chapter 9

સાચો જવાબ:

• 
  

  આપેલ છે: કેન્દ્ર $O$ અને $O'$ વાળા બે સર્વાંગસમ વર્તુળો, જેમાં $OA = OB = O'C = O'D$ અને $AB = CD$.

  
  


• 
  

  સાબિત કરવાનું છે: $\angle AOB = \angle CO'D$

  
  


• 
  

  સાબિતી:

  
  
  

  $\Delta AOB$ અને $\Delta CO'D$ માં,

  
  
  
  
  
  • 
    

    $OA = O'C$ (સર્વાંગસમ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)

    
    
  
  
  • 
    

    $OB = O'D$ (સર્વાંગસમ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)

    
    
  
  
  • 
    

    $AB = CD$ (આપેલ જીવાઓ)

    
    
  
  
  
  
  

  તેથી, બાબાબા શરત મુજબ: $\Delta AOB \cong \Delta CO'D$

  
  
  

  એટલે કે (CPCT મુજબ): $\angle AOB = \angle CO'D$ (સાબિત થાય છે)

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  આપેલ છે: કેન્દ્ર $O$ અને $O'$ વાળા બે સર્વાંગસમ વર્તુળો, જેમાં $OA = OB = O'C = O'D$ અને $\angle AOB = \angle CO'D$.

  
  


• 
  

  સાબિત કરવાનું છે: $AB = CD$

  
  


• 
  

  સાબિતી:

  
  
  

  $\Delta AOB$ અને $\Delta CO'D$ માં,

  
  
  
  
  
  • 
    

    $OA = O'C$ (સર્વાંગસમ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)

    
    
  
  
  • 
    

    $\angle AOB = \angle CO'D$ (આપેલ ખૂણા)

    
    
  
  
  • 
    

    $OB = O'D$ (સર્વાંગસમ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)

    
    
  
  
  
  
  

  તેથી, બાખૂબા શરત મુજબ: $\Delta AOB \cong \Delta CO'D$

  
  
  

  એટલે કે (CPCT મુજબ): $AB = CD$ (સાબિત થાય છે)

  
  

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ છે અને તેમની સામાન્ય જીવા $MN$ છે.

• 
  

  મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $OM = 5\text{ સેમી}$

  
  


• 
  

  નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $O'M = 3\text{ સેમી}$

  
  


• 
  

  બે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $OO' = 4\text{ સેમી}$

  
  

$\Delta OO'M$ માટે બાજુઓની લંબાઈ ચકાસીએ:

$$O'M^2 + OO'^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = OM^2$$

પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતીપ મુજબ, $\Delta OO'M$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં $\angle OO'M = 90^\circ$.

આથી નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર $O'$ એ સામાન્ય જીવા $MN$ પર આવેલું છે.

તેથી, સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $MN = 2 \times O'M = 2 \times 3 = \mathbf{6\text{ સેમી}}$.

સાચો જવાબ:

• 
  

  આપેલ છે: $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ $AB = CD$ વર્તુળની અંદર $P$ બિંદુએ છેદે છે.

  
  


• 
  

  સાબિત કરવાનું છે: $AP = CP$ અને $BP = DP$

  
  


• 
  

  રચના: $OM \perp AB$, $ON \perp CD$ દોરો અને $OP$ જોડો.

  
  


• 
  

  સાબિતી:

  
  
  

  $\Delta OMP$ અને $\Delta ONP$ માં:

  
  
  
  
  
  1. 
     

     $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ$

     
     
  
  
  2. 
     

     $OP = OP$ (સામાન્ય બાજુ)

     
     
  
  
  3. 
     

     $OM = ON$ (સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે)

     
     
  
  
  
  
  

  તેથી, કાર્કબા (RHS) શરત મુજબ: $\Delta OMP \cong \Delta ONP$

  
  
  

  એટલે કે (CPCT મુજબ): $MP = NP$ ---- (1)

  
  
  

  આપણને આપેલ છે કે $AB = CD$.

  
  
  

  કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે, તેથી:

  
  
  

  $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD \implies AM = CN$ ---- (2)

  
  
  

  સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતા:

  
  $$AM + MP = CN + NP \implies \mathbf{AP = CP}$$
  
  

  હવે $AB = CD$ માંથી $AP = CP$ બાદ કરતા:

  
  $$AB - AP = CD - CP \implies \mathbf{BP = DP}$$

સાચો જવાબ:

• 
  

  આપેલ છે: $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની સમાન જીવાઓ $AB = CD$ બિંદુ $P$ આગળ છેદે છે.

  
  


• 
  

  સાબિત કરવાનું છે: $\angle OPM = \angle OPN$

  
  


• 
  

  રચના: $OM \perp AB$, $ON \perp CD$ દોરો અને $OP$ જોડો.

  
  


• 
  

  સાબિતી:

  
  
  

  $\Delta OMP$ અને $\Delta ONP$ માં:

  
  
  
  
  
  1. 
     

     $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ$

     
     
  
  
  2. 
     

     $OP = OP$ (સામાન્ય બાજુ)

     
     
  
  
  3. 
     

     $OM = ON$ (સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે)

     
     
  
  
  
  
  

  તેથી, કાર્કબા (RHS) શરત મુજબ: $\Delta OMP \cong \Delta ONP$

  
  
  

  એટલે કે (CPCT મુજબ): $\angle OPM = \angle OPN$ (સાબિત થાય છે)

  
  

સાચો જવાબ:

• 
  

  આપેલ છે: કેન્દ્ર $O$ વાળા બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોને એક રેખા $A, B, C, D$ બિંદુઓમાં છેદે છે.

  
  


• 
  

  સાબિત કરવાનું છે: $AB = CD$

  
  


• 
  

  રચના: કેન્દ્ર $O$ માંથી રેખા પર $OM \perp AD$ દોરો.

  
  


• 
  

  સાબિતી:

  
  
  

  મોટા વર્તુળ માટે, $AD$ એ જીવા છે અને $OM \perp AD$.

  
  
  

  કેન્દ્રમાંથી દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે, તેથી:

  
  $$AM = MD \quad \text{---- (1)}$$
  
  

  નાના વર્તુળ માટે, $BC$ એ જીવા છે અને $OM \perp BC$.

  
  
  

  કેન્દ્રમાંથી દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે, તેથી:

  
  $$BM = MC \quad \text{---- (2)}$$
  
  

  સમીકરણ (1) માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતા:

  
  $$AM - BM = MD - MC \implies \mathbf{AB = CD}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. રેશ્મા ($R$), સલમા ($S$), મંદીપ ($M$) વર્તુળ પર છે.

• 
  

  $OR = OS = OM = 5\text{ મીટર}$ (ત્રિજ્યા)

  
  


• 
  

  $RS = SM = 6\text{ મીટર}$

  
  

$\Delta ORS$ માટે બાજુઓ $OR = 5$, $OS = 5$, $RS = 6$ છે.

હેરોનના સૂત્રથી $\Delta ORS$ નું ક્ષેત્રફળ:

• 
  

  અર્ધપરિમિતિ $s = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8\text{ મીટર}$

  
  


• 
  

  $\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2} = \sqrt{144} = 12\text{ ચોરસ મીટર}$

  
  

ધારો કે $RM \perp OS$ છે અને તે $OS$ ને $K$ બિંદુએ છેદે છે.

$$\Delta ORS \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times OS \times RK$$

$$12 = \frac{1}{2} \times 5 \times RK \implies RK = \frac{24}{5} = 4.8\text{ મીટર}$$

$OS$ એ $RM$ ને લંબદુભાગે છે, તેથી:

$$\text{રેશ્મા અને મંદીપ વચ્ચેનું અંતર } RM = 2 \times RK = 2 \times 4.8 = \mathbf{9.6\text{ મીટર}}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે અંકુર ($A$), સૈયદ ($S$), ડેવિડ ($D$) ના સ્થાનથી બનતો ત્રિકોણ $\Delta ASD$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે (જેની દરેક બાજુ = $x$).

ગોળાકાર પાર્કનું કેન્દ્ર $O$ એ સમબાજુ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર (Centroid) થશે.

ત્રિજ્યા $AO = 20\text{ મીટર}$.

મધ્યકેન્દ્ર $O$ એ મધ્યગા $AM$ નો $2:1$ માં ભાગ કરે છે, તેથી:

$$OM = \frac{1}{2} \times AO = 10\text{ મીટર}$$

$$\text{મધ્યગાની લંબાઈ } AM = 20 + 10 = 30\text{ મીટર}$$

કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta AMS$ માં ($SM = \frac{x}{2}$):

$$AS^2 = AM^2 + SM^2$$

$$x^2 = 30^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2$$

$$x^2 - \frac{x^2}{4} = 900 \implies \frac{3x^2}{4} = 900$$

$$3x^2 = 3600 \implies x^2 = 1200 \implies x = \sqrt{1200} = \mathbf{20\sqrt{3}\text{ મીટર}}$$

તેથી, ટેલિફોનની દોરીની લંબાઈ $20\sqrt{3}\text{ મીટર}$ (આશરે $34.64\text{ મીટર}$) છે.

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

કેન્દ્ર આગળનો કુલ ખૂણો $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.

વર્તુળના ચાપે કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો, બાકીના ભાગ પરના ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે:

$$\angle AOC = 2 \times \angle ADC$$

$$90^\circ = 2 \times \angle ADC \implies \mathbf{\angle ADC = 45^\circ}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે જીવા $AB = OA = OB = r$ (ત્રિજ્યા).

આથી $\Delta AOB$ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે, તેથી $\angle AOB = 60^\circ$.

1. 
   

   ગુરુચાપ પરના બિંદુ $C$ આગળનો ખૂણો:

   
   $$\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB = \frac{60^\circ}{2} = \mathbf{30^\circ}$$


2. 
   

   લઘુચાપ પરના બિંદુ $D$ આગળનો ખૂણો:

   
   
   

   $ACBD$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી સામસામેના ખૂણાનો સરવાળો $180^\circ$ થાય:

   
   $$\angle ACB + \angle ADB = 180^\circ \implies 30^\circ + \angle ADB = 180^\circ \implies \mathbf{\angle ADB = 150^\circ}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ગુરુચાપ $PR$ એ કેન્દ્ર આગળ બનાવેલો વિપ્રત ખૂણો (Reflex Angle) $= 2 \times \angle PQR = 2 \times 100^\circ = 200^\circ$.

તેથી અંદરનો ખૂણો $\angle POR = 360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$.

$\Delta OPR$ માં, $OP = OR$ (ત્રિજ્યાઓ) હોવાથી $\angle OPR = \angle ORP$:

$$\angle OPR + \angle ORP + \angle POR = 180^\circ$$

$$2 \angle OPR + 160^\circ = 180^\circ \implies 2 \angle OPR = 20^\circ \implies \mathbf{\angle OPR = 10^\circ}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

$\Delta ABC$ ના ત્રણેય ખૂણાનો સરવાળો $180^\circ$ થાય:

$$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$$

$$\angle BAC + 69^\circ + 31^\circ = 180^\circ \implies \angle BAC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$$

એક જ વૃત્તખંડના ખૂણાઓ સમાન હોય છે, તેથી:

$$\mathbf{\angle BDC = \angle BAC = 80^\circ}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

રેખિક જોડના ખૂણા પરથી:

$$\angle DEC = 180^\circ - \angle BEC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$

$\Delta DEC$ માં:

$$\angle CDE + \angle DEC + \angle ECD = 180^\circ$$

$$\angle CDE + 50^\circ + 20^\circ = 180^\circ \implies \angle CDE = 110^\circ \implies \angle BDC = 110^\circ$$

એક જ વૃત્તખંડના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી:

$$\mathbf{\angle BAC = \angle BDC = 110^\circ}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

1. 
   

   એક જ વૃત્તખંડના ખૂણા સમાન હોવાથી $\angle BDC = \angle BAC = 30^\circ$.

   
   
   

   $\Delta BCD$ માં:

   
   $$\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^\circ \implies \angle BCD + 70^\circ + 30^\circ = 180^\circ \implies \mathbf{\angle BCD = 80^\circ}$$


2. 
   

   જો $AB = BC$ હોય, તો $\Delta ABC$ માં $\angle BCA = \angle BAC = 30^\circ$.

   
   $$\angle ECD = \angle BCD - \angle BCA = 80^\circ - 30^\circ = \mathbf{50^\circ}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ વર્તુળના વ્યાસ છે.

અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો કાટકોણ (90°) હોય છે:

$$\angle A = 90^\circ, \quad \angle B = 90^\circ, \quad \angle C = 90^\circ, \quad \angle D = 90^\circ$$

ચારેય ખૂણા $90^\circ$ હોવાથી ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ લંબચોરસ છે. (સાબિત થાય છે)

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

સમાંતર બાજુઓ $AB \parallel CD$ અને અસમાંતર સમાન બાજુઓ $AD = BC$ છે.

અસમાંતર બાજુઓ સમાન હોવાથી તેના પાયાના ખૂણા સમાન થાય: $\angle A = \angle B$ અને $\angle C = \angle D$.

સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતઃકોણ પૂરક હોય છે:

$$\angle A + \angle D = 180^\circ \implies \mathbf{\angle A + \angle C = 180^\circ}$$

સામસામેના ખૂણાનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી તે ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે. (સાબિત થાય છે)

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

1. 
   

   છેદતી રેખાઓથી બનતા અભિકોણ સમાન હોય છે:

   
   $$\angle ABP = \angle QBD \quad \text{---- (1)}$$


2. 
   

   પહેલા વર્તુળમાં એક જ વૃત્તખંડના ખૂણા સમાન હોય:

   
   $$\angle ACP = \angle ABP \quad \text{---- (2)}$$


3. 
   

   બીજા વર્તુળમાં એક જ વૃત્તખંડના ખૂણા સમાન હોય:

   
   $$\angle QCD = \angle QBD \quad \text{---- (3)}$$

સમીકરણ (1), (2) અને (3) પરથી: $\angle ACP = \angle QCD$ (સાબિત થાય છે)

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

$\Delta ABC$ ની બે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ને વ્યાસ ગણી દોરેલા વર્તુળોનું છેદબિંદુ $D$ છે.

અર્ધવર્તુળમાં આંતરેલો ખૂણો કાટકોણ હોય છે:

$$\angle ADB = 90^\circ \quad \text{અને} \quad \angle ADC = 90^\circ$$

બંને ખૂણાનો સરવાળો કરતા:

$$\angle ADB + \angle ADC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

ખૂણાઓની જોડ રેખિક જોડ બનાવે છે, આથી $BDC$ એક સીધી રેખા છે. એટલે કે બિંદુ $D$ ત્રીજી બાજુ $BC$ પર આવેલું છે. (સાબિત થાય છે)

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

$\angle ABC = 90^\circ$ અને $\angle ADC = 90^\circ$ હોવાથી:

$$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$$

સામસામેના ખૂણા પૂરક હોવાથી $A, B, C, D$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ બનાવે છે.

આ ચક્રીય વર્તુળમાં જીવા $CD$ દ્વારા એક જ વૃત્તખંડમાં બનેલા ખૂણાઓ સમાન થાય:

$$\mathbf{\angle CAD = \angle CBD} \quad \text{*(સાબિત થાય છે)*}$$

સાચો જવાબ:

ઉકેલ:

ધારો કે $ABCD$ એ ચક્રીય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

1. 
   

   સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય:

   
   $$\angle A = \angle C$$


2. 
   

   ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાનો સરવાળો $180^\circ$ થાય:

   
   $$\angle A + \angle C = 180^\circ \implies \angle A + \angle A = 180^\circ \implies 2\angle A = 180^\circ \implies \mathbf{\angle A = 90^\circ}$$

જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો કાટકોણ (90°) હોય, તે લંબચોરસ કહેવાય. (સાબિત થાય છે)