Chapter 2

સાચો જવાબ: A. (i) $$4x{^2} – 3x + 7$$



આપેલ સમીકરણ $$4x{^2} – 3x + 7$$ ને $$4x{^2} – 3x{^1 } + 7x{^0}$$ તરીકે લખી શકાય.



આપેલ સમીકરણમાં x એ એકમાત્ર ચલ હોવાથી અને x ની ઘાત (એટલે કે 2, 1 અને 0) પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે, તેથી આપણે કહી શકીએ કે આપેલ સમીકરણ $$4x{^2} – 3x + 7$$ એ એક ચલ બહુપદી છે.



---



(ii) $$y{^2} + \sqrt{2}$$



આપેલ સમીકરણ $$y{^2} + \sqrt{2}$$ ને $$y{^2} + \sqrt{2}y^0 $$ તરીકે લખી શકાય.



આપેલ સમીકરણમાં y એ એકમાત્ર ચલ હોવાથી અને y ની ઘાત (એટલે કે 2 અને 0) પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે, તેથી આપણે કહી શકીએ કે આપેલ સમીકરણ $$y{^2} + \sqrt{2}$$ એ એક ચલ બહુપદી છે.



---



(iii) $$3\sqrt{t} + t\sqrt{2}$$



આપેલ સમીકરણ $$3\sqrt{t} + t\sqrt{2}$$ ને $$3t^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}t^1$$ તરીકે લખી શકાય.



આપેલ સમીકરણમાં t એ એકમાત્ર ચલ છે તથા t ની ઘાત (એટલે કે $$\frac{1}{2}$$ અને 0) પૂર્ણ સંખ્યાઓ નથી, તેથી આપણે કહી શકીએ કે આપેલ સમીકરણ $$3\sqrt{t} + t\sqrt{2}$$ એ એક ચલ બહુપદી નથી.



---



(iv) $$y+ \frac{2}{y}$$



આપેલ સમીકરણ $$y+ \frac{2}{y}$$ ને $$y^1+ 2y^{-1}$$ તરીકે લખી શકાય.



આપેલ સમીકરણમાં y એ એકમાત્ર ચલ છે તથા y ની ઘાત (એટલે કે -1 અને 1) પૂર્ણ સંખ્યાઓ નથી, તેથી આપણે કહી શકીએ કે આપેલ સમીકરણ $$y+ \frac{2}{y}$$ એ એક ચલ બહુપદી નથી.



---



(v) $$x^{10} +y{^3} + t^{50}$$



આપેલ સમીકરણ $$x^{10} +y{^3} + t^{50}$$ ની ઘાત 10,3 અને 50 છે. જે પૂર્ણ સંખ્યા છે, પરંતુ અંહી ત્રણ અલગ અલગ ચલ હોવાથી આપેલ સમીકરણ $$x^{10} +y{^3} + t^{50}$$ એ એક ચલ બહુપદી નથી.

સાચો જવાબ:

 A. (i) $$2+x^2 + x$$

આપેલ સમીકરણ $$2+x^2 + x$$ ને $$2+(1)x^2 + x$$ તરીકે લખી શકાય.

આપણે જાણીએ છીએ કે સહગુણક એ એક સંખ્યા છે જે ચલ સાથે ગુણાકારમાં હોય છે.

અહી, $$x^2 $$ નો સહગુણક 1 છે.

તેથી, $$2+x^2 + x$$ માં $$x^2 $$ નો સહગુણક 1 છે.

---

(ii) $$2-x^2 + x^3$$

આપેલ સમીકરણ $$2-x^2 + x^3$$ ને $$2+(-1)x^2 + x^3$$ તરીકે લખી શકાય.

આપણે જાણીએ છીએ કે સહગુણક એ એક સંખ્યા છે જે ચલ સાથે ગુણાકારમાં હોય છે.

અહી, $$x^2 $$ નો સહગુણક -1 છે.

તેથી, $$2-x^2 + x^3$$ માં $$x^2 $$ નો સહગુણક -1 છે.

---

(iii) $$\frac{\pi}{2}x^2+x$$

આપેલ સમીકરણ $$\frac{\pi}{2}x^2+x$$ ને $$\left( \frac{\pi}{2}\right)x^2+x$$ તરીકે લખી શકાય.

આપણે જાણીએ છીએ કે સહગુણક એ એક સંખ્યા છે જે ચલ સાથે ગુણાકારમાં હોય છે.

અહી, $$x^2 $$ નો સહગુણક $$ \frac{\pi}{2}$$ છે.

તેથી, $$\frac{\pi}{2}x^2+x$$ માં $$x^2 $$ નો સહગુણક $$ \frac{\pi}{2}$$ છે.

---

(iv) $$\sqrt{2}x-1$$

આપેલ સમીકરણ $$\sqrt{2}x-1$$ ને $$0x^2+\sqrt{2}x-1$$ તરીકે લખી શકાય.

આપણે જાણીએ છીએ કે સહગુણક એ એક સંખ્યા છે જે ચલ સાથે ગુણાકારમાં હોય છે.

અહી, $$x^2 $$ નો સહગુણક 0 છે.

તેથી, $$\sqrt{2}x-1$$ માં $$x^2 $$ નો સહગુણક 0 છે.

સાચો જવાબ: A. (i) 35 ઘાતાંકવાળી દ્વિપદી:



$$3x^{35} -4$$



---



 (ii) 100 ઘાતાંકવાળી એકપદી:



$$\sqrt{2}y^{100}$$

સાચો જવાબ: A. (i) $$5x^3 + 4x^2 + 7x$$



બહુપદીમાં ચલની સૌથી વધુ ઘાત એ બહુપદીની ઘાત થાય.



આપેલ બહુપદીમાં ઘાત 3 થશે. 



---



(ii) $$4 - y^2$$



બહુપદીમાં ચલની સૌથી વધુ ઘાત એ બહુપદીની ઘાત થાય.



આપેલ બહુપદીમાં ઘાત 2 થશે. 



---



(iii) $$5t-\sqrt{7}$$



બહુપદીમાં ચલની સૌથી વધુ ઘાત એ બહુપદીની ઘાત થાય.



આપેલ બહુપદીમાં ઘાત 1 થશે. 



---



(iv) 3



બહુપદીમાં ચલની સૌથી વધુ ઘાત એ બહુપદીની ઘાત થાય. અહી ચલ આપેલ ના હોવાથી આપેલ બહુપદીની ઘાત 0 થશે.

સાચો જવાબ: A. (i) $$x^2 + x$$



આપેલ બહુપદીમાં મહત્તમ 2 ઘાત હોવાથી આપેલ બહુપદી દ્વિઘાત બહુપદી થશે.



---



(ii)$$x-x^3$$



આપેલ બહુપદીમાં મહત્તમ 3 ઘાત હોવાથી આપેલ બહુપદી ત્રિઘાત બહુપદી થશે.



---



(iii) $$y+y^2+4$$



આપેલ બહુપદીમાં મહત્તમ 2 ઘાત હોવાથી આપેલ બહુપદી દ્વિઘાત બહુપદી થશે.



---



(iv) 1 + x



આપેલ બહુપદીમાં મહત્તમ 1 ઘાત હોવાથી આપેલ બહુપદી સુરેખ બહુપદી થશે.



---



(v) 3t 



આપેલ બહુપદીમાં મહત્તમ 1 ઘાત હોવાથી આપેલ બહુપદી સુરેખ બહુપદી થશે.



---



(vi) $$r^2$$



આપેલ બહુપદીમાં મહત્તમ 2 ઘાત હોવાથી આપેલ બહુપદી દ્વિઘાત બહુપદી થશે.



---



(vii) $$7x^3$$



આપેલ બહુપદીમાં મહત્તમ 3 ઘાત હોવાથી આપેલ બહુપદી ત્રિઘાત બહુપદી થશે.

સાચો જવાબ: A. (i) $$x = 0$$



$$f(x)= 5x-4x^2 3$$



$$\therefore f(0)= 5(0)-4(0)^2 3$$



$$\therefore f(x)= 3$$



---



(ii) $$x = -1$$



$$f(x)= 5x-4x^2 3$$



$$\therefore f(-1)= 5(-1)-4(-1)^2 3$$



$$\therefore f(x)= −5–4 3$$



$$\therefore f(x)= −6$$



---



(iii) $$x = 2$$



$$f(x)= 5x-4x^2 3$$



$$\therefore f(2)= 5(2)-4(2)^2 3$$



$$\therefore f(x)= 10–16 3$$



$$\therefore f(x)= −3$$

સાચો જવાબ: A. (i) $$p(y)  = y^2-y 1$$



$$p(y)  = y^2-y 1$$



$$\therefore p(0)  = 0^2-0 1$$



$$\therefore p(0)  = 1$$





$$\therefore p(1)  = 1^2-1 1$$



$$\therefore p(1)  = 1$$





$$\therefore p(2)  = 2^2-2 1$$



$$\therefore p(2)  = 3$$



---



(ii) $$p(t)  = 2 t 2t^2-t^3$$



$$p(t)  = 2 t 2t^2-t^3$$





$$\therefore p(0)  = 2 0 2(0)^2-(0)^3$$



$$\therefore p(0)  = 2$$





$$\therefore p(1)  = 2 1 2(1)^2-(1)^3$$



$$\therefore p(1)  = 2 1 2–1 $$



$$\therefore p(1)  = 4$$





$$\therefore p(2)  = 2 2 2(2)^2-(2)^3$$



$$\therefore p(2)  = 2 2 8–8$$



$$\therefore p(2)  = 4$$



---



(iii) $$p(x)  = x^3$$



$$p(x)  = x^3$$





$$\therefore p(0)  = 0^3$$



$$\therefore p(0)  = 0$$





$$\therefore p(1)  = 1^3$$



$$\therefore p(1)  = 1$$





$$\therefore p(2)  = 2^3$$



$$\therefore p(2)  = 8$$



---



(iv) $$p(x) = (x-1)(x 1)$$



$$p(x) = (x-1)(x 1)$$





$$\therefore p(0)  = (0–1)(0 1)$$



$$\therefore p(0)  = (−1)(1)$$



$$\therefore p(0)  = -1$$





$$\therefore p(1)  = (1–1)(1 1)$$



$$\therefore p(1)  = 0(2)$$



$$\therefore p(1)  = 0$$





$$\therefore p(2)  = (2–1)(2 1) $$



$$\therefore p(2)  = 1(3)$$



$$\therefore p(2)  = 3$$

સાચો જવાબ: A. (i) $$p(x)  = 3x 1, x=-\frac{1}{3}$$



$$x=-\frac{1}{3}$$ માટે,



$$\therefore p\left(-\frac{1}{3}\right)  = 3\left(-\frac{1}{3}\right) 1$$



$$\therefore p\left(-\frac{1}{3}\right)  = -1 1$$



$$\therefore p\left(-\frac{1}{3}\right)  = 0$$



$$\therefore -\frac{1}{3}$$ એ p(x) નું શૂન્ય થશે.



---



(ii) $$p(x)  = 5x-\pi,x=\frac{4}{5}$$



$$x=\frac{4 }{5}$$ માટે,



$$\therefore p\left(\frac{4}{5}\right)  = 5\left(\frac{4}{5}\right)-\pi $$



$$\therefore p\left(\frac{4 }{5 }\right)  = 4-\pi \neq0$$



$$\therefore -\frac{4 }{5 }$$ એ p(x) નું શૂન્ય થશે નહીં.



---



(iii) $$p(x)  = x^2-1,x=1,-1$$



$$x=1,-1$$ માટે,



$$\therefore p(1)  = 1^2-1 $$



$$\therefore p(1)  = 1-1 $$



$$\therefore p(1)  = 0 $$



$$\therefore p(1)  = (-1)^2-1 $$



$$\therefore p(1)  = 1-1 $$



$$\therefore p(1)  = 0 $$



$$\therefore$$ 1 અને -1 એ p(x) ના શૂન્ય થશે થશે.



---



(iv) $$p(x) = (x 1)(x-2),x=-1,2$$



$$x=-1 ,2 $$ માટે,



$$\therefore p(-1)  = (−1 1)(−1–2)$$



$$\therefore p(-1)  = (0)(−3)$$



$$\therefore p(-1)  = 0$$





$$\therefore p(2)  = (2 1)(2–2) $$



$$\therefore p(2)  = (3)(0)$$



$$\therefore p(2)  = 0$$



$$\therefore$$ -1 અને 2 એ p(x) ના શૂન્ય થશે થશે.



---



(v) $$p(x)  = x^2,x=0$$



$$x=0$$ માટે,



$$\therefore p(0)  = 0^2$$



$$\therefore p(0)  = 0$$



$$\therefore $$ 0 એ p(x) નું શૂન્ય થશે.



---



(vi) $$p(x)  = lx m,x=-\frac{m}{l}$$



$$x=-\frac{m}{l}$$ માટે,



$$\therefore p\left(-\frac{m}{l}\right)  = l\left(-\frac{m}{l}\right) m$$



$$\therefore p\left(-\frac{m}{l}\right)  = -m m$$



$$\therefore p\left(-\frac{m}{l}\right)  = 0$$



$$\therefore -\frac{m}{l}$$ એ p(x) નું શૂન્ય થશે.



---



(vii) $$p(x)  = 3x^2-1,x=-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}$$



$$x=-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}$$ માટે,



$$\therefore p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)  = 3{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2-1$$



$$\therefore p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)  = 3\left(\frac{1}{3}\right)-1$$



$$\therefore p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)  = 1-1$$



$$\therefore p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)  = 0$$





$$\therefore p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)  = 3{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2-1$$



$$\therefore p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)  = 3\left(\frac{4}{3}\right)-1$$



$$\therefore p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)  = 4-1$$



$$\therefore p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)  = 3\neq 0$$



$$\therefore -\frac{1}{\sqrt{3}}$$ એ p(x) નું શૂન્ય થશે, જ્યારે $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ એ p(x) નું શૂન્ય થશે નહીં.



---



(viii) $$p(x)  = 2x 1,x=\frac{1}{2}$$



$$x=\frac{1}{2}$$ માટે,



$$\therefore p\left(\frac{1}{2}\right)  = 2 \left(\frac{1}{2}\right) 1$$



$$\therefore p\left(\frac{1}{2}\right)  = 1 1$$



$$\therefore p\left(\frac{1}{2}\right)  = 2 \neq 0 $$



$$\therefore \frac{1}{2}$$ એ p(x) નું શૂન્ય થશે નહીં.

સાચો જવાબ: A. (i) $$p(x)  = x 5$$



$$\therefore x 5 = 0 $$



$$\therefore x = −5$$



આમ, -5 એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય થશે.



---



(ii) $$p(x)  = x-5$$



$$\therefore x-5 = 0 $$



$$\therefore x = 5$$



આમ, 5 એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય થશે.



---



(iii) $$p(x) = 2x 5$$



$$\therefore 2x 5 = 0 $$



$$\therefore 2x = -5$$



$$\therefore x = -\frac{5}{2} $$



આમ, $$-\frac{5}{2} $$ એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય થશે.



---



(iv) $$p(x)  = 3x-2$$



$$\therefore 3x-2 = 0 $$



$$\therefore 3x = 2$$



$$\therefore x = \frac{2}{3} $$



આમ, $$\frac{2}{3} $$ એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય થશે.



---



(v) $$p(x)  = 3x$$



$$\therefore 3x = 0 $$



$$\therefore x = 0$$



આમ, 0 એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય થશે.



---



(vi) $$p(x)  = ax, a\neq 0$$



$$\therefore ax = 0 $$



$$\therefore x = 0$$



આમ, 0 એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય થશે.



---



(vii) $$p(x)  = cx d, c\neq 0,$$ $$c$$ અને $$d$$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.  



$$\therefore cx d = 0 $$



$$\therefore cx = -d$$



$$\therefore x = -\frac{d}{c} $$



આમ, $$-\frac{d}{c} $$ એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય થશે.

સાચો જવાબ: A. (i) $$x^3 x^2 x 1$$



ધારો કે $$f(x) = x^3 x^2 x 1$$



x 1 નું શૂન્ય -1 થાય. [x 1 = 0 એટલે કે x = -1]



$$\therefore p(−1) = (−1)^3 (−1)^2 (−1) 1$$



$$\therefore p(−1)= −1 1−1 1$$



$$\therefore p(−1)=0$$



અવયવ પ્રમેય પરથી x 1 એ આપેલ બહુપદી $$x^3 x^2 x 1$$ નો અવયવ છે.



---



(ii) $$x^4 x^3 x^2 x 1$$



ધારો કે $$f(x) = x^4 x^3 x^2 x 1$$



x 1 નું શૂન્ય -1 થાય. [x 1 = 0 એટલે કે x = -1]



$$\therefore p(−1) = (-1)^4 (−1)^3 (−1)^2 (−1) 1$$



$$\therefore p(−1)= 1−1 1−1 1$$



$$\therefore p(−1)=1\neq 0$$



અવયવ પ્રમેય પરથી x 1 એ આપેલ બહુપદી $$x^4 x^3 x^2 x 1$$ નો અવયવ નથી.



---



(iii) $$x^4 3x^3 3x^2 x 1$$



ધારો કે $$f(x) =x^4 3x^3 3x^2 x 1$$



x 1 નું શૂન્ય -1 થાય. [x 1 = 0 એટલે કે x = -1]



$$\therefore p(−1) = (-1)^4 3(−1)^3 3(−1)^2 (−1) 1$$



$$\therefore p(−1)= 1−3 3−1 1$$



$$\therefore p(−1)=1\neq 0$$



અવયવ પ્રમેય પરથી x 1 એ આપેલ બહુપદી $$x^4 3x^3 3x^2 x 1$$ નો અવયવ નથી.



---



(iv) $$x^3-x^2-(2 \sqrt{2})x \sqrt{2}$$



ધારો કે $$f(x) =x^3-x^2-(2 \sqrt{2})x \sqrt{2}$$



x 1 નું શૂન્ય -1 થાય. [x 1 = 0 એટલે કે x = -1]



$$\therefore p(−1) = (−1)^3-(−1)^2-(2 \sqrt{2})(−1) \sqrt{2}$$



$$\therefore p(−1)= −1−1 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$$



$$\therefore p(−1)=2\sqrt{2}\neq 0$$



અવયવ પ્રમેય પરથી x 1 એ આપેલ બહુપદી $$x^3-x^2-(2 \sqrt{2})x \sqrt{2}$$ નો અવયવ નથી.

સાચો જવાબ: A. (i) $$p(x) = 2x^3 x^2 –2x–1, g(x) = x 1$$



$$\therefore g(x) = x 1 = 0 $$



$$\therefore x 1 = 0$$



$$\therefore x = −1$$



g(x) નું શૂન્ય -1 થશે.



હવે,



$$\therefore p(−1) = 2(−1)^3 (−1)^2–2(−1)–1$$



$$\therefore p(−1)= −2 1 2−1$$



$$\therefore p(−1)= 0$$



અવયવ પ્રમેય પરથી g(x) એ આપેલ બહુપદી p(x) નો એક અવયવ છે.



---



(ii) $$p(x) = x^3 3x^2 3x 1, g(x) = x 2$$



$$\therefore g(x) = x 2 = 0 $$



$$\therefore x 2 = 0$$



$$\therefore x = −2$$



g(x) નું શૂન્ય -2 થશે.



હવે,



$$\therefore p(−2) = (−2)^3 3(−2)^2 3(−2) 1$$



$$\therefore p(−2)= −8 12−6 1$$



$$\therefore p(−2)= -1\neq0$$



અવયવ પ્રમેય પરથી g(x) એ આપેલ બહુપદી p(x) નો એક અવયવ નથી.



---



(iii) $$p(x) = x^3-4x^2 x 6, g(x) = x-3$$



$$\therefore g(x) = x-3 = 0 $$



$$\therefore x-3 = 0$$



$$\therefore x = 3$$



g(x) નું શૂન્ય 3 થશે.



હવે,



$$\therefore p(3) = (3)^3-4(3)^2 (3) 6$$



$$\therefore p(3)= 27−36 3 6$$



$$\therefore p(3)= 0$$



અવયવ પ્રમેય પરથી g(x) એ આપેલ બહુપદી p(x) નો એક અવયવ છે.

સાચો જવાબ: A. (i) $$p(x) = x^2 x k$$



જો x – 1 એ p(x) નો એક અવયય હોય તો,



p(1) = 0



અવયવ પ્રમેય પરથી,



$$\therefore p(1)=(1)^2 (1) k = 0$$



$$\therefore 1 1 k = 0 $$



$$\therefore 2 k = 0$$



$$\therefore k = −2$$



---



(ii) $$p(x) = 2x^2 kx \sqrt{2}$$



જો x – 1 એ p(x) નો એક અવયય હોય તો,



p(1) = 0



અવયવ પ્રમેય પરથી,



$$\therefore p(1) = 2(1)^2 k(1) \sqrt{2} = 0$$



$$\therefore 2 k \sqrt{2}= 0 $$



$$\therefore k = −(2 \sqrt{2})$$



---



(iii) $$p(x) = kx^2-\sqrt{2}x 1$$



જો x – 1 એ p(x) નો એક અવયય હોય તો,



p(1) = 0



અવયવ પ્રમેય પરથી,



$$\therefore p(1)=k(1)^2-\sqrt{2}(1) 1 = 0$$



$$\therefore k-\sqrt{2} 1 = 0 $$



$$\therefore k = \sqrt{2}-1$$



---



(iv) $$p(x) = kx^2-3x k$$



જો x – 1 એ p(x) નો એક અવયય હોય તો,



p(1) = 0



અવયવ પ્રમેય પરથી,



$$\therefore p(1)=k(1)^2-3(1) k = 0$$



$$\therefore k−3 k  = 0 $$



$$\therefore 2k−3 = 0$$



$$\therefore k = \frac{3}{2}$$

સાચો જવાબ: A. (i) $$12x^2–7x 1$$



મધ્યમ પદના વિભાજનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,



આપણે એક એવી સંખ્યા શોધીએ કે જેનો સરવાળો -7 અને ગુણાકાર 12 થાય.



એ સંખ્યાઓ તરીકે -3 અને -4 મળે છે (-3 -4 = -7 અને -3 × -4 = 12)



$$12x^2–7x 1 = 12x^2–4x-3x 1$$



$$= 4x(3x-1)-1(3x-1) $$



$$= (4x-1)(3x-1) $$



---



(ii) $$2x^2 7x 3$$



મધ્યમ પદના વિભાજનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,



આપણે એક એવી સંખ્યા શોધીએ કે જેનો સરવાળો 7 અને ગુણાકાર 6 થાય.



એ સંખ્યાઓ તરીકે 6 અને 1 મળે છે (6 1 = 7 અને 6 × 1 = 6)



$$2x^2 7x 3 = 2x^2 6x x 1$$



$$= 2x (x 3) 1(x 3) $$



$$= (2x 1)(x 3) $$



---



(iii) $$6x^2 5x-6$$



મધ્યમ પદના વિભાજનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,



આપણે એક એવી સંખ્યા શોધીએ કે જેનો સરવાળો 5 અને ગુણાકાર -36 થાય.



એ સંખ્યાઓ તરીકે 9 અને -4 મળે છે (9-4 = 5 અને 9×(-4) = -36)



$$6x^2 5x-6 = 6x^2 9x-4x-6$$



$$= 3x(2x 3)–2(2x 3) $$



$$= (2x 3)(3x–2) $$



---



(iv) $$3x^2–x-4$$



મધ્યમ પદના વિભાજનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,



આપણે એક એવી સંખ્યા શોધીએ કે જેનો સરવાળો -1 અને ગુણાકાર -12 થાય.



એ સંખ્યાઓ તરીકે 3 અને -4 મળે છે (3-4 = -1 અને 3×(-4) = -12)



$$3x^2–x-4 = 3x^2 3x-4x-4$$



$$= x(3x–4) 1(3x–4)$$



$$= (3x–4)(x 1) $$

સાચો જવાબ: A. (i) $$x^3–2x^2–x 2$$



ધારો કે $$p(x) = x^3–2x^2–x 2$$



હવે આપણે 2 ના બધા જ અવયવો વિચારતા તેમાંના અવયવો $$\pm 1 $$ અને $$\pm 2  $$  મળે છે.



હવે p(x) ના અવયવો માટે, 



$$\therefore p(-1) = (-1)^3–2(-1)^2–(-1) 2$$



$$\therefore p(-1) = −1−2 1 2$$



$$\therefore p(-1) = 0$$



આપણે પ્રયત્નો દ્વારા જાણી શકીએ કે p(-1)=0. તેથી x 1 એ p(x) નો અવયવ છે. 



હવે, $$x^3–2x^2–x 2  = x^3   x^2 - 3x^2 – 3x   2x  2  $$



$$\therefore x^3–2x^2–x 2  = x^2(x 1) - 3x(x 1)   2(x 1)  $$



$$\therefore x^3–2x^2–x 2  = (x 1)(x^2–3x 2)  $$



$$\therefore x^3–2x^2–x 2  = (x 1)(x^2–x–2x 2) $$



$$\therefore x^3–2x^2–x 2  = (x 1)(x(x−1)−2(x−1))  $$



$$\therefore x^3–2x^2–x 2  = (x 1)(x−1)(x-2)  $$



---



(ii) $$x^3–3x^2–9x-5$$



ધારો કે $$p(x) = x^3–3x^2–9x-5$$



હવે આપણે -5 ના બધા જ અવયવો વિચારતા તેમાંના અવયવો $$\pm 1 $$ અને $$\pm 5  $$  મળે છે.



હવે p(x) ના અવયવો માટે, 



$$\therefore p(5) = (5)^3–3(5)^2–9(5)-5$$



$$\therefore p(5) = 125-75-45-5$$



$$\therefore p(5) = 0$$



આપણે પ્રયત્નો દ્વારા જાણી શકીએ કે p(5)=0. તેથી x-5 એ p(x) નો અવયવ છે. 



હવે, $$x^3–3x^2–9x-5  = x^3 - 5x^2   2x^2 – 10x   x - 5  $$



$$\therefore x^3–3x^2–9x-5  = x^2(x−5)   2x(x−5)   1(x−5)  $$



$$\therefore x^3–3x^2–9x-5  = (x−5)(x^2 2x 1)  $$



$$\therefore x^3–3x^2–9x-5  = (x−5)(x^2 x x 1) $$



$$\therefore x^3–3x^2–9x-5  = (x−5)(x(x 1) 1(x 1)) $$



$$\therefore x^3–3x^2–9x-5  = (x−5)(x 1)(x 1)  $$



---



(iii) $$x^3 13x^2 32x 20$$



ધારો કે $$p(x) = x^3 13x^2 32x 20$$



હવે આપણે 20 ના બધા જ અવયવો વિચારતા તેમાંના અવયવો $$\pm 1 ,\pm 2 ,\pm4, \pm5, \pm 10$$ અને $$\pm 20  $$  મળે છે.



હવે p(x) ના અવયવો માટે, 



$$\therefore p(-1) = (-1)^3 13(-1)^2 32(-1) 20$$



$$\therefore p(-1) = −1 13−32 20$$



$$\therefore p(-1) = 0$$



આપણે પ્રયત્નો દ્વારા જાણી શકીએ કે p(-1)=0. તેથી x 1 એ p(x) નો અવયવ છે. 



હવે, $$x^3 13x^2 32x 20  = x^3   x^2   12x^2   12x   20x  20  $$



$$\therefore x^3 13x^2 32x 20  = x^2(x 1)   12x(x 1)   20(x 1)  $$



$$\therefore x^3 13x^2 32x 20  = (x 1)(x^2 12x 20)   $$



$$\therefore x^3 13x^2 32x 20  = (x 1)(x^2 2x 10x 20) $$



$$\therefore x^3 13x^2 32x 20  = (x 1)x(x 2) 10(x 2) $$



$$\therefore x^3 13x^2 32x 20  = (x 1)(x 2)(x 10)  $$



---



(iv) $$2y^3 y^2-2y-1$$



ધારો કે $$p(x) = 2y^3 y^2-2y-1$$



હવે આપણે -2 ના બધા જ અવયવો વિચારતા તેમાંના અવયવો $$\pm 1 $$ અને $$\pm 2  $$  મળે છે.



હવે p(x) ના અવયવો માટે, 



$$\therefore p(1) = 2(1)^3 (1)^2-2(1)-1$$



$$\therefore p(1) = 2 1−2-1$$



$$\therefore p(1) = 0$$



આપણે પ્રયત્નો દ્વારા જાણી શકીએ કે p(1)=0. તેથી x-1 એ p(x) નો અવયવ છે. 



હવે, $$2y^3 y^2-2y-1  = 2y^3 -2y^2   3y^2 -3y   y -1  $$



$$\therefore 2y^3 y^2-2y-1  = 2y^2(y−1)   3y(y−1)   1(y−1)  $$



$$\therefore 2y^3 y^2-2y-1  = (y−1)(2y^2 3y 1) $$



$$\therefore 2y^3 y^2-2y-1  = (y−1)(2y^2 2y y 1) $$



$$\therefore 2y^3 y^2-2y-1  = (y−1)(2y(y 1) 1(y 1)) $$



$$\therefore 2y^3 y^2-2y-1  = (y−1)(2y 1)(y 1) $$

સાચો જવાબ: A. (i) $$(x 4)(x  10) $$



સમીકરણ $$(x  a)(x  b) = x^ 2  (a  b)x  ab $$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, a = 4 અને b = 10)



$$\therefore (x 4)(x 10) = x^2 (4 10)x (4×10)$$



$$\therefore (x 4)(x 10) = x^2 14x 40$$



--- 



(ii) $$ (x 8)(x –10) $$



સમીકરણ $$(x  a)(x  b) = x^ 2  (a  b)x  ab $$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, a = 8 અને b = -10)



$$\therefore (x 8)(x –10) = x^2 (8-10)x (8×(-10))$$



$$\therefore (x 8)(x –10) = x^2-2x-80$$



---



(iii) $$(3x 4)(3x–5)$$



સમીકરણ $$(x  a)(x  b) = x^ 2  (a  b)x  ab $$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, a = 4 અને b = -5)



$$\therefore(3x 4)(3x–5) = (3x)^2 (4 (−5))x (4×(−5))$$



$$\therefore (3x 4)(3x–5) = 9x^2–3x–20$$



---



(iv) $$\left(y^2 \frac{3}{2}\right)\left(y^2-\frac{3}{2}\right)$$



સમીકરણ $$(x y)(x–y) = x^2–y^2$$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, $$x = y^2$$ અને $$y = \frac{3}{2}$$)



$$\therefore \left(y^2 \frac{3}{2}\right)\left(y^2-\frac{3}{2}\right) = (y^2)^2 - \left (\frac{3}{2}\right)^2$$



$$\therefore \left(y^2 \frac{3}{2}\right)\left(y^2-\frac{3}{2}\right) = y^4 - \frac{9}{4}$$



---



(v) $$(3-2x)(3 2x)$$



સમીકરણ $$(x  a)(x  b) = x^ 2  (a  b)x  ab $$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, x = 3,a = -2x અને b = 2x)



$$\therefore (3-2x)(3 2x) = (3)^2 (-2x 2x)x (-2x\times2x)$$



$$\therefore (3-2x)(3 2x) = 9–4x^2$$

સાચો જવાબ: A. (i) $$103×107$$



$$103×107= (100 3)×(100 7)$$



સમીકરણ $$(x  a)(x  b) = x^ 2  (a  b)x  ab $$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, x = 100,a = 3 અને b = 7)



$$\therefore 103×107 = (100 3)×(100 7)$$



$$=(100)^2 (3 7)100 (3×7)$$



$$= 10000 1000 21$$



$$= 11021$$



---



(ii) $$95×96  $$



$$95×96 = (100-5)×(100-4)$$



સમીકરણ $$(x  a)(x  b) = x^ 2  (a  b)x  ab $$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, x = 100,a = -5 અને b = -4)



$$\therefore 95×96 = (100-5)×(100-4)$$



$$=(100)^2 100(-5 (-4)) (-5×-4)$$



$$= 10000-900 20$$



$$= 9120$$



---



(iii)$$104×96$$



$$104×96 = (100 4)×(100–4)$$



સમીકરણ $$(x y)(x–y) = x^2–y^2$$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, x = 100 અને y = 4)



$$\therefore 104×96 = (100 4)×(100–4)$$



$$=(100)^2-(4)^2$$



$$= 10000–16$$



$$= 9984$$

 

સાચો જવાબ: A. (i) $$9x^2 6xy y^2$$



$$9x^2 6xy y^2 = (3x)^2 (2×3x×y) y^2$$



સમીકરણ $$x^2 2xy y^2 = (x y)^2$$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, x = 3x અને y = y)



$$\therefore 9x^2 6xy y^2 = (3x)^2 (2×3x×y) y^2$$



$$= (3x y)^2 $$



$$= (3x y)(3x y) $$



---



(ii) $$ 4y^2−4y 1$$



$$4y^2−4y 1 = (2y)^2-(2×2y×1) 1$$



સમીકરણ $$x^2-2xy y^2 = (x-y)^2$$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, x = 2y અને y = 1)



$$\therefore 4y^2−4y 1 = (2y)^2-(2×2y×1) 1$$



$$= (2y–1)^2 $$



$$= (2y–1)(2y–1) $$



---



(iii) $$ x^2–\frac{y^2}{100}$$



$$x^2–\frac{y^2}{100} = (x)^2-\left(\frac{y}{10}\right)^2$$



સમીકરણ $$ x^2–y^2= (x y)(x–y) $$ નો ઉપયોગ કરીને,



(અહીં, x = x અને $$y = \frac{y}{10}$$)



$$x^2–\frac{y^2}{100} = (x)^2-\left(\frac{y}{10}\right)^2$$



$$\left(x–\frac{y}{10} \right)\left(x \frac{y}{10} \right) $$

સાચો જવાબ: A. (i) $$ (x 2y 4z)^2$$ 



સમીકરણ, $$(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



(અહી, x = x, y = 2y અને z = 4z છે.)



$$\therefore (x 2y 4z)^2 = x^2 (2y)^2 (4z)^2 (2×x×2y) (2×2y×4z) (2×4z×x)$$



$$= x^2 4y^2 16z^2 4xy 16yz 8xz$$



---



(ii) $$ (2x−y z)^2$$ 



સમીકરણ, $$(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



(અહી, x = 2x, y = −y અને z = z છે.)



$$\therefore (2x−y z)^2 = (2x)^2 (−y)^2 z^2 (2×2x×(−y)) (2×(−y)×z) (2×z×2x)$$



$$= 4x^2 y^2 z^2–4xy–2yz 4xz$$



---



(iii) $$ (−2x 3y 2z)^2$$ 



સમીકરણ, $$(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



(અહી, x = -2x, y = 3y અને z = 2z છે.)



$$\therefore (−2x 3y 2z)^2 = (−2x)^2 (3y)^2 (2z)^2 (2×(−2x)×3y) (2×3y×2z) (2×2z×(−2x))$$



$$= 4x^2 9y^2 4z^2–12xy 12yz–8xz$$



---



(iv) $$ (3a –7b–c)^2$$ 



સમીકરણ, $$(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



(અહી, x = 3a, y = – 7b અને z = – c છે.)



$$\therefore (3a –7b– c)^2 = (3a)^2 (–7b)^2 (–c)^2 (2×3a×(–7b)) (2×(–7b)×(–c)) (2×(–c)×3a)$$



$$= 9a^2   49b^2   c^2– 42ab 14bc–6ca$$



---



(v) $$ (–2x 5y–3z)^2$$ 



સમીકરણ, $$(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



(અહી, x = –2x, y = 5y અને z = - 3z છે.)



$$\therefore (–2x 5y–3z)^2 = (–2x)^2 (5y)^2 (–3z)^2 (2×(–2x)×5y) (2×5y×(–3z)) (2×(–3z)×(–2x))$$



$$= 4x^2 25y^2 9z^2– 20xy–30yz 12zx$$



---



(vi) $$ \left(\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b  1\right)^2$$ 



સમીકરણ, $$(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



(અહી, $$x = \frac{1}{4}a, y = -\frac{1}{2}b $$અને z = 1 છે.)



$$ \left(\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b  1\right)^2 $$ $$= \left(\frac{1}{4}a\right)^2  \left(-\frac{1}{2}b\right)^2   1 ^2   \left(2\times \frac{1}{4}a \times -\frac{1}{2}b\right)   \left(2\times -\frac{1}{2}b \times 1\right)   \left(2\times 1 \times\frac{1}{4}a\right)$$ 



$$= \frac{1}{16}a^2   \frac{1}{4}b^2   1^2 - \frac{2}{8}ab - \frac{2}{2}b   \frac{2}{4}a$$



$$= \frac{1}{16}a^2   \frac{1}{4}b^2   1 - \frac{1}{4}ab - b   \frac{1}{2}a$$

સાચો જવાબ: A. (i) $$4x^2 9y^2 16z^2 12xy–24yz–16xz$$



સમીકરણ, $$(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



આથી આપણે કહી શકીએ કે, $$x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx = (x y z)^2$$



$$4x^2 9y^2 16z^2 12xy–24yz–16xz$$ $$= (2x)^2 (3y)^2 (−4z)^2 (2×2x×3y) (2×3y×(−4z)) (2×(−4z)×2x)$$



$$= (2x 3y–4z)^2 $$



$$= (2x 3y–4z)(2x 3y–4z) $$



---



(ii) $$2x^2 y^2 8z^2–2\sqrt{2}xy 4\sqrt{2}yz–8xz$$



સમીકરણ, $$(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



આથી આપણે કહી શકીએ કે, $$x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx = (x y z)^2$$



$$2x^2 y^2 8z^2–2\sqrt{2}xy 4\sqrt{2}yz–8xz $$



$$= (-\sqrt{2}x)^2 (y)^2 (2\sqrt{2}z)^2 (2×(-\sqrt{2}x)×y) (2×y×2\sqrt{2}z) (2×2\sqrt{2}×(−\sqrt{2}x))$$



$$= (−\sqrt{2}x y 2\sqrt{2}z)^2$$



$$= (−\sqrt{2}x y 2\sqrt{2}z)(−\sqrt{2}x y 2\sqrt{2}z) $$

સાચો જવાબ:  A. (i) $$(2x+1)^3$$



સમીકરણ, $$(x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



$$(2x+1)^3= (2x)^3+1^3+(3×2x×1)(2x+1) $$



$$= 8x^3+1+6x(2x+1) $$



$$= 8x^3+12x^2+6x+1 $$



---



(ii) $$(2a−3b)^3$$



સમીકરણ, $$(x–y)^3 = x^3–y^3–3xy(x–y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



$$(2a−3b)^3 = (2a)^3−(3b)^3–(3×2a×3b)(2a–3b) $$



$$= 8a^3–27b^3–18ab(2a–3b) $$



$$= 8a^3–27b^3–36a^2b+54ab^2 $$



---



(iii) $$\left(\frac{3}{2}x+1\right)^3$$



સમીકરણ, $$(x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



$$\left(\frac{3}{2}x+1\right)^3 =\left(\frac{3}{2}x\right)^3+ 1^3 + \left(3\times \frac{3}{2}x\times 1\right)\left(\frac{3}{2}x+1\right)$$



$$= \frac{27}{8}x^3+1+\frac{9}{2}x\left(\frac{3}{2}x+1\right)$$



$$= \frac{27}{8}x^3+1+\frac{27}{4}x^2+\frac{9}{2}x$$



$$= \frac{27}{8}x^3+\frac{27}{4}x^2+\frac{9}{2}x+1$$



---



(iv) $$\left(x−\frac{2}{3}y\right)^3$$



સમીકરણ, $$(x–y)^3 = x^3–y^3–3xy(x–y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



$$\left(x−\frac{2}{3}y\right)^3 =x^3 - \left(\frac{2}{3}y\right)^3-\left(3\times x\times\frac{2}{3}y\right)\left(x-\frac{2}{3}y\right)$$



$$=x^3 - \frac{8}{27}y^3-2xy\left(x-\frac{2}{3}y\right)



$$$$=x^3 - \frac{8}{27}y^3-2x^2y+\frac{4}{3}xy^2$$

સાચો જવાબ: A. (i) $$(99)^3$$



આપણે 99 ને 100–1 તરીકે લખી શકીએ. 



સમીકરણ, $$(x–y)^3 = x^3–y^3–3xy(x–y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



$$(99)^3 = (100–1)^3$$



$$= (100)^3–1^3–(3×100×1)(100–1)$$



$$= 1000000 –1–300(100 – 1)$$



$$= 1000000–1–30000+300$$



$$= 970299 $$



---



(ii) $$(102)^3$$



આપણે 102 ને 100+2 તરીકે લખી શકીએ. 



સમીકરણ, $$(x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



$$(102)^3 = (100+2)^3 $$



$$=(100)^3+2^3+(3×100×2)(100+2)$$



$$= 1000000 + 8 + 600(100 + 2)$$



$$= 1000000 + 8 + 60000 + 1200$$



$$= 1061208$$



---



(iii) $$ (998)^3$$

 

આપણે 999 ને 1000–2 તરીકે લખી શકીએ. 



સમીકરણ, $$(x–y)^3 = x^3–y^3–3xy(x–y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



$$(998)^3 =(1000–2)^3$$



$$=(1000)^3–2^3–(3×1000×2)(1000–2)$$



$$= 1000000000–8–6000(1000– 2)$$



$$= 1000000000–8- 6000000+12000 $$



$$= 994011992 $$

સાચો જવાબ: A. (i) $$8a^3+b^3+12a^2b+6ab^2$$ 



સમીકરણ,  $$(x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



આથી આપણે કહી શકીએ કે,$$ x^3+y^3+3xy(x+y) = (x+y)^3 $$



$$8a^3+b^3+12a^2b+6ab^2 = (2a)^3+b^3+3(2a)^2b+3(2a)(b)^2$$



$$= (2a)^3+b^3+6ab(2a+b)$$



$$= (2a+b)^3 $$



$$= (2a+b)(2a+b)(2a+b)$$ 



---



(ii) $$8a^3–b^3–12a^2b+6ab^2$$



સમીકરણ, $$(x–y)^3 = x^3–y^3–3xy(x–y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



આથી આપણે કહી શકીએ કે,$$ x^3–y^3–3xy(x–y) = (x–y)^3 $$



$$8a^3-b^3-12a^2b+6ab^2 = (2a)^3-b^3-3(2a)^2b+3(2a)(b)^2$$



$$= (2a)^3-b^3-6ab(2a-b)$$



$$= (2a-b)^3 $$



$$= (2a–b)(2a–b)(2a–b)$$ 



---



(iii) $$27–125a^3–135a +225^2  $$ 



સમીકરણ, $$(x–y)^3 = x^3–y^3–3xy(x–y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



આથી આપણે કહી શકીએ કે,$$ x^3–y^3–3xy(x–y) = (x–y)^3 $$



$$27–125a^3–135a +225^2 = 3^3–(5a)^3–3(3)^2(5a)+3(3)(5a)^2$$



$$= 3^3–(5a)^3-45a(3–5a)$$



$$= (3–5a)^3 $$



$$= (3–5a)(3–5a)(3–5a)$$ 



---



(iv) $$ 64a^3–27b^3–144a^2b+108ab^2$$



સમીકરણ, $$(x–y)^3 = x^3–y^3–3xy(x–y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



આથી આપણે કહી શકીએ કે,$$ x^3–y^3–3xy(x–y) = (x–y)^3 $$



$$64a^3–27b^3–144a^2b+108ab^2 = (4a)^3–(3b)^3–3(4a)^2(3b)+3(4a)(3b)^2$$



$$= (4a)^3–(3b)^3-36ab(4a–3b)$$



$$= (4a–3b)^3 $$



$$= (4a–3b)(4a–3b)(4a–3b)$$ 



---



(v) $$27p^3–\frac{1}{216}−\frac{9}{2} p^2+\frac{1}{4}p$$



સમીકરણ, $$(x–y)^3 = x^3–y^3–3xy(x–y)$$ નો ઉપયોગ કરતાં,



આથી આપણે કહી શકીએ કે,$$ x^3–y^3–3xy(x–y) = (x–y)^3 $$



$$27p^3–\frac{1}{216}−\frac{9}{2} p^2+\frac{1}{4}p = (3p)^3–\left(1/6\right)^3−3(3p)\left(1/6\right)\left(3p –\frac{1}{6}\right)$$



$$= (3p)^3–\left(1/6\right)^3-3\times 3p\times \frac{1}{6} \left(3p-\frac{1}{6}\right)$$



$$= \left(3p-\frac{1}{6}\right)^3 $$



$$= \left(3p-\frac{1}{6}\right)\left(3p-\frac{1}{6}\right)\left(3p-\frac{1}{6}\right)$$

સાચો જવાબ:  A. (i) $$x^3+y^3 = (x+y)(x^2–xy+y^2)$$



આપણે જાણીએ છીએ કે, $$(x+y)^3  = x^3+y^3+3xy(x+y)$$



$$x^3+y^3 = (x+y)^3–3xy(x+y)$$



$$x^3+y^3 = (x+y)[(x+y)^2–3xy]$$ (x+y સામાન્ય નીકાળતા) 



$$x^3+y^3 = (x+y)(x^2–xy+y^2)$$



---



(ii) $$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$$



આપણે જાણીએ છીએ કે, $$(x-y)^3  = x^3-y^3-3xy(x-y)$$



$$x^3-y^3 = (x-y)^3+3xy(x-y)$$



$$x^3-y^3 = (x-y)[(x-y)^2+3xy]$$ (x-y સામાન્ય નીકાળતા) 



$$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$$

સાચો જવાબ: A. (i) $$27y^3+125z^3$$



$$27y^3+125z^3$$ ને આપણે $$(3y)^3+(5z)^3$$ આ રીતે લખી શકીએ. 



આપણે જાણીએ છીએ કે, $$x^3+y^3 = (x+y)(x^2–xy+y^2)$$



$$27y^3+125z^3 = (3y)^3+(5z)^3$$



$$= (3y+5z)[(3y)^2–(3y)(5z)+(5z)^2]$$



$$= (3y+5z)(9y^2–15yz+25z^2)$$



---



(ii) $$64m^3–343n^3$$



$$64m^3–343n^3$$ ને આપણે (4m)3–(7n)3 આ રીતે લખી શકીએ. 



આપણે જાણીએ છીએ કે, $$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$$



$$64m^3–343n^3 = (4m)^3–(7n)^3$$



$$= (4m-7n)[(4m)^2+(4m)(7n)+(7n)^2]$$



$$= (4m-7n)(16m^2+28mn+49n^2)$$

સાચો જવાબ: A. $$27x^3+y^3+z^3–9xyz.$$



$$27x^3+y^3+z^3–9xyz  = (3x)^3+y^3+z^3–3(3x)(y)(z)$$



આપણે જાણીએ છીએ કે, $$ x^3+y^3+z^3–3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2–xy –yz–zx)$$



$$27x^3+y^3+z^3–9xyz  = (3x)^3+y^3+z^3–3(3x)(y)(z)$$



$$= (3x+y+z)[(3x)^2+y^2+z^2–3xy–yz–3xz]$$



$$= (3x+y+z)(9x^2+y^2+z^2–3xy–yz–3xz)$$

સાચો જવાબ: A. $$x^3+y^3+z^3–3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)[(x–y)^2+(y–z)^2+(z–x)^2]$$



આપણે જાણીએ છીએ કે, $$ x^3+y^3+z^3–3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2–xy –yz–zx)$$



$$x^3+y^3+z^3–3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)[2(x^2+y^2+z^2–xy–yz–xz)]$$



$$= \frac{1}{2}(x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2–2xy–2yz–2xz)$$



$$= \frac{1}{2}(x+y+z)[(x^2+y^2−2xy)+(y^2+z^2–2yz)+(x^2+z^2–2xz)]$$



$$= \frac{1}{2}(x+y+z)[(x–y)^2+(y–z)^2+(z–x)^2]$$

સાચો જવાબ:  A. આપણે જાણીએ છીએ કે, $$ x^3+y^3+z^3–3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2–xy –yz–zx)$$



હવે, x+y+z = 0 લેતા,



$$ x^3+y^3+z^3–3xyz = (0)(x^2+y^2+z^2–xy –yz–zx)$$



$$ x^3+y^3+z^3–3xyz = 0 $$



$$ x^3+y^3+z^3=3xyz $$

સાચો જવાબ: A. (i) $$(−12)^3+(7)^3+(5)^3 $$



આપણે જાણીએ છીએ કે, જો x+y+z = 0 હોય તો, $$ x^3+y^3+z^3=3xyz $$



ધારો કે, x = −12



y = 7



z = 5



અહી, x+y+z = −12+7+5 = 0



$$\therefore(−12)^3+(7)^3+(5)^3 = 3xyz$$



$$= 3×-12×7×5$$



$$= -1260$$



---



(ii) $$(28)^3+(−15)^3+(−13)^3 $$



આપણે જાણીએ છીએ કે, જો x+y+z = 0 હોય તો, $$ x^3+y^3+z^3=3xyz $$



ધારો કે, x = 28



y = -15



z = -13



અહી, x+y+z = 28–15–13 = 0



$$\therefore (28)^3+(−15)^3+(−13)^3 = 3xyz$$



$$ = 0+3(28)(−15)(−13)$$



$$ = 16380$$

સાચો જવાબ: A. (i) ક્ષેત્રફળ: $$25a^2–35a+12$$



મધ્યમ પદના વિભાજનની રીતનો ઉપયોગ કરતાં,



$$25a^2–35a+12 = 25a^2–15a−20a+12$$



$$= 5a(5a–3)–4(5a–3)$$



$$= (5a–4)(5a–3)$$



સંભવિત લબાઈ = 5a–4



સંભવિત પહોળાઇ = 5a –3



---



(ii) ક્ષેત્રફળ: $$35y^2+13y–12$$



મધ્યમ પદના વિભાજનની રીતનો ઉપયોગ કરતાં,



$$35y^2+13y–12 = 35y^2–15y+28y–12$$



$$= 5y(7y–3)+4(7y–3)$$



$$= (5y+4)(7y–3)$$



સંભવિત લબાઈ = (5y+4)



સંભવિત પહોળાઇ = (7y–3)

સાચો જવાબ: A. (i) ધનફળ : $$3x^2–12x$$



$$3x^2–12x = 3x(x–4)$$



સંભવિત લબાઈ = 3 



સંભવિત પહોળાઇ = x 



સંભવિત ઊંચાઈ = (x–4)



---



(ii) ધનફળ : $$12ky^2+8ky–20k$$



$$12ky^2+8ky–20k = 4k(3y^2+2y–5)$$



$$= 4k(3y^2+5y–3y–5)$$



$$= 4k[y(3y+5)–1(3y+5)]$$



$$= 4k(3y+5)(y–1)$$



સંભવિત લબાઈ = 4k 



સંભવિત પહોળાઇ = (3y +5) 



સંભવિત ઊંચાઈ = (y -1)