chapter 5
ધોરણ 8 | విષય: Maths
નિયમ: કોઈપણ સંખ્યાના વર્ગનો એકમનો અંક શોધવા માટે માત્ર આપેલ સંખ્યાના એકમનો અંક લઈને તેનો વર્ગ કરવો અને તેના પરિણામનો એકમનો અંક જોવો.
(i) 81: $1^2 = 1 \rightarrow$ એકમનો અંક 1
(ii) 272: $2^2 = 4 \rightarrow$ એકમનો અંક 4
(iii) 799: $9^2 = 81 \rightarrow$ એકમનો અંક 1
(iv) 3853: $3^2 = 9 \rightarrow$ એકમનો અંક 9
(v) 1234: $4^2 = 16 \rightarrow$ એકમનો અંક 6
(vi) 26387: $7^2 = 49 \rightarrow$ એકમનો અંક 9
(vii) 52698: $8^2 = 64 \rightarrow$ એકમનો અંક 4
(viii) 99880: $0^2 = 0 \rightarrow$ એકમનો અંક 0
(ix) 12796: $6^2 = 36 \rightarrow$ એકમનો અંક 6
(x) 55555: $5^2 = 25 \rightarrow$ એકમનો અંક 5
નિયમ: જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 2, 3, 7, 8 હોય અથવા જેના અંતે એકી સંખ્યામાં શૂન્ય (0) હોય, તે ક્યારેય પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોતી નથી.
(i) 1057: એકમનો અંક 7 છે, તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(ii) 23453: એકમનો અંક 3 છે, તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(iii) 7928: એકમનો અંક 8 છે, તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(iv) 222222: એકમનો અંક 2 છે, તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(v) 64000: શૂન્યની સંખ્યા ત્રણ (એકી) છે, તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(vi) 89722: એકમનો અંક 2 છે, તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(vii) 222000: શૂન્યની સંખ્યા ત્રણ (એકી) છે, તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
(viii) 505050: અંતિમ અંક શૂન્ય એકી સંખ્યામાં છે (અને વચ્ચે પણ અંક છે), તેથી તે પૂર્ણવર્ગ નથી.
નિયમ: એકી સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા એકી સંખ્યા જ મળે અને બેકી સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા બેકી સંખ્યા મળે.
(i) 43: એકી સંખ્યા છે $\rightarrow$ એકી સંખ્યા મળશે.
(ii) 2826: બેકી સંખ્યા છે $\rightarrow$ બેકી સંખ્યા મળશે.
(iii) 7779: એકી સંખ્યા છે $\rightarrow$ એકી સંખ્યા મળશે.
(iv) 82004: બેકી સંખ્યા છે $\rightarrow$ બેકી સંખ્યા મળશે.
જવાબ: (i) 43 અને (iii) 7779 નો વર્ગ એકી સંખ્યા હશે.
$11^2 = 121$
$101^2 = 10201$
$1001^2 = 1002001$
$100001^2 = 1\mathbf{0000}2\mathbf{0000}1$
$10000001^2 = \mathbf{100000020000001}$
$11^2 = 121$
$101^2 = 10201$
$10101^2 = 102030201$
$1010101^2 = \mathbf{1020304030201}$
$\mathbf{101010101}^2 = 10203040504030201$
મહાવરા મુજબ: પહેલી અને બીજી સંખ્યાના ગુણાકાર જેટલી ત્રીજી સંખ્યા હોય છે અને ચોથી સંખ્યા એ ત્રીજી સંખ્યામાં 1 ઉમેરવાથી મળે છે.
$1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2$
$2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2$
$3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2$
$4^2 + 5^2 + \mathbf{20}^2 = 21^2$
$5^2 + \mathbf{6}^2 + 30^2 = 31^2$
$6^2 + 7^2 + \mathbf{42}^2 = \mathbf{43}^2$
નિયમ: પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ થાય છે.
(i) $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ (કુલ 5 એકી સંખ્યાઓ છે)
સરવાળો $= 5^2 = \mathbf{25}$
(ii) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19$ (કુલ 10 એકી સંખ્યાઓ છે)
સરવાળો $= 10^2 = \mathbf{100}$
(iii) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23$ (કુલ 12 એકી સંખ્યાઓ છે)
સરવાળો $= 12^2 = \mathbf{144}$
(i) 49ને 7 એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો:
$49 = 7^2$, તેથી પ્રથમ 7 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો:
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$
(ii) 121ને 11 એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો:
$121 = 11^2$, તેથી પ્રથમ 11 એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો:
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21$
નિયમ: કોઈપણ બે ક્રમિક સંખ્યાઓ $n$ અને $(n+1)$ ના વર્ગ વચ્ચે $\mathbf{2n}$ પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવી સંખ્યાઓ આવે.
(i) 12 અને 13:
અહીં $n = 12$
સંખ્યાઓ $= 2 \times 12 = \mathbf{24}$
(ii) 25 અને 26:
અહીં $n = 25$
સંખ્યાઓ $= 2 \times 25 = \mathbf{50}$
(iii) 99 અને 100:
અહીં $n = 99$
સંખ્યાઓ $= 2 \times 99 = \mathbf{198}$
(i) 32
$32^2 = 32 \times 32 = \mathbf{1024}$
(ii) 35
$35^2 = 35 \times 35 = \mathbf{1225}$
(ટીપ: જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 હોય તેના વર્ગની રીત મુજબ: $3 \times 4 = 12$ અને પાછળ $25$ મૂકતા $1225$ મળે).
(iii) 86
$86^2 = 86 \times 86 = \mathbf{7396}$
(iv) 93
$93^2 = 93 \times 93 = \mathbf{8649}$
(v) 71
$71^2 = 71 \times 71 = \mathbf{5041}$
(vi) 46
$46^2 = 46 \times 46 = \mathbf{2116}$
માહિતી: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m$ ($m > 1$) માટે, પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીના સભ્યો $2m$, $m^2 - 1$, અને $m^2 + 1$ હોય છે.
(i) 6
ધારો કે $2m = 6 \implies m = \frac{6}{2} = 3$
પહેલી સંખ્યા $= 2m = 6$
બીજી સંખ્યા $= m^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
ત્રીજી સંખ્યા $= m^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$
જવાબ: પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી $(6, 8, 10)$ છે.
(ii) 14
ધારો કે $2m = 14 \implies m = \frac{14}{2} = 7$
પહેલી સંખ્યા $= 2m = 14$
બીજી સંખ્યા $= m^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$
ત્રીજી સંખ્યા $= m^2 + 1 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$
જવાબ: પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી $(14, 48, 50)$ છે.
(iii) 16
ધારો કે $2m = 16 \implies m = \frac{16}{2} = 8$
પહેલી સંખ્યા $= 2m = 16$
બીજી સંખ્યા $= m^2 - 1 = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$
ત્રીજી સંખ્યા $= m^2 + 1 = 8^2 + 1 = 64 + 1 = 65$
જવાબ: પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી $(16, 63, 65)$ છે.
(iv) 18
ધારો કે $2m = 18 \implies m = \frac{18}{2} = 9$
પહેલી સંખ્યા $= 2m = 18$
બીજી સંખ્યા $= m^2 - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$
ત્રીજી સંખ્યા $= m^2 + 1 = 9^2 + 1 = 81 + 1 = 82$
જવાબ: પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી $(18, 80, 82)$ છે.
નિયમ:
જો સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 હોય, તો તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હોઈ શકે.
જો સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 હોય, તો તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 4 અથવા 6 હોઈ શકે.
જો સંખ્યાનો એકમનો અંક 5 હોય, તો તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 5 હોય.
જો સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 હોય, તો તેના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 0 હોય.
(i) 9801
એકમનો અંક 1 છે, તેથી વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હશે.
(ii) 99856
એકમનો અંક 6 છે, તેથી વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 4 અથવા 6 હશે.
(iii) 998001
એકમનો અંક 1 છે, તેથી વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હશે.
(iv) 657666025
એકમનો અંક 5 છે, તેથી વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 5 હશે.
નિયમ: જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 2, 3, 7 કે 8 હોય, તે ક્યારેય પૂર્ણવર્ગ હોતી નથી.
(i) 153 (એકમનો અંક 3 છે) → પૂર્ણવર્ગ નથી
(ii) 257 (એકમનો અંક 7 છે) → પૂર્ણવર્ગ નથી
(iii) 408 (એકમનો અંક 8 છે) → પૂર્ણવર્ગ નથી
(iv) 441 (એકમનો અંક 1 છે) → આ પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે (212=441).
રીત: આપેલી સંખ્યામાંથી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ (1, 3, 5, 7, ...) બાદ કરતાં જવું. જેટલી વાર બાદબાકી થાય તેટલું વર્ગમૂળ મળે.
100 નું વર્ગમૂળ:
100−1=99
99−3=96
96−5=91
91−7=84
84−9=75
75−11=64
64−13=51
51−15=36
36−17=19
19−19=0
(કુલ 10 વખત બાદબાકી થઈ, તેથી 100 નું વર્ગમૂળ 10 છે.)
169 નું વર્ગમૂળ:
169−1=168
168−3=165
165−5=160
160−7=153
153−9=144
144−11=133
133−13=120
120−15=105
105−17=88
88−19=69
69−21=48
48−23=25
25−25=0
(કુલ 13 વખત બાદબાકી થઈ, તેથી 169 નું વર્ગમૂળ 13 છે.)
(i) 729 =3×3×3×3×3×3=32×32×32⟹729![](data:image/svg+xml;utf8,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="1.08em" viewBox="0 0 400000 1080" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M95,702%0Ac-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14%0Ac0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54%0Ac44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10%0As173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429%0Ac69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221%0Al0 -0%0Ac5.3,-9.3,12,-14,20,-14%0AH400000v40H845.2724%0As-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7%0Ac-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z%0AM834 80h400000v40h-400000z"></path></svg>)
=3×3×3=27
(ii) 400 =2×2×2×2×5×5⟹400=2×2×5=20
(iii) 1764 =2×2×3×3×7×7⟹1764=2×3×7=42
(iv) 4096 =212⟹4096=26=64
(v) 7744 =2×2×2×2×2×2×11×11⟹7744=23×11=88
(vi) 9604 =2×2×7×7×7×7⟹9604=2×7×7=98
(vii) 5929 =7×7×11×11⟹5929=7×11=77
(viii) 9216 =210×32⟹9216=25×3=32×3=96
(ix) 529 =23×23⟹529=23
(x) 8100 =2×2×3×3×3×3×5×5⟹8100=2×32×5=90
(i) 252:
અવયવો: $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$ (અહીં 7 ની જોડ બનતી નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 7 વડે ગુણવું પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા: $252 \times 7 = 1764$
વર્ગમૂળ: $\sqrt{1764} = \mathbf{42}$
(ii) 180:
અવયવો: $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$ (5 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 5
નવી સંખ્યા: $180 \times 5 = 900$, વર્ગમૂળ: $\mathbf{30}$
(iii) 1008:
અવયવો: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$ (7 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 7
નવી સંખ્યા: $1008 \times 7 = 7056$, વર્ગમૂળ: $\mathbf{84}$
(iv) 2028:
અવયવો: $2 \times 2 \times 3 \times 13 \times 13$ (3 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 3
નવી સંખ્યા: $2028 \times 3 = 6084$, વર્ગમૂળ: $\mathbf{78}$
(v) 1458:
અવયવો: $2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$ (2 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 2
નવી સંખ્યા: $1458 \times 2 = 2916$, વર્ગમૂળ: $\mathbf{54}$
(vi) 768:
અવયવો: $2^8 \times 3$ (3 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 3
નવી સંખ્યા: $768 \times 3 = 2304$, વર્ગમૂળ: $\mathbf{48}$
(i) 252:
અવયવો: 2×2×3×3×7 (7 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 7 વડે ભાગવું પડે.
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા: 252÷7=36
વર્ગમૂળ: 36
=6
(ii) 2925:
અવયવો: 3×3×5×5×13 (13 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 13
નવી સંખ્યા: 2925÷13=225, વર્ગમૂળ: 15
(iii) 396:
અવયવો: 2×2×3×3×11 (11 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 11
નવી સંખ્યા: 396÷11=36, વર્ગમૂળ: 6
(iv) 2645:
અવયવો: 5×23×23 (5 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 5
નવી સંખ્યા: 2645÷5=529, વર્ગમૂળ: 23
(v) 2800:
અવયવો: 2×2×2×2×5×5×7 (7 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 7
નવી સંખ્યા: 2800÷7=400, વર્ગમૂળ: 20
(vi) 1620:
અવયવો: 2×2×3×3×3×3×5 (5 ની જોડ નથી).
નાનામાં નાની સંખ્યા: 5
નવી સંખ્યા: 1620÷5=324, વર્ગમૂળ: 18
ઉકેલ:
ધારો કે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= x$
દરેક વિદ્યાર્થીએ આપેલો ફાળો $= ₹ x$
કુલ ફાળો $= x \times x = x^2$
$$x^2 = 2401$$
$$x = \sqrt{2401} = \mathbf{49}$$
જવાબ: વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા 49 છે.
ઉકેલ:
ધારો કે હારની સંખ્યા $= x$, અને દરેક હારમાં છોડની સંખ્યા $= x$
કુલ છોડ $= x \times x = x^2 = 2025$
$$x = \sqrt{2025} = \mathbf{45}$$
જવાબ: પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા અને કુલ હારની સંખ્યા 45 છે.
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ 4, 9 અને 10 નો લ.સા.અ. (LCM) શોધીએ:
લ.સા.અ. =2×2×3×3×5=180
અવયવોમાં 5 ની જોડ નથી, તેથી પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે 180 ને 5 વડે ગુણવા પડે.
180×5=900
જવાબ: નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા 900 છે.
ઉકેલ:
8, 15 અને 20 નો લ.સા.અ.:
લ.સા.અ. $= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120$
અવયવો: $2 \times 2 \times (2) \times 3 \times 5$ (અહીં 2, 3 અને 5 ની જોડ નથી, તેથી $2 \times 3 \times 5 = 30$ વડે ગુણવા પડે).
$$120 \times 30 = \mathbf{3600}$$
જવાબ: નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા 3600 છે.
(i) 2304
$\sqrt{2304} = \mathbf{48}$
(ii) 4489
$\sqrt{4489} = \mathbf{67}$
(iii) 3481
$\sqrt{3481} = \mathbf{59}$
(iv) 529
$\sqrt{529} = \mathbf{23}$
(v) 3249
$\sqrt{3249} = \mathbf{57}$
(vi) 1369
$\sqrt{1369} = \mathbf{37}$
(vii) 5776
$\sqrt{5776} = \mathbf{76}$
(viii) 7921
$\sqrt{7921} = \mathbf{89}$
(ix) 576
$\sqrt{576} = \mathbf{24}$
(x) 1024
$\sqrt{1024} = \mathbf{32}$
(xi) 3136
$\sqrt{3136} = \mathbf{56}$
(xii) 900
$\sqrt{900} = \mathbf{30}$
નિયમ: જો સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા $n$ હોય, તો:
જો $n$ એકી હોય, તો વર્ગમૂળમાં અંકો $\frac{n+1}{2}$ થાય.
જો $n$ બેકી હોય, તો વર્ગમૂળમાં અંકો $\frac{n}{2}$ થાય.
(i) 64
અંકોની સંખ્યા $n = 2$ (બેકી) $\rightarrow$ વર્ગમૂળમાં અંકો $= \frac{2}{2} = \mathbf{1}$
(ii) 144
અંકોની સંખ્યા $n = 3$ (એકી) $\rightarrow$ વર્ગમૂળમાં અંકો $= \frac{3+1}{2} = \mathbf{2}$
(iii) 4489
અંકોની સંખ્યા $n = 4$ (બેકી) $\rightarrow$ વર્ગમૂળમાં અંકો $= \frac{4}{2} = \mathbf{2}$
(iv) 27225
અંકોની સંખ્યા $n = 5$ (એકી) $\rightarrow$ વર્ગમૂળમાં અંકો $= \frac{5+1}{2} = \mathbf{3}$
(v) 390625
અંકોની સંખ્યા $n = 6$ (બેકી) $\rightarrow$ વર્ગમૂળમાં અંકો $= \frac{6}{2} = \mathbf{3}$
(i) 2.56
$\sqrt{2.56} = \mathbf{1.6}$
(ii) 7.29
$\sqrt{7.29} = \mathbf{2.7}$
(iii) 51.84
$\sqrt{51.84} = \mathbf{7.2}$
(iv) 42.25
$\sqrt{42.25} = \mathbf{6.5}$
(v) 31.36
$\sqrt{31.36} = \mathbf{5.6}$
(i) 402
ભાગાકારની રીતે 402 નું વર્ગમૂળ શોધતી વખતે છેલ્લે શેષ 2 વધે છે.
બાદ કરવાની નાનામાં નાની સંખ્યા = 2
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $= 402 - 2 = 400$
વર્ગમૂળ $= \sqrt{400} = \mathbf{20}$
(ii) 1989
ભાગાકારની રીતે ગણતરી કરતાં શેષ 53 વધે છે.
બાદ કરવાની સંખ્યા = 53
નવી સંખ્યા $= 1989 - 53 = 1936$
વર્ગમૂળ $=\mathbf{44}$
(iii) 3250
શેષ 1 વધે છે.
બાદ કરવાની સંખ્યા = 1
નવી સંખ્યા $= 3250 - 1 = 3249$
વર્ગમૂળ $=\mathbf{57}$
(iv) 825
શેષ 41 વધે છે.
બાદ કરવાની સંખ્યા = 41
નવી સંખ્યા $= 825 - 41 = 784$
વર્ગમૂળ $=\mathbf{28}$
(v) 4000
શેષ 31 વધે છે.
બાદ કરવાની સંખ્યા = 31
નવી સંખ્યા $= 4000 - 31 = 3969$
વર્ગમૂળ $=\mathbf{63}$
(i) 525
અહીં $22^2 = 484$ અને $23^2 = 529$ થાય.
ઉમેરવાની સંખ્યા $= 529 - 525 = \mathbf{4}$
નવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $= 529$
વર્ગમૂળ $=\mathbf{23}$
(ii) 1750
$41^2 = 1681$, $42^2 = 1764$
ઉમેરવાની સંખ્યા $= 1764 - 1750 = \mathbf{14}$
નવી સંખ્યા $= 1764$, વર્ગમૂળ $=\mathbf{42}$
(iii) 252
$15^2 = 225$, $16^2 = 256$
ઉમેરવાની સંખ્યા $= 256 - 252 = \mathbf{4}$
નવી સંખ્યા $= 256$, વર્ગમૂળ $=\mathbf{16}$
(iv) 1825
$42^2 = 1764$, $43^2 = 1849$
ઉમેરવાની સંખ્યા $= 1849 - 1825 = \mathbf{24}$
નવી સંખ્યા $= 1849$, વર્ગમૂળ $=\mathbf{43}$
(v) 6412
$80^2 = 6400$, $81^2 = 6561$
ઉમેરવાની સંખ્યા $= 6561 - 6412 = \mathbf{149}$
નવી સંખ્યા $= 6561$, વર્ગમૂળ $=\mathbf{81}$
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = 441$
બાજુ $= \sqrt{441} = \mathbf{21 \text{ મીટર}}$
(i) જો $\text{AB} = 6 \text{ સેમી, BC} = 8 \text{ સેમી, તો AC શોધો.}$
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ: $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2$
$\text{AC}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$\text{AC} = \sqrt{100} = \mathbf{10 \text{ સેમી}}$
(ii) જો $\text{AC} = 13 \text{ સેમી, BC} = 5 \text{ સેમી, તો AB શોધો.}$
$\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 \implies 13^2 = \text{AB}^2 + 5^2$
$169 = \text{AB}^2 + 25 \implies \text{AB}^2 = 169 - 25 = 144$
$\text{AB} = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ સેમી}}$
અહીં $31^2 = 961$ અને $32^2 = 1024$ થાય.
જરૂરી કુલ છોડ $= 1024$
વધુ જોઈતા છોડ $= 1024 - 1000 = \mathbf{24 \text{ છોડ}}$
અહીં $22^2 = 484$ અને $23^2 = 529$ થાય.
500 ની સૌથી નજીક અને નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા 484 છે ($22$ હાર અને સ્તંભ).
ગોઠવણીમાં સમાવિષ્ટ વિદ્યાર્થીઓ $= 484$
બહાર રહેતા વિદ્યાર્થીઓ $= 500 - 484 = \mathbf{16 \text{ વિદ્યાર્થીઓ}}$