ધોરણ 8 | విષય: Maths
(i) જો 20 યુવાનો શાસ્ત્રીય સંગીત પસંદ કરે છે તો, કેટલા યુવાનોની મોજણી કરી હતી?
ઉકેલ:
શાસ્ત્રીય સંગીત પસંદ કરનાર યુવાનોનું ટકાવારી માપ $= 10\%$ છે.
ધારો કે કુલ યુવાનોની સંખ્યા $= x$
$$x \text{ ના } 10\% = 20$$
$$\frac{10}{100} \times x = 20 \implies x = \frac{20 \times 100}{10} = 200$$
જવાબ: કુલ 200 યુવાનોની મોજણી કરી હતી.
(ii) કયા પ્રકારનું સંગીત મહત્તમ યુવાનો પસંદ કરે છે?
જવાબ: હળવું સંગીત ($40\%$) સૌથી વધુ યુવાનો પસંદ કરે છે.
(iii) જો કોઈ કેસેટ કંપની આ સંગીતની 1000 CD તૈયાર કરે તો દરેક પ્રકારનાં સંગીત માટે કેટલી CD તૈયાર થાય?
શાસ્ત્રીય સંગીત ($10\%$): $\frac{10}{100} \times 1000 = \mathbf{100 \text{ CD}}$
અર્ધ શાસ્ત્રીય સંગીત ($20\%$): $\frac{20}{100} \times 1000 = \mathbf{200 \text{ CD}}$
લોક સંગીત ($30\%$): $\frac{30}{100} \times 1000 = \mathbf{300 \text{ CD}}$
હળવું સંગીત ($40\%$): $\frac{40}{100} \times 1000 = \mathbf{400 \text{ CD}}$
| ઋતુ | મનની સંખ્યા |
| ઉનાળો | 90 |
| ચોમાસું | 120 |
| શિયાળો | 150 |
| કુલ | 360 |
(i) કઈ ઋતુને સૌથી વધુ મત મળ્યા?
જવાબ: શિયાળો (150 મત)
(ii) દરેક ઋતુના વૃત્તાંશ માટે તેના કેન્દ્ર પાસેના ખૂણાનું માપ શોધો.
સૂત્ર: $\text{કેન્દ્રીય ખૂણો} = \frac{\text{મતની સંખ્યા}}{\text{કુલ મત (360)}} \times 360^\circ$
ઉનાળો: $\frac{90}{360} \times 360^\circ = \mathbf{90^\circ}$
ચોમાસું: $\frac{120}{360} \times 360^\circ = \mathbf{120^\circ}$
શિયાળો: $\frac{150}{360} \times 360^\circ = \mathbf{150^\circ}$
(iii) ઉપરોક્ત માહિતી દર્શાવતો પાઈ-ચાર્ટ તૈયાર કરો.
(નોંધ: વર્તુળ દોરીને તેમાં કોણમાપકની મદદથી $90^\circ, 120^\circ,$ અને $150^\circ$ ના ખૂણા દર્શાવવા.
કુલ લોકોની સંખ્યા $= 36$
વાદળી (18): $\frac{18}{36} \times 360^\circ = \mathbf{180^\circ}$
લીલો (9): $\frac{9}{36} \times 360^\circ = \mathbf{90^\circ}$
લાલ (6): $\frac{6}{36} \times 360^\circ = \mathbf{60^\circ}$
પીળો (3): $\frac{3}{36} \times 360^\circ = \mathbf{30^\circ}$
નોંધ: $360^\circ$ કેન્દ્રીય ખૂણો $= 540$ ગુણ થાય. તેથી $\mathbf{1^\circ = \frac{540}{360} = 1.5 \text{ ગુણ}}$.
(i) કયા વિષયમાં વિદ્યાર્થીઓએ 105 ગુણ મેળવ્યા છે?
$\text{કેન્દ્રીય ખૂણો} = \frac{105}{540} \times 360^\circ = 70^\circ$
$70^\circ$ નો ખૂણો હિન્દી વિષયનો છે.
જવાબ: હિન્દી વિષયમાં.
(ii) હિન્દી વિષય કરતાં ગણિતશાસ્ત્રમાં વિદ્યાર્થીઓએ કેટલા વધારે ગુણ મેળવ્યા છે?
ગણિતશાસ્ત્રના ગુણ $= 90^\circ \times 1.5 = 135 \text{ ગુણ}$
હિન્દીના ગુણ $= 70^\circ \times 1.5 = 105 \text{ ગુણ}$
તફાવત $= 135 - 105 = 30$
જવાબ: ગણિતશાસ્ત્રમાં 30 ગુણ વધારે મેળવ્યા.
(iii) ચકાસો કે શું વિજ્ઞાન અને હિન્દી વિષયમાં મેળવેલ ગુણના સરવાળા કરતાં સામાજિક વિજ્ઞાન અને ગણિતશાસ્ત્રમાં મેળવેલ ગુણ વધારે છે?
વિજ્ઞાન + હિન્દી ના ખૂણાનો સરવાળો $= 80^\circ + 70^\circ = \mathbf{150^\circ}$
સામાજિક વિજ્ઞાન + ગણિતશાસ્ત્ર ના ખૂણાનો સરવાળો $= 65^\circ + 90^\circ = \mathbf{155^\circ}$
જવાબ: હા, સામાજિક વિજ્ઞાન અને ગણિતશાસ્ત્રના ગુણનો સરવાળો વધારે છે ($155^\circ > 150^\circ$)
સૂત્ર: $\text{કેન્દ્રીય ખૂણો} = \frac{\text{વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}}{72} \times 360^\circ$
(અહીં $\frac{360}{72} = 5$ હોવાથી, દરેક સંખ્યાને $5$ વડે ગુણવાના રહેશે.)
ગુજરાતી (40): $40 \times 5 = \mathbf{200^\circ}$
અંગ્રેજી (12): $12 \times 5 = \mathbf{60^\circ}$
ઉર્દૂ (9): $9 \times 5 = \mathbf{45^\circ}$
હિન્દી (7): $7 \times 5 = \mathbf{35^\circ}$
સિંધી (4): $4 \times 5 = \mathbf{20^\circ}$
(a) ફરતું ચક્ર:
આ ચક્રમાં કુલ 5 વૃત્તાંશ (ખાના) છે, જેમાં અક્ષરો લખેલા છે.
શક્ય પરિણામો: A, B, C, D (અહીં 'A' બે વખત પુનરાવર્તન પામે છે, તેથી કુલ શક્યતાઓ A, A, B, C, D છે).
(b) એક સાથે બે સિક્કા ઉછાળવા:
જ્યારે બે સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે ત્યારે મળતા શક્ય પરિણામો:
શક્ય પરિણામો: (H, H), (H, T), (T, H), (T, T) (જ્યાં H = છાપ અને T = કાંટો)
પાસા પર કુલ 6 અંકો હોય છે: 1, 2, 3, 4, 5, 6
(i)
(a) અવિભાજ્ય સંખ્યા: 2, 3, 5
(b) અવિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યા: 1, 4, 6 (સંખ્યા 1 એ વિભાજ્ય કે અવિભાજ્ય બંનેમાંથી એક પણ નથી)
(ii)
(a) 5 કરતાં મોટી સંખ્યા: 6
(b) 5 કરતાં મોટી ન હોય તેવી સંખ્યા: 1, 2, 3, 4, 5
(a) પ્રશ્ન 1 (a)ની આકૃતિમાં દર્શક કાંટો વૃત્તાંશ D પર સ્થિર થાય.
કુલ શક્ય પરિણામો ($n$) = 5 (A, A, B, C, D)
अनुकूल પરિણામો (D માટે) = 1
સંભાવના: $\frac{1}{5}$
(b) સારી રીતે ચીપેલાં 52 પાનાની જોડમાંથી એક પાનું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરીએ અને તે એક્કો હોય.
કુલ પરિણામો = 52
એક્કાઓની કુલ સંખ્યા = 4
સંભાવના: $\frac{4}{52} = \mathbf{\frac{1}{13}}$
(c) લાલ સફરજન મળવાની શક્યતા. (આકૃતિ મુજબ)
આકૃતિમાં કુલ સફરજનની સંખ્યા:
R (લાલ) = 4
G (લીલા) = 3
કુલ સફરજન = $4 + 3 = 7$
લાલ સફરજનની સંખ્યા = 4
સંભાવના: $\mathbf{\frac{4}{7}}$
કુલ પરિણામો ($n$) = 10 (1 થી 10 અંકો)
(i) ચબરખી પરની સંખ્યા 6 હોય.
અનુકૂળ પરિણામ = 1 (માત્ર 6)
સંભાવના: $\mathbf{\frac{1}{10}}$
(ii) ચબરખી પર લખાયેલ સંખ્યા 6 કરતાં નાની હોય.
અનુકૂળ પરિણામો (1, 2, 3, 4, 5) = 5
સંભાવના: $\frac{5}{10} = \mathbf{\frac{1}{2}}$
(iii) ચબરખી પર લખાયેલ સંખ્યા 6 કરતાં મોટી હોય.
અનુકૂળ પરિણામો (7, 8, 9, 10) = 4
સંભાવના: $\frac{4}{10} = \mathbf{\frac{2}{5}}$
(iv) ચબરખી પર લખાયેલ સંખ્યા એક અંકવાળી હોય.
અનુકૂળ પરિણામો (1 થી 9 સુધીની સંખ્યાઓ) = 9
સંભાવના: $\mathbf{\frac{9}{10}}$
કુલ વૃત્તાંશો = $3 + 1 + 1 = 5$
(૧) લીલા રંગનું વૃત્તાંશ મળવાની સંભાવના કેટલી?
લીલા રંગના વૃત્તાંશ = 3
સંભાવના: $\mathbf{\frac{3}{5}}$
(૨) વાદળી રંગનું ન હોય, તેવાં વૃત્તાંશ મળવાની સંભાવના કેટલી?
વાદળી રંગ સિવાયના વૃત્તાંશ (લીલા 3 + લાલ 1) = $3 + 1 = 4$
સંભાવના: $\mathbf{\frac{4}{5}}$
(પાસાના કુલ પરિણામો = 6)
(i)
(a) અવિભાજ્ય સંખ્યા (2, 3, 5) ની સંભાવના: $\frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$
(b) અવિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યા (1, 4, 6) ની સંભાવના: $\mathbf{\frac{3}{6} = \frac{1}{2}}$
(ii)
(a) 5 કરતાં મોટી સંખ્યા (6) ની સંભાવના: $\mathbf{\frac{1}{6}}$
(b) 5 કરતાં મોટી ન હોય તેવી સંખ્યા (1, 2, 3, 4, 5) ની સંભાવના: $\mathbf{\frac{5}{6}}$