chapter 6

ઉકેલ:

1. 
   

   રેખા $AB$ અને $CD$ પરસ્પર $O$ માં છેદતી હોવાથી અભિકોણ સમાન થાય:

   
   $$\angle AOC = \angle BOD = 40^\circ$$


2. 
   

   આપેલ છે કે $\angle AOC + \angle BOE = 70^\circ$:

   
   $$40^\circ + \angle BOE = 70^\circ \implies \angle BOE = 30^\circ$$


3. 
   

   રેખા $AB$ પરના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય:

   
   $$\angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^\circ$$
   
   $$(\angle AOC + \angle BOE) + \angle COE = 180^\circ$$
   
   $$70^\circ + \angle COE = 180^\circ \implies \angle COE = 110^\circ$$


4. 
   

   વિપરીત $\angle COE$ શોધો:

   
   $$\text{વિપરીત } \angle COE = 360^\circ - \angle COE = 360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$$

જવાબ: $\angle BOE = 30^\circ$ અને વિપરીત $\angle COE = 250^\circ$.

ઉકેલ:

1. 
   

   રેખા $XY$ પર શિરોલંબ $OP$ આવેલ છે, તેથી:

   
   $$\angle POX = 180^\circ - \angle POY = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
   
   $$\angle POX = a + b = 90^\circ$$


2. 
   

   ધારો કે $a = 2x$ અને $b = 3x$:

   
   $$2x + 3x = 90^\circ \implies 5x = 90^\circ \implies x = 18^\circ$$
   
   $$a = 2 \times 18^\circ = 36^\circ$$
   
   $$b = 3 \times 18^\circ = 54^\circ$$


3. 
   

   રેખા $MN$ પર $b$ અને $c$ રૈખિક જોડના ખૂણા છે:

   
   $$b + c = 180^\circ$$
   
   $$54^\circ + c = 180^\circ \implies c = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$$

જવાબ: $c = 126^\circ$.

ઉકેલ:

1. 
   

   બિંદુ $Q$ આગળ રૈખિક જોડના ખૂણા:

   
   $$\angle PQS + \angle PQR = 180^\circ \quad \text{--- (1)}$$


2. 
   

   બિંદુ $R$ આગળ રૈખિક જોડના ખૂણા:

   
   $$\angle PRT + \angle PRQ = 180^\circ \quad \text{--- (2)}$$


3. 
   

   સમીકરણ (1) અને (2) નેરખાવતાં:

   
   $$\angle PQS + \angle PQR = \angle PRT + \angle PRQ$$


4. 
   

   પરંતુ આપેલ છે કે $\angle PQR = \angle PRQ$. તેથી બંને બાજુથી આ ખૂણા બાદ કરતાં:

   
   $$\angle PQS = \angle PRT$$
   
   

   (સાબિત થાય છે)

   
   

ઉકેલ:

1. 
   

   બિંદુ $O$ આસપાસના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો $360^\circ$ થાય:

   
   $$(x + y) + (w + z) = 360^\circ$$


2. 
   

   આપેલ છે કે $w + z = x + y$:

   
   $$(x + y) + (x + y) = 360^\circ$$
   
   $$2(x + y) = 360^\circ \implies x + y = 180^\circ$$


3. 
   

   રૈખિક જોડની પૂર્વધારણાના પ્રતીપ મુજબ, જો બે આસન્ન કોણોનો સરવાળો $180^\circ$ થાય, તો સામાન્ય ન હોય તેવી બાજુઓ એક રેખા બનાવે છે.

   
   


4. 
   

   તેથી, $AOB$ એક સીધી રેખા છે. (સાબિત થાય છે)

   
   

ઉકેલ:

1. 
   

   $OR \perp PQ$ હોવાથી, $\angle POR = 90^\circ$ અને $\angle QOR = 90^\circ$.

   
   


2. 
   

   આકૃતિ પરથી:

   
   $$\angle ROS = \angle POR - \angle POS = 90^\circ - \angle POS \quad \text{--- (1)}$$


3. 
   

   તે જ રીતે:

   
   $$\angle QOS = \angle QOR + \angle ROS = 90^\circ + \angle ROS$$
   
   $$\implies \angle ROS = \angle QOS - 90^\circ \quad \text{--- (2)}$$


4. 
   

   સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં:

   
   $$2 \angle ROS = (90^\circ - \angle POS) + (\angle QOS - 90^\circ)$$
   
   $$2 \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$$
   
   $$\angle ROS = \frac{1}{2} (\angle QOS - \angle POS)$$
   

   (સાબિત થાય છે)

   
   

ઉકેલ:

1. 
   

   $XYP$ સીધી રેખા હોવાથી:

   
   $$\angle XYZ + \angle ZYP = 180^\circ$$
   
   $$64^\circ + \angle ZYP = 180^\circ \implies \angle ZYP = 116^\circ$$


2. 
   

   કિરણ $YQ$ એ $\angle ZYP$ નો દ્વિભાજક છે:

   
   $$\angle ZYQ = \angle QYP = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$$


3. 
   

   ખૂણો $\angle XYQ$:

   
   $$\angle XYQ = \angle XYZ + \angle ZYQ = 64^\circ + 58^\circ = 122^\circ$$


4. 
   

   વિપરીત $\angle QYP$:

   
   $$\text{વિપરીત } \angle QYP = 360^\circ - \angle QYP = 360^\circ - 58^\circ = 302^\circ$$

જવાબ: $\angle XYQ = 122^\circ$ અને વિપરીત $\angle QYP = 302^\circ$.

ઉકેલ:

1. 
   

   $AB \parallel CD$ અને $CD \parallel EF \implies AB \parallel EF$.

   
   


2. 
   

   $AB \parallel EF$ માં યુગ્મકોણ સમાન હોય:

   
   $$x = z \quad \text{--- (1)}$$


3. 
   

   $AB \parallel CD$ માં છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણનો સરવાળો $180^\circ$ થાય:

   
   $$x + y = 180^\circ \implies z + y = 180^\circ$$


4. 
   

   ધારો કે $y = 3k$ અને $z = 7k$:

   
   $$3k + 7k = 180^\circ \implies 10k = 180^\circ \implies k = 18^\circ$$
   
   $$z = 7 \times 18^\circ = 126^\circ$$


5. 
   

   તેથી, $x = z = 126^\circ$.

   
   

જવાબ: $x = 126^\circ$.

ઉકેલ:

1. 
   

   $AB \parallel CD$ અને છેદિકા $GE$ માટે યુગ્મકોણ સમાન થાય:

   
   $$\angle AGE = \angle GED = 126^\circ$$


2. 
   

   આકૃતિ મુજબ $\angle GED = \angle GEF + \angle FED$. ($EF \perp CD \implies \angle FED = 90^\circ$)

   
   $$126^\circ = \angle GEF + 90^\circ \implies \angle GEF = 126^\circ - 90^\circ = 36^\circ$$


3. 
   

   રેખા $AB$ પર $\angle AGE$ અને $\angle FGE$ રૈખિક જોડ બનાવે છે:

   
   $$\angle AGE + \angle FGE = 180^\circ$$
   
   $$126^\circ + \angle FGE = 180^\circ \implies \angle FGE = 54^\circ$$

જવાબ: $\angle AGE = 126^\circ$, $\angle GEF = 36^\circ$, અને $\angle FGE = 54^\circ$.

ઉકેલ:

1. 
   

   બિંદુ $R$ માંથી $ST$ ને સમાંતર રેખા $RU$ દોરો. તેથી $PQ \parallel ST \parallel RU$.

   
   


2. 
   

   $ST \parallel RU$ માટે છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણ:

   
   $$\angle RST + \angle SRU = 180^\circ \implies 130^\circ + \angle SRU = 180^\circ \implies \angle SRU = 50^\circ$$


3. 
   

   $PQ \parallel RU$ માટે યુગ્મકોણ સમાન થાય:

   
   $$\angle QRU = \angle PQR = 110^\circ$$


4. 
   

   ખૂણો $\angle QRS$:

   
   $$\angle QRS = \angle QRU - \angle SRU = 110^\circ - 50^\circ = 60^\circ$$

જવાબ: $\angle QRS = 60^\circ$.

ઉકેલ:

1. 
   

   $AB \parallel CD$ અને છેદિકા $PQ$ માટે યુગ્મકોણ સમાન થાય:

   
   $$x = \angle APQ = 50^\circ$$


2. 
   

   $AB \parallel CD$ અને છેદિકા $PR$ માટે યુગ્મકોણ સમાન થાય:

   
   $$\angle APR = \angle PRD$$
   
   $$50^\circ + y = 127^\circ \implies y = 127^\circ - 50^\circ = 77^\circ$$

જવાબ: $x = 50^\circ$ અને $y = 77^\circ$.

ઉકેલ:

1. 
   

   બિંદુ $B$ પર $BM \perp PQ$ અને બિંદુ $C$ પર $CN \perp RS$ દોરો.

   
   
   

   $PQ \parallel RS$ હોવાથી તેના લંબ પણ સમાંતર થશે: $BM \parallel CN$.

   
   


2. 
   

   પરાવર્તનના નિયમ મુજબ (આપાતકોણ = પરાવર્તનકોણ):

   
   
   
   
   
   • 
     

     બિંદુ $B$ આગળ: $\angle1 = \angle2 \implies \angle ABC = 2\angle2$

     
     
   
   
   • 
     

     બિંદુ $C$ આગળ: $\angle3 = \angle4 \implies \angle BCD = 2\angle3$

     
     
   
   
   
   


3. 
   

   $BM \parallel CN$ અને છેદિકા $BC$ માટે યુગ્મકોણ સમાન થાય:

   
   $$\angle2 = \angle3$$


4. 
   

   બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતાં:

   
   $$2\angle2 = 2\angle3 \implies \angle ABC = \angle BCD$$


5. 
   

   અહીં રેખાઓ $AB$ અને $CD$ માટે છેદિકા $BC$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણ સમાન થાય છે.

   
   


6. 
   

   તેથી, યુગ્મકોણના પ્રતીપ ગુણધર્મ મુજબ $AB \parallel CD$. (સાબિત થાય છે)