ધોરણ 12 | విષય: Statistics2
ગણતરી:
\(x = 1, 2, 3, 4, 5\) માટે \(p(x) = \frac{x+2}{25}\) ની કિંમતો શોધીએ:
પરિણામ:
અહીં યાદચ્છિક ચલ \(X\) નું સંભાવના-વિતરણ \(p(x) = \frac{K}{(x+1)!}\) આપેલું છે, જ્યાં \(x = 1, 2, 3\).
સંભાવના-વિતરણના ગુણધર્મ મુજબ, બધા જ અવલોકનોની સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા \(1\) થાય છે, એટલે કે \(\sum p(x) = 1\).
(i) અચળાંક \(K\) ની કિંમત શોધવી:
\(p(1) + p(2) + p(3) = 1\)
હવે આપેલા વિધેયમાં \(x = 1, 2, 3\) મુકતા:
આ બધી કિંમતોનો સરવાળો \(1\) લેતા:
\(\frac{K}{2}+\frac{K}{6}+\frac{K}{24}=1\)
છેદનો લસાઅ (LCM) \(24\) લેતા:
\(\frac{12K+4K+K}{24}=1\)
\(\frac{17K}{24}=1\)
\(17K=24\)
\(\mathbf{K=}\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{17}}\)
(ii) \(P(1 < X < 4)\) ની કિંમત શોધવી:
<br>\(1 < X < 4\) શરત સંતોષતી \(X\) ની પૂર્ણાંક કિંમતો \(2\) અને \(3\) છે.
\(P(1
કિંમતો મુકતા:
\(P(1 \(P(1
હવે, \(K = \frac{24}{17}\) કિંમત મુકતા:
\(P(1 \(\mathbf{P(1
અંતિમ જવાબ:
| \(x\) | \(p(x)\) | \(x \cdot p(x)\) |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(\frac{1}{21}\) | \(-\frac{2}{21}\) |
| \(-1\) | \(\frac{1}{21}\) | \(-\frac{1}{21}\) |
| \(0\) | \(\frac{1}{21}\) | \(0\) |
| \(1\) | \(\frac{6}{21}\) | \(\frac{6}{21}\) |
| \(2\) | \(\frac{12}{21}\) | \(\frac{24}{21}\) |
| \(x_{i}\) | \(p(x_i)\) | \(x_i \cdot p(x_i)\) | \(x_{i}^{2}\) | \(x_i^2 \cdot p(x_i)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(-2\) | \(\frac{3}{16}\) | \(-\frac{6}{16}\) | \(4\) | \(\frac{12}{16}\) |
| \(-1\) | \(\frac{6}{16}\) | \(-\frac{6}{16}\) | \(1\) | \(\frac{6}{16}\) |
| \(1\) | \(\frac{4}{16}\) | \(\frac{4}{16}\) | \(1\) | \(\frac{4}{16}\) |
| \(2\) | \(\frac{3}{16}\) | \(\frac{6}{16}\) | \(4\) | \(\frac{12}{16}\) |
| કુલ | \(1\) | \(\sum x_i p(x_i) = -\frac{2}{16}\) | — | \(\sum x_i^2 p(x_i) = \frac{34}{16}\) |
| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P(X) | \(\frac{4}{20}\) (0.2) | \(\frac{12}{20}\) (0.6) | \(\frac{4}{20}\) (0.2) |
$X$ ની શક્ય કિંમતો: $1, 2, 3, 4, 5$.
સંભાવનાઓ:
$p(1) = P(H) = \frac{1}{2}$
$p(2) = P(TH) = \frac{1}{4}$
$p(3) = P(TTH) = \frac{1}{8}$
$p(4) = P(TTTH) = \frac{1}{16}$
$p(5) = P(TTTTH \text{ અથવા } TTTTT) = \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$
મધ્યક $E(X)$:
વિચરણ $V(X)$:
ઇનામનું અપેક્ષિત મૂલ્ય શોધવા માટે આપણે સંભાવના વિતરણ (Probability Distribution) અને તેના અપેક્ષિત મૂલ્ય E(X) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
1. આપેલી માહિતી:
ધારો કે, યાદચ્છિક ચલ X એ પસંદ કરેલી ટિકિટ પર મળતું ઇનામ દર્શાવે છે. તેથી X ની કિંમતો 10 અથવા 5 હોઈ શકે.
2. સંભાવનાની ગણતરી:
3. અપેક્ષિત મૂલ્ય E(X) ની ગણતરી:
અપેક્ષિત મૂલ્યનું સૂત્ર: \(E(X) = \sum X \cdot P(X)\)
\(E(X)=[10\times P(X=10)]+[5\times P(X=5)]\)
\(E(X)=\left(10\times \frac{1}{3}\right)+\left(5\times \frac{2}{3}\right)\)
\(E(X)=\frac{10}{3}+\frac{10}{3}\)
\(E(X)=\frac{20}{3}\)
\(E(X)\approx 6.67\)
જવાબ:
ઇનામનું અપેક્ષિત મૂલ્ય \(\frac{20}{3}\) રૂપિયા (અથવા આશરે 6.67 રૂપિયા) થાય.
એક સંમિત દ્વિપદી વિતરણ માટે \(n = 8\) હોય, ત્યારે \(P(X \le 1)\) ની કિંમત \(\frac{9}{256}\) (અથવા \(0.0352\)) થાય છે. [1]
ગણતરીની વિગત:
૧. જ્યારે \(X = 0\):
\(P(X=0)={8 \choose 0}(0.5)^{0}(0.5)^{8}=1\times 1\times \frac{1}{256}=\frac{1}{256}\)
[1]
૨. જ્યારે \(X = 1\):
\(P(X=1)={8 \choose 1}(0.5)^{1}(0.5)^{7}=8\times 0.5\times \frac{1}{128}=\frac{8}{256}\)
[1]
૩. સરવાળો (\(P(X \le 1)\)):
\(P(X\le 1)=\frac{1}{256}+\frac{8}{256}=\frac{9}{256}\approx 0.0352\)
આ ઘટનાની માંગેલી સંભાવના 0.0729 (અથવા દ્વિપદી વિતરણ મુજબ \(\frac{729}{10000}\)) છે.
આ દાખલાને દ્વિપદી વિતરણ (Binomial Distribution) ની મદદથી સરળતાથી ગણી શકાય છે:
ગણતરીના સ્ટેપ્સ:
દ્વિપદી વિતરણનું સૂત્ર:
\(P(X=x)=nC_{x}\cdot p^{x}\cdot q^{n-x}\)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
\(P(X=3)=5C_{3}\cdot (0.9)^{3}\cdot (0.1)^{5-3}\)
\(P(X=3)=10\times 0.729\times 0.01\)
\(P(X=3)=0.0729\)
જો આ જવાબને અપૂર્ણાંકમાં લખવો હોય તો તે \(\frac{729}{10000}\) થાય.
(નોંધ: જો અતિ-ચોક્કસ ગુણોત્તર (Hypergeometric) ની રીતે ગણવામાં આવે તો જવાબ 0.0716 ની નજીક આવે છે, પરંતુ પાઠ્યપુસ્તકના દ્વિપદી વિતરણના નિયમ મુજબ પ્રમાણિત જવાબ 0.0729 ગણાય છે).
સાચો વિકલ્પ: (D)
A: $\frac{1}{5}$
B: $\frac{4}{5}$
C: $\frac{2}{3}$
D: $\frac{2}{5}$
જો યાદચ્છિક ચલ X ગણી શકાય તેટલી અથવા શાંત (ચોક્કસ) કિંમતો ધારણ કરી શકતો હોય, તો તેને અસતત યાદચ્છિક ચલ કહે છે. (દા.ત. કુટુંબમાં બાળકોની સંખ્યા, પાસા પર મળતો અંક).
જ્યાં, $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$ અને $E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$ છે.
સંમિત દ્વિપદી વિતરણ માટે સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ થાય.
મધ્યક = $n \cdot p$
અહીં $n = 10$, $p = \frac{2}{5}$
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
સફળતાની સંભાવના ($p$) અને નિષ્ફળતાની સંભાવના ($q$) નો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
$$p + q = 1 \quad \text{અથવા} \quad q = 1 - p$$
અહીં $q = 0.6$ આપેલ છે.
સફળતાની સંભાવના ($p$):
અચલ \(C\) ની કિંમત \(0.1\) છે.
ગણતરીની રીત:
કોઈપણ સંભાવના-વિતરણ માટે, બધી જ સંભાવનાઓનો કુલ સરવાળો હંમેશા \(1\) થાય છે. એટલે કે:
\(\sum p(x)=1\)
અહીં આપેલા વિતરણ મુજબ:
\(p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=1\)
હવે કોષ્ટકમાંથી કિંમતો મુકતા:
\(0.2+0.3+4C+C=1\)
પદોનો સરવાળો કરતા:
\(0.5+5C=1\)
\(0.5\) ને બરાબરની જમણી બાજુ લઈ જતા:
\(5C=1-0.5\)
\(5C=0.5\)
હવે બંને બાજુ \(5\) વડે ભાગતા:
\(C=\frac{0.5}{5}\)
\(C=0.1\)
આમ, અચલ \(C\) ની સ્વીકાર્ય કિંમત \(0.1\) મળશે.
x=−2 માટે:
x=1 માટે:
x=2 માટે:
(તપાસ: કુલ સંભાવના ∑P(x)=101+104+105=1010=1)
મધ્યક E(X) માટે:
ચોરસની અપેક્ષિત કિંમત E(X2) માટે:
E(X2)=2.8 (અથવા 514)
મધ્યક E(X)=1.2 (અથવા 56)
પ્રમાણિત વિચલન σ=0.8 \sigma=0.8
નિષ્ફળતાની સંભાવના q=23q=\frac23
તેથી,
<br>p=1−q=1−23=13p=1-q=1-\frac23=\frac13
દ્વિપદી વિતરણ માટે:
σ2=npq\sigma^2=npq<br> (0.8)2=n×13×23(0.8)^2=n\times\frac13\times\frac23<br> 0.64=2n90.64=\frac{2n}{9} n=2.88
જ્યારે x=2x=2,
P(X=2)=K(2−1)=KP(X=2)=K(2-1)=K
જ્યારે x=3x=3,
P(X=3)=K(3−1)=2KP(X=3)=K(3-1)=2K
જ્યારે x=4x=4,
P(X=4)=KP(X=4)=K
જ્યારે x=5x=5,
P(X=5)=K(6−5)=KP(X=5)=K(6-5)=K
અેથી સંભાવનાઓ છે:
K,2K,K,KK,\quad 2K,\quad K,\quad K
સંભાવના-વિતરણ માટે,
∑P(X=x)=1\sum P(X=x)=1
અેથી,
P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1 K+2K+K+K=1K+2K+K+K=1 5K=15K=1
અેથી,
K=15\boxed{K=\frac{1}{5}}
XX ની આપેલી કિંમતો છે:
2,3,4,52,3,4,5
આ પૈકી પ્રથમ કિંમત 22 છે.
તેથી,
P(X=2)=K(2−1)P(X=2)=K(2-1) P(X=2)=KP(X=2)=K
K=15K=\frac15 હોવાથી,
P(X=2)=15P(X=2)=\frac15
અેથી,
P(X=2)=15\boxed{P(X=2)=\frac15}
K=15\boxed{K=\frac15}
અને XX પ્રથમ કિંમત 22 ધારણ કરે તેની સંભાવના
P(X=2)=15\boxed{P(X=2)=\frac15}
સંભાવનાઓનો સરવાળો 11 હોય છે.
P(−2)+P(−1)+P(2)=1P(-2)+P(-1)+P(2)=1 C[(−2)2+(−2)]+C[(−1)2+(−1)]+C[(2)2+2]=1C[(-2)^2+(-2)]+C[(-1)^2+(-1)]+C[(2)^2+2]=1 C(4−2)+C(1−1)+C(4+2)=1C(4-2)+C(1-1)+C(4+2)=1 2C+0+6C=12C+0+6C=1 8C=18C=1
અતઃ
C=18\boxed{C=\frac18}
હવે,
P(2)=C(22+2)=6CP(2)=C(2^2+2)=6C
અને
P(−2)=C[(−2)2−2]=2CP(-2)=C[(-2)^2-2]=2C
તેથી,
3P(−2)=3(2C)=6C3P(-2)=3(2C)=6C
અતઃ
P(2)=3P(−2)\boxed{P(2)=3P(-2)}
આથી સાબિત થયું કે P(2)=3P(−2)P(2)=3P(-2).
| \(x\) | \({}^{5}P_{x}\) | \(P(x) = K \cdot {}^5P_x\) | \(x \cdot P(x)\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \(1K\) | \(0 \times 1K = 0\) |
| 1 | 5 | \(5K\) | \(1 \times 5K = 5K\) |
| 2 | 20 | \(20K\) | \(2 * 20K = 40K\) |
| 3 | 60 | \(60K\) | \(3 \times 60K = 180K\) |
| 4 | 120 | \(120K\) | \(4 \times 120K = 480K\) |
| 5 | 120 | \(120K\) | \(5 \times 120K = 600K\) |
| કુલ | \(\sum x \cdot P(x) = 1305K\) |
દ્વિપદી સંભાવના વિતરણના ગુણધર્મો (Properties of Binomial Distribution):
અસતત વિતરણ: દ્વિપદી વિતરણ એ એક અસતત (Discrete) સંભાવના વિતરણ છે.
પરિમાણો (Parameters): આ વિતરણના બે મુખ્ય પરિમાણો $n$ (પ્રયત્નોની સંખ્યા) અને $p$ (સફળતાની સંભાવના) છે. જો આ બે કિંમતો જ્ઞાત હોય, તો આખું વિતરણ સંપૂર્ણપણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
મધ્યક (Mean): દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ થાય છે, જે સફળતાની સરેરાશ સંખ્યા દર્શાવે છે.
વિચરણ (Variance): દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $V(X) = npq$ થાય છે (જ્યાં $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે).
પ્રમાણિત વિચલન (Standard Deviation): તેનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq}$ થાય છે.
મધ્યક અને વિચરણ વચ્ચેનો સંબંધ: આ વિતરણ માટે વિચરણ એ હંમેશા મધ્યક કરતાં નાનું હોય છે, એટલે કે $npq < np$ (કારણ કે $0 < q < 1$).
વિષમતા (Skewness):
જો $p = 0.5$ હોય, તો વિતરણ સંપૂર્ણ સંમિત (Symmetric) બને છે (વિષમતા શૂન્ય હોય છે).
જો $p < 0.5$ હોય, તો વિતરણ ધન વિષમ (Positively Skewed) બને છે.
જો $p > 0.5$ હોય, તો વિતરણ ઋણ વિષમ (Negatively
અહીં દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ થશે.
કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા ($n$) = $3$
સફળતા માટે જોઈતા પ્રયત્નો ($x$) = $2$
સૌપ્રથમ સફળતાની સંભાવના ($p$) અને નિષ્ફળતાની સંભાવના ($q$) શોધીએ:
નિશાન તાકવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના ($q$) = $\frac{2}{5}$
નિશાન તાકવામાં સફળ થાય તેની સંભાવના ($p$) = $1 - q = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર:
હવે કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતાં ($n = 3, x = 2, p = \frac{3}{5}, q = \frac{2}{5}$):
દશાંશ સ્વરૂપમાં: $0.432$
દ્વિપદી વિતરણના મધ્યકનું સૂત્ર:
કિંમતો મૂકતાં:
રમેશ ૩ માંથી ૨ પ્રયત્નોમાં સફળ થાય તેની સંભાવના $\frac{54}{125}$ (અથવા $0.432$) છે.
કુલ સંખ્યાઓ = $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ (કુલ $7$ સંખ્યાઓ)
એકી (Odd) સંખ્યાઓ = $\{1, 3, 5, 7\}$ (કુલ $4$ એકી સંખ્યાઓ)
ઇનામ મેળવવા માટે પસંદ થયેલી સંખ્યા એકી (Odd) હોવી જરૂરી છે.
સફળતાની સંભાવના ($p$): એકી સંખ્યા પસંદ થાય તેની સંભાવના
નિષ્ફળતાની સંભાવના ($q$): બેકી સંખ્યા પસંદ થાય તેની સંભાવના
પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા ($n$) = $5$
સફળતાની સંખ્યા ($x$) = $1$ (ફક્ત એક જ પ્રયત્નમાં ઇનામ મળે)
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર:
કિંમતો મૂકતાં:
દશાંશ સ્વરૂપમાં: $\approx 0.0964$
સૌપ્રથમ દ્વિપદી વિતરણના ગુણધર્મો અનુસાર આપેલ વિગતોની ગણતરી કરીએ:
મધ્યક $E(X) = np = 2$ અને વિચરણ $V(X) = npq = \frac{6}{5}$
વિચરણ અને મધ્યકના ગુણોત્તર પરથી $q$ ની કિંમત મેળવીએ:
હવે, $p = 1 - q = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
મધ્યક $np = 2$ પરથી $n$ ની કિંમત શોધીએ:
આમ, આપણને પરિમાણો મળ્યા: $n = 5$, $p = \frac{2}{5}$, $q = \frac{3}{5}$
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર:
$P(1)$ ની ગણતરી ($x = 1$ માટે):
$P(2)$ ની ગણતરી ($x = 2$ માટે):
$P(1) = \frac{162}{625}$ ($0.2592$)
$P(2) = \frac{216}{625}$ ($0.3456$)
કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા ($n$): પસંદ કરેલા બોક્સની સંખ્યા = $6$
સફળતાની સંભાવના ($p$): સફળતાના બોક્સ મળવાની સંભાવના = $10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0.1$
નિષ્ફળતાની સંભાવના ($q$): $q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9 = \frac{9}{10}$
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર:
કિંમતો મૂકતાં ($n = 6, x = 3, p = 0.1, q = 0.9$):
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
$(0.1)^3 = 0.001$
$(0.9)^3 = 0.729$
અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં:
દ્વિપદી વિતરણના વિચરણનું સૂત્ર:
કિંમતો મૂકતાં:
અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં:
બરાબર 3 સફળતાના બોક્સ મળે તેની સંભાવના $0.01458$ (અથવા $\frac{729}{50000}$) છે.
આ વિતરણનું વિચરણ $0.54$ (અથવા $\frac{27}{50}$) થાય
| વેચાણની માંગ (x) | સંભાવના P(x) | x ⋅ P(x) | x² | x² ⋅ P(x) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.10 | 0.10 | 1 | 0.10 |
| 2 | 0.15 | 0.30 | 4 | 0.60 |
| 3 | 0.20 | 0.60 | 9 | 1.80 |
| 4 | 0.25 | 1.00 | 16 | 4.00 |
| 5 | 0.18 | 0.90 | 25 | 4.50 |
| 6 | 0.12 | 0.72 | 36 | 4.32 |
| કુલ (Σ) | 1.00 | 3.62 | — | 15.32 |
| પાસા પર '6' આવવાની સંખ્યા (X) | સંભાવના P(X) | અપૂર્ણાંક સ્વરૂપ | દશાંશ સ્વરૂપ (આશરે) |
|---|---|---|---|
| 0 | P(X=0) | \(\frac{25}{36}\) | 0.6944 |
| 1 | P(X=1) | \(\frac{10}{36}\) | 0.2778 |
| 2 | P(X=2) | \(\frac{1}{36}\) | 0.0278 |
| કુલ | \(\sum P(X)\) | \(\frac{\mathbf{36}}{\mathbf{36}}\mathbf{=1}\) | 1.0000 |
રકમમાં "3 લાલ અને 4 સફેદ દડા" છે. હવે તે મુજબ ગણતરી નીચે મુજબ થશે:
આપેલ માહિતી:
લાલ દડાની સંખ્યા = 3
સફેદ દડાની સંખ્યા = 4
કુલ દડાની સંખ્યા = $3 + 4 = 7$
પસંદ કરવામાં આવતા દડાની સંખ્યા ($n$) = 4
ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા દડામાંથી સફેદ દડાની સંખ્યા દર્શાવે છે.
સફેદ દડો મળવાની સંભાવના ($p$) = $\frac{4}{7}$
સફેદ દડો ન મળવાની (એટલે કે લાલ દડો મળવાની) સંભાવના ($q$) = $\frac{3}{7}$
દ્વિપદી વિતરણનું સૂત્ર:
| \(X\) | સંભાવના \(P(X)\) | દશાંશ સ્વરૂપ (આશરે) |
|---|---|---|
| 0 | \(\frac{27}{343}\) | 0.0787 |
| 1 | \(\frac{105}{343}\) | 0.3149 |
| 2 | \(\frac{144}{343}\) | 0.4198 |
| 3 | \(\frac{64}{343}\) | 0.1866 |
| કુલ | \(\frac{\mathbf{343}}{\mathbf{343}}\mathbf{=1}\) | 1.0000 |