chapter 8

સાબિતી:

ધારો કે $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણો $AC = BD$ આપેલ છે.

આપણે સાબિત કરવું છે કે $ABCD$ એ લંબચોરસ છે (એટલે કે તેનો કોઈ એક ખૂણો $90^\circ$ છે).

1. 
   

   $\triangle ABC$ અને $\triangle BAD$ ધ્યાનમાં લો:

   
   
   
   
   
   • 
     

     $AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)

     
     
   
   
   • 
     

     $BC = AD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ)

     
     
   
   
   • 
     

     $AC = BD$ (પક્ષ - આપેલ છે)

     
     
   
   
   
   


2. 
   

   બાબાબા (SSS) એકરૂપતાની શરત મુજબ:

   
   $$\triangle ABC \cong \triangle BAD$$


3. 
   

   તેથી, અનુરૂપ ખૂણા સમાન થાય:

   
   $$\angle ABC = \angle BAD$$


4. 
   

   પરંતુ $AD \parallel BC$ અને $AB$ તેમની છેદિકા હોવાથી, છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^\circ$ થાય:

   
   $$\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ$$


5. 
   

   $\angle ABC = \angle BAD$ ની કિંમત મૂકતાં:

   
   $$\angle ABC + \angle ABC = 180^\circ \implies 2 \angle ABC = 180^\circ \implies \angle ABC = 90^\circ$$

જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો કાટખૂણો ($90^\circ$) હોય, તો તે લંબચોરસ બને છે. $\blacksquare$

સાબિતી:

ધારો કે $ABCD$ એક ચોરસ છે ($AB = BC = CD = DA$ અને બધા ખૂણા $90^\circ$). વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.

(i) વિકર્ણો સમાન છે ($AC = BD$):

1. 
   

   $\triangle ABC$ અને $\triangle BAD$ માં:

   
   
   
   
   
   • 
     

     $AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)

     
     
   
   
   • 
     

     $\angle ABC = \angle BAD = 90^\circ$

     
     
   
   
   • 
     

     $BC = AD$ (ચોરસની બાજુઓ)

     
     
   
   
   
   


2. 
   

   બાખૂબા (SAS) શરત મુજબ, $\triangle ABC \cong \triangle BAD$.

   
   


3. 
   

   તેથી, $AC = BD$.

   
   

(ii) વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે ($OA = OC$ અને $OB = OD$):

ચોરસ એ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી તેના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.

(iii) વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે ($90^\circ$) છે:

1. 
   

   $\triangle AOB$ અને $\triangle AOD$ માં:

   
   
   
   
   
   • 
     

     $AO = AO$ (સામાન્ય બાજુ)

     
     
   
   
   • 
     

     $OB = OD$ (દુભાગવાથી)

     
     
   
   
   • 
     

     $AB = AD$ (ચોરસની બાજુઓ)

     
     
   
   
   
   


2. 
   

   બાબાબા (SSS) શરત મુજબ, $\triangle AOB \cong \triangle AOD$.

   
   


3. 
   

   તેથી, $\angle AOB = \angle AOD$.

   
   


4. 
   

   પરંતુ $\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$ (રૈખિક જોડ).

   
   


5. 
   

   તેથી, $2 \angle AOB = 180^\circ \implies \angle AOB = 90^\circ$.

   
   

આમ, ચોરસના વિકર્ણો સમાન છે અને પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે. $\blacksquare$

સાબિતી:

વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે, તેથી $\angle DAC = \angle BAC$ ---(1).

(i) $\angle C$ ને પણ દુભાગે છે તે સાબિત કરવા:

• 
  

  $AB \parallel CD$ અને $AC$ છેદિકા હોવાથી, યુગ્મકોણો સમાન થાય:

  
  $$\angle BAC = \angle DCA \quad \text{અને} \quad \angle DAC = \angle BCA$$


• 
  

  (1) નો ઉપયોગ કરતાં:

  
  $$\angle DCA = \angle BCA$$


• 
  

  આ દર્શાવે છે કે વિકર્ણ $AC$ એ $\angle C$ ને પણ દુભાગે છે.

  
  

(ii) $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા:

• 
  

  $\triangle ABC$ માં, $\angle BAC = \angle BCA$ હોવાથી, સમાન ખૂણાની સામેની બાજુઓ સમાન થાય:

  
  $$AB = BC$$


• 
  

  સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે ($AB = CD$ અને $BC = AD$).

  
  


• 
  

  આથી, $AB = BC = CD = DA$.

  
  

આથી, $ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $\blacksquare$

સાબિતી:

1. 
   

   $PQRS$ ને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ દર્શાવવો:

   
   
   
   
   
   • 
     

     $\triangle ABC$ માં $PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.

     
     
   
   
   • 
     

     $\triangle ADC$ માં $SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.

     
     
   
   
   • 
     

     આથી $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

     
     
   
   
   
   


2. 
   

   ખૂણો કાટખૂણો દર્શાવવો:

   
   
   
   
   
   • 
     

     ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ પરસ્પર $O$ બિંદુએ છેદે છે.

     
     
   
   
   • 
     

     આપણને ખબર છે કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે ($90^\circ$) છેદે છે.

     
     
   
   
   • 
     

     તેથી, વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ થાય.

     
     
   
   
   • 
     

     સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મ મુજબ, ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $90^\circ$ બને છે (એટલે કે $\angle PQR = 90^\circ$).

     
     
   
   
   
   

જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^\circ$ હોય, તે લંબચોરસ કહેવાય.

આથી, $PQRS$ એ લંબચોરસ છે. $\blacksquare$

સાબિતી:

1. 
   

   મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:

   
   
   
   
   
   • 
     

     $PQ = \frac{1}{2} AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$

     
     
   
   
   • 
     

     $QR = \frac{1}{2} BD$ અને $PS = \frac{1}{2} BD$

     
     
   
   
   
   


2. 
   

   પરંતુ, ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ લંબચોરસ હોવાથી તેના વિકર્ણોની લંબાઈ સમાન હોય છે:

   
   $$AC = BD$$


3. 
   

   તેથી:

   
   $$PQ = SR = QR = PS = \frac{1}{2} AC$$

જે ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય, તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય.

આથી, $PQRS$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $\blacksquare$

સાબિતી:

ધારો કે રેખાખંડ $EF$ વિકર્ણ $BD$ ને $P$ બિંદુમાં છેદે છે.

1. 
   

   $\triangle ABD$ ધ્યાનમાં લો:

   
   
   
   
   
   • 
     

     $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે (પક્ષ).

     
     
   
   
   • 
     

     $EP \parallel AB$ (કારણ કે આખી રેખા $EF \parallel AB$ આપેલ છે).

     
     
   
   
   • 
     

     મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતીપ (પ્રમેય 8.9) મુજબ: ત્રિકોણની એક બાજુના મધ્યબિંદુમાંથી બીજી બાજુને સમાંતર દોરેલી રેખા ત્રીજી બાજુને દુભાગે છે.

     
     $$\therefore P \text{ એ વિકર્ણ } BD \text{ નું મધ્યબિંદુ બને.}$$
   
   
   
   


2. 
   

   $\triangle BCD$ ધ્યાનમાં લો:

   
   
   
   
   
   • 
     

     $P$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે (આપણે ઉપર સાબિત કર્યું).

     
     
   
   
   • 
     

     $PF \parallel CD$ (કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $EF \parallel AB \implies EF \parallel CD$).

     
     
   
   
   • 
     

     ફરીથી, મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતીપ મુજબ:

     
     $$\therefore F \text{ એ } BC \text{ નું મધ્યબિંદુ થાય.}$$
   
   
   
   

આમ, $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\blacksquare$

સાબિતી:

1. 
   

   $AECF$ ને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સાબિત કરવો:

   
   
   
   
   
   • 
     

     $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે, તેથી $AB \parallel CD$ અને $AB = CD$.

     
     
   
   
   • 
     

     $E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી $AE = \frac{1}{2} AB$.

     
     
   
   
   • 
     

     $F$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી $CF = \frac{1}{2} CD$.

     
     
   
   
   • 
     

     આથી, $AE = CF$ અને $AE \parallel CF$.

     
     
   
   
   • 
     

     જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય, તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય.

     
     $$\therefore AECF \text{ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે} \implies AF \parallel EC$$
   
   
   
   


2. 
   

   વિકર્ણ $BD$ ના ભાગ સમાન સાબિત કરવા:

   
   
   
   
   
   • 
     

     ધારો કે $AF$ અને $EC$ વિકર્ણ $BD$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે.

     
     
   
   
   • 
     

     $\triangle BAP$ માં: $E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EQ \parallel AP$ (કારણ કે $EC \parallel AF$).

     
     
     
     
     
     • 
       

       મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતીપ મુજબ, $Q$ એ $BP$ નું મધ્યબિંદુ થાય.

       
       $$\therefore BQ = PQ \quad \text{--- (1)}$$
     
     
     
     
   
   
   • 
     

     $\triangle DCQ$ માં: $F$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $FP \parallel CQ$ (કારણ કે $AF \parallel EC$).

     
     
     
     
     
     • 
       

       મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતીપ મુજબ, $P$ એ $DQ$ નું મધ્યબિંદુ થાય.

       
       $$\therefore DP = PQ \quad \text{--- (2)}$$
     
     
     
     
   
   
   
   

• 
  

  પરિણામ (1) અને (2) પરથી:

  
  $$DP = PQ = QB$$

આથી, રેખાખંડ $AF$ અને $EC$ વિકર્ણ $BD$ નું ત્રણ સમાન ભાગમાં વિભાજન કરે છે. $\blacksquare$

(i) $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે તે સાબિત કરવા:

• 
  

  $\triangle ABC$ માં, $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $MD \parallel BC$ આપેલ છે.

  
  


• 
  

  મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતીપ (પ્રમેય 8.9) મુજબ, $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ થાય.

  
  

(ii) $MD \perp AC$ સાબિત કરવા:

• 
  

  $MD \parallel BC$ છે અને $AC$ તેમની છેદિકા છે.

  
  


• 
  

  અનુકોણો સમાન હોય: $\angle ADM = \angle ACB$.

  
  


• 
  

  પરંતુ $\angle ACB = 90^\circ$ (પક્ષ).

  
  


• 
  

  તેથી, $\angle ADM = 90^\circ \implies \mathbf{MD \perp AC}$.

  
  

(iii) $CM = MA = \frac{1}{2} AB$ સાબિત કરવા:

• 
  

  $\triangle ADM$ અને $\triangle CDM$ માં:

  
  
  
  
  
  • 
    

    $AD = CD$ ($D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે)

    
    
  
  
  • 
    

    $\angle ADM = \angle CDM = 90^\circ$ ($MD \perp AC$)

    
    
  
  
  • 
    

    $MD = MD$ (સામાન્ય બાજુ)

    
    
  
  
  
  


• 
  

  બાખૂબા (SAS) શરત મુજબ, $\triangle ADM \cong \triangle CDM$.

  
  


• 
  

  એકરૂપ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન હોવાથી:

  
  $$CM = MA$$


• 
  

  પરંતુ $M$ એ કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે, તેથી $MA = \frac{1}{2} AB$.

  
  


• 
  

  આથી:

  
  $$\mathbf{CM = MA = \frac{1}{2} AB}$$
  
  

  $\blacksquare$