chapter 3

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (C)

A: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)} ; \quad -\infty < x < \infty$

B: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} ; \quad -\infty < x < \infty$

C: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} ; \quad -\infty < x < \infty$

D: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} ; \quad 0 \leq x < \infty$

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (D)

A: $Z = \frac{x-\sigma}{\mu}$

B: $Z = \frac{\sigma-x}{\mu}$

C: $Z = \frac{\mu-x}{\sigma}$

D: $Z = \frac{x-\mu}{\sigma}$

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: $f(z) = e^{-\frac{1}{2}z^2} ; \quad -\infty < z < \infty$

B: $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2} ; \quad -\infty < z < \infty$

C: $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2} ; \quad 0 < z < \infty$

D: $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2} ; \quad -\infty < z < \infty$

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (A)

A: મધ્યક = 0, વિચરણ = 1

B: મધ્યક = 1, વિચરણ = 0

C: મધ્યક = 0, વિચરણ = 0

D: મધ્યક = 1, વિચરણ = 1

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (C)

A: -1

B: 0

C: 1

D: 0.5

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: 0

B: 0.5

C: 1

D: -0.5

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (D)

A: μ±1.96σ

B: μ±2σ

C: μ±3σ

D: μ±2.575σ

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 34.13 %
B: 95.45 %
C: 68.26 %
D: 50 %

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: $\frac{4}{5}\sigma$
B: $\frac{4}{5}\mu$
C: $\frac{2}{3}\sigma$
D: $\frac{2}{3}\mu$

સાચો જવાબ:

(a) $\frac{2}{3}\sigma$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) $\frac{4}{5}\sigma$ (d) $\frac{4}{5}$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 8
B: 14
C: 19
D: 10

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (D)
A: $\frac{25}{3}$
B: $\frac{32}{3}$
C: 24
D: $\frac{50}{3}$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: 1
B: -1
C: 4
D: $\frac{10}{3}$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: 10
B: 100
C: 50
D: 25

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 18, 22)
B: (16, 24)
C: (14, 26)
D: (12, 28)

સાચો જવાબ: પ્રામાણ્ય ચલના ઘટત્વ વિધેયમાં બે અચળાંકો આવે છે: π અને e. તેમનાં અંદાજિત મૂલ્યો π≈3.1416 અને e≈2.7183 છે.

સાચો જવાબ: સતત યાદચ્છિક ચલ કોઈ એક નિશ્ચિત કિંમત ધારણ કરે તેની સંભાવના હંમેશા શૂન્ય (0) હોય છે.

સાચો જવાબ: પ્રામાણ્ય વક્રનો આકાર સંપૂર્ણ ઘંટાકાર (Bell-shaped) હોય છે.

સાચો જવાબ: પ્રામાણ્ય વિતરણની વિષમતા શૂન્ય (0) હોય છે, કારણ કે તે સંપૂર્ણ સંમિત વિતરણ છે.

સાચો જવાબ: આ વિધાન સાચું છે

સાચો જવાબ:

પ્રમાણિત પ્રામાણ્ય વક્ર એ પ્રમાણિત પ્રામાણ્ય ચલ Z=0 ની બંને બાજુએ સંમિત હોય છે.

સાચો જવાબ: પ્રામાણ્ય વક્રમાં પ્રામાણ્ય ચલ X=μ (મધ્યક) માટેની શિરોલંબ રેખા પ્રામાણ્ય વક્રના ક્ષેત્રફળના બે સમાન ભાગ (0.5 અને 0.5) કરે છે.

સાચો જવાબ: પ્રામાણ્ય વક્રમાં μ−2σ અને μ+2σ વચ્ચે આવેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ 95.45 % થાય છે.

સાચો જવાબ: અહીં મધ્યક ($\mu$) = 13.25 અને પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = 10 આપેલ છે. તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) નું અંદાજિત સૂત્ર: $Q_3 \approx \mu + 0.675\sigma$ $Q_3 = 13.25 + 0.675(10)$ $Q_3 = 13.25 + 6.75$ $Q_3 = 20$ તેથી, તૃતીય ચતુર્થકની અંદાજિત કિંમત 20 થશે.

સાચો જવાબ: અહીં મધ્યક ($\mu$) = 10 અને પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = 6 આપેલ છે. ચતુર્થક વિચલન $\approx \frac{2}{3}\sigma$ ચતુર્થક વિચલન $= \frac{2}{3} \times 6 = 2 \times 2 = 4$ તેથી, ચતુર્થક વિચલનની અંદાજિત કિંમત 4 થશે.

સાચો જવાબ: અહીં સરેરાશ વિચલન = 8 આપેલ છે. સરેરાશ વિચલન $\approx \frac{4}{5}\sigma$ તેથી, $8 = \frac{4}{5}\sigma$ $\sigma = \frac{8 \times 5}{4} = 2 \times 5 = 10$ તેથી, વિતરણનું પ્રમાણિત વિચલન 10 થશે.

સાચો જવાબ: અહીં ચતુર્થક વિચલન = 12 આપેલ છે. ચતુર્થક વિચલન $\approx \frac{2}{3}\sigma$ તેથી, $12 = \frac{2}{3}\sigma$ $\sigma = \frac{12 \times 3}{2} = 6 \times 3 = 18$ તેથી, પ્રમાણિત વિચલનની કિંમત 18 થશે.

સાચો જવાબ: પ્રમાણિત પ્રામાણ્ય વિતરણ માટે મધ્યક 0 અને પ્રમાણિત વિચલન 1 હોય છે. મધ્યનાં 50% અવલોકનો પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) અને તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$) ની વચ્ચે હોય છે. $Q_1 \approx -0.675$ અને $Q_3 \approx 0.675$ તેથી, મધ્યનાં 50% અવલોકનોની અંદાજિત સીમાઓ -0.675 થી 0.675 છે.

સાચો જવાબ: અહીં પ્રથમ ચતુર્થક $Q_1 = 20$ અને તૃતીય ચતુર્થક $Q_3 = 30$ આપેલ છે. પ્રામાણ્ય વિતરણ સંમિત હોવાથી, મધ્યક ($\mu$) બરાબર મધ્યસ્થ ($M$) થાય. મધ્યક $\mu = \frac{Q_1 + Q_3}{2}$ $\mu = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25$ તેથી, મધ્યકની કિંમત 25 થશે.

સાચો જવાબ: ના, $Z$-પ્રાપ્તાંકની આ ગણતરી ખોટી રીતે લખાયેલ છે. કારણ: ગણતરી મુજબ $Z = \frac{11000 - 10000}{1000} = 1$ આવે છે, પરંતુ પ્રમાણિત પ્રાપ્તાંક ($Z$) હંમેશા એકમરહિત (એકમથી મુક્ત) હોય છે. તેથી તેની પાછળ "₹" (રૂપિયા) નો એકમ લગાડી શકાય નહીં. સાચો જવાબ માત્ર $Z = 1$ ગણાય.

સાચો જવાબ: અહીં મધ્યક ($\mu$) = 45, પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = 10 અને ચલની કિંમત ($X$) = 60 આપેલ છે. $Z$-પ્રાપ્તાંક માટેનું સૂત્ર: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ $Z = \frac{60 - 45}{10} = \frac{15}{10} = 1.5$ તેથી, પસંદ કરેલ વ્યક્તિની ઉંમર માટે $Z$-પ્રાપ્તાંક 1.5 થશે.

સાચો જવાબ: અહીં $X = 60$, $Z = 1$ અને વિચરણ ($\sigma^2$) = 100 આપેલ છે. વિચરણ $\sigma^2 = 100$ હોવાથી તેનું વર્ગમૂળ લેતાં પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 10$ મળે. હવે સૂત્ર મુજબ: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ $1 = \frac{60 - \mu}{10}$ $10 \times 1 = 60 - \mu$ $10 = 60 - \mu$ $\mu = 60 - 10 = 50$ તેથી, અર્થશાસ્ત્ર વિષયના સરેરાશ ગુણ ($\mu$) 50 થશે.

સાચો જવાબ: ધારો કે X એ એક સતત યાદચ્છિક ચલ છે. આ સતત ચલ X ની કિંમત કોઈ નિશ્ચિત અંતરાલ (દા.ત., a અને b વચ્ચે) માં હોવાની સંભાવના શોધવા માટે જે વિધેયનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તેને તે સતત ચલ X નું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય (Probability Density Function - PDF) કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે તેને f(x) વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

સાચો જવાબ:

સતત યાદચ્છિક ચલ $X$ ના સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $f(x)$ માટેની મુખ્ય બે શરતો નીચે મુજબ છે:

1. 
   

   ચલ $X$ ની દરેક શક્ય કિંમત માટે વિધેય અનૃણ (non-negative) હોવું જોઈએ. એટલે કે, $f(x) \geq 0$.

   
   


2. 
   

   ચલ $X$ ની તમામ શક્ય કિંમતોના વિસ્તારમાં $f(x)$ ના વક્ર નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ હંમેશા 1 થવું જોઈએ. એટલે કે, $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$.

   
   

સાચો જવાબ: પ્રામાણ્ય ચલ X ની જુદી જુદી કિંમતો (X-અક્ષ પર) અને તેને અનુરૂપ સંભાવના ઘટત્વ વિધેય f(x) ની મળતી કિંમતો (Y-અક્ષ પર) ધ્યાનમાં લઈ, આલેખપત્ર પર બિંદુઓ દર્શાવીને તે બિંદુઓને જોડતા જે વક્ર દોરવામાં આવે છે, તેને પ્રામાણ્ય વક્ર (Normal Curve) કહે છે.

સાચો જવાબ: જો પ્રામાણ્ય ચલ $X$ નો મધ્યક $\mu$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ હોય, તો તેનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} ; \quad -\infty < x < \infty$ (જ્યાં અચળાંકો $\pi \approx 3.1416$ અને $e \approx 2.7183$ છે.

સાચો જવાબ: પ્રમાણિત પ્રામાણ્ય વક્રનો આકાર સંપૂર્ણ ઘંટાકાર (Bell-shaped) હોય છે અને તે પ્રમાણિત પ્રામાણ્ય ચલ $Z = 0$ ની શિરોલંબ રેખાની બંને બાજુએ સંમિત હોય છે.

સાચો જવાબ: પ્રામાણ્ય ચલ $X$ માંથી મેળવેલા મધ્યક શૂન્ય ($\mu = 0$) અને પ્રમાણિત વિચલન 1 ($\sigma = 1$) વાળા ચલને પ્રમાણિત પ્રામાણ્ય ચલ ($Z$) કહે છે. તેને $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ વડે દર્શાવાય છે. તેનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય નીચે મુજબ છે: $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2} ; \quad -\infty < z < \infty$

સાચો જવાબ: આપેલા વિધેયને પ્રામાણ્ય વિતરણના મૂળ સૂત્ર $e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$ સાથે સરખાવતા: ઘાતાંકની સરખામણી: $\frac{1}{2\sigma^2} = \frac{1}{50} \Rightarrow 2\sigma^2 = 50 \Rightarrow \sigma^2 = 25 \Rightarrow \sigma = 5$. અને મધ્યક $\mu = 10$. પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) નું અંદાજિત સૂત્ર: $Q_1 \approx \mu - 0.675\sigma$ $Q_1 = 10 - 0.675(5) = 10 - 3.375 = 6.625$ તેથી, પ્રથમ ચતુર્થકની અંદાજિત કિંમત 6.625 થશે.

સાચો જવાબ: અહીં પ્રથમ ચતુર્થક $Q_1 = 10$ અને તૃતીય ચતુર્થક $Q_3 = 30$ છે. ચતુર્થક વિચલન (Q.D.) $= \frac{Q_3 - Q_1}{2} = \frac{30 - 10}{2} = \frac{20}{2} = 10$. હવે, પ્રામાણ્ય વિતરણ માટે ચતુર્થક વિચલન $\approx \frac{2}{3}\sigma$. તેથી, $10 = \frac{2}{3}\sigma \Rightarrow \sigma = 15$. સરેરાશ વિચલન (M.D.) $\approx \frac{4}{5}\sigma = \frac{4}{5}(15) = 4 \times 3 = 12$. તેથી, સરેરાશ વિચલન 12 થશે.

સાચો જવાબ: સરેરાશ વિચલન (M.D.) = 48 આપેલ છે. સૂત્ર: M.D. $\approx \frac{4}{5}\sigma \Rightarrow 48 = \frac{4}{5}\sigma \Rightarrow \sigma = \frac{48 \times 5}{4} = 12 \times 5 = 60$. હવે, ચતુર્થક વિચલન (Q.D.) $\approx \frac{2}{3}\sigma = \frac{2}{3}(60) = 40$. Q.D. નું બીજું સૂત્ર: Q.D. $= \frac{Q_3 - Q_1}{2}$ અહીં $Q_3 = 120$ આપેલ છે. $40 = \frac{120 - Q_1}{2}$ $80 = 120 - Q_1$ $Q_1 = 120 - 80 = 40$. તેથી, પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) ની અંદાજિત કિંમત 40 થશે.

સાચો જવાબ: આપેલા વિધેયને પ્રામાણ્ય ચલના પ્રમાણિત રૂપ સાથે સરખાવતા: મધ્યક $\mu = 100$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 10$ છે. પ્રામાણ્ય વિતરણના ગુણધર્મ મુજબ, મધ્યનાં 68.26% અવલોકનો $\mu \pm \sigma$ ની સીમામાં આવેલ હોય છે. નીચલી સીમા $= \mu - \sigma = 100 - 10 = 90$ ઉપલી સીમા $= \mu + \sigma = 100 + 10 = 110$ તેથી, મધ્યનાં 68.26% અવલોકનોની સીમાઓ (90, 110) થશે.

સાચો જવાબ: અહીં સંભાવના $P(0 < Z < z_1)$ અથવા $P(z_1 < Z < 0) = 0.4950$ આપેલ છે. પ્રમાણિત પ્રામાણ્ય વક્રના ક્ષેત્રફળના કોષ્ટકમાં જોતાં, 0.4950 ક્ષેત્રફળ (સંભાવના) એ $Z = 2.575$ (અથવા આશરે 2.58) ની કિંમત માટે મળે છે. વક્ર $Z=0$ ની બંને બાજુએ સંમિત હોવાથી, $z_1$ ધન કે ઋણ બંને હોઈ શકે છે. તેથી, $Z$-પ્રાપ્તાંક ($z_1$) ની શક્ય કિંમતો 2.575 અથવા -2.575 ($\pm 2.575$) થશે.અહીં સંભાવના $P(0 < Z < z_1)$ અથવા $P(z_1 < Z < 0) = 0.4950$ આપેલ છે. પ્રમાણિત પ્રામાણ્ય વક્રના ક્ષેત્રફળના કોષ્ટકમાં જોતાં, 0.4950 ક્ષેત્રફળ (સંભાવના) એ $Z = 2.575$ (અથવા આશરે 2.58) ની કિંમત માટે મળે છે. વક્ર $Z=0$ ની બંને બાજુએ સંમિત હોવાથી, $z_1$ ધન કે ઋણ બંને હોઈ શકે છે. તેથી, $Z$-પ્રાપ્તાંક ($z_1$) ની શક્ય કિંમતો 2.575 અથવા -2.575 ($\pm 2.575$) થશે.

સાચો જવાબ:

• 
  

  વ્યાખ્યા: જો કોઈ સતત યાદચ્છિક ચલ $X$ નું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય નીચે મુજબ હોય, તો તે વિતરણને 'પ્રમાણ્ય વિતરણ' (Normal Distribution) કહેવાય છે:

  
  $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$
  
  

  (જ્યાં $-\infty < x < \infty$, $\mu$ = મધ્યક અને $\sigma$ = પ્રમાણિત વિચલન છે.)

  
  


• 
  

  વક્રનાં લક્ષણો:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આ વક્ર સંપૂર્ણપણે ઘંટાકાર (Bell-shaped) હોય છે.

    
    
  
  
  • 
    

    વક્ર મધ્યક $X = \mu$ ની બંને બાજુ સંપૂર્ણ રીતે સંમિત (Symmetrical) હોય છે.

    
    
  
  
  • 
    

    વક્રના બંને છેડાઓ $X$-અક્ષને સમાંતર અનંત સુધી વિસ્તરે છે પરંતુ તે $X$-અક્ષને ક્યારેય સ્પર્શતા નથી (Asymptotic).

    
    
  
  
  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  આ એક સતત યાદચ્છિક ચલનું સંભાવના વિતરણ છે.

  
  


• 
  

  વિતરણ સંપૂર્ણ સંમિત હોવાથી તેની વિષમતા (Skewness) શૂન્ય છે.

  
  


• 
  

  તેમાં મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલકની કિંમત હંમેશા સમાન હોય છે. ($\mu = M = Z$).

  
  


• 
  

  તેના પ્રથમ અને ત્રીજા ચતુર્થકો ($Q_1$ અને $Q_3$) મધ્યસ્થથી સમાન અંતરે હોય છે.

  
  


• 
  

  આ વિતરણમાં ચતુર્થક વિચલન (QD) ની અંદાજિત કિંમત $\frac{2}{3}\sigma$ અને સરેરાશ વિચલન (MD) ની અંદાજિત કિંમત $\frac{4}{5}\sigma$ જેટલી હોય છે.

  
  


• 
  

  વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ 1 (અથવા 100%) ગણવામાં આવે છે.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  જ્યારે પ્રમાણ્ય ચલ $X$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ માં ફેરવવામાં આવે, ત્યારે તેને પ્રમાણિત પ્રમાણ્ય ચલ કહે છે.

  
  


• 
  

  આ વિતરણનો મધ્યક હંમેશા 0 અને પ્રમાણિત વિચલન હંમેશા 1 હોય છે.

  
  


• 
  

  તેનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2}$ છે.

  
  


• 
  

  વક્ર $Z=0$ ની બંને બાજુ સંમિત છે. $Z=0$ ની જમણી બાજુનું ક્ષેત્રફળ 0.5 અને ડાબી બાજુનું ક્ષેત્રફળ પણ 0.5 હોય છે.

  
  

સાચો જવાબ:

અહીં $\mu = 50$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 9$ છે, તેથી પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 3$ થાય.

• 
  

  (1) 50 અને 53 ની વચ્ચે:

  
  
  

  $X=50$ માટે $Z = \frac{50-50}{3} = 0$

  
  
  

  $X=53$ માટે $Z = \frac{53-50}{3} = 1$

  
  
  

  આપણે $P(0 < Z < 1)$ શોધવાનું છે. Z-કોષ્ટકમાં 1.0 નું ક્ષેત્રફળ જોતાં 0.3413 મળે છે.

  
  


• 
  

  (2) 47 અને 53 ની વચ્ચે:

  
  
  

  $X=47$ માટે $Z = \frac{47-50}{3} = -1$

  
  
  

  અહીં $P(-1 < Z < 1)$ શોધવાનું છે. આ ક્ષેત્રફળ $Z=-1$ થી $0$ અને $Z=0$ થી $1$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ છે.

  
  
  

  $0.3413 + 0.3413 =$ 0.6826.

  
  

સાચો જવાબ:

અહીં, $\mu = 100$ અને $\sigma = 15$.

(1) $X > 85$ હોય તેવા અવલોકનોની ટકાવારી:

$X = 85 \Rightarrow Z = \frac{85 - 100}{15} = -1$

$P(Z > -1) = P(-1 < Z < 0) + P(Z > 0)$

$P(Z > -1) = 0.3413 + 0.5000 = 0.8413$

ટકાવારીમાં: $0.8413 \times 100 =$ 84.13%

(2) $X < 130$ હોય તેવા અવલોકનોની ટકાવારી:

$X = 130 \Rightarrow Z = \frac{130 - 100}{15} = 2$

$P(Z < 2) = P(Z < 0) + P(0 < Z < 2)$

$P(Z < 2) = 0.5000 + 0.4772 = 0.9772$

ટકાવારીમાં: $0.9772 \times 100 =$ 97.72%

સાચો જવાબ:

અહીં, કુલ વ્યક્તિઓ $N = 500$, મધ્યક $\mu = 55$ અને $\sigma = 7$.

(1) 41 કિગ્રા અને 62 કિગ્રાની વચ્ચે વજન:

$P(41 < X < 62)$

$Z_1 = \frac{41 - 55}{7} = -2$

$Z_2 = \frac{62 - 55}{7} = 1$

$P(-2 < Z < 1) = P(-2 < Z < 0) + P(0 < Z < 1)$

$P(-2 < Z < 1) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185$

અપેક્ષિત વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $500 \times 0.8185 = 409.25 \approx$ 409 વ્યક્તિઓ

(2) 41 કિગ્રાથી ઓછું વજન:

$P(X < 41) \Rightarrow P(Z < -2)$

$P(Z < -2) = P(Z < 0) - P(-2 < Z < 0)$

$P(Z < -2) = 0.5000 - 0.4772 = 0.0228$

અપેક્ષિત વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $500 \times 0.0228 = 11.4 \approx$ 11 વ્યક્તિઓ

સાચો જવાબ:

(1) $Z = Z_1$ ની ડાબી બાજુનું ક્ષેત્રફળ 0.9928 છે.

$P(Z < Z_1) = 0.9928$

ક્ષેત્રફળ 0.5 થી વધુ હોવાથી $Z_1$ ધન હશે.

$P(Z < 0) + P(0 < Z < Z_1) = 0.9928$

$0.5000 + P(0 < Z < Z_1) = 0.9928$

$P(0 < Z < Z_1) = 0.4928$

Z-કોષ્ટક ઊલટું જોતાં, 0.4928 ક્ષેત્રફળ $Z_1 = 2.45$ માટે મળે છે.

(2) $Z = Z_1$ ની જમણી બાજુનું ક્ષેત્રફળ 0.0250 છે.

$P(Z > Z_1) = 0.0250$

$P(0 < Z < Z_1) = 0.5000 - 0.0250 = 0.4750$

Z-કોષ્ટક ઊલટું જોતાં, 0.4750 ક્ષેત્રફળ $Z_1 = 1.96$ માટે મળે છે.

સાચો જવાબ:

(1) $Z = Z_1$ ની ડાબી બાજુનું ક્ષેત્રફળ 0.15 છે.

$P(Z < Z_1) = 0.1500$

ક્ષેત્રફળ 0.5 થી ઓછું અને ડાબી બાજુ હોવાથી $Z_1$ ઋણ હશે.

$P(Z_1 < Z < 0) = 0.5000 - 0.1500 = 0.3500$

Z-કોષ્ટકમાં 0.3500 ની સૌથી નજીકનું ક્ષેત્રફળ 0.3508 છે, જે $Z = 1.04$ માટે છે. ઋણ દિશા હોવાથી, $Z_1 = -1.04$.

(2) $Z = Z_1$ ની જમણી બાજુનું ક્ષેત્રફળ 0.75 છે.

$P(Z > Z_1) = 0.7500$

જમણી બાજુનું ક્ષેત્રફળ 0.5 થી વધુ હોવાથી $Z_1$ શૂન્યની ડાબી બાજુએ (ઋણ) હશે.

$P(Z_1 < Z < 0) = 0.7500 - 0.5000 = 0.2500$

Z-કોષ્ટકમાં 0.2500 ની નજીકનું ક્ષેત્રફળ 0.2486 ($Z=0.67$) છે. ઋણ દિશા હોવાથી, $Z_1 = -0.67$.

સાચો જવાબ:

(1) $P(-2 \le Z \le z_1) = 0.2857$

આપણે જાણીએ છીએ કે $P(-2 \le Z \le 0) = 0.4772$. આપેલ ક્ષેત્રફળ 0.2857 એ 0.4772 કરતાં ઓછું છે, તેથી $z_1$ એ 0 થી નાનો (ઋણ) હશે.

$P(-2 \le Z \le 0) - P(z_1 \le Z \le 0) = 0.2857$

$0.4772 - P(z_1 \le Z \le 0) = 0.2857$

$P(z_1 \le Z \le 0) = 0.4772 - 0.2857 = 0.1915$

Z-કોષ્ટક મુજબ, 0.1915 ક્ષેત્રફળ 0.5 માટે છે. $z_1$ ઋણ હોવાથી, $z_1 = -0.5$.

(2) $P(z_1 \le Z \le 1.75) = 0.10$

આપણે જાણીએ છીએ કે $P(0 \le Z \le 1.75) = 0.4599$. આપેલ ક્ષેત્રફળ 0.10 એ 0.4599 થી ઓછું છે, તેથી $z_1$ ધન હશે.

$P(0 \le Z \le 1.75) - P(0 \le Z \le z_1) = 0.10$

$0.4599 - P(0 \le Z \le z_1) = 0.10$

$P(0 \le Z \le z_1) = 0.4599 - 0.10 = 0.3599$

Z-કોષ્ટક મુજબ, 0.3599 ક્ષેત્રફળ 1.08 માટે છે. તેથી, $z_1 = 1.08$.

10. એક કારખાનામાં માસિક ઉત્પાદન એ સરેરાશ $\mu$ એકમ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ એકમ હોય તેવા પ્રમાણભૂત વિતરણને અનુસરે છે. ઉત્પાદન 2400 એકમ અને 1800 એકમ હોય તે માટેના $Z$-આંક અનુક્રમે 1 અને -0.5 છે, તો વિતરણના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.

સૂત્ર: $X = \mu + Z\sigma$

પહેલી શરત મુજબ: $2400 = \mu + 1(\sigma) \Rightarrow \mu + \sigma = 2400$ ........(સમીકરણ 1)

બીજી શરત મુજબ: $1800 = \mu - 0.5(\sigma) \Rightarrow \mu - 0.5\sigma = 1800$ ........(સમીકરણ 2)

સમીકરણ 1 માંથી 2 બાદ કરતાં:

$(\mu + \sigma) - (\mu - 0.5\sigma) = 2400 - 1800$

$1.5\sigma = 600$

$\sigma = \frac{600}{1.5} = 400$

$\sigma$ ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:

$\mu + 400 = 2400 \Rightarrow \mu = 2000$

તેથી, મધ્યક $\mu = 2000$ એકમ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 400$ એકમ છે.

સાચો જવાબ:

સૂત્ર: $X = \mu + Z\sigma$

પહેલી શરત મુજબ: $2400 = \mu + 1(\sigma) \Rightarrow \mu + \sigma = 2400$ ........(સમીકરણ 1)

બીજી શરત મુજબ: $1800 = \mu - 0.5(\sigma) \Rightarrow \mu - 0.5\sigma = 1800$ ........(સમીકરણ 2)

સમીકરણ 1 માંથી 2 બાદ કરતાં:

$(\mu + \sigma) - (\mu - 0.5\sigma) = 2400 - 1800$

$1.5\sigma = 600$

$\sigma = \frac{600}{1.5} = 400$

$\sigma$ ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:

$\mu + 400 = 2400 \Rightarrow \mu = 2000$

તેથી, મધ્યક $\mu = 2000$ એકમ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 400$ એકમ છે.

સાચો જવાબ:

આપેલ વિધેયને મૂળ વિધેય $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$ સાથે સરખાવતા:

મધ્યક $\mu = 100$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 6$ મળે છે.

મધ્યનાં 50% અવલોકનોની સીમાઓ એટલે પ્રથમ ચતુર્થક ($Q_1$) અને તૃતીય ચતુર્થક ($Q_3$).

અંદાજિત સૂત્ર મુજબ:

$Q_1 \approx \mu - \frac{2}{3}\sigma = 100 - \frac{2}{3}(6) = 100 - 4 = 96$

$Q_3 \approx \mu + \frac{2}{3}\sigma = 100 + \frac{2}{3}(6) = 100 + 4 = 104$

તેથી, મધ્યનાં 50% અવલોકનોની અનુમાનિત સીમાઓ 96 થી 104 છે.

સાચો જવાબ:

અહીં, પ્રથમ ચતુર્થક $Q_1 = 35$ અને બીજો ચતુર્થક (મધ્યસ્થ/મધ્યક) $Q_2 = \mu = 65$.

આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુર્થક વિચલન (Q.D.) $= Q_2 - Q_1 = 65 - 35 = 30$.

અંદાજિત સૂત્ર મુજબ, Q.D. $\approx \frac{2}{3}\sigma$.

$\frac{2}{3}\sigma = 30 \Rightarrow \sigma = \frac{30 \times 3}{2} = 45$.

મધ્યના 95.45% અવલોકનોની સીમાઓ $\mu \pm 2\sigma$ હોય છે.

નીચલી સીમા = $\mu - 2\sigma = 65 - 2(45) = 65 - 90 = -25$

ઉપલી સીમા = $\mu + 2\sigma = 65 + 2(45) = 65 + 90 = 155$

તેથી, સંભવિત સીમાઓ -25 થી 155 છે.

સાચો જવાબ:

અહીં, $Q_3 = 36$ અને સરેરાશ વિચલન (M.D.) = 24.

સૂત્ર મુજબ: M.D. $\approx \frac{4}{5}\sigma$

$\frac{4}{5}\sigma = 24 \Rightarrow \sigma = \frac{24 \times 5}{4} = 30$

હવે, તૃતીય ચતુર્થકનું સૂત્ર: $Q_3 \approx \mu + \frac{2}{3}\sigma$

$36 = \mu + \frac{2}{3}(30)$

$36 = \mu + 20$

$\mu = 36 - 20 = 16$

તેથી, વિતરણનો મધ્યક $\mu = 16$ છે.

સાચો જવાબ:

અહીં, મધ્યક $\mu = 200$, વિચરણ $\sigma^2 = 100$ તેથી પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 10$.

(1) અંતિમ ચતુર્થકો ($Q_1$ અને $Q_3$) ની અંદાજિત કિંમત:

$Q_1 \approx \mu - \frac{2}{3}\sigma = 200 - \frac{2}{3}(10) = 200 - 6.67 =$ 193.33

$Q_3 \approx \mu + \frac{2}{3}\sigma = 200 + \frac{2}{3}(10) = 200 + 6.67 =$ 206.67

(2) ચતુર્થક વિચલન (Q.D.) ની લગભગ કિંમત:

Q.D. $\approx \frac{2}{3}\sigma = \frac{2}{3}(10) = \frac{20}{3} \approx$ 6.67

(3) સરેરાશ વિચલન (M.D.) ની લગભગ કિંમત:

M.D. $\approx \frac{4}{5}\sigma = \frac{4}{5}(10) =$ 8

સાચો જવાબ:

આપેલ માહિતી: મધ્યક ($\mu$) = 800, પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = 200.

(i) ખરીદી ₹850 અને ₹1200 ની વચ્ચે હોય:

• 
  

  સ્ટેપ 1: બંને $X$ ની કિંમતોને $Z$ માં ફેરવો.

  
  
  

  $X_1 = 850 \Rightarrow Z_1 = \frac{850 - 800}{200} = \frac{50}{200} = 0.25$

  
  
  

  $X_2 = 1200 \Rightarrow Z_2 = \frac{1200 - 800}{200} = \frac{400}{200} = 2.0$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: આનો અર્થ છે કે આપણે $Z=0.25$ થી $Z=2.0$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: Z-કોષ્ટક હંમેશા મધ્ય ($Z=0$) થી ક્ષેત્રફળ આપે છે. તેથી 0 થી 2.0 ના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી 0 થી 0.25 નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવું પડે.

  
  
  

  $P(0.25 < Z < 2.0) = P(0 < Z < 2.0) - P(0 < Z < 0.25)$

  
  
  

  $= 0.4772 - 0.0987 = 0.3785$

  
  


• 
  

  જવાબ: ખરીદી 850 થી 1200 વચ્ચે હોવાની સંભાવના 0.3785 છે.

  
  

(ii) ખરીદી ₹600 અને ₹750 ની વચ્ચે હોય:

• 
  

  સ્ટેપ 1: $Z$ ની કિંમતો શોધો.

  
  
  

  $Z_1 = \frac{600 - 800}{200} = -1.0$ (મધ્યકથી ડાબી બાજુ)

  
  
  

  $Z_2 = \frac{750 - 800}{200} = -0.25$ (મધ્યકથી ડાબી બાજુ)

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: અહીં બંને કિંમતો માઇનસ છે. સંમિતતા (Symmetry) ના નિયમ મુજબ ડાબી બાજુનું ક્ષેત્રફળ જમણી બાજુ જેટલું જ હોય.

  
  
  

  $P(0 < Z < 1.0) - P(0 < Z < 0.25)$

  
  
  

  $= 0.3413 - 0.0987 = 0.2426$

  
  


• 
  

  જવાબ: સંભાવના 0.2426 છે.

  
  

સાચો જવાબ:

500 વ્યક્તિઓનું વજન

આપેલ માહિતી: કુલ વ્યક્તિઓ (N) = 500, મધ્યક ($\mu$) = 55, વિચરણ ($\sigma^2$) = 100 $\Rightarrow$ પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = $\sqrt{100} = 10$.

(i) 70 કિલોથી વધુ (મેદસ્વી):

• 
  

  સ્ટેપ 1: $X = 70$ માટે $Z = \frac{70 - 55}{10} = 1.5$. આપણે $Z > 1.5$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવું છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: જમણી બાજુનું કુલ ક્ષેત્રફળ 0.5000 હોય. તેમાંથી 0 થી 1.5 સુધીનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીએ તો 1.5 થી વધુ ક્ષેત્રફળ મળે.

  
  
  

  $0.5000 - 0.4332 = 0.0668$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: વ્યક્તિઓની સંખ્યા = કુલ વ્યક્તિઓ $\times$ સંભાવના = $500 \times 0.0668 = 33.4 \approx 33$ વ્યક્તિઓ.

  
  

(ii) 50 થી 60 કિલો (સ્વસ્થ):

• 
  

  સ્ટેપ 1: $X=50$ માટે $Z = -0.5$ અને $X=60$ માટે $Z = 0.5$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: એક $Z$ ઋણ છે અને એક ધન છે, એટલે કે મધ્યકની બંને બાજુનું ક્ષેત્રફળ ઉમેરવું પડે.

  
  
  

  $0.1915 (\text{ડાબી બાજુ}) + 0.1915 (\text{જમણી બાજુ}) = 0.3830$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: વ્યક્તિઓ = $500 \times 0.3830 = 191.5 \approx 192$ વ્યક્તિઓ.

  
  

(iii) 35 કિલોથી ઓછું (નબળા):

• 
  

  સ્ટેપ 1: $X = 35$ માટે $Z = \frac{35 - 55}{10} = -2.0$. આપણે $Z < -2.0$ શોધવું છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: ડાબી બાજુના કુલ 0.5000 માંથી 0 થી 2.0 નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરો.

  
  
  

  $0.5000 - 0.4772 = 0.0228$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: વ્યક્તિઓ = $500 \times 0.0228 = 11.4 \approx 11$ વ્યક્તિઓ.

  
  

સાચો જવાબ:

હોસ્ટેલના વિદ્યાર્થીઓનું માસિક ખર્ચ

આપેલ માહિતી: મધ્યક ($\mu$) = 2000, પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = 500. ટકાવારી માટે સંભાવના શોધીને 100 વડે ગુણવા.

(i) ₹750 થી ₹1250 ની વચ્ચે:

• 
  

  સ્ટેપ 1: $Z_1 = \frac{750 - 2000}{500} = -2.5$ અને $Z_2 = \frac{1250 - 2000}{500} = -1.5$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: બંને ઋણ છે, તેથી મોટા ક્ષેત્રફળમાંથી નાનું બાદ કરો.

  
  
  

  $P(0 < Z < 2.5) - P(0 < Z < 1.5) = 0.4938 - 0.4332 = 0.0606$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: ટકાવારી = $0.0606 \times 100 = 6.06\%$.

  
  

(ii) ₹1800 થી વધુ:

• 
  

  સ્ટેપ 1: $Z = \frac{1800 - 2000}{500} = -0.4$. આપણે $Z > -0.4$ શોધવું છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: અહીં -0.4 થી 0 સુધી જવાનું અને પછી 0 થી જમણી બાજુનો આખો ભાગ (0.5000) લેવાનો.

  
  
  

  $0.1554 (Z=0.4 \text{ માટે}) + 0.5000 = 0.6554$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: ટકાવારી = $65.54\%$.

  
  

(iii) ₹2400 થી ઓછું:

• 
  

  સ્ટેપ 1: $Z = \frac{2400 - 2000}{500} = 0.8$. આપણે $Z < 0.8$ શોધવું છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: ડાબી બાજુનો આખો ભાગ (0.5000) વત્તા 0 થી 0.8 સુધીનું ક્ષેત્રફળ.

  
  
  

  $0.5000 + 0.2881 = 0.7881$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: ટકાવારી = $78.81\%$.

  
  

સાચો જવાબ:

કામદારોનું વેતન (ક્ષેત્રફળ પરથી કિંમત શોધવી)

આપેલ માહિતી: $\mu = 10000$, $\sigma = 2000$. આ પ્રકારના દાખલામાં સંભાવના (ક્ષેત્રફળ) આપેલ છે, તે પરથી $Z$ શોધવાનો છે.

(i) સૌથી ઓછું વેતન ધરાવતા 20% કામદારો (ડાબી બાજુનો છેડો):

• 
  

  સ્ટેપ 1: ડાબી બાજુનું 20% (0.20) ક્ષેત્રફળ. મધ્યકથી આ બિંદુ સુધીનું ક્ષેત્રફળ = $0.5000 - 0.2000 = 0.3000$ થાય.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: Z-કોષ્ટકમાં અંદરની બાજુ 0.3000 ની સૌથી નજીકની કિંમત જુઓ. તે $Z = 0.84$ માટે છે. આ કિંમત મધ્યકથી નાની હોવાથી $Z = -0.84$ લેવાય.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: સૂત્ર $X = \mu + Z\sigma$ નો ઉપયોગ કરો.

  
  
  

  $X = 10000 + (-0.84 \times 2000) = 10000 - 1680 = 8320$ રૂપિયા.

  
  

(ii) સૌથી વધુ વેતન ધરાવતા 10% કામદારો (જમણી બાજુનો છેડો):

• 
  

  સ્ટેપ 1: જમણી બાજુનું 10% (0.10). મધ્યકથી ક્ષેત્રફળ = $0.50 - 0.10 = 0.40$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: Z-કોષ્ટકમાં 0.40 ક્ષેત્રફળ માટે $Z$ ની કિંમત 1.28 છે. (જમણી બાજુ છે એટલે ધન રહેશે).

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: $X = 10000 + (1.28 \times 2000) = 10000 + 2560 = 12560$ રૂપિયા.

  
  

સાચો જવાબ:

મધ્યનાં 25% અવલોકનો

આપેલ માહિતી: $\mu = 52$, વિચરણ = 64 $\Rightarrow \sigma = 8$.

• 
  

  સ્ટેપ 1: "મધ્યનાં 25%" એટલે કે મધ્યકની બંને બાજુ સરખે ભાગે વહેંચાયેલા. 25% ના અડધા 12.5% ડાબી બાજુ અને 12.5% જમણી બાજુ.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: ક્ષેત્રફળ $0.1250$ માટે Z-કોષ્ટકમાં જોતાં $Z$ ની કિંમત આશરે $0.32$ મળે છે. તેથી $Z_1 = -0.32$ અને $Z_2 = 0.32$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: નીચલી સીમા: $X_1 = 52 - 0.32(8) = 52 - 2.56 = 49.44$

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 4: ઉપલી સીમા: $X_2 = 52 + 0.32(8) = 52 + 2.56 = 54.56$

  
  

સાચો જવાબ:

ઇલેક્ટ્રોનિક્સ ઉપકરણોનું વેચાણ

આપેલ માહિતી: $\mu = 52$, વિચરણ = 9 $\Rightarrow \sigma = 3$, અઠવાડિયાં $N = 50$.

(i) $x_1$ થી 61 એકમ વચ્ચેની સંભાવના 0.1574 છે:

• 
  

  સ્ટેપ 1: 61 માટે $Z$ શોધો. $Z_2 = \frac{61 - 52}{3} = 3.0$. $0$ થી $3.0$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ 0.4987 છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: $x_1$ અને 61 વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ 0.1574 આપેલ છે. તો મધ્યકથી $x_1$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ = $0.4987 - 0.1574 = 0.3413$ થાય.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: 0.3413 ક્ષેત્રફળ $Z = 1.0$ નું છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 4: $x_1 = 52 + 1.0(3) = 55$.

  
  

(ii) 55 એકમથી વધુ વેચાણ:

• 
  

  સ્ટેપ 1: $X = 55$ માટે $Z = 1.0$ (ઉપર ગણ્યું તેમ).

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: 55 થી વધુ એટલે કે $Z > 1.0$. સંભાવના = $0.5000 - 0.3413 = 0.1587$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: અઠવાડિયાની સંખ્યા = $50 \times 0.1587 = 7.935 \approx 8$ અઠવાડિયાં.

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલ માહિતી: $\mu = 61$. 20% લોકો 30 મિનિટથી ઓછો સમય ગાળે છે (સંભાવના 0.20). $\sigma$ શોધવાનું છે.

• 
  

  સ્ટેપ 1: 30 મિનિટથી ઓછો (ડાબી બાજુનો છેડો). મધ્યકથી આ બિંદુ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ = $0.50 - 0.20 = 0.30$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: 0.30 ક્ષેત્રફળ માટે $Z = -0.84$ (ડાબી બાજુ હોવાથી માઇનસ).

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: સૂત્રમાં મૂકો: $-0.84 = \frac{30 - 61}{\sigma} \Rightarrow -0.84 = \frac{-31}{\sigma} \Rightarrow \sigma = \frac{31}{0.84} = 36.9$.

  
  
  

  તેથી વિચરણ = $(36.9)^2 \approx 1361.6$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 4: 90 મિનિટથી વધુ સમય ($X > 90$):

  
  
  

  $Z = \frac{90 - 61}{36.9} = \frac{29}{36.9} = 0.79$.

  
  
  

  સંભાવના = $0.5000 - P(0 < Z < 0.79) = 0.5000 - 0.2852 = 0.2148$.

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલ માહિતી: $\sigma = 4$. $P(X > 19.05) = 0.70$.

• 
  

  સ્ટેપ 1: 19.05 થી વધુની સંભાવના 0.50 કરતા વધારે (0.70) છે, એનો અર્થ એ કે 19.05 એ મધ્યકની ડાબી બાજુએ હોવું જોઈએ.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: મધ્યકથી 19.05 સુધીનું ક્ષેત્રફળ = $0.70 - 0.50 = 0.20$ થાય.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: 0.20 ક્ષેત્રફળ માટે Z-આંક આશરે 0.52 થાય. (ડાબી બાજુ છે એટલે -0.52).

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 4: $-0.52 = \frac{19.05 - \mu}{4} \Rightarrow -2.08 = 19.05 - \mu \Rightarrow \mu = 19.05 + 2.08 = 21.13$.

  
  

અસ્વીકાર્ય પાઇપની ટકાવારી:

• 
  

  સ્ટેપ 5: પહેલા સ્વીકાર્ય (20 થી 22) શોધો. $Z_1 = \frac{20 - 21.13}{4} = -0.28$, $Z_2 = \frac{22 - 21.13}{4} = 0.22$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 6: $P(-0.28 < Z < 0.22) = P(0 \text{ થી } 0.28) + P(0 \text{ થી } 0.22) = 0.1103 + 0.0871 = 0.1974$ (આ સ્વીકાર્ય છે).

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 7: અસ્વીકાર્ય = કુલ સંભાવના (1) - સ્વીકાર્ય (0.1974) = 0.8026 = 80.26%.

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલ માહિતી: $\mu = 400$, વિચરણ 900 $\Rightarrow \sigma = 30$.

(i) ચોથો દશાંશ ($D_4$):

• 
  

  સ્ટેપ 1: દશાંશક એટલે 10મો ભાગ. ચોથો દશાંશ એટલે શરૂઆતથી 40% (0.40) અવલોકનો.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: મધ્યકથી ડાબી બાજુનું ક્ષેત્રફળ = $0.50 - 0.40 = 0.10$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: 0.10 ક્ષેત્રફળ માટે $Z = -0.25$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 4: $X = 400 + (-0.25 \times 30) = 400 - 7.5 = 392.5$.

  
  
  

  અર્થઘટન: 40% અવલોકનોની કિંમત 392.5 કે તેથી ઓછી છે.

  
  

(ii) 90મો શતાંશક ($P_{90}$):

• 
  

  સ્ટેપ 1: શરૂઆતથી 90% (0.90) અવલોકનો. એટલે કે મધ્યક પછીનું ક્ષેત્રફળ 40% (0.40).

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: 0.40 ક્ષેત્રફળ માટે $Z = 1.28$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: $X = 400 + (1.28 \times 30) = 400 + 38.4 = 438.4$.

  
  
  

  અર્થઘટન: 90% અવલોકનોની કિંમત 438.4 કે તેથી ઓછી છે.

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલ માહિતી: આપેલ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સમીકરણ સાથે સરખાવતાં ખબર પડે છે કે છેદમાં રહેલ 50 એ $\sigma$ છે અને કૌંસમાં રહેલ 150 એ મધ્યક $\mu$ છે. (એટલે $\mu = 150, \sigma = 50$).

(i) $P(x_1 \le X \le 250) = 0.4772$:

• 
  

  સ્ટેપ 1: 250 માટે $Z$ શોધો: $Z = \frac{250 - 150}{50} = 2.0$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક ($Z=0$) થી $Z=2$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ 0.4772 જ થાય છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: એટલે કે $x_1$ બીજું કોઈ નહિ પણ વિતરણનો મધ્યક જ છે. તેથી $x_1 = 150$.

  
  

(ii) $P(75 \le X \le x_2) = 0.3539$:

• 
  

  સ્ટેપ 1: 75 માટે $Z$ શોધો: $Z = \frac{75 - 150}{50} = -1.5$.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 2: $Z=-1.5$ થી મધ્યક (0) સુધીનું ક્ષેત્રફળ 0.4332 થાય. પણ આપણને માત્ર 0.3539 જ આપેલું છે. આનો અર્થ એ કે $x_2$ એ મધ્યક સુધી પહોંચતો જ નથી, તે મધ્યકની ડાબી બાજુ જ અટકી જાય છે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 3: $0.4332 - 0.3539 = 0.0793$ જેટલું ક્ષેત્રફળ બાકી રહે છે (મધ્યકની નજીકનું).

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 4: 0.0793 ક્ષેત્રફળ માટે Z-કોષ્ટકમાં $Z = -0.20$ મળે.

  
  


• 
  

  સ્ટેપ 5: $x_2 = 150 + (-0.20 \times 50) = 150 - 10 = 140$.

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલા દાખલાની માહિતી મુજબ:

• 
  

  કુલ બાળકો ($N$) = 500

  
  


• 
  

  સરેરાશ અથવા મધ્યક ($\mu$) = 68

  
  


• 
  

  પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = 22

  
  

1. 68 થી વધુ ગુણ મેળવનાર બાળકોની સંખ્યા:

અહીં માંગેલ ગુણ (68) એ મધ્યક ($\mu$) જેટલા જ છે. પ્રમાણ્ય વિતરણ (Normal Distribution) સંમિત હોવાથી, બરાબર 50% બાળકોના ગુણ મધ્યક કરતા વધુ હશે.

• 
  

  સંભાવના $P(X > 68) = 0.5$

  
  


• 
  

  બાળકોની સંખ્યા = $500 \times 0.5 = 250$

  
  
  

  તેથી, 250 બાળકોએ 68 થી વધુ ગુણ મેળવ્યા હશે.

  
  

2. 70 અને 90 ની વચ્ચે ગુણ મેળવનાર બાળકોની ટકાવારી:

આ ગણતરી માટે આપણે બંને ગુણનો $Z$-સ્કોર ($Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$) શોધવો પડશે:

• 
  

  $X_1 = 70$ માટે: $Z_1 = \frac{70 - 68}{22} = \frac{2}{22} \approx 0.0909$

  
  


• 
  

  $X_2 = 90$ માટે: $Z_2 = \frac{90 - 68}{22} = \frac{22}{22} = 1.0$

  
  

આપણે $P(0.0909 < Z < 1.0)$ શોધવાનું છે. પ્રમાણ્ય વિતરણ કોષ્ટક (Z-table) પરથી:

• 
  

  $P(Z < 1.0) \approx 0.8413$

  
  


• 
  

  $P(Z < 0.0909) \approx 0.5362$

  
  


• 
  

  સંભાવના = $0.8413 - 0.5362 = 0.3051$

  
  


• 
  

  ટકાવારી = $0.3051 \times 100 = 30.51\%$

  
  
  

  તેથી, આશરે 30.51% બાળકોએ 70 અને 90 ની વચ્ચે ગુણ મેળવ્યા હશે.

  
  

3. સૌથી વધુ ગુણ મેળવનાર 50 બાળકોના ઓછામાં ઓછા ગુણ:

સૌથી વધુ ગુણ મેળવનાર 50 બાળકો એટલે કુલ 500 બાળકોના ટોચના 10% બાળકો ($50 / 500 = 0.10$).

આનો અર્થ એ કે બાકીના 90% બાળકો આ 50 બાળકો કરતા ઓછા ગુણ ધરાવે છે. આપણે અહીં વિતરણનો 90મો શતાંશક (90th percentile) શોધવાનો છે.

• 
  

  $0.90$ સંચયી સંભાવના (cumulative probability) માટે Z-કોષ્ટક મુજબ $Z$-સ્કોર આશરે $1.2815$ છે.

  
  


• 
  

  હવે $X$ ની કિંમત શોધીએ:

  
  
  

  $$X = \mu + (Z \times \sigma)$$

  
  
  

  $$X = 68 + (1.2815 \times 22)$$

  
  
  

  $$X = 68 + 28.19 = 96.19$$

  
  

તેથી, સૌથી વધુ ગુણ મેળવનાર 50 બાળકોના ઓછામાં ઓછા ગુણ 96.19 (પૂર્ણાંકમાં આશરે 96)

સાચો જવાબ:

આપેલી માહિતી મુજબ:

• 
  

  કુલ કર્મચારીઓ ($N$) = 500

  
  


• 
  

  મધ્યક ($\mu$) = 40 વર્ષ

  
  


• 
  

  પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = 6 વર્ષ

  
  

આપણે પ્રમાણ્ય વિતરણના Z-સ્કોર કોષ્ટક ($Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$) નો ઉપયોગ કરીને ત્રણેય શરતો માટે ઉંમરની ગણતરી કરીશું.

(i) સૌથી ઓછી ઉંમર ધરાવતા 5% કર્મચારીઓ (છૂટા થતા કર્મચારી):

અહીં આપણે વિતરણનો 5મો શતાંશક (5th percentile) શોધવાનો છે, કારણ કે સૌથી ઓછી ઉંમરના 5% (અથવા 0.05 સંભાવના) કર્મચારીઓને છૂટા કરવાના છે.

• 
  

  $0.05$ સંચયી સંભાવના માટે Z-કોષ્ટક મુજબ $Z$-સ્કોર આશરે $-1.645$ છે.

  
  


• 
  

  ઉંમર ($X_1$) ની ગણતરી:

  
  $$X_1 = \mu + (Z \times \sigma)$$
  
  $$X_1 = 40 + (-1.645 \times 6)$$
  
  $$X_1 = 40 - 9.87 = 30.13$$
  

  તેથી, આશરે 30.13 વર્ષ કે તેથી ઓછી ઉંમર ધરાવતા કર્મચારીઓને છૂટા કરવામાં આવશે.

  
  

(ii) અન્ય કંપનીમાં બદલી થતા કર્મચારીઓ (પછીના 10% ઓછી ઉંમરના):

સૌથી ઓછી ઉંમરના 5% કર્મચારીઓ છૂટા થઈ ગયા પછી, તેનાથી વધુ ઉંમર ધરાવતા પછીના 10% કર્મચારીઓની બદલી કરવાની છે. એટલે કે, આ કર્મચારીઓ 5મા શતાંશકથી 15મા શતાંશક (5% + 10% = 15%) ની વચ્ચે આવે છે.

• 
  

  5મા શતાંશકની ઉંમર આપણે $30.13$ વર્ષ શોધી કાઢી છે. હવે 15મો શતાંશક શોધીએ.

  
  


• 
  

  $0.15$ સંચયી સંભાવના માટે Z-કોષ્ટક મુજબ $Z$-સ્કોર આશરે $-1.036$ છે.

  
  


• 
  

  ઉંમર ($X_2$) ની ગણતરી:

  
  $$X_2 = 40 + (-1.036 \times 6)$$
  
  $$X_2 = 40 - 6.22 = 33.78$$
  

  તેથી, આશરે 30.13 વર્ષથી 33.78 વર્ષની વચ્ચેની ઉંમર ધરાવતા કર્મચારીઓની અન્ય કંપનીમાં બદલી કરવામાં આવશે.

  
  

(iii) સૌથી વધુ ઉંમર ધરાવતા 10% કર્મચારીઓ (નિવૃત્તિ લેતા કર્મચારી):

સૌથી વધુ ઉંમર ધરાવતા 10% કર્મચારીઓ એટલે કે કુલ વિતરણના ટોચના 10%. આ માટે આપણે 90મો શતાંશક (90th percentile) શોધવો પડશે (કારણ કે 90% કર્મચારીઓ તેમના કરતા નાના છે).

• 
  

  $0.90$ સંચયી સંભાવના માટે Z-કોષ્ટક મુજબ $Z$-સ્કોર આશરે $1.282$ છે.

  
  


• 
  

  ઉંમર ($X_3$) ની ગણતરી:

  
  $$X_3 = 40 + (1.282 \times 6)$$
  
  $$X_3 = 40 + 7.69 = 47.69$$
  

  તેથી, આશરે 47.69 વર્ષ કે તેથી વધુ ઉંમર ધરાવતા કર્મચારીઓને નિવૃત્તિ આપવામાં આવશે.

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલા દાખલા માટે સૌપ્રથમ આપણે ટકાવારીને ગુણમાં ફેરવીશું, કારણ કે પરીક્ષાના કુલ ગુણ 200 છે.

માહિતી:

• 
  

  કુલ વિદ્યાર્થીઓ ($N$) = 20,000

  
  


• 
  

  મધ્યક ($\mu$) = 120 ગુણ

  
  


• 
  

  પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = 20 ગુણ

  
  


• 
  

  કુલ ગુણ = 200

  
  

ગુણની ગણતરી (ટકાવારી મુજબ):

• 
  

  40% ગુણ = $200 \times \frac{40}{100} = 80$ ગુણ

  
  


• 
  

  48% ગુણ = $200 \times \frac{48}{100} = 96$ ગુણ

  
  


• 
  

  75% ગુણ = $200 \times \frac{75}{100} = 150$ ગુણ

  
  

હવે આપણે દરેક શરત માટે Z-સ્કોર ($Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$) શોધીને વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા ગણીશું:

• 
  

  $X_1 = 80$ માટે: $Z_1 = \frac{80 - 120}{20} = -2.0$

  
  


• 
  

  $X_2 = 96$ માટે: $Z_2 = \frac{96 - 120}{20} = -1.2$

  
  


• 
  

  $X_3 = 150$ માટે: $Z_3 = \frac{150 - 120}{20} = 1.5$

  
  

Z-કોષ્ટક (Z-table) પરથી સંભાવનાઓ:

• 
  

  $P(Z < -2.0) \approx 0.0227$

  
  


• 
  

  $P(Z < -1.2) \approx 0.1151$

  
  


• 
  

  $P(Z < 1.5) \approx 0.9332$

  
  

(1) નાપાસ થતા વિદ્યાર્થીઓ (40% થી ઓછા ગુણ એટલે કે 80 થી ઓછા ગુણ):

• 
  

  સંભાવના = $P(Z < -2.0) = 0.02275$

  
  


• 
  

  વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $20,000 \times 0.02275 = 455$

  
  


• 
  

  જવાબ: આશરે 455 વિદ્યાર્થીઓ નાપાસ થશે.

  
  

(2) 100 ગુણની પરીક્ષા આપતા વિદ્યાર્થીઓ (40% થી 48% એટલે કે 80 થી 96 ની વચ્ચે ગુણ):

• 
  

  સંભાવના = $P(-2.0 < Z < -1.2)$

  
  


• 
  

  $= P(Z < -1.2) - P(Z < -2.0)$

  
  


• 
  

  $= 0.11507 - 0.02275 = 0.09232$

  
  


• 
  

  વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $20,000 \times 0.09232 = 1846.4$

  
  


• 
  

  જવાબ: આશરે 1846 વિદ્યાર્થીઓ બીજી પરીક્ષા આપશે.

  
  

(3) પર્સનલ ઇન્ટરવ્યૂમાં આવતા વિદ્યાર્થીઓ (48% થી 75% એટલે કે 96 થી 150 ની વચ્ચે ગુણ):

• 
  

  સંભાવના = $P(-1.2 < Z < 1.5)$

  
  


• 
  

  $= P(Z < 1.5) - P(Z < -1.2)$

  
  


• 
  

  $= 0.93319 - 0.11507 = 0.81812$

  
  


• 
  

  વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $20,000 \times 0.81812 = 16362.4$

  
  


• 
  

  જવાબ: આશરે 16,362 વિદ્યાર્થીઓ પર્સનલ ઇન્ટરવ્યૂ માટે આવશે.

  
  

(4) ઉચ્ચતર અભ્યાસમાં પ્રવેશ મેળવતા વિદ્યાર્થીઓ (75% થી વધુ ગુણ એટલે કે 150 થી વધુ ગુણ):

• 
  

  સંભાવના = $P(Z > 1.5) = 1 - P(Z < 1.5)$

  
  


• 
  

  $= 1 - 0.93319 = 0.06681$

  
  


• 
  

  વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $20,000 \times 0.06681 = 1336.2$

  
  


• 
  

  જવાબ: આશરે 1336 વિદ્યાર્થીઓ સીધો પ્રવેશ મેળવશે

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલા દાખલાની માહિતી મુજબ:

• 
  

  મધ્યક ($\mu$) = ₹20,000

  
  


• 
  

  પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = ₹5,000

  
  

1. સમૂહમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા ($N$) શોધવી:

સૌથી વધુ આવક ધરાવતા 50 વ્યક્તિઓની ઓછામાં ઓછી આવક ($X_1$) = ₹31,625 છે.

સૌપ્રથમ આપણે આ આવક માટે Z-સ્કોર શોધીશું:

$$Z_1 = \frac{X_1 - \mu}{\sigma}$$

$$Z_1 = \frac{31625 - 20000}{5000}$$

$$Z_1 = \frac{11625}{5000} = 2.325$$

હવે, $Z > 2.325$ હોય તેની સંભાવના પ્રમાણ્ય વિતરણ કોષ્ટક (Z-table) પરથી શોધતા:

• 
  

  $P(Z > 2.325) \approx 0.01$ (એટલે કે કુલ વિતરણનો 1% ભાગ).

  
  

આ 1% ભાગ એ 50 વ્યક્તિઓ બરાબર છે:

• 
  

  $N \times 1\% = 50$

  
  


• 
  

  $N \times 0.01 = 50$

  
  


• 
  

  $N = \frac{50}{0.01} = 5000$

  
  

તેથી, સમૂહમાં કુલ 5000 વ્યક્તિઓ હશે.

2. સમૂહમાં સૌથી ઓછી આવક ધરાવતા 50 વ્યક્તિઓની વધુમાં વધુ આવક શોધવી:

આપણે જોયું કે 50 વ્યક્તિઓ કુલ સમૂહનો 1% ભાગ છે. સૌથી ઓછી આવક ધરાવતા 50 વ્યક્તિઓ એટલે વિતરણના ડાબી બાજુના છેડાનો 1% ભાગ.

પ્રમાણ્ય વિતરણ મધ્યકથી બંને બાજુ સંપૂર્ણપણે સંમિત (symmetrical) હોય છે. તેથી ડાબી બાજુના 1% માટે Z-સ્કોર જમણી બાજુના Z-સ્કોર જેટલો જ પણ ઋણ હશે:

• 
  

  $Z_2 = -2.325$

  
  

હવે તેમની વધુમાં વધુ આવક ($X_2$) શોધીએ:

$$X_2 = \mu + (Z_2 \times \sigma)$$

$$X_2 = 20000 + (-2.325 \times 5000)$$

$$X_2 = 20000 - 11625 = 8375$$

તેથી, સૌથી ઓછી આવક ધરાવતા 50 વ્યક્તિઓની વધુમાં વધુ આવક ₹8,375 હશે.

સાચો જવાબ:

આપેલા દાખલાની માહિતીનું વિશ્લેષણ કરીએ:

• 
  

  નાપાસ થતા વિદ્યાર્થીઓ = નીચેના 10% (એટલે કે 40% ગુણથી ઓછા)

  
  


• 
  

  વિશિષ્ટ ગુણવત્તા (Distinction) મેળવતા વિદ્યાર્થીઓ = ટોચના 15% (એટલે કે 80% ગુણથી વધુ)

  
  


• 
  

  વિશિષ્ટ ગુણવત્તા વગર પાસ થતા = 75% (40% થી 80% ની વચ્ચે)

  
  

આ પરથી આપણે બે શરતો તારવી શકીએ (સંચયી સંભાવનાના આધારે):

1. 
   

   $X_1 = 40$ ગુણ માટે સંચયી સંભાવના $0.10$ છે.

   
   


2. 
   

   $X_2 = 80$ ગુણ માટે સંચયી સંભાવના $0.10 (\text{નાપાસ}) + 0.75 (\text{સામાન્ય પાસ}) = 0.85$ છે.

   
   

1. મધ્યક ($\mu$) અને પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) શોધવા:

પ્રમાણ્ય વિતરણ (Z-table) કોષ્ટક પરથી આ સંભાવનાઓ માટે Z-સ્કોર શોધીએ:

• 
  

  $0.10$ સંભાવના માટે $Z_1 \approx -1.2816$

  
  


• 
  

  $0.85$ સંભાવના માટે $Z_2 \approx 1.0364$

  
  

હવે Z-સ્કોરના સૂત્ર $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ પરથી બે સમીકરણો બનાવીએ:

સમીકરણ 1: $40 = \mu - 1.2816\sigma$

સમીકરણ 2: $80 = \mu + 1.0364\sigma$

સમીકરણ 2 માંથી સમીકરણ 1 બાદ કરતા:

$80 - 40 = (\mu + 1.0364\sigma) - (\mu - 1.2816\sigma)$

$40 = 2.318\sigma$

$\sigma = \frac{40}{2.318} \approx 17.256$

હવે $\sigma$ ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતા:

$40 = \mu - 1.2816(17.256)$

$40 = \mu - 22.115$

$\mu = 40 + 22.115 \approx 62.115$

તેથી, મધ્યક ($\mu$) આશરે 62.12 અને પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) આશરે 17.26 છે.

2. 75% વિદ્યાર્થીઓના પરિણામ કેટલા ટકાથી ઓછા હશે?

અહીં આપણે વિતરણનો 75મો શતાંશક (75th percentile) શોધવાનો છે, એટલે કે એવી કિંમત જેનાથી નીચે 75% વિદ્યાર્થીઓ હોય.

• 
  

  $0.75$ સંચયી સંભાવના માટે Z-કોષ્ટક પરથી $Z_3 \approx 0.6745$ છે.

  
  


• 
  

  હવે $X$ ની કિંમત શોધીએ:

  
  $$X = \mu + (Z_3 \times \sigma)$$
  
  $$X = 62.115 + (0.6745 \times 17.256)$$
  
  $$X = 62.115 + 11.639 \approx 73.754$$

તેથી, 75% વિદ્યાર્થીઓના પરિણામ આશરે 73.75 ટકાથી ઓછા હશે.

સાચો જવાબ:

આપેલા દાખલાની માહિતીનું વિશ્લેષણ કરીએ:

• 
  

  $X_1 = ₹3590$ થી ઓછું બિલ ધરાવતા ગ્રાહકો = 7.78% (અથવા $0.0778$ સંભાવના)

  
  


• 
  

  $X_2 = ₹5100$ થી ઓછું બિલ ધરાવતા ગ્રાહકો = 94.52% (અથવા $0.9452$ સંભાવના)

  
  

1. પ્રમાણ્ય વિતરણના પરિમાણો (મધ્યક $\mu$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$) શોધવા:

પ્રમાણ્ય વિતરણ (Z-table) કોષ્ટક પરથી આ સંભાવનાઓ માટે Z-સ્કોર શોધીએ:

• 
  

  $0.0778$ સંચયી સંભાવના માટે $Z_1 \approx -1.42$

  
  


• 
  

  $0.9452$ સંચયી સંભાવના માટે $Z_2 \approx 1.60$

  
  

હવે Z-સ્કોરના સૂત્ર $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ પરથી બે સમીકરણો બનાવીએ:

સમીકરણ 1: $3590 = \mu - 1.42\sigma$

સમીકરણ 2: $5100 = \mu + 1.60\sigma$

સમીકરણ 2 માંથી સમીકરણ 1 બાદ કરતા:

$5100 - 3590 = (\mu + 1.60\sigma) - (\mu - 1.42\sigma)$

$1510 = 3.02\sigma$

$\sigma = \frac{1510}{3.02} = 500$

હવે $\sigma$ ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતા:

$3590 = \mu - 1.42(500)$

$3590 = \mu - 710$

$\mu = 3590 + 710 = 4300$

તેથી, પ્રમાણ્ય વિતરણના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:

• 
  

  મધ્યક ($\mu$) = ₹4300

  
  


• 
  

  પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = ₹500

  
  

2. બરાબર મધ્યના 95% ગ્રાહકોના માસિક બિલની રકમનો અંતરાલ:

મધ્યના 95% ગ્રાહકો માટે, વિતરણની બંને બાજુના છેડે 2.5% (0.025) ભાગ બાકી રહેશે.

આનો અર્થ એ કે આપણે 2.5મો શતાંશક (નીચલી હદ) અને 97.5મો શતાંશક (ઉપલી હદ) શોધવાના છે.

• 
  

  $0.025$ સંભાવના માટે $Z_{lower} = -1.96$

  
  


• 
  

  $0.975$ સંભાવના માટે $Z_{upper} = 1.96$

  
  

હવે બિલની રકમ ($X$) ની ગણતરી કરીએ:

• 
  

  નીચલી હદ ($X_1$) = $\mu - 1.96\sigma$

  
  $$X_1 = 4300 - 1.96(500) = 4300 - 980 = 3320$$


• 
  

  ઉપલી હદ ($X_2$) = $\mu + 1.96\sigma$

  
  $$X_2 = 4300 + 1.96(500) = 4300 + 980 = 5280$$

તેથી, બરાબર મધ્યના 95% ગ્રાહકોના માસિક બિલની રકમનો અંતરાલ ₹3320 થી ₹5280 ની વચ્ચે હશે.

સાચો જવાબ:

આપેલું પ્રમાણ્ય વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય (PDF):

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{500\pi}} e^{-\frac{1}{500}(x-75)^2}$$

આ વિધેયને પ્રમાણ્ય વિતરણના મૂળ સૂત્ર $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$ સાથે સરખાવતાં:

• 
  

  મધ્યક ($\mu$) = $75$

  
  


• 
  

  વિચરણ ($\sigma^2$) = $\frac{500}{2} = 250$

  
  


• 
  

  પ્રમાણિત વિચલન ($\sigma$) = $\sqrt{250} \approx 15.81$

  
  

હવે Z-સ્કોરના સૂત્ર $Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ:

(i) $P(60 \leq x \leq x_2) = 0.5670$ હોય, તો $x_2$ ની કિંમત:

• 
  

  $x = 60$ માટે $Z_1 = \frac{60 - 75}{15.81} = \frac{-15}{15.81} \approx -0.95$

  
  


• 
  

  Z-કોષ્ટક મુજબ $Z = 0$ થી $Z = -0.95$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $0.3289$ છે.

  
  


• 
  

  $P(60 \leq x \leq x_2) = P(60 \leq x \leq 75) + P(75 \leq x \leq x_2) = 0.5670$

  
  


• 
  

  $0.3289 + P(75 \leq x \leq x_2) = 0.5670$

  
  


• 
  

  $P(75 \leq x \leq x_2) = 0.5670 - 0.3289 = 0.2381$

  
  


• 
  

  $0.2381$ ક્ષેત્રફળ માટે Z-કોષ્ટકમાંથી જોતાં $Z_2 \approx 0.64$ મળે છે.

  
  


• 
  

  હવે $x_2 = \mu + (Z_2 \times \sigma) = 75 + (0.64 \times 15.81)$

  
  


• 
  

  $x_2 = 75 + 10.12 = \mathbf{85.12}$

  
  

(ii) $P(x_1 \leq x \leq 125) = 0.3979$ હોય, તો $x_1$ ની કિંમત:

• 
  

  $x = 125$ માટે $Z_2 = \frac{125 - 75}{15.81} = \frac{50}{15.81} \approx 3.16$

  
  


• 
  

  Z-કોષ્ટક મુજબ $Z = 0$ થી $Z = 3.16$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ આશરે $0.4992$ છે.

  
  


• 
  

  અહીં સંભાવના (0.3979) એ 0.4992 કરતાં ઓછી હોવાથી $x_1$ મધ્યક (75) ની જમણી બાજુએ જ હશે.

  
  


• 
  

  $P(75 \leq x \leq 125) - P(75 \leq x \leq x_1) = 0.3979$

  
  


• 
  

  $0.4992 - P(75 \leq x \leq x_1) = 0.3979$

  
  


• 
  

  $P(75 \leq x \leq x_1) = 0.4992 - 0.3979 = 0.1013$

  
  


• 
  

  $0.1013$ ક્ષેત્રફળ માટે Z-કોષ્ટકમાંથી જોતાં $Z_1 \approx 0.26$ મળે છે.

  
  


• 
  

  હવે $x_1 = \mu + (Z_1 \times \sigma) = 75 + (0.26 \times 15.81)$

  
  


• 
  

  $x_1 = 75 + 4.11 = \mathbf{79.11}$

  
  

(iii) $P(\vert{}x-50\vert{} \leq 10)$ ની કિંમત:

આ અસમતાને છોડતાં: $-10 \leq x - 50 \leq 10 \implies 40 \leq x \leq 60$

• 
  

  $x = 40$ માટે $Z_1 = \frac{40 - 75}{15.81} = \frac{-35}{15.81} \approx -2.21$ (જેનું ક્ષેત્રફળ $0.4864$ છે)

  
  


• 
  

  $x = 60$ માટે $Z_2 = \frac{60 - 75}{15.81} = \frac{-15}{15.81} \approx -0.95$ (જેનું ક્ષેત્રફળ $0.3289$ છે)

  
  


• 
  

  બંને કિંમતો મધ્યક (75) ની એક જ બાજુએ (ડાબી બાજુ) હોવાથી તેમના ક્ષેત્રફળની બાદબાકી થશે.

  
  


• 
  

  સંભાવના = $P(-2.21 \leq Z \leq -0.95) = 0.4864 - 0.3289$

  
  


• 
  

  સંભાવના = $\mathbf{0.1575}$

  
  

સાચો જવાબ:

આપેલું પ્રમાણ્ય વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય (PDF):

f(x)=102π​1​e−2001​(x−50)2

(નોંધ: પ્રશ્નમાં 10π​ છપાયેલ છે, પરંતુ પ્રમાણ્ય વિતરણના નિયમ મુજબ તે 102π​ અથવા 200π​ હોવું જોઈએ)

આ વિધેયને પ્રમાણ્ય વિતરણના મૂળ સૂત્ર f(x)=σ2π​1​e−21​(σx−μ​)2 સાથે સરખાવતાં:

• 
  

  ઘાતાંકની સરખામણી: 2σ21​=2001​⟹2σ2=200⟹σ2=100

  
  


• 
  

  તેથી, પ્રમાણિત વિચલન (σ) = 10

  
  


• 
  

  અને, મધ્યક (μ) = 50

  
  

આ માહિતી પરથી પ્રશ્નોના જવાબ નીચે મુજબ છે:

1. મધ્યકની કિંમત: સમીકરણની સરખામણી પરથી સ્પષ્ટ છે કે: મધ્યક (μ) = 50

2. અંતિમ ચતુર્થકોની અનુમાનિત કિંમત (Q1​ અને Q3​): પ્રમાણ્ય વિતરણ માટે અંતિમ ચતુર્થકોના આશરે મૂલ્યો નીચે મુજબ શોધાય છે:

• 
  

  પ્રથમ ચતુર્થક (Q1​) ≈μ−0.675σ

  
  Q1​≈50−0.675(10)=50−6.75=43.25


• 
  

  તૃતીય ચતુર્થક (Q3​) ≈μ+0.675σ

  
  Q3​≈50+0.675(10)=50+6.75=56.75
  
  

  તેથી, અંતિમ ચતુર્થકો અનુક્રમે 43.25 અને 56.75 થશે.

  
  

3. ચતુર્થક વિચલનની લગભગ કિંમત: પ્રમાણ્ય વિતરણમાં ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation) ની આશરે કિંમત 32​σ જેટલી હોય છે.

• 
  

  ચતુર્થક વિચલન ≈32​×σ

  
  


• 
  

  ચતુર્થક વિચલન ≈32​×10=320​≈6.67 તેથી, ચતુર્થક વિચલન લગભગ 6.67 છે.

  
  

4. સરેરાશ વિચલનની લગભગ કિંમત: પ્રમાણ્ય વિતરણમાં સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation) ની આશરે કિંમત 54​σ જેટલી હોય છે.

• 
  

  સરેરાશ વિચલન ≈54​×σ

  
  


• 
  

  સરેરાશ વિચલન ≈54​×10=4×2=8 તેથી, સરેરાશ વિચલન લગભગ 8 છે.