક મર્યાદામાં ગુણોત્તર Nm ની મર્યાદાને સંભાવનાની આંકડાશાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા કહે છે.
(૭) અશક્ય ઘટના: જે ઘટના ક્યારેય બની ન શકે તેને અશક્ય ઘટના કહે છે (તેની સંભાવના ૦ હોય છે).
(૮) ચોક્કસ ઘટના: જે ઘટના નિશ્ચિતપણે બને જ છે તેને ચોક્કસ ઘટના કહે છે (તેની સંભાવના ૧ હોય છે).
સાચો જવાબ:
- P(A ∩ B) માટે:
અહીં
આપેલ છે, એટલે કે ઘટના
એ ઘટના
નો ઉપગણ છે. તેથી,
અને
નો છેદગણ
થાય. આના પરથી તેની સંભાવના P(A ∩ B) = P(A) મળે.
- P(A ∪ B) માટે:
અહીં
છે, જેથી
થાય. વળી પ્રશ્નમાં
(નિદર્શ અવકાશ) આપેલ છે, તેથી
થાય. નિદર્શ અવકાશની કુલ સંભાવના હંમેશાં 1 હોય છે, તેથી P(A ∪ B) = 1 થાય છે
સાચો જવાબ:
જો ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ હોય, તો \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)\) થાય.
સૂત્રની સમજૂતી
- સામાન્ય સૂત્ર: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
- નિરપેક્ષ શરત: નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) થાય છે.
- અંતિમ રૂપ: છેચ્છ છેદ ઘટનાની જગ્યાએ ગુણાકાર મૂકવાથી \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)\) મળે છે.
છે.
સાચો જવાબ:
ગણ A અને B નો છેદગણ \(A \cap B = \{x \mid \frac{1}{4} \le x < 1\}\) અથવા અંતરાલ સ્વરૂપમાં \(\left[\frac{1}{4}, 1\right)\) થશે.
ગણતરી અને સમજૂતી:
- ગણ A: \(A = \{x \mid 0 < x < 1\}\) (આ ઓપન અંતરાલ \((0, 1)\) દર્શાવે છે).
- ગણ B: \(B = \{x \mid \frac{1}{4} \le x \le 3\}\) (આ ક્લોઝ્ડ અંતરાલ \(\left[\frac{1}{4}, 3\right]\) દર્શાવે છે). [1]
છેદગણ (\(A \cap B\)) એટલે બંને ગણમાં આવતા હોય તેવા સામાન્ય (common) ઘટકોનો સમૂહ. બંને શરતોને સાથે સરખાવતા: [1]
- નીચલી સીમા (Lower limit): \(x\) ની કિંમત \(0\) કરતાં મોટી હોવી જોઈએ અને \(\frac{1}{4}\) કે તેથી વધુ હોવી જોઈએ. આ બંનેમાં સામાન્ય શરત \(x \ge \frac{1}{4}\) બને છે.
- ઉપલી સીમા (Upper limit): \(x\) ની કિંમત \(1\) કરતાં નાની હોવી જોઈએ અને \(3\) કે તેથી ઓછી હોવી જોઈએ. આ બંનેમાં સામાન્ય શરત \(x < 1\) બને છે.
આમ, બંને ગણમાં હોય તેવી સામાન્ય કિંમતો \(\frac{1}{4} \le x < 1\) થાય છે.
- ગુણધર્મની રીતે: \(A \cap B = \{x \mid \frac{1}{4} \le x < 1\}\)
- અંતરાલ સ્વરૂપમાં: \(A \cap B = \left[\frac{1}{4}, 1\right)\)
સાચો જવાબ:
નિરપેક્ષ ઘટનાઓ A અને B માટે \(P(A' \cap B') = 0.15\) થશે. [1]
ગણતરી અને સમજૂતી:
૧. આપેલ માહિતી:
- \(P(A) = 0.5\)
- \(P(B) = 0.7\)
૨. પૂરક ઘટનાઓની સંભાવના:
- \(P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5\)
- \(P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.7 = 0.3\)
૩. સૂત્ર અને કિંમત:
જો ઘટનાઓ \(A\) અને \(B\) નિરપેક્ષ હોય, તો તેમની પૂરક ઘટનાઓ \(A^{\prime }\) અને \(B^{\prime }\) પણ પરસ્પર નિરપેક્ષ થાય.
તેથી:
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=P(A^{\prime })\times P(B^{\prime })\)
હવે કિંમતો મૂકતાં:
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=0.5\times 0.3\)
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=0.15\)
આમ, \(P(A' \cap B')\) ની કિંમત \(0.15\) છે.
સાચો જવાબ:
P(A−B) ની કિંમત 0.55 છે.
ગણતરીની રીત:
સૂત્ર મુજબ:
\(P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)\)
આપેલ છે:
- \(P(A) = 0.8\)
- \(P(A \cap B) = 0.25\)
કિંમતો મૂકતા:
\(P(A-B)=0.8-0.25=0.55\)
સાચો જવાબ:
અહીં \(P(B/A)\) ની કિંમત \(0.1\) થશે.
આ દાખલો ગણવા માટે શરતી સંભાવના (Conditional Probability) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: [1]
સૂત્ર:
\(P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
ગણતરી:
દાખલામાં આપેલી કિંમતો:
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
\(P(B/A)=\frac{0.03}{0.3}\)
\(P(B/A)=\frac{\frac{3}{100}}{\frac{3}{10}}=\frac{3\times 10}{100\times 3}=\frac{10}{100}=0.1\)
તેથી, \(P(B/A) = 0.1\).
આ દાખલો ગણવા માટે શરતી સંભાવના (Conditional Probability) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: [1]
સૂત્ર:
\(P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
ગણતરી:
દાખલામાં આપેલી કિંમતો:
- \(P(A) = 0.3\)
- \(P(A \cap B) = 0.03\)
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
\(P(B/A)=\frac{0.03}{0.3}\)
\(P(B/A)=\frac{\frac{3}{100}}{\frac{3}{10}}=\frac{3\times 10}{100\times 3}=\frac{10}{100}=0.1\)
તેથી, \(P(B/A) = 0.1\).
સાચો જવાબ:
પરસ્પર નિવારક બે ઘટનાઓ A અને B માટે \(P(A \cup B)\) નું મૂલ્ય \(2K\) થાય છે.
ગણતરીની સમજ:
પરસ્પર નિવારક બે ઘટનાઓ A અને B માટે \(P(A \cup B)\) નું મૂલ્ય \(2K\) થાય છે.ગણતરીની સમજ:
- પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ: જો બે ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક હોય, તો તે બંને એક સાથે થઈ શકે નહીં. તેથી તેમનો છેદગણ શૂન્ય થાય છે:
\(P(A \cap B) = 0\)
- સંભાવનાનો નિયમ: સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
- કિંમત મૂકતાં:
\(P(A) = K\) અને \(P(B) = K\) આપેલ છે.
\(P(A \cup B) = K + K - 0\)
\(P(A \cup B) = 2K\)
સાચો જવાબ:
\(P(B) = 0.45\) થશે.
આ ગણતરી નીચે મુજબના સંભાવનાના સામાન્ય નિયમો અને સૂત્રો દ્વારા મેળવી શકાય છે:
ગણતરી અને સ્પષ્ટીકરણ:
આ ગણતરી નીચે મુજબના સંભાવનાના સામાન્ય નિયમો અને સૂત્રો દ્વારા મેળવી શકાય છે:
ગણતરી અને સ્પષ્ટીકરણ:
- સંભાવનાનું સામાન્ય સૂત્ર:
કોઈપણ બે ઘટનાઓ \(A\) અને \(B\) માટે, \(P(A' \cap B)\) (એટલે કે ઘટના \(A\) ન બને અને ઘટના \(B\) બને) શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
\(P(A^{\prime }\cap B)=P(B)-P(A\cap B)\)
- પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ (Mutually Exclusive Events):
અહીં આપણને આપેલ છે કે \(A \cap B = \phi\) (ખાલી ગણ), જે દર્શાવે છે કે ઘટના \(A\) અને \(B\) પરસ્પર નિવારક છે.
તેથી, બંને ઘટનાઓ સાથે બનવાની સંભાવના શૂન્ય થાય:
\(P(A\cap B)=0\)
- કિંમત મુકતા:
હવે, ઉપરના સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મુકતા:
\(0.45=P(B)-0\)
\(P(B)=0.45\)
સાચો જવાબ:
અહીં P(B) = 2/3 થાય છે.
ગણતરી અને સમજૂતી:
આ બંને શરતો મુજબ:
\(P(A)+P(B)=1\)
કિંમત મૂકતા:
\(\frac{1}{3}+P(B)=1\)
\(P(B)=1-\frac{1}{3}\)
\(P(B)=\frac{2}{3}\)
ગણતરી અને સમજૂતી:
- નિઃશેષ ઘટનાઓ (Exhaustive Events): જો A અને B નિઃશેષ ઘટનાઓ હોય, તો તેમની સંભાવનાનો સરવાળો 1 થાય છે. એટલે કે, \(P(A \cup B) = 1\).
- પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ (Mutually Exclusive Events): જો A અને B પરસ્પર નિવારક હોય, તો \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
આ બંને શરતો મુજબ:
\(P(A)+P(B)=1\)
કિંમત મૂકતા:
\(\frac{1}{3}+P(B)=1\)
\(P(B)=1-\frac{1}{3}\)
\(P(B)=\frac{2}{3}\)
સાચો જવાબ:
ખામીરહિત એકમ હોવાની સંભાવના 0.98 (અથવા 98%) થાય.
આ ગણતરી ખૂબ જ સરળ છે, જે નીચે મુજબ છે:
જો તેને સંભાવનાના સ્વરૂપમાં લખીએ તો:
\(\text{સંભાવના}=\frac{98}{100}=0.98\)
આ ગણતરી ખૂબ જ સરળ છે, જે નીચે મુજબ છે:
- ખામીવાળા એકમોની ટકાવારી: 2% (એટલે કે સંભાવના \(P(A) = \frac{2}{100} = 0.02\))
- ખામીરહિત એકમોની ટકાવારી: કુલ 100% માંથી ખામીવાળા એકમો બાદ કરતાં, 100% - 2% = 98% મળે.
જો તેને સંભાવનાના સ્વરૂપમાં લખીએ તો:
\(\text{સંભાવના}=\frac{98}{100}=0.98\)
સાચો જવાબ:
પાંચ સમતોલ સિક્કા ઉછાળવાના યાદચ્છિક પ્રયોગમાં નિદર્શ બિંદુઓની કુલ સંખ્યા ૩૨ (32) થાય.
ગણતરી અને સમજૂતી:
અહીં સિક્કાઓની સંખ્યા n = 5 હોવાથી:
\(\text{નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા}=2^{5}=2\times 2\times 2\times 2\times 2=\mathbf{32}\)
ગણતરી અને સમજૂતી:
- એક સિક્કાને ઉછાળતા બે પરિણામો મળે છે: છાપ (H) અથવા કાંટો (T). એટલે કે પરિણામોની સંખ્યા = 2.
- જ્યારે n સિક્કાઓને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે, ત્યારે મળતા કુલ નિદર્શ બિંદુઓ શોધવાનું સૂત્ર \(2^{n}\) છે.
અહીં સિક્કાઓની સંખ્યા n = 5 હોવાથી:
\(\text{નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા}=2^{5}=2\times 2\times 2\times 2\times 2=\mathbf{32}\)
સાચો જવાબ:
એક સમતોલ સિક્કો અને બે સમતોલ પાસાં એક સાથે ઉછાળવાના યાદચ્છિક પ્રયોગમાં કુલ નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા ૭૨ થાય.
ગણતરીની સમજૂતી નીચે મુજબ છે:
કુલ નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા (n):
ગણતરીની સમજૂતી નીચે મુજબ છે:
- એક સમતોલ સિક્કો ઉછાળવાના પરિણામો: સિક્કા પર છાપ (H) અથવા કાંટો (T) એમ કુલ ૨ પરિણામો મળે.
- બે સમતોલ પાસાં ઉછાળવાના પરિણામો: દરેક પાસા પર ૧ થી ૬ અંકો હોય છે, તેથી બે પાસા ઉછાળતા 6 × 6 = ૩૬ પરિણામો મળે.
કુલ નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા (n):
સાચો જવાબ:
સંભાવનાના નિયમ મુજબ, કોઈપણ બે ઘટનાઓ \(A\) અને \(B\) માટે, તેમનો યોગગણ (Union) \(A \cup B\) એ ઘટના \(A\) અને ઘટના \(B\) બંનેનો સમાવેશ કરે છે. તેથી, \(A \cup B\) ની સંભાવના એ ઘટના \(A\) ની સંભાવના કરતાં ક્યારેય ઓછી ન હોઈ શકે.
ગાણિતિક રીતે કહીએ તો:
સંભાવનાના નિયમ મુજબ, કોઈપણ બે ઘટનાઓ \(A\) અને \(B\) માટે, તેમનો યોગગણ (Union) \(A \cup B\) એ ઘટના \(A\) અને ઘટના \(B\) બંનેનો સમાવેશ કરે છે. તેથી, \(A \cup B\) ની સંભાવના એ ઘટના \(A\) ની સંભાવના કરતાં ક્યારેય ઓછી ન હોઈ શકે.
ગાણિતિક રીતે કહીએ તો:
- હંમેશા \(P(A \cup B) \ge P(A)\) હોવું જોઈએ.
- અહીં રકમમાં \(P(A) = 0.7\) અને \(P(A \cup B) = 0.45\) આપેલ છે.
- અહીં \(0.45 < 0.7\) થાય છે (એટલે કે \(P(A \cup B) < P(A)\) છે), જે સંભાવનાના મૂળભૂત નિયમની વિરુદ્ધ છે.
સાચો જવાબ:
આ યાદચ્છિક પ્રયોગના નિદર્શ અવકાશના ઘટકોની સંખ્યા ૨૬૫૨ (2652) છે.
ગણતરીની સમજ:
ગણતરીની સમજ:
- કુલ પત્તાંની સંખ્યા = ૫૨
- પ્રથમ પત્તું પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = ૫૨
- પુરવણીરહિત (એટલે કે પાછું મૂક્યા વગર) બીજું પત્તું પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = ૫૧
- નિદર્શ અવકાશના ઘટકોની કુલ સંખ્યા = 52 × 51 = 2652
સાચો જવાબ:
\(P(A)\) નું મૂલ્ય 2/5 (અથવા 0.4) છે.
ગણતરીની માહિતી:
ગણતરીની માહિતી:
- આપેલી શરત મુજબ, \(A\) અને \(B\) બે નિરપેક્ષ (independent) ઘટનાઓ છે.
- નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે શરત: \(P(B/A) = P(B)\)
- તેથી, \(P(B) = \frac{1}{2}\)
- વળી, નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે છેદઘટનાનું સૂત્ર:
\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
- કિંમતો મૂકતા:
\(\frac{1}{5}=P(A)\cdot \frac{1}{2}\)\(P(A)=\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}\)
સાચો જવાબ:
પસંદ કરેલ ટિકિટ ઇનામપાત્ર હોય તેની સંભાવના 0.001 (અથવા \(\frac{1}{1000}\)) થાય.
ગણતરીની સમજૂતી:
હવે, સંભાવનાના સૂત્ર મુજબ:
\(\text{સંભાવના (P)}=\frac{\text{ઇનામપાત્ર ટિકિટોની સંખ્યા}}{\text{કુલ ટિકિટોની સંખ્યા}}\)
\(\text{P}=\frac{2}{2000}\)
\(\text{P}=\frac{1}{1000}=0.001\)
ગણતરીની સમજૂતી:
- કુલ પરિણામોની સંખ્યા (કુલ ટિકિટો): 2000
- ઇનામ વગરની ટિકિટો: 1998
- ઇનામપાત્ર (ઇનામ વાળી) ટિકિટોની સંખ્યા:
\(\text{કુલ ટિકિટો}-\text{ઇનામ વગરની ટિકિટો}\)
\(=2000-1998=2\)
હવે, સંભાવનાના સૂત્ર મુજબ:
\(\text{સંભાવના (P)}=\frac{\text{ઇનામપાત્ર ટિકિટોની સંખ્યા}}{\text{કુલ ટિકિટોની સંખ્યા}}\)
\(\text{P}=\frac{2}{2000}\)
\(\text{P}=\frac{1}{1000}=0.001\)
વિભાગ - C
સાચો જવાબ:
(૧) પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ: જો નિદર્શ અવકાશની બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે $A \cap B = \phi$ હોય, તો તે બે ઘટનાઓને પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ કહે છે. (વેન આકૃતિમાં $A$ અને $B$ ના વર્તુળો એકબીજાને છેદતા નથી, અલગ હોય છે).
(૨) યોગઘટના: નિદર્શ અવકાશની બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેને યોગઘટના ($A \cup B$) કહે છે. (વેન આકૃતિમાં $A$ અને $B$ બંનેનો સંયુક્ત ભાગ છાંયડાવાળો હોય છે).
(૩) છેદઘટના: નિદર્શ અવકાશની બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ બંને એકસાથે બને તેને છેદઘટના ($A \cap B$) કહે છે. (વેન આકૃતિમાં માત્ર બંનેનો સામાન્ય ભાગ છાંયડાવાળો હોય છે).
(૪) તફાવત ઘટના: ઘટના $A$ બને પરંતુ ઘટના $B$ ન બને તેવી ઘટનાને તફાવત ઘટના ($A - B$) કહે છે. (વેન આકૃતિમાં માત્ર $A$ નો તે ભાગ જે $B$ માં ન હોય તે છાંયડાવાળો હોય છે).
(૫) નિઃશેષ ઘટનાઓ: જો નિદર્શ અવકાશની કેટલીક ઘટનાઓનો યોગગણ નિદર્શ અવકાશ $U$ પોતે જ હોય ($A \cup B = U$), તો તેને નિઃશેષ ઘટનાઓ કહે છે.
(૬) પૂરક ઘટના: નિદર્શ અવકાશની ઘટના $A$ ન બને તેને ઘટના $A$ ની પૂરક ઘટના ($A'$) કહે છે. (વેન આકૃતિમાં $U$ માંથી $A$ સિવાયનો બાકીનો ભાગ છાંયડાવાળો હોય છે).
સાચો જવાબ:
સાન્ત નિદર્શ અવકાશ અને અનંત નિદર્શ અવકાશના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
સાન્ત નિદર્શ અવકાશ (Finite Sample Space)
જે નિદર્શ અવકાશમાં ઘટકોની સંખ્યા મર્યાદિત (ગણી શકાય તેવી) હોય તેને સાન્ત નિદર્શ અવકાશ કહેવાય છે.
અનંત નિદર્શ અવકાશ (Infinite Sample Space)
જે નિદર્શ અવકાશમાં ઘટકોની સંખ્યા અમર્યાદિત (ગણી ન શકાય તેવી અનંત) હોય તેને અનંત નિદર્શ અવકાશ કહેવાય છે.
સાન્ત નિદર્શ અવકાશ (Finite Sample Space)
જે નિદર્શ અવકાશમાં ઘટકોની સંખ્યા મર્યાદિત (ગણી શકાય તેવી) હોય તેને સાન્ત નિદર્શ અવકાશ કહેવાય છે.
- સિક્કો ઉછાળવો: એક સમતોલ સિક્કાને એકવાર ઉછાળવાના પ્રયોગનો નિદર્શ અવકાશ \(U = \{H, T\}\) છે. અહીં ઘટકોની સંખ્યા 2 છે.
- પાસો ફેંકવો: એક છ બાજુવાળા સમતોલ પાસાને એકવાર ફેંકવાના પ્રયોગનો નિદર્શ અવકાશ \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) છે. અહીં ઘટકોની સંખ્યા 6 છે.
- પત્તાં ખેંચવા: 52 પત્તાંના ઢગમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા 52 છે.
અનંત નિદર્શ અવકાશ (Infinite Sample Space)
જે નિદર્શ અવકાશમાં ઘટકોની સંખ્યા અમર્યાદિત (ગણી ન શકાય તેવી અનંત) હોય તેને અનંત નિદર્શ અવકાશ કહેવાય છે.
- ઉત્પાદિત વસ્તુનું આયુષ્ય: કારખાનામાં બનેલા એક વીજળીના બલ્બનું આયુષ્ય (કલાકમાં) માપવાનો પ્રયોગ. તેનો નિદર્શ અવકાશ \(U = \{x \mid x \ge 0, x \in R\}\) છે.
- પ્રાકૃતિક સંખ્યા પસંદ કરવી: ગમે તે એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા પસંદ કરવાનો પ્રયોગ. તેનો નિદર્શ અવકાશ \(U = \{1, 2, 3, 4, \dots\}\) છે.
- નકામી વસ્તુ બને ત્યાં સુધીનું પરીક્ષણ: એક ફેક્ટરીમાં ઉત્પાદિત થતી વસ્તુઓનું ત્યાં સુધી પરીક્ષણ કરવું જ્યાં સુધી પ્રથમ ખામીયુક્ત (બગડેલી) વસ્તુ ન મળે.
સાચો જવાબ:
ગણિતમાં સંભાવનાની દ્રષ્ટિએ અશક્ય ઘટના અને ચોક્કસ ઘટનાના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
૧. અશક્ય ઘટના (Impossible Event)
જે ઘટના ક્યારેય ઘટી જ ન શકે તેને અશક્ય ઘટના કહેવાય છે. આ ઘટનાની સંભાવના ૦ (શૂન્ય) હોય છે.
૨. ચોક્કસ ઘટના (Sure / Certain Event)
જે ઘટના હંમેશાં ઘટે જ તેને ચોક્કસ ઘટના કહેવાય છે. આ ઘટનાની સંભાવના ૧ (એક) હોય છે.
ગણિતમાં સંભાવનાની દ્રષ્ટિએ અશક્ય ઘટના અને ચોક્કસ ઘટનાના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
૧. અશક્ય ઘટના (Impossible Event)
જે ઘટના ક્યારેય ઘટી જ ન શકે તેને અશક્ય ઘટના કહેવાય છે. આ ઘટનાની સંભાવના ૦ (શૂન્ય) હોય છે.
- પાસાનું ઉદાહરણ: એક સામાન્ય પાસાને (Dice) ફેંકતાં તેના પર ૭ અંક આવે. (પાસા પર માત્ર ૧ થી ૬ અંક જ હોય છે).
- સૂર્યનું ઉદાહરણ: સૂર્ય પશ્ચિમ દિશામાં ઊગે.
- સિક્કાનું ઉદાહરણ: એક સિક્કાને હવામાં ઉછાળતાં તેના પર રાજા (Head) અને કાંટો (Tail) બંને એકસાથે આવે.
૨. ચોક્કસ ઘટના (Sure / Certain Event)
જે ઘટના હંમેશાં ઘટે જ તેને ચોક્કસ ઘટના કહેવાય છે. આ ઘટનાની સંભાવના ૧ (એક) હોય છે.
- પાસાનું ઉદાહરણ: એક પાસાને ફેંકતાં તેના પર ૭ કરતાં નાનો અંક આવે. (૧ થી ૬ બધા અંક ૭ કરતાં નાના જ છે).
- સૂર્યનું ઉદાહરણ: સૂર્ય પૂર્વ દિશામાં ઊગે.
- દિવસનું ઉદાહરણ: સોમવાર પછીના દિવસે મંગળવાર આવે.
સાચો જવાબ:
પ્રયોગના તમામ શક્ય પરિણામો પહેલેથી જાણીતા હોય છે.
પ્રયોગનું પરિણામ અગાઉથી નિશ્ચિત હોતું નથી (અનિશ્ચિતતા).
પ્રયોગનું પુનરાવર્તન સમાન પરિસ્થિતિમાં અનંત વખત કરી શકાય છે.
સાચો જવાબ:
સંભાવનાની ગાણિતિક (અથવા પ્રશિષ્ટ) વ્યાખ્યા મુખ્યત્વે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી લાપ્લાસે આપી હતી. આ વ્યાખ્યા કેટલીક ચોક્કસ ધારણાઓ પર આધારિત છે.
સંભાવનાની ગાણિતિક વ્યાખ્યાની મુખ્ય ધારણાઓ નીચે મુજબ છે:
મર્યાદા: જો કોઈ પ્રયોગના પરિણામો અગણિત (અનંત) હોય અથવા બધા પરિણામો સરખી સંભાવના ધરાવતા ન હોય, તો સંભાવનાની આ ગાણિતિક વ્યાખ્યા વાપરી શકાતી નથી.
સંભાવનાની ગાણિતિક (અથવા પ્રશિષ્ટ) વ્યાખ્યા મુખ્યત્વે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી લાપ્લાસે આપી હતી. આ વ્યાખ્યા કેટલીક ચોક્કસ ધારણાઓ પર આધારિત છે.
સંભાવનાની ગાણિતિક વ્યાખ્યાની મુખ્ય ધારણાઓ નીચે મુજબ છે:
- પરિણામોની સંખ્યા મર્યાદિત હોય: યાદચ્છિક પ્રયોગના કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા શાંત (પરિમિત) હોવી જોઈએ, એટલે કે તેને ગણી શકાય તેવી હોવી જોઈએ.
- બધા પરિણામો સમસંભાવી હોય: પ્રયોગનું કોઈ એક પરિણામ આવે તેવી શક્યતા બીજા પરિણામ કરતાં વધુ કે ઓછી ન હોવી જોઈએ. બધા જ પરિણામો મળવાની તક એકસરખી હોવી જોઈએ.
- પરિણામો પરસ્પર નિવારક હોય: પ્રયોગ દરમિયાન એકસાથે બે કે તેથી વધુ પરિણામો આવી શકે નહીં. જો એક પરિણામ આવે, તો તે બાકીના પરિણામો આવવાની શક્યતાને અટકાવે છે.
- પરિણામો નિઃશેષ હોય: પ્રયોગના શક્ય તમામ પરિણામોની યાદી પૂર્ણ હોવી જોઈએ. પ્રયોગ કરવાથી આ યાદીની બહારનું કોઈ નવું પરિણામ આવી શકે નહીં.
મર્યાદા: જો કોઈ પ્રયોગના પરિણામો અગણિત (અનંત) હોય અથવા બધા પરિણામો સરખી સંભાવના ધરાવતા ન હોય, તો સંભાવનાની આ ગાણિતિક વ્યાખ્યા વાપરી શકાતી નથી.
સાચો જવાબ:
સંભાવનાની ગાણિતિક (પરંપરાગત અથવા પ્રશિષ્ટ) વ્યાખ્યાની મુખ્ય મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
સંભાવનાની ગાણિતિક (પરંપરાગત અથવા પ્રશિષ્ટ) વ્યાખ્યાની મુખ્ય મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
- મર્યાદિત પરિણામો: આ વ્યાખ્યા ત્યારે જ લાગુ પાડી શકાય જ્યારે પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા પરિમિત (મર્યાદિત) હોય. જો પરિણામો અનંત હોય, તો આ વ્યાખ્યા નિષ્ફળ જાય છે.
- અશક્ય ગણતરી: જો કોઈ પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા જાણી શકાતી ન હોય, તો આ વ્યાખ્યાની મદદથી સંભાવના શોધી શકાતી નથી.
- પરિણામોની સમસંભાવી ધારણા: આ વ્યાખ્યામાં એવું ધારી લેવામાં આવે છે કે પ્રયોગના તમામ પરિણામો 'સમસંભાવી' (equally likely) છે. એટલે કે, વ્યાખ્યા આપવા માટે જ સંભાવનાના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરવો પડે છે, જે તાર્કિક રીતે યોગ્ય નથી.
સાચો જવાબ:
પ્રયોગનું પુનરાવર્તન ખૂબ જ મોટી સંખ્યામાં (અનંત સુધી) કરવું પડે છે, જે વ્યવહારમાં ખર્ચાળ અને સમય માગી લેનાર છે.
આ વ્યાખ્યા ચોક્કસ મૂલ્ય આપવાને બદલે મર્યાદા (Limit) પર આધારિત અંદાજ આપે છે.
સાચો જવાબ:
જે ઘટનાઓ બનવાની શક્યતા (સંભાવના) સમાન હોય તેવી ઘટનાઓને સમસંભાવી ઘટનાઓ કહે છે.
ઉદાહરણ: એક સમતોલ સિક્કો ઉછાળતી વખતે છાપ ($H$) મળવાની કે કાંટો ($T$) મળવાની શક્યતા સમાન ($\frac{1}{2}$) છે.
સાચો જવાબ:
નિદર્શ અવકાશની બે ઘટનાઓ A અને B માટે સંભાવનાના સરવાળાનો નિયમ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) છે, અને જો આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોય તો નિયમ \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) થાય છે.
સામાન્ય સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે સરવાળાનો નિયમ
સામાન્ય સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ
- સૂત્ર: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
- અહીં, \(P(A \cup B)\) એ ઘટના A અથવા ઘટના B બનવાની સંભાવના દર્શાવે છે.
- \(P(A \cap B)\) એ બંને ઘટનાઓ એકસાથે (સામે) બનવાની સંભાવના છે.
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે સરવાળાનો નિયમ
- જો ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક (Mutually Exclusive) હોય, તો તે બંને એક સાથે થઈ શકતી નથી.
- તેથી, છેદ ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય બને છે: \(P(A \cap B) = 0\)
- પરિણામે, સૂત્ર આ મુજબ બને છે:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
સાચો જવાબ:
નિદર્શ અવકાશની બે ઘટનાઓ A અને B માટે સંભાવનાના ગુણાકારનો સામાન્ય નિયમ \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B\vert{}A)\) છે.
૧. સંભાવનાના ગુણાકારનો સામાન્ય નિયમ
જો A અને B નિદર્શ અવકાશની બે ઘટનાઓ હોય, તો તેમની સાથે બનવાની (છેદ ઘટનાની) સંભાવના નીચે મુજબ મળે છે:
જો ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ (Independent) હોય (એટલે કે એક ઘટના બનવાની અસર બીજી ઘટના પર ન થતી હોય), તો શરતી સંભાવના P(B|A) = P(B) થાય.
આ સંજોગોમાં ગુણાકારનો નિયમ આ રીતે લખાય છે:
૧. સંભાવનાના ગુણાકારનો સામાન્ય નિયમ
જો A અને B નિદર્શ અવકાશની બે ઘટનાઓ હોય, તો તેમની સાથે બનવાની (છેદ ઘટનાની) સંભાવના નીચે મુજબ મળે છે:
- જો P(A) > 0 હોય, તો:
\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|{}A)\)
- જો P(B) > 0 હોય, તો:
\(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|{}B)\)
- ૨. નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે સંભાવનાનો ગુણાકારનો નિયમ
જો ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ (Independent) હોય (એટલે કે એક ઘટના બનવાની અસર બીજી ઘટના પર ન થતી હોય), તો શરતી સંભાવના P(B|A) = P(B) થાય.
આ સંજોગોમાં ગુણાકારનો નિયમ આ રીતે લખાય છે:
- \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
સાચો જવાબ:
નિદર્શ અવકાશની બે નિરપેક્ષ (Independent) ઘટનાઓ A અને B માટે સંભાવનાના મુખ્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે: [1]
- શરતી સંભાવનાના પરિણામો:
- \(P(A \mid B) = P(A)\) (જ્યાં P(B) > 0)
- \(P(B \mid A) = P(B)\) (જ્યાં P(A) > 0) [1]
- પૂરક ઘટનાઓની નિરપેક્ષતા:
જો A અને B નિરપેક્ષ હોય, તો નીચેની જોડીઓ પણ નિરપેક્ષ બને છે:
- A અને B' (સાથી ઘટના A અને B ની પૂરક ઘટના B') માટે: \(P(A \cap B') = P(A) \cdot P(B')\)
- A' અને B માટે: \(P(A' \cap B) = P(A') \cdot P(B)\)
- A' અને B' માટે: \(P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B')\)
- છેદ ઘટનાની સંભાવના (ગુણાકારનો નિયમ):
\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
[1]
સાચો જવાબ:
અહીં આપેલ કિંમતો આ મુજબ છે:
આપણે \(P(A' \cap B')\) શોધવાનું છે.
ગણતરીના સ્ટેપ્સ:
સ્ટેપ 1: દ'મોર્ગનના નિયમ (De Morgan's Laws) મુજબ:
\(A^{\prime }\cap B^{\prime }=(A\cup B)^{\prime }\)
તેથી,
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-P(A\cup B)\)
સ્ટેપ 2: સૌપ્રથમ \(P(A \cup B)\) ની કિંમત શોધીએ:
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ SATHEE - IIT Kanpur મુજબ:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
હવે આપેલી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતાં:
\(P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\)
\(P(A\cup B)=\frac{3}{3}-\frac{1}{6}\)
\(P(A\cup B)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
સ્ટેપ 3: હવે \(P(A' \cap B')\) ની કિંમત શોધીએ:
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-P(A\cup B)\)
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-\frac{5}{6}\)
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=\frac{6-5}{6}=\frac{1}{6}\)
જવાબ:
\(P(A' \cap B') = \frac{1}{6}\)
- \(P(B) = \frac{2}{3}\)
- \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\)
- \(P(A) = \frac{1}{3}\)
આપણે \(P(A' \cap B')\) શોધવાનું છે.
ગણતરીના સ્ટેપ્સ:
સ્ટેપ 1: દ'મોર્ગનના નિયમ (De Morgan's Laws) મુજબ:
\(A^{\prime }\cap B^{\prime }=(A\cup B)^{\prime }\)
તેથી,
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-P(A\cup B)\)
સ્ટેપ 2: સૌપ્રથમ \(P(A \cup B)\) ની કિંમત શોધીએ:
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ SATHEE - IIT Kanpur મુજબ:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
હવે આપેલી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતાં:
\(P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\)
\(P(A\cup B)=\frac{3}{3}-\frac{1}{6}\)
\(P(A\cup B)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
સ્ટેપ 3: હવે \(P(A' \cap B')\) ની કિંમત શોધીએ:
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-P(A\cup B)\)
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-\frac{5}{6}\)
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=\frac{6-5}{6}=\frac{1}{6}\)
જવાબ:
\(P(A' \cap B') = \frac{1}{6}\)
સાચો જવાબ:
શરતી સંભાવનાના મૂળભૂત નિયમ (Multiplication Rule of Probability) મુજબ, કોઈપણ બે ઘટનાઓ A અને B માટે \(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A/B)\) સંબંધ હંમેશા સત્ય જ હોય છે.
આ નિયમ વિશેની ગણતરી અને સમજૂતી નીચે મુજબ છે:
તમારા પ્રશ્નમાં આપેલા મૂલ્ય \(2P(A/B) = 0.4\) પરથી \(P(A/B) = 0.2\) થાય. જો તમને \(P(B)\) ની કિંમત આપેલી હોય, તો તમે \(P(A \cap B)\) નું ચોક્કસ મૂલ્ય શોધી શકો છો.
જો તમારે આ પ્રશ્નમાં આગળ \(P(B)\) કે \(P(A \cup B)\) ની ગણતરી કરવી હોય, તો મને નીચેની વિગતો જણાવો:
આ નિયમ વિશેની ગણતરી અને સમજૂતી નીચે મુજબ છે:
- શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર: \(P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) (જ્યાં \(P(B) \neq 0\))
- આ સૂત્રમાં \(P(B)\) ને બરાબરની બીજી બાજુ ગુણાકારમાં લઈ જતાં આપણને \(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A/B)\) મળે છે.
તમારા પ્રશ્નમાં આપેલા મૂલ્ય \(2P(A/B) = 0.4\) પરથી \(P(A/B) = 0.2\) થાય. જો તમને \(P(B)\) ની કિંમત આપેલી હોય, તો તમે \(P(A \cap B)\) નું ચોક્કસ મૂલ્ય શોધી શકો છો.
જો તમારે આ પ્રશ્નમાં આગળ \(P(B)\) કે \(P(A \cup B)\) ની ગણતરી કરવી હોય, તો મને નીચેની વિગતો જણાવો:
- પ્રશ્નમાં આપેલી \(P(B)\) અથવા \(P(A)\) ની કિંમત શું છે?
- તમારે \(P(A \cap B)\) શોધવું છે કે \(P(A \cup B)\)?
સાચો જવાબ:
અહીં, \(P(A \cap B) = 0.0024\) મળશે.
ગણતરીના સરળ સ્ટેપ્સ નીચે મુજબ છે:
Show Code
ગણતરીના સરળ સ્ટેપ્સ નીચે મુજબ છે:
- સ્ટેપ 1: \(P(A)\) ની કિંમત શોધતા:
\(3P(A)=0.12\)
\(P(A)=\frac{0.12}{3}=0.04\)
- સ્ટેપ 2: \(P(B)\) ની કિંમત શોધતા:
\(2P(B)=0.12\)
\(P(B)=\frac{0.12}{2}=0.06\)
- સ્ટેપ 3: ઘટનાઓ \(A\) અને \(B\) નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોવાથી:
\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
\(P(A\cap B)=0.04\times 0.06=0.0024\)
Show Code
સાચો જવાબ:
અહીં આપેલી માહિતીમાં પ્રિન્ટિંગની સામાન્ય ભૂલ સુધારીને સાચું સમીકરણ \(5P(A) = 3P(B) = 2P(A \cap B) = \frac{3}{2}\) લેતાં, આપણે \(P(A \cup B)\) ની કિંમત શોધીશું. [1]
૧. દરેક પદની કિંમત મેળવવી:
આપેલ સમીકરણ પરથી: [1]
- \(5P(A) = \frac{3}{2} \implies P(A) = \frac{3}{2 \times 5} = \mathbf{\frac{3}{10}}\)
- \(3P(B) = \frac{3}{2} \implies P(B) = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{5}{10}}\)
- \(2P(A \cap B) = \frac{3}{2} \implies P(A \cap B) = \frac{3}{2 \times 2} = \mathbf{\frac{3}{4}}\)
(નોંધ: પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્ન મુજબ જો છેલ્લું પદ \(\frac{3}{2}\) હોય, તો \(P(A \cap B) = \frac{3}{4} = 0.75\) થાય, જે \(P(A)=0.3\) કરતાં મોટું હોવાથી અશક્ય છે. તેથી સાચી રકમમાં બરાબરની જમણી બાજુ \(\frac{2}{3}\) હોવી જોઈએ.) [1]
૨. સાચી રકમ (\(\frac{2}{3}\)) મુજબ ગણતરી:
જો \(5P(A) = 3P(B) = 2P(A \cap B) = \frac{2}{3}\) હોય તો: [1]
- \(P(A)\) ની કિંમત:
\(5P(A)=\frac{2}{3}\implies P(A)=\frac{2}{3\times 5}=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{15}}\)
- \(P(B)\) ની કિંમત:
\(3P(B)=\frac{2}{3}\implies P(B)=\frac{2}{3\times 3}=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{9}}\)
- \(P(A \cap B)\) ની કિંમત:
\(2P(A\cap B)=\frac{2}{3}\implies P(A\cap B)=\frac{2}{3\times 2}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\)
૩. \(P(A \cup B)\) શોધવા માટેનું સૂત્ર:
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
બધી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
\(P(A\cup B)=\frac{2}{15}+\frac{2}{9}-\frac{1}{3}\)
છેદ સરખો કરવા માટે લસાઅ (LCM) \(45\) લેતાં:
- \(\frac{2 \times 3}{15 \times 3} = \frac{6}{45}\)
- \(\frac{2 \times 5}{9 \times 5} = \frac{10}{45}\)
- \(\frac{1 \times 15}{3 \times 15} = \frac{15}{45}\)
\(P(A\cup B)=\frac{6+10-15}{45}\)
\(P(A\cup B)=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{45}}\)
ઉત્તર:
\(P(A \cup B)\) ની કિંમત \(\frac{1}{45}\) થાય.
સાચો જવાબ:
બે નિરપેક્ષ ઘટનાઓ A અને B માટે \(P(A \cup B) = 0.58\) થશે.
આ જવાબ મેળવવા માટેની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. આપેલી વિગતો:
૨. \(P(A)\) ની કિંમત શોધવી:
જો બે ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ હોય, તો તેમની છેદ ઘટનાની સંભાવના ગુણાકારના નિયમ મુજબ નીચે પ્રમાણે થાય:
\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મુકતા:
\(0.12=P(A)\times 0.3\)
\(P(A)=\frac{0.12}{0.3}=0.4\)
૩. \(P(A \cup B)\) ની કિંમત શોધવી:
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
હવે બધી જ કિંમતો આ સૂત્રમાં મુકતા:
\(P(A\cup B)=0.4+0.3-0.12\)
\(P(A\cup B)=0.7-0.12\)
\(P(A\cup B)=0.58\)
આમ, \(P(A \cup B)\) નો સાચો જવાબ \(0.58\) છે.
આ જવાબ મેળવવા માટેની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. આપેલી વિગતો:
- \(P(A \cap B) = 0.12\)
- \(P(B) = 0.3\)
૨. \(P(A)\) ની કિંમત શોધવી:
જો બે ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ હોય, તો તેમની છેદ ઘટનાની સંભાવના ગુણાકારના નિયમ મુજબ નીચે પ્રમાણે થાય:
\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મુકતા:
\(0.12=P(A)\times 0.3\)
\(P(A)=\frac{0.12}{0.3}=0.4\)
૩. \(P(A \cup B)\) ની કિંમત શોધવી:
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
હવે બધી જ કિંમતો આ સૂત્રમાં મુકતા:
\(P(A\cup B)=0.4+0.3-0.12\)
\(P(A\cup B)=0.7-0.12\)
\(P(A\cup B)=0.58\)
આમ, \(P(A \cup B)\) નો સાચો જવાબ \(0.58\) છે.
સાચો જવાબ:
\(A \cup B = \{x \mid \frac{1}{2} \le x < 3\}\) અને \(A \cap B = \{x \mid 1 < x < 2\}\) થશે.
અહીં ગણ \(A\) અને \(B\) અંતરાલ સ્વરૂપે આપેલા છે. તેને સમજવા માટે આપણે બંને ગણને સંખ્યારેખા પર સમજીએ:
- ગણ \(A\) = \(\{x \mid 1 < x < 3\}\) એટલે કે \(1\) અને \(3\) ની વચ્ચેની તમામ સંખ્યાઓ (જેમાં \(1\) અને \(3\) નો સમાવેશ થતો નથી). તેને અંતરાલ સ્વરૂપે \((1, 3)\) લખાય.
- ગણ \(B\) = \(\{x \mid \frac{1}{2} \le x < 2\}\) એટલે કે \(\frac{1}{2}\) થી શરૂ કરીને \(2\) સુધીની તમામ સંખ્યાઓ (જેમાં \(\frac{1}{2}\) નો સમાવેશ થાય છે પણ \(2\) નો થતો નથી). તેને અંતરાલ સ્વરૂપે \([\frac{1}{2}, 2)\) લખાય.
૧. યોગ ગણ (\(A \cup B\)) મેળવો:
યોગ ગણ એટલે ગણ \(A\) અથવા ગણ \(B\) માં હોય તેવા તમામ ઘટકોનો સંગ્રહ.
- સંખ્યારેખા પર સૌથી નાનું મૂલ્ય \(\frac{1}{2}\) (સમાવિષ્ટ) થી શરૂ કરીને સૌથી મોટું મૂલ્ય \(3\) (અન-સમાવિષ્ટ) સુધીનો વિસ્તાર આવરી લેવાય છે.
- \(A \cup B = \{x \mid \frac{1}{2} \le x < 3\}\) અથવા અંતરાલ સ્વરૂપે: \([\frac{1}{2}, 3)\)
૨. છેદ ગણ (\(A \cap B\)) મેળવો:
છેદ ગણ એટલે ગણ \(A\) અને ગણ \(B\) બંનેમાં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકોનો સંગ્રહ.
- જો આપણે બંને ગણ પર નજર કરીએ, તો \(1\) થી \(2\) વચ્ચેનો ભાગ બંનેમાં સામાન્ય છે. અહીં \(1\) એ ગણ \(A\) માં નથી અને \(2\) એ ગણ \(B\) માં નથી, તેથી બંને અંત્યબિંદુઓ બાદ રહેશે.
- \(A \cap B = \{x \mid 1 < x < 2\}\) અથવા અંતરાલ સ્વરૂપે: \((1, 2)\)
સાચો જવાબ:
ઘટના \(B\) બનવાની સંભાવના \(\frac{1}{20}\) છે. [1]
ગણતરીની વિગત:
ગણતરીની વિગત:
- આપેલ છે કે ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને (એટલે કે \(A \cup B\)) તેની સંભાવના:
\(P(A\cup B)=\frac{1}{4}\)
- ઘટના \(A\) બને પરંતુ ઘટના \(B\) ન બને (એટલે કે ફક્ત \(A\) બને, \(A - B\) અથવા \(A \cap B'\)) તેની સંભાવના:
\(P(A\cap B^{\prime })=\frac{1}{5}\)
- વેન આકૃતિ (Venn Diagram) અને સંભાવનાના નિયમ મુજબ, યોગ ઘટનાને આ રીતે લખી શકાય:
\(P(A\cup B)=P(A\cap B^{\prime })+P(B)\)
- કિંમતો મૂકતા:
\(\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+P(B)\)
- તેથી, ઘટના \(B\) ની સંભાવના:
\(P(B)=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\)
\(P(B)=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}\)
સાચો જવાબ:
\(P(A/B) = \frac{1}{2}\) (અથવા \(0.5\)) થશે.
ગણતરી:
૧. આપેલી માહિતી:
૨. સૂત્ર:
શરતી સંભાવના (Conditional Probability) ના નિયમ મુજબ:
\(P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
૩. કિંમત મૂકતા:
\(P(A/B)=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}\)
\(P(A/B)=\frac{3}{10}\times \frac{5}{3}\)
\(P(A/B)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
આમ, \(P(A/B)\) નો સાચો જવાબ \(\frac{1}{2}\) છે.
Show Code
ગણતરી:
૧. આપેલી માહિતી:
- \(P(B) = \frac{3}{5}\)
- \(P(A \cap B) = \frac{3}{10}\)
૨. સૂત્ર:
શરતી સંભાવના (Conditional Probability) ના નિયમ મુજબ:
\(P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
૩. કિંમત મૂકતા:
\(P(A/B)=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}\)
\(P(A/B)=\frac{3}{10}\times \frac{5}{3}\)
\(P(A/B)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
આમ, \(P(A/B)\) નો સાચો જવાબ \(\frac{1}{2}\) છે.
Show Code
સાચો જવાબ:
આ પ્રશ્ન સંભાવના (Probability) અને ક્રમચય-સંચય (Combinations) નો છે. તમારો પ્રશ્ન અધૂરો છે, પણ સામાન્ય રીતે પરીક્ષામાં આ પ્રકારના પ્રશ્નમાં અલગ-અલગ પરિસ્થિતિઓની સંભાવના પૂછવામાં આવે છે.
અહીં કુલ ૧૦ વ્યક્તિઓમાંથી ૬ વ્યક્તિઓ પાસે પાસપોર્ટ છે અને ૪ વ્યક્તિઓ પાસે પાસપોર્ટ નથી. આપણે ૩ વ્યક્તિઓની યાદચ્છિક રીતે (randomly) પસંદગી કરવાની છે.
સૌ પ્રથમ, ૧૦ વ્યક્તિઓમાંથી ૩ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો શોધીએ:
કુલ પ્રકારો (n) = \(^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} =\) ૧૨૦
હવે, પસંદ કરેલી ૩ વ્યક્તિઓ માટે શક્ય અલગ-અલગ પરિસ્થિતિઓની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. ત્રણેય વ્યક્તિઓ પાસે પાસપોર્ટ હોય તેની સંભાવના:
૨. ફક્ત બે જ વ્યક્તિઓ પાસે પાસપોર્ટ હોય તેની સંભાવના:
૩. ફક્ત એક જ વ્યક્તિ પાસે પાસપોર્ટ હોય તેની સંભાવના:
૪. એક પણ વ્યક્તિ પાસે પાસપોર્ટ ન હોય તેની સંભાવના:
૫. ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ પાસે પાસપોર્ટ હોય તેની સંભાવના:
અહીં કુલ ૧૦ વ્યક્તિઓમાંથી ૬ વ્યક્તિઓ પાસે પાસપોર્ટ છે અને ૪ વ્યક્તિઓ પાસે પાસપોર્ટ નથી. આપણે ૩ વ્યક્તિઓની યાદચ્છિક રીતે (randomly) પસંદગી કરવાની છે.
સૌ પ્રથમ, ૧૦ વ્યક્તિઓમાંથી ૩ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો શોધીએ:
કુલ પ્રકારો (n) = \(^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} =\) ૧૨૦
હવે, પસંદ કરેલી ૩ વ્યક્તિઓ માટે શક્ય અલગ-અલગ પરિસ્થિતિઓની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
૧. ત્રણેય વ્યક્તિઓ પાસે પાસપોર્ટ હોય તેની સંભાવના:
- ૬ પાસપોર્ટ વાળામાંથી ૩ ની પસંદગી: \(^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\)
- સંભાવના = \(\frac{20}{120} =\) \(\frac{1}{6}\) (અથવા 0.1667)
૨. ફક્ત બે જ વ્યક્તિઓ પાસે પાસપોર્ટ હોય તેની સંભાવના:
- ૬ પાસપોર્ટ વાળામાંથી ૨ અને ૪ વગર પાસપોર્ટ વાળામાંથી ૧ ની પસંદગી: ⁶C₂ × ⁴C₁ = 15 × 4 = 60
- સંભાવના = \(\frac{60}{120} =\) \(\frac{1}{2}\) (અથવા 0.5)
૩. ફક્ત એક જ વ્યક્તિ પાસે પાસપોર્ટ હોય તેની સંભાવના:
- ૬ પાસપોર્ટ વાળામાંથી ૧ અને ૪ વગર પાસપોર્ટ વાળામાંથી ૨ ની પસંદગી: ⁶C₁ × ⁴C₂ = 6 × 6 = 36
- સંભાવના = \(\frac{36}{120} =\) \(\frac{3}{10}\) (અથવા 0.3)
૪. એક પણ વ્યક્તિ પાસે પાસપોર્ટ ન હોય તેની સંભાવના:
- ૪ વગર પાસપોર્ટ વાળામાંથી જ ત્રણેયની પસંદગી: ⁴C₃ = 4
- સંભાવના = \(\frac{4}{120} =\) \(\frac{1}{30}\) (અથવા 0.0333)
૫. ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ પાસે પાસપોર્ટ હોય તેની સંભાવના:
- કુલ સંભાવનામાંથી 'એક પણ પાસે પાસપોર્ટ ન હોય' તે બાદ કરતાં: \(1 - \frac{1}{30} =\) \(\frac{29}{30}\)
સાચો જવાબ:
આ દાખલો સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ આધારિત છે. સામાન્ય રીતે આ પ્રશ્નમાં બે બાબતો શોધવાની પૂછાતી હોય છે. અહીં બંને ગણતરીઓ સરળ ભાષામાં નીચે મુજબ છે:
ધારો કે,
૧. બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિની આવક માટે કર-મર્યાદા વધે તેની સંભાવના:
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ (\(P(A \cup B)\)):
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(P(A\cup B)=0.66+0.72-0.47\)
\(P(A\cup B)=1.38-0.47=\mathbf{0.91}\)
૨. બંનેમાંથી એક પણ વ્યક્તિની આવક માટે કર-મર્યાદા ન વધે તેની સંભાવના:
બંનેમાંથી એક પણ વ્યક્તિ માટે કર-મર્યાદા ન વધે એટલે કે \(P(A' \cap B')\), જેને \(1 - P(A \cup B)\) તરીકે પણ લખી શકાય:
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-0.91=\mathbf{0.09}\)
૩. માત્ર એક જ વ્યક્તિની આવક માટે કર-મર્યાદા વધે તેની સંભાવના:
તેની ગણતરી આ રીતે થાય: \(P(A \cup B) - P(A \cap B)\)
\(0.91-0.47=\mathbf{0.44}\)
ધારો કે,
- ઘટના A = પુરુષોની આવક માટે કર-મર્યાદા વધે. આથી, P(A) = 0.66
- ઘટના B = સ્ત્રીઓની આવક માટે કર-મર્યાદા વધે. આથી, P(B) = 0.72
- ઘટના \(A \cap B\) = પુરુષો અને સ્ત્રીઓ એમ બંનેની આવક માટે કર-મર્યાદા વધે. આથી, \(P(A \cap B) = 0.47\)
૧. બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિની આવક માટે કર-મર્યાદા વધે તેની સંભાવના:
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ (\(P(A \cup B)\)):
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(P(A\cup B)=0.66+0.72-0.47\)
\(P(A\cup B)=1.38-0.47=\mathbf{0.91}\)
૨. બંનેમાંથી એક પણ વ્યક્તિની આવક માટે કર-મર્યાદા ન વધે તેની સંભાવના:
બંનેમાંથી એક પણ વ્યક્તિ માટે કર-મર્યાદા ન વધે એટલે કે \(P(A' \cap B')\), જેને \(1 - P(A \cup B)\) તરીકે પણ લખી શકાય:
\(P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-0.91=\mathbf{0.09}\)
૩. માત્ર એક જ વ્યક્તિની આવક માટે કર-મર્યાદા વધે તેની સંભાવના:
તેની ગણતરી આ રીતે થાય: \(P(A \cup B) - P(A \cap B)\)
\(0.91-0.47=\mathbf{0.44}\)
સાચો જવાબ:
પેટ્રોલના ભાવ વધે તે શરતે ડિઝલના ભાવ વધે તેની સંભાવના 0.85 (અથવા 85%) છે.
આ દાખલાની ગણતરી શરતી સંભાવના (Conditional Probability) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નીચે મુજબ કરી શકાય:
૧. આપેલી માહિતી:
૨. શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર:
પેટ્રોલના ભાવ વધે તે શરતે ડિઝલના ભાવ વધે તેની સંભાવનાને P(B|A) વડે દર્શાવાય:
\(P(B|{}A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
૩. ગણતરી:
\(P(B|{}A)=\frac{0.68}{0.80}\)
\(P(B|{}A)=0.85\)
ટકાવારીમાં ફેરવતા: 0.85 × 100 = 85%
આ દાખલાની ગણતરી શરતી સંભાવના (Conditional Probability) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નીચે મુજબ કરી શકાય:
૧. આપેલી માહિતી:
- ધારો કે, ઘટના A = પેટ્રોલના ભાવ વધે.
\(\therefore P(A) = 80\% = 0.80\)
- ધારો કે, ઘટના B = ડિઝલના ભાવ વધે.
\(\therefore P(B) = 77\% = 0.77\)
- પેટ્રોલ અને ડિઝલ બંનેના ભાવ વધે (એટલે કે છેદ ઘટના \(A \cap B\)) તેની સંભાવના:
\(\therefore P(A \cap B) = 68\% = 0.68\)
૨. શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર:
પેટ્રોલના ભાવ વધે તે શરતે ડિઝલના ભાવ વધે તેની સંભાવનાને P(B|A) વડે દર્શાવાય:
\(P(B|{}A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
૩. ગણતરી:
\(P(B|{}A)=\frac{0.68}{0.80}\)
\(P(B|{}A)=0.85\)
ટકાવારીમાં ફેરવતા: 0.85 × 100 = 85%
સાચો જવાબ:
(ધારો કે ત્રણેય દિવસોની ઘટનાઓ અનુક્રમે $A, B, C$ છે. $P(A) = 0.8, P(B) = 0.7, P(C) = 0.6$)
જવાબ:
ત્રણેય દિવસોમાં વરસાદ ન પડે તેની સંભાવના શોધીએ (ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી):
$P(A') = 1 - 0.8 = 0.2$
$P(B') = 1 - 0.7 = 0.3$
$P(C') = 1 - 0.6 = 0.4$
ત્રણેય દિવસે વરસાદ ન પડે તેની સંભાવના = $P(A') \cdot P(B') \cdot P(C') = 0.2 \times 0.3 \times 0.4 = 0.024$
ઓછામાં ઓછા એક દિવસે વરસાદ પડે તેની સંભાવના = $1 - ($ત્રણેય દિવસે વરસાદ ન પડે તેની સંભાવના$)$
ગણતરી: $1 - 0.024 = 0.976$
સાચો જવાબ: $0.976$
વિભાગ d
સાચો જવાબ:
સ્ટોર A: કુલ ટી.વી. = $6 + 4 = 10$. LCD ટી.વી. = $4$.
સ્ટોર A પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{1}{2}$
સ્ટોર A માંથી LCD ટી.વી. પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
સ્ટોર B: કુલ ટી.વી. = $5 + 3 = 8$. LCD ટી.વી. = $3$.
સ્ટોર B પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{1}{2}$
સ્ટોર B માંમાંથી LCD ટી.વી. પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{3}{8}$
કુલ સંભાવના ($P(\text{LCD})$):
$$P(\text{LCD}) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{4}{10}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right)$$
$$= \frac{4}{20} + \frac{3}{16} = \frac{1}{5} + \frac{3}{16}$$
$$= \frac{16 + 15}{80} = \frac{31}{80} = 0.3875$$
સાચો જવાબ:
કુલ સંખ્યાઓ $N = 100$.
ધારો કે ઘટના $A$ = પસંદ કરેલી સંખ્યા એક અંકની હોય ($1$ થી $9$). કુલ સંખ્યાઓ = $9$.
તેથી, $P(A) = \frac{9}{100}$
ધારો કે ઘટના $B$ = પસંદ કરેલી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય ($1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$). કુલ સંખ્યાઓ = $10$.
તેથી, $P(B) = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
બંને ઘટનાઓ સામાન્ય હોય તેવી સંખ્યાઓ ($A \cap B$) = એક અંકની અને પૂર્ણવર્ગ હોય તેવી સંખ્યાઓ ($1, 4, 9$). કુલ સંખ્યાઓ = $3$.
તેથી, $P(A \cap B) = \frac{3}{100}$
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ ($P(A \cup B)$):
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
$$= \frac{9}{100} + \frac{10}{100} - \frac{3}{100} = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = 0.16$$
સાચો જવાબ: $\frac{4}{25}$ અથવા $0.16$
સાચો જવાબ:
નિદર્શ અવકાશ U માં કુલ ઘટકો = 23=8.
ધારો કે ઘટના B = પ્રથમ બે પ્રયત્નોમાં કાંટો (T) મળે.
આ ઘટનાના પરિણામો: {(T,T,H),(T,T,T)} → કુલ ૨ પરિણામો.
P(B)=82
ધારો કે ઘટના A∩B = ત્રણેય પ્રયત્નોમાં કાંટો (T) મળે.
આ ઘટનાનું પરિણામ: {(T,T,T)} → કુલ ૧ પરિણામ.
P(A∩B)=81
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર:
P(ત્રણેય પર કાંટો/પ્રથમ બે પર કાંટો)=P(B)P(A∩B)
=8281=21=0.5
સાચો જવાબ: 21 અથવા 0.5
સાચો જવાબ:
ત્રણ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ માટે ગુણાકારના નિયમ મુજબ:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = p \cdot p = p^2$
$P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) = p \cdot p = p^2$
$P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C) = p \cdot p = p^2$
$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = p \cdot p \cdot p = p^3$
ત્રણ ઘટનાઓની યોગઘટનાનું સૂત્ર:
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$
કિંમતો મૂકતા:
$$P(A \cup B \cup C) = p + p + p - p^2 - p^2 - p^2 + p^3$$
$$= 3p - 3p^2 + p^3$$
સાચો જવાબ: $3p - 3p^2 + p^3$
સાચો જવાબ:
(૧) પસંદ થયેલ કર્મચારી પુરુષ હોય તો તે વર્ગ ૩ નો હોય તેની સંભાવના શોધો:
આ શરતી સંભાવના છે (P(વર્ગ 3/પુરુષ)).
કુલ પુરુષોની સંખ્યા = 4000
પુરુષોમાંથી વર્ગ 3 ના કર્મચારીઓની સંખ્યા = 3600
સંભાવના = 40003600=4036=109=0.9
સાચો જવાબ: 109 અથવા 0.9
(૨) પસંદ થયેલ કર્મચારી વર્ગ ૩ નો છે એમ આપેલ હોય, તો તે પુરુષ હોવાની સંભાવના શોધો:
આ શરતી સંભાવના છે (P(પુરુષ/વર્ગ 3)).
વર્ગ 3 ના કુલ કર્મચારીઓની સંખ્યા = 4500
વર્ગ 3 ના કર્મચારીઓમાંથી પુરુષોની સંખ્યા = 3600
સંભાવના = 45003600=4536=54=0.8
સાચો જવાબ: લિખિત સ્વરૂપે 54 અથવા 0.8