chapter 5

ધોરણ 12 | విષય: Statistics2

સ્વાધ્યાય 5.1

સાચો જવાબ:

વિકલિતની વ્યાખ્યા (First Principle of Derivative):



$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$



1. $f(x) = 2x + 3$





  • જવાબ:


    $$f(x+h) = 2(x+h) + 3 = 2x + 2h + 3$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(2x + 2h + 3) - (2x + 3)}{h}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2x + 2h + 3 - 2x - 3}{h}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = \lim_{h \to 0} 2 = 2$$

    ઉત્તર: $f'(x) = 2$





2. $f(x) = x^2$





  • જવાબ:


    $$f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x + 0 = 2x$$

    ઉત્તર: $f'(x) = 2x$





3. $f(x) = x^7$





  • જવાબ:



    પ્રમાણિત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{t \to x} \frac{t^n - x^n}{t - x} = n x^{n-1}$



    ધારો કે $x+h = t$. જ્યારે $h \to 0$, ત્યારે $t \to x$.


    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^7 - x^7}{h} = \lim_{t \to x} \frac{t^7 - x^7}{t - x}$$

    $$f'(x) = 7 x^{7-1} = 7x^6$$

    ઉત્તર: $f'(x) = 7x^6$





4. $f(x) = \frac{1}{x + 1}, \quad x \neq -1$





  • જવાબ:


    $$f(x+h) = \frac{1}{x+h+1}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h+1} - \frac{1}{x+1}}{h}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+1) - (x+h+1)}{h(x+h+1)(x+1)}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x + 1 - x - h - 1}{h(x+h+1)(x+1)}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(x+h+1)(x+1)}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x+h+1)(x+1)} = \frac{-1}{(x+0+1)(x+1)} = -\frac{1}{(x+1)^2}$$

    ઉત્તર: $f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$





5. $f(x) = \sqrt[3]{x}$





  • જવાબ:


    $$f(x) = x^{1/3}$$

    ધારો કે $x+h = t$. જ્યારે $h \to 0$, ત્યારે $t \to x$.


    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{1/3} - x^{1/3}}{h} = \lim_{t \to x} \frac{t^{1/3} - x^{1/3}}{t - x}$$

    $$f'(x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

    ઉત્તર: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$





6. $f(x) = \frac{2}{3x - 4}, \quad x \neq \frac{4}{3}$





  • જવાબ:


    $$f(x+h) = \frac{2}{3(x+h) - 4} = \frac{2}{3x + 3h - 4}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3x + 3h - 4} - \frac{2}{3x - 4}}{h}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2(3x - 4) - 2(3x + 3h - 4)}{h(3x + 3h - 4)(3x - 4)}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(6x - 8) - (6x + 6h - 8)}{h(3x + 3h - 4)(3x - 4)}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-6h}{h(3x + 3h - 4)(3x - 4)}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-6}{(3x + 3h - 4)(3x - 4)} = \frac{-6}{(3x + 0 - 4)(3x - 4)} = -\frac{6}{(3x - 4)^2}$$

    ઉત્તર: $f'(x) = -\frac{6}{(3x - 4)^2}$





7. $f(x) = 10$





  • જવાબ:


    $$f(x+h) = 10$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{10 - 10}{h}$$

    $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$


વિભાગ - A

સાચો જવાબ:

(a) $\lim_{h \to x} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$



(b) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) + f(x)}{h}$



(c) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$



(d) $\lim_{h \to x} \frac{f(x) - f(x+h)}{h}$


સાચો જવાબ:

સાચો વિકલ્પ: (B)

A: $nx^{n-1}$

B: $an x^{n-1}$

C: 0

D: $an x^{n+1}$


સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: $a$
B: $b$
C: $a + b$
D: $0$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (B)
A: $\frac{4}{2x}$
B: $-\frac{8}{x^3}$
C: $\frac{8}{x^3}$
D: $0$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (D)
A: $u \frac{du}{dx} + v \frac{dv}{dx}$
B: $u \frac{dv}{dx} - v \frac{du}{dx}$
C: $\frac{du}{dx} \times \frac{dv}{dx}$
D: $u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (D)
A: $\frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$
B: $\frac{v \frac{du}{dx} + u \frac{dv}{dx}}{v^2}$
C: $\frac{u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}}{u^2}$
D: $\frac{u \frac{dv}{dx} - v \frac{du}{dx}}{u^2}$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: $f'(a) < 0$
B: $f'(a) > 0$
C: $f'(a) = 0$
D: $f''(a) > 0$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (C)
A: $f'(a) = 0, f''(a) < 0$
B: $f'(a) > 0, f''(a) > 0$
C: $f'(a) = 0, f''(a) > 0$
D: $f'(a) < 0, f''(a) > 0$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: $-\frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$
B: $\frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$
C: $-\frac{x}{p} \cdot \frac{dp}{dx}$
D: $-\frac{p}{x} \cdot \frac{dp}{dx}$

સાચો જવાબ: સાચો વિકલ્પ: (A)
A: $\frac{dR}{dx} = 0, \frac{d^2R}{dx^2} < 0$
B: $\frac{dR}{dx} = 0, \frac{d^2R}{dx^2} > 0$
C: $\frac{dR}{dx} > 0, \frac{d^2R}{dx^2} < 0$
D: $\frac{dR}{dx} > 0, \frac{d^2R}{dx^2} > 0$
વિભાગ – B

સાચો જવાબ: જો $y = f(x)$ એ $x$ નું વિધેય હોય અને લક્ષ $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ નું અસ્તિત્વ હોય, તો તે લક્ષને વિધેય $f(x)$ નું $x$ સાપેક્ષે વિકલિત (અથવા વિકલિત ફળ) કહે છે.

સાચો જવાબ: $f'(x) = 0$ (અચળ વિધેયનું વિકલિત શૂન્ય થાય).

સાચો જવાબ: $\frac{dy}{dx} = 0$ (જ્યાં $a^n$ એ અચળ પદ છે

સાચો જવાબ: જો $u$ અને $v$ એ $x$ ના વિધેયો હોય, તો $\frac{d}{dx}(u \cdot v) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$

સાચો જવાબ: $x = a$ આગળ વિધેયનું પ્રથમ વિકલિત ધન હોય છે ($f'(a) > 0$).

સાચો જવાબ: $x = a$ આગળ વિધેયનું દ્વિતીય વિકલિત ઋણ હોય છે ($f''(a) < 0$).

સાચો જવાબ: જે બિંદુ આગળ વિધેયના પ્રથમ વિકલિતનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય (એટલે કે $f'(x) = 0$ થાય), તે બિંદુઓને વિધેયના સ્થિર બિંદુઓ કહેવાય છે.

સાચો જવાબ: કુલ આમદાની વિધેય $R$ ના ઉત્પાદન કે વેચાણ $x$ ની સાપેક્ષે થતા ફેરફારના દરને ($\frac{dR}{dx}$) સીમાંત આમદાની (Marginal Revenue) કહેવાય છે.

સાચો જવાબ: કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ વિધેય $C$ ના ઉત્પાદનના પ્રમાણ $x$ ની સાપેક્ષે થતા ફેરફારના દરને ($\frac{dC}{dx}$) સીમાંત ખર્ચ (Marginal Cost) કહે છે.

સાચો જવાબ: માંગની મૂલ્ય સાપેક્ષતા $\eta = -\frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$ (જ્યાં $p = \text{કિંમત}$ અને $x = \text{માંગ}$).

સાચો જવાબ: $f'(x) = \frac{d}{dx}(7x^2 - 6x + 5) = 14x - 6$

સાચો જવાબ: $$\frac{dy}{dx} = 6(3x^2) + \frac{7}{2}(2x) + \frac{6}{5}(1) - 0$$

$$\frac{dy}{dx} = 18x^2 + 7x + \frac{6}{5}$$
વિભાગ - C

સાચો જવાબ:

જો કોઈ વિધેય $y = f(x)$ માટે, ચલ $x$ ની કિંમતમાં ખૂબ જ સૂક્ષ્મ ફેરફાર $\Delta x$ કરવામાં આવે, તો તેને અનુરૂપ $y$ ની કિંમતમાં પણ $\Delta y$ જેટલો ફેરફાર થાય છે.



આ ફેરફારોના ગુણોત્તરની સીમા લક્ષી કિંમત (જો અસ્તિત્વ ધરાવતી હોય તો):


$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

ને $y$ નું $x$ સાપેક્ષ વિકલન (Derivative) કહેવાય છે. તેને $\frac{dy}{dx}$ અથવા $f'(x)$ વડે દર્શાવાય છે.


સાચો જવાબ:

જ્યારે કોઈ વિધેય સંયોજિત હોય (એટલે કે એક વિધેય બીજા વિધેય પર આધારિત હોય), ત્યારે સાંકળના નિયમ (Chain Rule) નો ઉપયોગ થાય છે.



જો $y$ એ $u$ નું વિધેય હોય ($y = f(u)$) અને $u$ એ $x$ નું વિધેય હોય ($u = g(x)$), તો $y$ નું $x$ સાપેક્ષ વિકલિત મેળવવાનું સૂત્ર:


$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

સાચો જવાબ:

વિધેય $y = f(x)$ ની કિંમત $x = a$ આગળ મહત્તમ થવા માટે નીચે મુજબની બે શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:





  1. જરૂરી શરત (First Order Condition):



    વિધેયનું પ્રથમ વિકલિત શૂન્ય થવું જોઈએ.


    $$f'(a) = 0$$


  2. પર્યાપ્ત શરત (Second Order Condition):



    વિધેયનું દ્વિતીય વિકલિત ઋણ (લેસ ધેન ઝીરો) થવું જોઈએ.


    $$f''(a) < 0$$


સાચો જવાબ:

સમજૂતી: ઉત્પાદનના પ્રમાણમાં એક વધારાના એકમનો ઉમેરો કરવાથી કુલ ઉત્પાદન ખર્ચમાં જે ફેરફાર (વધારો) થાય છે, તેને સીમાંત ખર્ચ (Marginal Cost) કહે છે. અર્થશાસ્ત્રમાં સીમાંત ખર્ચ એ કુલ ખર્ચ વિધેયનું પ્રથમ વિકલિત દર્શાવે છે.



સૂત્ર: જો કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ વિધેય $C = f(x)$ હોય (જ્યાં $x =$ ઉત્પાદનના એકમો), તો:


$$\text{સીમાંત ખર્ચ (MC)} = \frac{dC}{dx}$$

સાચો જવાબ:

વસ્તુની કિંમતમાં થતા સાપેક્ષ (ટકાવારી) ફેરફારના પરિણામે તેની માંગમાં થતા સાપેક્ષ (ટકાવારી) ફેરફારના ગુણોત્તરને માંગની મૂલ્ય સાપેક્ષતા ($\eta$) કહે છે.





  • સૂત્ર:


    $$\text{માંગની મૂલ્ય સાપેક્ષતા } (\eta) = -\frac{p}{x} \cdot \frac{dx}{dp}$$

    (જ્યાં $p =$ કિંમત અને $x =$ માંગનું પ્રમાણ)




સાચો જવાબ:

નફાના વિધેય $P = f(x)$ ને મહત્તમ બનાવવા માટેની શરતો નીચે મુજબ છે:





  1. જરૂરી શરત: નફાના વિધેયનું પ્રથમ વિકલિત શૂન્ય હોવું જોઈએ.


    $$\frac{dP}{dx} = 0$$


  2. પર્યાપ્ત શરત: નફાના વિધેયનું દ્વિતીય વિકલિત ઋણ હોવું જોઈએ.


    $$\frac{d^2P}{dx^2} < 0$$


સાચો જવાબ:

ઉત્પાદન ખર્ચ વિધેય $C = f(x)$ ની કિંમત ન્યૂનતમ (ઓછામાં ઓછી) કરવા માટેની શરતો:





  1. જરૂરી શરત: ખર્ચ વિધેયનું પ્રથમ વિકલિત શૂન્ય હોવું જોઈએ.


    $$\frac{dC}{dx} = 0$$


  2. પર્યાપ્ત શરત: ખર્ચ વિધેયનું દ્વિતીય વિકલિત ધન (ગ્રેટર ધેન ઝીરો) હોવું જોઈએ.


    $$\frac{d^2C}{dx^2} > 0$$


સાચો જવાબ:

આપેલ વિધેય: $f(x) = x^{1/4}$





  • પ્રથમ વિકલન ($f'(x)$):


    $$f'(x) = \frac{1}{4} x^{(1/4 - 1)} = \frac{1}{4} x^{-3/4}$$


  • દ્વિતીય વિકલન ($f''(x)$):


    $$f''(x) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) x^{(-3/4 - 1)}$$

    $$f''(x) = -\frac{3}{16} x^{-7/4} = -\frac{3}{16 x^{7/4}} = \mathbf{-\frac{3}{16 \sqrt[4]{x^7}}}$$


સાચો જવાબ:

જ્યારે કોઈ વિધેય સંયોજિત હોય (એટલે કે એક વિધેય બીજા વિધેય પર આધારિત હોય), ત્યારે સાંકળના નિયમ (Chain Rule) નો ઉપયોગ થાય છે.



જો $y$ એ $u$ નું વિધેય હોય ($y = f(u)$) અને $u$ એ $x$ નું વિધેય હોય ($u = g(x)$), તો $y$ નું $x$ સાપેક્ષ વિકલિત મેળવવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ થાય:



$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$


સાચો જવાબ:

આપેલ વિધેય: $f(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2 + x + 1$





  1. પ્રથમ વિકલન:


    $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 3x^2 + x + 1)$$

    $$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x + 1$$


  2. દ્વિતીય વિકલન:


    $$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2 + 6x + 1)$$

    $$f''(x) = 12x^2 - 24x + 6$$


  3. $x = 0$ કિંમત મુકતાં:


    $$f''(0) = 12(0)^2 - 24(0) + 6 = 0 - 0 + 6 = \mathbf{6}$$


સાચો જવાબ:

આપેલ કુલ આવક વિધેય: $R(x) = 90x - \frac{x^2}{2}$



સીમાંત આવક (Marginal Revenue - MR) એટલે કુલ આવક વિધેયનું $x$ સાપેક્ષ વિકલન.


$$\text{સીમાંત આવક (MR)} = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}\left(90x - \frac{x^2}{2}\right)$$

$$\text{MR} = 90(1) - \frac{2x}{2} = \mathbf{90 - x}$$

સાચો જવાબ:

જો કોઈ વિધેય $y = f(x)$ આપેલ હોય અને બિંદુ $x = a$ ના કોઈ ક્ષેત્ર વિસ્તાર (સાંનિધ્ય) માં રહેલા તમામ $x$ માટે:


$$f(a) \ge f(x)$$

થતું હોય, તો $f(a)$ ને વિધેયની મહત્તમ કિંમત (Maximum Value) કહે છે.



આ માટે તે બિંદુ આગળ વિધેયનું પ્રથમ વિકલિત $f'(a) = 0$ અને દ્વિતીય વિકલિત $f''(a) < 0$ હોવું જરૂરી છે.


સાચો જવાબ:

જો વિધેય $y = f(x)$ માટે $x = a$ આગળ વિધેયનું પ્રથમ વિકલિત ધન હોય, એટલે કે:


$$f'(a) > 0$$

ત્યારે વિધેય $x = a$ બિંદુ આગળ વધતું વિધેય (Increasing Function) છે તેમ કહેવાય.


સાચો જવાબ:

આપેલ વિધેય: $y = 12 + 4x - 7x^2$





  1. પ્રથમ વિકલન મેળવતાં:


    $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(12 + 4x - 7x^2) = 0 + 4 - 14x = 4 - 14x$$


  2. $x = 2$ કિંમત મુકતાં:


    $$\left.\frac{dy}{dx}\right\vert{}_{x=2} = 4 - 14(2) = 4 - 28 = -24$$



અહીં $\frac{dy}{dx} = -24 < 0$ (ઋણ) હોવાથી, આપેલ વિધેય $x = 2$ આગળ ઘટતું વિધેય છે.


સાચો જવાબ:

આપેલ વિધેય: $y = 4x^2 + 4x + 8$





  1. વિકલિત શોધો:


    $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^2 + 4x + 8) = \mathbf{8x + 4}$$


  2. વિકલિતને શૂન્ય સાથે સરખાવતાં:


    $$\frac{dy}{dx} = 0$$

    $$8x + 4 = 0$$

    $$8x = -4$$

    $$x = -\frac{4}{8} \implies \mathbf{x = -\frac{1}{2}}$$



આમ, $x = -\frac{1}{2}$ માટે વિકલિત શૂન્ય બને છે.


સાચો જવાબ:

આપેલ વિધેય: $f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 7$





  1. પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ મેળવતાં:


    $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 5x^2 + 3x + 7)$$

    $$f'(x) = 3x^2 + 5(2x) + 3(1) + 0$$

    $$f'(x) = 3x^2 + 10x + 3$$


  2. ડબી બાજુ $x = 2$ મુકતાં:


    $$f'(2) = 3(2)^2 + 10(2) + 3$$

    $$f'(2) = 3(4) + 20 + 3$$

    $$f'(2) = 12 + 20 + 3 = \mathbf{35}$$



જે જમણી બાજુ બરાબર છે. (સાબિત થાય છે)


સાચો જવાબ:

આપેલ વિધેય: $f(x) = 3x^2 + 3$





  1. $f'(x)$ મેળવતાં:


    $$f'(x) = 6x$$


  2. શરત $f'(x) = f(x)$ મુજબ સરખાવતાં:


    $$6x = 3x^2 + 3$$

    $$3x^2 - 6x + 3 = 0$$


  3. સાંદું રૂપ આપતાં (3 વડે ભાગતાં):


    $$x^2 - 2x + 1 = 0$$

    $$(x - 1)^2 = 0$$

    $$x - 1 = 0 \implies \mathbf{x = 1}$$



આમ, $x = 1$ માટે $f'(x) = f(x)$ થાય.


સાચો જવાબ:

પદાવલિને ઘાત સ્વરૂપે ગોઠવતાં:


$$y = 2x^3 + 5x^2 - 3 + 4x^{-2} - 5x^{-3}$$



  1. પ્રથમ વિકલન ($\frac{dy}{dx}$):


    $$\frac{dy}{dx} = 2(3x^2) + 5(2x) - 0 + 4(-2x^{-3}) - 5(-3x^{-4})$$

    $$\frac{dy}{dx} = 6x^2 + 10x - 8x^{-3} + 15x^{-4}$$


  2. દ્વિતીય વિકલન ($\frac{d^2y}{dx^2}$):


    $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(2x) + 10(1) - 8(-3x^{-4}) + 15(-4x^{-5})$$

    $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12x + 10 + 24x^{-4} - 60x^{-5}$$



ઘાતને છેદમાં ધન સ્વરૂપે લખતાં:


$$\frac{d^2y}{dx^2} = \mathbf{12x + 10 + \frac{24}{x^4} - \frac{60}{x^5}}$$

સાચો જવાબ:

પદાવલિને ઘાત સ્વરૂપે ગોઠવતાં:


$$y = x^{1/2} + x^{-1/2}$$



  1. પ્રથમ વિકલન ($\frac{dy}{dx}$):


    $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2}$$


  2. દ્વિતીય વિકલન ($\frac{d^2y}{dx^2}$):


    $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}x^{-5/2}\right)$$

    $$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{3}{4}x^{-5/2}$$



ઘાતને છેદમાં વર્ગમૂળ સ્વરૂપે દર્શાવતાં:


$$\frac{d^2y}{dx^2} = \mathbf{-\frac{1}{4\sqrt{x^3}} + \frac{3}{4\sqrt{x^5}}}$$

સાચો જવાબ:

આપેલ ઉત્પાદન ખર્ચ વિધેય: $C = 0.0012x^2 - 0.18x + 25$



સીમાંત ખર્ચ (MC) મેળવવા માટે $C$ નું $x$ સાપેક્ષ વિકલન કરતાં:


$$\text{સીમાંત ખર્ચ (MC)} = \frac{dC}{dx}$$

$$\text{MC} = \frac{d}{dx}(0.0012x^2 - 0.18x + 25)$$

$$\text{MC} = 0.0012(2x) - 0.18(1) + 0$$

$$\text{MC} = \mathbf{0.0024x - 0.18}$$
વિભાગ - D

સાચો જવાબ:

અહીં $f(x) = ax + b$ છે.



વ્યાખ્યા અનુસાર:


$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a(x+h) + b - (ax + b)}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ax + ah + b - ax - b}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ah}{h} = \lim_{h \to 0} a = a$$

સાચો જવાબ:

વ્યાખ્યા અનુસાર:


$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{10} - x^{10}}{h}$$

ધારો કે $x + h = t$, જેથી જ્યારે $h \to 0$ થાય ત્યારે $t \to x$ અને $h = t - x$ થાય.


$$f'(x) = \lim_{t \to x} \frac{t^{10} - x^{10}}{t - x}$$

પ્રમેય અનુસાર ($\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n \cdot a^{n-1}$):


$$f'(x) = 10 \cdot x^{10-1} = 10x^9$$

સાચો જવાબ: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 + 4(x+h)} - \frac{2}{3 + 4x}}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2(3+4x) - 2(3+4x+4h)}{h(3+4x+4h)(3+4x)}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{6 + 8x - 6 - 8x - 8h}{h(3+4x+4h)(3+4x)}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-8h}{h(3+4x+4h)(3+4x)}$$

$$f'(x) = \frac{-8}{(3+4x+0)(3+4x)} = -\frac{8}{(3+4x)^2}$$

સાચો જવાબ: $$y = x^3 - 3x^2 - 3x + 80$$

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 3$$

અહીં $\frac{dy}{dx} = -6$ આપેલ છે:


$$3x^2 - 6x - 3 = -6$$

$$3x^2 - 6x + 3 = 0$$

3 વડે ભાગતાં:


$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$$

સાચો જવાબ:

પહેલાં વિધેયને સરળ સ્વરૂપમાં લખીએ:


$$f(x) = 4x^3 + 3x + 2 + 24x^{-2}$$

હવે, $x$ સાપેક્ષ વિકલન કરતાં:


$$f'(x) = 12x^2 + 3 + 0 - 48x^{-3} = 12x^2 + 3 - \frac{48}{x^3}$$

હવે $x = 2$ મૂકતાં:


$$f'(2) = 12(2)^2 + 3 - \frac{48}{2^3}$$

$$f'(2) = 12(4) + 3 - \frac{48}{8} = 48 + 3 - 6 = 45$$

સાચો જવાબ:

ગુણાકારના નિયમ અનુસાર અથવા ગુણાકાર કરીને વિકલન કરીએ:



કૌંસ છોડતાં:


$$y = 3x^2(3x + 2) + 4x(3x + 2) - 2(3x + 2)$$

$$y = 9x^3 + 6x^2 + 12x^2 + 8x - 6x - 4$$

$$y = 9x^3 + 18x^2 + 2x - 4$$

$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતાં:


$$\frac{dy}{dx} = 27x^2 + 36x + 2$$

સાચો જવાબ:

ભાગાકારના નિયમ $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{v \cdot u' - u \cdot v'}{v^2}$ મુજબ:


$$\frac{dy}{dx} = \frac{(bx + a) \cdot \frac{d}{dx}(ax + b) - (ax + b) \cdot \frac{d}{dx}(bx + a)}{(bx + a)^2}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(bx + a)(a) - (ax + b)(b)}{(bx + a)^2}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{abx + a^2 - abx - b^2}{(bx + a)^2} = \frac{a^2 - b^2}{(bx + a)^2}$$

સાચો જવાબ:

સૌપ્રથમ વિધેયને સરળ બનાવીએ:


$$1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$$

માટે, $y = 1 + \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = 1 + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$$



હવે, ભાગાકારના નિયમ વડે વિકલન કરતાં:


$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1) \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) - (2x+1) \cdot \frac{d}{dx}(x+1)}{(x+1)^2}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)(2) - (2x+1)(1)}{(x+1)^2}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$$

સાચો જવાબ: $$y + 2 = \frac{15}{2x + 3}$$

$$y = \frac{15}{2x + 3} - 2$$

$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતાં:


$$\frac{dy}{dx} = 15 \cdot \left(-\frac{1}{(2x+3)^2}\right) \cdot (2) - 0$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{30}{(2x+3)^2}$$

સાચો જવાબ:

$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતાં:


$$\frac{dy}{dx} = 0 + 6 \cdot \left(-\frac{1}{(7x+8)^2}\right) \cdot (7)$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{42}{(7x+8)^2}$$

સાચો જવાબ: $$f(x) = (x^2 + 5)^{\frac{1}{2}}$$

સાંકળના નિયમ (Chain Rule) મુજબ:


$$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 5)$$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 5}} \cdot (2x)$$

$$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$$

સાચો જવાબ:

ધારો કે $y = (3x^3 - 2x^2 + 1)^{\frac{5}{2}}$.



સાંકળના નિયમ મુજબ:


$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}(3x^3 - 2x^2 + 1)^{\frac{5}{2} - 1} \cdot \frac{d}{dx}(3x^3 - 2x^2 + 1)$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}(3x^3 - 2x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} \cdot (9x^2 - 4x)$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}x(9x - 4)(3x^3 - 2x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}$$

સાચો જવાબ:

સાંકળના નિયમ મુજબ:


$$f'(x) = 7(x^2 + 3x + 4)^{7-1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 4)$$

$$f'(x) = 7(x^2 + 3x + 4)^6 \cdot (2x + 3)$$

$$f'(x) = 7(2x + 3)(x^2 + 3x + 4)^6$$

સાચો જવાબ:

પ્રથમ વિકલિત:


$$f'(x) = 6x + 4$$

દ્વિતીય વિકલિત:


$$f''(x) = 6$$

શરત મુજબ $f'(x) = f''(x)$:


$$6x + 4 = 6$$

$$6x = 6 - 4$$

$$6x = 2 \implies x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

સાચો જવાબ:

કુલ આવક વિધેય $R = p \cdot x$:


$$R = \left(\frac{2500 - x^2}{100}\right) \cdot x = \frac{2500x - x^3}{100} = 25x - \frac{x^3}{100}$$

સીમાંત આવક ($MR$) = $\frac{dR}{dx}$:


$$MR = \frac{d}{dx}\left(25x - \frac{x^3}{100}\right) = 25 - \frac{3x^2}{100}$$

સાચો જવાબ: $$\frac{dy}{dx} = 6x - 10$$


  • $x = 1$ આગળ:


    $$\left.\frac{dy}{dx}\right\vert{}_{x=1} = 6(1) - 10 = -4 < 0$$

    આથી, $x = 1$ આગળ વિધેય ઘટતું છે.




  • $x = 2$ આગળ:


    $$\left.\frac{dy}{dx}\right\vert{}_{x=2} = 6(2) - 10 = 12 - 10 = 2 > 0$$

    આથી, $x = 2$ આગળ વિધેય વધતું છે.




સાચો જવાબ: $$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 14x - 11$$


  • $x = \frac{1}{2}$ આગળ:


    $$\left.\frac{dy}{dx}\right\vert{}_{x=\frac{1}{2}} = 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 14\left(\frac{1}{2}\right) - 11 = 6\left(\frac{1}{4}\right) - 7 - 11 = 1.5 - 18 = -16.5 < 0$$

    આથી, $x = \frac{1}{2}$ આગળ વિધેય ઘટતું છે.




  • $x = 3$ આગળ:


    $$\left.\frac{dy}{dx}\right\vert{}_{x=3} = 6(3)^2 - 14(3) - 11 = 6(9) - 42 - 11 = 54 - 53 = 1 > 0$$

    આથી, $x = 3$ આગળ વિધેય વધતું છે.




સાચો જવાબ: $$\frac{dy}{dx} = 2 - 14x$$


  • $x = -4$ આગળ:


    $$\left.\frac{dy}{dx}\right\vert{}_{x=-4} = 2 - 14(-4) = 2 + 56 = 58 > 0$$

    આથી, $x = -4$ આગળ વિધેય વધતું છે.




  • $x = 4$ આગળ:


    $$\left.\frac{dy}{dx}\right\vert{}_{x=4} = 2 - 14(4) = 2 - 56 = -54 < 0$$

    આથી, $x = 4$ આગળ વિધેય ઘટતું છે.




સાચો જવાબ:

સીમાંત ખર્ચ ($MC$) = $\frac{dC}{dx}$:


$$MC = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{10} + 5x + 200\right) = \frac{2x}{10} + 5 = \frac{x}{5} + 5$$

$x = 100$ મૂકતાં:


$$MC = \frac{100}{5} + 5 = 20 + 5 = 25$$



  • અર્થઘટન: જ્યારે ઉત્પાદન 100 એકમ હોય, ત્યારે 101મા એકમના ઉત્પાદનથી આશરે ₹ 25 નો વધારાનો ખર્ચ થશે.




સાચો જવાબ: $$C = 50 + 2x + x^{\frac{1}{2}}$$

સીમાંત ખર્ચ ($MC$) = $\frac{dC}{dx}$:


$$MC = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$x = 100$ મૂકતાં:


$$MC = 2 + \frac{1}{2\sqrt{100}} = 2 + \frac{1}{2(10)} = 2 + \frac{1}{20} = 2 + 0.05 = 2.05$$

સાચો જવાબ:

વિધેય y=f(x) ની મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ કિંમત મેળવવા માટે નીચે મુજબના સોપાન (પગલાં) અનુસરવામાં આવે છે:





  1. પ્રથમ વિકલિત મેળવવું: સૌપ્રથમ આપેલા વિધેયનું પ્રથમ વિકલિત f′(x) (અથવા dxdy​) મેળવો.




  2. સ્થિર બિંદુઓ (કે નિર્ણાયક કિંમતો) શોધી કાઢવી: પ્રથમ વિકલિત સમાન શૂન્ય મૂકો, એટલે કે f′(x)=0 લઈને x ની કિંમતો (જેવી કે x=a,b,…) મેળવો.




  3. દ્વિતીય વિકલિત મેળવવું: આપેલા વિધેયનું દ્વિતીય વિકલિત f′′(x) (અથવા dx2d2y​) મેળવો.




  4. મહત્તમ કે ન્યૂનતમ માટેની શરતો ચકાસવી: x ની મળેલ કિંમતો દ્વિતીય વિકલિતમાં મૂકો:





    • મહત્તમ કિંમત માટેની શરત: જો f′′(a)<0 (ઋણ) થાય, તો x=a આગળ વિધેય મહત્તમ બનશે.




    • ન્યૂનતમ કિંમત માટેની શરત: જો f′′(a)>0 (ધન) થાય, તો x=a આગળ વિધેય ન્યૂનતમ બનશે.






  5. મૂલ્ય મેળવવું: મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે x=a ની કિંમત મૂળ વિધેય f(x) માં મૂકીને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત મેળવો.




વિભાગ - E

સાચો જવાબ:

જો $u = f(x)$ અને $v = g(x)$ એ $x$ ના વિકલનીય વિધેયો હોય, તો વિકલનના કાર્યનિયમો નીચે મુજબ છે:





  • 1. સરવાળાનો નિયમ:



    બે વિધેયોના સરવાળાનું વિકલન તેમના અલગ-અલગ વિકલિતોના સરવાળા જેટલું થાય છે.


    $$\frac{d}{dx}(u + v) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$$


  • 2. બાદબાકીનો નિયમ:



    બે વિધેયોની બાદબાકીનું વિકલન તેમના અલગ-અલગ વિકલિતોની બાદબાકી જેટલું થાય છે.


    $$\frac{d}{dx}(u - v) = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}$$


  • 3. ગુણાકારનો નિયમ:



    બે વિધેયોના ગુણાકારનું વિકલન = (પ્રથમ વિધેય $\times$ બીજાનું વિકલિત) + (બીજું વિધેય $\times$ પ્રથમનું વિકલિત).


    $$\frac{d}{dx}(u \cdot v) = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx}$$


  • 4. ભાગાકારનો નિયમ:



    બે વિધેયોના ભાગાકારનું વિકલન = $\frac{\text{છેદ} \times \text{અંશનું વિકલિત} - \text{અંશ} \times \text{છેદનું વિકલિત}}{(\text{છેદ})^2}$ (જ્યાં છેદ $v \neq 0$).


    $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \cdot \frac{du}{dx} - u \cdot \frac{dv}{dx}}{v^2}$$


સાચો જવાબ:

કોઈ વિધેય $y = f(x)$ આપેલ હોય, તો પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ અથવા $\frac{dy}{dx}$ મેળવીને તેનો પ્રકાર નક્કી કરી શકાય છે:





  • વધતું વિધેય (Increasing Function):



    જો આપેલા અંતરાલમાં અંક $x$ ની કિંમત આગળ પ્રથમ વિકલિત ધન મળે, એટલે કે $f'(x) > 0$ અથવા $\frac{dy}{dx} > 0$ હોય, તો વિધેય તે બિંદુ આગળ વધતું વિધેય કહેવાય.




  • ઘટતું વિધેય (Decreasing Function):



    જો આપેલા અંતરાલમાં અંક $x$ ની કિંમત આગળ પ્રથમ વિકલિત ઋણ મળે, એટલે કે $f'(x) < 0$ અથવા $\frac{dy}{dx} < 0$ હોય, તો વિધેય તે બિંદુ આગળ ઘટતું વિધેય કહેવાય.




સાચો જવાબ:


  • વ્યાખ્યા: જો વિધેય $y = f(x)$ ની કોઈ ચોક્કસ કિંમત $x = a$ આગળનું મૂલ્ય $f(a)$, તેના આસપાસના નજીકના વિસ્તારની તમામ કિંમતો કરતાં સૌથી મોટું (મહત્તમ) હોય, તો $f(a)$ ને વિધેયની મહત્તમ કિંમત કહે છે.




  • મહત્તમ કિંમત માટેની શરતો:





    1. પ્રથમ શરત (પર્યાપ્ત શરત): પ્રથમ વિકલિત શૂન્ય થવું જોઈએ.


      $$f'(x) = 0 \quad \text{અથવા} \quad \frac{dy}{dx} = 0$$


    2. બીજી શરત (આવશ્યક શરત): દ્વિતીય વિકલિત ઋણ (લેસ ધેન ઝીરો) થવું જોઈએ.


      $$f''(x) < 0 \quad \text{અથવા} \quad \frac{d^2y}{dx^2} < 0$$




સાચો જવાબ:


  • વ્યાખ્યા: જો વિધેય $y = f(x)$ ની કોઈ ચોક્કસ કિંમત $x = a$ આગળનું મૂલ્ય $f(a)$, તેના આસપાસના નજીકના વિસ્તારની તમામ કિંમતો કરતાં સૌથી નાનું (ન્યૂનતમ) હોય, તો $f(a)$ ને વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત કહે છે.




  • ન્યૂનતમ કિંમત માટેની શરતો:





    1. પ્રથમ શરત (પર્યાપ્ત શરત): પ્રથમ વિકલિત શૂન્ય થવું જોઈએ.


      $$f'(x) = 0 \quad \text{અથવા} \quad \frac{dy}{dx} = 0$$


    2. બીજી શરત (આવશ્યક શરત): દ્વિતીય વિકલિત ધન (ગ્રેટર ધેન ઝીરો) થવું જોઈએ.


      $$f''(x) > 0 \quad \text{અથવા} \quad \frac{d^2y}{dx^2} > 0$$




સાચો જવાબ:

આપેલ ઉત્પાદન ખર્ચ વિધેય:


$$C = \frac{1}{10}x^3 - 4x^2 + 50x + 300$$

પગલું 1: પ્રથમ વિકલન ($\frac{dC}{dx}$) કરવું


$$\frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{10}x^3 - 4x^2 + 50x + 300 \right)$$

$$\frac{dC}{dx} = \frac{3}{10}x^2 - 8x + 50$$

પગલું 2: સરાસરી એકમ ખર્ચ ($AC$) શોધી ન્યૂનતમ માટેની ગણતરી



વ્યવહારિક રીતે સરાસરી ખર્ચ $AC = \frac{C}{x} = \frac{1}{10}x^2 - 4x + 50 + \frac{300}{x}$ થાય.



જો સરાસરી ખર્ચ વિધેય $AC = \frac{1}{10}x^2 - 4x + 50$ લેવામાં આવે:


$$\frac{d(AC)}{dx} = \frac{2}{10}x - 4 = \frac{x}{5} - 4$$

ન્યૂનતમ સરાસરી ખર્ચ માટે $\frac{d(AC)}{dx} = 0$:


$$\frac{x}{5} - 4 = 0 \implies \frac{x}{5} = 4 \implies x = 20$$

પગલું 3: દ્વિતીય વિકલન દ્વારા ચકાસણી


$$\frac{d^2(AC)}{dx^2} = \frac{1}{5} > 0 \quad (\text{ધન હોવાથી ન્યૂનતમ શરત સંતોષાય છે})$$



  • ઉત્પાદન: $20$ એકમ




સાચો જવાબ:

આપેલ ખર્ચ વિધેય:


$$C = 1000 + 8x + 5000x^{-1}$$

પગલું 1: પ્રથમ વિકલન ($\frac{dC}{dx}$) કરવું


$$\frac{dC}{dx} = 0 + 8 - 5000x^{-2} = 8 - \frac{5000}{x^2}$$

પગલું 2: પ્રથમ વિકલિત સમાન શૂન્ય લેતાં ($\frac{dC}{dx} = 0$)


$$8 - \frac{5000}{x^2} = 0$$

$$\frac{5000}{x^2} = 8$$

$$8x^2 = 5000$$

$$x^2 = \frac{5000}{8} = 625$$

$$x = \sqrt{625} = 25 \quad (\text{ઉત્પાદન ઋણ ન હોઈ શકે})$$

પગલું 3: દ્વિતીય વિકલન કરી ન્યૂનતમ ચકાસવું


$$\frac{d^2C}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(8 - 5000x^{-2}\right) = -5000(-2)x^{-3} = \frac{10000}{x^3}$$

$x = 25$ મૂકતાં:


$$\frac{d^2C}{dx^2} = \frac{10000}{(25)^3} = \frac{10000}{15625} > 0 \quad (\text{ધન છે, તેથી ખર્ચ ન્યૂનતમ થશે})$$

પગલું 4: ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધો



$C$ ના સમીકરણમાં $x = 25$ મૂકતાં:


$$C = 1000 + 8(25) + \frac{5000}{25}$$

$$C = 1000 + 200 + 200 = 1400$$


  • ન્યૂનતમ ખર્ચ માટે ઉત્પાદન ($x$): $25$ એકમ




  • ન્યૂનતમ ખર્ચ ($C$): ₹ $1400$




સાચો જવાબ:

આપેલ ખર્ચ વિધેય:


$$C = 1500 + 0.05x - 2x^{\frac{1}{2}}$$

પગલું 1: પ્રથમ વિકલન કરવું


$$\frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}\left(1500 + 0.05x - 2x^{\frac{1}{2}}\right)$$

$$\frac{dC}{dx} = 0 + 0.05 - 2\left(\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}} = 0.05 - \frac{1}{\sqrt{x}}$$

પગલું 2: $\frac{dC}{dx} = 0$ લેતાં


$$0.05 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = 0.05$$

$$\sqrt{x} = \frac{1}{0.05} = 20$$

બંને બાજુ વર્ગ કરતાં:


$$x = 20^2 = 400$$

પગલું 3: દ્વિતીય વિકલન દ્વારા ન્યૂનતમ સાબિત કરવું


$$\frac{d^2C}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(0.05 - x^{-\frac{1}{2}}\right) = - \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

$x = 400$ મૂકતાં:


$$\frac{d^2C}{dx^2} = \frac{1}{2 (400)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 \times (20)^3} = \frac{1}{2 \times 8000} = \frac{1}{16000} > 0$$

કારણ કે દ્વિતીય વિકલિત ધન ($> 0$) મળે છે, તેથી સાબિત થાય છે કે $x = 400$ એકમે ઉત્પાદન-ખર્ચ ન્યૂનતમ બને છે.


સાચો જવાબ:

પગલું 1: કુલ આવક વિધેય ($R$) મેળવવું



આવક $R = \text{કિંમત (p)} \times \text{માંગ (x)}$


$$R = \left(30 - \frac{x^2}{10}\right) \cdot x = 30x - \frac{x^3}{10}$$

પગલું 2: પ્રથમ વિકલન કરવું


$$\frac{dR}{dx} = 30 - \frac{3x^2}{10}$$

પગલું 3: મહત્તમ આવક માટે $\frac{dR}{dx} = 0$ લેતાં


$$30 - \frac{3x^2}{10} = 0$$

$$\frac{3x^2}{10} = 30$$

$$3x^2 = 300 \implies x^2 = 100 \implies x = 10$$

પગલું 4: દ્વિતીય વિકલન ચકાસવું


$$\frac{d^2R}{dx^2} = -\frac{6x}{10}$$

$x = 10$ મૂકતાં:


$$\frac{d^2R}{dx^2} = -\frac{6(10)}{10} = -6 < 0 \quad (\text{ઋણ હોવાથી આવક મહત્તમ થશે})$$

પગલું 5: કિંમત ($p$) શોધો



$p$ ના સમીકરણમાં $x = 10$ મૂકતાં:


$$p = 30 - \frac{10^2}{10} = 30 - \frac{100}{10} = 30 - 10 = 20$$



  • મહત્તમ આવક માટે માંગ ($x$): $10$ એકમ




  • તે સમયની કિંમત ($p$): $20$




સાચો જવાબ:

પગલું 1: $p$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં ફેરવવું


$$x = 180 - 3p$$

$$3p = 180 - x \implies p = 60 - \frac{x}{3}$$

પગલું 2: કુલ આવક વિધેય ($R$) બનાવવું


$$R = p \cdot x = \left(60 - \frac{x}{3}\right) x = 60x - \frac{x^2}{3}$$

પગલું 3: પ્રથમ વિકલન કરી શૂન્ય લેવું


$$\frac{dR}{dx} = 60 - \frac{2x}{3}$$

મહત્તમ આવક માટે $\frac{dR}{dx} = 0$:


$$60 - \frac{2x}{3} = 0 \implies \frac{2x}{3} = 60 \implies 2x = 180 \implies x = 90$$

પગલું 4: દ્વિતીય વિકલન દ્વારા ચકાસણી


$$\frac{d^2R}{dx^2} = -\frac{2}{3} < 0 \quad (\text{ઋણ છે, જેથી મહત્તમ સ્થિતિ દર્શાવે છે})$$

પગલું 5: કિંમત અને મહત્તમ આવકની ગણતરી





  • કિંમત ($p$): $p = 60 - \frac{90}{3} = 60 - 30 = 30$




  • આવક ($R$): $R = p \cdot x = 30 \times 90 = 2700$




  • માંગ ($x$): $90$ એકમ




  • કિંમત ($p$): $30$




  • મહત્તમ આવક ($R$): $2700$




સાચો જવાબ:

પગલું 1: આવક વિધેય ($R$) બનાવવું


$$R = p \cdot x = \left(75 - \frac{x^2}{2500}\right)x = 75x - \frac{x^3}{2500}$$

પગલું 2: પ્રથમ વિકલન અને $\frac{dR}{dx} = 0$


$$\frac{dR}{dx} = 75 - \frac{3x^2}{2500}$$

$$75 - \frac{3x^2}{2500} = 0 \implies \frac{3x^2}{2500} = 75$$

$$3x^2 = 75 \times 2500 = 187500$$

$$x^2 = \frac{187500}{3} = 62500 \implies x = \sqrt{62500} = 250$$

પગલું 3: દ્વિતીય વિકલિત ચકાસવું


$$\frac{d^2R}{dx^2} = -\frac{6x}{2500}$$

$x = 250$ આગળ:


$$\frac{d^2R}{dx^2} = -\frac{6(250)}{2500} = -0.6 < 0 \quad (\text{ઋણ છે, જેથી આવક મહત્તમ થાય})$$

પગલું 4: કિંમત ($p$) શોધો


$$p = 75 - \frac{(250)^2}{2500} = 75 - \frac{62500}{2500} = 75 - 25 = 50$$



  • મહત્તમ આવક માટેની માંગ ($x$): $250$ એકમ




  • તે સમયની કિંમત ($p$): $50$




સાચો જવાબ:

આપેલ નફાનું વિધેય:


$$P(x) = 40x + 10000 - 0.1x^2$$

પગલું 1: પ્રથમ વિકલન ($P'(x)$) કરવું


$$P'(x) = \frac{d}{dx}\left(40x + 10000 - 0.1x^2\right) = 40 - 0.2x$$

પગલું 2: $P'(x) = 0$ લેતાં


$$40 - 0.2x = 0$$

$$0.2x = 40$$

$$x = \frac{40}{0.2} = 200$$

પગલું 3: દ્વિતીય વિકલન ($P''(x)$) ચકાસવું


$$P''(x) = -0.2 < 0 \quad (\text{ઋણ હોવાથી નફો મહત્તમ બનશે})$$

પગલું 4: મહત્તમ નફો શોધો



$P(x)$ માં $x = 200$ મૂકતાં:


$$P(200) = 40(200) + 10000 - 0.1(200)^2$$

$$P(200) = 8000 + 10000 - 0.1(40000)$$

$$P(200) = 18000 - 4000 = 14000$$


  • મહત્તમ નફા માટે ઉત્પાદન ($x$): $200$ એકમ




  • મહત્તમ નફો: ₹ $14000$




સાચો જવાબ:

આપેલ નફાનું વિધેય:


$$P(x) = 5x - 100 - 0.01x^2$$

પગલું 1: પ્રથમ વિકલન કરવું


$$P'(x) = \frac{d}{dx}\left(5x - 100 - 0.01x^2\right) = 5 - 0.02x$$

પગલું 2: $P'(x) = 0$ લેતાં


$$5 - 0.02x = 0$$

$$0.02x = 5$$

$$x = \frac{5}{0.02} = 250$$

પગલું 3: દ્વિતીય વિકલન ચકાસવું


$$P''(x) = -0.02 < 0 \quad (\text{ઋણ છે, તેથી $x = 250$ આગળ નફો મહત્તમ થાય})$$



  • મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદન ($x$): $250$ એકમ




વિભાગ - F

સાચો જવાબ:


  • પ્રથમ વિકલન:


    $$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 30x + 36$$


  • બીજું વિકલન:


    $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12x - 30$$


  • સ્થિર બિંદુઓ (Stationary points) માટે $\frac{dy}{dx} = 0$ લેતાં:


    $$6x^2 - 30x + 36 = 0 \implies x^2 - 5x + 6 = 0$$

    $$(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2 \text{ અથવા } x = 3$$


  • મહત્તમ/ન્યૂનતમ ની ચકાસણી:





    • જ્યારે $x = 2$ હોય ત્યારે:


      $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12(2) - 30 = 24 - 30 = -6 < 0$$

      તેથી, $x = 2$ માટે $y$ મહત્તમ થાય.



      મહત્તમ કિંમત $y = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) + 12 = 16 - 60 + 72 + 12 = 40$




    • જ્યારે $x = 3$ હોય ત્યારે:


      $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12(3) - 30 = 36 - 30 = 6 > 0$$

      તેથી, $x = 3$ માટે $y$ ન્યૂનતમ થાય.



      ન્યૂનતમ કિંમત $y = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) + 12 = 54 - 135 + 108 + 12 = 39$






સાચો જવાબ:


  • પ્રથમ વિકલન:


    $$f'(x) = 6x^2 + 6x - 36$$


  • બીજું વિકલન:


    $$f''(x) = 12x + 6$$


  • $f'(x) = 0$ લેતાં:


    $$6(x^2 + x - 6) = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0 \implies x = -3 \text{ અથવા } x = 2$$


  • મહત્તમ/ન્યૂનતમ ની ચકાસણી:





    • જ્યારે $x = -3$ હોય ત્યારે:


      $$f''(-3) = 12(-3) + 6 = -36 + 6 = -30 < 0$$

      તેથી, $x = -3$ માટે $f(x)$ મહત્તમ બનશે.



      મહત્તમ કિંમત $f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) + 10 = -54 + 27 + 108 + 10 = 91$




    • જ્યારે $x = 2$ હોય ત્યારે:


      $$f''(2) = 12(2) + 6 = 24 + 6 = 30 > 0$$

      તેથી, $x = 2$ માટે $f(x)$ ન્યૂનતમ બનશે.



      ન્યૂનતમ કિંમત $f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) + 10 = 16 + 12 - 72 + 10 = -34$






સાચો જવાબ:

આપેલ વિધેય:



$f(x) = x^3 - x^2 - x + 2$





  1. વિકલન મેળવતાં:





    • $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$




    • $f''(x) = 6x - 2$






  2. $f'(x) = 0$ લેતાં:


    $$3x^2 - 2x - 1 = 0$$

    $$3x^2 - 3x + x - 1 = 0$$

    $$3x(x - 1) + 1(x - 1) = 0$$

    $$(3x + 1)(x - 1) = 0$$

    $$\therefore x = 1 \text{ અથવા } x = -\frac{1}{3}$$


  3. મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવી:





    • જ્યારે $x = -\frac{1}{3}$ હોય ત્યારે:


      $$f''\left(-\frac{1}{3}\right) = 6\left(-\frac{1}{3}\right) - 2 = -2 - 2 = -4 < 0$$

      આથી, $x = -\frac{1}{3}$ આગળ વિધેય મહત્તમ મળશે.



      મહત્તમ કિંમત:


      $$f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 2$$

      $$= -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 = \frac{-1 - 3 + 9 + 54}{27} = \frac{59}{27} = 2\frac{5}{27}$$


    • જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે:


      $$f''(1) = 6(1) - 2 = 4 > 0$$

      આથી, $x = 1$ આગળ વિધેય ન્યૂનતમ મળશે.



      ન્યૂનતમ કિંમત:


      $$f(1) = (1)^3 - (1)^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1$$





અંતિમ જવાબ:





  • મહત્તમ કિંમત = $\frac{59}{27}$ (અથવા $2.185$)




  • ન્યૂનતમ કિંમત = $1$




સાચો જવાબ:

આપેલ વિગતો:





  • કુલ ખર્ચ વિધેય ($C$) = $200x + 15x^2$




  • માંગનું વિધેય (કિંમત $p$) = $1200 - 10x$







  1. કુલ આવક વિધેય ($R$) શોધો:


    $$R = p \cdot x = (1200 - 10x)x = 1200x - 10x^2$$


  2. નફાનું વિધેય ($\mathbf{P}$ અથવા $\mathbf{P(x)}$) શોધો:


    $$\text{નફો } P = \text{કુલ આવક } (R) - \text{કુલ ખર્ચ } (C)$$

    $$P = (1200x - 10x^2) - (200x + 15x^2)$$

    $$P = 1200x - 10x^2 - 200x - 15x^2$$

    $$\mathbf{P = 1000x - 25x^2}$$


  3. મહત્તમ નફા માટે $x$ ની કિંમત મેળવવી:





    • $\frac{dP}{dx} = 1000 - 50x$




    • $\frac{d^2P}{dx^2} = -50$





    મહત્તમ નફા માટે $\frac{dP}{dx} = 0$ લેતાં:


    $$1000 - 50x = 0$$

    $$50x = 1000 \implies x = \frac{1000}{50} = 20$$

    અહીં $\frac{d^2P}{dx^2} = -50 < 0$ હોવાથી, $x = 20$ આગળ નફો મહત્તમ થશે.





અંતિમ જવાબ:





  • નફાનું વિધેય: $P = 1000x - 25x^2$




  • મહત્તમ નફા માટે $20$ એકમોનું ઉત્પાદન કરવું પડશે.




સાચો જવાબ:

આપેલ વિગતો:





  • વેચાણ કિંમત ($p$) = ₹ $10,000$




  • $x$ રેફ્રિજરેટરનું ખર્ચ વિધેય ($C$) = $0.1x^2 + 9000x + 100$







  1. કુલ આવક ($R$):


    $$R = p \cdot x = 10000x$$


  2. નફાનું વિધેય ($P$):


    $$P = R - C$$

    $$P = 10000x - (0.1x^2 + 9000x + 100)$$

    $$P = 10000x - 0.1x^2 - 9000x - 100$$

    $$P = 1000x - 0.1x^2 - 100$$


  3. મહત્તમ નફા માટે વિકલન:





    • $\frac{dP}{dx} = 1000 - 0.2x$




    • $\frac{d^2P}{dx^2} = -0.2 < 0$ (મહત્તમતા માટેની શરત સંતોષાય છે)





    $\frac{dP}{dx} = 0$ લેતાં:


    $$1000 - 0.2x = 0$$

    $$0.2x = 1000$$

    $$x = \frac{1000}{0.2} = \frac{10000}{2} = 5000$$



અંતિમ જવાબ:





  • $5000$ રેફ્રિજરેટર બનાવવાથી કંપનીને મહત્તમ નફો થશે.




સાચો જવાબ:

આપેલ વિગતો:





  • રમકડાની કિંમત ($p$) = ₹ $20$




  • કુલ ખર્ચ વિધેય ($C$) = $1000 + 16.5x + 0.001x^2$







  1. કુલ આવક ($R$):


    $$R = p \cdot x = 20x$$


  2. નફાનું વિધેય ($P$):


    $$P = R - C$$

    $$P = 20x - (1000 + 16.5x + 0.001x^2)$$

    $$P = 20x - 1000 - 16.5x - 0.001x^2$$

    $$P = 3.5x - 0.001x^2 - 1000$$


  3. મહત્તમ નફા માટે વિકલન:





    • $\frac{dP}{dx} = 3.5 - 0.002x$




    • $\frac{d^2P}{dx^2} = -0.002 < 0$ (જે દર્શાવે છે કે નફો મહત્તમ બનશે)





    $\frac{dP}{dx} = 0$ લેતાં:


    $$3.5 - 0.002x = 0$$

    $$0.002x = 3.5$$

    $$x = \frac{3.5}{0.002} = \frac{3500}{2} = 1750$$



અંતિમ જવાબ:





  • $1750$ રમકડાં બનાવવાથી મહત્તમ નફો થશે.




```php
Warning: session_start(): Session cannot be started after headers have already been sent in /home/u367000040/domains/gyanistudent.in/public_html/footer.php on line 8
```