ધોરણ 8 | విષય: Maths
(a) સરળ વક્ર (Simple Curve)
આકૃતિઓ: (1), (2), (5), (6), (7)
(જે વક્ર એકબીજાને છેદતા ન હોય તેને સરળ વક્ર કહેવાય.)
(b) સરળ બંધ વક્ર (Simple Closed Curve)
આકૃતિઓ: (1), (2), (5), (6), (7)
(જે સરળ વક્ર ચારેય બાજુથી બંધ હોય.)
(c) બહુકોણ (Polygon)
આકૃતિઓ: (1), (2)
(માત્ર રેખાખંડોથી જ બનેલા બંધ વક્રને બહુકોણ કહેવાય.)
(d) બહિર્મુખ બહુકોણ (Convex Polygon)
આકૃતિ: (2)
(જે બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ બહારની તરફ ઊપસેલા હોય અને વિકર્ણો અંદરના ભાગમાં હોય.)
(e) અંતર્મુખ બહુકોણ (Concave Polygon)
આકૃતિ: (1)
(જે બહુકોણનો ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો 180∘ થી મોટો હોય અથવા વિકર્ણનો ભાગ બહારના ભાગમાં હોય.)
વ્યાખ્યા: જે બહુકોણની બધી જ બાજુઓનાં માપ સમાન હોય (સમબાજુ) અને બધા જ ખૂણાઓનાં માપ સમાન હોય (સમકોણ), તેને નિયમિત બહુકોણ કહેવાય છે.
(i) 3 બાજુ હોય:
જવાબ: સમબાજુ ત્રિકોણ (Equilateral Triangle)
(ii) 4 બાજુ હોય:
જવાબ: ચોરસ (Square)
(iii) 6 બાજુ હોય:
જવાબ: નિયમિત ષટ્કોણ (Regular Hexagon)
નિયમ: કોઈપણ બહુકોણના તમામ બહિષ્કોણોના માપનો સરવાળો હંમેશા $360^\circ$ થાય છે.
(a)
આપેલા બહિષ્કોણો: $125^\circ, 125^\circ$ અને $x$
(b)
આકૃતિમાં 5 બહિષ્કોણો છે: $70^\circ$, $90^\circ$ (કાટખૂણો), $60^\circ$, $90^\circ$ (અંદર કાટખૂણો છે માટે બહારનો બહિષ્કોણ પણ $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ થાય) અને $x$.
(a) 9 બાજુ ($n = 9$):
(b) 15 બાજુ ($n = 15$):
ઉકેલ:
જવાબ: તે બહુકોણને 15 બાજુઓ હોય.
ઉકેલ:
$\text{દરેક બહિષ્કોણનું માપ} = 180^\circ - \text{અંતઃકોણનું માપ}$
$\text{દરેક બહિષ્કોણનું માપ} = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$
હવે, બાજુઓની સંખ્યા ($n$):
જવાબ: તે બહુકોણને 24 બાજુઓ હોય.
(a) એવો નિયમિત બહુકોણ શક્ય છે કે જેમાં દરેક બહિષ્કોણનું માપ $22^\circ$ હોય?
જવાબ: ના, શક્ય નથી.
કારણ: $360^\circ$ ને $22^\circ$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાતા નથી (એટલે કે $\frac{360}{22} = \frac{180}{11}$, જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી).
(b) શું આ માપ નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું હોઈ શકે? કેમ?
જવાબ: ના, શક્ય નથી.
કારણ: જો અંતઃકોણ $22^\circ$ હોય, તો તેનો બહિષ્કોણ $= 180^\circ - 22^\circ = 158^\circ$ થાય. પરંતુ $360^\circ$ ને $158^\circ$ વડે પણ નિઃશેષ ભાગી શકાતા નથી.
(a) નિયમિત બહુકોણમાં અંતઃકોણનું ઓછામાં ઓછું માપ કેટલું હોઈ શકે? કેમ?
જવાબ: ઓછામાં ઓછું માપ $60^\circ$ હોઈ શકે.
કારણ: સૌથી ઓછી બાજુવાળો નિયમિત બહુકોણ એ સમબાજુ ત્રિકોણ (3 બાજુ) છે, અને તેના દરેક ખૂણાનું (અંતઃકોણનું) માપ $60^\circ$ હોય છે.
(b) નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણનું વધુમાં વધુ માપ કેટલું હોઈ શકે?
જવાબ: વધુમાં વધુ માપ $120^\circ$ હોઈ શકે.
કારણ: ન્યૂનતમ અંતઃકોણ $60^\circ$ હોવાથી, મહત્તમ બહિષ્કોણ $= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ થાય.
$AD = BC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.)
$\angle DCB = \angle DAB$ (સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.)
$OC = OA$ (વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.)
$m\angle DAB + m\angle CDA = 180^\circ$ (પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે.)
(i)
$y = 100^\circ$ (સામસામેના ખૂણા)
$x + 100^\circ = 180^\circ \implies x = 80^\circ$ (પાસપાસેના ખૂણા પૂરક)
$z = x = 80^\circ$ (સામસામેના ખૂણા)
જવાબ: $x = 80^\circ, y = 100^\circ, z = 80^\circ$
(ii)
$x + 50^\circ = 180^\circ \implies x = 130^\circ$ (પાસપાસેના ખૂણા)
$y = x = 130^\circ$ (સામસામેના ખૂણા)
$z = x = 130^\circ$ (અનુકોણ)
જવાબ: $x = 130^\circ, y = 130^\circ, z = 130^\circ$
(iii)
$x = 90^\circ$ (શિરોબિંદુસંમુખ ખૂણા)
ત્રિકોણમાં: $x + y + 30^\circ = 180^\circ \implies 90^\circ + y + 30^\circ = 180^\circ \implies y = 60^\circ$
$z = y = 60^\circ$ (યુગ્મકોણ)
જવાબ: $x = 90^\circ, y = 60^\circ, z = 60^\circ$
(iv)
$y = 80^\circ$ (સામસામેના ખૂણા)
$x + 80^\circ = 180^\circ \implies x = 100^\circ$ (પાસપાસેના ખૂણા)
$z = 80^\circ$ (અનુકોણ)
જવાબ: $x = 100^\circ, y = 80^\circ, z = 80^\circ$
(v)
$y = 112^\circ$ (સામસામેના ખૂણા)
ત્રિકોણમાં: $x + y + 40^\circ = 180^\circ \implies x + 112^\circ + 40^\circ = 180^\circ \implies x = 28^\circ$
$z = x = 28^\circ$ (યુગ્મકોણ)
જવાબ: $x = 28^\circ, y = 112^\circ, z = 28^\circ$
(i) $\angle D + \angle B = 180^\circ$?
જવાબ: થઈ શકે, પરંતુ હંમેશા જરૂરી નથી (જો તે લંબચોરસ કે ચોરસ હોય તો જ શક્ય બને).
(ii) $AB = DC = 8\text{ cm}$, $AD = 4\text{ cm}$ અને $BC = 4.4\text{ cm}$?
જવાબ: ના.
કારણ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ, પરંતુ અહીં $AD \neq BC$ છે.
(iii) $\angle A = 70^\circ$ અને $\angle C = 65^\circ$?
જવાબ: ના.
કારણ: સામસામેના ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ ($\angle A = \angle C$), પણ અહીં $\angle A \neq \angle C$ છે.
ઉકેલ:
ધારો કે પાસપાસેના ખૂણા $3k$ અને $2k$ છે.
પ્રથમ ખૂણો $= 3 \times 36^\circ = 108^\circ$
બીજો ખૂણો $= 2 \times 36^\circ = 72^\circ$
જવાબ: ચારેય ખૂણાઓનાં માપ $108^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 72^\circ$ થાય.
ઉકેલ:
ધારો કે બંને ખૂણા $x$ છે.
જવાબ: ચારેય ખૂણાઓ કાટખૂણા એટલે કે $90^\circ$ ના હશે.
બહારનો ખૂણો $70^\circ$ છે $\implies \angle HOP = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$
$x = \angle HOP = 110^\circ$ (સામસામેના ખૂણા)
$y = 40^\circ$ (યુગ્મકોણ, $EP \parallel HO$)
$z + 40^\circ = 70^\circ \implies z = 30^\circ$ (અનુકોણ)
જવાબ: $x = 110^\circ, y = 40^\circ, z = 30^\circ$
(i) GUNS:
3x=18⟹x=6
3y−1=26⟹3y=27⟹y=9
(ii) RUNS:
y+7=20⟹y=13
x+y=16⟹x+13=16⟹x=3
RISK માં: ∠K=120∘⟹∠S=180∘−120∘=60∘
CLUE માં: ∠E=∠L=70∘
નાનો ત્રિકોણ બને છે જેમાં ખૂણા x,60∘,70∘ છે:
∠M+∠L=100∘+80∘=180∘ (અંતઃકોણનો સરવાળો 180∘ છે).
માટે, બાજુ NM∥KL છે.
જવાબ: સમાંતર બાજુઓની એક જોડ હોવાથી તે સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
$AB \parallel DC \implies m\angle B + m\angle C = 180^\circ$
m∠R=90∘ (આકૃતિમાં કાટખૂણાની નિશાની છે).
m∠S+m∠R=180∘⟹m∠S+90∘=180∘⟹m∠S=90∘
m∠P+m∠Q=180∘⟹m∠P+130∘=180∘⟹m∠P=50∘
(a) દરેક લંબચોરસ ચોરસ છે. $\rightarrow$ ખોટું
(લંબચોરસની ચારેય બાજુઓ સમાન હોતી નથી.)
(b) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $\rightarrow$ સાચું
(તેની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે.)
(c) દરેક ચોરસ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમજ લંબચોરસ પણ છે. $\rightarrow$ સાચું
(ચોરસમાં સમબાજુ અને લંબચોરસ બંનેના ગુણધર્મો હોય છે.)
(d) દરેક ચોરસ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી. $\rightarrow$ ખોટું
(દરેક ચોરસ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.)
(e) દરેક પતંગાકાર ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $\rightarrow$ ખોટું
(પતંગાકાર ચતુષ્કોણમાં બધી બાજુઓ સમાન હોતી નથી.)
(f) દરેક સમબાજુ ચતુષ્કોણ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે. $\rightarrow$ સાચું
(પાસપાસેની બાજુઓની જોડ સમાન હોવાના ગુણધર્મનું પાલન થાય છે.)
(g) દરેક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. $\rightarrow$ સાચું
(સમાંતર બાજુઓની ઓછામાં ઓછી એક જોડ ધરાવે છે.)
(h) દરેક ચોરસ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. $\rightarrow$ સાચું
(ચોરસમાં પણ સમાંતર બાજુઓની જોડીઓ હોય છે.)
a) ચારેય બાજુની લંબાઈ સમાન હોય:
જવાબ: ચોરસ અને સમબાજુ ચતુષ્કોણ
(b) ચાર કાટખૂણા હોય:
જવાબ: ચોરસ અને લંબચોરસ
(i) ચતુષ્કોણ છે:
કારણ કે તેને 4 બાજુઓ હોય છે.
(ii) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે:
કારણ કે તેની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે.
(iii) સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે:
કારણ કે તેની ચારેય બાજુઓનાં માપ સમાન હોય છે.
(iv) લંબચોરસ છે:
કારણ કે તેના ચારેય ખૂણા કાટખૂણા ($90^\circ$) હોય છે.
(i) પરસ્પર દુભાગે:
જવાબ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ, ચોરસ, લંબચોરસ, અને સમબાજુ ચતુષ્કોણ.
(ii) પરસ્પરના લંબદ્વિભાજક હોય (90∘ ના ખૂણે દુભાગે):
જવાબ: ચોરસ અને સમબાજુ ચતુષ્કોણ.
(iii) સમાન હોય (લંબાઈ સરખી હોય):
જવાબ: ચોરસ અને લંબચોરસ.
જવાબ:
લંબચોરસના બધા જ શિરોબિંદુઓ બહારની તરફ ઊપસેલા હોય છે અને તેના દરેક ખૂણાનું માપ 180∘ થી ઓછું (90∘) હોય છે.
તેના બંને વિકર્ણો પૂર્ણપણે લંબચોરસના અંદરના ભાગમાં જ આવેલા હોય છે, તેથી તે બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે.
ઉકેલ:
બિંદુ D એ રીતે ઉમેરો જેથી ABCD એક લંબચોરસ બને.
લંબચોરસના વિકર્ણો સમાન લંબાઈના હોય છે (AC=BD) અને તેઓ પરસ્પર દુભાગે છે (O એ વિકર્ણોનું છેદનબિંદુ છે).
આથી, OA=OC=OB=OD થાય.
તેથી, બિંદુ O એ ત્રણેય શિરોબિંદુઓ A,B અને C થી સમાન અંતરે આવેલું છે.