chapter 7

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $AC = AD$ અને $AB$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે ($\angle CAB = \angle DAB$).

  
  


• 
  

  સાધ્ય: (i) $\triangle ABC \cong \triangle ABD$, (ii) $BC$ અને $BD$ વચ્ચેનો સંબંધ.

  
  

સાબિતી:

$\triangle ABC$ અને $\triangle ABD$ માં:

1. 
   

   $AC = AD$ (પક્ષ)

   
   


2. 
   

   $\angle CAB = \angle DAB$ ($AB$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી)

   
   


3. 
   

   $AB = AB$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, બાખૂબા (SAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABC \cong \triangle ABD$$

હવે, એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી (CPCT):

$$BC = BD$$

તારણ: $BC$ અને $BD$ ની લંબાઈ સમાન છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $AD = BC$ અને $\angle DAB = \angle CBA$.

  
  

સાબિતી:

(i) $\triangle ABD$ અને $\triangle BAC$ માટે:

1. 
   

   $AD = BC$ (પક્ષ)

   
   


2. 
   

   $\angle DAB = \angle CBA$ (પક્ષ)

   
   


3. 
   

   $AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, બાખૂબા (SAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABD \cong \triangle BAC$$

(ii) $BD = AC$ માટે:

$\triangle ABD \cong \triangle BAC$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$BD = AC$$

(iii) $\angle ABD = \angle BAC$ માટે:

$\triangle ABD \cong \triangle BAC$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$\angle ABD = \angle BAC$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $AD \perp AB$, $BC \perp AB$ અને $AD = BC$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $CD$ એ $AB$ ને દુભાગે છે, એટલે કે $OA = OB$.

  
  

સાબિતી:

$\triangle BOC$ અને $\triangle AOD$ માં:

1. 
   

   $\angle BOC = \angle AOD$ (અભિકોણો)

   
   


2. 
   

   $\angle CBO = \angle DAO = 90^\circ$ (લંબ હોવાથી)

   
   


3. 
   

   $BC = AD$ (પક્ષ)

   
   

તેથી, ખૂખૂબા (AAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle BOC \cong \triangle AOD$$

એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી (CPCT):

$$OB = OA$$

આમ, $CD$ એ $AB$ ને દુભાગે છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $l \parallel m$ અને $p \parallel q$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$

  
  

સાબિતી:

અહીં $p \parallel q$ હોવાથી $AB \parallel CD$ અને $l \parallel m$ હોવાથી $BC \parallel AD$ થાય.

$\triangle ABC$ અને $\triangle CDA$ માં:

1. 
   

   $\angle BAC = \angle DCA$ ($AB \parallel CD$ ની છેદિકા $AC$ થી બનતા યુગ્મકોણ)

   
   


2. 
   

   $AC = CA$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   


3. 
   

   $\angle BCA = \angle DAC$ ($AD \parallel BC$ ની છેદિકા $AC$ થી બનતા યુગ્મકોણ)

   
   

તેથી, ખૂબાખૂ (ASA) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: રેખા $l$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે ($\angle PAB = \angle QAB$), અને $BP \perp AP$, $BQ \perp AQ$.

  
  

સાબિતી:

(i) $\triangle APB$ અને $\triangle AQB$ માટે:

1. 
   

   $\angle APB = \angle AQB = 90^\circ$ (લંબ હોવાથી)

   
   


2. 
   

   $\angle PAB = \angle QAB$ (રેખા $l$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી)

   
   


3. 
   

   $AB = AB$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, ખૂખૂબા (AAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle APB \cong \triangle AQB$$

(ii) $BP = BQ$ માટે:

$\triangle APB \cong \triangle AQB$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$BP = BQ$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $AC = AE$, $AB = AD$ અને $\angle BAD = \angle EAC$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $BC = DE$

  
  

સાબિતી:

આપણને આપેલ છે કે:

$$\angle BAD = \angle EAC$$

બંને બાજુ $\angle DAC$ ઉમેરતાં:

$$\angle BAD + \angle DAC = \angle EAC + \angle DAC$$

$$\therefore \angle BAC = \angle DAE \quad \text{--- (સમીકરણ 1)}$$

હવે $\triangle ABC$ અને $\triangle ADE$ ની સરખામણી કરતાં:

1. 
   

   $AB = AD$ (પક્ષ)

   
   


2. 
   

   $\angle BAC = \angle DAE$ (સમીકરણ 1 પરથી)

   
   


3. 
   

   $AC = AE$ (પક્ષ)

   
   

તેથી, બાખૂબા (SAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABC \cong \triangle ADE$$

તેથી, CPCT મુજબ:

$$BC = DE$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે ($AP = PB$), $\angle BAD = \angle ABE$ અને $\angle EPA = \angle DPB$.

  
  

સાબિતી:

આપણને આપેલ છે કે:

$$\angle EPA = \angle DPB$$

બંને બાજુ $\angle EPD$ ઉમેરતાં:

$$\angle EPA + \angle EPD = \angle DPB + \angle EPD$$

$$\therefore \angle DPA = \angle EPB \quad \text{--- (સમીકરણ 1)}$$

(i) $\triangle DAP$ અને $\triangle EBP$ માટે:

1. 
   

   $\angle DAP = \angle EBP$ ($\angle BAD = \angle ABE$ આપેલ છે)

   
   


2. 
   

   $AP = BP$ ($P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી)

   
   


3. 
   

   $\angle DPA = \angle EPB$ (સમીકરણ 1 પરથી)

   
   

તેથી, ખૂબાખૂ (ASA) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle DAP \cong \triangle EBP$$

(ii) $AD = BE$ માટે:

$\triangle DAP \cong \triangle EBP$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$AD = BE$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\angle ACB = 90^\circ$, $AM = BM$, અને $DM = CM$.

  
  

સાબિતી:

(i) $\triangle AMC$ અને $\triangle BMD$ માટે:

1. 
   

   $AM = BM$ ($M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે)

   
   


2. 
   

   $\angle AMC = \angle BMD$ (અભિકોણો)

   
   


3. 
   

   $CM = DM$ (પક્ષ)

   
   

તેથી, બાખૂબા (SAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle AMC \cong \triangle BMD$$

(ii) $\angle DBC$ કાટખૂણો છે તે સાબિત કરવા:

$\triangle AMC \cong \triangle BMD$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$\angle MAC = \angle MBD$$

આ ખૂણાઓ યુગ્મકોણોની જોડ રચે છે. યુગ્મકોણો સમાન હોવાથી, $DB \parallel AC$ થાય.

છેદિકા $BC$ માટે અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^\circ$ થાય:

$$\angle DBC + \angle ACB = 180^\circ$$

$$\angle DBC + 90^\circ = 180^\circ$$

$$\therefore \angle DBC = 90^\circ$$

(iii) $\triangle DBC$ અને $\triangle ACB$ માટે:

1. 
   

   $DB = AC$ ($\triangle AMC \cong \triangle BMD$ પરથી CPCT)

   
   


2. 
   

   $\angle DBC = \angle ACB = 90^\circ$

   
   


3. 
   

   $BC = CB$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, બાખૂબા (SAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle DBC \cong \triangle ACB$$

(iv) $CM = \frac{1}{2} AB$ સાબિત કરવા:

$\triangle DBC \cong \triangle ACB$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$DC = AB$$

પરંતુ $M$ એ $DC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી $CM = \frac{1}{2} DC$ થાય.

$DC$ ની જગ્યાએ $AB$ મૂકતાં:

$$CM = \frac{1}{2} AB$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ માં $AB = AC$, $OB$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક છે અને $OC$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે.

  
  

સાબિતી:

(i) $OB = OC$ માટે:

$\triangle ABC$ માં $AB = AC$ આપેલ છે.

સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી:

$$\angle B = \angle C$$

બંને બાજુ $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતાં:

$$\frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle C$$

$OB$ અને $OC$ એ અનુક્રમે $\angle B$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો હોવાથી:

$$\angle OBC = \angle OCB$$

ત્રિકોણ $OBC$ માં સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે. તેથી:

$$OB = OC$$

(ii) $AO$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે તે માટે:

$\triangle AOB$ અને $\triangle AOC$ ની સરખામણી કરતાં:

1. 
   

   $AB = AC$ (પક્ષ)

   
   


2. 
   

   $OB = OC$ (ભાગ (i) માં સાબિત કર્યું)

   
   


3. 
   

   $AO = AO$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, બાબાબા (SSS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle AOB \cong \triangle AOC$$

એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી (CPCT):

$$\angle OAB = \angle OAC$$

આમ, $AO$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $AD \perp BC$ અને $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે ($BD = CD$).

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $AB = AC$

  
  

સાબિતી:

$\triangle ADB$ અને $\triangle ADC$ માં:

1. 
   

   $AD = AD$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   


2. 
   

   $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ ($AD \perp BC$ હોવાથી)

   
   


3. 
   

   $BD = CD$ ($AD$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી)

   
   

તેથી, બાખૂબા (SAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ADB \cong \triangle ADC$$

એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી (CPCT):

$$AB = AC$$

આમ, $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ માં $AC = AB$, $BE \perp AC$ અને $CF \perp AB$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $BE = CF$

  
  

સાબિતી:

$\triangle ABE$ અને $\triangle ACF$ ની સરખામણી કરતાં:

1. 
   

   $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (વેધ હોવાથી)

   
   


2. 
   

   $\angle A = \angle A$ (સામાન્ય ખૂણો)

   
   


3. 
   

   $AB = AC$ (પક્ષ)

   
   

તેથી, ખૂખૂબા (AAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABE \cong \triangle ACF$$

એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી (CPCT):

$$BE = CF$$

આમ, બંને વેધ સમાન છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $BE \perp AC$, $CF \perp AB$ અને $BE = CF$.

  
  

સાબિતી:

(i) $\triangle ABE \cong \triangle ACF$ સાબિત કરવા:

$\triangle ABE$ અને $\triangle ACF$ માં:

1. 
   

   $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (વેધ હોવાથી)

   
   


2. 
   

   $\angle A = \angle A$ (સામાન્ય ખૂણો)

   
   


3. 
   

   $BE = CF$ (પક્ષ)

   
   

તેથી, ખૂખૂબા (AAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABE \cong \triangle ACF$$

(ii) $AB = AC$ સાબિત કરવા:

$\triangle ABE \cong \triangle ACF$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$AB = AC$$

આમ, $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ માં $AB = AC$ અને $\triangle DBC$ માં $DB = DC$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $\angle ABD = \angle ACD$

  
  

સાબિતી:

$\triangle ABC$ માં, $AB = AC$ હોવાથી:

$$\angle ABC = \angle ACB \quad \text{--- (સમીકરણ 1)}$$

$\triangle DBC$ માં, $DB = DC$ હોવાથી:

$$\angle DBC = \angle DCB \quad \text{--- (સમીકરણ 2)}$$

સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (2) નો સરવાળો કરતાં:

$$\angle ABC + \angle DBC = \angle ACB + \angle DCB$$

$$\therefore \angle ABD = \angle ACD$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ માં $AB = AC$ અને $AD = AB$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $\angle BCD = 90^\circ$

  
  

સાબિતી:

$\triangle ABC$ માં, $AB = AC$ આપેલ છે.

$$\therefore \angle ACB = \angle ABC \quad \text{--- (સમીકરણ 1)}$$

હવે, $AD = AB$ અને $AB = AC$ હોવાથી, $AD = AC$ થાય.

$\triangle ACD$ માં, $AD = AC$ હોવાથી:

$$\angle ACD = \angle ADC \quad \text{--- (સમીકરણ 2)}$$

સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (2) નો સરવાળો કરતાં:

$$\angle ACB + \angle ACD = \angle ABC + \angle ADC$$

$$\therefore \angle BCD = \angle ABC + \angle ADC$$

હવે, મોટા ત્રિકોણ $\triangle BCD$ ના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય:

$$\angle BCD + \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$$

$(\angle ABC + \angle ADC)$ ની જગ્યાએ $\angle BCD$ મૂકતાં:

$$\angle BCD + \angle BCD = 180^\circ$$

$$2 \angle BCD = 180^\circ$$

$$\angle BCD = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$

આમ, $\angle BCD$ એ કાટખૂણો છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ માં $\angle A = 90^\circ$ અને $AB = AC$.

  
  

ગણતરી:

$\triangle ABC$ માં $AB = AC$ હોવાથી:

$$\angle B = \angle C = x \quad \text{(ધારો કે)}$$

ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

$$90^\circ + x + x = 180^\circ$$

$$2x = 180^\circ - 90^\circ$$

$$2x = 90^\circ$$

$$x = 45^\circ$$

તેથી, $\angle B = 45^\circ$ અને $\angle C = 45^\circ$.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે, એટલે કે $AB = BC = AC$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

  
  

સાબિતી:

1. 
   

   $AB = AC$ હોવાથી:

   
   $$\angle B = \angle C \quad \text{--- (સમીકરણ 1)}$$


2. 
   

   $BC = AB$ હોવાથી:

   
   $$\angle A = \angle C \quad \text{--- (સમીકરણ 2)}$$

સમીકરણ (1) અને (2) પરથી:

$$\angle A = \angle B = \angle C = x \quad \text{(ધારો કે)}$$

ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

$$x + x + x = 180^\circ$$

$$3x = 180^\circ$$

$$x = 60^\circ$$

આમ, સમબાજુ ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનાં માપ $60^\circ$ હોય છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ માં $AB = AC$, $\triangle DBC$ માં $DB = DC$.

  
  

સાબિતી:

(i) $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ માટે:

$\triangle ABD$ અને $\triangle ACD$ માં:

1. 
   

   $AB = AC$ (પક્ષ)

   
   


2. 
   

   $BD = CD$ (પક્ષ)

   
   


3. 
   

   $AD = AD$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, બાબાબા (SSS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$

(ii) $\triangle ABP \cong \triangle ACP$ માટે:

$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$\angle BAP = \angle CAP \quad \text{--- (સમીકરણ 1)}$$

હવે $\triangle ABP$ અને $\triangle ACP$ માં:

1. 
   

   $AB = AC$ (પક્ષ)

   
   


2. 
   

   $\angle BAP = \angle CAP$ (સમીકરણ 1 પરથી)

   
   


3. 
   

   $AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, બાખૂબા (SAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABP \cong \triangle ACP$$

(iii) $AP$ એ $\angle A$ તથા $\angle D$ ને દુભાગે છે તે માટે:

• 
  

  સમીકરણ (1) પરથી સ્પષ્ટ છે કે $AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે.

  
  


• 
  

  હવે $\triangle BDP$ અને $\triangle CDP$ ની સરખામણી કરતાં:

  
  
  
  
  
  1. 
     

     $BD = CD$ (પક્ષ)

     
     
  
  
  2. 
     

     $BP = CP$ ($\triangle ABP \cong \triangle ACP$ ના CPCT મુજબ)

     
     
  
  
  3. 
     

     $DP = DP$ (સામાન્ય બાજુ)

     
     
     

     તેથી, SSS શરત મુજબ $\triangle BDP \cong \triangle CDP$.

     
     
     

     જ્યાં CPCT મુજબ $\angle BDP = \angle CDP$ થાય, એટલે કે $AP$ એ $\angle D$ ને પણ દુભાગે છે.

     
     
  
  
  
  

(iv) $AP$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે તે માટે:

$\triangle ABP \cong \triangle ACP$ હોવાથી:

1. 
   

   $BP = CP$ (CPCT)

   
   


2. 
   

   $\angle APB = \angle APC$ (CPCT)

   
   

અહીં $\angle APB$ અને $\angle APC$ રેખીય જોડના ખૂણા બનાવે છે:

$$\angle APB + \angle APC = 180^\circ$$

$$\angle APB + \angle APB = 180^\circ$$

$$2 \angle APB = 180^\circ \implies \angle APB = 90^\circ$$

$BP = CP$ અને $\angle APB = 90^\circ$ હોવાથી, $AP$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ માં $AB = AC$ અને $AD \perp BC$ ($\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$).

  
  

સાબિતી:

કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ADB$ અને $\triangle ADC$ માં:

1. 
   

   $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ (વેધ હોવાથી)

   
   


2. 
   

   કર્ણ $AB =$ કર્ણ $AC$ (પક્ષ)

   
   


3. 
   

   $AD = AD$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, કાકબા (RHS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ADB \cong \triangle ADC$$

એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી (CPCT):

(i) $BD = CD \implies$ $AD$ એ $BC$ ને દુભાગે છે.

(ii) $\angle BAD = \angle CAD \implies$ $AD$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $AB = PQ$, $BC = QR$, અને મધ્યગાઓ $AM = PN$.

  
  

સાબિતી:

આપણને $BC = QR$ આપેલ છે.

બંને બાજુ $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતાં:

$$\frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} QR$$

$AM$ અને $PN$ મધ્યગાઓ હોવાથી, $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $QR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.

$$\therefore BM = QN \quad \text{--- (સમીકરણ 1)}$$

(i) $\triangle ABM \cong \triangle PQN$ માટે:

$\triangle ABM$ અને $\triangle PQN$ માં:

1. 
   

   $AB = PQ$ (પક્ષ)

   
   


2. 
   

   $AM = PN$ (પક્ષ)

   
   


3. 
   

   $BM = QN$ (સમીકરણ 1 પરથી)

   
   

તેથી, બાબાબા (SSS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABM \cong \triangle PQN$$

(ii) $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ માટે:

$\triangle ABM \cong \triangle PQN$ હોવાથી, CPCT મુજબ:

$$\angle B = \angle Q \quad \text{--- (સમીકરણ 2)}$$

હવે $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ ની સરખામણી કરતાં:

1. 
   

   $AB = PQ$ (પક્ષ)

   
   


2. 
   

   $\angle B = \angle Q$ (સમીકરણ 2 પરથી)

   
   


3. 
   

   $BC = QR$ (પક્ષ)

   
   

તેથી, બાખૂબા (SAS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle ABC \cong \triangle PQR$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $BE \perp AC$, $CF \perp AB$ અને $BE = CF$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $AB = AC$ ($\triangle ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે).

  
  

સાબિતી:

કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BEC$ અને $\triangle CFB$ માં:

1. 
   

   $\angle BEC = \angle CFB = 90^\circ$ (વેધ હોવાથી)

   
   


2. 
   

   કર્ણ $BC =$ કર્ણ $CB$ (સામાન્ય કર્ણ)

   
   


3. 
   

   બાજુ $BE =$ બાજુ $CF$ (પક્ષ – સમાન વેધ)

   
   

તેથી, કાકબા (RHS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle BEC \cong \triangle CFB$$

એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી (CPCT):

$$\angle BCE = \angle CBF$$

એટલે કે, $\angle C = \angle B$ થાય.

હવે, ત્રિકોણમાં સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે:

$$\therefore AB = AC$$

આમ, $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

• 
  

  પક્ષ: $\triangle ABC$ માં $AB = AC$ અને $AP \perp BC$.

  
  


• 
  

  સાધ્ય: $\angle B = \angle C$

  
  

સાબિતી:

કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle APB$ અને $\triangle APC$ ની સરખામણી કરતાં:

1. 
   

   $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$ ($AP \perp BC$ હોવાથી)

   
   


2. 
   

   કર્ણ $AB =$ કર્ણ $AC$ (પક્ષ)

   
   


3. 
   

   બાજુ $AP =$ બાજુ $AP$ (સામાન્ય બાજુ)

   
   

તેથી, કાકબા (RHS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

$$\triangle APB \cong \triangle APC$$

એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોવાથી (CPCT):

$$\angle B = \angle C$$