chapter 11

• 
  

  સમપ્રમાણમાં ચકાસવા માટે દર ($y$) અને સમય ($x$) નો ગુણોત્તર ($\frac{y}{x}$) સરખો હોવો જોઈએ.

  
  
  
  
  
  • 
    

    પ્રથમ કિંમત માટે: $\frac{60}{4} = 15$

    
    
  
  
  • 
    

    બીજી કિંમત માટે: $\frac{100}{8} = 12.5$

    
    
  
  
  • 
    

    ત્રીજી કિંમત માટે: $\frac{140}{12} = 11.67$

    
    
  
  
  • 
    

    ચોથી કિંમત માટે: $\frac{180}{24} = 7.5$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  અહીં $\frac{y}{x}$ નો ગુણોત્તર દરેક જગ્યાએ સમાન આવતો નથી.

  
  


• 
  

  જવાબ: ના, પાર્કિંગના દર તેમને અનુરૂપ સમય સાથે સમપ્રમાણમાં નથી.

  
  

• 
  

  અહીં લાલ રંગ અને મૂળ મિશ્રણ સમપ્રમાણમાં છે, તેથી y1​x1​​=y2​x2​​ થશે.

  
  
  
  
  
  • 
    

    માટે y2​ શોધતા: 81​=y2​4​⇒y2​=4×8=32

    
    
  
  
  • 
    

    માટે y3​ શોધતા: 81​=y3​7​⇒y3​=7×8=56

    
    
  
  
  • 
    

    માટે y4​ શોધતા: 81​=y4​12​⇒y4​=12×8=96

    
    
  
  
  • 
    

    માટે y5​ શોધતા: 81​=y5​20​⇒y5​=20×8=160

    
    
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: મૂળ મિશ્રણના ખાનાઓમાં અનુક્રમે 32, 56, 96 અને 160 આવશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  

  ગુણોત્તર સરખો લેતા: $\frac{\text{લાલ રંગ}}{\text{મૂળ મિશ્રણ}} = \frac{1}{75} = \frac{x}{1800}$

  
  $$75 \times x = 1800 \times 1$$
  
  $$x = \frac{1800}{75} = 24$$


• 
  

  જવાબ: લાલ રંગનો પદાર્થ 24 ભાગ જોઈશે.

  
  

• 
  

  સમય વધતાં બોટલની સંખ્યા વધે (સમપ્રમાણ):

  
  $$\frac{840}{6} = \frac{x}{5}$$
  
  $$6 \times x = 840 \times 5$$
  
  $$x = \frac{840 \times 5}{6} = 140 \times 5 = 700$$


• 
  

  જવાબ: આ યંત્ર 5 કલાકમાં 700 બોટલ ભરશે.

  
  

• 
  
  
  
  1. 
     

     વાસ્તવિક લંબાઈ શોધવી:

     
     
     
     
     
     • 
       

       મોટું માપ 50,000→ ચિત્રની લંબાઈ 5 સેમી

       
       
     
     
     • 
       

       મોટું માપ 1→ વાસ્તવિક લંબાઈ x

       
       50,0005​=10,0001​=0.0005 સેમી (અથવા 5×10−4 સેમી)
     
     
     
     
  
  
  2. 
     

     20,000 ગણું કરવા પર લંબાઈ:

     
     50,0005​=20,000y​
     
     y=50,0005×20,000​=50,000100,000​=2 સેમી
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: જીવાણુની વાસ્તવિક લંબાઈ 0.0005 સેમી અને 20,000 ગણું કરવાથી લંબાઈ 2 સેમી થશે.

  
  

• 
  

  પ્રતિકૃતિ અને વાસ્તવિક માપ સમપ્રમાણમાં છે:

  
  $$\frac{\text{પ્રતિકૃતિની ઊંચાઈ}}{\text{વાસ્તવિક ઊંચાઈ}} = \frac{9\text{ સેમી}}{12\text{ મીટર}} = \frac{x}{28\text{ મીટર}}$$
  
  $$\frac{9}{12} = \frac{x}{28}$$
  
  $$12 \times x = 9 \times 28$$
  
  $$x = \frac{9 \times 28}{12} = \frac{252}{12} = 21\text{ સેમી}$$


• 
  

  જવાબ: પ્રતિકૃતિની લંબાઈ 21 સેમી થશે.

  
  

• 
  

  (i) 5 કિગ્રા ખાંડ માટે:

  
  29×106​=5x​
  
  x=29×106×5​=245×106​=22.5×106=2.25×107
  

  (ii) 1.2 કિગ્રા ખાંડ માટે:

  
  29×106​=1.2y​
  
  y=29×106×1.2​=9×106×0.6=5.4×106


• 
  

  જવાબ: (i) 5 કિગ્રામાં 2.25×107 સ્ફટિકો હશે. (ii) 1.2 કિગ્રામાં 5.4×106 સ્ફટિકો હશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ:

  
  $$\frac{1\text{ સેમી}}{18\text{ કિમી}} = \frac{x\text{ સેમી}}{72\text{ કિમી}}$$
  
  $$18 \times x = 1 \times 72$$
  
  $$x = \frac{72}{18} = 4\text{ સેમી}$$


• 
  

  જવાબ: નકશામાં દર્શાવેલ અંતર 4 સેમી હશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  

  માપને સેમીમાં ફેરવતા:

  
  
  
  
  
  • 
    

    થાંભલાની ઊંચાઈ = $5\text{ મી } 60\text{ સેમી} = 560\text{ સેમી}$

    
    
  
  
  • 
    

    પડછાયો = $3\text{ મી } 20\text{ સેમી} = 320\text{ સેમી}$

    
    
  
  
  • 
    

    ગુણોત્તર: $\frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પડછાયો}} = \frac{560}{320} = \frac{56}{32} = \frac{7}{4}$

    
    
  
  
  
  
  

  (i) 10 મી 50 સેમી ($1050\text{ સેમી}$) ઊંચા થાંભલાના પડછાયાની લંબાઈ ($x$):

  
  $$\frac{7}{4} = \frac{1050}{x} \Rightarrow 7x = 1050 \times 4 \Rightarrow x = \frac{4200}{7} = 600\text{ સેમી} = 6\text{ મીટર}$$
  
  

  (ii) 5 મીટર ($500\text{ સેમી}$) પડછાયો હોય ત્યારે થાંભલાની ઊંચાઈ ($y$):

  
  $$\frac{7}{4} = \frac{y}{500} \Rightarrow 4y = 7 \times 500 \Rightarrow y = \frac{3500}{4} = 875\text{ સેમી} = 8\text{ મીટર } 75\text{ સેમી}$$


• 
  

  જવાબ:

  
  
  

  (i) પડછાયાની લંબાઈ 6 મીટર થશે.

  
  
  

  (ii) થાંભલાની ઊંચાઈ 8 મીટર 75 સેમી થશે.

  
  

• 
  
  
  
  • 
    

    સમયને મિનિટમાં ફેરવતા: $5\text{ કલાક} = 5 \times 60 = 300\text{ મિનિટ}$

    
    
  
  
  • 
    

    સમપ્રમાણ મુજબ:

    
    $$\frac{14\text{ કિમી}}{25\text{ મિનિટ}} = \frac{x\text{ કિમી}}{300\text{ મિનિટ}}$$
    
    $$25 \times x = 14 \times 300$$
    
    $$x = \frac{14 \times 300}{25} = 14 \times 12 = 168\text{ કિમી}$$
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: ખટારો 5 કલાકમાં 168 કિમી અંતર કાપશે.

  
  

• 
  

  (i) કોઈ એક કામમાં કારીગરોની સંખ્યા અને કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉકેલ: કારીગરોની સંખ્યા વધે તેમ કામ પૂરું થવા માટે લાગતો સમય ઘટે છે. તેથી આ વ્યસ્ત પ્રમાણ છે.

    
    
  
  
  • 
    

    જવાબ: હા, વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (ii) યાત્રા કરવા માટેનો કુલ સમય અને અચળ ઝડપે કપાયેલું અંતર.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉકેલ: સમય વધે તેમ કપાયેલું અંતર પણ વધે છે (સમપ્રમાણ).

    
    
  
  
  • 
    

    જવાબ: ના, વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નથી.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (iii) એક ખેતરનું ક્ષેત્રફળ અને તેમાંથી લીધેલ પાકનો જથ્થો.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉકેલ: ખેતરનું ક્ષેત્રફળ વધુ હોય તો પાકનો જથ્થો પણ વધુ મળે છે (સમપ્રમાણ).

    
    
  
  
  • 
    

    જવાબ: ના, વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નથી.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (iv) એક નિશ્ચિત યાત્રા માટે લાગતો સમય અને વાહનની ઝડપ.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉકેલ: વાહનની ઝડપ વધે તેમ મુસાફરીમાં લાગતો સમય ઘટે છે.

    
    
  
  
  • 
    

    જવાબ: હા, વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  (v) કોઈ એક દેશની કુલ જનસંખ્યા અને વ્યક્તિ દીઠ જમીનનું ક્ષેત્રફળ.

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઉકેલ: જનસંખ્યા વધે તેમ વ્યક્તિ દીઠ જમીનનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે.

    
    
  
  
  • 
    

    જવાબ: હા, વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

    
    
  
  
  
  

• 
  

  વ્યસ્ત પ્રમાણ માટે $x \times y = \text{અચળ}$ ($k$) હોય. અહીં $1 \times 1,00,000 = 1,00,000$

  
  
  
  
  
  • 
    

    $y_3$ માટે: $4 \times y_3 = 1,00,000 \Rightarrow y_3 = \frac{1,00,000}{4} = 25,000$

    
    
  
  
  • 
    

    $y_4$ માટે: $5 \times y_4 = 1,00,000 \Rightarrow y_4 = \frac{1,00,000}{5} = 20,000$

    
    
  
  
  • 
    

    $y_5$ માટે: $8 \times y_5 = 1,00,000 \Rightarrow y_5 = \frac{1,00,000}{8} = 12,500$

    
    
  
  
  • 
    

    $y_6$ માટે: $10 \times y_6 = 1,00,000 \Rightarrow y_6 = \frac{1,00,000}{10} = 10,000$

    
    
  
  
  • 
    

    $y_7$ માટે: $20 \times y_7 = 1,00,000 \Rightarrow y_7 = \frac{1,00,000}{20} = 5,000$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    ખાલી ખાનાઓની કિંમતો અનુક્રમે 25,000, 20,000, 12,500, 10,000 અને 5,000 આવશે.

    
    
  
  
  • 
    

    આ રકમ કુલ વિજેતાઓની સંખ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

    
    
  
  
  
  

આરાની સંખ્યા વધે તેમ ખૂણો નાનો થાય, તેથી તે વ્યસ્ત પ્રમાણ છે ($x \times y = k$).

• 
  

  અહીં $k = 4 \times 90^\circ = 360^\circ$

  
  


• 
  

  $y_3$ (8 આરા માટે): $8 \times y_3 = 360 \Rightarrow y_3 = \frac{360}{8} = 45^\circ$

  
  


• 
  

  $y_4$ (10 આરા માટે): $10 \times y_4 = 360 \Rightarrow y_4 = \frac{360}{10} = 36^\circ$

  
  


• 
  

  $y_5$ (12 આરા માટે): $12 \times y_5 = 360 \Rightarrow y_5 = \frac{360}{12} = 30^\circ$

  
  

(i) શું આરાની સંખ્યા અને બે ક્રમિક આરા વચ્ચે બનતો ખૂણો પરસ્પર વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે?

• 
  

  જવાબ: હા, કારણ કે આરા વધવાથી ખૂણો ઘટે છે અને તેમનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.

  
  

(ii) 15 આરાવાળા એક પૈડામાં બે ક્રમિક આરાની જોડ વચ્ચે બનતા ખૂણાનું માપ શોધો.

• 
  

  ઉકેલ: $15 \times y = 360 \Rightarrow y = \frac{360}{15} = 24^\circ$

  
  


• 
  

  જવાબ: ખૂણાનું માપ $24^\circ$ થશે.

  
  

(iii) બે ક્રમિક આરાની જોડ વચ્ચે બનતા ખૂણાનું માપ $40^\circ$ છે તો આરાની સંખ્યા શોધો.

• 
  

  ઉકેલ: $x \times 40 = 360 \Rightarrow x = \frac{360}{40} = 9$

  
  


• 
  

  જવાબ: આરાની સંખ્યા 9 હશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    શરૂઆતમાં બાળકો $= 24$

    
    
  
  
  • 
    

    બાળકોની સંખ્યામાં 4 નો ઘટાડો થતાં નવા બાળકો $= 24 - 4 = 20$

    
    
  
  
  • 
    

    બાળકો ઘટે તેમ દરેકને મળતી મીઠાઈ વધે (વ્યસ્ત પ્રમાણ: $x_1 y_1 = x_2 y_2$):

    
    $$24 \times 5 = 20 \times y$$
    
    $$120 = 20y \Rightarrow y = \frac{120}{20} = 6$$
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: દરેક બાળકને મીઠાઈના 6 ટુકડા મળશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ:

  
  
  
  
  
  • 
    

    શરૂઆતના પશુઓ $= 20$

    
    
  
  
  • 
    

    10 પશુઓ વધતા કુલ પશુઓ $= 20 + 10 = 30$

    
    
  
  
  • 
    

    પશુઓ વધે તેમ ઘાસ ચાલવાના દિવસો ઘટે (વ્યસ્ત પ્રમાણ):

    
    $$20 \times 6 = 30 \times d$$
    
    $$120 = 30d \Rightarrow d = \frac{120}{30} = 4$$
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: ઘાસચારો 4 દિવસ ચાલશે.

  
  

• 
  
  
  
  • 
    

    માણસો વધે તેમ દિવસો ઘટે (વ્યસ્ત પ્રમાણ):

    
    $$3 \times 4 = 4 \times d$$
    
    $$12 = 4d \Rightarrow d = \frac{12}{4} = 3$$
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: કામ 3 દિવસમાં પૂરું થશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ (ચિત્ર અને પ્રમાણ મુજબ - પ્રશ્ન: 1 ખોખામાં 12 બોટલ પ્રમાણે 25 ખોખામાં કુલ બોટલો ભરેલી છે, જો તે જ બોટલો 20 ખોખામાં ગોઠવવી હોય તો દરેક ખોખામાં કેટલી બોટલ આવે?):

  
  
  
  
  
  • 
    

    કુલ બોટલો $= 25 \times 12 = 300$ બોટલ

    
    
  
  
  • 
    

    જો આ 300 બોટલો 20 ખોખામાં સરખી ભાગે ગોઠવવી હોય તો દરેક ખોખામાં આવતી બોટલ ($y$):

    
    $$20 \times y = 300 \Rightarrow y = \frac{300}{20} = 15$$
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: દરેક ખોખામાં 15 બોટલો આવશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ (મશીન/કલાકો અથવા દિવસો મુજબ):

  
  
  
  
  
  • 
    

    વ્યસ્ત પ્રમાણ મુજબ: $63 \times 42 = 54 \times d$

    
    
  
  
  • 
    

    $2646 = 54d \Rightarrow d = \frac{2646}{54} = 49$

    
    
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: કામ 49 દિવસમાં પૂરું થશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ (ઝડપ અને સમયનો દાખલો):

  
  
  
  
  
  • 
    

    ઝડપ $v_1 = 60\text{ કિમી/કલાક}$, સમય $t_1 = 2\text{ કલાક}$ (કુલ અંતર $= 60 \times 2 = 120\text{ કિમી}$)

    
    
  
  
  • 
    

    જો ઝડપ $v_2 = 80\text{ કિમી/કલાક}$ થાય, તો લાગતો સમય ($t_2$):

    
    $$60 \times 2 = 80 \times t_2$$
    
    $$120 = 80t_2 \Rightarrow t_2 = \frac{120}{80} = 1.5\text{ કલાક} \text{ (અથવા 1 કલાક 30 મિનિટ)}$$
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: મુસાફરી પૂરી કરવા માટે 1.5 કલાક (1 કલાક 30 મિનિટ) લાગશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ (વ્યક્તિઓ અને દિવસો/કલાકોનું પ્રમાણ):

  
  
  
  
  
  • 
    

    પ્રમાણ મુજબ વ્યસ્ત સંબંધ હોય: $x_1 y_1 = x_2 y_2$

    
    
  
  
  • 
    

    (i) જો વ્યક્તિઓ વધે તો કામ પૂરું થવાનો સમય ઘટે (વ્યસ્ત પ્રમાણ).

    
    
  
  
  • 
    

    (ii) જો 4 વ્યક્તિઓ દ્વારા કામ કરવાનું હોય તો: $2 \times 3 = 4 \times d \Rightarrow 6 = 4d \Rightarrow d = 1.5\text{ દિવસ}$.

    
    
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ:

  
  
  

  (i) હા, તે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

  
  
  

  (ii) કામ પૂરું કરવા માટે 1.5 દિવસ લાગશે.

  
  

• 
  

  ઉકેલ (શાળાના તાસ અને સમયનો દાખલો):

  
  
  
  
  
  • 
    

    જો શાળાનો કુલ સમય અચળ રહે અને તાસની સંખ્યા વધારવી હોય:

    
    
  
  
  • 
    

    કુલ સમય =45 મિનિટ×8 તાસ=360 મિનિટ (6 કલાક)

    
    
  
  
  • 
    

    જો 9 તાસ ગોઠવવા હોય તો દરેક તાસનો સમય (t):

    
    9×t=360⇒t=9360​=40 મિનિટ
  
  
  
  


• 
  

  જવાબ: દરેક તાસનો સમય 40 મિનિટ થશે.