chapter 4

સાચો જવાબ:

(1) 4 નું 0.4 સામીપ્ય

• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 4\vert{} < 0.4$

  
  


• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(4 - 0.4, 4 + 0.4) = (3.6, 4.4)$

  
  

(2) 2 નું 0.02 સામીપ્ય

• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 2\vert{} < 0.02$

  
  


• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(2 - 0.02, 2 + 0.02) = (1.98, 2.02)$

  
  

(3) 0 નું 0.05 સામીપ્ય

• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 0\vert{} < 0.05 \implies \vert{}x\vert{} < 0.05$

  
  


• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(0 - 0.05, 0 + 0.05) = (-0.05, 0.05)$

  
  

(4) −1 નું 0.001 સામીપ્ય

• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - (-1)\vert{} < 0.001 \implies \vert{}x + 1\vert{} < 0.001$

  
  


• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(-1 - 0.001, -1 + 0.001) = (-1.001, -0.999)$

  
  

સાચો જવાબ:

(1) $\vert{}x - 2\vert{} < 0.01$

• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(2 - 0.01, 2 + 0.01) = (1.99, 2.01)$

  
  


• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(2, 0.01)$ (અથવા 2 નું 0.01 સામીપ્ય)

  
  

(2) $\vert{}x + 5\vert{} < 0.1$

• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(-5 - 0.1, -5 + 0.1) = (-5.1, -4.9)$

  
  


• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(-5, 0.1)$ (અથવા -5 નું 0.1 સામીપ્ય)

  
  

(3) $\vert{}x\vert{} < \frac{1}{3}$

• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

  
  


• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(0, \frac{1}{3})$ (અથવા 0 નું $\frac{1}{3}$ સામીપ્ય)

  
  

(4) $\vert{}x + 3\vert{} < 0.15$

• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(-3 - 0.15, -3 + 0.15) = (-3.15, -2.85)$

  
  


• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(-3, 0.15)$ (અથવા -3 નું 0.15 સામીપ્ય)

  
  

સાચો જવાબ:

(1) $3.8 < x < 4.8$

• 
  

  કેન્દ્ર $a = \frac{3.8 + 4.8}{2} = 4.3$

  
  


• 
  

  ત્રિજ્યા $\epsilon = \frac{4.8 - 3.8}{2} = 0.5$

  
  


• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 4.3\vert{} < 0.5$

  
  


• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(4.3, 0.5)$

  
  

(2) $1.95 < x < 2.05$

• 
  

  કેન્દ્ર $a = \frac{1.95 + 2.05}{2} = 2$

  
  


• 
  

  ત્રિજ્યા $\epsilon = \frac{2.05 - 1.95}{2} = 0.05$

  
  


• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 2\vert{} < 0.05$

  
  


• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(2, 0.05)$

  
  

(3) $-0.4 < x < 1.4$

• 
  

  કેન્દ્ર $a = \frac{-0.4 + 1.4}{2} = 0.5$

  
  


• 
  

  ત્રિજ્યા $\epsilon = \frac{1.4 - (-0.4)}{2} = 0.9$

  
  


• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 0.5\vert{} < 0.9$

  
  


• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(0.5, 0.9)$

  
  

(4) $1.998 < x < 2.002$

• 
  

  કેન્દ્ર $a = \frac{1.998 + 2.002}{2} = 2$

  
  


• 
  

  ત્રિજ્યા $\epsilon = \frac{2.002 - 1.998}{2} = 0.002$

  
  


• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 2\vert{} < 0.002$

  
  


• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(2, 0.002)$

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  અહીં $a = 16$ અને $\epsilon = 0.5$ છે.

  
  


• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 16\vert{} < 0.5$

  
  


• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(16 - 0.5, 16 + 0.5) = (15.5, 16.5)$

  
  

સાચો જવાબ: .

• 
  

  સામીપ્ય $N(3, b)$ એટલે કે અંતરાલ $(3 - b, 3 + b)$.

  
  


• 
  

  સરખાવતા:

  
  
  
  
  
  1. 
     

     $3 - b = 2.95 \implies b = 3 - 2.95 = 0.05$

     
     
  
  
  2. 
     

     $3 + b = k \implies k = 3 + 0.05 = 3.05$

     
     
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: $b = 0.05$ અનેકી $k = 3.05$

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  માપાંક સ્વરૂપ $\vert{}x - 10\vert{} < k_1$ નું અંતરાલ સ્વરૂપ $(10 - k_1, 10 + k_1)$ થાય.

  
  


• 
  

  આપેલ સરખામણી મુજબ: $(10 - k_1, 10 + k_1) = (k_2, 10.01)$

  
  


• 
  

  બંને બાજુની સીમાઓ સરખાવતા:

  
  
  
  
  
  1. 
     

     $10 + k_1 = 10.01 \implies k_1 = 10.01 - 10 = 0.01$

     
     
  
  
  2. 
     

     $k_2 = 10 - k_1 = 10 - 0.01 = 9.99$

     
     
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: $k_1 = 0.01$ અને $k_2 = 9.99$

  
  

સાચો જવાબ:

(1) $\lim_{x \to 1} (2x + 1)$

• 
  

  સ્પષ્ટીકરણ: અહીં આપણે $x$ ની કિંમતો 1 ની ડાબી બાજુથી (1 થી નાની) અને જમણી બાજુથી (1 થી મોટી) 1 ની ખૂબ નજીક લઈ જઈશું અને વિધેય $f(x) = 2x + 1$ ની કિંમત તપાસીશું.

  
  

x (ડાબી બાજુથી)	0.7	0.8	0.9	0.99	0.999	→1←	1.001	1.01	1.1	1.2	1.3
$f(x) = 2x + 1$	2.4	2.6	2.8	2.98	2.998	$\to \mathbf{3} \leftarrow$	3.002	3.02	3.2	3.4	3.6

• 
  

  નિર્ણય: જેમ જેમ $x \to 1$ થાય છે, તેમ તેમ વિધેયની કિંમત 3 ની તરફ જાય છે.

  
  


• 
  

  જવાબ: $\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3$

  
  

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$

• 
  

  સ્પષ્ટીકરણ: અહીં $x = 3$ મૂકવાથી છેદ શૂન્ય થાય છે ($\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ બને છે), તેથી આપણે કોષ્ટક દ્વારા લક્ષ મેળવીશું. ($x \neq 3$)

  
  

x (ડાબી બાજુથી)	2.7	2.8	2.9	2.99	2.999	→3←	3.001	3.01	3.1	3.2	3.3
$f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$	3.7	3.8	3.9	3.99	3.999	$\to \mathbf{4} \leftarrow$	4.001	4.01	4.1	4.2	4.3

• 
  

  નિર્ણય: જેમ જેમ $x \to 3$ થાય છે, તેમ તેમ વિધેયની કિંમત 4 ની નજીક જાય છે.

  
  


• 
  

  જવાબ: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} = 4$

  
  

(3) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 3x - 14}{x - 2}$

x (ડાબી બાજુથી)	1.7	1.8	1.9	1.99	1.999	→2←	2.001	2.01	2.1	2.2	2.3
$f(x)$	10.4	10.6	10.8	10.98	10.998	$\to \mathbf{11} \leftarrow$	11.002	11.02	11.2	11.4	11.6

• 
  

  નિર્ણય: જેમ જેમ $x \to 2$ થાય છે, તેમ તેમ વિધેયની કિંમત 11 થાય છે.

  
  


• 
  

  જવાબ: $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 3x - 14}{x - 2} = 11$

  
  

(4) $\lim_{x \to -3} \frac{2x^2 + 9x + 9}{x + 3}$

x (ડાબી બાજુથી)	-3.3	-3.2	-3.1	-3.01	-3.001	→−3←	-2.999	-2.99	-2.9	-2.8	-2.7
$f(x)$	-3.6	-3.4	-3.2	-3.02	-3.002	$\to \mathbf{-3} \leftarrow$	-2.998	-2.98	-2.8	-2.6	-2.4

• 
  

  નિર્ણય: જેમ જેમ $x \to -3$ થાય છે, તેમ તેમ વિધેયની કિંમત -3 ની નજીક જાય છે.

  
  


• 
  

  જવાબ: $\lim_{x \to -3} \frac{2x^2 + 9x + 9}{x + 3} = -3$

  
  

(5) $\lim_{x \to 2} x$

x (ડાબી બાજુથી)	1.7	1.8	1.9	1.99	1.999	→2←	2.001	2.01	2.1	2.2	2.3
$f(x) = x$	1.7	1.8	1.9	1.99	1.999	$\to \mathbf{2} \leftarrow$	2.001	2.01	2.1	2.2	2.3

• 
  

  જવાબ: $\lim_{x \to 2} x = 2$

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  સ્પષ્ટીકરણ: ડાબી બાજુથી $x$ ની કિંમત 3 તરફ વધારતા વિધેય અનંત ઋણ સંખ્યા તરફ જાય છે અને જમણી બાજુથી ઘટાડતા અનંત ધન સંખ્યા તરફ જાય છે.

  
  

x (ડાબી બાજુથી)	2.9	2.99	2.999	→3←	3.001	3.01	3.1
$\frac{2}{x - 3}$	-20	-200	-2000	અસ્તિત્વ નથી	2000	200	20

• 
  

  નિર્ણય: ડાબું લક્ષ ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$) અને જમણું લક્ષ ($\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$) સમાન નથી. તેથી આ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

  
  

સાચો જવાબ:

x	1.7	1.8	1.9	1.99	1.999	→2←	2.001	2.01	2.1	2.2	2.3
$y$	4.7	4.8	4.9	4.99	4.999	$\to \mathbf{5} \leftarrow$	5.001	5.01	5.1	5.2	5.3

• 
  

  સાબિત થાય છે કે: કોષ્ટક પરથી સ્પષ્ટ છે કે જેમ જેમ $x \to 2$ થાય છે, તેમ તેમ $y$ ની કિંમત 5 ની નજીક પહોંચે છે (એટલે કે $y \to 5$).

  
  

સાચો જવાબ:

x	-1.3	-1.2	-1.1	-1.01	-1.001	→−1←	-0.999	-0.99	-0.9	-0.8	-0.7
$y = 5 - 2x$	7.6	7.4	7.2	7.02	7.002	$\to \mathbf{7} \leftarrow$	6.998	6.98	6.8	6.6	6.4

• 
  

  સાબિત થાય છે કે: કોષ્ટક પરથી સ્પષ્ટ છે કે જેમ જેમ $x \to -1$ થાય છે, તેમ તેમ $y$ ની કિંમત 7 ની નજીક જાય છે (એટલે કે $y \to 7$).

  
  

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: ∣x−0.3∣<3

B: ∣x−3∣<0.3

C: ∣x+3∣<0.3

D: ∣x−3∣>0.3

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (C)

A: (1.98,2.02)

B: (−1.98,2.02)

C: (−2.02,−1.98)

D: (−2.02,1.98)

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (A)

A: (4.75,5.25)

B: (−4.75,+5.25)

C: (−5.25,−4.75)

D: (−5.25,4.75)

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: (− 56​ ,− 54​ )
B: (− 106​ ,− 104​ )
C: ( 104​ , 106​ )
D: (− 106​ , 104​ )

સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (D)

A: ∣x+5∣<0.02

B: ∣x−0.02∣<5

C: ∣x−5∣>0.02

D: ∣x−5∣<0.02

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: a
B: 0.7
C: 0.07
D: 9.93

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (D)
A: 9
B: 10
C: 43​
D: 8

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: 5
B: 25
C: 74​
D: 7

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: 10
B: −2
C: 8
D: અવ્યાખ્યાયિત

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (D)
A: 192
B: 324
C: 36
D: 108

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: −5
B: 5
C: 4
D: −4

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: 1
B: 9
C: 19
D: 7

સાચો જવાબ:

• 
  

  સામીપ્ય સ્વરૂપ: $N(0, 0.09)$

  
  


• 
  

  અંતરાલ સ્વરૂપ: $(0 - 0.09, 0 + 0.09) = (-0.09, 0.09)$

  
  

સાચો જવાબ:

−5 અને ત્રિજ્યા δ=0.001 માટે સામીપ્ય સ્વરૂપ:

N(−5,0.001)

સાચો જવાબ:

અહીં $a = 10$ અને $\delta = \frac{1}{10} = 0.1$ છે.

માટે, અંતરાલ સ્વરૂપ: $(10 - 0.1, 10 + 0.1) = (9.9, 10.1)$

સાચો જવાબ:

$\vert{}2(x - 0)\vert{} < \frac{1}{2} \implies 2\vert{}x\vert{} < \frac{1}{2} \implies \vert{}x\vert{} < \frac{1}{4}$

માટે, અંતરાલ સ્વરૂપ: $\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$

સાચો જવાબ:

સામીપ્ય સ્વરૂપ પહેલેથી જ આપેલું છે, અથવા તેને માનાંક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:

$$\vert{}x - 50\vert{} < 0.8$$

સાચો જવાબ:

સામીપ્ય સ્વરૂપ $N(a, \delta)$ અને માનાંક સ્વરૂપ $\vert{}x - a\vert{} < \delta$ ની સરખામણી કરતાં:

• 
  

  $a = 7$

  
  


• 
  

  $b = 0.2$

  
  

સાચો જવાબ:

જવાબ:

માનાંક સ્વરૂપ $\vert{}x - (-4)\vert{} < 0.04$ પરથી અંતરાલ સ્વરૂપ મેળવીએ:

$(-4 - 0.04, -4 + 0.04) = (-4.04, -3.96)$

આપેલ અંતરાલ $(k, -3.96)$ સાથે સરખાવતાં:

$$k = -4.04$$

સાચો જવાબ: $$3(5) + 5 = 15 + 5 = 20$$

સાચો જવાબ: $$\sqrt[3]{2 - 2(-3)} = \sqrt[3]{2 + 6} = \sqrt[3]{8} = 2$$

સાચો જવાબ:

જવાબ:

$$\frac{3(0)^2 - 4(0) + 10}{2(0) + 5} = \frac{0 - 0 + 10}{0 + 5} = \frac{10}{5} = 2$$

સાચો જવાબ:

જવાબ:

સૂત્ર $\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n \cdot a^{n-1}$ મુજબ ($32 = 2^5$):

$$5 \cdot (2)^{5-1} = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80$$

સાચો જવાબ:

સૂત્ર મુજબ:

$$m \cdot (-a)^{m-1}$$

સાચો જવાબ: $$4(-1) + k = 6$$

$$-4 + k = 6 \implies k = 6 + 4 = 10$$

સાચો જવાબ: $$\frac{2}{3(3) + k} = \frac{1}{7}$$

$$\frac{2}{9 + k} = \frac{1}{7}$$

ચોકડી ગુણાકાર કરતાં:

$$9 + k = 2 \cdot 7$$

$$9 + k = 14 \implies k = 14 - 9 = 5$$

સાચો જવાબ: વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b (જ્યાં a<b) માટે, બે સંખ્યાઓ વચ્ચેના તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણને અંતરાલ કહે છે. જેમાં ખુલ્લો અંતરાલ (a,b)={x∣a<x<b} અને સંવૃત અંતરાલ [a,b]={x∣a≤x≤b} તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે

સાચો જવાબ:

જો a એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય અને δ એ કોઈ શૂન્યેતર ધન સંખ્યા હોય, તો a ની આસપાસના સામીપ્યને N(a,δ) વડે દર્શાવાય છે, જેનો ગણ {x∣a−δ<x<a+δ} થાય છે.

સાચો જવાબ: કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ અને ધન સંખ્યા $\delta$ માટે, $a$ ના વ્યુતક્રમ સામીપ્યમાં મૂળ બિંદુ સિવાયના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, જેને $N^*(a, \delta)$ વડે દર્શાવાય છે, એટલે કે $N^*(a, \delta) = N(a, \delta) - \{a\}$

સાચો જવાબ: અહીં કેન્દ્ર $a = \frac{-0.5 + 0.5}{2} = 0$ અને ત્રિજ્યા $\delta = 0.5 - 0 = 0.5$ છે. માટે, માનાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - 0\vert{} < 0.5 \implies \vert{}x\vert{} < 0.5$

સાચો જવાબ: અહીં કેન્દ્ર $a = \frac{-8.75 + (-7.25)}{2} = \frac{-16}{2} = -8$ છે. ત્રિજ્યા $\delta = -7.25 - (-8) = -7.25 + 8 = 0.75$ છે. માટે, માનાંક સ્વરૂપ: $\vert{}x - (-8)\vert{} < 0.75 \implies \vert{}x + 8\vert{} < 0.75$

સાચો જવાબ: સામીપ્ય સ્વરૂપ $N(a, \delta)$ ને અંતરાલ સ્વરૂપ $(a - \delta, a + \delta)$ માં ફેરવતા: $(k_1 - 0.5, k_1 + 0.5) = (19.5, k_2)$. સરખાવતા: $k_1 - 0.5 = 19.5 \implies k_1 = 19.5 + 0.5 = 20$. જો $k_1 = 20$ હોય, તો $k_2 = k_1 + 0.5 = 20 + 0.5 = 20.5$

સાચો જવાબ: $-2 < 3x + 1 < 2$. ત્રણેય બાજુ 1 બાદ કરતા: $-2 - 1 < 3x < 2 - 1 \implies -3 < 3x < 1$. ત્રણેય બાજુ 3 વડે ભાગતા: $-1 < x < \frac{1}{3}$. તેથી તેનું અંતરાલ સ્વરૂપ $(-1, \frac{1}{3})$ થાય છે

સાચો જવાબ: માનાંક સ્વરૂપ $\vert{}x - A_1\vert{} < 0.09$ નું અંતરાલ સ્વરૂપ $(A_1 - 0.09, A_1 + 0.09)$ થાય. આપેલ અંતરાલ $(A_2, 4.09)$ સાથે સરખાવતા: $A_1 + 0.09 = 4.09 \implies A_1 = 4.09 - 0.09 = 4$ અને $A_2 = A_1 - 0.09 = 4 - 0.09 = 3.91$. આમ, $A_1 = 4$ અને $A_2 = 3.91$.

સાચો જવાબ: $x \to a$ નો અર્થ એ થાય છે કે ચલ $x$ ની કિંમત કોઈ નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ ની ખૂબ જ નજીક જાય છે, પરંતુ $x$ ક્યારેય $a$ ની બરાબર થતો નથી ($x \neq a$).

સાચો જવાબ: $x \to 0$ નો અર્થ એ થાય છે કે ચલ $x$ શૂન્યની ખૂબ જ અત્યંત નજીક પહોંચી રહ્યો છે (ધન કે ઋણ બંને બાજુથી), પરંતુ તેની કિંમત ક્યારેય બરાબર શૂન્ય થતી નથી.

સાચો જવાબ: જો કોઈ વિધેય $f(x)$ માં ચલ $x$ કોઈ નિશ્ચિત સંખ્યા $a$ ને અનુલક્ષે ત્યારે જો $f(x)$ ની કિંમત પણ કોઈ એક નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યા $L$ ની નજીક જતી હોય, તો તે સંખ્યા $L$ ને વિધેય $f(x)$ નું $x \to a$ માટેનું લક્ષ કહે છે, જે સંકેતમાં $\lim_{x \to a} f(x) = L$ લખાય છે.

સાચો જવાબ: જો બે વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ ના લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતા હોય, તો તેમના ગુણાકારનું લક્ષ એ બંને વિધેયોના અલગ-અલગ લક્ષના ગુણાકાર બરાબર થાય છે: $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \left(\lim_{x \to a} f(x)\right) \cdot \left(\lim_{x \to a} g(x)\right)$

સાચો જવાબ: જો બે વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ ના લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતા હોય અને છેદનું લક્ષ શૂન્ય ન હોય ($\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$), તો તેમના ભાગાકારનું લક્ષ એ બંને વિધેયોના લક્ષના ભાગાકાર બરાબર થાય છે: $\lim_{x \to a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$

સાચો જવાબ: જો $P(x)$ એ કોઈ બહુપદી વિધેય હોય, તો $x \to a$ માટે તેનું પ્રામાણિક લક્ષરૂપ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$, એટલે કે બહુપદીમાં સીધી જ $x = a$ ની કિંમત મૂકવાથી તેનું લક્ષ મળી જાય છે.

સાચો જવાબ:

$$\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 3x - x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x(x - 1) - 1(x - 1)}{x - 1}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{(3x - 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (3x - 1) = 3(1) - 1 = 2$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{2x^2 - 6x + 3x - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{2x(x - 3) + 3(x - 3)}$$

$$= \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(2x + 3)(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{2x + 3} = \frac{1}{2(3) + 3} = \frac{1}{9}$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to -1} \frac{3x^2 - 5x + 3x - 5}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{x(3x - 5) + 1(3x - 5)}{x + 1}$$

$$= \lim_{x \to -1} \frac{(3x - 5)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (3x - 5) = 3(-1) - 5 = -8$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - x - 3}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x + 3) - 1(x + 3)}{(x - 1)(x + 1)}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{1 + 3}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2 + 6x - x - 3}{(2x - 1)(2x + 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x(x + 3) - 1(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)}$$

$$= \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(2x - 1)(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x + 3}{2x + 1}$$

$$= \frac{\frac{1}{2} + 3}{2\left(\frac{1}{2}\right) + 1} = \frac{\frac{7}{2}}{2} = \frac{7}{4}$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to -3} \frac{2x^2 + 6x + 3x + 9}{2x^2 + 6x + x + 3} = \lim_{x \to -3} \frac{2x(x + 3) + 3(x + 3)}{2x(x + 3) + 1(x + 3)}$$

$$= \lim_{x \to -3} \frac{(2x + 3)(x + 3)}{(2x + 1)(x + 3)} = \lim_{x \to -3} \frac{2x + 3}{2x + 1}$$

$$= \frac{2(-3) + 3}{2(-3) + 1} = \frac{-6 + 3}{-6 + 1} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2 + 2x + x + 1}{2x^2 - 2x + x - 1} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x(x + 1) + 1(x + 1)}{2x(x - 1) + 1(x - 1)}$$

$$= \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(2x + 1)(x + 1)}{(2x + 1)(x - 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x + 1}{x - 1}$$

$$= \frac{\frac{1}{2} + 1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = -3$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to -2} \frac{9x^2 + 18x - 13x - 26}{5x^2 + 10x + 7x + 14} = \lim_{x \to -2} \frac{9x(x + 2) - 13(x + 2)}{5x(x + 2) + 7(x + 2)}$$

$$= \lim_{x \to -2} \frac{(9x - 13)(x + 2)}{(5x + 7)(x + 2)} = \lim_{x \to -2} \frac{9x - 13}{5x + 7}$$

$$= \frac{9(-2) - 13}{5(-2) + 7} = \frac{-18 - 13}{-10 + 7} = \frac{-31}{-3} = \frac{31}{3}$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left[\frac{5x + 14 - 2(3x + 7)}{3x + 7}\right] = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left[\frac{5x + 14 - 6x - 14}{3x + 7}\right]$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left[\frac{-x}{3x + 7}\right] = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3x + 7}$$

$$= \frac{-1}{3(0) + 7} = -\frac{1}{7}$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to 2} \left[\frac{2}{x - 2} - \frac{4}{x(x - 2)}\right] = \lim_{x \to 2} \left[\frac{2x - 4}{x(x - 2)}\right]$$

$$= \lim_{x \to 2} \left[\frac{2(x - 2)}{x(x - 2)}\right] = \lim_{x \to 2} \frac{2}{x} = \frac{2}{2} = 1$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to 0} \left[1 + \frac{2}{\frac{3x + 4}{x}}\right] = \lim_{x \to 0} \left[1 + \frac{2x}{3x + 4}\right]$$

$$= 1 + \frac{2(0)}{3(0) + 4} = 1 + 0 = 1$$

સાચો જવાબ:

પ્રમાણિત સૂત્ર $\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n \cdot a^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:

$$\lim_{x \to p} \left(\frac{x^4 - p^4}{x - p}\right) \div \left(\frac{x^3 - (-p^3)}{x - p}\right)$$

સાદુરૂપ આપતા અથવા પ્રમાણિત પદ્ધતિ દ્વારા:

$$= \frac{4p^3}{3p^2} = \frac{4}{3}p$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to 3} \frac{x^6 - 3^6}{x^4 - 3^4}$$

સૂત્ર વાપરતા ($\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x^m - a^m} = \frac{n}{m} a^{n-m}$):

$$= \frac{6 \cdot 3^{6-1}}{4 \cdot 3^{4-1}} = \frac{6 \cdot 3^5}{4 \cdot 3^3} = \frac{6}{4} \cdot 3^2 = \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{27}{2}$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to -2} \frac{x^{10} - (-2)^{10}}{x^5 - (-2)^5}$$

સૂત્ર વાપરતા:

$$= \frac{10 \cdot (-2)^{10-1}}{5 \cdot (-2)^{5-1}} = \frac{10}{5} \cdot \frac{(-2)^9}{(-2)^4} = 2 \cdot (-2)^{9-4} = 2 \cdot (-2)^5 = 2 \cdot (-32) = -64$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to -1} \frac{x^{2017} - (-1)^{2017}}{x^{2018} - (-1)^{2018}}$$

સૂત્ર વાપરતા:

$$= \frac{2017 \cdot (-1)^{2017-1}}{2018 \cdot (-1)^{2018-1}} = \frac{2017 \cdot (-1)^{2016}}{2018 \cdot (-1)^{2017}} = \frac{2017(1)}{2018(-1)} = -\frac{2017}{2018}$$

સાચો જવાબ:

સૂત્ર $\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x^m - a^m} = \frac{n}{m} a^{n-m}$ મુજબ:

$$= \frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}} (1)^{\frac{7}{2} - \frac{3}{2}} = \frac{7}{3} \cdot (1)^2 = \frac{7}{3}$$

સાચો જવાબ: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}} - 1^{\frac{1}{2}}}$$

સૂત્ર મુજબ:

$$= \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} (1)^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$$

સાચો જવાબ:

• 
  
  
  
  • 
    

    આપણે $x$ ની કિંમતો $2$ ની નજીક (ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુથી) લઈશું અને $y = 5x + 7$ મુજબ $y$ ની કિંમત શોધીશું:

    
    
  
  
  
  

x (ડાબી બાજુ)	1.9	1.99	1.999	→2←	2.001	2.01	2.1
$y = 5x + 7$	$16.5$	$16.95$	$16.995$	$\to \mathbf{17} \leftarrow$	$17.005$	$17.05$	$17.5$

• 
  

  કોષ્ટક પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે, જેમ $x \to 2$ થાય છે, તેમ $y$ ની કિંમત $17$ ની નજીક જાય છે, એટલે કે $y \to 17$.

  
  


• 
  

  આથી સાબિત થાય છે કે $\lim_{x \to 2} (5x + 7) = 17$.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  
  
  
  • 
    

    અહીં $x \neq -4$ માટે વિધેયનું સાદુરૂપ આપીએ:

    
    $$y = \frac{3x^2 + 12x + 4x + 16}{x + 4} = \frac{3x(x + 4) + 4(x + 4)}{x + 4} = \frac{(3x + 4)(x + 4)}{x + 4} = 3x + 4$$
  
  
  • 
    

    હવે $x$ ની કિંમતો $-4$ ની નજીક લઈને કોષ્ટક બનાવીએ:

    
    
  
  
  
  

x	−4.1	−4.01	−4.001	→−4←	−3.999	−3.99	−3.9
$y = 3x + 4$	$-8.3$	$-8.03$	$-8.003$	$\to \mathbf{-8} \leftarrow$	$-7.997$	$-7.97$	$-7.7$

• 
  

  કોષ્ટક પરથી સાબિત થાય છે કે, જેમ $x \to -4$ થાય છે, તેમ $y \to -8$.

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  
  
  
  • 
    

    ધારો કે $f(x) = \frac{3}{x + 1}$. $x \to -1$ માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ ($x < -1$) અને જમણી બાજુનું લક્ષ ($x > -1$) તપાસીએ:

    
    
  
  
  
  

x (ડાબી બાજુ)	−1.1	−1.01	−1.001	x (જમણી બાજુ)	−0.9	−0.99	−0.999
$f(x)$	$-30$	$-300$	$-3000$	$f(x)$	$+30$	$+300$	$+3000$

• 
  

  અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ $-\infty$ તરફ જાય છે અને જમણી બાજુનું લક્ષ $+\infty$ તરફ જાય છે. બંને સમાન નથી, તેથી $\lim_{x \to -1} \frac{3}{x + 1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

  
  

સાચો જવાબ:

1. $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}$

• 
  

  જવાબ:

  
  $$= \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x + 2)}{x - 5}$$
  
  $$= \lim_{x \to 5} (x + 2) = 5 + 2 = \mathbf{7}$$

2. $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + 3x - 5}{x - 1}$

• 
  

  જવાબ:

  
  $$= \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + 5x - 2x - 5}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x(2x + 5) - 1(2x + 5)}{x - 1}$$
  
  $$= \lim_{x \to 1} \frac{(2x + 5)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 5) = 2(1) + 5 = \mathbf{7}$$

3. $\lim_{x \to -1} \frac{4x^2 + 5x + 1}{x + 1}$

• 
  

  જવાబ:

  
  $$= \lim_{x \to -1} \frac{4x^2 + 4x + x + 1}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{4x(x + 1) + 1(x + 1)}{x + 1}$$
  
  $$= \lim_{x \to -1} \frac{(4x + 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (4x + 1) = 4(-1) + 1 = -4 + 1 = \mathbf{-3}$$

4. $\lim_{x \to 0} (3x - 1)$

• 
  

  જવાબ:

  
  $$= 3(0) - 1 = 0 - 1 = \mathbf{-1}$$

સાચો જવાબ:

1. $\lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^7 - x^7}{h}$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    સૂત્ર $\lim_{y \to a} \frac{y^n - a^n}{y - a} = n \cdot a^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:

    
    $$= \mathbf{7x^6}$$
  
  
  
  

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[10]{1 + x} - 1}{x}$ (અહીં પ્રશ્નમાં મૂળમાં 10 આપેલ છે)

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    સૂત્ર $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^n - 1}{x} = n$ મુજબ ($n = \frac{1}{10}$):

    
    $$= \mathbf{\frac{1}{10}}$$
  
  
  
  

3. $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^n - 1}{x}$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આ સીધું પ્રમાણિત સૂત્ર છે:

    
    $$= \mathbf{n}$$
  
  
  
  

4. $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{f(x) - f\left(\frac{1}{2}\right)}{2x - 1}$ જ્યાં $f(x) = x^2 + x - 1$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    લિમિટનું વિકલિત સ્વરૂપ વાપરતા ($2$ સામાન્ય કાઢીને):

    
    $$= \frac{1}{2} f'\left(\frac{1}{2}\right)$$
  
  
  • 
    

    અહીં $f(x) = x^2 + x - 1 \implies f'(x) = 2x + 1$

    
    
  
  
  • 
    

    $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2$

    
    
  
  
  • 
    

    તેથી, કિંમત $= \frac{1}{2} (2) = \mathbf{1}$

    
    
  
  
  
  

5. $\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ જ્યાં $f(x) = x^3$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આ વિકલનની વ્યાખ્યા છે: $f'(x)$

    
    
  
  
  • 
    

    જો $f(x) = x^3$ હોય, તો તેનું વિકલન:

    
    $$= \mathbf{3x^2}$$
  
  
  
  

6. $\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ જ્યાં $f(x) = x^7$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આ પણ વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ $f'(x)$ થાય:

    
    $$= \mathbf{7x^6}$$
  
  
  
  

7. $\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$ જ્યાં $f(x) = \sqrt{x + 7}$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આ વ્યાખ્યા મુજબ $f'(2)$ છે.

    
    
  
  
  • 
    

    $f(x) = (x + 7)^{\frac{1}{2}}$

    
    
  
  
  • 
    

    $f'(x) = \frac{1}{2}(x + 7)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 7}}$

    
    
  
  
  • 
    

    હવે $x = 2$ મૂકતાં:

    
    $$f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{2 + 7}} = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2(3)} = \mathbf{\frac{1}{6}}$$
  
  
  
  

8. $\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ જ્યાં $f(x) = 2x^2 + 3$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આ વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ $f'(2)$ છે.

    
    
  
  
  • 
    

    $f(x) = 2x^2 + 3 \implies f'(x) = 4x$

    
    
  
  
  • 
    

    $f'(2) = 4(2) = \mathbf{8}$

    
    
  
  
  
  

9. $\lim_{x \to 0} \frac{f(2 + x) - f(2 - x)}{2x}$ જ્યાં $f(x) = x^2$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    લિમિટના નિયમ મુજબ અથવા હોસ્પિટલના નિયમ (L'Hopital Rule) કે વ્યાખ્યા મુજબ:

    
    
  
  
  • 
    

    $f(x) = x^2 \implies f(2+x) = (2+x)^2 = 4 + 4x + x^2$

    
    
  
  
  • 
    

    $f(2-x) = (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2$

    
    
  
  
  • 
    

    બાદબાકી કરતાં: $f(2+x) - f(2-x) = 8x$

    
    
  
  
  • 
    

    $\lim_{x \to 0} \frac{8x}{2x} = \lim_{x \to 0} (4) = \mathbf{4}$

    
    
  
  
  
  

10. $\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$ જ્યાં $f(x) = x^2 + x$

• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    આ $f'(2)$ દર્શાવે છે.

    
    
  
  
  • 
    

    $f(x) = x^2 + x \implies f'(x) = 2x + 1$

    
    
  
  
  • 
    

    $f'(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = \mathbf{5}$