ધોરણ 8 | విષય: Maths
કોઈપણ સંખ્યા પૂર્ણધન છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે તેના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીને ત્રણ-ત્રણની જોડ (ત્રિપુટી) બનાવવામાં આવે છે. જો બધા જ અવયવોની ત્રિપુટી બની જાય, તો તે પૂર્ણધન સંખ્યા છે.
(i) 216
અવયવો: 216=2×2×2×3×3×3=23×33=(2×3)3=63
અહીં બધી જ ત્રિપુટી બને છે.
જવાબ: આ પૂર્ણધન સંખ્યા છે.
(ii) 128
અવયવો: 128=2×2×2×2×2×2×2=23×23×2
અહીં એક 2 ની ત્રિપુટી બનતી નથી.
જવાબ: પૂર્ણધન નથી.
(iii) 1000
અવયવો: 1000=2×2×2×5×5×5=103
અહીં બધી જ ત્રિપુટી બને છે.
જવાબ: આ પૂર્ણધન સંખ્યા છે.
(iv) 100
અવયવો: 100=2×2×5×5=22×52
અહીં 2 અને 5 ની ત્રિપુટી બનતી નથી.
જવાબ: પૂર્ણધન નથી.
(v) 46656
અવયવો: 46656=26×36=(22×32)3=363
અહીં બધી જ ત્રિપુટી બને છે.
જવાબ: આ પૂર્ણધન સંખ્યા છે.
(i) 243
અવયવો: 243=3×3×3×3×3=33×32
અહીં 3 ની એક જ ત્રિપુટી બને છે અને 32 બાકી રહે છે, જેને પૂર્ણધન બનાવવા માટે વધુ એક 3 ની જરૂર છે.
જવાબ: 3
(ii) 256
અવયવો: 256=2×2×2×2×2×2×2×2=23×23×22
અહીં 22 બાકી રહે છે, જેને પૂર્ણધન બનાવવા માટે વધુ એક 2 ની જરૂર છે.
જવાબ: 2
(iii) 72
અવયવો: 72=2×2×2×3×3=23×32
અહીં 32 બાકી રહે છે, જેને પૂર્ણધન બનાવવા માટે વધુ એક 3 ની જરૂર છે.
જવાબ: 3
(iv) 675
અવયવો: 675=3×3×3×5×5=33×52
અહીં 52 બાકી રહે છે, જેને પૂર્ણધન બનાવવા માટે વધુ એક 5 ની જરૂર છે.
જવાબ: 5
(v) 100
અવયવો: 100=2×2×5×5=22×52
અહીં એક 2 અને એક 5 ખૂટે છે (2×5=10).
જવાબ: 10
(i) 81
અવયવો: 81=3×3×3×3=33×3
વધારાના 3 વડે ભાગવાથી સંખ્યા પૂર્ણધન બનશે.
જવાબ: 3
(ii) 128
અવયવો: 128=2×2×2×2×2×2×2=23×23×2
વધારાના 2 વડે ભાગવાથી સંખ્યા પૂર્ણધન બનશે.
જવાબ: 2
(iii) 135
અવયવો: 135=3×3×3×5=33×5
વધારાના 5 વડે ભાગવાથી સંખ્યા પૂર્ણધન બનશે.
જવાબ: 5
(iv) 192
અવયવો: 192=2×2×2×2×2×2×3=23×23×3
વધારાના 3 વડે ભાગવાથી સંખ્યા પૂર્ણધન બનશે.
જવાબ: 3
(v) 704
અવયવો: 704=2×2×2×2×2×2×11=23×23×11
વધારાના 11 વડે ભાગવાથી સંખ્યા પૂર્ણધન બનશે.
જવાબ: 11
લઘુઘનના માપ (પરિમાણ): $5 \text{ સેમી} \times 2 \text{ સેમી} \times 5 \text{ સેમી}$
તેને અવિભાજ્ય અવયવોના સ્વરૂપમાં લખીએ તો:
આ લઘુઘનને પૂર્ણધન બનાવવા માટે દરેક અવયવની ત્રિપુટી હોવી જરૂરી છે. અહીં એક 5 અને બે 2 ની જરૂર છે.
જવાબ: આવા 20 લઘુઘન સાથે રાખવાથી મળતો ઘન એ પૂર્ણધન બનશે.
કોઈપણ સંખ્યાનું ઘનમૂળ શોધવા માટે તેના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીને સરખા અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ (ત્રિપુટી) બનાવવામાં આવે છે અને દરેક ત્રિપુટીમાંથી એક-એક અવયવ લઈને તેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
(i) 64
અવયવો: $64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{64} = 2 \times 2 = 4$
જવાબ: 4
(ii) 512
અવયવો: $512 = 2^9 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2)$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{512} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
જવાબ: 8
(iii) 10648
અવયવો: $10648 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11 = 2^3 \times 11^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{10648} = 2 \times 11 = 22$
જવાબ: 22
(iv) 27000
અવયવો: $27000 = 2^3 \times 3^3 \times 5^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{27000} = 2 \times 3 \times 5 = 30$
જવાબ: 30
(v) 15625
અવયવો: $15625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \times 5^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{15625} = 5 \times 5 = 25$
જવાબ: 25
(vi) 13824
અવયવો: $13824 = 2^9 \times 3^3 = (2^3 \times 2^3 \times 2^3) \times 3^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{13824} = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24$
જવાબ: 24
(vii) 110592
અવયવો: $110592 = 2^{12} \times 3^3 = (2^4)^3 \times 3^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{110592} = 16 \times 3 = 48$
જવાબ: 48
(viii) 46656
અવયવો: $46656 = 2^6 \times 3^6 = (2^2 \times 3^2)^3 = 36^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{46656} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$
જવાબ: 36
(ix) 175616
અવયવો: $175616 = 2^6 \times 14^3 = (2^2 \times 14)^3 = 56^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{175616} = 4 \times 14 = 56$
જવાબ: 56
(x) 91125
અવયવો: $91125 = 3^6 \times 5^3 = (3^2 \times 5)^3 = 45^3$
ઘનમૂળ: $\sqrt[3]{91125} = 9 \times 5 = 45$
જવાબ: 45
(i) કોઈપણ એકી સંખ્યાનો ધન બેકી સંખ્યા હોય.
જવાબ: ખોટું (એકી સંખ્યાનો ઘન હંમેશાં એકી જ હોય છે, જેમ કે $3^3 = 27$).
(ii) પૂર્ણ ધન સંખ્યાના અંતિમ બે અંક્રો શૂન્ય ન હોય.
જવાબ: ખોટું (પૂર્ણઘન સંખ્યાના અંતમાં ત્રણ કે તેના ગુણાંકમાં શૂન્ય હોઈ શકે છે, જેમ કે $10^3 = 1000$, જેમાં છેલ્લા બે કે ત્રણ અંક શૂન્ય હોઈ શકે છે. જો કે, બરાબર બે શૂન્ય ક્યારેય ન હોય, તેથી આ વિધાન 'સાચું' ગણાય જો પ્રશ્ન સ્પષ્ટ કરે કે ફક્ત બે જ શૂન્ય ન હોઈ શકે. સામાન્ય રીતે, પૂર્ણઘનના અંતે બે શૂન્ય ક્યારેય ન આવે). વધુ સ્પષ્ટતા: જો માત્ર બે જ શૂન્ય હોય (જેમ કે 100), તો તે પૂર્ણધન નથી. તેથી આ વિધાન ખરું છે કે પૂર્ણઘન સંખ્યાના અંતિમ બે અંક ક્યારેય માત્ર બે શૂન્ય (અથવા બે શૂન્યમાં અંત પામતી) ન હોય.
(iii) જો કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ કરતાં એકમનો અંક 5 આવે તો ધન કરતાં મળતી સંખ્યાના છેલ્લા બે અંક 25 આવે.
જવાબ: ખરું (ઉદાહરણ તરીકે: $5^2 = 25$ (એકમનો અંક 5), અને $5^3 = 125$, જેમાં છેલ્લા બે અંક 25 છે. તેમજ $15^2 = 225$, $15^3 = 3375$).
(iv) એવી કોઈ પૂર્ણધન સંખ્યા ના મળે કે જેનો એકમનો અંક 8 હોય.
જવાબ: ખોટું (મળે છે, દા.ત. $2^3 = 8$, $12^3 = 1728$, જેમાં એકમનો અંક 8 છે).
(v) બે અંકોવાળા સંખ્યાનો ધન કરતાં મળતી સંખ્યા ત્રણ અંકોની પણ હોય.
જવાબ: ખોટું (બે અંકની નાનામાં નાની સંખ્યા 10 છે, તેનો ઘન $10^3 = 1000$ થાય જે ચાર અંકની છે. તેથી બે અંકની સંખ્યાનો ઘન ક્યારેય ત્રણ અંકનો ન હોઈ શકે, ઓછામાં ઓડા 4 અંકનો હોય).
(vi) બે અંકોવાળા સંખ્યાનો ધન કરતાં સાત કે તેથી વધુ અંકોની સંખ્યા પણ મળે.
જવાબ: ખોટું (બે અંકની મોટામાં મોટી સંખ્યા 99 છે, અને $99^3 = 970299$ થાય, જે 6 અંકની છે. તેથી સાત કે તેથી વધુ અંક ક્યારેય ન મળે).
(vii) એક અંકની સંખ્યાનો ધન કરવાથી એક અંકની સંખ્યા પણ મળે.
જવાબ: ખરું (ઉદાહરણ તરીકે: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, જે એક અંકની સંખ્યાઓ છે).