Chapter 5
ધોરણ 9 | విષય: Maths
સ્વાધ્યાય 5.1
સાચો જવાબ:
A. (i) એક બિંદુમાંથી પસાર થતી માત્ર એક રેખા દોરી શકાય છે.
→ વિધાન અસત્ય છે, કારણકે એક બિંદુ માંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થઈ શકે છે.
---
(ii) બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી અસંખ્ય રેખાઓ હોય છે.
→ વિધાન અસત્ય છે, કારણકે આપેલ વિધાન એ પૂર્વધારણા 5.1 નું સમાધાન કરતું નથી.
---
(iii) એક સાન્ત રેખાને બંને તરફ અનિશ્ચિત રીતે લંબાવી શકાય છે.
→ વિધાન સત્ય છે, કારણકે તે પૂર્વધારણા 2 નું સમાધાન કરે છે.
---
(iv) જો બે વર્તુળ સમાન છે તો તેમની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે
→ વિધાન સત્ય છે, કારણકે જો તમે એક વર્તુળના ક્ષેત્રફળને બીજા વર્તુળના ક્ષેત્રફળથી ઢાંકી દો તો તે સંપાત થઈ જશે. તેથી તેમનાં કેન્દ્ર અને સીમાઓ એક બીજા પર આવી જશે. તેથી તેમની ત્રિજયાઓ એક જ થઇ જશે.
---
(v) આકૃતિ 5.9 માં જો AB = PQ અને PQ = XY છે, તો AB = XY થાય.
→ વિધાન સત્ય છે, કારણકે આપેલ વિધાન યુક્લિડ ની પ્રથમ પૂર્વધારણા અનુસરે છે.
→ વિધાન અસત્ય છે, કારણકે એક બિંદુ માંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થઈ શકે છે.
---
(ii) બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી અસંખ્ય રેખાઓ હોય છે.
→ વિધાન અસત્ય છે, કારણકે આપેલ વિધાન એ પૂર્વધારણા 5.1 નું સમાધાન કરતું નથી.
---
(iii) એક સાન્ત રેખાને બંને તરફ અનિશ્ચિત રીતે લંબાવી શકાય છે.
→ વિધાન સત્ય છે, કારણકે તે પૂર્વધારણા 2 નું સમાધાન કરે છે.
---
(iv) જો બે વર્તુળ સમાન છે તો તેમની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે
→ વિધાન સત્ય છે, કારણકે જો તમે એક વર્તુળના ક્ષેત્રફળને બીજા વર્તુળના ક્ષેત્રફળથી ઢાંકી દો તો તે સંપાત થઈ જશે. તેથી તેમનાં કેન્દ્ર અને સીમાઓ એક બીજા પર આવી જશે. તેથી તેમની ત્રિજયાઓ એક જ થઇ જશે.
---
(v) આકૃતિ 5.9 માં જો AB = PQ અને PQ = XY છે, તો AB = XY થાય.
→ વિધાન સત્ય છે, કારણકે આપેલ વિધાન યુક્લિડ ની પ્રથમ પૂર્વધારણા અનુસરે છે.
સાચો જવાબ:
A. (i) સમાંતર રેખાઓ
→ એક જ સમતલમાં આવેલી બે ભિન્ન રેખાઓ કે જે ક્યારેય એકબીજાને છેદે નહીં તો તે બંને રેખાઓને સમાંતર રેખાઓ કહે છે.
(ii) લંબરેખાઓ
→ બે રેખાઓ એકબીજાને જો લંબરૂપે (90 અંશ ના ખૂણે) છેદે તો તે બંને રેખાઓને લંબરેખાઓ કહેવાય છે.
(iii) રેખાખંડ
→ બે અંત્યબિંદુઓ ધરાવતા રેખાના ભાગને રેખાંખંડ કહે છે.
(iv) વર્તુળની ત્રિજયા
→ વર્તુળના કેન્દ્રથી વર્તુળના પરિઘ પર રહેલા કોઈ બિંદુ વચ્ચેના અંતરને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહે છે.
(v) ચોરસ
→ જે ચતુષ્કોણની ચારય બાજુ અને ચારેય ખૂણા સમાન હોય તો તે ચતુષ્કોણને ચોરસ કહે છે.
→ અહી સમતલ, રેખા, કાટખૂણો, બિંદુ, વર્તુળનું કેન્દ્ર, પરિઘ, ચતુષ્કોણ, જેવા પદોને વ્યાખ્યાયિત કરીશું.
→ સમતલ, રેખા અને બિંદુ અવ્યાખ્યાયિત પદો છે.
* કાટખૂણો: જે ખૂણાનું માપ બરાબર 90 હોય તેવા ખૂણાને કાટખૂણો કહે છે.
* વર્તુળનું કેન્દ્ર: વર્તુળના સમતલમાં આવેલું એવું બિંદુ કે જે વર્તુળ પરના દરેક બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલ હોય તો તે બિન્દુને વર્તુળનું કેન્દ્ર કહે છે.
* પરિઘ: વર્તુળની પરિમિતિને પરિઘ કહે છે.
* ચતુષ્કોણ: એક જ સમતલમાં આવેલી ચાર ખૂણાઓ અને ચાર બાજુઓ ધરાવતી બંધ આકૃતિને ચતુષ્કોણ કહે છે.
→ એક જ સમતલમાં આવેલી બે ભિન્ન રેખાઓ કે જે ક્યારેય એકબીજાને છેદે નહીં તો તે બંને રેખાઓને સમાંતર રેખાઓ કહે છે.
(ii) લંબરેખાઓ
→ બે રેખાઓ એકબીજાને જો લંબરૂપે (90 અંશ ના ખૂણે) છેદે તો તે બંને રેખાઓને લંબરેખાઓ કહેવાય છે.
(iii) રેખાખંડ
→ બે અંત્યબિંદુઓ ધરાવતા રેખાના ભાગને રેખાંખંડ કહે છે.
(iv) વર્તુળની ત્રિજયા
→ વર્તુળના કેન્દ્રથી વર્તુળના પરિઘ પર રહેલા કોઈ બિંદુ વચ્ચેના અંતરને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહે છે.
(v) ચોરસ
→ જે ચતુષ્કોણની ચારય બાજુ અને ચારેય ખૂણા સમાન હોય તો તે ચતુષ્કોણને ચોરસ કહે છે.
→ અહી સમતલ, રેખા, કાટખૂણો, બિંદુ, વર્તુળનું કેન્દ્ર, પરિઘ, ચતુષ્કોણ, જેવા પદોને વ્યાખ્યાયિત કરીશું.
→ સમતલ, રેખા અને બિંદુ અવ્યાખ્યાયિત પદો છે.
* કાટખૂણો: જે ખૂણાનું માપ બરાબર 90 હોય તેવા ખૂણાને કાટખૂણો કહે છે.
* વર્તુળનું કેન્દ્ર: વર્તુળના સમતલમાં આવેલું એવું બિંદુ કે જે વર્તુળ પરના દરેક બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલ હોય તો તે બિન્દુને વર્તુળનું કેન્દ્ર કહે છે.
* પરિઘ: વર્તુળની પરિમિતિને પરિઘ કહે છે.
* ચતુષ્કોણ: એક જ સમતલમાં આવેલી ચાર ખૂણાઓ અને ચાર બાજુઓ ધરાવતી બંધ આકૃતિને ચતુષ્કોણ કહે છે.
સાચો જવાબ:
A. (i) જો બે ભિન્ન બિંદુ A અને B આપ્યાં હોય, તો તેમની વચ્ચે હોય તેવું એક બિંદુ C મળે.
(ii) એક રેખા પર ન આવેલાં હોય તેવાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિંદુઓ મળે.
શું આ પૂર્વધારણાઓમાં કોઈ અવ્યાખ્યાયિત પદ છે? શું આ પૂર્વધારણાઓ સુસંગત છે? શું આ પૂર્વધારણાઓ યુક્લિડની પૂર્વધારણામાંથી મળે છે? સ્પષ્ટ કરો.
*(i) યુક્લિડની પૂર્વધારણા પરથી કહી શકાય કે બે બિંદુઓ A અને B આપેલ હોય તો બિંદુ C રેખા પર તેમની વચ્ચે મળે. અહી બિંદુ અને રેખા એ બંને અવ્યાખ્યાયિત પદ છે.*
*(ii) યુક્લિડની પૂર્વધારણા પરથી ક્હી શકાય કે બે બિંદુઓ A અને B આપેલ હોય તો તમે બિંદુ C એવું લઇ શકો કે જે A અને B માંથી પસાર થતી રેખા પર ના હોય.*
→ આ ‘પૂર્વધારણાઓ’ યુક્લિડની પૂર્વધારણાઓને અનુસરતી નથી. આમ છતાં તે પૂર્વધારણા 5.1 ને અનુસરે છે.
(ii) એક રેખા પર ન આવેલાં હોય તેવાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિંદુઓ મળે.
શું આ પૂર્વધારણાઓમાં કોઈ અવ્યાખ્યાયિત પદ છે? શું આ પૂર્વધારણાઓ સુસંગત છે? શું આ પૂર્વધારણાઓ યુક્લિડની પૂર્વધારણામાંથી મળે છે? સ્પષ્ટ કરો.
*(i) યુક્લિડની પૂર્વધારણા પરથી કહી શકાય કે બે બિંદુઓ A અને B આપેલ હોય તો બિંદુ C રેખા પર તેમની વચ્ચે મળે. અહી બિંદુ અને રેખા એ બંને અવ્યાખ્યાયિત પદ છે.*
*(ii) યુક્લિડની પૂર્વધારણા પરથી ક્હી શકાય કે બે બિંદુઓ A અને B આપેલ હોય તો તમે બિંદુ C એવું લઇ શકો કે જે A અને B માંથી પસાર થતી રેખા પર ના હોય.*
→ આ ‘પૂર્વધારણાઓ’ યુક્લિડની પૂર્વધારણાઓને અનુસરતી નથી. આમ છતાં તે પૂર્વધારણા 5.1 ને અનુસરે છે.
સાચો જવાબ:
→ AC = BC
તેથી, AC+AC = BC+AC (સમાનમાં સમાન ઉમેરતા)
એટલે કે, 2AC = AB (BC+AC=AB)
તેથી, $$AC =\frac{AB}{2}$$
તેથી, AC+AC = BC+AC (સમાનમાં સમાન ઉમેરતા)
એટલે કે, 2AC = AB (BC+AC=AB)
તેથી, $$AC =\frac{AB}{2}$$
સાચો જવાબ:
A. → આપણે જાણીએ છીએ કે $$AC =\frac{AB}{2}$$ ---- (1)
અહી ધારો કે બિંદુ D એ બિંદુ C થી ભિન્ન છે અને બિંદુઓ A અને B થી સમાન અંતરે આવેલ છે.
હવે, સમીકરણ (1) મુજબ
$$AD =\frac{AB}{2}$$ ---(2)
અહી સમીકરણ (1) અને (2) પરથી
તેથી કહી શકાય કે બિંદુ Dઅને બિંદુ C એ રેખાખંડ પર એક જ સ્થાને આવેલ હોય.
કોઈ પણ રેખાંખંડને અનન્ય મધ્યબિંદુ હોય.
અહી ધારો કે બિંદુ D એ બિંદુ C થી ભિન્ન છે અને બિંદુઓ A અને B થી સમાન અંતરે આવેલ છે.
હવે, સમીકરણ (1) મુજબ
$$AD =\frac{AB}{2}$$ ---(2)
અહી સમીકરણ (1) અને (2) પરથી
તેથી કહી શકાય કે બિંદુ Dઅને બિંદુ C એ રેખાખંડ પર એક જ સ્થાને આવેલ હોય.
કોઈ પણ રેખાંખંડને અનન્ય મધ્યબિંદુ હોય.
સાચો જવાબ:
→ AC = BD (આપેલ છે) ---(1)
AC = AB+BC (બિંદુ B, A અને C ની વચ્ચે આવેલ છે) ---(2)
BD= BC+CD (બિંદુ C, B અને Dની વચ્ચે આવેલ છે) ---(3)
(2) અને (3) ની કિંમત (1) માં મૂકતા,
AB + BC = BC + CD
તેથી, AB = CD (સમાનમાંથી સમાન બાદ કરતાં)
AC = AB+BC (બિંદુ B, A અને C ની વચ્ચે આવેલ છે) ---(2)
BD= BC+CD (બિંદુ C, B અને Dની વચ્ચે આવેલ છે) ---(3)
(2) અને (3) ની કિંમત (1) માં મૂકતા,
AB + BC = BC + CD
તેથી, AB = CD (સમાનમાંથી સમાન બાદ કરતાં)
સાચો જવાબ:
-> ભાગ કરતાં આખું હમેશા મોટું હોય છે, આ દુનિયાના કોઈ પણ ભાગમાં સત્ય હોવાથી, આ સનાતન સત્ય છે.