Chapter 1
ધોરણ 9 | విષય: Maths
સ્વાધ્યાય 1.1
સાચો જવાબ:
હા, શૂન્ય એ એક સંમેય સંખ્યા છે. તેને \(p\) પૂર્ણાંક અને \(q\) શૂન્યેતર પૂર્ણાંક (\(q \neq 0\)) હોય તેવા સ્વરૂપ \(\frac{p}{q}\) માં લખી શકાય છે.
સમજૂતી (Explanation):
- સંમેય સંખ્યાની શરત: કોઈપણ સંખ્યાને સંમેય સંખ્યા ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે તેને \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય, જ્યાં અંશ (\(p\)) કોઈ પણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે અને છેદ (\(q\)) શૂન્ય સિવાયની (શૂન્યેતર) કોઈ પણ સંખ્યા હોવી જોઈએ.
- શૂન્ય માટે આ શરત ચકાસીએ: જો આપણે અંશ તરીકે \(p = 0\) લઈએ, તો છેદ \(q\) ની જગ્યાએ આપણે \(0\) સિવાયની કોઈ પણ ધન કે ઋણ પૂર્ણાંક સંખ્યા મૂકી શકીએ છીએ. કારણ કે \(0\) ને કોઈ પણ સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે તો જવાબ હંમેશા \(0\) જ મળે છે.
ગાણિતિક સ્વરૂપના ઉદાહરણો:
\(0=\frac{0}{1}=\frac{0}{2}=\frac{0}{5}=\frac{0}{100}\)
ઋણ પૂર્ણાંકના ઉદાહરણો:
\(0=\frac{0}{-1}=\frac{0}{-3}=\frac{0}{-25}\)
અહીં સ્પષ્ટ છે કે ઉપરનો અંશ \(p = 0\) (પૂર્ણાંક સંખ્યા) છે અને નીચેનો છેદ \(q = 1, 2, -1, -3\) વગેરે (શૂન્યેતર પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ) છે.
સાચો જવાબ:
A. → 3 અને 4 ની વચ્ચે અનંત સંમેય સંખ્યાઓ છે.
→ અહી, આપણે 3 અને 4 ની વચ્ચે 6 સંમેય સંખ્યાઓ શોધવાની છે, જેથી આપણે 6 1 = 7 (અથવા 6 કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા) સાથે 3 અને 4 બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીશું.
એટલે કે,
$$3 \times \frac{7}{7} = \frac{21}{7}$$
અને, $$4 \times \frac{7}{7} = \frac{28}{7}.$$
$$\frac{21}{7}$$ અને $$\frac{28}{7}$$ ની વચ્ચેની સંખ્યા સંમેય સંખ્યાઓ હશે અને 3 અને 4 ની વચ્ચે આવશે.
તેથી, $$\frac{22}{7},\frac{23}{7},\frac{24}{7},\frac{25}{7},\frac{26}{7},\frac{27}{7}$$ એ 3 અને 4 વચ્ચેની 6 સંમેય સંખ્યાઓ છે.
→ અહી, આપણે 3 અને 4 ની વચ્ચે 6 સંમેય સંખ્યાઓ શોધવાની છે, જેથી આપણે 6 1 = 7 (અથવા 6 કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા) સાથે 3 અને 4 બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીશું.
એટલે કે,
$$3 \times \frac{7}{7} = \frac{21}{7}$$
અને, $$4 \times \frac{7}{7} = \frac{28}{7}.$$
$$\frac{21}{7}$$ અને $$\frac{28}{7}$$ ની વચ્ચેની સંખ્યા સંમેય સંખ્યાઓ હશે અને 3 અને 4 ની વચ્ચે આવશે.
તેથી, $$\frac{22}{7},\frac{23}{7},\frac{24}{7},\frac{25}{7},\frac{26}{7},\frac{27}{7}$$ એ 3 અને 4 વચ્ચેની 6 સંમેય સંખ્યાઓ છે.
સાચો જવાબ:
A. $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચે અનંત સંમેય સંખ્યાઓ છે.
$$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચેની 5 સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, આપણે $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીશું.
5 1=6 સાથે (અથવા 5 કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા)
એટલે કે,
$$\frac{3}{5} \times \frac{6}{6} = \frac{18}{30}$$
અને,
$$\frac{4}{5} \times \frac{6}{6} = \frac{24}{30}$$
$$\frac{18}{30}$$ અને $$\frac{24}{30}$$ ની વચ્ચેની સંખ્યા સંમેય સંખ્યાઓ હશે અને $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ ની વચ્ચે આવશે.
તેથી, $$\frac{19}{30},\frac{20}{30},\frac{21}{30},\frac{22}{30},\frac{23}{30}$$ એ $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચેની 5 સંમેય સંખ્યાઓ છે
$$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચેની 5 સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, આપણે $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીશું.
5 1=6 સાથે (અથવા 5 કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા)
એટલે કે,
$$\frac{3}{5} \times \frac{6}{6} = \frac{18}{30}$$
અને,
$$\frac{4}{5} \times \frac{6}{6} = \frac{24}{30}$$
$$\frac{18}{30}$$ અને $$\frac{24}{30}$$ ની વચ્ચેની સંખ્યા સંમેય સંખ્યાઓ હશે અને $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ ની વચ્ચે આવશે.
તેથી, $$\frac{19}{30},\frac{20}{30},\frac{21}{30},\frac{22}{30},\frac{23}{30}$$ એ $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચેની 5 સંમેય સંખ્યાઓ છે
સાચો જવાબ:
A. (i) દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *સત્ય*, કારણ કે પૂર્ણ સંખ્યાના જથ્થામાં બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
---
(ii) દરેક પૂર્ણાંક એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *અસત્ય*, ઉદાહરણ તરીકે −2 એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
---
(iii) દરેક સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *અસત્ય*, ઉદાહરણ તરીકે $$\frac{1}{2}$$ એ સંમેય સંખ્યા છે. પરંતુ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
→ *સત્ય*, કારણ કે પૂર્ણ સંખ્યાના જથ્થામાં બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
---
(ii) દરેક પૂર્ણાંક એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *અસત્ય*, ઉદાહરણ તરીકે −2 એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
---
(iii) દરેક સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *અસત્ય*, ઉદાહરણ તરીકે $$\frac{1}{2}$$ એ સંમેય સંખ્યા છે. પરંતુ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
સાચો જવાબ:
A. $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચે અનંત સંમેય સંખ્યાઓ છે.
$$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચેની 5 સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, આપણે $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીશું.
5 1=6 સાથે (અથવા 5 કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા)
એટલે કે,
$$\frac{3}{5} \times \frac{6}{6} = \frac{18}{30}$$
અને,
$$\frac{4}{5} \times \frac{6}{6} = \frac{24}{30}$$
$$\frac{18}{30}$$ અને $$\frac{24}{30}$$ ની વચ્ચેની સંખ્યા સંમેય સંખ્યાઓ હશે અને $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ ની વચ્ચે આવશે.
તેથી, $$\frac{19}{30},\frac{20}{30},\frac{21}{30},\frac{22}{30},\frac{23}{30}$$ એ $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચેની 5 સંમેય સંખ્યાઓ છે
$$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચેની 5 સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, આપણે $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીશું.
5 1=6 સાથે (અથવા 5 કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા)
એટલે કે,
$$\frac{3}{5} \times \frac{6}{6} = \frac{18}{30}$$
અને,
$$\frac{4}{5} \times \frac{6}{6} = \frac{24}{30}$$
$$\frac{18}{30}$$ અને $$\frac{24}{30}$$ ની વચ્ચેની સંખ્યા સંમેય સંખ્યાઓ હશે અને $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ ની વચ્ચે આવશે.
તેથી, $$\frac{19}{30},\frac{20}{30},\frac{21}{30},\frac{22}{30},\frac{23}{30}$$ એ $$\frac{3}{5}$$ અને $$\frac{4}{5}$$ વચ્ચેની 5 સંમેય સંખ્યાઓ છે
સાચો જવાબ:
A. (i) દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *સત્ય*, કારણ કે પૂર્ણ સંખ્યાના જથ્થામાં બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
---
(ii) દરેક પૂર્ણાંક એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *અસત્ય*, ઉદાહરણ તરીકે −2 એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
---
(iii) દરેક સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *અસત્ય*, ઉદાહરણ તરીકે $$\frac{1}{2}$$ એ સંમેય સંખ્યા છે. પરંતુ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
→ *સત્ય*, કારણ કે પૂર્ણ સંખ્યાના જથ્થામાં બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
---
(ii) દરેક પૂર્ણાંક એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *અસત્ય*, ઉદાહરણ તરીકે −2 એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
---
(iii) દરેક સંમેય સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે.
→ *અસત્ય*, ઉદાહરણ તરીકે $$\frac{1}{2}$$ એ સંમેય સંખ્યા છે. પરંતુ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
સ્વાધ્યાય 1.2
સાચો જવાબ:
A. (i) દરેક અસંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
- *સત્ય*
- કારણ : વાસ્તવિક સંખ્યાના સમૂહમાં દરેક સંમેય સંખ્યા અને દરેક અસંમેય સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે.
(ii) સંખ્યારેખા પરનું દરેક બિંદુ કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $$m$$ માટે $$\sqrt{m}$$ સ્વરૂપનું હોય છે.
- *અસત્ય*
- કારણ : સંખ્યારેખા પાર દર્શાવવામાં આવતી ઋણ સંખ્યા ક્યારેય પણ કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $$m$$ માટે $$\sqrt{m}$$ સ્વરૂપની નો હોઈ શકે. કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $$m$$ માટે $$\sqrt{m}$$ ધન સંખ્યા છે.
(iii) દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા એ અસંમેય સંખ્યા છે.
- *અસત્ય*
- કારણ : વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં સંમેય સંખ્યા અને અસંમેય સંખ્યાઓ એમ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. જે કારણે, દરેક વાસ્તવિક સંમેય સંખ્યા અસંમેય અથવા તો સંમેય હોય શકે.
સાચો જવાબ:
A. ના, દરેક ધન પૂર્ણાકનું વર્ગમૂળ અસંમેય હોઈ શકે નહીં.
જો આપણે ધન સંખ્યા 4 નું વર્ગમૂળ કાઢીશું તો તેનું વર્ગમૂળ 2 મળશે. $$\sqrt{4} = 2$$ જે સંમેય સંખ્યા છે.
તેવી જ રીતે, $$\sqrt{9} = 3$$, $$\sqrt{25} = 5$$ ...
સાચો જવાબ:
$$\Delta OAB$$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસ પ્રમેય પ્રમાણે,
(કર્ણ)² = (એક બાજુ)² + (બીજી બાજુ)²
$$\therefore OB^2 = OA^2 + AB^2$$
$$\therefore OB^2 = (2)^2 + (1)^2$$
$$\therefore OB^2 = 4 + 1$$
$$\therefore OB^2 = 5$$
$$\therefore OB = \sqrt{5}$$
પાયથાગોરસ પ્રમેય પ્રમાણે,
(કર્ણ)² = (એક બાજુ)² + (બીજી બાજુ)²
$$\therefore OB^2 = OA^2 + AB^2$$
$$\therefore OB^2 = (2)^2 + (1)^2$$
$$\therefore OB^2 = 4 + 1$$
$$\therefore OB^2 = 5$$
$$\therefore OB = \sqrt{5}$$
સાચો જવાબ:
વર્ગમૂળ કુંતલ (Square Root Spiral) ની રચના
વર્ગમૂળ કુંતલ બનાવવા માટે સૌપ્રથમ 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો. ત્યારબાદ તેના એક છેડે પ્રથમ રેખાખંડને લંબ હોય એવો 1 એકમ લંબાઈનો બીજો રેખાખંડ દોરી કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો.
હવે પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ મળતા કર્ણને આગળની એક બાજુ માની ફરી 1 એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ દોરી નવો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો. આ જ પ્રક્રિયા સતત પુનરાવર્તિત કરતા રહો.
આ રીતે ક્રમશઃ 2,3,4,5,6\sqrt{2}, $$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}$$2,3,4,5,6 વગેરે લંબાઈઓ પ્રાપ્ત થાય છે અને અંતે વર્ગમૂળ કુંતલ (Square Root Spiral) તૈયાર થાય છે.
સ્વાધ્યાય 1.3
સાચો જવાબ:
A. (i) $$\frac{36}{100}$$
$$= 0.36$$
$$\frac{36}{100}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *સાન્ત* છે.
---
(ii) $$\frac{1}{11}$$
$$= 0.0909... = 0.\overline{09}$$
$$\frac{1}{11}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *અનંત આવૃત* છે.
---
(iii) $$4\frac{1}{8}$$
$$= 4.125$$
$$4\frac{1}{8}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *સાન્ત* છે.
---
(iv) $$\frac{3}{11}$$
$$= 0.230769... = 0.\overline{23076}$$
$$\frac{3}{11}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *અનંત આવૃત* છે.
---
(v) $$\frac{2}{11}$$
$$= 0.1818... = 0.\overline{18}$$
$$\frac{2}{11}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *અનંત આવૃત* છે.
---
(vi) $$\frac{329}{400}$$
$$= 0.8225$$
$$\frac{329}{400}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *સાન્ત* છે.
$$= 0.36$$
$$\frac{36}{100}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *સાન્ત* છે.
---
(ii) $$\frac{1}{11}$$
$$= 0.0909... = 0.\overline{09}$$
$$\frac{1}{11}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *અનંત આવૃત* છે.
---
(iii) $$4\frac{1}{8}$$
$$= 4.125$$
$$4\frac{1}{8}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *સાન્ત* છે.
---
(iv) $$\frac{3}{11}$$
$$= 0.230769... = 0.\overline{23076}$$
$$\frac{3}{11}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *અનંત આવૃત* છે.
---
(v) $$\frac{2}{11}$$
$$= 0.1818... = 0.\overline{18}$$
$$\frac{2}{11}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *અનંત આવૃત* છે.
---
(vi) $$\frac{329}{400}$$
$$= 0.8225$$
$$\frac{329}{400}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ *સાન્ત* છે.
સાચો જવાબ:
A. 1] $${\frac{2}{7}}\ =2\times\,{\frac{1}{7}}\ =2\times0.{\overline{{142857}}}\equiv0.{\overline{{2857148}}}$$
2] $$\frac{3}{7}=3\times\frac{1}{7}~=3\times0.\overline{{{142857}}}=0.\overline{{{42857}}}$$
3] $$\frac{4}{7}=4\times\frac{1}{7}~=4\times0.\overline{{{142857}}}=0.\overline{{{571428}}}$$
4] $$\frac{5}{7}=5\times\frac{1}{7}~=5\times0.\overline{{{142857}}}=0.\overline{{{714285}}}$$
5] $$\frac{6}{7}=6\times\frac{1}{7}~=6\times0.\overline{{{142857}}}=0.\overline{{{857142}}}$$
2] $$\frac{3}{7}=3\times\frac{1}{7}~=3\times0.\overline{{{142857}}}=0.\overline{{{42857}}}$$
3] $$\frac{4}{7}=4\times\frac{1}{7}~=4\times0.\overline{{{142857}}}=0.\overline{{{571428}}}$$
4] $$\frac{5}{7}=5\times\frac{1}{7}~=5\times0.\overline{{{142857}}}=0.\overline{{{714285}}}$$
5] $$\frac{6}{7}=6\times\frac{1}{7}~=6\times0.\overline{{{142857}}}=0.\overline{{{857142}}}$$
સાચો જવાબ:
(i) $$0.\overline{6}$$
ધારો કે,
$$x = 0.\overline{6}$$
$$
\begin{aligned}
x &= 0.66666\ldots \\
10x &= 6.66666\ldots \\
10x &= 6 + x \\
9x &= 6 \\
x &= \frac{6}{9}=\frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
આથી,
$$
0.\overline{6}=\frac{2}{3}
$$
---
(ii) $$0.\overline{47}$$
ધારો કે,
$$x = 0.\overline{47}$$
$$
\begin{aligned}
x &= 0.474747\ldots \\
100x &= 47.474747\ldots \\
100x &= 47 + x \\
99x &= 47 \\
x &= \frac{47}{99}
\end{aligned}
$$
આથી,
$$
0.\overline{47}=\frac{47}{99}
$$
---
(iii) $$0.\overline{001}$$
ધારો કે,
$$x = 0.\overline{001}$$
$$
\begin{aligned}
x &= 0.001001001\ldots \\
1000x &= 1.001001001\ldots \\
1000x &= 1 + x \\
999x &= 1 \\
x &= \frac{1}{999}
\end{aligned}
$$
આથી,
$$
0.\overline{001}=\frac{1}{999}
$$
ધારો કે,
$$x = 0.\overline{6}$$
$$
\begin{aligned}
x &= 0.66666\ldots \\
10x &= 6.66666\ldots \\
10x &= 6 + x \\
9x &= 6 \\
x &= \frac{6}{9}=\frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
આથી,
$$
0.\overline{6}=\frac{2}{3}
$$
---
(ii) $$0.\overline{47}$$
ધારો કે,
$$x = 0.\overline{47}$$
$$
\begin{aligned}
x &= 0.474747\ldots \\
100x &= 47.474747\ldots \\
100x &= 47 + x \\
99x &= 47 \\
x &= \frac{47}{99}
\end{aligned}
$$
આથી,
$$
0.\overline{47}=\frac{47}{99}
$$
---
(iii) $$0.\overline{001}$$
ધારો કે,
$$x = 0.\overline{001}$$
$$
\begin{aligned}
x &= 0.001001001\ldots \\
1000x &= 1.001001001\ldots \\
1000x &= 1 + x \\
999x &= 1 \\
x &= \frac{1}{999}
\end{aligned}
$$
આથી,
$$
0.\overline{001}=\frac{1}{999}
$$
સાચો જવાબ:
A. ધારો કે,
$$x = 0.99999\ldots$$
$$
\begin{aligned}
10x &= 9.99999\ldots \\
10x &= 9 + 0.99999\ldots \\
10x &= 9 + x \\
9x &= 9 \\
x &= 1
\end{aligned}
$$
આથી,
$$
0.99999\ldots = 1
$$
$$x = 0.99999\ldots$$
$$
\begin{aligned}
10x &= 9.99999\ldots \\
10x &= 9 + 0.99999\ldots \\
10x &= 9 + x \\
9x &= 9 \\
x &= 1
\end{aligned}
$$
આથી,
$$
0.99999\ldots = 1
$$
સાચો જવાબ:
A. $$\frac{1}{17}$$ ની દશાંશ-અભિવ્યક્તિમાં પુનરાવર્તિત અંકોની સંખ્યા વધુમાં વધુ *16* (17 થી એક ઓછી) હશે.જેથી, $$\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}$$
અહીંયા, $$\frac{1}{17}$$ની દશાંશ અભિવ્યક્તિમાં $$17 - 1 = 16$$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે. પણ, દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $$m$$ માટે $$\frac{1}{m}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિમાં $$(m - 1)$$નું જ પુનરાવર્તન થાય તે સાચું નથી.
અહીંયા, $$\frac{1}{17}$$ની દશાંશ અભિવ્યક્તિમાં $$17 - 1 = 16$$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે. પણ, દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $$m$$ માટે $$\frac{1}{m}$$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિમાં $$(m - 1)$$નું જ પુનરાવર્તન થાય તે સાચું નથી.
સાચો જવાબ:
A. $$3/2=(3\times5)/(2\times5)=15/10=0.15$$
$$3/4=(3\times25)/(4\times25)=75/100=0.125$$
$$1/8=(1\times4)/(25\times125)=24/100=0.072$$
$$6/25=(6\times4)/(25\times4)=24/100=0.24$$
પરંતુ,
$$1/3 = 0.\overline{3}$$
$$1/6 = 0.\overline{166}$$
$$1/9 = 0.\overline{111}$$
ઉપર જોઈ શકાય છે તેમ સંમેય સંખ્યા $$\frac{p}{q}$$ માં જો q તરીકે કોઈપણ અવિભાજ્ય અવયવો ન હોય ત્યારે અને તો જ $$\frac{p}{q}$$ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાન્ત સ્વરૂપની હોય છે.
$$3/4=(3\times25)/(4\times25)=75/100=0.125$$
$$1/8=(1\times4)/(25\times125)=24/100=0.072$$
$$6/25=(6\times4)/(25\times4)=24/100=0.24$$
પરંતુ,
$$1/3 = 0.\overline{3}$$
$$1/6 = 0.\overline{166}$$
$$1/9 = 0.\overline{111}$$
ઉપર જોઈ શકાય છે તેમ સંમેય સંખ્યા $$\frac{p}{q}$$ માં જો q તરીકે કોઈપણ અવિભાજ્ય અવયવો ન હોય ત્યારે અને તો જ $$\frac{p}{q}$$ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાન્ત સ્વરૂપની હોય છે.
સાચો જવાબ:
A. જેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત હોય તેવી ત્રણ સંખ્યાઓ નીચે પ્રમાણે છે.
0.58905890589000058 ...
0.001001001 ...
0.678767876787 ...
આ ઉદાહરણોમાં, શેષ ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી અને અમુક અંતરાલ પછી અંકો પુનરાવર્તિત પણ થતા નથી. તેથી, આ સંખ્યાઓ અસંખય (અગણિત) અને પુનરાવર્તિત છે.
0.58905890589000058 ...
0.001001001 ...
0.678767876787 ...
આ ઉદાહરણોમાં, શેષ ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી અને અમુક અંતરાલ પછી અંકો પુનરાવર્તિત પણ થતા નથી. તેથી, આ સંખ્યાઓ અસંખય (અગણિત) અને પુનરાવર્તિત છે.
સાચો જવાબ:
A. 5 ને 7 વડે ભાગતા 0.7142857 મળે અને 9 ને 11 વડે ભાગતા 0.81818 મળે.
આ બંને વચ્ચેની ત્રણ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે.
1 - 0.720760076000 ...
2 - 0.760760076000 ...
3 - 0.780780078000...
આ બંને વચ્ચેની ત્રણ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે.
1 - 0.720760076000 ...
2 - 0.760760076000 ...
3 - 0.780780078000...
સાચો જવાબ:
A. (i) $$\sqrt{23}$$
અસંમેય સંખ્યા
---
(ii) $$\sqrt{225}$$
સંમેય સંખ્યા
---
(iii) $$0.3796$$
સંમેય સંખ્યા
---
(iv) $$7.478478...$$
સંમેય સંખ્યા
---
(v) $$1.10100100001000001...$$
અસંમેય સંખ્યા
સ્વાધ્યાય 1.4
સાચો જવાબ:
A. (i) $$2-\sqrt{5}$$
→ અસંમેય
---
(ii) $$(3+\sqrt{23}) - \sqrt{23}$$
$$= 3+\sqrt{23} - \sqrt{23} = 3 $$
→ સંમેય
---
(iii) $$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}$$
$$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}= \frac{2}{7}$$
→ સંમેય
---
(iv) $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
→ અસંમેય
---
(V) $$2\pi$$
→ અસંમેય
→ અસંમેય
---
(ii) $$(3+\sqrt{23}) - \sqrt{23}$$
$$= 3+\sqrt{23} - \sqrt{23} = 3 $$
→ સંમેય
---
(iii) $$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}$$
$$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}= \frac{2}{7}$$
→ સંમેય
---
(iv) $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
→ અસંમેય
---
(V) $$2\pi$$
→ અસંમેય
સાચો જવાબ:
[10:58, 09/07/2026] ak mobile: A. (i) $$2-\sqrt{5}$$
→ અસંમેય
---
(ii) $$(3+\sqrt{23}) - \sqrt{23}$$
$$= 3+\sqrt{23} - \sqrt{23} = 3 $$
→ સંમેય
---
(iii) $$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}$$
$$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}= \frac{2}{7}$$
→ સંમેય
---
(iv) $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
→ અસંમેય
---
(V) $$2\pi$$
→ અસંમેય
[10:59, 09/07/2026] ak mobile: શાળા મિત્ર • http://bit.ly/shala-mitra
Q. સાદું રૂપ આપો :
A. (i) $$(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$$
$$= 6+3{\sqrt{2}}+2{\sqrt{3}}+{\sqrt{6}}$$
---
(ii) $$(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$$
$$= (3)^{2}-({\sqrt{3}})^{2}$$
$$= 9 - 3$$
$$=6$$
---
(iii) $$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$$
$$= ({\sqrt{5}})^{2}+({\sqrt{2}})^{2}+2{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$$
$$= 5+2+2{\sqrt{10}}$$
$$= 7 + 2{\sqrt{10}}$$
---
(iv) $$ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$$
$$= ({\sqrt{5}})^{2}-({\sqrt{2}})^{2}$$
$$= 5 -2$$
$$=3$$
→ અસંમેય
---
(ii) $$(3+\sqrt{23}) - \sqrt{23}$$
$$= 3+\sqrt{23} - \sqrt{23} = 3 $$
→ સંમેય
---
(iii) $$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}$$
$$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}= \frac{2}{7}$$
→ સંમેય
---
(iv) $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
→ અસંમેય
---
(V) $$2\pi$$
→ અસંમેય
[10:59, 09/07/2026] ak mobile: શાળા મિત્ર • http://bit.ly/shala-mitra
Q. સાદું રૂપ આપો :
A. (i) $$(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$$
$$= 6+3{\sqrt{2}}+2{\sqrt{3}}+{\sqrt{6}}$$
---
(ii) $$(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$$
$$= (3)^{2}-({\sqrt{3}})^{2}$$
$$= 9 - 3$$
$$=6$$
---
(iii) $$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$$
$$= ({\sqrt{5}})^{2}+({\sqrt{2}})^{2}+2{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$$
$$= 5+2+2{\sqrt{10}}$$
$$= 7 + 2{\sqrt{10}}$$
---
(iv) $$ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})$$
$$= ({\sqrt{5}})^{2}-({\sqrt{2}})^{2}$$
$$= 5 -2$$
$$=3$$
સાચો જવાબ:
A. જેમ કે આપણે જાણીએ છીએ કે, પરિમિતિ $$= \pi \times$$ વ્યાસ
$$c = \pi d$$
$$\pi = \frac{c}{d}$$
$$\pi$$ વ્યાસની લંબાઈના વર્તુળના પરિઘનું ગુણોત્તર છે.
→ જ્યારે આપણે સ્કેલ અથવા કોઈપણ અન્ય ઉપકરણ સાથે લંબાઈને માપીએ છીએ, ત્યારે આપણે ફક્ત એક અંદાજિત તર્કસંગત મૂલ્ય મેળવીએ છીએ જેથી આપણ ને ખ્યાલ ન આવે કે (c) અને (d) માં જે એક સમેંય છે.
→ તેથી, (c) અથવા (d) અસંમેય છે અને તેથી, $$\frac{c}{d}$$ અસંમેય છે, એટલે કે $$\pi$$ અસંમેય છે.
→ આથી, કહેવામાં કોઈ વિરોધાભાસ નથી કે $$\pi$$ અસંમેય છે
$$c = \pi d$$
$$\pi = \frac{c}{d}$$
$$\pi$$ વ્યાસની લંબાઈના વર્તુળના પરિઘનું ગુણોત્તર છે.
→ જ્યારે આપણે સ્કેલ અથવા કોઈપણ અન્ય ઉપકરણ સાથે લંબાઈને માપીએ છીએ, ત્યારે આપણે ફક્ત એક અંદાજિત તર્કસંગત મૂલ્ય મેળવીએ છીએ જેથી આપણ ને ખ્યાલ ન આવે કે (c) અને (d) માં જે એક સમેંય છે.
→ તેથી, (c) અથવા (d) અસંમેય છે અને તેથી, $$\frac{c}{d}$$ અસંમેય છે, એટલે કે $$\pi$$ અસંમેય છે.
→ આથી, કહેવામાં કોઈ વિરોધાભાસ નથી કે $$\pi$$ અસંમેય છે
સાચો જવાબ:
→ સૌપ્રથમ 9.3 એકમ લાંબો રેખાખંડ AB દોરો. AB ને C સુધી લંબાવો કે જેથી BC=1 સેમી થાય.
→ હવે, AC = 10.3 સેમી થાય તેવું AC નું કેન્દ્ર O રચો.
→ કેન્દ્ર O લઈ ત્રિજ્યા OC નું અર્ધવર્તુળ દોરો.
→ હવે, એક D બિંદુ અર્ધવર્તુળ પર ધારો કે જેથી BD ⊥ AC થાય.
→ હવે બિંદુ D ને O સાથે જોડો.
→ આમ, OBD એ એક કાટકોણ ત્રિકોણ થશે.
→ અહીં, $$OD = \frac{10.3}{2}$$ (અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા)
→ તથા, $$OC = \frac{10.3}{2}$$ અને BC = 1 થશે,
OB = OC – BC
$$\frac{10.3}{2}-1 =\frac{8.3}{2}$$
→ પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
$$OD^2=BD^2 OB^2$$
$$\left(\frac{10.3}{2}\right)^2 =BD^2 \left(\frac{8.3}{2}\right)^2$$
$$BD^2= \left(\frac{10.3}{2}\right)^2-\left(\frac{8.3}{2}\right)^2$$
$$(BD)2 = \left(\left(\frac{10.3}{2}\right)-\left(\frac{8.3}{2}\right)\right)\left(\left(\frac{10.3}{2}\right) \left(\frac{8.3}{2}\right)\right)$$
$$(BD)^2 = 9.3 $$
$$BD = \sqrt{9.3}$$
→ આમ, BD ની લંબાઈ √9.3 છે.
(5) આપેલ સંખ્યાઓના છેદનું સંમેયીકરણ કરો.
A. (i) $$\frac{1}{\sqrt{7}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7}}$$ ને $$\sqrt{7}$$ વડે ગુણો અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7}}\times{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}}$$
$$ = \frac{\sqrt{7}}{7}$$
---
(ii) $$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$$ ને $$\sqrt{7} \sqrt{6}$$ વડે ગુણો અને અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{7} \sqrt{6}}$$
$$= \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} \sqrt{6})}$$
$$= \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{7-6}$$
$$= \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{1}$$
$$= \sqrt{7} \sqrt{6}$$
---
(iii)$$\frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{2}}$$ ને $$\sqrt{5} - \sqrt{2}$$ વડે ગુણો અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5-2}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$$
---
(iv)$$ \frac{1}{\sqrt{7} - 2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$$ ને $$\sqrt{7} 2$$ વડે ગુણો અને અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7} - 2}\times\frac{\sqrt{7} 2}{\sqrt{7} 2}$$
$$= \frac{\sqrt{7} 2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} 2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} 2}{((\sqrt{7})^2 - (2)^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} 2}{7-4}$$
$$= \frac{\sqrt{7} 2}{3}$$
→ હવે, AC = 10.3 સેમી થાય તેવું AC નું કેન્દ્ર O રચો.
→ કેન્દ્ર O લઈ ત્રિજ્યા OC નું અર્ધવર્તુળ દોરો.
→ હવે, એક D બિંદુ અર્ધવર્તુળ પર ધારો કે જેથી BD ⊥ AC થાય.
→ હવે બિંદુ D ને O સાથે જોડો.
→ આમ, OBD એ એક કાટકોણ ત્રિકોણ થશે.
→ અહીં, $$OD = \frac{10.3}{2}$$ (અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા)
→ તથા, $$OC = \frac{10.3}{2}$$ અને BC = 1 થશે,
OB = OC – BC
$$\frac{10.3}{2}-1 =\frac{8.3}{2}$$
→ પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,
$$OD^2=BD^2 OB^2$$
$$\left(\frac{10.3}{2}\right)^2 =BD^2 \left(\frac{8.3}{2}\right)^2$$
$$BD^2= \left(\frac{10.3}{2}\right)^2-\left(\frac{8.3}{2}\right)^2$$
$$(BD)2 = \left(\left(\frac{10.3}{2}\right)-\left(\frac{8.3}{2}\right)\right)\left(\left(\frac{10.3}{2}\right) \left(\frac{8.3}{2}\right)\right)$$
$$(BD)^2 = 9.3 $$
$$BD = \sqrt{9.3}$$
→ આમ, BD ની લંબાઈ √9.3 છે.
(5) આપેલ સંખ્યાઓના છેદનું સંમેયીકરણ કરો.
A. (i) $$\frac{1}{\sqrt{7}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7}}$$ ને $$\sqrt{7}$$ વડે ગુણો અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7}}\times{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}}$$
$$ = \frac{\sqrt{7}}{7}$$
---
(ii) $$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$$ ને $$\sqrt{7} \sqrt{6}$$ વડે ગુણો અને અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{7} \sqrt{6}}$$
$$= \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} \sqrt{6})}$$
$$= \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{7-6}$$
$$= \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{1}$$
$$= \sqrt{7} \sqrt{6}$$
---
(iii)$$\frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{2}}$$ ને $$\sqrt{5} - \sqrt{2}$$ વડે ગુણો અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5-2}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$$
---
(iv)$$ \frac{1}{\sqrt{7} - 2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$$ ને $$\sqrt{7} 2$$ વડે ગુણો અને અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7} - 2}\times\frac{\sqrt{7} 2}{\sqrt{7} 2}$$
$$= \frac{\sqrt{7} 2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} 2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} 2}{((\sqrt{7})^2 - (2)^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} 2}{7-4}$$
$$= \frac{\sqrt{7} 2}{3}$$
સાચો જવાબ:
A. (i) $$\frac{1}{\sqrt{7}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7}}$$ ને $$\sqrt{7}$$ વડે ગુણો અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7}}\times{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}}$$
$$ = \frac{\sqrt{7}}{7}$$
---
(ii) $$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$$ ને $$\sqrt{7} + \sqrt{6}$$ વડે ગુણો અને અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{7-6}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{1}$$
$$= \sqrt{7} + \sqrt{6}$$
---
(iii)$$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$$ ને $$\sqrt{5} - \sqrt{2}$$ વડે ગુણો અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5-2}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$$
---
(iv)$$ \frac{1}{\sqrt{7} - 2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$$ ને $$\sqrt{7} + 2$$ વડે ગુણો અને અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7} - 2}\times\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + 2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + 2}{((\sqrt{7})^2 - (2)^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + 2}{7-4}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + 2}{3}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7}}$$ ને $$\sqrt{7}$$ વડે ગુણો અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7}}\times{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}}$$
$$ = \frac{\sqrt{7}}{7}$$
---
(ii) $$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$$ ને $$\sqrt{7} + \sqrt{6}$$ વડે ગુણો અને અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{7-6}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{1}$$
$$= \sqrt{7} + \sqrt{6}$$
---
(iii)$$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$$ ને $$\sqrt{5} - \sqrt{2}$$ વડે ગુણો અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5-2}$$
$$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$$
---
(iv)$$ \frac{1}{\sqrt{7} - 2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$$ ને $$\sqrt{7} + 2$$ વડે ગુણો અને અને ભાગો,
$$= \frac{1}{\sqrt{7} - 2}\times\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + 2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + 2}{((\sqrt{7})^2 - (2)^2)}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + 2}{7-4}$$
$$= \frac{\sqrt{7} + 2}{3}$$
સ્વાધ્યાય 1.5
સાચો જવાબ:
A. (i) $$64^{\frac{1}{2}}$$
$$64^{\frac{1}{2}} = (8\times8)^{\frac{1}{2}}$$
$$ = (8^2)^{\frac{1}{2}}$$
$$= 8^1$$
$$ = 8$$
---
(ii) $$32^{\frac{1}{5}}$$
$$32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}}$$
$$= 2^1$$
$$ = 2$$
---
(iii) $$125^{\frac{1}{3}}$$
$$125^{\frac{1}{3}} = (5\times5\times5)^{\frac{1}{3}}$$
$$= (5^3)^{\frac{1}{5}}$$
$$ = 5^1$$
$$ = 5$$
$$64^{\frac{1}{2}} = (8\times8)^{\frac{1}{2}}$$
$$ = (8^2)^{\frac{1}{2}}$$
$$= 8^1$$
$$ = 8$$
---
(ii) $$32^{\frac{1}{5}}$$
$$32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}}$$
$$= 2^1$$
$$ = 2$$
---
(iii) $$125^{\frac{1}{3}}$$
$$125^{\frac{1}{3}} = (5\times5\times5)^{\frac{1}{3}}$$
$$= (5^3)^{\frac{1}{5}}$$
$$ = 5^1$$
$$ = 5$$
સાચો જવાબ:
A. (i) $$9^{\frac{3}{2}}$$
$$9^{\frac{3}{2}}=(3\times3)^{\frac{3}{2}}$$
$$=(3^2)^{\frac{3}{2}}$$
$$=3^3$$
$$=27$$
---
(ii) $$32^{\frac{2}{5}}$$
$$32^{\frac{2}{5}}=(2\times2\times2\times2\times2)^{\frac{2}{5}}$$
$$=(2^5)^{\frac{2}{5}}$$
$$=2^2$$
$$=4$$
---
(iii) $$16^{\frac{3}{4}}$$
$$16^{\frac{3}{4}}=(2\times2\times2\times2)^{\frac{3}{4}}$$
$$=(3^2)^{\frac{3}{4}}$$
$$=2^3$$
$$=8$$
---
(iv) $$125^{\frac{-1}{3}}$$
$$125^{\frac{-1}{3}}=(5\times5\times5)^{\frac{-1}{3}}$$
$$=(5^3)^{\frac{-1}{3}}$$
$$=5^{-1}$$
$$=\frac{1}{5}$$
$$9^{\frac{3}{2}}=(3\times3)^{\frac{3}{2}}$$
$$=(3^2)^{\frac{3}{2}}$$
$$=3^3$$
$$=27$$
---
(ii) $$32^{\frac{2}{5}}$$
$$32^{\frac{2}{5}}=(2\times2\times2\times2\times2)^{\frac{2}{5}}$$
$$=(2^5)^{\frac{2}{5}}$$
$$=2^2$$
$$=4$$
---
(iii) $$16^{\frac{3}{4}}$$
$$16^{\frac{3}{4}}=(2\times2\times2\times2)^{\frac{3}{4}}$$
$$=(3^2)^{\frac{3}{4}}$$
$$=2^3$$
$$=8$$
---
(iv) $$125^{\frac{-1}{3}}$$
$$125^{\frac{-1}{3}}=(5\times5\times5)^{\frac{-1}{3}}$$
$$=(5^3)^{\frac{-1}{3}}$$
$$=5^{-1}$$
$$=\frac{1}{5}$$
સાચો જવાબ:
A. (i) $$2^{\frac{2}{3}}.2^{\frac{1}{5}}$$
$$2^{\frac{2}{3}}.2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{2}{3} \frac{1}{5}}$$
$$2^{\frac{13}{15}}$$
---
(ii)$$\left(\frac{1}{3^3}\right)^7$$
$$\left(\frac{1}{3^3}\right)^7 = (3^{-3})^7$$
$$ = 3^{-21}$$
---
(iii) $$\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}$$
$$\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}} = 11^{\frac{1}{2}-{\frac{1}{4}}}$$
$$11^{\frac{1}{4}}$$
---
(iv) $$7^{\frac{1}{2}}.8^{\frac{1}{2}}$$
$$7^{\frac{1}{2}}\times8^{\frac{1}{2}}= (7 \times 8)^{\frac{1}{2}}$$
$$= 56^{\frac{1}{2}}$$
$$2^{\frac{2}{3}}.2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{2}{3} \frac{1}{5}}$$
$$2^{\frac{13}{15}}$$
---
(ii)$$\left(\frac{1}{3^3}\right)^7$$
$$\left(\frac{1}{3^3}\right)^7 = (3^{-3})^7$$
$$ = 3^{-21}$$
---
(iii) $$\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}$$
$$\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}} = 11^{\frac{1}{2}-{\frac{1}{4}}}$$
$$11^{\frac{1}{4}}$$
---
(iv) $$7^{\frac{1}{2}}.8^{\frac{1}{2}}$$
$$7^{\frac{1}{2}}\times8^{\frac{1}{2}}= (7 \times 8)^{\frac{1}{2}}$$
$$= 56^{\frac{1}{2}}$$